nghiên cứu didactic về giải toán bằng cách lập hệ phương trình ở trung học cơ sở

Tác giả đã trình bày nhiều cách giải của bài toán như nhẩm, dùng sự nhanh trí ý chói lọi - chia đôi số chân, tuy nhiên nhấn mạnh đến một phương pháp “áp dụng được cả trong trường hợp cá

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguy ễn Thị Minh Vân

NGHIÊN C ỨU DIDACTIC VỀ GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH

L ẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ

LU ẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguy ễn Thị Minh Vân

NGHIÊN C ỨU DIDACTIC VỀ GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH

L ẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ

Chuyên ngành: Lý lu ận & PPDH môn Toán

Mã số : 60 14 10

LU ẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Ts Tr ần Lương Công Khanh

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CÁM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,

TS Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi

những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn PGS TS Annie Bessot, PGS TS Claude Comiti, TS Alain Birebent đã nhiệt tình giải đáp những thắc mắc và truyền đạt cho chúng tôi những kiến thức Didactic quý báu

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng thầy cô trong tổ Toán trường THPT Lương Văn Chánh

đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cám ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” 6

1.1 Thế nào là “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” 6

1.1.1 “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong [1] 7

1.1.2 “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong [8] 9

1.1.3 Chỉ dẫn cho việc lập các phương trình trong [18] và [22] 12

1.2 Sự giao nhau giữa “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” và “giải toán bằng cách lập phương trình” 15

1.3 Các bài toán được giải bằng cách lập hệ phương trình 16

1.3.1 Các bài toán trong [1] 16

1.3.2 Các bài toán trong [8] 22

1.4 “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” – một phương pháp giải toán gắn với các “vấn đề thực tiễn” 28

CHƯƠNG 2 “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC 32

2.1 “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong thể chế dạy học

2.1.1 Những ghi nhận lý thuyết 34

2.1.2 Bài tập 38

2.2 “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong thể chế dạy học Việt Nam 46 2.2.1 Những ghi nhận lý thuyết 47

2.2.2 Bài tập 56

2.2.3 “Đặc điểm” của các bài toán được giải bằng “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” 63

2.3 Kết quả phân tích thể chế 70

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM 73

3.1 Mục đích thực nghiệm 73

3.2 Hình thức và tổ chức thực nghiệm 73

3.3 Phân tích thực nghiệm 74

3.3.1 Giới thiệu câu hỏi thực nghiệm 74

3.3.2 Phân tích a priori 75

3.3.3 Phân tích a posteriori 84

3 4 Kết luận từ thực nghiệm 88

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

DANH M ỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1- Các cách giải bài toán “Vừa gà, vừa thỏ”……… 10

Bảng 1.2- Những vấn đề then chốt cần nắm vững khi lập PT……… 13

Bảng 1.3-Phân loại các bài toán được giải bằng cách lập PT, HPT……… ……… 16

Bảng 2.1-Lời giải bài toán chứa quy trình của GTHPT trong thể chế Pháp ……… ……… 34

Bảng 2.2-Các điểm đặc trưng của GTHPT trong thể chế Pháp ………… 45

Bảng 2.3-GTPT trong CT94 và CT20……… ………… 47

Bảng 2.4-So sánh giữa CT94 và CT20 về GTHPT……… ….54

Bảng 2.5-Số lượng các loại toán được giải bằng GTHPT trong thể chế…… ……56

Bảng 2.6-Một số bài toán trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 liên quan đến GTHPT……… ……… 59

Bảng 2.7-Các vấn đề được đề cập trong các bài toán được giải bằng GTHPT……….……… 61

Bảng 3.1-Các lời giải có thể cho câu hỏi 1……….…… …77

Bảng 3.2-Các lời giải có thể cho câu hỏi 2……….…… …81

Bảng 3.3-Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 1……….…… 83

Bảng 3.4-Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 2……….…… 85

Bảng 3.5-Thống kê số lượng các lời giải có đặt điều kiện cho ẩn của câu hỏi 1……….……….…… ……….86

Bảng 3.6-Thống kê số lượng các lời giải có đặt điều kiện cho ẩn của câu hỏi 2……….……….…… ……….86

M Ở ĐẦU

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Một bài toán cổ mà nhiều thế hệ học sinh Việt Nam đều biết:

Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn

Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?

Bài toán này đã có mặt trong sách giáo khoa lớp 8 xuất bản năm 1989, 1997

và cả trong sách giáo khoa lớp 8, 9 chương trình hiện hành (chương trình cải cách năm 2000)

Ở sách giáo khoa lớp 8 năm 1989 và 1997, nó là một ví dụ trong bài học Giải

toán b ằng cách lập phương trình (trang 90 và trang 74) Đến sách giáo khoa lớp 8

hiện hành, bài toán này xuất hiện với tư cách là một “bài toán cổ rất quen thuộc ở

Việt Nam”, được đưa vào phần mở đầu của Chương III - PHƯƠNG TRÌNH BẬC

NHẤT MỘT ẨN với câu hỏi “Nó có liên hệ gì với bài toán: Tìm x, biết 2x + 4(36 – x) = 100?”, rồi sau đó là Ví dụ 2 của bài học Giải toán bằng cách lập phương trình

(trang 24) Và đến sách giáo khoa lớp 9 hiện hành, các tác giả đã lấy bài toán này để

mở đầu Chương III - HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, cụ thể:

“trong bài toán trên, ngoài đại lượng chưa biết là số gà, ta thấy còn một đại lượng chưa biết khác là số chó Nếu kí hiệu x là số gà và y là số chó thì:

- Giả thiết có tất cả 36 con vừa gà vừa chó được mô tả bởi hệ thức x + y = 36

- Giả thiết có tất cả 100 chân được mô tả bởi hệ thức 2x + 4y = 100

Các hệ thức trên là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.” (trang 4)

Như vậy bài toán trên không những được “phiên dịch” thành một phương trình

bậc nhất một ẩn mà còn thành một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Điều này còn

được trình bày cụ thể trong Giáo trình đào tạo giáo viên THCS, hệ Cao đẳng sư

ph ạm của Nhà xuất bản giáo dục năm 1998 (trang 111) qua đoạn sau:

-Hay trong cuốn Sáng tạo Toán học, tập I (Mathematical discovery) của G

Polia (bản dịch của Phan Tất Đắc, Nguyễn Sĩ Tuyển, NXB Hà Nội -1975), bài toán này có phiên bản khác là “một chủ trại nọ, nuôi gà và thỏ, cả thảy 50 con, gồm 140

chân H ỏi chủ trại có bao nhiêu gà và thỏ?” Tác giả đã trình bày nhiều cách giải

của bài toán như nhẩm, dùng sự nhanh trí (ý chói lọi - chia đôi số chân), tuy nhiên

nhấn mạnh đến một phương pháp “áp dụng được cả trong trường hợp các số lớn

l ẫn số nhỏ, áp dụng được trong một tập hợp vô hạn các bài toán, nó chẳng cần phải

có nh ững ý chói lọi hiếm hoi mà chỉ đòi hỏi phải nắm vững những điều cơ bản của ngôn ng ữ đại số”, sau đó “phiên dịch” bài toán sang ngôn ngữ của các kí hiệu toán

học đó là hệ phương trình , với x là số gà, y là số thỏ Sau đó sách

hướng dẫn bạn đọc đến phương pháp lập một “hệ thống phương trình rồi đưa đến

một phương trình” để giải một số bài toán (trang 49 - 59)

Như vậy, bài toán cổ trên gắn bó chặt chẽ với một phương pháp giải toán dành cho học sinh bậc Trung học cơ sở (THCS), đó là “giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” Vì nội dung “giải toán bằng cách lập phương trình” đã được

một học viên cao học khác nghiên cứu nên chúng tôi chọn nghiên cứu nội dung

“giải toán bằng cách lập hệ phương trình” Với những điều quan sát được ở trên, chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát như sau:

Q’0: Vì sao bài toán cổ “vừa gà vừa chó” lại được chọn để giới thiệu các bài

học mới về “giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”?

Q’1: Có sự giao nhau nào giữa “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” và

“giải toán bằng cách lập phương trình”? Bản chất của các phương pháp giải toán này là gì? Những ràng buộc nào của các bài toán dẫn đến việc lập hệ phương trình thay vì phương trình?

Q’2: Nội dung “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” được trình bày như

thế nào trong sách giáo khoa qua các thời kì? Có được thể chế ưu tiên phát triển không? Nó hướng đến mục tiêu dạy học nào? Tồn tại những quan niệm, những quy

tắc ứng xử nào của giáo viên và học sinh khi dạy và học nội dung này?

Q’3: Nội dung này có tồn tại ở thể chế dạy học các nước khác hay không? Có

gì giống và khác nhau với thể chế dạy học Việt Nam?

2 M ục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu

Mục đích của luận văn là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên, qua đó có cái nhìn toàn cảnh về nội dung “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” theo quan điểm Didactic Toán Vì vậy chúng tôi lựa chọn các công cụ lí thuyết sau đây:

- Thuy ết nhân học: với thuyết nhân học, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các

thể chế, các tài liệu từ đó cho phép tìm ra sự tồn tại cũng như quá trình phát triển của nội dung “giải toán bằng cách lập hệ phương trình”…

- Lí thuy ết tình huống: với khái niệm Hợp đồng didactic, chúng tôi muốn tìm

ra những quy tắc ngầm ẩn trong việc dạy – học nội dung này

3 Câu h ỏi nghiên cứu

Từ công cụ lí thuyết đã chọn, chúng tôi viết lại các câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Thế nào là “giải toán bằng cách lập hệ phương trình”? Có sự giao nhau nào với “giải toán bằng cách lập phương trình”? Những bài toán có ràng buộc như

thế nào thì được giải bằng cách lập hệ phương trình? Mục tiêu dạy học nào gắn với

“giải toán bằng cách lập hệ phương trình?

Q2:“Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” được trình bày như thế nào trong thể chế dạy học? Nó có được thể chế ưu tiên không? Có tồn tại ở thể chế dạy

học các nước khác không? Có sự giống nhau hay khác nhau nào so với thể chế Việt Nam?

Q3: Tồn tại những quy tắc nào của hợp đồng didactic trong việc dạy và học

nội dung này?

4 Phương pháp nghiên cứu

Đầu tiên, chúng tôi sẽ tìm hiểu “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” qua các tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán để nắm được nội dung cũng như

những vấn đề liên quan Tiếp đó, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể

chế với nội dung “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” Chúng tôi sẽ tiến hành trên 2 bộ sách giáo khoa lớp 9 ở Việt Nam: chương trình chỉnh lí hợp nhất năm

1994 và chương trình cải cách năm 2000 và sách Mathématiques 3è trong bộ Triangle, bộ sách của Pháp dành cho học sinh chương trình song ngữ Pháp - Việt ở

Việt Nam Chúng tôi sẽ tiến hành một so sánh, tìm kiếm sự giống nhau, khác nhau cũng như sự ưu tiên của thể chế dành cho phương pháp giải toán này ở thể chế dạy

học Pháp và Việt Nam Cuối cùng, chúng tôi sẽ tìm hiểu xem học sinh ứng xử như

thế nào thông qua hợp đồng dạy học nội dung này bằng một thực nghiệm

Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi được sơ đồ hóa như sau:

5 C ấu trúc luận văn

Phần kết luận: tóm lại một số kết quả đạt được từ Chương 1, 2, 3 và những đề

xuất, gợi mở cho luận văn

Nghiên cứu khoa học luận

Nghiên cứu quan hệ thể chế (Pháp và Việt Nam)

GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU

THỰC NGHIỆM (Hợp đồng didactic)

C HƯƠNG 1 TÌM HI ỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP “GIẢI TOÁN

B ẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH”

M ục đích của chương:

Chương 1 sẽ trả lời cho câu hỏi Q1: Thế nào là “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” (GTHPT)? Có sự giao nhau nào với “giải toán bằng cách lập phương trình” (GTPT)? Những bài toán có ràng buộc như thế nào thì được giải bằng cách

lập hệ phương trình? Mục tiêu dạy học nào gắn với GTHPT?

Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng tìm hiểu những vấn đề liên quan đến phương pháp GTHPT để có cái nhìn toàn cảnh về nó ở cấp độ phương pháp dạy học

1.1 Th ế nào là “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình”

“Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” là một phương pháp giải toán dành cho học sinh cuối THCS, được bố trí vào học kì 2 của lớp 9 Vì thế nó hầu như vắng

mặt trong các giáo trình Toán ở bậc đại học cũng như cao đẳng Chúng tôi ghi nhận

sự có mặt của nó trong các tài liệu sau:

[1]: Giáo trình đào tạo giáo viên THCS_hệ Cao đẳng sư phạm Tài liệu này là

một lựa chọn tốt nhất cho chúng tôi theo như tên gọi của nó

[8]: Sáng t ạo Toán học, tập 1 Chúng tôi chọn tài liệu này vì tính phổ biến của

nó, nhất là [8] dành hẳn 1 chương để nói về GTHPT Nó cũng là tài liệu tham khảo cho các giáo trình phương pháp khác, chẳng hạn sách [12]

[18]: Chuy ện hay Toán học Tài liệu này tập hợp các vấn đề thú vị của toán

học và vấn đề nghiên cứu của chúng tôi có mặt trong đó

[12]: Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông (các tình huống dạy

h ọc điển hình)

1.1.1 “Gi ải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong [1]

Trong [1], GTHPT được trình bày trong Chương 6 CÁC BÀI TOÁN THỰC

TẾ Nó là “phương pháp chung nhằm giải các bài toán loại tìm tòi, diễn đạt bằng

ngôn ng ữ thông thường và nội dung của bài toán đề cập đến những vấn đề xung quanh đời sống sinh hoạt, lao động và học tập mà ta gọi các bài toán đó là bài toán

th ực tế ” (tr 111)

Trước khi đi vào trình bày cụ thể phương pháp, [1] đã đưa vào bài toán cổ

“Vừa gà, vừa chó” như là cách để dẫn dắt vấn đề Phương pháp chung để giải các bài toán thực tế được [1] trình bày là:

- Ch ọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn số (nếu có)

- Bi ểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho

Từ đây, GTHPT được xác định gồm các bước:

- Ch ọn các ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn số (nếu có)

- Bi ểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho

- L ập các phương trình

- Gi ải hệ phương trình

- Ch ọn nghiệm thích hợp, trả lời

Để thực hiện quy trình 5 bước trên, sách [1] đã đưa ra những hướng dẫn cần cho sinh viên bằng mục 2, tr.111 “nghệ thuật lập phương trình” Nghệ thuật này

gồm có việc “đặt ẩn số” và “lập phương trình” được trình bày ở tr.112

• Đặt ẩn số:“Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm Thông thường bài toán yêu cầu tìm cái gì (các cái gì) thì ta đặt cái đó (các cái đó) là ẩn (các ẩn)…Cũng có khi ta gặp những bài toán và

v ới cách đặt ẩn như thế mà PT lập nên quá phức tạp và khó khăn thì cần thay đổi cách chọn

ẩn … hoặc chọn thêm ẩn … Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn.”

• L ập phương trình: “Sau khi đặt ẩn ta tiến hành biểu thị các đại lượng qua các số đã biết

và ẩn số Để lập được PT (các PT) ứng với bài toán cần giải, ta cố gắng hình dung thật cụ thể

và rõ ràng điều kiện của bài toán (quan hệ giữa cái cần tìm, cái chưa biết và cái đã cho) Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, “phiên dịch” mỗi

phần theo ngôn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí, sau đó kết hợp những

phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một lượng bằng hai cách khác nhau thành một đẳng thức Như vậy ta sẽ có PT Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn,

c ần thiết lập bấy nhiêu PT Cũng có trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến giải PT nghiệm nguyên”

Việc lập PT, sau đó là HPT là bước chính trong GTHPT, và “muốn làm được

điều đó trước tiên ta phải nắm vững “ngôn ngữ đại số”, thứ ngôn ngữ không dùng đến lời mà chỉ sử dụng các kí hiệu toán học, sau đó ta phải biết ““phiên dịch”” từ ngôn ng ữ thông thường sang “ngôn ngữ đại số”.” (tr 111)

Trong “nghệ thuật lập phương trình” trên, chúng tôi ghi chú cụm ““phiên

d ịch” mỗi phần theo ngôn ngữ đại số” Không có một chỉ dẫn nào cho từ ““phiên

dịch”” trong giáo trình này, tuy nhiên theo nghiên cứu của chúng tôi ở phần sau, có

thể hiểu cụm từ này là “viết lại các phần theo ngôn ngữ đại số” hay “viết các biểu

thức đại số” Như thế để lập được PT, cần phải biết viết các biểu thức đại số biểu

diễn cho cùng 1 lượng

1.1.2 “Gi ải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong [8]

Một chỉ dẫn cho phép chúng tôi chọn tham khảo [8] là đoạn “khi cậu học sinh

trung h ọc giải “bài toán bằng lời” (word problem) nhờ “hệ thống phương trình” 1 thì c ậu ta đang đi theo lược đồ Đề-các” (dòng 21, tr 49)

Trong Chương 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỀ-CÁC, “Đề-các muốn nêu ra một phương pháp toàn năng để giải toán Đây là lược đồ mà Đề-các mong đợi áp dụng được vào mọi dạng bài toán”:

“Bước 1: một bài toán bất kì được đưa về một bài toán toán học

Bước 2: một bài toán toán học được đưa về một bài toán đại số

Bước 3: bất kì bài toán đại số nào được đưa về giải một phương trình duy

nh ất ” (tr.48)

Cũng theo [8],

“m ặc dầu lược đồ Đề-các không được áp dụng trong mọi trường hợp, thì cũng không loại trừ một điều là nó lại thích hợp trong một số rất lớn các trường hợp, bao gồm cả nhiều trường

h ợp quan trọng nhất Ngay cả khi cậu học sinh trung học giải “bài toán bằng lời” nhờ “hệ

th ống phương trình” thì cậu ta đang đi theo lược đồ Đề-các và sẵn sàng vận dụng nghiêm túc quan niệm toàn năng làm nền tảng cho lược đồ đó”. (tr 49)

Như vậy, GTHPT là trường hợp áp dụng được của lược đồ Đề-các Để làm rõ hơn cho phương pháp toàn năng của Đề-các, [8] trình bày bài toán nhỏ “Vừa gà,

B ảng 1.1 - Các cách giải bài toán “Vừa gà, vừa thỏ”

Hai cách giải “bằng đại số” và “khái quát hóa” thực ra là như nhau, chỉ khác ở chỗ thay 2 số 50 và 140 bằng hai chữ “h và f” Từ kết quả của bài toán nhỏ này, [8]

nhấn mạnh ưu thế của cách giải đại số so với cách giải trước

Với việc dùng 1 bài toán có thể giải bằng phương pháp số học để giới thiệu về phương pháp đại số ta có thể xem GTHPT đánh dấu 1 bước chuyển trong giải toán,

từ số học sang đại số Và cũng từ ví dụ cho thấy được tính cạnh tranh của cách giải đại số, xem như là cách giới thiệu tốt nhất một phương pháp giải toán

“phương pháp đó áp dụng được cả trong trường hợp số lớn lẫn số nhỏ, áp dụng được trong một tập hợp vô hạn các bài toán, nó chẳng cần phải có những ý chói lọi hiếm hoi mà chỉ đòi

h ỏi phải nắm vững những điều cơ bản của ngôn ngữ đại số.” (tr 52)

Nh ẩm

(xấp xỉ liên tiếp)

Th ử các đáp án có thể:

S ố gà lần lượt là: 50 – 0 – 25 – 30 - … tương ứng số thỏ là 0 – 50 – 25 – 20 - … và tính s ố chân, so với dữ kiện được kết quả là

30 gà, 20 th ỏ

Ý chói l ọi

“bắt mỗi con gà đứng trên 1 chân và mỗi con thỏ đứng trên 2 chân sau”, t ức chỉ còn 70 chân 70 chính là số gia súc mà gà được tính 1 l ần và thỏ được tính 2 lần, do đó số thỏ bằng 70 – 50 = 20, số

Khái quát hóa

Thay s ố gà là h, số chân là f Gọi x là số gà, y là số chân thì

 Đây

chính là k ết quả của cách giải “ý chói lọi” trên

Ở trên ta thấy xuất hiện từ ““phiên dịch”” như ở [1] Đối với [8], việc “phiên

dịch” đôi lúc thật dễ dàng trong các bài toán nhỏ trên nhưng đôi lúc là một công

việc khó khăn, trích từ các trang 56 – 59:

“Bước 1: Khi đã hiểu rõ bài toán rồi thì trước hết bạn hãy đưa nó về việc tìm những lượng

chưa biết nào đó… Ta phải phân biệt thật rõ:

- đối tượng phải tìm thuộc loại nào (ẩn hay các ẩn là gì)

- cái gì đã cho hoặc đã biết (các dữ kiện là gì)

- các ẩn và các dữ kiện liên quan với nhau như thế nào, bằng những quan hệ nào (điều kiện là

gì)

Bước 2: Giả thiết rằng bài toán đã giải xong, hãy nghiên cứu nó một cách tự nhiên nhất và

theo một trình tự thích ứng, hãy cố hình dung thật cụ thể mọi quan hệ, mà theo đó điều kiện

c ần phải có giữa các ẩn và các dữ kiện

Bước 3: Hãy tách ra một phần điều kiện cho phép biểu diễn cùng một lượng bằng hai

phương pháp khác nhau để được một PT ràng buộc các ẩn số Rút cuộc lại có bao nhiêu ẩn

s ố, bạn phải chia điều kiện ấy thành bấy nhiêu phần để bằng cách ấy đi đến bấy nhiêu PT

Bước 4: hãy đưa hệ thống PT về một PT duy nhất”

Dừng ở bước 3, [8] có đoạn “mục đích đặt ra khá là rõ ràng: ta cần có được

m ột hệ thống gồm n phương trình với n ẩn số…sau khi tính các ẩn số đó, ta phải được lời giải của bài toán” (tr.57)

Đến đây, khi n ≥ 2, ta thấy được các bước giải một bài toán bằng cách đưa về

1 HPT và ta có thể xem GTHPT gồm ba bước 1, 2, 3 ở trên

Để lập được PT, [8] nhấn mạnh “ muốn được một phương trình, cần biểu diễn

cùng 1 lượng bằng hai phương pháp khác nhau” Điều này cũng được ghi nhận ở

[1] Qua hai tài liệu trên, mấu chốt của GTHPT là việc lập phương trình Vậy để làm được điều này cần được trang bị những gì? Ta có thể thấy những hướng dẫn rõ ràng từ 4 bước trên Đồng thời, chúng tôi ghi nhận thêm những hướng dẫn cho việc

“phiên dịch” như sau:

1.1.3 Ch ỉ dẫn cho việc lập các phương trình trong [18] và [22]

Trước hết, chúng tôi đưa ra giải thích cho từ ““phiên dịch”” xuất hiện trong

[1] và [8] Theo [22], “l ập phương trình giống như “phiên dịch” (translate) từ một ngôn ng ữ này sang một ngôn ngữ khác Sự so sánh này, được dùng bởi Newton trong Arithmetica Universalis, cho phép làm rõ nh ững khó khăn mà GV và HS gặp

ph ải”3

(tr 174, dòng 1 – 4)

Như vậy, việc lập PT chính là việc “phiên dịch” và [22] đã “định nghĩa” việc

lập PT như sau: “lập PT tức là diễn tả bằng các kí hiệu toán học một điều kiện được

cho b ằng lời; đó là “phiên dịch” từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ của các công th ức toán học” (tr 174, dòng 6 – 10)4

Với “định nghĩa” này thì muốn tạo thuận lợi cho việc lập PT ta phải cho HS có

cơ hội thực hành việc “diễn tả bằng các kí hiệu toán học một điều kiện được cho

bằng lời” G Polya đã so sánh những khó khăn khi lập PT giống như khó khăn khi

dịch từ tiếng Anh sang tiếng Pháp mà gặp nhiều thành ngữ Ngoài việc cố gắng hiểu

hết những điều kiện bài toán đặt ra, còn phải biết “tách điều kiện ra thành những

ph ần khác nhau và tự hỏi: liệu có thể viết chúng ra không?”

Ở đây ta gặp lại ý của cụm từ ““phiên dịch” mỗi phần theo ngôn ngữ đại

s ố” mà chúng tôi đã ghi chú ở trên Một lần nữa cho thấy, biết viết các biểu thức đại

số là một việc phải được làm trước khi tiến hành lập các phương trình Từ đây, một

vấn đề đặt ra: Trong thể chế dạy học, biểu thức đại số có được giảng dạy và học sinh có được yêu cầu thực hành về chúng trước khi học giải toán bằng cách lập

h ệ phương trình? Những bài tập về viết biểu thức đại số có đủ để tạo thuận lợi cho vi ệc “phiên dịch” sau này hay không?

3 “Setting up equations is like translation from one language into another This comparison, used by Newton in his Arithmetica Universalis, may help to clarify the nature of certain difficulties often felt both by students and by teachers” (p.174)

4 “To set up equations means to express in mathematical symbols a condition that is stated in words” (p 174)

Để hướng dẫn cho việc “phiên dịch”, [22] trình bày các ví dụ với các phân tích chi tiết Một kĩ thuật hỗ trợ được đưa ra, đó là chia trang giấy làm 2 bên Một bên trình bày những phần điều kiện được cho bằng lời, một bên diễn đạt lại các phần điều kiện đó bằng ngôn ngữ đại số Chẳng hạn, ví dụ trang 175:

Ngoài kĩ thuật chia cột trong [22], chúng tôi còn ghi nhận thêm những hướng

dẫn cho việc lập phương trình trong [18] Trong mục IV-18, trang 371, từ ngôn ngữ

đời thường đến ngôn ngữ toán học, những vấn đề liên quan đến việc ““phiên dịch””

được trình bày như sau: “Đến những năm cuối cấp phổ thông cơ sở , chúng ta bắt

đầu tiếp xúc với PT Lập được PT là một việc cũng đau đầu nhức óc lắm, nhiều em thường vò đầu bứt tai khi lập PT Kì thực, chỉ cần nắm vững những vấn đề then

ch ốt là không còn cảm thấy khó khăn nữa Đúng như Newton đã nói, vấn đề mấu

ch ốt là làm sao từ ngôn ngữ đời thường dịch sang ngôn ngữ đại số.” Những vấn

đề then chốt cần nắm vững ở đây là:

B ảng 1 2 – Những vấn đề then chốt cần nắm vững khi lập phương trình

Phương pháp những quan hệ số lượng cơ bản tốc độ * thời gian = quãng đường

đơn giá * số lượng = tổng số tiền

hi ệu suất công việc * thời gian công việc = khối lượng công việc…

Phương pháp công thức cơ bản: các công thức về hình học là những loại quan

h ệ có số lượng bằng nhau: công thức tính chu

Phương pháp từ ngữ then chốt: các từ như “nhiều bao nhiêu”, “ít bao nhiêu”,

“g ấp(ít) mấy lần, bao nhiêu”…là các từ ngữ then chốt

Phương pháp không đổi: Có những đề toán, dù nhiều tình tiết biến đổi

nhưng chung quy vẫn có một đại lượng không biến đổi

Qua bảng trên ta thấy rằng việc nắm vững các kiến thức đã học và có khả năng suy

luận là điều kiện để một học sinh biết cách lập các PT Vì vậy, đòi hỏi thể chế phải

có những bước chuẩn bị hợp lí để tạo điều kiện thuận lợi cũng như giảm bớt khó khăn khi lập các PT

Tóm l ại, GTHPT có thể được hiểu như sau:

1 Là một quy trình gồm các bước: lập phương trình (chọn ẩn, biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho); giải hệ phương trình, chọn nghiệm và trả lời

2 Là một phương pháp giải toán đánh dấu bước chuyển từ số học sang đại số

3 Để thực hành giải toán bằng GTHPT cần nắm vững các vấn đề mấu chốt (quan

hệ số lượng cơ bản, công thức cơ bản, …) và biết viết các biểu thức đại số chuyển từ ngôn ngữ đời thường sang ngôn ngữ đại số

4 Để lập được một PT cần biểu diễn cùng 1 lượng bằng hai phương pháp khác nhau

1.2 S ự giao nhau giữa “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” và

“gi ải toán bằng cách lập phương trình”

Ở kết quả phân tích trên ta thấy cả [1] và [8] đều không phân biệt giữa GTHPT và GTPT về mặt quy trình Ý tưởng thực hiện là như nhau, khác nhau ở “số

ẩn được gọi và số phương trình được lập” Sự giao nhau giữa 2 phương pháp giải toán thể hiện qua các ý sau:

1 Quy trình thực hiện GTHPT và GTPT đều suy ra từ 1 quy trình chung:

Trong [1] là quy trình:

Ch ọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn số (nếu có)

Bi ểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho

Các bài toán được đưa ra trong [1] không có sự phân chia kiểu bài toán nào

giải bằng GTHPT và bài toán nào giải bằng GTPT mà chỉ đề nghị giải bằng quy trình chung trên Nhiều bài toán đều có thể giải đồng thời bằng GTHPT và GTPT,

chẳng hạn bài toán cổ mở đầu hoặc Ví dụ 6, trang 118:

Tìm hai s ố biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157

[1] đề nghị 2 cách “phiên dịch” đối với bài toán này, có thể đưa về HPT hoặc

3 Học sinh được học về PT trước HPT Các bài toán giải bằng cách lập PT được

giảng dạy trước Khi đó, với 1 bài toán đồng thời có thể lập PT và HPT để giải thì rõ ràng GTPT được ưu tiên hơn

Sự giao nhau giữa GTHPT và HPT sẽ được chúng tôi làm rõ hơn qua các

phần sau Sau đây, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu các bài toán được [1] và [8] đề nghị giải bằng GTHPT hoặc GTPT, từ đó rút ra những điểm đặc trưng của các bài toán được giải bằng GTHPT, đồng thời rút ra những kết luận về tương giao giữa GTHPT và GTPT

1.3 Các bài toán được giải bằng cách lập hệ phương trình

1.3.1 Các bài toán trong [1]

Trong mục II “CÁC BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI” của Chương 6, [1] phân loại các bài toán “được giải bằng cách lập PT, HPT” thành 2 dạng: TOÁN

BẬC NHẤT và TOÁN BẬC HAI Bậc của bài toán là bậc của PT, HPT thu được sau khi “phiên dịch”, điều này được hiểu thông qua các ví dụ chứ không có “định nghĩa” rõ ràng

Chúng tôi sẽ tóm tắt các dạng toán được [1] phân chia, kèm theo các ví dụ điển hình qua bảng sau:

B ảng 1.3 – Phân loại các bài toán được giải bằng cách lập HPT, PT

Toán tìm s ố

Hai s ố kém nhau 12 đơn vị nếu chia s ố nhỏ cho 7 và chia số lớn cho 5 thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ hai 4 đơn vị Tìm hai số đó (HPT) 5

Toán năng suất (toán

g ấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần

vi ệc còn lại trong 3 ngày rưỡi Hỏi

n ếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công vi ệc trên (với năng suất bình thường) (HPT)

Dân s ố của thành phố Hà Nội sau hai năm tăng từ 2.000.000 lên 2.048.288 người Tính xem hàng năm trung bình dân s ố tăng bao nhiêu phần trăm? (PT)

Toán hình học

Cho m ột tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và

3 cm thì di ện tích tam giác tăng thêm

50 cm2 N ếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì di ện tích tam giác sẽ giảm đi 32

cm2 Tính hai c ạnh góc vuông của tam giác (HPT)

C ạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m Hai

c ạnh góc vuông hơn kém nhau

2 m Tìm các c ạnh góc vuông (PT)

Toán chuy ển động

M ột ô tô dự định đi quãng đường AB dài 60 km tron một thời gian nh ất định Trên nửa quãng đường đầu, do đường xấu nên thực tế ô tô chỉ

đi với vận tốc ít hơn dự định 6 km Để đến B đúng dự định, ô tô phải đi quãng đường còn lại mỗi giờ dự định hơn 10 km Tìm thời gian dự định để

ô tô đi hết quãng đường (PT)

M ột ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về

36 km Bi ết thời gian xuôi dòng nhi ều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng là 6 km/h Hỏi vận tốc ca

nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng? (PT)

Toán các lo ại khác

Cho m ột lượng dung dịch chứa

10 % mu ối Nếu pha thêm 200 gam nước thì được một dung dịch 6% Hỏi

có bao nhiêu gam dung d ịch đã cho

(PT)

Người ta hòa lẫn 8 gam

ch ất lỏng này với 6 gam chất lòng khác có khối lượng riêng

nh ỏ hơn nó 200 kg/m 3 để được hỗn hợp có khối lượng riêng là

700 kg/m3 Tìm kh ối lượng

riêng m ỗi chất lỏng (PT)

Theo [1] các bài toán được giải bằng cách lập PT, HPT gồm 5 loại Căn cứ theo tên mỗi loại ta thấy nội dung của chúng liên quan đến nội tại toán học và các lĩnh vực khác như vật lí, hóa học, đời sống sinh hoạt của con người GTHPT và GTPT có thể dùng để giải các bài toán bậc 1 hoặc bậc 2 Chúng tôi sẽ bàn sâu hơn

về mỗi loại toán

 Đối với toán tìm số:

- H ầu hết các bài toán đều yêu cầu tìm các số tự nhiên

- Các d ạng thường gặp: tìm 2 chữ số của một số có hai chữ số, tìm 2 số với dữ

ki ện đủ để lập HPT hoặc PT Ta xét thêm ví dụ sau:

Bài t ập 2/122 6

: T ổng của hai số bằng 136 Nếu lấy số nhỏ chia cho 4 và số

l ớn chia cho 6 thì tổng của hai thương là 28 Tìm hai số đó

Đối với toán tìm số, các phép toán trên tập các số tự nhiên là cơ sở để tạo đề toán Nên GTHPT có cơ hội được thực hành với 1 lớp vô hạn các bài toán này

Nếu tuân theo “bài toán yêu cầu tìm các cái gì thì ta đặt các cái đó là các ẩn” như hướng dẫn trong nghệ thuật đặt ẩn số thì bài toán 2/122 trên có thể giải bằng cách lập HPT Tuy vậy, ta cũng có thể lập PT để giải khi gọi số thứ nhất là x thì số

thứ 2 là 136 - x, mà điều này là dễ thực hiện vì mối liên hệ giữa 2 số phải tìm trong trường hợp này là “dễ dàng thấy được”

Tương tự, Ví dụ 6/1187: với dữ kiện “tổng hai số bằng 17” thì mối liên hệ giữa hai đại lượng cần tìm là khá rõ ràng, như vậy ta cũng có thể lập PT để giải toán Tuy nhiên, [1] đưa ra hướng dẫn ở một khía cạnh khác:

6 Kí hi ệu 2/122 là bài tập hay ví dụ 2 nằm ở trang 122, kí hiệu này thống nhất trong luận văn

7 Xem cu ối mục 1.2

“nếu ta đặt ẩn với cả 2 số là x, y thì ta có ngay HPT bậc hai 2 2 157

của học sinh

- Nếu lập HPT mà hệ có bậc 2 thì nên tránh vì lớp 9 chưa học HPT bậc hai Như

vậy, đối với toán bậc 2 thì GTHPT bị hạn chế ở THCS

Từ phân tích trên, ta thấy rằng khi bài toán yêu cầu tìm hai đại lượng thì GTHPT sẽ có cơ hội được chọn tuy nhiên khi hệ thu được có bậc hai gây khó khăn cho học sinh, khi đó GTPT sẽ phát huy vai trò Cả hai có cơ hội ngang nhau khi có

thể “dễ dàng” tính đại lượng thứ hai từ đại lượng thứ nhất và hệ thu được không có

bậc hai

 Đối với toán năng suất

Bài toán phổ biến là bài toán làm chung – làm riêng và bài toán vòi nước:

Ví d ụ 2/114 - được nêu ở bảng 1.3 trên ở cột toán bậc 1

Bài tập 8/123: Hai vòi nước cùng chảy thì sau 5 giờ 50 phút sẽ đầy bể Nếu để

c ả hai vòi cùng chảy trong 5 giờ rồi khóa vòi thứ nhất lại thì vòi thứ hai chảy thêm hai gi ờ nữa mới đầy bể Tính xem mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu sẽ đầy bể?”

Với dạng toán này, các quan hệ cơ bản “năng suất * thời gian = khối lượng công việc”, “tổng năng suất thành phần = năng suất tổng” làm nền tảng cho việc suy

luận, lập PT

Các bài toán dạng năng suất thường yêu cầu tìm hai đại lượng nhưng mối liên

hệ giữa chúng ít khi là “dễ dàng thấy được” Vì vậy, chiến lược HPT được ưu tiên Đối với ví dụ 2/114, hệ thu được sau khi đặt ẩn x, y là số ngày đội 1, đội 2 làm

Đa số các bài toán năng suất đều đưa được về hệ tuyến tính với 2 ẩn là 2 năng

suất của mỗi đội

 Đối với toán hình học

Các công thức cơ bản: diện tích, chu vi tam giác, hình chữ nhật, … và định lí Pitago là cơ sở để giải toán Đa số các bài toán yêu cầu tìm hai kích thước của các hình đặc biệt như tam giác vuông, hình chữ nhật, …

Với các bài toán hình học trong [1], nếu gọi ẩn là đại lượng cần tìm thứ nhất thì với các công thức cơ bản như chu vi, diện tích thì đại lượng thứ hai cũng có thể tính theo ẩn một cách thuận lợi Vì thế GTHPT và GTPT có cơ hội thực hành ngang nhau đối với các bài toán này

 Đối với dạng toán chuyển động

Đây là dạng toán có số lượng nhiều so với các dạng khác (có 8/25 bài toán

dạng này) Ba đại lượng vận tốc, quãng đường, thời gian cộng với thực tế chuyển

động của các đối tượng thường gặp như người, xe, thuyền, … làm phong phú các bài toán được giải bằng GTHPT

Trong 2 ví dụ và 8 bài tập, chỉ có 3 bài toán yêu cầu tìm hai đại lượng Mối liên hệ giữa hai đại lượng này không được chỉ ra một cách rõ ràng nên GTHPT có

ưu thế, cụ thể:

Bài tập 15/124: Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và

đoạn xuống dốc CB Thời gian đi từ A đến B là 4 giờ 20 phút, thời gian từ B về A là

4 gi ờ Biết vận tốc lên dốc (lúc đi cũng như lúc về) là 10 km/h; vận tốc xuống dốc (lúc đi cũng như lúc về) là 15 km/h Tính quãng đường AC, BC

Rõ ràng ở bước chọn ẩn số, không dễ dàng để chỉ ra mối liên hệ giữa AC và

AB Do đó, “chiến lược mong đợi” ở đây là lập HPT để giải

Gọi x = AC, y = AB HPT sau khi “phiên dịch” là

1 4

 Đối với các dạng toán khác

Trong các bài toán dạng này, [1] chỉ đưa ra 3 bài toán có yêu cầu tìm 2 đại lượng và có 2 bài toán mà mối liên hệ giữa hai đại lượng không được chỉ rõ Những

vấn đề được đề cập cũng không phong phú (2 ví dụ và bài toán về hỗn hợp 2 chất, 2 bài toán về sách)

Sau khi đưa ra các ví dụ và lời giải thì [1] hướng dẫn sinh viên cách ra thêm các đề toán mới Tuy nhiên, sau trình bày lí thuyết, những hướng dẫn phục vụ cho

việc lập phương trình đi kèm với các ví dụ không được trình bày nhiều, chỉ có việc phân chia trang giấy thành 2 phần để việc “phiên dịch” được dễ dàng, điều này ta

thấy ở [22] Bước chọn đáp án cũng chỉ được trình bày ngắn gọn, theo kiểu đáp án

là nghiệm thu được từ PT, HPT thỏa mãn điều kiện đặt ra ban đầu mà không kiểm tra lại từ đề toán, liệu đáp án có phù hợp đề toán không Cụ thể, chỉ ví dụ (b) là có

phần kết luận “giải hệ này ta được x = 26 và y = 8, thỏa mãn x > 0; y > 0 Vậy hai

cạnh là 26 cm và 8 cm”

1.3.2 Các bài toán trong [8]

Các bài toán được giải theo quy trình 4 bước theo ý tưởng của Đề-các được [8] trình bày thành các phần sau:

 Những bài toán trong nhà trường

Gồm 4 ví dụ nhưng chỉ Ví dụ 3 được [8] giải bằng GTHPT:

“M ột người bán hai loại lạc Một loại giá 90 xu một kg Loại kia giá 60 xu

m ột kg Người đó muốn có 50 kg lạc hỗn hợp giá 72 xu một kg Hỏi phải trộn mỗi

lo ại lạc bao nhiêu kg?”

Hệ thu được sau khi “phiên dịch” là 50

lượt là trọng lượng mỗi loại lạc

Với mỗi PT, [8] đều có dẫn dắt rõ ràng, ví dụ “ta viết giá tiền hỗn hợp bằng hai cách: 90x + 60y = 72.50” Điều này là một điểm khác so với [1] Viết theo hai cách, nghĩa là phải biết viết:

- Giá ti ền của hỗn hợp là 90x + 60y (*)

- Vì h ỗn hợp có 50 kg, giá mỗi kg là 72 xu nên giá tiền của hỗn hợp là 72.50

(*) chính là biểu thức đại số bắt buộc phải biết viết

Một điều đặc biệt so với [1] là [8] đưa ra các ví dụ giống như dạng toán năng

suất nhưng lại có yêu cầu ngược lại và tiến hành giải bài toán bằng cách lập PT năng suất tổng:

Ví dụ 1/60: “Một vòi nước chảy đầy bể trong 15 phút, một vòi khác chảy đầy

b ể trong 20 phút và vòi thứ ba chảy đầy bể trong 30 phút Nếu cả ba vòi cùng chảy thì trong bao lâu s ẽ đầy bể nước?”

Ví dụ 2/61: “Tôm có thể hoàn thành một công việc trong 3 giờ, còn Đích

trong 4 gi ờ và Gary trong 6 giờ Nếu cùng làm thì họ có thể hoàn thành công việc trong bao lâu?”

 Các thí dụ hình học

Ví dụ 1/65 được [8] xem là giải bằng GTHPT, thực ra đây là một bài toán hình

học phẳng được giải bằng cách lập hệ trục tọa độ Oxy:

“Đoạn thẳng AB và hai cung tròn AC và BC tạo thành một tam giác cong Tâm c ủa một đường tròn tại điểm A, tâm của đường tròn kia tại điểm B và mỗi đường tròn đó đi qua tâm của đường tròn kia Hãy nội tiếp trong tam giác cong đó

m ột đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác đó.” (tr 66)

Với cách chọn A là gốc hệ trục tọa độ, Ox là trục AB, Oy vuông góc AB Đoạn AB có độ dài a Gọi I(x, y) là tọa độ tâm đường tròn cần dựng (x, y) là

nghiệm hệ phương trình

2

a x

y= −a x +y có được là nhờ bán kính đường tròn được thể

hiện bằng hai cách khác nhau (Nếu kéo dài IA cắt cung BC tại điểm tiếp xúc D thì

ta có AD = a và do đó, R = AD – IA, IA được tính bằng định lí Pitago có 2 cạnh góc vuông là x, y Với cách chọn hệ trục trên thì y > 0 và R = y do đường tròn cần

dựng tiếp xúc Ox)

Ví dụ này cho thấy sự phong phú của các bài toán được giải bằng GTHPT, không chỉ gồm các dạng như [1] trình bày và không phải lúc nào cũng yêu cầu tìm hai đại lượng

 Thí dụ trong vật lí

[8] bắt đầu bằng ví dụ:

“M ột quả cầu sắt thả nổi trên mặt thủy ngân đựng trong một cái chậu Nước được đổ từ trên xuống và dần dần phủ kín quả cầu Quả cầu sẽ chìm xuống, nổi lên hay v ẫn ở độ sâu ban đầu?” (tr 72)

Rõ ràng đề bài không có gợi ý gì cho phép nghĩ đến việc lập HPT Có vẻ chỉ

có người am hiểu vật lí mới giải được Để “phiên dịch” bài toán này, [8] đã trình bày những kiến thức vật lí liên quan và phân tích định tính một cách kĩ lưỡng, sau

đó là lời giải bằng GTHPT, chính là phân tích định lượng của bài toán:

“Gi ả sử v là thể tích (cho trước) của quả cầu Gọi x là phần thể tích của quả

c ầu nằm trên mức phân cách 2 chất lỏng, y là phần thể tích của quả cầu nằm dưới

m ức phân cách của hai chất lỏng Ta có thể tích quả cầu được biểu diễn bằng 2 cách: x + y = v Theo định luật Ác-si-mét ta có tổng các lực được biểu diễn bằng 2 cách: ax + by = cv; v ới a, b, c lần lượt là tỉ trọng của chất lỏng nằm trên, thủy ngân

và s ắt b = 13,60; c = 7,84 Khi chưa đổ nước vào chậu, chất lỏng ở trên chính là không khí, t ức a = 0 Giải hệ, ta có x = 0,423v Khi đổ nước vào chậu, nước có tỉ

tr ọng a = 1, nghiệm thu được x = 0, 457v Ta có 0,423v < 0,457v Vậy sau khi đổ nước vào chậu thì quả cầu nổi lên so với mức ban đầu (trích trang 73 – 75)”

Việc giải bài toán thực tế trên không chỉ đơn giản là chọn ẩn, lập HPT mà xa hơn là khả năng mô hình hóa toán học 1 tình huống thực tế Như vậy, một vấn đề

mới xuất hiện đó là: GTHPT có thể đem đến thuận lợi gì cho “dạy học bằng mô hình hóa và b ằng mô hình hóa” không?

Theo [12], trang 171: “M ột cách tổng quát hơn, việc tăng cường các bài toán

th ực tiễn trong dạy học toán còn ngầm nhắm tới một mục tiêu xa hơn, quan trọng hơn và mấu chốt hơn của dạy học toán, đó là dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa” Theo đó, [12] lấy 1 ví dụ về dạy học mô hình hóa liên quan đến HPT bậc nhất,

hai ẩn số: định nghĩa HPT bậc nhất, hai ẩn số trình bày cách gi ải HPT này

gi ải các bài toán luyện tập trong đó có các bài toán thực tiễn Như vậy, theo

những phân tích đã có, GTHPT ngầm chứa việc dạy học mô hình hóa Đồng thời,

theo [23], trang 66: “s ự có mặt của bài toán được cho bằng lời thể hiện mong muốn

cho h ọc sinh bắt đầu những thực hành thực sự về mô hình hóa đại số” Từ đây ta

thấy, qua GTHPT ta có cơ hội để hướng đến vấn đề mô hình hóa toán học

Câu hỏi đặt ra: Trong thể chế, gắn với GTHPT vấn đề mô hình hóa 8

có được đặt ra và ở mức độ nào?

 Thí dụ về “một bài toán nát óc”9

Các ví dụ về hình học và vật lí trên, kèm với bài toán “nát óc” này được [8] phân tích và đưa ra lời giải theo lược đồ Đề-các, nhằm mục đích nêu bật được vai trò quan trọng của cách giải “bằng đại số”

 Những “thí dụ rắc rối”

Ở các ví dụ này, ta thấy sự có mặt của một hướng dẫn trong [1], đó là

“…Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu PT Cũng có trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi…”(tr 112) Với [8] những ví dụ này giúp giải quyết các câu hỏi sau: Bài toán đặt

ra “có th ỏa mãn được điều kiện hay không? Ta có đủ điều kiện để tìm ẩn hay không? Hay là ta có quá ít điều kiện? Và cũng có thể, ngược lại, điều kiện có nhiều đến mức nẩy ra các vấn đề liệu chúng có thể được thỏa mãn cả hay không?”(tr 78)

Chẳng hạn, Ví dụ 1 trang 72:

“Có m ột người đi dạo chơi trong 5 giờ, lúc đầu người đó đi trên một con đường

b ằng phẳng, sau đó thì leo lên núi và cuối cùng thì theo lối cũ quay trở lại địa điểm

xu ất phát Tốc độ của người đi dạo chơi đó là 4 km một giờ trên quãng đường bằng

ph ẳng, 3 km một giờ khi leo lên núi và 6 km một giờ khi xuống núi Tìm đoạn đường

mà người đó đã đi qua.”

Theo [8], thoạt tiên bài toán “có lẽ còn thiếu dữ kiện” Tuy nhiên, với việc gọi

x là khoảng cách đã đi và về, thêm y là chiều dài đoạn đường dốc PT lập được

8 Xem thêm [12], trang 170

9 Xem thêm [8]

    triệt tiêu y, cho ra x = 20 [8] đưa ra nhận xét “việc giải

bài toán đòi hỏi chỉ cần đưa vào một ẩn số Rốt cuộc lại mới rõ rằng bài toán không ph ải là không xác định” Sau đó, [8] đưa ra lí do cho sự xác định của bài toán

bằng cách đổi số của bài toán sang chữ và kết quả: vì 4 là trung bình điều hòa của 3

và 6 nên y triệt tiêu được

Việc đưa vào những thí dụ rắc rối cho phép người đọc rút ra những nhận xét quan trọng khi thực hành GTHPT, việc chọn lựa ẩn, gọi thêm ẩn đôi khi là bước quyết định cho việc giải bài toán

 87 bài tập

Trong 87 bài tập này, có nhiều bài tập mang tính tổng quát, nhằm khái quát hóa những bài toán, ví dụ trước đó Còn lại, [8] chia các bài toán theo các nhóm như hình phẳng, hình học không gian, “linh tinh” (tìm cân nặng hàng hóa, cước phí máy bay, tiền tệ, thời gian hoàn thành công việc,…),… Đặc biệt, một lượng lớn bài toán

cổ lấy ra từ các cuốn sách của các nhà toán học lỗi lạc như Niu-tơn, Ơ-le… Chúng tôi ghi nhận có 14 bài toán được [8] hướng dẫn giải bằng GTHPT Chẳng hạn các ví

m ột giờ Phải tìm xem A phải đi bao nhiêu dặm để gặp được B (Niu-tơn) ( bài

66 tr 97) và bài 67 là khái quát của bài 66

[8] giải bài 67, bài 66:

“G ọi x, y là số dặm A và B phải đi để gặp nhau Giả sử a là vận tốc của A, b là

v ận tốc của B, c là khoảng cách thời gian giữa hai người xuất phát và d là khoảng cách gi ữa hai điểm xuất phát Ta có hai PT:

K ết luận: Một số nét đặc trưng của các bài toán được giải bằng GTHPT

- Phần lớn các bài toán yêu cầu tìm hai đại lượng và dữ kiện của bài toán cho phép tách thành 2 phần điều kiện cho phép lập hai phương trình Điều này phân biệt với các bài toán được giải bằng GTPT

- Một số bài toán không nêu tường minh đại lượng phải tìm, cần 1 sự phân tích

hợp lí mới đưa đến việc lập hệ phương trình để giải Khả năng mô hình hóa toán học được đòi hỏi ở các bài toán này

- Có 1 sự đa dạng về các bài toán thuộc 5 dạng, từ các bài toán cổ, các bài toán tìm số đến các bài toán hình học, vật lí khá khó Để “phiên dịch” được bài toán

Vì vậy, chúng tôi gọi GTHPT là một phương pháp giải toán gắn liền với thực

tiễn Thật vậy, mục sau sẽ giúp chúng tôi lí giải cho nhận định của mình

1.4 “Gi ải toán bằng cách lập hệ phương trình” – một phương pháp

gi ải toán gắn với các “vấn đề thực tiễn”

“Vấn đề thực tiễn” được chúng tôi đề cập ở đây một mặt là thực tiễn xung quanh đời sống của một học sinh THCS, nó có thể không là một vấn đề thực tiễn theo đúng nghĩa, nó có thể đơn giản hoặc được lọc bỏ bớt độ phức tạp sao cho một

học sinh THCS hiểu được Nhưng nó phản ánh mọi mặt của đời sống mà học sinh

gặp gỡ và hiểu biết Mặt khác, vấn đề thực tiễn còn là sự đòi hỏi vai trò của toán

học: Toán học có giúp giải quyết được các vấn đề của đời sống sinh hoạt, lao động

và học tập hay không

Quay lại [1], GTHPT là phương pháp để giải các bài toán thực tế:

“chương này ta đề cập đến một phương pháp chung nhằm giải các bài toán loại tìm tòi, được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường và nội dung của bài toán đề cập đến những vấn đề xung quanh đời sống sinh hoạt, lao động và học tập mà ta gọi các bài toán đó là bài toán thực

t ế Phương pháp chung nhằm giải các bài toán đó là phương pháp giải toán bằng cách lập PT, HPT…”

Nhằm thuận lợi cho việc tham khảo và xét thấy sự đồng nhất về nghĩa trong

bối cảnh sử dụng, chúng tôi sẽ không phân biệt bài toán thực tế và bài toán thực

ti ễn Nhưng, liệu gọi bài toán thực tiễn có đúng với ý nghĩa của nó? Theo Lê Văn

Tiến (2005):

“Bài toán th ực tiễn trong trường phổ thông là một thuật ngữ được dùng theo

nghĩa rộng và có tính tương đối, để chỉ cả bài toán thực tiễn (problème concret) và bài toán ph ỏng thực tiễn (problème pseudo-concret)…

Thu ật ngữ “thực tiễn” không chỉ bó hẹp trong thực tiễn cuộc sống(cuộc sống

đời thường, cuộc sống lao động sản xuất, cuộc sống chính trị xã hội…), mà bao hàm c ả thực tiễn trong các ngành khoa học khác( vật lí, hóa học, sinh học,…) và ngay c ả thực tiễn toán học.” (trích trang 166 – 169)

Như vậy, ở mức độ tư duy bậc THCS, những bài toán có yếu tố thực tiễn (dù ít ỏi) cũng có thể được gọi là bài toán thực tiễn và GTHPT là phương pháp giải các bài toán này

Trong “Hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THCS hiện nay” của GS Tôn Thân đăng trên các tạp chí giáo dục, chẳng hạn tạp chí có đường link sau, chúng tôi tìm thấy các định hướng: http://tusach.thuvienkhoahoc.com (ngày 28/3/2012)

- Trong ph ần “hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay”, mục 3/4: Rèn luy ện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn

- Trong ph ần “Do đặc trưng riêng của phân môn đại số, việc dạy học cần chú

tr ọng:”, điểm 6 trong mục 3: Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tế,

gi ải bài toán bằng cách lập PT, vẽ đồ thị…

Trong “D ạy học thông qua các hoạt động của học sinh” : “Giáo viên không cung c ấp, áp đặt kiến thức có sẵn mà hướng dẫn học sinh phát hiện và chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng thông qua các hoạt động, hình thành thói quen

v ận dụng kiến thức toán học vào học tập các môn học khác và vào thực tiễn”

Rõ ràng để đáp ứng được các tiêu chí này thì “giải toán bằng cách lập PT, HPT” cùng các bài toán đi kèm là một lựa chọn hợp lí

Nhưng liệu “kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tế” và từ đó là khả năng mô hình hóa có tồn tại ở học sinh sau khi thực hành GTHPT?

Quay lại [8], ta nhớ rằng phương pháp Đề-các là phương pháp để giải các bài

toán b ằng lời Để kết luận cho Chương 2 về PHƯƠNG PHÁP ĐỀ-CÁC, tác giả [8]

đã đưa ra câu hỏi “bài toán bằng lời cần để làm gì?” và trả lời như sau:

“…nhi ệm vụ thường xuyên và quan trọng nhất của việc giáo dục toán học ở trường trung học chính là dạy thiết lập các PT để giải các bài toán bằng lời…Khi giải các bài toán bằng lời

nh ờ các PT, học sinh phải “phiên dịch” một tình trạng hiện thực sang ngôn ngữ toán học và như thế khẳng định được trên kinh nghiệm rằng những khái niệm toán học có thể liên hệ với thực tế, mặc dù các mối liên hệ đó cần phải được nghiên cứu một cách tỉ mỉ Chính là ở đây

chương trình giảng dạy có thể có được kinh nghiệm quý giá nhất Đối với người học sinh không ph ải sử dụng toán học trong nghề nghiệp tương lai của mình thì vấn đề này chẳng giúp ích gì nhi ều nhưng các kĩ sư và những nhà bác học mà nghề nghiệp đòi hỏi áp dụng toán học, sẽ sử dụng toán học chủ yếu là để “phiên dịch” những bài toán thực tiễn sang ngôn

ngữ của những khái niệm toán học… người kĩ sư phải biết toán học đến mức biết đặt những bài toán của mình dưới dạng toán học Và như thế người kĩ sư tương lai, khi còn ngồi trên

gh ế nhà trường phải học thiết lập những PT cần thiết để giải “những bài toán bằng lời”, lần đầu tiên động chạm đến việc sử dụng toán học một cách cơ bản cần thiết cho nghề nghiệp và lần đầu tiên có dịp rèn luyện những thói quen quan trọng nhất đối với nghề nghiệp ”

Như vậy, với các bài toán được phân tích ở trên và những định hướng chúng tôi vừa trình bày, GTHPT có cơ hội để gắn toán học với thực tiễn và giúp học sinh

có cái nhìn đầu tiên về việc vận dụng toán học vào giải quyết các vấn đề của cuộc

sống, điều đó tạo điều kiện cho việc dạy học mô hình hóa

Tóm t ắt kết quả chương 1

 Giải toán bằng cách lập hệ phương trình là một phương pháp giải toán dành cho

học sinh THCS, kế thừa phương pháp toàn năng của Đề-các về ý tưởng giải 1 bài toán bất kì bằng 1 phương trình GTHPT và GTPT là một khi chúng cùng xuất phát từ quy trình chung và dùng để giải các bài toán bằng lời có nội dung liên quan đến thực tiễn Do đó, GTHPT là cơ hội để hướng đến việc dạy học mô hình hóa

 Với cách chọn 1 bài toán cổ quen thuộc với các cách giải số học, ưu thế của cách

giải đại số cho phép GTHPT đánh dấu bước chuyển trong giải toán từ số học sang đại số

 GTHPT là quy trình gồm các bước:

- Ch ọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có)

- Bi ểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho

- L ập các phương trình

- Gi ải hệ phương trình

- Ch ọn nghiệm thích hợp, trả lời

Để thực hiện được quy trình này, cần thiết phải nắm được các vấn đề mấu chốt như các quan hệ số lượng cơ bản, các công thức cơ bản, … hoặc kĩ thuật phân chia bảng thành hai cột Nhưng quan trọng hơn, phải biết viết các biểu thức đại

số để “biểu diễn một lượng bằng hai cách khác nhau, để có một PT”

Việc đặt điều kiện cho ẩn được [1] trình bày nhưng trong [8], từ phần lí thuyết đến phần bài tập chúng tôi không ghi nhận một lời giải nào có đặt điều kiện cho ẩn

số

Chương 1 cũng đưa chúng tôi đến các vấn đề cần nghiên cứu sau:

1 Trong thể chế dạy học, biểu thức đại số có được giảng dạy và học sinh có được

thực hành viết các biểu thức đại số trước khi học giải toán bằng cách lập hệ phương trình? Những bài tập về biểu thức đại số có đủ để tạo thuận lợi cho việc

“phiên dịch” sau này hay không?

2 Trong thể chế dạy học ở THCS, gắn với “giải toán bằng cách lập hệ phương trình”, vấn đề mô hình hóa toán học có được tính đến và ở mức độ nào?

3 “Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tế” có tồn tại ở học sinh sau khi học

giải toán bằng cách lập hệ phương trình ?

Để tìm hiểu về mối quan hệ của GTHPT trong thể chế và trả lời cho các câu

hỏi trên chúng tôi tiến hành phân tích thể chế ở Chương 2

Vì [8] là một tài liệu nước ngoài mà GTHPT có mặt trong đó nên chúng tôi

muốn tìm xem GTHPT có mặt trong thể chế dạy học các nước khác hay không, nó được trình bày thế nào, giống và khác nhau như thế nào so với thể chế Việt Nam Chúng tôi chọn thể chế dạy học Pháp vì tác giả luận văn từng giảng dạy trong chương trình song ngữ Pháp Việt Bộ sách Triangle là bộ sách được giảng dạy cho

học sinh song ngữ Việt Nam mà sự chọn lựa nó có lẽ đã được tính trước bởi các nhà

sư phạm Do đó, lựa chọn bộ sách này theo chúng tôi là hợp lí

CHƯƠNG 2 “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” TRONG TH Ể CHẾ DẠY HỌC

M ục đích của chương

Nghiên cứu thể chế ở chương này là nhằm trả lời cho 2 câu hỏi:

Q2: “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” được trình bày như thế nào trong thể chế dạy học? Nó có được thể chế ưu tiên không? Có tồn tại ở thể chế dạy

học các nước khác không? Có sự giống nhau hay khác nhau nào so với thể chế Việt Nam?

Q3: Tồn tại những quy tắc nào của hợp đồng didactic trong việc dạy học nội dung này?

Đồng thời trả lời cho 3 câu hỏi đặt ra ở cuối Chương 1

Trước khi làm rõ mối quan hệ của GTHPT với thể chế dạy học Việt Nam, chúng tôi chọn phân tích GTHPT trong thể chế dạy học Pháp, thông qua bộ sách Triangle Việc phân tích 1 thể chế dạy học khác trước tạo một cái nhìn ban đầu về GTHPT, làm cơ sở để so sánh và rút ra những nét đặc trưng của mối quan hệ với thể

sự tồn tại của phương pháp GTHPT trong thể chế dạy học Pháp, chúng tôi đã tham

khảo chương 8 “systèmes de deux équations à deux inconnues” (hệ hai PT hai ẩn)

Mục tiêu thứ 5/5 cần đạt của bài học này là “savoir mettre en équation et résoudre

des problèmes conduisant à des systèmes de deux équations du premier degré” (biết cách lập PT và giải các bài toán bằng cách đưa về hệ hai PT bậc nhất) [18, tr.83]

Như vậy phương pháp GTHPT tồn tại gắn với kiến thức về HPT bậc nhất hai

ẩn Ta ghi chú một chút về bố cục của 1 chương trong [17]:

1 Phát hiện chướng ngại vật (repérer les obstacles)

2 Vượt chướng ngại (franchir les obstacles)

3 Kiến thức (connaissances)

4 Phương pháp (méthodes)

5 Bài tập cơ bản (exercices fondamentaux)

6 Bài tập nâng cao (exercices complémentaires)

7 Bài tập khó (devenir un champion)

Và hướng dẫn dành cho 1 chương của [17] trong [18]:

là không có phần gồm những bài tập nhỏ nhằm xác định kiến thức hiện có và những

khó khăn của học sinh (des exercices que votre professeur vous proposera pour repérer vos connaisances et vos difficultés) Phải chăng thể chế xem như những kiến

thức sắp học không quá mới mẻ và khó khăn đối với học sinh, học sinh có thể tiếp thu được kiến thức mới mà không cần một kiểm tra hay chuẩn bị nào trước

Hơn nữa, trong [18], cũng chỉ riêng Chương 8 không có phần “kiến thức cũ

cần đạt” thay vào đó là phần “ghi chú” (commentaires), phần này nói rõ rằng để

hiểu Chương 8 này thì có thể áp dụng tất cả các hoạt động đã thực hành trong