nghiên cứu didactic sự nối khớp giữa máy tính bỏ túi và xấp xỉ thập phân trong phép tính số, trường hợp giải tam giác

Sự nối khớp nói đến theo nghĩa rằng những tính toán gần đúng với máy tính bỏ túi cho các kết quả xấp xỉ thập phân phải chịu sự kiểm soát của các tri thức toán học về độ chính xác của phé

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG HỢP GIẢI TAM GIÁC

Mã s ố : 60 14 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI B ẢO THIÊN TRUNG

ố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Tôi muốn dành những lời cảm ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung vì sự

tận tình chỉ bảo, hướng dẫn về mặt nghiên cứu cũng như những lời động viên chân tình về mặt tinh thần để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã giảng dạy tôi trong suốt khoá học Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Claude Comiti, PGS Annie Bessot, TS Alain Birebent về những chỉ dẫn và gợi mở giúp tôi hoàn thiện luận văn

Tôi xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các bạn học cùng khoá, các đồng nghiệp

và học trò trường THCS-THPT Đinh Thiện Lý

Tôi xin dành những dòng cuối cùng để cảm ơn sự động viên, chia sẻ và tạo những điều kiện tốt nhất của gia đình, đặc biệt là chồng tôi, giúp tôi tự tin trong công việc,

học tập và nghiên cứu trong suốt 3 năm học cao học

Trân trọng Nguyễn Thị Bích Hoa

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 3

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1 SỐ GẦN ĐÚNG TRONG CÁC GIÁO TRÌNH TOÁN Ở BẬC ĐẠI HỌC VIỆT NAM 9

1.1 Phân loại sai số (dựa vào nguyên nhân) 10

1.2 Sai số tuyệt đối Sai số tương đối .12

1.3 Chữ số có nghĩa Chữ số chắc chắn (chữ số đáng tin) .15

1.4 Cách viết số xấp xỉ (số gần đúng) 16

1.5 Quy tắc làm tròn số và độ chính xác của nó 17

1.6 Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số 18

1.7 Vai trò của MTBT trong việc tính toán với các số gần đúng 22

1.8 Tổ chức toán học 22

1.9 Kết luận 26

CHƯƠNG 2 SỐ GẦN ĐÚNG TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC PHỔ THÔNG VIỆT NAM 28

2.1 Những tri thức về số gần đúng trong CT 29

2.2 Những tri thức về số gần đúng trong SGK hiện hành 30

2.3 Tri thức xấp xỉ thập phân phép tính số trong bài toán “giải tam giác” 46

2.4 Kết luận 54

CHƯƠNG 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 57

3.1 Thực nghiệm 1 57

3.2 Thực nghiệm 2 76

KẾT LUẬN CHUNG 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93

PHỤ LỤC 97

S10.NC Đại số 10 (Nâng cao)

G.S10.NC Đại số 10 (Nâng cao) (Sách giáo viên)

B.S10.NC Đại số 10 (Nâng cao) (Sách bài tập)

H10.CB Hình học 10

G.H10.CB Hình học 10 (Sách giáo viên)

B.H10.CB Hình học 10 (Sách bài tập)

H10.NC Hình học 10 (Nâng cao)

G.H10.NC Hình học 10 (Nâng cao) (Sách giáo viên)

B.H10.NC Hình học 10 (Nâng cao) (Sách bài tập)

MỞ ĐẦU

Tham khảo việc tính cạnh c và góc A của ví dụ 1: “Solve ΔABC given that a=11, b=5, and C=200” trong quyển Precaculus của nhóm tác giả Demana, Waits, Foley, Kennedy ở trang 488:

(ví d ụ 6) và một lời giải sử dụng chức năng của phím nhớ

để lưu trữ và truy xuất kết quả tính toán2

(ví d ụ 1) để tính cạnh c, góc A Mặt

1 Sử dụng số gần đúng 1369,58 khi tính c, tính cosA Sử dụng số gần đúng 37 khi tính cosA Sử dụng số gần đúng -0,1913 để tính góc A

2 S ử dụng phím ANS để gọi kết quả tính c 2 khi tính c, không s ử dụng kết quả gần đúng c≈6,5 khi tính A mà

s ử dụng số 6,529… (kết quả của việc tính c = 42, 6338 ) Có th ể xem thêm ví dụ 4 trang 303 và phần minh

khác, m ột điểm tương đồng là hai lời giải này đều không giải thích độ chính xác c ủa các kết quả tính toán gần đúng

Câu hỏi đặt ra là việc viết số và tính toán với các số gần đúng trong thể chế dạy học Toán Việt Nam dựa trên tri thức toán học nào?

Hiện tượng viết số gần đúng mà không chỉ rõ độ chính xác của số gần đúng và

hiện tượng sử dụng số gần đúng ở các bước tính toán trung gian để tính toán mà không chỉ ra sai số đang diễn ra phổ biến trong các bài làm của học sinh Việt Nam

Ví dụ như bài làm sau:

Câu hỏi đặt ra là: Có những ràng buộc nào đối với việc tính toán và viết số gần đúng đối với học sinh? Đặc biệt là trong phần “giải tam giác”?

Quan sát học sinh giải toán, chúng tôi thấy được vai trò không thể thiếu của MTBT trong việc tính toán với các số gần đúng Tuy nhiên, dường như các kiến

thức về số gần đúng không được học sinh sử dụng khi đọc các kết quả thập phân từ màn hình MTBT Ghi nhận này đồng quan điểm với một giả thuyết nghiên cứu của Birebent (2001) trong thể chế dạy học bậc trung học của Pháp Theo quan điểm này:

Thể chế dạy học Toán bậc trung học (Pháp) không đảm bảo đầy đủ cho sự nối khớp

h ọa dùng máy tính của Precalculus để thấy rõ hơn nhận định xác đáng của chúng tôi Thật vậy, trong ví dụ 4, khi tác gi ả ghi “log(34,5)=1,537…” sau đó ghi: “10 1,537…

=34,5” , nghĩa là tác giả sử dụng phím ANS để gọi

k ết quả log(34,5) trong tính toán 10 1,537… , ch ứ không phải đang sử dụng số gần đúng 1,537

giữa máy tính bỏ túi và xấp xỉ thập phân Sự nối khớp nói đến theo nghĩa rằng

những tính toán gần đúng với máy tính bỏ túi cho các kết quả xấp xỉ thập phân phải

chịu sự kiểm soát của các tri thức toán học về độ chính xác của phép tính gần đúng

Những câu hỏi và ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến ý định tiến hành một nghiên cứu

để làm rõ “Sự nối khớp giữa máy tính bỏ túi và xấp xỉ thập phân phép tính số” trong

thể chế dạy học Toán bậc trung học phổ thông Việt Nam hiện hành Trong khuôn

khổ của luận văn này, chúng tôi chỉ giới hạn tìm hiểu sự nối khớp trên trong trường

hợp “giải tam giác”

Mục đích của luận văn là tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên Để làm được điều đó chúng tôi sử dụng các công cụ sau: lí thuyết nhân chủng học (quan hệ thể

chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học), lý thuyết tình huống, hợp đồng didactic Chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1 Nh ững tri thức và tổ chức toán học nào liên quan đến xấp xỉ thập phân phép tính s ố được đề cập đến trong các giáo trình Toán ở bậc đại học? MTBT có vai trò

gì khi th ực hiện phép toán với các số gần đúng trong các giáo trình đó?

Q2 Nh ững tổ chức toán học nào liên quan đến xấp xỉ thập phân phép tính số xuất

hi ện trong thể chế dạy học Toán phổ thông Việt Nam hiện hành? Có những ràng

bu ộc nào trên các tổ chức toán học này?

Q3 Nh ững tính toán gần đúng với máy tính bỏ túi trong trường hợp “Giải tam giác” có ch ịu sự kiểm soát của các tri thức toán học về xấp xỉ thập phân phép tính

s ố không? Những hợp đồng nào chi phối khi tiến hành giải quyết các kiểu nhiệm vụ trong trường hợp “Giải tam giác”?

 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên chúng tôi xác định phương pháp nghiên

cứu theo sơ đồ sau:

Có thể diễn giải sơ đồ trên như sau:

• Đầu tiên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu khoa học luận tri thức về xấp xỉ thập phân các phép tính số, tuy nhiên, do không có điều kiện để thực hiện được nghiên cứu như vậy, do đó, chúng tôi cố gắng chỉ ra đặc trưng của các tri thức này trong một số giáo trình đại học và chỉ ra vai trò của MTBT trong việc tính toán với các số gần đúng ở bậc đại học

• Dựa trên kết quả đó, chúng tôi tiến hành phân tích những tri thức về xấp xỉ thập phân phép tính số được đưa vào chương trình, sách giáo khoa Toán phổ thông hiện hành, tìm hiểu vai trò của MTBT khi thực hiện phép tính với các số gần đúng và sự

vận hành của các tri thức về số gần đúng trong trường hợp “giải tam giác”, đồng

thời, làm rõ sự chi phối của các tri thức về số gần đúng đối với học sinh trong quá trình tính toán trên MTBT

• Những kết quả nghiên cứu trên cho phép chúng tôi đặt ra những giả thuyết nghiên cứu và những giả thuyết này sẽ được kiểm chứng tính thích đáng trong phần

thực nghiệm Thực nghiệm thứ nhất kiểm chứng quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức về số gần đúng Từ đó, xây dựng thực nghiệm thứ hai nhằm điều chỉnh quan

hệ cá nhân của học sinh với tri thức về số gần đúng và tạo ra sự nối khớp giữa xấp

xỉ thập phân phép tính số và máy tính bỏ túi trong bài toán “giải tam giác”

Luận văn gồm 5 phần: Mở đầu, 3 chương và Kết luận chung

Trong phần Mở đầu, chúng tôi trình bày ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát; lý thuyết tham chiếu; phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Chương 1 Số gần đúng trong các giáo trình Toán ở bậc đại học Việt Nam

Chương 2 Số gần đúng trong thể chế dạy học Toán ở bậc phổ thông Việt Nam hiện hành

Chương 3 Nghiên cứu thực nghiệm

Trong phần Kết luận chung, chúng tôi tóm tắt các kết quả ở chương 1, 2, 3 và nêu

một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn

Ngoài ra, chúng tôi còn giới thiệu Tài liệu tham khảo và Phụ lục

CHƯƠNG 1

SỐ GẦN ĐÚNG TRONG CÁC GIÁO TRÌNH

TOÁN Ở BẬC ĐẠI HỌC VIỆT NAM

Mục tiêu của chương

Các giáo trình Toán ở bậc đại học Việt Nam bàn đến chủ đề “số gần đúng” chủ yếu là “giải tích số” và “phương pháp tính” Chúng tôi đã tham khảo 7 giáo trình

dành cho sinh viên các ngành như: kĩ thuật, toán cơ, tin học, khoa học tự nhiên…

• Tạ Văn Đĩnh (2003), Phương pháp tính, NXB Giáo dục (GT1)

• Nguyễn Chí Long (2003), Phương pháp tính, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh (GT2)

• Lê Trọng Vinh (2000), Giải tích số, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội (GT3)

• Lê Đình Thịnh (1995), Phương pháp tính, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội (GT4)

• Phạm Kỳ Anh (2008), Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội (GT5)

• Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2003), Giải tích số, NXB Giáo dục (GT6)

• Dương Thủy Vỹ (2002), Phương pháp tính, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội (GT7)

Giới hạn đầu tiên mà chúng tôi rút ra ngay khi tham khảo các giáo trình Toán ở đại

học đó là chỉ đề cập đến xấp xỉ thập phân trong những nội dung liên quan tới số gần đúng

Nhận thấy, mỗi giáo trình được viết phục vụ cho những nhóm đối tượng khác nhau nên nếu chỉ chọn phân tích một giáo trình nào đó thì sẽ không thể có cái nhìn toàn diện Do đó, chúng tôi tiến hành xem xét, nghiên cứu và rút ra một số tri thức và chỉ

ra một số tổ chức toán học liên quan tới xấp xỉ thập phân phép tính số trong 7 giáo trình phục vụ cho việc tham chiếu cho chương tiếp theo Đồng thời, tìm hiểu vai trò

của máy tính bỏ túi (một công cụ đã trở nên phổ biến trong việc tính toán ngày nay) đối với việc thực hiện phép toán với các số gần đúng ở bậc đại học

Từ đó, chúng tôi định hướng sẽ trả lời những câu hỏi sau:

1) Những tri thức nào liên quan đến xấp xỉ thập phân cácphép tính số được đề cập đến trong các giáo trình đại học?

2) Những tổ chức toán học nào liên quan tới xấp xỉ thập phân các phép tính số được trình bày trong các giáo trình đại học?

3) MTBT có vai trò gì khi thực hiện phép toán với các số gần đúng?

Việc nghiên cứu xấp xỉ thập phân các phép tính số gắn liền với khái niệm sai số

Chúng tôi xin giới thiệu cách phân loại sai số dựa vào nguyên nhân: sai số giả thiết, sai số số liệu, sai số phương pháp và sai số tính toán

1.1.1 Sai số giả thiết

Là loại sai số xuất hiện do việc giả định bài toán đang xét thỏa mãn một số điều kiện ban đầu nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán

Do mô hình toán học không thể biểu diễn đúng như cái vốn có của vấn đề trong thực tế Đây là khoảng cách giữa lí thuyết và hiện thực Sai số này là không tránh khỏi Chẳng hạn, để giải thích mối liên hệ giữa mức chi tiêu của người dân theo thu nhập của họ, người ta sử dụng mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản:

chi tiêu = A + B*(thu nhập) + U trong đó: A và B là hằng số còn U là sai số giả thiết

Trong thực tế, ở cùng một mức thu nhập, ta quan sát thấy nhiều mức chi tiêu khác nhau Vì vậy, không thể mô tả chính xác mối quan hệ thống kê đã nói bằng công thức toán học mà không có sai số

1.1.2 Sai số số liệu

Là loại sai số xuất hiện do việc đo đạc hoặc cung cấp số liệu ban đầu không chính xác

Các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm do đó có sai số Ví dụ như việc đo chiều dài cây cầu được đề cập đến trong bài viết “Chính xác toán học và chính xác thực nghiệm” trên trang web: http://statistics.vn:

“Giả sử ta dùng một thước dây cuộn 10m có khắc vạch tới milimet để đo chiều dài của một cây cầu và được kết quả chẳng hạn là 115.034 m Trong kết quả này, chữ số 4 cuối cùng rõ ràng không đáng tin (mặc dù thước khắc vạch tới mm), thậm chí chữ số 3 kế đó cũng đáng ngờ vì trong quá trình đo ta đã dời thước 11 lần mà mỗi lần dời thước không chắc ta đã đặt thước đúng vị trí phải đặt, chưa kể ta căng thước không thẳng, hay đo không đúng theo một đường thẳng Vì thế, phạm một sai số khoảng

30 mm hay lớn hơn nữa là điều có thể xảy ra Sai số này có thể là sai dư hoặc sai thiếu (dư khi mỗi lần dời thước ta đặt đầu thước lố hơn vị trí về phía trước, hay căng thước không thẳng và thiếu trong trường hợp ngược lại.”

1.1.3 Sai số phương pháp

Là loại sai số do phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản

hơn Ví dụ như việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 có nhiều phương

pháp khác nhau như phương pháp dây cung, phương pháp Newton-Raphson, phương pháp Bairstow…Mỗi phương pháp sẽ cho nghiệm gần đúng với độ chính xác khác nhau

602,25 0,008054<0,009 0,221301

Qui tròn đến 0,1 ta được s = 602,2

Sai số toàn phần gồm 3 loại sai số cộng lại:

1) Sai số tuyệt đối giới hạn của các số hạng

3) Sai số quy tròn của tổng: ∆ =3 0, 050

Vậy sai số tổng cộng (toàn phần) là

Như đã nói ở trên, chúng tôi sẽ quan tâm đến việc đánh giá sai số trong quá trình thực hiện những tính toán với các số gần đúng Do đó, trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ đề cập đến sai số tuyệt đối (giới hạn), sai số tương đối (giới hạn), đây là các loại sai số mà các giáo trình đại học sử dụng để đánh giá sai số của kết quả tính toán

Có hai cách định nghĩa sai số tuyệt đối và sai số tương đối trong các giáo trình mà chúng tôi tham khảo Các định nghĩa nêu ra trong GT1 và GT2 dưới đây chứng tỏ nhận định của chúng tôi

1.2.1 Sai số tuyệt đối

Cách định nghĩa thứ nhất như sau:

“Nếu a * là giá trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần đúng của a * thì sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng a là đại lượng ∆a sao cho *

a   a a a a Ta thường ghi:a*  a a” [GT2, tr.13]

Cách định nghĩa thứ hai theo GT1: gọi a là số xấp xỉ của số đúng A

“Trị tuyệt đối Aa gọi là sai số tuyệt đối của a” [GT1, tr.7]

GT1 lí giải: do không biết số đúng Anên không xác định được sai số tuyệt đối của

số xấp xỉ a Vì vậy, cùng với sai số tuyệt đối, GT1 đưa vào khái niệm sai số tuyệt đối giới hạn ở trang 7:

“ a  A a.

Số dương Δ anày gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a.”

GT1 cũng đưa ra quy ước:

“Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyệt đối giới hạn là Δ a thì ta quy ước viết A=a±Δ a ”

GT1 cũng giải thích thêm ở trang 7: “a – Δa ≤ A≤ a – Δa”

Ở đây, sai số tuyệt đối giới hạn trong GT1 chính là sai số tuyệt đối trong GT2 Về phương diện toán học, nếu dấu “=” trong a  A a xảy ra thì sai số tuyệt đối giới hạn chính là sai số tuyệt đối Trên thực tế, người ta vẫn xem Δalà sai số tuyệt đối Nhận thấy, đứng trước yêu cầu cần ước lượng một số nào đó ta đi tìm số gần đúng của số đó và phải đánh giá số gần đúng này, nghĩa là, lại phải ước lượng sai số tuyệt đối Chẳng hạn, sai số tuyệt đối của 2 với số gần đúng 1,41 được biểu diễn hình thức là 2 1, 41 − Tuy nhiên, biểu diễn hình thức này chẳng cho biết được độ chính xác của sai số Vậy là, ta lại cần phải tính gần đúng 2 1, 41 − Nói cách khác, phải bằng lòng với một ∆a sao cho 2 1, 41 − nhỏ hơn ∆a, chẳng hạn 2

2 1, 41 − < 10 −

Thuật ngữ “độ chính xác” được hiểu là một ước lượng của sai số tuyệt đối

Do đó, để cho tiện chúng tôi gọi chung khái niệm sai số tuyệt đối của GT2 (Δa) và sai số tuyệt đối giới hạn của GT1 (Δa) là “độ chính xác” Theo đó, có thể tìm được

vô số “độ chính xác” khác nhau của một số gần đúng Cần có những ràng buộc để

“độ chính xác” duy nhất

Hầu hết các giáo trình đều đề cập đến việc:

“(…) trong những điều kiện cụ thể người ta chọn Δ a là số dương bé nhất có thể được” [GT1, tr.7]

Tuy nhiên, việc tìm “số dương bé nhất có thể được” không phải là việc dễ dàng Ta

có thể chọn dãy số 10n với n là số nguyên làm độ chính xác và khi viết ∆a<10n

15.625

0, 0050960 2.985.354 =

1

0, 00800

125 = 1

0, 0046296

216 =

1

1 0,1666

Qua ví dụ trên chúng tôi cũng dự đoán được sự tồn tại của công cụ MTBT trong việc tính toán ở bậc đại học

1.2.2.Sai số tương đối

Tất cả các giáo trình mà chúng tôi tham khảo đều giải thích lí do của sự tồn tại “Sai

số tương đối” là sai số tương đối phản ánh độ chính xác của phép đo Ví dụ:

“Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ “chất lượng” của một số xấp xỉ, “chất lượng” ấy được phản

ánh qua sai số tương đối Lấy thí dụ: đo chiều dài A và B được a = 10m với Δ = 0,05m a và b = 2m với

 gọi là sai số tương đối của a (so với A).”

Trong GT1 còn trình bày phần sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a, kí hiệu δ a

“Ta gọi tỉ số: a

a

a

δ = ∆ gọi là sai số tương đối giới hạn của a.” [GT1, tr.8]

Như vậy, chưa có sự thống nhất về kí hiệu và định nghĩa “sai số tuyệt đối”, “sai số tương đối” trong các giáo trình mà chúng tôi tham khảo Điều này khiến chúng tôi gặp khá nhiều khó khăn trong việc tổng hợp và đọc các giáo trình liên quan Theo cách định nghĩa của các giáo trình thì có nhiều độ chính xác khác nhau của một số gần đúng Điều này đặt ra cho chúng tôi những thắc mắc về cách viết các số gần đúng trong các giáo trình đại học và cách tính toán với các số gần đúng sao cho có thể kiểm soát độ chính xác của kết quả cuối cùng khi mà mỗi số gần đúng có thể có

vô số độ chính xác khác nhau

1.3.1 Chữ số có nghĩa

Các giáo trình đều có cùng nhận định: Những chữ số có nghĩa của một số là những chữ số của số đó kể từ những chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải

m m

∆ ≤ , ω là tham số cho trước:

Nếu ω=0, 5thì ak là chữ số chắc chắn theo nghĩa hẹp

Nếu ω =1thì ak là chữ số chắc chắn theo nghĩa rộng

Như vậy, chữ số chắc chắn được đề cập trong GT1, GT2 chính là chữ số chắc chắn hiểu theo nghĩa hẹp của GT6 và GT4

Các giáo trình đại học tôn trọng 2 cách viết số xấp xỉ:

• Cách thứ nhất: Viết số xấp xỉ a kèm theo sai số như A a ahoặc Aa1  daCách viết trên thường được dùng trong tính toán hoặc phép đo

• Cách thứ hai: Viết số xấp xỉ theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa là những chữ số đáng tin

Trong các bảng số thường dùng như bảng lôgarit, bảng các hàm số lượng giác, người ta viết các số xấp xỉ theo cách thứ hai

Thí dụ 1.6 Cho a = 0,35, Δa = 0,003 Khi đó 3 và 5 là những chữ số đáng tin Sau khi quy tròn thành

a1= 0,4 ta có

1 a1 a a1

Ngoài ra, chúng tôi còn có một ghi nhận khác đó là việc quy tròn số gần đúng có thể khiến cho một chữ số vốn là chữ số chắc chắn trong số gần đúng trở thành chữ số không chắc chắn nữa

GT2 còn bổ sung thêm chú ý đối với cách viết 2 ở trang 17 như sau:

Ghi chú: i) Khi viết một số nguyên gần đúng, nếu không ghi độ chính xác, thì tất cả các chữ số 0 đứng bên phải chữ số khác không cuối cùng là số 0 không có nghĩa

Thí dụ: Khi viết một vật cân nặng 2500 kg thì số 2500 có hai chữ số có nghĩa là 2, 5 Còn nếu viết:

một vật cân nặng 2500 kg (chính xác đến hàng chục) thì số 2500 có ba chữ số có nghĩa là 2, 5, 0 ii) Khi viết số thập phân gần đúng thì ở phần thập phân ta chỉ viết các chữ số 0 có nghĩa

Thí dụ: Khi viết 1 vật cân nặng 24,30 tạ thì số này có bốn chữ số có nghĩa

Trước hết định nghĩa sai số quy tròn tuyệt đối = aa* Sau đó đưa ra quy tắc:

“ quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng, tức là 5 đơn vị ở hàng bỏ đi đầu tiên, cụ thể là, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên  5 thì thêm vào chữ

số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên <5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.”[GT1,10]

Như vậy, sai số quy tròn là một số không lớn hơn nửa đơn vị của hàng cuối cùng được giữ lại nên kết quả của việc quy tròn số là đảm bảo mọi chữ số của số quy tròn đều là chữ số chắc chắn

Một ghi nhận thú vị khác trong thực tế đó là khi tiến hành chấm điểm 1 tiết dạy cho sinh viên thực tập thì điểm được lấy đến 2 chữ số thập phân, không làm tròn Ví dụ,

khi tính trung bình ra 9,13567899 thì kết quả tiết dạy đó là 9,13 (chúng tôi gọi là

“cắt số” đến chữ số thập phân thứ hai)

Rõ ràng, nếu một số có ít nhất là (n+1) chữ số thập phân và chữ số thập phân thứ (n+1) lớn hơn 5 thì sai số tuyệt đối của việc quy tròn số đến chữ số thứ thập phân thứ n nhỏ hơn sai số tuyệt đối của việc cắt số đến chữ số thập phân thứ n

Bảng 1.1 Kết quả làm tròn số và “cắt số” đến chữ số có nghĩa thứ ba của a, b, c

Tùy từng giáo trình mà có hoặc không đề cập đến cách chứng minh công thức xác định sai số của hàm số khi biết sai số của các đối số, tuy nhiên, tất cả các giáo trình đều giới thiệu quy tắc xác định sai số khi thực hiện các phép toán Chẳng hạn,

∂

∂ tính tại các điểm trung gian

Chúng tôi có thể tóm tắt lại các quy tắc xác định sai số trong các giáo trình mà chúng tôi tham khảo như sau:

• Sai số tuyệt đối (sai số tuyệt đối giới hạn) của tổng đại số bằng tổng đại số của các sai số (sai số tuyệt đối giới hạn)

• Sai số tương đối (sai số tương đối giới hạn) của một tích hoặc một thương bằng tổng của các sai số tương đối (sai số tương đối giới hạn) của các thừa số

• Đối với y=xα( α∈,x>0), khi đó δy =α δx

 Nếu α >1 (phép luỹ thừa) thì δy >δxdo đó độ chính xác giảm

 Nếu 0<α <1 thì δy <δxdo đó độ chính xác tăng

 Nếu α =1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác không đổi

 Nếu 1,k *

k

α = ∈  (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên

Chúng tôi mong muốn xác định được số chữ số chắc chắn của kết quả thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia với hai số gần đúng có n chữ số thập phân với điều kiện mọi chữ số của hai số đều là chữ số chắc chắn

7  2, 646± 0,25.10-3 và π ≈ 3,142 ± 0,41.10-3

, khi đó, 7   p 5, 788 có độ chính xác là 0,66.10-3 nên chữ số thập phân thứ ba không phải là chữ số chắc chắn

Sai số tương đối của tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số, do đó, sai

số tương đối của x 1 x 2 là:

Sai số tương đối của 1

Sai số tương đối của thương bằng tổng các sai số tương đối các thừa số, do đó, sai

số tương đối của 1

• Muốn đảm bảo kết quả việc thực hiện phép toán cộng hoặc trừ giữa hai số có n

chữ số thập phân chắc chắn thì hai số đó phải có ít nhất (n+1) chữ số thập phân chắc chắn

• Đối với phép nhân và phép chia, quy tắc phức tạp hơn nhiều Do đó, cần những nghiên cứu khác sâu hơn để đưa ra quy tắc

• Muốn kết quả đạt đến độ chính xác mong đợi thì ta không sử dụng kết quả gần đúng ở các bước trung gian để tính toán mà thay số vào công thức và chỉ tính toán ở bước cuối cùng rồi làm tròn số đến hàng mong đợi

gần đúng

Chúng tôi xem xét các giáo trình đang nghiên cứu và nhận thấy không có giáo trình nào đề cập một cách tường minh đến việc sử dụng công cụ MTBT khi thực hiện phép toán với các số gần đúng Tuy nhiên, chúng tôi dự đoán công

cụ MTBT được sử dụng để thực hiện các tính toán gần đúng trong các giáo trình đại học

Trong các giáo trình mà chúng tôi đã tham khảo, xuất hiện rất nhiều tổ chức toán học liên quan tới số gần đúng Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi không có tham vọng phân tích tường tận hết các kiểu nhiệm vụ trong các giáo trình đại học Chúng tôi chỉ quan tâm tới một số tổ chức toán học phục vụ cho mục đích tham chiếu cho việc phân tích xấp xỉ thập phân các phép tính số sách giáo khoa

 OM 1 với T1 tổng quát: cho số gần đúng, tìm một độ chính xác của số đó

τ1dcx: chọn d sao cho: A-a d

θ1dcx: Định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn trong GT1 hay định nghĩa sai số tuyệt đối trong GT2

Theo τ1dcx thì kết quả của việc chọn d không phải là duy nhất

• T1t: Cho các số gần đúng và độ chính xác của chúng, thực hiện phép tính với các số gần đúng đó

τ1t:

i Đối với phép cộng, trừ:

 Thực hiện các phép tính như đối với số đúng

 Giữ lại ở kết quả số chữ số thập phân bằng số chữ số thập phân của số có ít chữ

số thập phân nhất

ii Đối với phép nhân, chia, lũy thừa, khai căn:

 Thực hiện các phép tính như đối với số đúng

 Giữ lại ở kết quả số chữ số có nghĩa bằng số chữ số có nghĩa của số có ít chữ số

có nghĩa nhất trong số các số gần đúng đã cho

iii Nếu những số gần đúng đã cho, mà có số chứa quá nhiều số thập phân (đối với phép cộng, trừ) hoặc quá nhiều chữ số có nghĩa (đối với phép nhân, chia, lũy thừa, khai căn) hơn các số khác thì trước tiên ta phải làm tròn các số ấy và chỉ giữ lại một chữ số dự trữ mà thôi; kết quả tính cuối cùng bỏ chữ số dự trữ

iv Sử dụng τ1dcx để đánh giá độ chính xác của kết quả

θ1t: Quytắc thực hiện phép toán với các số gần đúng và θ1dcx

Xác định chữ số thứ k kể từ chữ số khác 0 đầu tiên Bỏ tất cả các chữ số bên phải

chữ số thứ k nếu k là chữ số thuộc phần thập phân Còn nếu k là chữ số thuộc phần nguyên thì thay tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số thứ k bằng chữ số 0, bỏ đi

phần thập phân

Bước 2:

 Giữ nguyên chữ số thứ k, nếu chữ số ở vị trí thứ k+1 có giá trị bé hơn 5

 Cộng thêm vào chữ số thứ k 1 đơn vị, nếu chữ số ở vị trí thứ k+1 có giá trị lớn hơn hoặc bằng 5

θ2lts: Định nghĩa chữ số có nghĩa và quy tắc làm tròn số

Ví dụ:

a = 0,0054352, làm tròn a đến chữ số có nghĩa thứ ba thì kết quả 0,00544

b = 0,0054252, làm tròn b đến chữ số có nghĩa thứ ba thì kết quả 0,00543

c = 0,0054302, làm tròn c đến chữ số có nghĩa thứ tư thì kết quả là 0,005430

• T2t_dcx: Thực hiện phép tính biết trước độ chính xác d của kết quả

Một thực tế là phát biểu quy tắc lấy bao nhiêu chữ số kết quả gần đúng trung gian

để kết quả tính toán cuối cùng đạt được độ chính xác mong đợi không phải dễ dàng

Chính vì thế, các ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T2t_dcx trong các giáo trình đều không tìm thấy kĩ thuật τ2t_dcx tổng quát, chẳng hạn, ví dụ b trang 16 của GT1:

“Hãy tính đại lượng

Giải Vế phải của B là một chuỗi đan dấu hội tụ

Do đó việc tính B là hợp lý Nhưng vế phải là một “tổng vô hạn số hạng”, ta không thể cộng hết số này đến số khác mãi được Do đó để tính B ta phải sử dụng một phương pháp gần đúng, cụ thể là thay B bằng tổng của n số hạng đầu:

1 1 343

4 1.10

3

0, 016 64

4 4.10

3

1 1

0, 008 125

3

1 1

0, 005 216

4 4.10

θ = − ” [GT1, tr.15]

Tiếp đó, tính tổng đại số của các số gần đúng, sai số tuyệt đối giữa A=B6 và a:

a = 0,899 là giá trị gần đúng của A với sai số tính toán 9.10 -4 ” [GT1, tr.15]

Khi đã có B6, GT1 tiếp tục lời giải ví dụ b như sau:

“Vậy có thể lấy B ≈0,899 Để xét sai số ta có:

hỗ trợ cho việc cân nhắc và tính toán để phân bổ giữa hai loại sai số và trong từng bước tính toán

• Viết số gần đúng a kèm theo độ chính xác nhưA a ahoặc A  a  1  da.

• Viết số gần đúng không kèm theo độ chính xác thì phải đảm bảo mọi chữ số của

số gần đúng đều là chữ số chắc chắn, ví dụ: khi viết a≈1,35 thì ngầm hiểu là các chữ

số 1, 3 và 5 là chữ số chắc chắn Khi đó, chúng ta có thể suy ra được độ chính xác của số gần đúng 1,35 là nhỏ hơn hoặc bằng 0,5.10-2

 Về phương diện tổ chức toán học, chúng tôi rút ra được các kết luận:

• T2lts: “Làm tròn số a đến chữ số có nghĩa thứ k” thường xuất hiện trong các giáo trình đại học Nếu tiến hành làm tròn số đến chữ số có nghĩa thứ k thì đảm bảo mọi chữ số của kết quả đều là chữ số chắc chắn, còn nếu tiến hành cắt số đến chữ số có nghĩa thứ k thì không đảm bảo mọi chữ số của kết quả thu được đều là chữ số chắc

chắn

• Các giáo trình đại học có đánh giá sai số của kết quả khi thực hiện kiểu nhiệm

vụ T1t: “Cho các số gần đúng và độ chính xác của chúng, thực hiện phép tính với các số gần đúng đó” và có tính đến sai số trong các bước tính toán trung gian trong kiểu nhiệm vụ T2t_dcx: “Thực hiện phép tính biết trước độ chính xác d của kết quả”, tuy nhiên, vẫn chưa cung cấp một cái nhìn đầy đủ và rõ ràng về cách kiểm soát độ chính xác của sai số trong các bước trung gian để kết quả tính toán cuối cùng đạt được độ chính xác cho trước

 Các giáo trình đại học không đề cập đến công cụ MTBT trong việc thực hiện phép tính với các số gần đúng, tuy nhiên, chúng tôi có thể dự đoán sự tồn tại của

công cụ này trong những tính toán đó

Qua tìm hiểu sơ lược, chúng tôi cũng nhận thấy chương trình toán phổ thông cũng chỉ giới hạn trình bày “xấp xỉ thập phân phép tính số” khi bàn đến số gần đúng Ngoài ra, MTBT là một công cụ phục vụ đắc lực cho việc tính toán của học sinh phổ thông Câu hỏi đặt ra là: “xấp xỉ thập phân của các phép tính số” được đề cập đến như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa Toán Việt Nam hiện hành? MTBT được sử dụng như thế nào trong các nhiệm vụ tính toán xấp xỉ thập phân? Chúng tôi mong muốn làm rõ điều này trong chương 2

CHƯƠNG 2

SỐ GẦN ĐÚNG TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở BẬC PHỔ THÔNG VIỆT NAM

Mục tiêu của chương

Để trả lời cho các câu hỏi đặt ra ở cuối chương 1, trong chương này chúng tôi sẽ phân tích “số gần đúng” với vai trò đối tượng nghiên cứu, nghĩa là phân tích các tri thức về số gần đúng và các tổ chức toán học xuất hiện trong các bài học nhan đề

“Làm tròn số” xuất hiện trong S7.1, “Số gần đúng Sai số” trong S10.CB và “Số gần đúng và sai số” trong S10.NC

Trong CT, các bảng số không còn được sử dụng Hầu hết học sinh đều sở hữu MTBT và Bộ giáo dục cũng khuyến khích sử dụng MTBT để tính toán Trong các SGK hiện hành, MTBT xuất hiện một cách chính thức ở một số nội dung Chính vì vậy, chúng tôi có thể dự kiến MTBT trở thành công cụ không thể thiếu và dường như duy nhất để thực hiện các tính toán gần đúng ở bậc phổ thông Do đó, chúng tôi cũng sẽ làm rõ vai trò của MTBT trong việc thực hiện phép toán với các số gần đúng trong CT

Các nội dung liên quan đến xấp xỉ thập phân xuất hiện rãi rác từ THCS đến THPT Tuy nhiên, chúng tôi giới hạn làm rõ sự vận hành của tri thức số gần đúng trong trường hợp “giải tam giác” Chúng tôi có sự lựa chọn này vì việc tính toán với các số gần đúng và sự hiện diện của MTBT dường như là không thể thiếu trong trường hợp “giải tam giác”

Từ đó, chúng tôi định hướng cần trả lời những câu hỏi sau trong chương 2:

1) Những tri thức về số gần đúng nào được đưa vào chương trình Toán phổ thông hiện hành?

2) Những tổ chức toán học nào xoay quanh các tri thức nói đến?

3) MTBT đóng vai trò gì trong các kiểu nhiệm vụ đã nói đến?

4) Những tính toán gần đúng với MTBT trong bài toán giải tam giác cho các kết quả là số gần đúng có chịu sự kiểm soát của các tri thức toán học về xấp xỉ thập phân phép tính số không?

5) Những hợp đồng nào liên quan đến số gần đúng chi phối khi tiến hành giải quyết các kiểu nhiệm vụ trong trường hợp“Giải tam giác”?

2.1 Những tri thức về số gần đúng trong CT

2.1.1 Chương trình Toán 7

Theo CT (ở trang 97) thì ở lớp 7, học sinh đã được trang bị kiến thức về làm tròn

số với mức độ cần đạt về mặt kiến thức: “biết ý nghĩa của việc làm tròn số” và mức

độ cần đạt về mặt kĩ năng: “Vận dụng thành thạo các quy tắc làm tròn số”

Ngoài ra, CT còn giới hạn kiến thức về sai số trong phần “Ghi chú” ở trang 97:

“không đề cập đến các khái niệm sai số tuyệt đối, sai số tương đối, các phép toán

về sai số” Những nội dung đó được đưa vào chương trình Đại số 10 trong bài “Số

gần đúng” thuộc chương I: Mệnh đề - tập hợp

2.1.2 Chương trình Toán 10

CT có những yêu cầu đối với học sinh khi học về số gần đúng ở trang 134

Về mặt kiến thức: CT chỉ đòi hỏi học sinh ở mức độ biết: “Biết khái niệm số gần

đúng, sai số”

Về mặt kĩ năng có hai phần:

“Viết được số quy tròn dựa vào độ chính xác cho trước” là nhiệm vụ quan trọng

trong phần này Xét đến cùng thì kiểu nhiệm vụ này cũng quy về việc làm tròn số Như vậy, “Làm tròn số” là một kĩ năng quan trọng trong CT, xuất hiện từ lớp 7 và tồn tại trong những bài toán liên quan đến tính toán gần đúng của CT

Phân tích chương 1 đã chỉ ra rằng viết một số gần đúng mà không kiểm soát được độ chính xác của nó thì số gần đúng đó không có giá trị Liệu sách giáo khoa hiện hành có làm rõ điều này không?

Đáng lưu ý là yêu cầu thứ hai: “Biết sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán với các

số gần đúng” Như vậy, trong khi các giáo trình đại học không đề cập một cách

tường minh đến vai trò của MTBT trong việc thực hiện phép tính với các số gần đúng thì CT thừa nhận vai trò của MTBT trong các tính toán này Tuy nhiên, yêu cầu ở mức độ “biết” của CT được SGK hiện hành thể hiện như thế nào?

2.2 Những tri thức về số gần đúng trong SGK hiện hành

Như đã nói ở trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích bài “Làm tròn số” xuất hiện trong S7.1, “Số gần đúng Sai số” trong S10.CB và “Số gần đúng và sai số” trong S10.NC để làm rõ những tri thức về số gần đúng được đưa vào sách giáo khoa hiện hành và những tổ chức toán học liên quan đến các tri thức được nói đến

2.2.1 Số gần đúng trong SGK Toán 7 tập 1

Bài “Làm tròn số” xuất hiện trong S7.1 ở chương I: Số hữu tỉ Số thực

• Tác giả S7.1 giới thiệu quy tắc làm tròn số và các ví dụ minh họa:

“Trường hợp 1: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số 0

Ví dụ: a) Làm tròn số 0,0861 đến chữ số thập phân thứ hai Số 0,0861 có chữ số thập phân thứ hai là 8

Chữ số đầu tiên bị bỏ đi là 6 (lớn hơn 5) nên ta phải cộng 1 vào 8, ta được 0,0861 ≈0,09(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

b) Làm tròn số 1573 đến hàng trăm: 1573≈1600 (tròn trăm)”[S7.1, tr.36]

• Viết số gần đúng:

Trong chương 1, chúng tôi đã chỉ ra rằng quy tròn số, tức là “quy tròn sao cho

sai số quy tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng” nên căn cứ vào các cụm từ “Làm tròn số…đến hàng…, làm tròn số…đến chữ

số thập phân thứ…” ta biết độ chính xác của số quy tròn Do đó, chúng tôi gọi các cụm từ vừa nêu là “thuật ngữ chỉ độ chính xác”

Trong các ví dụ ở phần lý thuyết ta thấy các tác giả viết thuật ngữ chỉ độ chính xác sau số gần đúng:

trang 43: “7,923≈7,92” Như vậy, tác giả không tôn trọng cách viết kèm theo thuật ngữ chỉ độ chính xác trong phần bài tập Từ đó, dễ hình thành thói quen không quan tâm tới độ chính xác của kết quả và quy tắc ngầm ẩn: “Số chữ số thập phân sau dấu phẩy của số gần đúng cho biết nó được làm tròn đến chữ số nào.” Chẳng hạn, ≈7,92

nghĩa là số này được làm tròn đến 2 chữ số thập phân

Nhận thấy S7.1 không đề cập đến cách viết số gần đúng thứ 2 đã đề cập trong chương 1: “mọi chữ số có nghĩa là những chữ số chắc chắn” nên trong trường hợp

số cần quy tròn là các số vô tỉ hoặc là kết quả của việc thực hiện liên tiếp những tính toán với các số gần đúng thì việc kèm theo độ chính xác hoặc thuật ngữ chỉ độ chính xác sau kết quả quy tròn là rất cần thiết vì như Lê Đình Thịnh (1995) đã viết

“Nếu tính toán mà không chỉ ra được sai số thì kết quả không dùng được.”

Còn G.S10.NC dự kiến phân phối “Chương I: Mệnh đề - tập hợp” thành 12 tiết, bài

“Số gần đúng và sai số” chiếm 2 tiết, gồm có các nội dung: Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối, số quy tròn, chữ số chắc và cách viết chuẩn số gần đúng,

kí hiệu khoa học của một số G.S10.NC nêu rõ mục tiêu của bài về kiến thức và kĩ năng:

“Giúp học sinh :

Về kiến thức

− Nhận biết được tầm quan trọng của số gần đúng, ý nghĩa của số gần đúng

− Nắm được thế nào là sai số tuyệt đối, sai số tương đối, độ chính xác của số gần đúng, biết dạng chuẩn của số gần đúng

Về kĩ năng

− Biết cách quy tròn số, biết xác định các chữ số chắc chắn của số gần đúng

− Biết dùng kí hiệu khoa học để ghi những số rất lớn và rất bé.”

[S10.NC, tr.24]

Nhận xét:

• Yêu cầu của thể chế dạy học Toán Việt Nam hiện hành chỉ dừng lại ở mức độ biết đối với các khái niệm như sai số tuyệt đối, độ chính xác của số gần đúng và cách quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước Theo thang đánh giá phân loại mục tiêu (lĩnh vực nhận thức) của Benjamin S.Bloom thì đây là cấp độ thấp nhất

• Trong phần mục tiêu của G.S10.CB và G.S10.NC không đề cập đến yêu cầu sử dụng MTBT để thực hiện các phép tính gần đúng và yêu cầu liên quan tới việc tính đến các loại sai số trong quá trình tính toán với các số gần đúng

Dựa trên những kết quả của chương 1, chúng tôi tiến hành xem xét những tri thức

về số gần đúng được trình bày trong S10.CB và S10.NC

S10.CB và S10.NC giới thiệu “sai số số liệu” (số liệu thu được từ việc dùng các phương pháp và dụng cụ đo khác nhau để đo khoảng cách, số liệu từ việc thống kê dân số), “sai số tính toán” (do việc quy tròn số thập phân vô hạn không tuần hoàn) S10.CB vàS10.NC không đề cập đến “sai số giả thiết” và “sai số phương pháp”

 Sai số tuyệt đối

S10.CB và S10.NC đều chọn cách định nghĩa sai số tuyệt đối theo quan điểm của GT1:

“Giả sử a là giá trị đúng của một đại lượng và a là số gần đúng của số đúng a Giá trị a a thể hiện độ sai lệch giữa a và a Ta gọi a a là sai số tuyệt đối của số gần đúng a và kí hiệu là a , tức là:  a a a ”[S10.NC, tr.24]

Như đã nói trong chương 1, định nghĩa này chỉ có tính chất lí thuyết vì trên thực tế

ta phải ước lượng a (do thường không có được số đúng a )

“Độ chính xác của một số gần đúng” trong các SGK Toán phổ thông chính là một ước lượng của “Sai số tuyệt đối” trong GT1 hay “Sai số tuyệt đối” trong GT2

“Nếu     thì a a a d − ≤ − ≤d a a d hay a−d≤a≤ +a d Ta nói a là số gần đúng của a với

độ chính xác d, và quy ước viết gọn là a a d ” [S10.CB, tr.20]

S10.NC còn giải thích thêm tại sao lại gọi là độ chính xác:

“d càng nhỏ thì độ sai lệch giữa số gần đúng a và số đúng a càng ít Thành thử d được gọi là độ chính xác của số gần đúng

Để củng cố khái niệm vừa học S10.CB đưa ra hoạt động 2:

“Tính đường chéo của một hình vuông có cạnh 3cm và xác định độ chính xác của kết quả tìm được Cho biết 2  1.4141135 ” [S10.CB, tr.20]

Theo G.S10.CB thì kết quả của câu hỏi trong hoạt động 2 không duy nhất G.S10.CB gợi ý thực hiện như sau:

“Độ dài đường chéo của một hình vuông cạnh 3cm là x=3 2 cm

Nếu lấy 2 bằng 1,4 thì x=3 × 1,4 =4,2 (cm), sai số tuyệt đối ước lượng là

Khi đó độ chính xác là 0,03” [G.S10.CB, tr.45]

Theo lời giải này thì tùy theo số gần đúng của 2 mà độ dài đường chéo của hình vuông sẽ khác nhau Do đó, cần làm rõ độ chính xác của kết quả tính gần đúng Câu hỏi đặt ra là: Nếu đề toán không yêu cầu “xác định độ chính xác của kết quả tính” mà chỉ yêu cầu “tính độ dài đường chéo hình vuông” thì học sinh có giải thích sau kết quả tính của mình không?

Cũng như các giáo trình đại học, S10.CB và S10.NC đều giới thiệu khái niệm sai số tương đối thông qua việc đưa ra một ví dụ minh hoạ cho thấy sai số tuyệt đối không phản ánh được đầy đủ tính chính xác của phép đo đạc

“Các nhà thiên văn tính được thời gian để Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời là 365 ngày ±1

4

ngày Nam tính thời gian bạn dó đi từ nhà đến trường là 30 phút ± 1 phút Trong hai phép đo trên, phép đo nào chính xác hơn ?” [S10.CB, tr.21]

S10.CB và S10.NC đều giới thiệu khái niệm sai số tương đối:

“Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δ a , là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a, tức là a

S10.NC phát biểu một mệnh đề đóng vai trò lí thuyết giải thích cho độ chính xác trong yêu cầu làm tròn đến chữ số thập phân thứ k Mối liên hệ này đã ngầm ẩn ở lớp 7 mà chúng tôi đã phát biểu ở trên

“1) Khi quy tròn số đúng a đến một hàng nào thì ta nói số gần đúng a nhận được là chính xác đến hàng đó Chẳng hạn, số gần đúng của π chính xác đến hàng phần trăm là 3,14; số gần đúng của 2 chính xác đến hàng phần nghìn là 1,414 ” [S10.NC, tr.27]

Nhận thấy, ứng với việc làm tròn kết quả hiện lên trên MTBT đến hàng phần trăm khi ấn π thì kết quả chính xác đến hàng phần trăm, tuy nhiên, khi kết quả của việc tính toán phải qua nhiều bước trung gian, ở mỗi bước ta đều tiến hành làm tròn số thì kết quả tính toán cuối cùng (có được từ việc thực hiện các tính toán với các số gần đúng trung gian) quy tròn đến hàng nào chưa chắc cho kết quả chính xác đến hàng đó

Đến đây, chúng ta thấy thể chế dạy học Toán Việt Nam hiện hành đã sử dụng hai cách viết số gần đúng:

• Một là dùng kí hiệu a a a (Đây là cách viết thứ nhất đã nêu trong chương 1)

• Hai là dùng kí hiệu ≈kèm hay không kèm theo thuật ngữ chỉ độ chính xác

Ví dụ:π ≈ 3,14 ;π ≈ 3,14 (chính xác đến hàng phần trăm); π ≈ 3,14 (làm tròn đến

chữ số thập phân thứ hai), p3,140,005

Tuy nhiên, thể chế sẽ ưu tiên dùng cách viết thứ hai, cách viết thứ nhất chỉ xuất hiện một vài lần trong phần lí thuyết, không thuận tiện trong việc tính toán do thể chế không giới thiệu các quy tắc thực hiện các phép toán khi biết độ chính xác của các

số gần đúng trong biểu thức tính toán

S10.CB và S10.NC nhắc lại quy tắc làm tròn số đã học ở lớp 7 Từ đó, S10.CB giới thiệu cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước qua các ví dụ minh họa:

“Ví dụ 4 Cho số gần đúng a = 2 841 275 với độ chính xác d = 300 Hãy viết số quy tròn của số a

Giải Vì độ chính xác đến hàng trăm (d = 300) nên ta quy tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn

ở trên

Vậy số quy tròn của a là 2 841 000

Ví dụ 5 Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 3,1463 biết a 3,1463  0, 001

Giải Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0,001) nên ta quy tròn số 3,1463 đến hàng phần trăm theo quy tắc làm tròn ở trên Vậy số quy tròn của a là 3,15.” [S10.CB, tr.22]

G.S10.CB giải thích cách quy tròn:

“Nếu độ chính xác đến hàng nào thì ta quy tròn số gần đúng đến hàng kề trước nó Chẳng hạn, đối với

số nguyên độ chính xác đến hàng trăm (độ chính xác nhỏ hơn 1000) thì ta quy tròn số gần đúng này đến hàng nghìn Đối với số thập phân, nếu độ chính xác đến hàng phần nghìn thì ta quy tròn số gần đúng đến hàng phần trăm.” [G.S10.CB, tr.46]

Trong B.S10.CB ở trang 16 và nhận xét 3 trong phần “Chú ý” của S10.NC ở trang

27 đề cập đến quy tắc giải quyết kiểu nhiệm vụ trên:“Cho số gần đúng a với độ

chính xác d (tức là a a d  ) Khi được yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó” Chúng tôi không tìm thấy yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật thể chế đưa

ra

• Khái niệm “chữ số chắc chắn” chỉ được giới thiệu trong S10.NC Thế mà trong

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 Trung học phổ thông môn Toán học ở trang 48 thì “để trình bày cách quy tròn một số gần đúng, nhất thiết phải đưa ra khái niệm chữ số đáng tin.”

Kết quả chương 1 cho thấy có hai quan điểm về chữ số chắc chắn và S10.NC sử dụng định nghĩa theo quan điểm thứ nhất tồn tại trong GT1 và GT2 hay chữ số chắc chắn hiểu theo nghĩa hẹp của GT6 và GT4:

“ Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc

(hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.” [S10.NC, tr.27]

Vì

2

1000 500 300 50 2

100 = < < = nên chữ số hàng nghìn (chữ số 9) là chữ số chắc Vậy các chữ số chắc là 1, 3, 7, 9.” [S10.NC, tr.27]

Nhiệm vụ xác định chữ số chắc chắn chỉ xuất hiện 1 lần trong phần bài tập ôn tập chương trong S10.NC và 1 bài tập trong B.S10.NC Đặc biệt, sau phần bài học không xuất hiện bài tập nào thuộc nhiệm vụ này

• Khái niệm “dạng chuẩn của số gần đúng” cũng chỉ được giới thiệu trong S10.NC

S10.NC giới thiệu “dạng chuẩn của số gần đúng” ở trang 26, 27:

“ Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ số chắc

Ví dụ 6 Cho một giá trị gần đúng của 5 được viết dưới dạng chuẩn là 2,236 ( 5 ≈ 2, 236 ) Ở đây,

hàng thấp nhất có chữ số chắc là hàng phần nghìn nên độ chính xác của nó là 1 3

10 0, 0005 2

− = Do đó,

ta biết được : 2, 236 − 0, 0005 ≤ 5 ≤ 2, 236 + 0, 0005.

Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là 10k

A , trong đó A là số nguyên, k là hàng thấp nhất có chữ số chắc(k∈ Ν ).

(Từ đó, mọi chữ số của A đều là chữ số chắc)

Ví dụ 7 Số dân của Việt Nam (năm 2005) vào khoảng 6

83.10 người (83 triệu người) Ở đây, k=6 nên

Tuy nhiên, thể chế dạy học Toán hiện hành chỉ yêu cầu học sinh “biết dạng chuẩn

của số gần đúng” [G.S10.NC, tr.58], trong phần bài tập cũng không có bài tập nào

đề cập tới kiểu nhiệm vụ liên quan tới dạng chuẩn của số gần đúng Chúng tôi dự đoán đối tượng “dạng chuẩn của số gần đúng” và “chữ số chắc” không sống được trong thể chế dạy học Toán Việt Nam hiện hành

Trong “Chú ý” ở trang 27 của S10.NC có đề cập tới việc quy tròn số gần đúng biết

1, 236 0, 002

a= ± Và kết quả của việc quy tròn là a≈1, 24

Ta thấy, theo định nghĩa chữ số chắc chắn thì do 10 4 10 3.

= − + = > nên 4 không phải là chữ số chắc chắn

Do đó, cách viết a≈1, 24 không phải là viết dưới dạng chuẩn Thế nên, việc quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước có thể làm cho một chữ số vốn

là chữ số chắc chắn trở thành chữ số không đáng tin nữa

Theo Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 Trung học phổ thông môn Toán học ở trang 48 thì “Số gần đúng sau khi quy tròn thường được viết theo một quy ước gọi là cách viết chuẩn Nhìn vào cách viết chuẩn của một số gần đúng ta biết được độ chính xác của nó (đến hàng nào của số đó).”

Thế mà chúng tôi không tìm thấy ràng buộc này trong sách giáo khoa hiện hành Hơn nữa, hiện tượng viết số gần đúng không kèm theo độ chính xác của số gần đúng khá phổ biến

Câu hỏi đặt ra: học sinh viết các số gần đúng dựa trên quy ước ngầm ẩn nào? Học sinh có xác định được độ chính xác của số gần đúng đó hay không?

Ngoài ra, chỉ S10.NC lưu ý về ý nghĩa của chữ số 0 trong các số thập phân viết dưới dạng chuẩn ở trang 28:

Với quy ước về dạng chuẩn số gần đúng thì hai số gần đúng 0,14 và 0,140 viết dưới dạng chuẩn có ý nghĩa khác nhau Số 0,14 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,005 còn số gần đúng 0,140 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0005

Câu hỏi đặt ra là: Học sinh có biết sự khác nhau về ý nghĩa của số 7 và 7,00 sau khi tiến hành làm tròn số không?