xnghiên cứu điều kiện sinh thái của công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10

Bài tập 5, SGV chứng minh tam giác BMN vuông […] tại M bằng cách áp dụng Từ lời giải của bài toán nêu trên, chúng tôi tự hỏi: Khi cho bài toán hình học phẳng mà đề bài được phát biểu bằn

ĐỖ THỊ HOÀNG LINH

NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN SINH THÁI CỦA CÔNG CỤ TÍCH VÔ HƯỚNG

TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 10

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán

Mã số: 601410

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo

TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thầy là người đã bỏ rất nhiều thời gian và

công sức hướng dẫn tôi một cách tận tình, kỹ lưỡng trong suốt quá trình thực hiện

luận văn Thầy còn là người đã giúp tôi dịch các file Powerpoint đề cương luận văn

này sang tiếng Pháp để thuận tiện trong khi bảo vệ dù Thầy rất bận với công tác tại

Phòng Giáo Dục Chuyên Nghiệp tỉnh Bình Thuận và nghiên cứu khoa học

Sự hiện diện các Thầy Cô giáo trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ là niềm

vinh hạnh cho tôi Tôi xin trân trọng cảm ơn những ý kiến đóng góp của các Thầy

Cô giáo trong hội đồng đối với luận văn của tôi

Cho phép tôi gởi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy Cô giáo trong ngành Lý

luận và phương pháp dạy học Toán cũng như các Thầy Cô giáo ở các bộ môn khác

đã tận tâm giảng dạy chúng tôi trong suốt ba năm qua

Tôi xin cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại Học và các phòng ban

của trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn tất chương trình và

thủ tục bảo vệ luận văn

Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các bạn lớp Lý luận và Phương pháp dạy học toán

khóa 19 đã giúp đỡ tôi, cùng tôi chia sẻ những niềm vui cũng như những khó khăn

trong suốt ba năm học vừa qua

Cuối cùng, tôi muốn nói lời cảm ơn đến gia đình tôi, những người luôn ủng hộ,

động viên và luôn tạo những điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành luận văn

này một cách tốt nhất

Người thực hiện đề tài

Đỗ Thị Hoàng Linh

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SBT : Sách bài tập

SBTCB: Sách bài tập hình học 10 chương trình cơ bản SBTNC: Sách bài tập hình học 10 chương trình nâng cao SGK : Sách giáo khoa

SGKCB: Sách giáo khoa hình học 10 chương trình cơ bản SGKNC: Sách giáo khoa hình học 10 chương trình nâng cao SGV : Sách giáo viên

SGVCB: Sách giáo viên hình học 10 chương trình cơ bản SGVNC: Sách giáo viên hình học 10 chương trình nâng cao NXB : Nhà xuất bản

THCS : Trung học cơ sở

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 2

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 3

MỤC LỤC 4

MỞ ĐẦU 6

1.Lý do lựa chọn đề tài và câu hỏi xuất phát 6

2.Phạm vi lý thuyết tham chiếu 9

3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu của luận văn 9

4.Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn 10

CHƯƠNG I: VAI TRÒ VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG TRONG HÌNH HỌC LỚP 10 13

I.1 Vai trò của công cụ tích vô hướng trong sách giáo khoa hình học 10 13

I.1.1 Chứng minh công thức hình chiếu 14

I.1.2 Chứng minh định lý côsin 15

I.1.3 Xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng 17

I.1.4 Chứng minh một vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng 17

I.1.5 Góc giữa hai đường thẳng 18

I.1.6 Kết luận 20

I.2 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động trong giải toán hình học phẳng 20

I.3 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được sử dụng trong giải toán hình học phẳng 10 21

I.4 Kết luận chương I 27

CHƯƠNG II: ĐIỀU KIỆN VÀ RÀNG BUỘC CỦA “CÔNG CỤ TÍCH VÔ HƯỚNG” TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 10 29

II.1 Nhóm 1: Chứng minh đẳng thức 32

II.2 Nhóm 2: Tìm quĩ tích 42

II.3 Nhóm 3: Tính toán 48

II.4 Nhóm 4: Chứng minh các tính chất hình học 60

II.5 Nhóm 5: Tìm tọa độ điểm 66

II.6 Nhóm 6: Viết phương trình đường 74

II.7 Nhóm 7: Tìm giá trị (hoặc điều kiện) của các tham số thỏa mãn điều kiện cho trước 77

II.8 Kết luận chương II và nêu giả thuyết 82

CHƯƠNG III: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 85

III.1 Mô tả thực nghiệm 86

III.1.1 Đối tượng thực nghiệm 86

III.1.2 Tiến hành thực nghiệm 86

III.2 Phân tích a-priori bài toán 1 và bài toán 2 88

III.2.1 Phân tích a-priori bài toán 1 88

III.2.2 Phân tích a-priori bài toán 2 101

III.3 Phân tích a – posteriori bài toán 1 và bài toán 2 110

III.3.1 Phân tích a – posteriori bài toán 1 110

III.3.2 Phân tích a – posteriori bài toán 2 114

III.4 Kết luận chương III 117

KẾT LUẬN 119

TÀI LIỆU THAM KHẢO 121

PHỤ LỤC 124

MỞ ĐẦU

1.Lý do lựa chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Phép toán lấy tích vô hướng của hai vectơ là một phép toán đặc biệt trên tập hợp các vectơ (của mặt phẳng hoặc trong không gian) Bởi, khi lấy một vectơ nhân với một vectơ – là những đại lượng có hướng – ta lại được kết quả là một số thực

Ở cấp độ tri thức bác học, có rất nhiều cách định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ:

Với quan điểm,“ d ạy toán là dạy hoạt động toán Đối với học sinh, […] việc giải toán là hình

bài toán trong hình học 10 được chúng tôi quan tâm đến Đặc biệt, lời giải của hai

bài toán: b ài tập 23 – trang 41 SBT NC và bài tập 5 – trang 70 SGK NC

tâm đến chứng minh BMN là tam giác vuông)

Lời giải – Trang 61 SBT NC

Đặt  AD=a

,  AB=b

Khi đó 1 1( )

Vậy MB ⊥ MN […], tam giác BMN vuông […] tại đỉnh M

Trong bài tập 5 − Trang 70 SGK NC

Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi N là trung điểm của CD, M là trung điểm trên AC sao cho

Lời giải – Trang 79 SGV NC

Lập hệ trục tọa độ vuông góc với gốc trùng với điểm A sao cho B = (a; 0), D = (0; a)

Với nội dung: “Chứng minh tam giác BMN vuông […] tại M”, bài toán trên được

trình bày hai hướng khác nhau

Ở bài tập 23, SBT phân tích MB MN ,

theo các vectơ    AD=a AB, =b

, vận dụng tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng (phép trừ) từ đó chứng minh MB MN  =0

Bài tập 5, SGV chứng minh tam giác BMN vuông […] tại M bằng cách áp dụng

Từ lời giải của bài toán nêu trên, chúng tôi tự hỏi:

Khi cho bài toán hình học phẳng mà đề bài được phát biểu bằng ngôn ngữ tổng hợp, học sinh có sử dụng hay không công cụ tích vô hướng của hai vectơ để giải toán?

Nếu SGK không yêu cầu: “Tính độ dài của các cạnh trong tam giác BMN” (bài

tập 5) thì liệu học sinh có trang bị hệ trục tọa độ và vận dụng công thức (2) để

chứng minh tam giác BMN vuông tại M?

Những ghi nhận trên gợi lên ở chúng tôi nhu cầu tìm hiểu:

“Công cụ tích vô hướng của hai vectơ” (gọi tắt “công cụ tích vô hướng”) được đưa vào trong chương trình hình học 10 với mục đích gì? Những điều kiện và ràng buộc nào của công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng lớp 10 (gọi tắt

là hình học phẳng 10)? Nó được sử dụng ra sao? Trong thực tế, những điều kiện đó vận hành như thế nào?

Với mong muốn tìm kiếm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi nêu trên, chúng

tôi đã lựa chọn và tiến hành nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu điều kiện sinh thái

của công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10”

Trong luận văn này, chúng tôi mong muốn tìm hiểu những “điều kiện” cho sự sống

“tốt đẹp” của công cụ tích vô hướng trong việc giải các bài toán hình học phẳng 10, đặc biệt là những bài toán với đề bài được phát biểu bằng ngôn ngữ tổng hợp

Hình học 10 chương trình cơ bản và nâng cao có phần khác nhau ở một số nội dung được trình bày trong sách giáo khoa, về sự ưu tiên của từng chương trình thể

hiện qua số lượng bài tập, về dạng cũng như mức độ (khó, dễ) của bài tập Chính vì vậy, chúng tôi sẽ nghiên cứu đề tài này ở cả 2 chương trình: cơ bản và nâng cao

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán với việc vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây:

- Lý thuyết nhân chủng học sư phạm: Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học

- Cách tiếp cận sinh thái học:

Theo Chevallard (1989): “Một tri thức không tồn tại “lơ lửng” trong một khoảng rỗng: mỗi tri thức đều xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định,…” Do vậy, để có thể sống trong một thể chế, mỗi tri thức đều phải tuân theo một số ràng buộc nào đó Điều này kéo theo việc tri thức phải bị biến đổi, nếu không thì nó không thể đứng vững trong thể chế Với cách tiếp cận sinh thái học, sẽ giúp chúng tôi làm rõ những điều kiện ràng buộc cho phép sự xuất hiện, tồn tại và tiến triển của đối tượng O − “công cụ tích vô hướng”, những điều kiện cho phép công cụ tích vô hướng giải toán trong thể chế dạy học toán − hình học phẳng 10

- Lý thuyết tình huống, hợp đồng didactic

3.T rình bày lại câu hỏi nghiên cứu của luận văn

Câu hỏi 1 (Q 1 ): Trong sách giáo khoa hình học 10, công cụ tích vô hướng có vai trò gì? Những tính chất và ứng dụng nào của tích vô hướng có thể được huy động

để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng?

Câu hỏi 2 (Q 2 ): Công cụ tích vô hướng có thể giải quyết những kiểu nhiệm vụ

nào trong hình học phẳng 10? Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đến việc

sử dụng công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10?

Câu hỏi 3 (Q 3 ): Những quy tắc hợp đồng nào chi phối đến học tập của học sinh trong việc sử dụng công cụ tích vô hướng để giải toán hình học phẳng 10?

4 Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn

0.4 1 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn của chúng tôi nhằm tìm kiếm các yếu tố để trả lời cho các câu hỏi nêu trên

Đối với câu hỏi Q1, do điều kiện có hạn về thời lượng và giới hạn về nội dung của luận văn, chúng tôi không nghiên cứu sâu tích vô hướng của hai vectơ với vai trò là công cụ xây dựng các kiến thức khác trong SGK hình học 10 Ở đây, chúng tôi đặc biệt quan tâm tìm hiểu những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được

sử dụng để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng Câu hỏi Q1 được chúng tôi

trả lời trong chương I của luận văn: “Vai trò và ứng dụng của tích vô hướng trong hình học 10” Từ đây, chúng ta bước đầu làm rõ điều kiện sinh thái của công cụ tích

vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10

Với những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được trình bày trong chương I, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật,… và qua đó chỉ ra, những ràng buộc của chương trình đối với công cụ tích vô hướng chi phối đến việc học của học sinh trong việc sử dụng công cụ tích vô hướng để giải toán hình học phẳng 10 Từ những kết quả phân tích được, chúng tôi đưa ra giả thuyết nghiên cứu trên đối tượng học sinh liên quan đến khả năng sử dụng công cụ tích vô hướng để giải toán hình học phẳng 10 Toàn bộ phân tích này được chúng tôi trình

bày trong chương II: “Điều kiện và ràng buộc của công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học 10” và những kết quả trên cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q2 của luận văn

Để trả lời câu hỏi Q3 của luận văn đồng thời chứng minh giả thuyết được phát biểu trong chương II, chúng tôi tiến hành xây dựng thực nghiệm trên học sinh Qua thực nghiệm này, nó cho chúng tôi biết học sinh có huy động công cụ tích vô hướng

để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng? Bài toán thực nghiệm được chúng tôi lựa chọn là bài toán mà các em đã được gặp trong chương trình hình học 10 Nó

có nhiều cách giải khác nhau Trong những cách giải đó, lời giải của bài toán thực nghiệm đôi khi sẽ trở nên gọn gàng hơn nếu sử dụng công cụ tích vô hướng Nhằm

tạo điều kiện cho học sinh có thể giải toán bằng công cụ tích vô hướng, đồng thời cũng đảm bảo những điều kiện và ràng buộc của chương trình đối với công cụ tích

vô hướng, trong từng bài toán thực nghiệm, chúng tôi luôn có những gợi ý nhất định, chẳng hạn: trên hình vẽ của bài toán thực nghiệm có trang bị hệ trục tọa độ và vectơ hoặc cho trước một số lời giải và yêu cầu học sinh lựa chọn lời giải mà mình

I.1 Vai trò của công cụ tích vô hướng trong sách giáo khoa hình học 10

I.2 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động

trong giải toán hình học phẳng

I.3 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được sử dụng trong giải

toán hình học phẳng 10

I.4 Kết luận chương I

 Chương II: Điều kiện và ràng buộc của công cụ tích vô hướng trong giải toán

II.5 Nhóm 5: Tìm tọa độ điểm

II.6 Nhóm 6: Viết phương trình đường

II.7 Nhóm 7: Tìm giá trị (hoặc điều kiện) của các tham số thỏa mãn điều kiện

cho trước

II.8 Kết luận chương II và nêu giả thuyết

 Chương III: Nghiên cứu thực nghiệm

 Kết luận

• Tài liệu tham khảo

• Phụ lục

CHƯƠNG I: VAI TRÒ VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ

HƯỚNG TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

Mở đầu

Nghiên cứu thực hiện ở chương này nhằm làm rõ sự vận hành của công cụ tích

vô hướng theo hai hướng tiếp cận: vai trò của tích vô hướng trong việc chứng minh một số tính chất và định lý của chương trình hình học lớp 10, ứng dụng của tích vô hướng trong việc giải toán hình học 10 Cụ thể, chúng tôi mong muốn tìm ra những yếu tố để trả lời câu hỏi sau:

Q 1: Trong sách giáo khoa hình học 10, công cụ tích vô hướng có vai trò gì?

N hững tính chất và ứng dụng nào của tích vô hướng có thể được huy động để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng ?

Trong luận văn này, chúng tôi không tập trung sự chú ý đến phương diện “đối tượng” của tích vô hướng mà chỉ quan tâm đến việc nghiên cứu tích vô hướng của hai vectơ với vai trò là “công cụ” Do đó, ở phần thứ nhất của chương này, chúng

tôi tiến hành làm rõ vai trò của công cụ tích vô hướng trong sách giáo khoa hình học

10 hiện hành Trong phần thứ hai, chúng tôi sẽ chỉ ra những tính chất và ứng dụng

của công cụ tích vô hướng có thể được huy động để giải toán hình học phẳng Với

những tính chất và ứng dụng đó, trong phần thứ ba, chúng tôi trình bày những tính

chất và ứng dụng được sử dụng giải toán hình học phẳng 10 Đồng thời, để minh

họa rõ hơn cho phần ba, ứng với mỗi tính chất và ứng dụng, chúng tôi sẽ trình bày các ví dụ cụ thể qua lời giải của những bài toán được tác giả giới thiệu trong SGK, SGV và SBT hình học 10 hiện hành

I.1 Vai trò của công cụ tích vô hướng trong sách giáo khoa hình học 10

Theo SGV, có nhiều cách định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ:

vectơ mà không dùng đến góc, nhưng lại phải dùng đến các khái niệm tổng vectơ, hiệu vectơ và

Trong sách giáo khoa hình học 10 hiện hành, tích vô hướng của hai vectơ được định nghĩa bởi hai công thức (1) và (2) là một sự lựa chọn của chương trình Sau đây, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của công cụ tích vô hướng trong chương trình hình học 10

I.1.1 Chứng minh công thức hình chiếu

Công thức hình chiếu được chứng minh qua việc giải bài toán 3 trang 48 SGK NC:

“Cho hai vectơ OA OB  ,

Gọi B′ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA Chứng minh

Nếu  90o

AOB≥ (hình b) thì OA OB . =OA OB. .cosAOB= −OA OB. .cosB OB′ = −OA OB. ′

trên đường thẳng OA Công thức OA OB    =OA OB′.

gọi là công thức hình chiếu. Nhận xét

Công thức hình chiếu không được đề cập trong SGKCB nhưng được trình bày rất chi tiết ở SGVCB SGVCB và SGKNC đều sử dụng công thức (1) để chứng minh công thức hình chiếu Nó được đưa vào trong chương trình để chứng minh tính chất phân phối của tích vô hướng: a b  .( )+c =a b    +a c.

Tuy nhiên, nội dung của chứng minh này khá phức tạp và theo tinh thần của chương trình: “Cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết

trong SGK Chúng ta có thể tìm thấy nó trong SGVNC trang 59 và SGVCB trang 55 ¾

56 Ở SGKNC, công thức hình chiếu được sử dụng trong các bài toán như là một phép biến đổi từ tích vô hướng của hai vectơ này thành tích vô hướng của hai vectơ khác Chúng ta sẽ thấy rõ điều này trong các ví dụ minh họa ở các phần tiếp theo của chương I và cả chương II của luận văn

I.1.2 Chứng minh định lý côsin

Để tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh tham gia tích cực trong việc học bằng cách tạo cơ hội cho học sinh tự mình xây dựng kiến thức, SGKCB và SGKNC đã có những cách tiếp cận khác nhau đối với định lý côsin trong tam giác thường SGKCB

và SGKNCtrình bày theo hai hướng khác nhau

Trong SGKNC, với mong muốn thay đổi cách dạy bằng cách đặt vấn đề dẫn dắt, không muốn áp đặt định lý đó cho học sinh rồi bắt học sinh chứng minh mà muốn

học sinh có thể “tự tìm” ra công thức đó với sự giúp đỡ của thầy giáo, làm cho bài

toán xuất hiện một cách tự nhiên và cần thiết Chính vì vậy, SGKNC xuất phát từ

định lý Pythagore trong tam giác ABC vuông tại A

Từ đây, SGKNC đưa ra câu hỏi 1: “Trong chứng minh trên, giả thuyết góc A vuông được

sử dụng như thế nào?” Đây là câu hỏi với mong muốn giải thích vì sao

AC +AB − AC AB =AC +AB

     

, đồng thời cũng là câu hỏi gợi ý cho bước chuyển

từ tam giác ABC vuông tại A sang tam giác ABC tùy ý và giải quyết hoạt động 1:

“Hãy làm tương tự như chứng minh trên, rồi đặt BC = a, CA = b, AB = c, để đi đến công thức

Ở SGKCB, định lý côsin được xây dựng thông qua việc giải quyết bài toán:

“Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A Hãy tính cạnh BC”

Lời giải trong SGK:

.AC

= AB

.AC cosA = AB.AC.cosA Định lý côsin trong tam giác thường là một trong những cơ sở để mở rộng bài toán giải tam giác đã được học trong chương trình hình học lớp 9

I.1.3 Xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng trong SGKCB và SGKNC đều được xây dựng dựa vào vectơ pháp tuyến và tính chất trực giao của hai vectơ thông qua tích

vô hướng của hai vectơ Vì thế, chúng tôi sẽ không trình bày cách xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng ở cả hai chương trình cơ bản và nâng cao SGKNC

xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng thông qua việc giải quyết bài toán:

“Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm I(x o ; y o) và vectơ n a b( ); ≠ 0 

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua I,

có vectơ pháp tuyến là n

Tìm điều kiện của x và y để điểm M (x; y) nằm trên ∆”

SGKNC trình bày lời giải như sau:

Điểm M nằm trên ∆ khi và chỉ khi IM

tương đương với a x( −x o)+b y( −y o) = 0 (1)

Đây là điều kiện cần và đủ để M (x; y) nằm trên ∆ Biến đổi (1) và dạng ax + by – axo – byo = 0 và đặt

– axo – byo = c , ta được phương trình ax + by + c = 0 (a2 + b2 ≠ 0) và gọi là phương trình tổng quát của

đường thẳng ∆

Nhận xét

SGKCB xây dựng phương trình tham số trước khi xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng Do vậy, từ phương trình tham số của đường thẳng, chúng ta

cũng có được phương trình tổng quát của đường thẳng bằng cách khử tham số t

Tuy nhiên, SGKCB đã trình bày cách thành lập phương trình tổng quát của đường thẳng theo một cách khác dựa trên biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ (công thức (2)) và tính trực giao của hai vectơ trong hệ trục tọa độ

I.1.4 Chứng minh một vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trong số những mục tiêu mà chương trình đề ra, chúng tôi chú ý đến mục tiêu:

“Giáo viên có thể gợi ý để học sinh thấy rằng có thể lập phương trình tổng quát của đường

Với mục tiêu như trên, việc tìm mối liên hệ giữa tọa độ của vectơ chỉ phương và

vectơ pháp tuyến của đường thẳng là một tất yếu Vì vậy, trả lời câu hỏi: “Vì sao

vectơ u

= (b; − a) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình

ax + by + c = 0?” là cần thiết Để trả lời câu hỏi trên, SGVNCđã chứng minh như sau:

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n =

Để tìm mối liên hệ giữa tọa độ của vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của

đường thẳng, SGK đã sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong trường hợp

đặc biệt: n ⊥u

⇔ a1b1 + a2b2 = 0, với n=

(a1; a2) và u =

(b1; b2) Chính vì tìm được mối liên hệ giữa tọa độ của vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường

thẳng mà chúng ta có thể viết được phương trình tổng quát của đường thẳng khi biết

vectơ chỉ phương, đồng thời cũng có thể tìm được vectơ chỉ phương của đường

thẳng khi biết phương trình tổng quát của nó

Hãy tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình: 3x + 4y + 5 = 0

I.1.5 Góc giữa hai đường thẳng

Sau khi định nghĩa số đo của góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau,

SGKCB khẳng định:

Cho hai đường thẳng ∆ 1: a1x + b1y + c1 = 0, ∆ 2: a2x + b2y + c2 = 0

Đặt ϕ = ∆ ∆(1 , 2) thì ta thấy ϕ bằng hoặc bù với góc giữa n 1

và n2

trong đó n 1

, n2

lần lượt là vectơ pháp tuyến của ∆ 1 và ∆ 2

Trong khi đó, SGKNC định nghĩa góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 thông qua góc giữa hai vectơ chỉ phương của đường thẳng:

(∆ ∆ = 1 , 2) ( )u v  ,

nếu ( ), 90 ,o

u v  ≤

(∆ ∆ = 1 , 2) 180o−( )u v  ,

nếu ( )u v  , > 90 ,o

trong đó u v  ,

lần lượt là vectơ chỉ phương của ∆ 1 và ∆ 2 Như vậy, SGKCB và SGKNC đều định nghĩa góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2 qua góc giữa hai vectơ (hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của đường thẳng) Vì vậy, việc tính số đo của góc giữa hai đường thẳng được định nghĩa thông qua góc giữa hai vectơ (hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của đường thẳng)

I.1.6 Kết luận

Với lựa chọn công thức (1) và (2) để định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ đã đóng vai trò quan trọng trong chứng minh công thức hình chiếu, định lý côsin trong tam giác thường, xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng trong chương trình hình học 10 Nó góp phần tạo nên

sự chuyển tiếp từ việc nghiên cứu hình học bằng công cụ vectơ sang nghiên cứu hình học bằng phương pháp tọa độ, đồng thời tạo ra nhiều ứng dụng trong giải các bài toán hình học phẳng

I.2 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động

trong giải toán hình học phẳng

Trong chương II: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng, “chương này trình bày các tính chất cơ bản của tích vô hướng và những ứng dụng của chúng […] Học sinh phải biết vận

phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động trong giải toán hình học phẳng

I.2.1 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động để

của tam giác ABC

d) Trong tam giác ABC , nếu điểm H thỏa HA HB      =HB HC =HC HA

thì H là trực

tâm của tam giác ABC

e) Trong tam giác ABC, nếu 2

BA BC =AB

 

thì tam giác ABC vuông tại A

f) Trong tam giác ABC, nếu  AB AC =0

h) Trong tam giác ABC, nếu  AH BC =0

và BH

cùng phương với BC

thì H là chân đường cao hạ từ đỉnh A

i) Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau ở điểm M Nếu MA MB    =MC MD

thì bốn

điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

j) Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ∆ ở M và một điểm C trên ∆ (C khác M)

MA MB=MC

 

thì ∆ (hay MC) là tiếp tuyến của đường tròn (ABC)

k) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Nếu M thỏa mãn MA MB  =0

thì M thuộc

đường tròn đường kính AB

I.2.2 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động để

tính toán trong các bài toán hình học phẳng

a) Cho tam giác ABC, góc A c ủa tam giác ABC: .

.

AB AC CosA

AB AC

=

 

b) Diện tích tam giác ABC: 1 2 2 ( )2

I.2.3 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động để

tìm quĩ tích trong các bài toán hình học phẳng

a) Công thức hình chiếu: Cho hai vectơ OA OB ,

Gọi B′ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA Ta có: OA OB    =OA OB ′=OA OB ′

b) Nếu  AB CD =0

thì AB ⊥ CD

I.3 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được sử dụng trong giải toán hình học phẳng 10

Trong những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động

trong giải toán hình học phẳng được trình bày ở trên, những tính chất và ứng dụng

nào của tích vô hướng được sử dụng để giải toán hình học phẳng 10? Để trả lời

được câu hỏi này, chúng tôi trình bày lời giải của các bài toán có trong SGK, SGV, SBT ở cả hai chương trình cơ bản và nâng cao minh hoạ cho các tính chất và ứng

dụng của tích vô hướng được sử dụng để giải toán hình học phẳng 10

I.3.1 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được sử dụng để chứng

a Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

Lời giải − Trang 83 SBT CB

Ba điểm A, B, C phân biệt tạo nên vectơ  AB+AC

vuông góc với vectơ  AB+CA

Vậy tam giác

ABC là tam giác gì?

Lời giải – Trang 115 SBT CB

Theo giả thiết ta có:( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

AB+AC AB+CA = ⇔ AB+AC AB−AC = ⇔AB −AC =

         

Ta suy ra ABC là tam giác có AB = AC (tam giác cân tại A)

c) Trong tam giác ABC, nếu  AB AC =0

Lời giải − Trang 61 & 62 SBT NC

Vậy MB ⊥ MN và MB = MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M

d) Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau ở điểm M Nếu MA MB    =MC MD

thì bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Ví dụ −Bài tập 36, trang 44, SBT NC

Cho đường tròn đường kính AB và đường thẳng ∆ vuông góc với AB ở H (H không trùng với A

và B) Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn ở M, N và các đường thẳng AM, AN lần

a Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ cùng thuộc một đường tròn (C) nào đó

Lời giải − Trang 69 SBT NC

Tứ giác HBMM’ nội tiếp được do M HB  90 ′ =M MB′ = o, suy ra    AH AB =AM AM ′.

Cho đường tròn đường kính AB, H là điểm nằm giữa AB và đường thẳng ∆ vuông góc với AB tại H

Gọi E, F là giao điểm của đường tròn và ∆ Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AE và đường tròn (C) bất

kỳ qua H, B Giả sử hai đường tròn đó cắt nhau ở M và N, chứng minh rằng AM và AN là hai tiếp

tuyến của (C)

Lời giải − Trang 70 SBT NC

Ta có AM = AN = AE (do M, N, E cùng thuộc

đường tròn tâm A)

Trong tam giác vuông AEB, EH⊥AB

Vậy AM, AN là tiếp tuyến của (C)

I.3.2 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được sử dụng để tính

toán trong hình học phẳng 10

a) Cho tam giác ABC, góc A của tam giác ABC: .

.

AB AC CosA

a Tính  AB AC.

rồi suy ra giá trị của góc A

Lời giải – Trang 103 SBT CB

Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(−1; −1), B(3; 1) và C(6; 0)

a Tính góc B của tam giác ABC.

Lời giải − Trang 107 SBT CB

Tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b

b Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC

Lời giải – Trang 57 SBT NC

Trong câu a, 1( 2 2 2)

2

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB, M

là trung điểm của cạnh CB

c Tính côsin của góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD

Lời giải – Trang 93 SBT NC

a) Công thức hình chiếu: Cho hai vectơ OA OB ,

Gọi B′ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA Ta có: OA OB    =OA OB ′=OA OB ′

Ví dụ −Bài tập 12, trang 52 SGK NC

Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a và một số k 2 Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2

– MB2 = k2Lời giải – Trang 63 SGV NC

Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB Ta có

Từ đó suy ra H là điểm cố định trên đường thẳng AB, không phụ thuộc vào vị trí của M Vậy tập

hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với OB tại H

Cho hai điểm cố định A, B có khoảng cách bằng a

b Tìm tập hợp các điểm N sao cho 2

AN AB= a

 

Lời giải – Trang 59 SBT NC

Lấy điểm C sao cho AC= 2 AB

Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại C

I.4 Kết luận chương I

Từ những ghi nhận ở trên, chúng tôi nhận thấy tích vô hướng của hai vectơ có vai trò quan trọng trong chương trình hình học 10 Nó góp phần tạo nên sự nối kết của nghiên cứu hình học bằng công cụ vectơ với nghiên cứu hình học bằng phương pháp tọa độ, đồng thời cũng tạo ra một phương pháp khác để giải toán hình học phẳng ngoài phương pháp tổng hợp mà học sinh đã được tiếp cận ở cấp THCS Trong chương trình hình học 10, nó được sử dụng để:

 Chứng minh công thức hình chiếu

 Chứng minh định lý côsin trong tam giác thường

 Xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng

 Chứng minh một vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng

 Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng

Ngoài ra, nó còn được sử dụng để giải các bài toán hình học phẳng như:

 Chứng minh các tính chất hình học: chứng minh hai đường thẳng vuông góc

với nhau, chứng minh tam giác vuông cân, chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn,…

 Tính toán: tính diện tích của hình phẳng, tính số đo một góc trong tam giác, tính số đo góc của hai đường thẳng,…

 Tìm quĩ tích

Với những ứng dụng kể trên của công cụ tích vô hướng, học sinh có sử dụng

công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng không? Những điều kiện và

ràng buộc của chương trình đối với công cụ tích vô hướng ảnh hưởng ra sao đến việc học của học sinh trong giải toán hình học phẳng 10? Hai câu hỏi này dẫn chúng tôi đến việc nghiên cứu các tổ chức toán học liên quan đến công cụ tích vô hướng trong hình học phẳng 10, thực hiện ở chương tiếp theo

CHƯƠNG II: ĐIỀU KIỆN VÀ RÀNG BUỘC CỦA “CÔNG CỤ TÍCH VÔ HƯỚNG” TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 10

Mở đầu

Trong chương này, chúng tôi tiến hành làm rõ những điều kiện và ràng buộc của công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10 Để làm được điều này, chúng tôi tiến hành phân tích các tổ chức toán học mà ở đó việc sử dụng tích vô hướng của

hai vectơ với vai trò là “công cụ” để giải các bài toán hình học trong chương trình lớp

10 hiện hành Cụ thể, chúng tôi mong muốn tìm ra những yếu tố trả lời cho những câu hỏi sau:

Q 2: Công cụ tích vô hướng có thể giải quyết những kiểu nhiệm vụ nào trong hình học phẳng 10? Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đến việc sử dụng công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10?

Theo chương trình hình học 10, công cụ tích vô hướng của hai vectơ được giới thiệu chính thức trong chương 2: “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” Ngoài ra, như đã trình bày trong chương I của luận văn này, tích vô hướng còn có vai trò quan trọng trong chương 3 đó là: Xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng, chứng minh một vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng, tính số

đo của góc giữa hai đường thẳng

Do vậy, để xem xét: Công cụ tích vô hướng của hai vectơ có thể giải quyết những kiểu nhiệm vụ nào trong hình học phẳng 10?, chúng tôi sẽ tiến hành xem xét các bài tập liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ trong các bài học sau: Tích vô

hướng của hai vectơ, ôn tập chương II, một số bài tập ở chương III (phương pháp tọa độ trong mặt phẳng), ôn tập chương III và ôn tập cuối năm

Với những phân tích các kiểu nhiệm vụ, chúng tôi sẽ chỉ ra những điều kiện và ràng buộc của thể chế đến việc sử dụng công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10 Để tiện theo dõi, chúng tôi đã tiến hành sắp xếp các bài tập trong những bài học trên theo 7 nhóm sau:

- Nhóm 6: Viết phương trình đường

- Nhóm 7: Tìm giá trị (hoặc điều kiện) của các tham số thỏa mãn điều kiện cho

trước

Bảng II.1: Bảng thống kê số lượng bài tập (câu) với tích vô hướng

của hai vectơ có vai trò là công cụ trong giải toán hình học 10

Theo bảng II.1, số lượng bài tập tập trung nhiều vào bài toán của nhóm 3, nhóm

4 và nhóm 5 ở cả hình học cơ bản và nâng cao Trong đó, số lượng bài toán trong

nhóm 5 có sự chênh lệch hơn so với số lượng bài toán trong nhóm 3 và nhóm 4

Điều này chứng tỏ, hình học cơ bản và nâng cao đều chú trọng đến việc vận dụng

công cụ tích vô hướng để giải các bài toán: Tìm tọa độ điểm

Sau đây, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích chi tiết từng bài toán cụ thể và để tiện

theo dõi, chúng tôi sẽ giới thiệu tổng quan các kiểu nhiệm vụ cho từng nhóm đã

được nêu trên

=

=

∑ 

T2: Chứng minh đẳng thức chứa tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng

T3: Chứng minh đẳng thức liên quan đến các yếu tố trong tam giác

T7: Tính độ dài của đoạn thẳng

T8: Tính côsin của góc giữa hai vectơ

T9: Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng

T10: Tính côsin (hay số đo) của góc trong tam giác

 Nhóm 4: Chứng minh các tính chất hình học

T11: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

T12: Chứng minh tam giác cân

T13: Chứng minh tam giác vuông cân

 Nhóm 5: Tìm tọa độ điểm

T14: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

 Nhóm 6: Viết phương trình

T15: Viết phương trình của đường tròn

T16: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

 Nhóm 7: Tìm giá trị (hoặc điều kiện) của các tham số thỏa mãn điều kiện cho trước

T17: Tìm giá trị (hoặc điều kiện) của các tham số sao cho hai đường thẳng vuông góc với nhau

T18: Tìm giá trị của tham số sao cho khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng là lớn nhất

Sau đây, chúng tôi tiến hành phân tích chi tiết các kiểu nhiệm vụ trong từng nhóm đã nêu Ứng với mỗi kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ đó, chúng tôi sẽ minh họa bằng những bài tập mà lời giải của nó được trình bày cụ thể trong SGK, SGV và SBT Từ những phân tích này, chúng tôi sẽ chỉ ra những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học 10

điều mâu thuẫn với giả thiết A, B, C là ba đỉnh của tam giác

b) Các kiến thức liên quan

- Quy tắc về hiệu vectơ

- Điều kiện để hai vectơ cùng phương, điều kiện để ba điểm thẳng hàng

- Tính chất phân phối, tính chất kết hợp của tích vô hướng, tính chất a b  =0

Lời giải – Trang 141 SGV NC

Đặt u    =AA′ +BB′ +CC′

Theo câu a) ta có u AC  = 0

Chứng minh tương tự ta được u AB  = 0

Nếu u  ≠ 0

Chương trình hình học nâng cao minh họa kiểu nhiệm vụ T1 với 2 bài tập:

bài 28 − trang 42 SBT NC và bài 1− trang 126 SGK NC Nó được đưa vào nhằm giới thiệu một phương pháp khác chứng minh đẳng thức vectơ 3

1

0

i i

a

=

=

∑ , đó là sử dụng

công cụ tích vô hướng

Với mong muốn chứng minh đẳng thức 3

1

0

i i

• Trong SBTNC, bài tập 28 được đưa vào sau phần tóm lược bài học “Tích vô hướng của hai vectơ”

• Bài tập 1, trang 126 SGKNC được đưa vào trong bài tập ôn cuối năm Do vậy, để chứng minh đẳng thức vectơ    AA′+BB′+CC′=0

, SGKNC gợi ý với việc chứng minh hai đẳng thức:(  AA′+BB′).AC=0

a

=

=

∑  không được thể chế hóa bằng bảng tóm

tắt, nó đưa vào ngầm ẩn thông qua lời giải của hai bài tập được giới thiệu ở trên

Một mệnh đề được sử dụng trong chứng minh đẳng thức vectơ: “Nếu u  ⊥ AB,

II.1.2 Kiểu nhiệm vụ T 2 : “Chứng minh đẳng thức chứa tổng bình phương độ dài của đoạn thẳng”

a) Kỹ thuật τ 2.1

- Chứng minh đẳng thức VT (vế trái) = VP (vế phải), ta thực hiện:

 Biến đổi VT thành VP

 Hoặc VT = VP ⇔ VT – VP = 0 Từ đó, biến đổi VT – VP bằng 0

- Biến đổi VT thành VP hoặc biến đổi VT – VP bằng 0, bằng cách:

 Biến đổi các bình phương độ dài của đoạn thẳng thành bình phương vô hướng của vectơ

 Phân tích mỗi vectơ thành tổng hoặc hiệu các vectơ

, với O là tâm của hình bình hành ABCD

b) Các kiến thức liên quan

- Phương pháp chứng minh đẳng thức

- Định nghĩa bình phương vô hướng của một vectơ

- Quy tắc ba điểm, quy tắc về hiệu vectơ

- Tính chất phân phối, tính chất kết hợp, tính chất giao hoán của tích vô hướng

- Hệ thức tâm của hình bình hành: “Nếu O là tâm của hình bình hành ABCD thì

0

OA OB    + +OC+OD=

”

c) Ví dụ (T2; τ2.1 ) – Bài toán 1, trang 47 SGK NC

Cho tứ giác ABCD

a Chứng minh rằng 2 2 2 2

AB +CD =BC +AD + CA BD 

b Từ câu a, hãy chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông

góc là tổng bình phương các cạnh đối diện bằng nhau

Lời giải – Trang 48 SGK NC

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta luôn có: MA2

- Chứng minh đẳng thức về tổng bình phương độ dài của đoạn thẳng VT = VP, ta tiến hành biến đổi VT = VP ⇔ A = B với đẳng thức A, B là hiệu bình phương độ dài của đoạn thẳng

- Biến đổi các đẳng thức A, B như sau:

 Biến đổi bình phương độ dài của đoạn thẳng thành bình phương vô hướng của vectơ

 Phân tích hiệu bình phương vô hướng của hai vectơ thành tích của tổng hai vectơ với hiệu của hai vectơ đó

 Thực hiện phép toán: BC  +CA=BA

- Khi này, A = B ⇔ C = D Chứng minh đẳng thức C = D luôn đúng.

e) Các kiến thức liên quan

f) Ví dụ về (T2; τ2.2) – Bài tập 2e, trang 188 SBT NC

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

e Nếu H là trực tâm tam giác ABC thì BC2

+ HA2 = CA2 + HB2 = AB2 + HC2Lời giải – Trang 192 SBT NC

g) Nhận xét về T 2

Trong SGKNC, những bài toán với yêu cầu: “Chứng minh đẳng thức chứa tổng bình

phương độ dài các đoạn thẳng”, chúng tôi tìm thấy trong chương 2 sau các bài học:

• Tích vô hướng của hai vectơ Ở đây, chúng tôi tìm thấy bài toán 1 trang 47

SGK NC – lời giải của nó được trình bày trong ví dụ minh họa cho (T2; τ2.1) – được

đưa vào sau phần giới thiệu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, bình phương vô

hướng của một vectơ và các tính chất của nó Để chứng minh đẳng thức

AB2 + CD2 = BC2 + AD2, trong câu a của bài toán, SGK đã gợi ý bằng cách yêu cầu

chứng minh đẳng thức có chứa tích vô hướng AB2 + CD2 = BC2 + AD2+ 2CA BD 

Với ví dụ này, SGK bước đầu tạo điều kiện cho học sinh làm quen với việc giải

quyết một bài toán mà đề bài được phát biểu bằng ngôn ngữ tổng hợp bằng cách sử dụng công cụ tích vô hướng

• Hệ thức lượng trong tam giác Chúng tôi quan tâm đến bài tập:

Bài tập 27, trang 66: “Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình

phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo”

Bài tập 30, trang 66: “Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AC và BD Chứng minh rằng AB2

+ BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2” Hai bài tập này, SGV chứng minh bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác (cụ thể là sử dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác) để giải toán Như vậy, ở hình học nâng cao, học sinh có hai phương pháp để giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức chứa tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng, đó là:

- Sử dụng công cụ tích vô hướng

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác

• Ôn tập chương 2 Với bài tập 2 trang 69 SGK NC (minh họa cho (T2 ; τ2.1)) được đưa vào, nó đã tạo điều kiện cho học sinh đứng sự lựa chọn một trong hai phương pháp trên để giải toán Cũng từ đó, chúng ta thấy được tính ưu việt của công cụ tích

vô hướng so với việc dùng hệ thức lượng trong tam giác khi giải các bài toán hình học phẳng, đặc biệt là chứng minh đẳng thức chứa tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng

Tuy vậy, số lượng bài tập minh họa cho kiểu nhiệm vụ T2 còn rất hạn chế, chỉ có

3 bài tập mà thôi Mặt khác, mỗi kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ T2 không được trình bày một cách tường minh mà ngầm ẩn thông qua lời giải của các bài toán

Một trong những khác biệt của SGKNC với SGKCB, SGKCB chỉ đưa phần bài tập

chứng minh đẳng thức chứa tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng (cụ thể bài tập 9 trang 59 SGK CB chính là bài tập 27 trang 66 SGK NC) sau bài học hệ thức lượng trong tam giác Do đó, khi gặp bài toán này, chương trình hình học cơ bản luôn giải toán bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác

II.1.3 Kiểu nhiệm vụ T 3 : “Chứng minh đẳng thức liên quan đến các yếu tố của tam giác”

Kiểu nhiệm vụ con t 3 : “Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh đẳng thức a = bcosC + ccosB”

a) Kỹ thuật τ 3

- Phân tích vectơ BC

: BC  =BA+AC

- Nhân hai vế với vectơ BC

và phân tích tích vô hướng thành nhiều tích vô hướng Khi đó: 2

BC =BA BC+AC BC

    

- Tính các tích vô hướng của hai vectơ BA BC AC BC    ,

, bình phương vô hướng của vectơ BC

- Thực hiện phép biến đổi: “Nếu ab = ac và a ≠ 0 thì b = c”

b) Các kiến thức liên quan

- Quy tắc ba điểm

- Tính chất phân phối, tính chất giao hoán của tích vô hướng

- Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, bình phương vô hướng của một vectơ

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a = bcosC + ccosB

Lời giải – Trang 191 SBT NC

Ở hình học cơ bản, để giải bài tập minh họa cho kiểu nhiệm vụ con t3, SGKCB

(bài 5a  trang 100) và SBTCB (ví dụ 2  trang 92) đều sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, cụ thể là hệ quả của định lý côsin Trong khi đó, SBTNC có sự khác biệt,

nó đã sử dụng công cụ tích vô hướng để giải toán

Với số lượng bài tập đáng kể minh họa cho kiểu nhiệm vụ T3: 16 câu trong chương trình cơ bản, 13 câu trong chương trình nâng cao (cả SGK và SBT) nhưng không có câu nào trong hình học cơ bản và chỉ duy nhất 1 câu trong hình học nâng cao giải toán bằng công cụ tích vô hướng mà thôi

Kỹ thuật τ3 không được giới thiệu tường minh qua bảng tóm tắt mà nó được đưa vào ngầm ẩn thông qua lời giải của bài toán được trình bày Chính điều này, chúng tôi càng thấy rõ: việc sử dụng công cụ tích vô hướng để chứng minh đẳng thức liên quan đến các yếu tố của tam giác nhằm giới thiệu một phương pháp khác ngoài sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để giải toán

II.1.4 Kiểu nhiệm vụ T 4 : “Chứng minh đẳng thức 

1

n

i i

, với O là tâm của đa giác đều A 1 A 2 …A n

b) Các kiến thức liên quan

- Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

- Tính chất phân phối, tính chất kết hợp của tích vô hướng

- Mệnh đề: “Nếu A 1 A 2 …A n là n – giác đều tâm O thì OA 1+OA2+ + OA n =0

”

c) Ví dụ về (T4; τ4) – Bài tập 19a, trang 41 SBT NC

Cho đa giác đều A 1 A 2 …A n nội tiếp trong đường tròn (O; R) và một điểm M thay đổi trên

đường tròn đó Chứng minh rằng:

cosMOA + cosMOA + + cosMOA n = 0

Lời giải – Trang 59 SBT NC

Theo định nghĩa của tích vô hướng ta có (với mỗi i∈{1, 2, ,n});

Kỹ thuật để giải quyết các kiểu nhiệm vụ này được đưa ra một cách ngầm ẩn thông

qua lời giải của các bài tập Nó không được thể chế hóa thành một bảng tóm tắt

Bảng II.2: Bảng thống kê số lượng (câu) bài tập của nhóm 1

Theo kết quả ở bảng II.2, chúng tôi nhận thấy:

- Tích vô hướng của hai vectơ với vai trò là công cụ không được ưu tiên sử dụng

để giải các bài toán ở nhóm 1 trong hình học cơ bản, cụ thể không có bài tập nào

minh họa cho các kiểu nhiệm vụ ở nhóm 1

- Ở hình học nâng cao, mục tiêu bài học tích vô hướng của hai vectơ: “ Học sinh sử dụng được các tính chất của tích vô hướng trong tính toán, […] biết sử dụng bình phương vô hướng

trong nhóm 1, kiểu nhiệm vụ T2 được ưu tiên hơn so với các kiểu nhiệm vụ còn lại