một nghiên cứu didactic về phương trình bậc hai chứa tham số ở lớp 9, 10

Tới đầu năm lớp 10, PTBH chứa tham số được giới thiệu chính thức về mặt định nghĩa và nghiên cứu ở cấp độ cao và sâu hơn với việc biện luận số nghiệm của một phương trình tùy theo giá tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Ái Quốc

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

L ỜI CẢM ƠN

Trước hết, chúng tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ái Quốc, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực

để hoàn thành luận văn này Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình

đáng, giúp chúng tôi có những cảm nhận và tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên

thu ận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học vừa qua

• Ban giám hi ệu trường THPT Long Xuyên (An giang); THPT Trung An

• Ban giám hi ệu trường THPT Xuân Tô (An Giang) và các giáo viên của trường đã giúp đỡ, tạo đều kiện cho tôi có thể hoàn thành luận văn này Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập

Cu ối cùng, tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến những người thân yêu trong gia đình tôi, những bạn bè tâm giao của tôi Họ, những người

đã luôn ở bên tôi mọi lúc và chính là động lực để tôi hoàn tất tốt luận văn

M2: Sách giáo khoa lớp 10 (cơ bản)

G1: Sách giáo viên lớp 10 (cơ bản)

E2: Sách bài tập lớp 10 (cơ bản)

M3: Sách giáo khoa lớp 10 (nâng cao)

G3: Sách giáo viên lớp 10 (nâng cao)

E3: Sách bài tập lớp 10 (nâng cao)

OM: Tổ chức toán học

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Bảng danh mục các chữ viết tắt

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương I 5

I Các khái ni ệm tham số và phương trình chứa tham số trong các giáo trình đại học: 5

1.1 Tham s ố 5

1.2 Phương trình tham số 6

1.3 M ối quan hệ giữa tham số và ẩn số trong phương trình 7

II M ối quan hệ thể chế đối với đối tượng PTBH chứa tham số: 8

2.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS và THPT: 8

2.1.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS: 8

2.1.2 Phân tích chương trình bậc THPT: 9

2.2 Phân tích SGK: 12

2.2.1 Phân tích M1 12

2.2.2 Phân tích M2 23

2.2.3 Phân tích M3 37

K ết luận chương 1: 60

Chương 2 62

2.1 M ục tiêu thực nghiệm: 62

2.2 Đối tượng thực nghiệm: 62

2.3 Mô t ả thực nghiệm: 62

2.3.1 Bài toán th ực nghiệm: 62

2.3.2 Cách th ức tiến hành: 63

2.4 Phân tích apriori: 63

2.4.1 Phân tích a priori t ổng quát: 63

2.4.1.1 Các bi ến didactic và biến tình huống: 64

2.4.1.2 Các chi ến lược có thể 63

2.4.2 Phân tích a priori c ụ thể: 64

2.4.2.1 Đối với bài toán 1: 64

2.4.2.2 Đối với bài toán 2: 66

2.4.2.3 Đối với bài toán 3:……….……….67

2.5 Phân tích a posteriori các bài toán th ực nghiệm: 69

2 5.1 Đối với bài toán 1: 69

2 5.2 Đối với bài toán 2: 73

2.6 K ết luận từ thực nghiệm: 78

K ẾT LUẬN CHUNG 79

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 82

PTBH là khái niệm cơ bản và quan trọng của chương trình Toán ở cấp THCS

và cấp THPT Nó được xuất hiện đầu tiên vào năm lớp 8 nhưng tới năm lớp 9 thì

mới được chính thức định nghĩa và nghiên cứu, đóng vai trò công cụ trong suốt cấp THPT Đặc biệt là sự xuất hiện của PTBH chứa tham số vào cuối học kì 2 của lớp 9 sau khi định lý Vi-ét về các nghiệm của PTBH được dạy Tới đầu năm lớp 10, PTBH chứa tham số được giới thiệu chính thức về mặt định nghĩa và nghiên cứu ở

cấp độ cao và sâu hơn với việc biện luận số nghiệm của một phương trình tùy theo giá trị một tham số và việc biện luận này đóng một vai trò công cụ trong các bài toán liên quan đến phương trình bậc cao, khảo sát hàm số,…

Xu ất phát từ thực tế giảng dạy:

Qua quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình nghiên cứu khái niệm PTBH chứa tham số, cụ thể là gặp khó khăn trong việc lựa chọn phương pháp đại số hay phương pháp đồ thị để giải quyết các bài toán liên quan đến biện luận số nghiệm của PTBH chứa tham số

Ngoài ra, xuất phát từ mong muốn mở rộng hướng nghiên cứu trong luận án

của TS Nguyễn Ái Quốc khi nghiên cứu về việc dạy và học khái niệm PTBH ở hai nước Việt Nam và Pháp, mà trong đó sự khác biệt rất lớn là sự xuất hiện của khái

niệm PTBH chứa tham số trong chương trình Việt Nam

Từ những lý do trên đã đưa chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu về PTBH chứ tham số trong chương trình Việt Nam nhằm làm sáng tỏ một số nghi vấn ban đầu sau:

Khái niệm PTBH chứa tham số xuất hiện như thế nào trong chương trình Toán phổ thông? Tại sao lại có sự xuất hiện này?

HS gặp những khó khăn nào trong việc học khái niệm PTBH chứa tham số? Nguyên nhân của những khó khăn đó là gì?

2 Khung lý thuy ết tham chiếu:

Lý thuy ết nhân học sư phạm:

Phần này chúng tôi chỉ mô tả một cách ngắn gọn các khái niệm cần tham chiếu để tìm các yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi đã đặt ra

• Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân:

Quan hệ của thể chế I với tri thức O – R(I, O): là tập hợp các tác động qua

lại mà thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì?

Quan hệ cá nhân X với tri thức O – R(X, O): là tập hợp các tác động qua

lại mà cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu thế nào về O, có thể thao tác O ra sao

Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh quan hệ R(X, O) Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I (mà cá nhân X là một thành phần) luôn luôn để lại dấu ấn trong quan hệ R(X, O) Do đó, muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần đặt nó trong R(I, O)

• Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong xã hội, thực tế toán học cũng là một kiểu thực tế xã hội, cho nên, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Chính trên quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxéologie

Theo Chavallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,τ ,θ, Θ ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θlà công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học

Bosch M và Chevallard Y (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế đối với một đối tượng, với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những

kỹ thuật xác định Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”

Do đó, việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức

O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I đối với O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I - giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với O

• Chuy ển hóa sư phạm:

Trong nhà trường phổ thông, đối với một môn học, người ta không thể dạy cho

HS toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích lũy được trong lịch sử Hơn

nữa để tri thức của nhân loại trở nên có thể dạy được trong nhà trường phổ thông thì

cần phải lựa chọn, sắp xếp và tái cấu trúc lại nó theo một kết cấu logic, phục vụ cho

mục tiêu dạy học xác định

Quá trình hình thành và truyền bá một tri thức toán học gồm ba mắc xích cơ

bản: hình thành tri thức trong cộng động bác học sau đó biến tri thức ấy thành tri

thức cần dạy và từ tri thức cần dạy này biến đổi thành tri thức được dạy

Các đối tượng cần dạy được thể hiện thông qua chương trình, SGK, đề thi, tài

liệu ôn thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo, các tiểu ban khoa học giáo dục và các tác

giả SGK

3 M ục đích nghiên cứu:

Qua việc phân tích chương trình và kinh nghiệm giảng dạy chúng tôi nhận

thấy vấn đề PTBH chứa tham số là vấn đề khó khăn đối với học sinh Với khung lý thuyết tham chiếu đã chọn chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi nghiên

cứu mà việc tìm kiếm câu trả lời chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:

Q1: Khái niệm PTBH chứa tham số xuất hiện như thế nào trong chương trình Toán THCS và THPT? Sự xuất hiện này nhằm mục đích gì?

Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng PTBH chứa tham số ở cấp THCS

và THPT? Những quy tắc hợp đồng didactic nào liên quan đến PTBH chứa tham

số?

Q3: Những khó khăn và sai lầm nào HS gặp phải khi nghiên cứu về PTBH

chứa tham số?

4 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn:

Phương pháp luận nghiên cứu mà chúng tôi áp dụng trong luận văn này là: thực hiện một nghiên cứu thể chế bằng cách phân tích các chương trình và SGK liên quan Tiếp đến, vận dụng lý thuyết nhân chủng học để nghiên cứu sự cho phép triển khai các TCTH tìm được trong thể chế phổ thông hiện nay Sau đó, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trên học sinh với mong muốn kiểm chứng các giả thuyết mà chúng tôi đặt ra Việc tiến hành xây dựng thực nghiệm được chúng tôi lấy cơ sở từ

 Từ đó, đề xuất các hợp đồng didactic hay giả thuyết nghiên cứu

 Xây dựng bài toán thực nghiệm cho phép tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra hay để hợp thức giả thuyết nghiên cứu

Luận văn gồm 4 phần:

Phần mở đầu: Trong phần này chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu,

lợi ích của đề tài nghiên cứu, mục đích của đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp và tổ chức nghiên cứu, cấu trúc luận văn

Chương 1: Mở đầu là sự trình bày các khái niệm về tham số, phương trình tham số Tiếp đó, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học toán ở cấp THCS, THPT đối với các khái niệm PTBH chứa tham số

Chương 2: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các

giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 1

Phần kết luận: Tóm lược lại những kết quả đạt được trong chương 1, 2 và đề

xuất một số hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn này

Khái niệm tham số không được định nghĩa một cách duy nhất, chính vì thế

mà sau đây chúng tôi đưa ra một số cách hiểu về tham số:

Trong cuốn Dictionnaire des mathématiques đã viết: “Tham số (danh từ) là

“Tham s ố: đại lượng mà giá trị của nó được dùng để phân biệt các phần tử

c ủa một tập hợp nào đó”.[18, tr.138 - 139]

“Tham s ố: một biến vốn nhận các giá trị khác nhau, qua đó cung cấp các giá

tr ị khác nhau cho biến khác”[16, tr.609 - 610]

Theo cách hiểu này thì tham số được xem là “biến” có các giá trị khác nhau

và nó cung cấp các giá trị khác nhau cho biến khác

Đó là cách hiểu về tham số được trình bày trong một số cuốn từ điển toán

học Ngoài ra, trong dạng phương trình ax=b thì “các biến a b, có vai trò khác về căn bản so với biến x Bi ến x là biến cần được biểu thị qua các biến còn lại, còn

tham bi ến”[14, tr 63 - 64]

Theo Hoàng Kỳ thì “cho hàm số f x( ), ngoài các đối số ra còn có các chữ a,

bi ết thì chúng được gọi là tham số, hay thông số, hay tham biến” [15, tr 94]

Vậy qua các cách trình bày trong các tài liệu thì tham số được xem là hằng

Tiếp sau đây là khái niệm về phương trình tham số:

1.2 Phương trình tham số

Để hiểu nghĩa của tham số thì ta phải gắn nó với một phương trình khi đó ta

có phương trình chứa tham số Vậy phương trình chứa tham số được hiểu như thế nào?

Theo Nguyễn Bá Kim thì phương trình chứa tham số được hiểu như sau:

h ạn:

mãn phương trình trên mà là ở chỗ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian trong chuyển động đều

trường hợp đầu, vai trò các biến là bình đẳng thì trong trường hợp thứ ba này các

bi ến a, b có vai trò khác về căn bản so với biến x […] phương trình nhiều biến nếu

được nhìn dưới góc độ như thế thì sẽ bao gồm được tất cả các phương trình có

trình hay phương trình có chứa tham biến.[…]

Dưới góc độ của người thầy giáo, ta cần hiểu rằng đây là một phương trình

có ba bi ến, trong đó có sự phân biệt giữa hai loại biến: x là biến cần biểu thị qua

ta ph ải biểu thị các nghiệm qua các tham biến đó” [14, tr 63 -64]

Như vậy, nghiệm và tập nghiệm của phương trình chứa tham số phụ thuộc vào tham số, khi tham số thay đổi sẽ dẫn đến việc thay đổi tập nghiệm của phương trình Các tham số ở đây “được xem như đại diện cho những số đã biết và ta phải

bi ểu thị các nghiệm qua các tham biến đó” [14, tr 64]

Như vậy trong các bài toán chứa tham số người ta phải xem xét đối tượng tham số ở hai khía cạnh:

• Một là tham số được xem như là một giá trị số cố định

• Hai là tham số có sự thay đổi giá trị của nó, vì sự thay đổi giá trị này

mà tùy từng điều kiện cụ thể của bài toán mà nảy sinh sự phân chia các trường hợp khác nhau Trong từng trường hợp đó thì tham số lại được xem là một giá trị số cố định

Vì vậy, biện luận chính là quá trình đi lập luận về số nghiệm của phương trình tùy theo giá trị nhận được của tham số, nghĩa là ứng với trường hợp này của tham số thì ta có tập nghiệm tương ứng, ứng với trường hợp khác thì ta cũng có tập nghiệm tương ứng…

Trong phương trình thì khái niệm gắn liền với tham số nhiều nhất đó là ẩn

số, vậy giữa ẩn số và tham số có mối quan hệ như thế nào?

1.3 M ối quan hệ giữa tham số và ẩn số trong phương trình

Từ các cách hiểu về tham số và ẩn số chúng tôi đưa ra được các vấn đề sau:

- Nh ững điểm tương tự và khác nhau giữa tham số và ẩn số

Nh ững điểm tương tự:

- Cùng biểu thị bằng một chữ cái, ẩn số thường dùng chữ x còn tham số thì dùng chữ m,t ,…

- Có thể nhận được nhiều giá trị khác nhau và phải thỏa điều kiện cho trước

- Cùng hiện diện trong một phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình…

- Cả hai đều được xem là biến số trong biểu thức đại số

- M ối quan hệ giữa tham số và ẩn số

Từ sự phân tích trên ta thấy rằng giữa tham số và ẩn số có mối quan hệ một chiều, tức là các giá trị của ẩn số chỉ phụ thuộc vào các các giá trị của tham số, còn các giá trị của tham số không phụ thuộc vào giá trị của ẩn Điều này được thể hiện như sau:

“Phương trình ax=b được gọi là phương trình một ẩn chứa hai tham biến a

và b Dưới góc độ của người thầy giáo, ta cần hiểu rằng đây là một phương trình có

3 biến, trong đó có sự phân biệt giữa hai loại biến: x là biến cần biểu thị qua các

biến còn lại, còn a, b là các biến chỉ dạng phương trình.[…] các tham biến được xem như đại diện cho những số đã biết và ta phải biểu thị các nghiệm qua các tham

biến đó”.[12, tr 63 -64]

Như vậy trong phương trình chứa tham số thì các giá trị của tham số là độc

lập còn các giá trị của ẩn số thì lại phụ thuộc vào các giá trị của tham số

II M ối quan hệ thể chế đối với đối tượng PTBH chứa tham số:

2.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS và THPT:

2.1.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS:

Theo chương trình GDTHPT thì vấn đề phương trình được học sinh tiếp thu chính thức từ năm lớp 8 trở đi, nhưng PTBH thì được chính thức học vào năm lớp 9

với đầy đủ lý thuyết và kỹ năng để giải PTBH được trình bày ở trong chương IV

của phần đại số lớp 9, trước đó là các chương:

Chương I: Căn bậc hai, căn bậc ba

Chương II: Hàm số bậc nhất

Chương III: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Các chương này có thể xem là bước đầu để học sinh có thể tiếp thu phần PTBH

y=ax a≠ - Phương trình bậc hai một ẩn”,

y=ax a≠ là bài đầu tiên trước khi bước vào PTBH

Theo chương trình GDTHPT thì đối với PTBH học sinh cần có kiến thức là

“hiểu khái niệm phương trình bâc hai một ẩn” và về kỹ năng thì “vận dụng được cách giải phương trình bậc hai một ẩn, đặc biệt là công thức nghiệm của phương trình đó (nếu phương trình có nghiệm)” Còn kiến thức và kỹ năng về định lý Vi-ét

là “hiểu và vận dụng được định lý Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, tìm hai số biết tổng và tích của chúng”

Như thế, Chương trình GDTHPT không đặt yêu cầu học sinh giải các dạng toán PTBH chứa tham số mà chỉ tập trung vào việc giải PTBH với hệ số là số Ngoài ra các vấn đề ứng dụng PTBH cũng được trình bày như: giải bài toán bằng cách lập phương trình

2.1.2 Phân tích chương trình bậc THPT:

Theo chương trình GDTHPT thì phần đại số đối với lớp 10 gồm:

- “Mệnh đề Tập hợp, các phép toán: giao, hợp, hiệu của hai tập hợp Các tập

- Bất đẳng thức Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Dấu của nhị thức bậc nhất Bất phương trình và

hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, hai ẩn Dấu của tam thức bậc hai Bất phương trình bậc hai

- Góc và cung lượng giác, giá trị lượng giác của chúng Công thức cộng Công thức nhân đôi Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tích thành tổng”

Qua đó cho thấy trước khi giới thiệu về phương trình thì học sinh được tiếp xúc với các vấn đề như: mệnh đề, tập hợp; hàm số bậc nhất, bậc hai Các vấn đề này ít nhiều cũng giúp học sinh phần nào trong quá trình tiếp thu vấn đề phương trình và bất phương trình

Về phương trình một ẩn được chia thành hai phần: một là đại cương về phương trình, hai là phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai Trong

phần một thì các yêu cầu được đặt ra là:

“Ki ến thức:

đương phương trình

Bi ết khái niệm phương trình hệ quả

K ỹ năng:

được hai phương trình tương đương

Nêu được điều kiện xác định của phương trình (không cần giải các điều

ki ện)

Như vậy đối với bài này yêu cầu tập trung vào phần nắm các khái niệm về phương trình và các phép biến đổi tương đương Chưa thấy xuất hiện vấn đề liên quan tham số trong phương trình Còn phần hai liên quan nhiều đến việc tính toán

giải phương trình được chương trình GDTHPT đặt ra yêu cầu như sau:

Hi ểu cách giải các phương trình quy về dạng bâc nhất, bậc hai: phương

căn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích

K ỹ năng:

phương trình bậc hai

phương trình đưa về phương trình tích

b ậc hai

b ằng cách lập phương trình

Bi ết giải phương trình bậc hai bằng máy tình bỏ túi.”

Như vậy, đối với phần này chúng tôi nhận thấy tham số đã được đưa vào phương trình Như trong dạng giải và biện luận phương trình dạng ax b+ = , còn 0đối với PTBH thì tham số được đưa vào khi “xét dấu các nghiệm của PTBH” bằng cách vận dụng định lý Vi-ét

Ngoài ra PTBH chứa tham số được xuất hiện nhiều trong phần “dấu của tam

thức bậc hai Bất phương trình bậc hai”, yêu cầu của chương trình GDTHPT đối với

phần này như sau:

“Ki ến thức: Hiểu định lý về dấu của tam thức bậc hai

Kĩ năng:

ch ứa ẩn ở mẫu thức

Bi ết áp dụng việc giải bất phương trình bậc hai để giải một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai như: điều kiện để phương trình có nghiệm, có hai nghi ệm trái dấu”

Như thế qua việc phân tích chương trình lớp 10 chúng tôi thấy đã có sự xuất

hiện PTBH chứa tham số nhưng với mật độ rất thấp và sự yêu cầu chỉ ở mức cơ

bản

2.2 Phân tích SGK:

2.2.1 Phân tích SGK l ớp 9 (M1)

Trong M1 thì PTBH được trình bày ở chương thứ hai trước đó là chương về

“hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn”, chương này “là bước tiếp theo của hệ thống

Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Bài 7: Phương trình qui về phương trình bậc hai

Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Như vậy hai bài đầu của chương này trình bày trường hợp đơn giản nhất của hàm số bậc hai đó là hàm số dạng 2

y=ax a≠ nhưng nó lại vô cùng quan trọng

vì nó giải quyết hết mọi vấn đề cơ bản như: đồ thị là một đường cong gọi là parabol,

nhận trục Oy làm trục đối xứng, có điểm thấp nhất nếu a> (cao nhất nếu 0 a<0)

gọi là đỉnh của parabol Và đây cũng được xem là các kiến thức liên quan đến việc

giải phương trình bậc hai

Các bài còn lại đều liên quan đến PTBH Theo G1 thì những kiến thức về PTBH mà được trình bày trong M1 là “hầu như trọn vẹn mọi điều về lý thuyết cũng như về kỹ thuật tính toán”

Mục tiêu của các bài về PTBH là:

0

ax + =c , 2

0

ax +bx= và dạng tổng quát Mặc dù rằng có thể dùng công thức nghiệm để giải

mọi phương trình bậc hai, song cách giải riêng cho hai dạng đặc biệt nói trên rất đơn giản Do đó cần khuyên HS nên dùng cách giải riêng cho hai trường hợp ấy

Nắm vững các hệ thức Vi-ét và ứng dụng của chúng vào việc nhẩm nghiệm

của phương trình bậc hai, đặc biệt là trong trường hợp a b c+ + =0và a b c− + =0,

biết tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng Có thể nhẩm được nghiệm của các

x − x+ = x + x+ = ,…”

Theo yêu cầu như vậy thì chương này chỉ tập trung cho việc giải các bài toán phương trình bậc hai với hệ số thuần số không có xuất hiện dạng chứa tham số, đồng thời cũng không thấy đưa ra cách giải thể hiện sự tương giao của các đồ thị

Nhưng đó chỉ là các yêu cầu về kiến thức cần đạt được khi học xong các bài

về PTBH còn trong các bài tập các phần luyện tập trong M1 có xuất hiện các dạng PTBH chứa tham số không? Để biết được câu trả lời chúng tôi đi vào phân tích từng bài

Đầu tiên là bài “phương trình bậc hai một ẩn”, trong bài này thì trước hết M1 đưa ra một bài toán mở đầu để từ đó giới thiệu về định nghĩa PTBH, sau đó là các ví

dụ về giải các PTBH dạng khuyết b c, và dạng tổng quát với cách giải dùng hằng đẳng thức đưa về dạng 2

( )

f x =m, m là hằng số Trong phần bài tập thì có xuất hiện

một dạng bài tập về PTBH chứa tham số:

Bài tập 11/42 “Đưa các phương trình sau về dạng 2

0

ax +bx+ =c và chỉ rõ

hệ số a b c, , :

d) 2x2+m2 =2(m−1)x, m là một hằng số”

Như vậy M1 không đưa ra một định nghĩa gì liên quan đến khái niệm PTBH

chứa tham số mà chỉ đưa kèm theo lời giải thích khi có sử dụng tham số

Kế tiếp là hai bài liên tiếp trình bày về công thức nghiệm và công thức thu

gọn để giải PTBH, các bài tập cũng đều không có dạng chứa PTBH tham số mà chỉ

là các PTBH thuần số Nhưng sau các bài này thì có một bài luyện tập để rèn luyện cách giải PTBH đã học, ở cuối bài luyện tập này có xuất hiện một dạng toán về PTBH chứa tham số, đó là bài tập 24 trang 50:

Cũng như bài tập trước thì trong bài tập này M1 cũng đưa ra lời giải thích

nhằm để học sinh phân biệt đâu là ẩn số đâu là tham số

Bài 6 là về hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó, đây là hệ thức quan trọng được

vận dụng nhiều khi gặp các PTBH Cũng như các bài trước thì trong bài này đều không xuất hiện PTBH chứa tham số cả trong phần lý thuyết lẫn phần bài tập Sau bài này cũng có một bài luyện tập mà trong đó có xuất hiện dạng PTBH chứa tham

lại sử dụng hai biến số x m, trong phương trình với dụng ý là xem x là ẩn số và tham số là m

Hai bài tập cuối cùng là vận dụng PTBH để giải các bài toán quy về PTBH

và các bài toán thực tế ứng dụng của PTBH Ngoài ra các dạng bài toán về PTBH

chứa tham số còn xuất hiện ở phần bài tập ôn chương đó là các bài 60, 62 trang 64:

Bài tập 60 “Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:

a Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

b Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi–ét , hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.” Như vậy, qua việc phân tích trên chúng tôi nhận thấy rằng trong M1 không

xuất hiện định nghĩa khái niệm PTBH chứa tham số và không có quy ước nào để phân biệt đâu là ẩn số đâu là tham số mà chỉ được phân biệt qua các lời giải thích kèm theo bài tập Từ đó, chúng tôi nhận thấy có một hợp đồng didactic được diễn ra là:

“Trong các PTBH ch ứa tham số HS có trách nhiệm xem xlà ẩn và các

1: ( , , ) + × là trường số thực, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

Giải (lời giải trong G1)

Trong bài này M1 có đưa ra phần chú thích “m là hằng số” để học sinh có

thể phân biệt đâu là ẩn số đâu là tham số

Ta thấy trong dạng này M1 chỉ đưa ra m ở hai hệ số b c, còn hệ số a là một

hằng số, đồng thời hệ số b cho dưới dạng 2b

2 : ( , , ) + × là trường số thực, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

x − m− x+m = Tính ∆'

Giải (lời giải trong G1)

∆ =' (m−1)2−m2 =m2−2m+ −1 m2 = −1 2m

Nh ận xét:

Đây cũng là một kiểu nhiệm vụ cơ bản, nó được vận dụng rất nhiều trong các

kiểu nhiệm vụ sau này

Trong ví dụ này M1 cũng đưa phần chú thích để học sinh có thể xác định được tham số và ẩn số là “ẩn x”

Trong dạng của PTBH trên chúng tôi thấy rằng m chỉ xuất hiện trong hai hệ

số b c, không có trong hệ số a, đồng thời hệ số bcũng là bội của 2

Trong phần trình bày lời giải không có trình bày phần xác định các hệ số của PTBH và được xem như học sinh đã biết

T 1 3 : V ới giá trị nào của m để phương trình x 2

3.1: ( , , ) + × là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

Giải phương trình trên với ẩn là m

3.2: ( , , ) + × là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

x − m− x+m = với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép

Giải bất phương trình trên với ẩn m

1

3.3

θ : Các phép biến đổi đại số, công thức nghiệm

Θ1

3.3 : ( , +× ) là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

x − m− x+m = với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm

1

3.4

θ : Các phép biến đổi đại số, công thức nghiệm

Θ1

3.4 : ( , +× ) là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

7x + 2(m− 1)x−m = 0 với giá trị nào

của m thì phương trình có nghiệm

Giải (trong G1)

∆ = − + > với mọi giá trị của m Do đó, phương trình có nghiệm

với mọi giá trị của m

Nh ận xét:

Trong lời giải trên đưa ra nhận xét về ∆' luôn lớn hơn không điều này có thể gây khó khăn cho học sinh khi làm

Các kiểu nhiệm vụ con của T1

3 đều sử dụng công thức nghiệm thu gọn để tính, không thấy việc xác định các hệ số của phương trình Như vậy, trong quá trình tính delta của các kiểu nhiệm vụ T1

3 thì công việc xác định các hệ số của phương trình không cần trình bày

Đây là các kiểu nhiệm vụ vận dụng thuật toán giải PTBH để biện luận cho

4: ( , +× ) là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

x − x+ =m có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m

Trong yêu cầu của bài đã nêu lên các bước chính để giải bài toán, tức là yêu

cầu xác định m để phương trình có nghiệm rồi sau đó tính tổng và tích các nghiệm

Đây là dạng bài vận dụng để ghi nhớ công thức của định lý Vi-ét, và cũng là

tiền để để có thể giải quyết các kiểu nhiệm vụ sau

Trong yêu cầu của ví dụ này không có phần chú thích để phân biệt giữa tham

số và ẩn số nhưng trong yêu cầu đã có nêu “tìm giá trị của m…” nên có thể từ đây

5: ( , , ) + × là một trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

7x + 2(m− 1)x−m = 0

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính

tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m

Giải (trong G1)

∆ = − + > với mọi giá trị của m Do đó, phương trình có nghiệm

với mọi giá trị của m

Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình, ta có:

Không đưa ra phần chú thích để phân biệt ẩn và tham số, nhưng trong yêu

cầu có nêu “tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m”

Như ta thấy ∆' là một tam thức bậc hai nên G1 đã đưa ∆' về dạng của tổng bình phương và nhận xét ∆ > ∀ ' 0, m mà không sử dụng tam thức bậc hai để giải vì

Trong yêu cầu của M1 đã nêu ra cách làm chính để giải bài toán

T 1 6 : Tính nghi ệm còn lại của phương trình x 2

+ bx + c = 0 (*) khi bi ết

m ột nghiệm của phương trình

Với kiểu nhiệm vụ này thì M1 và G1 đều không trình bày cách giải, vì vậy chúng tôi không đưa ra kỹ thuật giải, nhưng trong phần hoạt động 2, 3 trang 51 của M1 thì có nêu “dùng hệ thức Vi-ét để tìm x2” Do đó kỹ thuật sử dụng hệ thức Vi-ét

sẽ được trình bày khi giải kiểu nhiệm vụ này

theo), hãy tìm nghiệm kia

b

a c

T 1 7 : Tính nh ẩm nghiệm của phương trình 2

Đây là bài đầu tiên trong M1 đưa ra phương trình không thỏa tính chất là hệ

số a không chứa m và hệ số b là số chẵn Theo chúng tôi thì do kiểu nhiệm vụ này khi giải không cần tính ∆ ∆( )'

Kiểu nhiệm vụ này vận dụng hai trường hợp đặc biệt được trình bày trong hai hoạt động 2, 3 trang 51 trong M1 để làm kỹ thuật giải

B ảng 2.1: Thống kê số bài tập trong M1 và E1

nhiệm vụ M1 chỉ đưa ra một bài tập nhằm giới thiệu qua các các dạng toán PTBH

chứa tham số với mục đích là rèn luyện cách vận dụng thành thạo công thức nghiệm và ghi nhớ định lý Vi-ét Trong đó tập trung nhiều là kiểu nhiệm vụ T1

3 với

4 bài tập được rãi đều cho 4 nhiệm vụ con, kiểu nhiệm vụ T1

4 có hai bài Hai kiểu nhiệm vụ này được M1 tập trung nhiều vì nó được giải quyết nhờ vào kiến thức về

công thức nghiệm và vận dụng định lý Vi-ét, đây là hai kiến thức cần đạt được trong yêu cầu của chương trình Nhưng trong SBT ta lại thấy các tác giả lại chỉ trình bày các kiểu nhiệm vụ T1

3, T15, T16 Trong đó tập trung nhiều nhất là T1

3 với 9 bài

và T16 với 5 bài trong tổng số 15 vì hai kiểu nhiệm vụ T1

3 là giúp học sinh tập trung vào việc ghi nhớ công thức nghiệm còn T1

6 thì giúp ghi nhớ kiến thức về định lý Vi-ét, còn kiểu nhiệm vụ T1

5 chỉ được giới thiệu chỉ có một bài, 9 bài còn lại được

tập trung vào kiểu nhiệm vụ T1

3 cụ thể là T1

3.1 với 2 bài, T1

3.2 với 4 bài, T1

3.4 với 3 bài không xuất hiện nhiệm vụ T1

3.3 Như vậy:

Qua việc phân tích M1 chúng tôi nhận thấy đặc điểm chung của các nhiệm

Có những bài M1 đưa ra phần chú ý về ẩn số hay tham số nhưng cũng có

những bài không đưa ra phần chú ý đó và xem như học sinh có thể phân biệt được tham số và ẩn số

Không thấy xuất hiện các nhiệm vụ thể hiện mối quan hệ giữa số nghiệm của

y=ax +bx+c với một đường thẳng song song trục Ox

Chương III: Phương trình Hệ phương trình

Chương IV: Bất đẳng thức Bất phương trình

Chương V: Thống kê

Chương VI: Cung và góc lượng giác Công thức lượng giác

Chúng tôi tập trung phân tích hai chương III và chương IV vì hai chương này liên quan đến PTBH chứa tham số Hai chương đầu là tiền đề để học sinh có thể

nắm các vấn đề trong chương III và chương IV Vì trong khái niệm phương trình thì M2 đã sử dụng “mệnh đề chứa biến” và các khái niệm khác trong phần tập hợp

Sau đây chúng tôi đi vào từng chương để phân tích Đầu tiên là chương III, chương này gồm 3 bài như:

Bài 1: Đại cương về phương trình

Bài 2: Phương trình qui về phương trình bậc nhất, bậc hai

Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Ôn tập chương III

Đối với chương III thì G2 đặt ra yêu cầu về kỹ năng như sau:

“Gi ải phương trình chứa giá trị tuyệt đối, phương trình chứa căn thức

Với yêu cầu như vậy thì M2 chỉ tập trung vào các dạng PTBH chứa tham số

dạng cơ bản, không đi sâu vào vấn đề này mà chỉ tập trung vào việc giải các PTBH thuần số hay các phương trình quy về PTBH và cách sử dụng máy tính bỏ túi để

giải PTBH

Cũng như M1 thì trước khi đi vào cách giải thì M2 cũng có một bài để trình bày các khái niệm về phương trình và các phép biến đổi phương trình Khái niệm phương trình một ẩn được định nghĩa như sau:

“Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f x( ) =g x( ) (1) trong đó

Như vậy, phương trình được định nghĩa thông qua “mệnh đề chứa biến có

dạng f x( ) =g x( )” chứ không xem phương trình là một dãy ký hiệu như M1 đã định nghĩa, M2 cũng định nghĩa rõ ràng nghiệm của phương trình và cách giải phương trình

Sau đó là các khái niệm về phương trình nhiều ẩn, phương trình chứa tham

số với mục đích là “để hoàn chỉnh phần đại cương về phương trình” Trong phần định nghĩa phương trình chứa tham số M2 đã nói “ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như hằng số và được gọi là tham số”, đây có

thể được xem là “định nghĩa” khái niệm về phương trình chứa tham số và khái niệm tham số đầu tiên mà học sinh được tiếp cận Ngoài ra M2 còn đưa ra cách hiểu thế nào là giải và biện luận phương trình chứa tham số, cụ thể là “giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó” Nhưng cũng như M1 thì M2 cũng không đưa ra một qui ước nào về việc xác định trong một phương trình thì đâu

là ẩn số, đâu là tham số, mà chỉ có đưa ra một ví dụ như sau về phương trình chứa

Bài 2 nhằm “ôn tập các kiến thức đã học ở lớp 9 về phương trình bậc nhất,

bậc hai và cung cấp cho học sinh cách giải hai loại phương trình quy về bậc nhất,

bậc hai là phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối và phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai”[G2,69] Do đó, M2 đã dành hẳn một phần để ôn tập về cách giải PTBH, định lý Vi-ét, còn phần phương trình bậc nhất thì đưa ra phương pháp giải và biện luận nhưng không cho ví dụ minh họa mà chỉ có một hoạt động tự

giải, cụ thể:

“Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

m x( −4)=5x−2”

Đó cũng là dạng phương trình chứa tham số duy nhất trong phần lý thuyết

Phần hai là tập trung giải các phương trình qui về phương trình bậc nhất, bậc hai Còn về phần bài tập, M2 chỉ tập trung đưa ra các PTBH thuần số, các phương trình quy về bậc nhất, bậc hai, giải và biện luận phương trình dạng ax b+ =0, ngoài ra M2 có trình bày bài tập 8 trang 63 như sau:

3x −2 m+1 x+3m− =5 0 Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia Tính các nghiệm trong trường hợp đó”

Đây là dạng PTBH chứa tham số xuất hiện đầu tiên của chương này, đến

cuối chương thì M2 cũng không đưa ra một PTBH chứa tham số nào khác

Sau đây chúng tôi tiếp tục phân tích chương IV, chương này gồm 5 bài như: Bài 1: Bất đẳng thức

Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

Trong phần một M2 trình bày khái niệm tam thức bậc hai và định lý về dấu

của tam thức bậc hai và các ví dụ áp dụng để học sinh có thể thành thạo việc xét dấu

của một biểu thức, các ví dụ đều không có chứa tham số

Trong phần hai về BPTBH thì M2 đưa ra khái niệm BPTBH và đưa cách giải như sau “giải bất phương trình bậc hai 2

0

ax + + <bx c thực chất là tìm các khoảng

( )

f x =ax +bx+ccùng dấu với hệ số a(trường hợp a<0) hay trái dấu

với hệ số a(trường hợp a>0)” và cho một hoạt động và ví dụ không có chứa tham

số để học sinh nắm cách làm, cuối cùng M2 đưa ra ví dụ 4 trang 104 như sau:

“Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu

2 ( 2 ) 2

2x − m − +m 1 x+ 2m − 3m− = 5 0” Đây là một dạng bài tập về PTBH chứa tham số nhưng trong lời giải có áp

dụng phương pháp giải BPTBH Trong phần bài tập cũng xuất hiện một dạng bài

Trong phần ôn tập cuối năm có:

Bài tập số 2 trang 160: “ Cho phương trình 2

a Xét xem với giá trị nào của m, phương trình trên có nghiệm

b Giả sử x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích

của chúng Tìm một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

c Xác định m để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 4.”

Như vậy, trong phần ôn tập cuối năm thì M2 lại đưa ra tới 5 dạng về PTBH

chứa tham số

Vậy trong M2 số lượng bài tập PTBH chứa tham số không nhiều chỉ tập trung nhiều trong phần vận dụng BPTBH, hơn nữa nó tập trung chủ yếu trong phần

ôn tập cuối năm

Tóm lại, trong M2 vẫn không đưa ra một qui ước nào về ký hiệu của ẩn số và tham số hay về cách phân biệt giữa tham số và ẩn số Chúng tôi nhận thấy trong tất

cả các bài liên quan đến tham số thì tham số luôn là m và ẩn số là x

 Các OM trong M2:

Trong phần này chúng tôi xét PTBH chứa m dạng: 2

0

ax +bx c+ = (**) trong

đó m có thể xuất hiện trong a hoặc b hoặc c

T 2 1 : Tìm các giá tr ị của tham số m để phương trình 2

Xét a=0 suy ra giá trị của m, thay m vào phương trình (*) giải

Xét a≠0 suy ra giá trị của m

Dựa vào ĐKCT và kết hợp với công thức nghiệm để đưa ra phương trình hay bất phương trình có ẩn là m

1: ( , , ) + × là một trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

Các ki ểu nhiệm vụ con:

Cũng như trong M1 thì việc xác định các hệ số của PTBH không được yêu

cầu mà xem như học sinh đã biết

Hệ số a của phương trình không có chứa m

T 2 1.3: Chứng minh rằng với m thỏa điều kiện cho trước, phương trình

2

0

ax +bx c+ = (**) có hai nghiệm phân biệt

Qua các kiểu nhiệm vụ con của T2

1 chúng tôi nhận thấy trong một số bài tập đưa ra m xuất hiện ở cả ba hệ số của phương trình, có bài thì xuất hiện ở hai

hệ số của 2

x và của x Điều này cho thấy các bài này có phần nâng cao hơn

so với trong M1 Nhưng đối với các bài phải tính sử dụng công thức nghiệm

để giải thì đều có thể tính được bằng ∆'

Chúng tôi nhận thấy có sự thay đổi vai trò của m, như là: đối với PTBH thì

m đóng vai trò là tham số, còn trong quá trình giải thì m lại giữ một vai trò khác đó là ẩn số trong khi giải bất phương trình bậc hai

T 2 2: Xác định m để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một điều

x x a

Giải phương trình trên tìm m

Nếu ĐKCT không thể biến đổi để xuất hiện tổng và tích hai nghiệm thì chúng ta sẽ có được một hệ ba phương trình ba ẩn là x x m1 , 2 , :

x x a

2: ( , , ) + × là một trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

Các ki ểu nhiệm vụ con:

a) Xét xem với giá trị nào của m, phương trình trên có nghiệm

b) Giải sử x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích

của chúng Tìm một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

c) Xác định m để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 4

Giải (trong G2)

c Từ x2 − =x1 4 suy ra

(x −x ) = (x +x ) − 4x x = 16m − 36(m− 1) = 16

τ vì các bước 1, 2 đã được trình bày trong câu a b,

T 2 2.2: Điều kiện (**) là có một nghiệm gấp k nghiệm kia

3x − 2(m+ 1)x+ 3m− = 5 0 Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia Tính các nghiệm trong trường hợp đó

Trong kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ T2

3 này thì bước 3 là bước sẽ gây nhiều khó khăn cho học sinh

Trong kiểu nhiệm vụ này chúng tôi nhận thấy m không xuất hiện ở hệ số a

của PTBH chứa tham số

2.3: Định lý Vi-ét, ( , , ) + × là một trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thức

Ví d ụ 4 trang 104: Tìm các giá trị của tham số mđể phương trình sau có hai

2x − (m − +m 1)x+ 2m − 3m− = 5 0

Giải

Phương trình bậc hai sẽ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi các hệ số a và

ctrái dấu, tức là m phải thỏa mãn điều kiện:

Đây là một ứng dụng của định lý Vi-ét, trong lời giải trên đã trình bày rõ

phần giải bất phương trình bậc hai với ẩn là m

Đây là kiểu nhiệm vụ chưa xuất hiện trong M1

Có sự thay đổi vai trò của m từ vai trò tham số trong PTBH sang vai trò là

ẩn số trong quá trình giải

T 2 3 : Tìm giá tr ị của m để x0 là m ột nghiệm của phương trình

b) Tìm các giá trị của m để −1 là một nghiệm của phương trình Sau đó tìm nghiệm còn lại

T 2 4 : Tìm h ệ thức giữa x1 và x2 không ph ụ thuộc m, v ới x x1 , 2 là hai nghi ệm của phương trình 2

Bước 3: Từ một trong hai biểu thức trên, biến đổi suy ra m rồi thay vào

biểu thức còn lại, thu gọn đưa ra hệ thức không phụ thuộc m

2

4

θ : Các phép biến đổi đại số, định lý Vi-ét

Θ2

4: ( , , ) + × là một trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực

x − mx+ m− =

b Giả sử x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích

của chúng Tìm một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

Giải (trong G2)