một nghiên cứu didactic về mối quan hệ giữa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa

CÂU H ỎI MỞ ĐẦU Khái niệm lũy thừa được đưa vào chương trình phổ thông từ lớp 6, trong đó lũy thừa bậc n n là số tự nhiên của một số thực a là tích của n thừa số a: Đến lớp 12, lũy thừ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lý T ấn Tài

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lý T ấn Tài

Chuyên ngành: Lý lu ận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ái Quốc, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Chân thành cảm ơn đến: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt khoá học Thạc sĩ

Ban Giám hiệu Trường THPT Phú Quốc đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian học tập; các đồng nghiệp luôn quan tâm, chia sẽ; các thầy cô tổ Toán – Tin Trường THPT Phú Quốc đã giúp đỡ tôi hoàn thành thực nghiệm luận văn này,

Ban Chủ nhiệm khoa Toán, lãnh đạo và chuyên viên phòng SĐH đã giúp đỡ, tổ chức tốt lớp học cho chúng tôi

Các bạn học viên, đặc biệt là các bạn học viên didactic khóa 20 đã thông cảm, chia sẽ, động viên và giúp đỡ nhau vượt qua những khó khăn trong thời gian học tập, nghiên cứu

Gia đình và những người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập

Lý Tấn Tài

DANH M ỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Căn bậc n của một số thực 6

Bảng 1.2 Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ 14

Bảng 2.1 So sánh định nghĩa hàm số lũy thừa ở bậc đại học và bậc THPT 28

Bảng 2.2 So sánh định nghĩa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức giảng dạy 29

Bảng 2.3 Bảng mô tả các kiểu nhiệm vụ về lũy thừa và hàm số lũy thừa 30

Bảng 2.4 Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M1 34

Bảng 2.5 Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M2 40

Bảng 2.6 Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M3 52

Bảng 2.7 Sự tiến triển của các tổ chức toán học 53

Bảng 3.1 Thống kê các chiến lược giải bài toán 1 của học sinh 67

Bảng 3.2 Thống kê các chiến lược giải bài toán 2 của học sinh 68

Bảng 3.3 Thống kê các chiến lược giải bài toán 3 của học sinh 70

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Mục lục

M Ở ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI TH ỨC KHOA HỌC 4

1 Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [2] 4

2 Khái niệm lũy thừa trong tài liệu[3] 8

3 Khái niệm lũy thừa trong tài liệu[1] 9

CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA TRONG CÁC TH Ể CHẾ DẠY HỌC 16

1 Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở THCS 16

1.1 Phân tích chương trình 16

1.2 Phân tích sách giáo khoa 17

2 Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở THPT 19

2.1 Phân tích chương trình 19

2.2 Phân tích sách giáo khoa 20

3 Các tổ chức toán học về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa 30

3.1 Các t ổ chức toán học trong M1 30

3.2 Các t ổ chức toán học trong M2 34

3.3 Các t ổ chức toán học trong M3 40

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM 57

1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm 57

2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm 57

2.1 Bài toán 1 và bài toán 2 57

2.2 Bài toán 3 63

3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm 67

K ẾT LUẬN 73 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phụ lục

MỞ ĐẦU

1 CÂU H ỎI MỞ ĐẦU

Khái niệm lũy thừa được đưa vào chương trình phổ thông từ lớp 6, trong đó

lũy thừa bậc n (n là số tự nhiên) của một số thực a là tích của n thừa số a:

Đến lớp 12, lũy thừa được mở rộng với số mũ nguyên âm, số mũ hữu tỷ, và

số mũ vô tỷ Cùng với sự mở rộng phạm vi số mũ, điều kiện của cơ số cũng có sự thu hẹp tương ứng

Sự thay đổi này đã gây không ít khó khăn cho học sinh từ đó dẫn đến những sai lầm mắc phải trong việc tiếp nhận khái niệm này Chẳng hạn, sai lầm của học sinh khi đồng nhất hàm chứa căn với hàm lũy thừa; sai lầm khi dùng máy tính bỏ túi tính giá trị của một lũy thừa với số mũ hữu tỉ có cơ số âm nhưng vẫn cho ra một giá

trị xác định, mặc dù lũy thừa này không tồn tại theo định nghĩa hiện hành

Trước thực tế như vậy, chúng tôi đặt ra các câu hỏi:

Q’1: Trong hệ thống dạy học, lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa được xây dựng như thế nào? Có những cách tiếp cận nào?

Q’2: Trong chương trình phổ thông, lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa được trình bày như thế nào?

Q’3: Những ràng buộc của chương trình có tác động như thế nào đến học sinh khi

học về các khái niệm này?

2 KHUNG LÝ THUY ẾT THAM CHIẾU

Chúng tôi đặt mình trong phạm vi lý thuyết của didactic toán Cụ thể chúng tôi sử dụng các khái niệm: chuyển đổi didactic; quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ

chức toán học của lý thuyết nhân chủng học; hợp đồng didactic

Chuyển đổi didactic: nhằm làm rõ sự chuyển đổi từ tri thức khoa học sang tri

thức cần giảng dạy, xem sự chuyển đổi này có phù hợp với mục tiêu đưa vào khái

niệm này hay không?

Lý thuyết nhân chủng học: phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khái

niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa từ đó làm rõ mối quan hệ thể chế, quan hệ cá

nhân đối với hai khái niệm này

Hợp đồng didactic: tìm ra những quy tắc hợp đồng ngầm ẩn giữa giáo viên

và học sinh từ đó giải mã cho những cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ có liên quan

3 CÂU H ỎI NGHIÊN CỨU

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, các câu hỏi ban đầu được chúng tôi cụ

thể hóa thành các câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa được trình bày như thế nào? Có những cách tiếp cận nào?

Q2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa xuất hiện và tiến triển như thế nào?

Q3: Quan hệ thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân khi học sinh giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hai khái niệm này ?

4 M ỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 3 Cụ thể: thứ nhất, tìm hiểu sự hình thành và tiến triển của khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa ở chương trình phổ thông; thứ hai, xác định các sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến lũy thừa của một số

và hàm số lũy thừa; thứ ba, xác định nguồn gốc của những sai lầm này để từ đó có những điều chỉnh trong cách dạy học, nhằm mang lại hiệu quả cao nhất trong giảng dạy

Để đạt được mục đích này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:

Ở cấp độ tri thức khoa học, chúng tôi phân tích nhằm làm rõ các cách tiếp

cận khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa

Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng tôi phân tích chương trình, sách giáo khoa và các tổ chức toán học liên quan đến lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa

ở cấp độ THCS và THPT nhằm làm rõ sự hình thành và tiến triển của chúng qua các

khối lớp

Kết quả phân tích ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy, chúng tôi đặt ra giả thuyết nghiên cứu

Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm để kiểm chứng những giả thuyết đã đặt ra

5 T Ổ CHỨC LUẬN VĂN

Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận

Ph ần mở đầu, chúng tôi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất

phát, khung lý thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận văn

Chương 1, trình bày kết quả phân tích về cách xây dựng lũy thừa của một số

và hàm số lũy thừa trong một số giáo trình đại học

Chương 2, trình bày kết quả về phân tích chương trình, sách giáo khoa, các

tổ chức toán học ở THCS và THPT gắn với lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa Đặt ra giả thuyết nghiên cứu

Chương 3, trình bày bộ câu hỏi thực nghiệm, phân tích tiên nghiệm và phân

tích hậu nghiệm bộ câu hỏi thực nghiệm

Ph ần kết luận, trình bày kết qủa đạt được của luận văn và đề cập những

hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn

Chương 1

KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC

KHOA HỌC

M ục tiêu của chương

Chương này tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: khái niệm lũy thừa và hàm

số lũy thừa được trình bày như thế nào trong các tài liệu ở bậc đại học? Chúng có

những cách tiếp cận nào?

Tài liệu tham khảo

1 Jean - Marie Monier (2009), Gi ải tích 1,Giải tích 2, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà

Nội [1]

2 Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông,

Lu ận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh

3 Alvin K.Bettinger, John A.Englund, Algebra and Trigonometry [2]

4 Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite series [3]

Chúng tôi chọn các tài liệu trên để phân tích vì các tài liệu này trình bày khá chi tiết về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa, hơn nữa các tài liệu này trình bày các cách khác nhau khi xây dựng lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa

1 Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [2]

Tài liệu này chỉ trình bày về lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không,

số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ; không trình bày lũy thừa với số mũ thực và hàm

số lũy thừa

Các kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ được trình bày cụ thể và chứng minh chi tiết

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho a là m ột số thực và n là số nguyên dương, a n là tích của n thừa số a; a

gọi là cơ số và n gọi là số mũ

Lũy thừa với số mũ nguyên dương có các tính chất sau:

a) Quy tắc nhân: cho a là một số thực và m, n là các số nguyên dương thì

cho m > n thì

m

m n n

a a a

−

Nếu a ≠ 0 và n > m thì a m n n m1

a =a − c) Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: cho a là một số thực và m, n là các số nguyên

Lũy thừa với số mũ không

Lũy thừa với số mũ không xuất hiện khi mở rộng điều kiện của m trong quy

tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: nếu a ≠ 0 và m = n, giả sử công thức m m n

n

a a a

Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa: ∀ a ∈ ℝ và a ≠ 0, a0 =1

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

Lũy thừa với số mũ nguyên âm xuất hiện khi mở rộng điều kiện của n trong

quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: nếu a ≠ 0 và m = -n, giả sử công thức

− =

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa dựa trên căn bậc n của một số

thực

Định nghĩa căn bậc n: cho n là số nguyên dương lớn hơn 1 và a là số thực bất

kì, căn bậc n của a là số b sao cho b n

Có hai căn bậc n của a

Giá trị dương kí hiệu: n a Giá trị âm kí hiệu: −n a

Có duy nhất một căn bậc n của a,

cho a là m ột số thực và n là số nguyên dương Giả sử a1n có nghĩa và công thức

Nếu a là số âm và n là số chẵn thì không định nghĩa a1n

Tiếp theo, tài liệu [2] nhận xét: Cho a là số thực dương; m, n là các số nguyên, n > 0 Nếu a m n có nghĩa và nếu công thức ( )n m nm

m

  Như vậy, a m n là lũy thừa bậc m của a1n

Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa 2 – định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu

tỉ:

• Định nghĩa 2

Cho m, n là các s ố nguyên, n > 0 và phân số m

n tối giản; số thực a và giả sử

a không âm khi n chẵn, thì a m n chỉ lũy thừa m của a1n Tức là 1

m m

+ Lũy thừa với số mũ 0: 0

n là phân số tối

giản và căn bậc n của a tồn tại

Do tài liệu [2] không trình bày về lũy thừa với số mũ vô tỉ nên chúng tôi chưa biết được cách tiếp cận định nghĩa này từ cách định nghĩa lũy thừa với số mũ

hữu tỉ như trên

2 Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [3]

Tài liệu này chỉ trình bày khái niệm lũy thừa của một số (lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số

thực bất kì), không trình bày về hàm số lũy thừa

Lũy thừa của một số

Tài liệu [3] không trình bày cụ thể về lũy thừa với số mũ nguyên như tài liệu [2] Các kiến thức này được trình bày ngắn gọn như sau:

Nếu x là một số thực bất kì, ta biết rằng x k (với k là số nguyên dương ≥ 2) được định nghĩa là tích của k thừa số, tất cả đều bằng x Ta kí hiệu: x1nghĩa là chính

nó; khi x ≠ 0, x0

bằng 1, x -k

bằng 1k

x (k = 1, 2, 3, …) Vì thế x p được định nghĩa cho

mọi số nguyên p Định nghĩa này thỏa 3 quy tắc cơ bản sau: p q = p q+

x x Từ các quy tắc này có thể suy ra được các quy tắc khác

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ cũng được định nghĩa dựa trên căn bận n của một

Lũy thừa với số mũ thực

Quá trình định nghĩa lũy thừa với số mũ thực có thể được tóm tắt như sau:

Cho (x n) là dãy hữu tỉ đơn điệu tăng, (y n) là dãy hữu tỉ đơn điệu giảm sao cho: x n ≤ y n với mọi n và hiệu số d n = y n – x n tạo thành một dãy có giới hạn là 0

Khi đó ta được một dãy các khoảng lồng nhau thắt dần, trong đó khoảng thứ n là

(x y n; n) Dãy các khoảng lồng nhau thắt dần này được kí hiệu là (x n|y n)

Dãy các khoảng lồng nhau thắt dần này có giao duy nhất, giả sử là s và được

Sau đó, tài liệu [3] đưa ra nhận xét: khi s là số hữu tỉ thì định nghĩa này hoàn

toàn phù hợp với các định nghĩa đã được xây dựng trước đó

Nh ận xét tài liệu [3]

Các kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên được trình bày giống tài liệu [2] Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa cho cơ số dương: m ( )m

n n

3 Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [1]

Lũy thừa của một số

Tài liệu này không trình bày định nghĩa và các tính chất của lũy thừa với số

mũ nguyên Tuy nhiên trong phần nhận xét mà tài liệu này nêu ra sau khi định nghĩa hàm số mũ cơ số e:

“M ệnh đề: exp1= e

Cho t ới lúc này thì kí hiệu e t được định nghĩa với t ∈ℤ hay t 1

n

= , n ∈ℕ* Ta

th ấy expt trùng với e t trong hai trường hợp này” (Giải tích 2, tr.6)

Đoạn trích trên chứng tỏ tài liệu [1] đã thừa nhận định nghĩa và các tính chất

của lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa với số mũ bất kì được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số a

Quá trình này có thể được tóm tắt theo sơ đồ sau: Hàm số logarit nêpe → Hàm mũ

→ Hàm logarit cơ số a → hàm mũ cơ số a → Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực

Hàm logarit nêpe

Hàm logarit nêpe, ký hiệu là ln, ánh xạ từ *

lim ln

+ = −∞ , nên ánh xạ ln có ánh xạ ngược, ánh xạ ngược này được gọi là hàm mũ,

exp :→+

Sau khi xây dựng xong hàm mũ, tài liệu [1] đưa ra nhận xét: “Cho tới lúc này

thì kí hi ệu e t được định nghĩa với t ∈ ℤ hay t 1

n

= , n ∈ ℕ*

Ta th ấy expt trùng với e t

trong hai trường hợp này Như vậy chúng ta có thể thác triển kí hiệu e t cho trường

h ợp t ∈ℝ b ằng cách đặt: ∀ ∈x , et =expt” (Giải tích 2, tr.10)

• (1; ) {1}, , exp1 1

exp

\

a a

x

Sau khi xây dựng xong hàm mũ cơ số a, tài liệu [1] nhận xét: “Cho đến lúc

này thì kí hi ệu a x đã được định nghĩa khi ( *

 vào ℝ, ở đây được kí hiệu là pα và

x + pα x xα eα

Vì hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm số mũ nên hàm số lũy

thừa có đầy đủ các tích chất của hàm số mũ Tài liệu [1] trình bày chi tiết về hàm số

lũy thừa p α:

Nếu α > 0 thì ln 0

0

x x

eα →→ + , và do đó ta có thể thác triển liên tục phải hàm

x x

x x

Nếu α < 0 thì pα không khả vi tại 0 và '

0

(0)

x

pα →+∞→ +

Bảng biến thiên của hàm số pα:

Đồ thị của hàm số lũy thừa

Mặc dù lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa không theo hướng mở rộng

như trong tài liệu [2] và [3] nhưng khi α là số nguyên thì định nghĩa này hoàn toàn

phù hợp với các kiến thức về lũy thừa đã biết trước đó Như vậy, các tính chất của lũy thừa được bảo toàn

Hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm mũ cơ số e:

và hàm số lũy thừa Chúng đều là kết quả của việc xây dựng hàm số mũ cơ số a

Kết quả phân tích tài liệu [1] có những nét tương đồng với kết luận về sự mở rộng khái niệm lũy thừa trong luận văn “Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học

phổ thông” của Nguyễn Hữu Lợi Kết quả về tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa trong luận văn này được tóm tắt như sau:

Có 2 tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên dương sang số

mũ thực:

Tiến trình 1: “hàm logarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa cơ số e → hàm mũ

cơ số a → lũy thừa cơ số a” (Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở

trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, tr.22) Trong tiến trình này, lũy thừa với số mũ thực trước hết được định nghĩa cho cơ số e Các tính chất

của e x (x ∈ ℝ) là cơ sở để xây dựng hàm mũ cơ số a (a > 0) Lũy thừa với số mũ

thực bất kì được định nghĩa từ hàm số mũ cơ số a, các tính chất của lũy thừa cũng được suy ra từ tính chất của hàm số mũ cơ số a

Tiến trình 2: “hàm lôgarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa thực cơ số e → lũy

th ừa thực cơ số a” (Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung

học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, tr.22) Trong tiến trình này, lũy thừa

với số mũ thực trước hết cũng được định nghĩa cho cơ số e, kết quả này là cơ sở để

xây dựng lũy thừa với số mũ thực cơ số a (a>0) Tính chất của lũy thừa với số mũ

thực cơ số a được suy ra từ tính chất của e x

Kết quả phân tích cho thấy tiến trình xây dựng lũy thừa của một số trong tài

liệu [1] giống tiến trình 1 trong luận văn của Nguyễn Hữu Lợi

2 Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm được mở rộng từ lũy thừa với

số mũ nguyên dương theo hướng bảo toàn tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương

+ Lũy thừa với số mũ 0: 0

3 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: kết quả về lũy thừa với số mũ hữu tỉ được tóm tắt như sau:

Bảng 1.2 Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ

5 Các quy tắc tính lũy thừa được bảo toàn với mọi số mũ

6 Hàm số lũy thừa được định nghĩa dựa vào hàm số mũ cơ số e:

và số mũ nguyên âm → số mũ hữu tỉ → số mũ thực Cách 2: lũy thừa của một số là

kết quả của việc xây dựng hàm số mũ cơ số a

Việc xây dựng hàm số lũy thừa hoàn toàn không dựa vào kết quả lũy thừa của một số, chúng xuất hiện độc lập với nhau

Chương 2

TRONG CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC

M ục tiêu của chương

Chương này tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: khái niệm lũy thừa và hàm

số lũy thừa xuất hiện và tiến triển như thế nào trong các thể chế dạy học ở trường

phổ thông? Đặc trưng của các tổ chức toán học gắn liền với các khái niệm này?

Để trả lời cho các câu hỏi đặt ra, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình

và sách giáo khoa lớp 6, 7 và lớp 12 hiện hành Đối với lớp 12, chúng tôi chọn phân tích sách 12 chương trình nâng cao, đồng thời có sự đối chiếu với sách 12 chương trình chuẩn

1 Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở (THCS)

1.1 Phân tích chương trình

a) Sách giáo khoa l ớp 6 (M1)

Chương trình của môn đại số 6 gồm 3 chương: chương I – ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN, chương II – SỐ NGUYÊN và chương III – PHÂN SỐ Khái niệm lũy thừa xuất hiện trong chương I và chương II

Chương I (39 tiết), khái niệm lũy thừa được trình bày ở §7 – Lũy thừa với số

mũ tự nhiên Nhân hai lũy thừa cùng cơ số (1 tiết), §8 – Chia hai lũy thừa cùng cơ

số (1 tiết), Luyện tập về lũy thừa (1 tiết) Bên cạnh đó, lũy thừa còn là công cụ dùng

để viết gọn tích của các thừa số giống nhau khi phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố (§15 – Phân tích một số ra thừa số nguyên tố)

Chương II, khái niệm lũy thừa được trình bày ở §12 – Tính chất của phép nhân (khái niệm lũy thừa được trình bày dưới dạng một chú ý)

b) Sách giáo khoa l ớp 7 (M2)

Chương trình của môn đại số 7 gồm 4 chương: chương I – SỐ HỮU TỈ SỐ

THỰC, chương II – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ, chương III – THỐNG KÊ, và chương

IV – BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Khái niệm lũy thừa xuất hiện trong chương I và IV

Chương I (23 tiết), khái niệm lũy thừa được trình bày trong §5, 6 – Lũy thừa

của một số hữu tỉ (2 tiết), luyện tập về lũy thừa (1 tiết)

Chương IV, §3 – Đơn thức, lũy thừa xuất hiện với vai trị là một trong những cơng cụ để nhân hai đơn thức

1.2 Phân tích sách giáo khoa

Trong phần này, chúng tơi sẽ phân tích M1 và M2 song song với nhau nhằm tìm hiểu cách trình bày khái niệm lũy thừa ở hai bậc học (lớp 6 và lớp 7), để từ đĩ làm rõ quan hệ thể chế đối với khái niệm lũy thừa

Khái ni ệm lũy thừa của một số

M1 tiếp cận khái niệm lũy thừa bằng hoạt động “a+ + + =a a a a.4, cịn

?

a a a a= ” (M1, tr.26), sau đĩ giới thiệu cách viết gọn biểu thức chứa tích của các

thừa số giống nhau bằng cách dùng lũy thừa “người ta viết 2.2.2 thành 2 3

; a.a.a.a thành a 4” (M1, tr.26) Khái niệm lũy thừa được M1 trình bày như sau: “Lũy thừa

b ậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

thừa số

.

n n

a = a a a

(n≠ 0) a g ọi là cơ số, n gọi là số mũ Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên lũy thừa.” (M1, tr.26)

Trên tập số nguyên, khái niệm lũy thừa được M1 trình bày khá vắn tắt “ta

cũng gọi tích của n số nguyên a là lũy thừa bậc n của số nguyên a (cách đọc và kí

hi ệu như đối với số tự nhiên).” (M1, tr.94)

M2 trình bày khái niệm này bằng cách kế thừa các kết quả cĩ được từ M1

“tương tự đối với số tự nhiên, với số hữu tỉ x ta định nghĩa: Lũy thừa bậc n của một

x =x x  x x∈ n∈ n> x n đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa

b ậc n của x; x gọi là cơ số, n gọi là số mũ.” (M2, tr.17)

Lũy thừa với số mũ 0

M1 tiếp cận lũy thừa với số mũ 0 bằng nhận xét “Với m > n ta cĩ:

a a a ( a≠ 0) Trong trường hợp m = n, ta cĩ: m: n = 1

a a v ới a≠ 0 (vì s ố bị chia b ằng số chia), chẳng hạn 54:54 = 1.” (M1, trang 29) Từ đĩ đưa ra quy ước

0

"a = 1 (a≠ 0)" (M1, tr.29)

M2 cũng đưa ra quy ước “ x0 = 1 (x ≠ 0)” (M2, tr.17), nhưng không giải thích

gì về tính hợp lí của quy ước này

a = a a a

Lũy thừa với số mũ 0 được định nghĩa cho cơ số a khác 0: a0

= 1 (a ≠ 0) Định nghĩa này xuất phát từ quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số khi số mũ bằng nhau

Quy t ắc tính lũy thừa

M1 chỉ trình bày hai quy tắc về nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số Quy tắc

về nhân hai lũy thừa cùng cơ số được xây dựng bằng ví dụ “Viết tích của hai lũy

th ừa sau thành một lũy thừa: 2 3

.2 2 ; a 4 a 3 ” (M1, tr.30), quy tắc về chia hai lũy thừa

cùng cơ số được xây dựng bằng hoạt động “Ta đã biết 5 3 5 4 = 5 7 Hãy suy ra

Kế thừa các kết quả có được từ M1, M2 phát biểu tương tự cho số hữu tỉ

“Với số tự nhiên a, ta đã biết: a m

.a n = a m+n ; a m :a n = a m-n (a ≠ 0, m ≥ n) Cũng vậy, đối với số hữu tỉ x, ta có các công thức: x m x n = x m+n ; x m :x n = x m-n (x ≠ 0, m ≥ n)”

(M2, tr.19) Bên cạnh hai quy tắc này, M2 trình bày thêm quy tắc lũy thừa của lũy

thừa, lũy thừa của một tích và lũy thừa của một thương Cách tiếp cận các quy tắc được trình bày giống với M1 Trên tập số hữu tỉ, lũy thừa có các quy tắc tính sau:

theo phương pháp quy nạp: từ kết quả của một số ví dụ cụ thể rồi khái quát thành cơng thức

Các quy tắc tính lũy thừa là yếu tố kỹ thuật trong nhiều kiểu nhiệm vụ liên quan đến lũy thừa

Cĩ sự tương ứng 1 - 1 giữa phép nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số với phép

cộng, trừ các số mũ Nhân hai lũy thừa cùng cơ số ứng với việc giữ nguyên cơ số và

cộng hai số mũ; chia hai lũy thừa cùng cơ số ứng với việc giữ nguyên cơ số và trừ hai số mũ (tương ứng)

Nh ận xét M1 và M2

1 V ề định nghĩa lũy thừa: lũy thừa được định nghĩa cho cơ số là một số tự

nhiên (lớp 6) và một số nguyên (lớp 7) với số mũ là một số tự nhiên Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a:

thừa số

.

n n

a = a a a Lũy thừa với số mũ 0 được định nghĩa cho cho cơ số khác 0: 0

1 ( 0 )

a a Định nghĩa này xuất phát từ quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số khi số mũ bằng nhau

2 V ề tính chất của lũy thừa: M1, M2 chỉ trình bày các quy tắc tính lũy

thừa: quy tắc nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số, quy tắc lũy thừa của lũy thừa, quy

tắc lũy thừa của một tích, của một thương Các quy tắc về so sánh lũy thừa khơng được trình bày

2 Khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa trong thể chế dạy học ở THPT 2.1 Phân tích chương trình

Chương trình của mơn giải tích 12 (chương trình nâng cao) gồm 4 chương, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa được trình bày trong chương II – HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT (39 tiết) Cụ thể:

Khái niệm lũy thừa được trình bày trong §1 – Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (2

tiết) và §2 – Lũy thừa với số mũ thực (1 tiết)

Hàm số lũy thừa được trình bày trong §6 – Hàm số lũy thừa (1 tiết)

Luyện tập về lũy thừa (2 tiết), luyện tập về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit (2 tiết)

Ngồi ra, các tính chất của lũy thừa cịn xuất hiện khi nghiên cứu về logarit

(§3 – Logartit), giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit (§7- Phương trình

mũ và logarit, §9 – Bất phương trình mũ và logarit) và chương III – NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

2.2 Phân tích sách giáo khoa

Khái niệm lũy thừa được M3 trình bày theo thứ tự lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ hữu tỉ và số mũ vơ tỉ Kết quả của việc mở rộng khái niệm lũy

thừa là một trong những cơ sở để xây dựng khái niệm logarit, hàm số mũ và hàm số logarit

Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa với số mũ nguyên được xây dựng theo thứ tự: lũy thừa với số mũ nguyên dương, lũy thừa với số mũ 0 và lũy thừa với số mũ nguyên âm

Lũy thừa với số mũ nguyên dương được M3 kế thừa từ các kết quả đã cĩ

trước đĩ: “Nhắc lại rằng với mỗi số nguyên dương n, lũy thừa bậc n của số a (cịn

g ọi là lũy thừa của a với số mũ n) là số a n xác định bởi

thừa số

.

n n

a = a a a (v ới n > 1),

1 =

a a ; a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ của lũy thừa a n

” (M3, tr.69)

Để xây dựng lũy thừa với số mũ nguyên, M3 đưa ra định nghĩa lũy thừa với

số mũ 0 và số mũ nguyên âm: “Với a ≠ 0, n = 0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy

Tính ch ất của lũy thừa với số mũ nguyên

Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên được M3 trình bày chi tiết, bao

gồm các quy tắc tính lũy thừa và các quy tắc so sánh lũy thừa:

Khi so sánh hai lũy thừa, có thể đưa hai lũy thừa về cùng số mũ và so sánh

cơ số, hoặc đưa hai lũy thừa về cùng cơ số và so sánh số mũ

Lũy thừa của một số mũ hữu tỉ

Khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa dựa trên căn bậc n của

một số thực dương Để làm rõ cách xây dựng khái niệm này, trước hết ta sơ lược

một số kết quả về căn bậc n của một số thực:

Căn bậc n của một số thực được định nghĩa như sau: “Với n nguyên dương,

căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho n

b =a ” (M3, tr.72) Từ định nghĩa này, M3 đưa ra nhận xét “Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Khi n

là s ố chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau Căn bậc

n c ủa số 0 là 0 Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của một số thực

b ất kì là một số không âm” (M3, tr.72-73)

Các tính chất về căn thức được tóm tắt như sau: Với hai số không âm a, b,

hai số nguyên dương m, n và hai số nguyên p, q tùy ý, ta có:

1) n n .n

ab = a b

n n

Do điều kiện xác định của biểu thức dưới dấu căn thay đổi tùy thuộc vào số

nguyên m, n nên để tránh những rắc rối trong việc trình bày, M3 đã thu hẹp điều

kiện xác định của chúng trên [0 ; +∞)

Từ mục tiêu mở rộng khái niệm lũy thừa của thể chế: “Lũy thừa với số mũ

h ữu tỉ cần phải được định nghĩa sao cho nó có tất cả các tính chất của lũy thừa với

s ố mũ nguyên.” (SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.114), M3 trình bày định nghĩa lũy

thừa với số mũ hữu tỉ như sau: “Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ

không th ỏa mãn; chẳng hạn ( )

3

2 23

có điều kiện cơ số dương cho số mũ không nguyên.”

Tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ được kế thừa hoàn toàn từ lũy thừa

với số mũ nguyên “Có thể chứng minh được rằng lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của

m ột số thực dương) có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu ở trên.” (M3, tr.75)

a a a Như vậy, a m n được hiểu là căn bậc n của a m

hoặc lũy thừa bậc m của

n

a

Biểu thức 1n n

a = a chỉ đúng khi a là một số thực dương Như vậy, ta hoàn

toàn có thể viết biểu thức a1n dưới dạng căn thức n

a mà không cần kiểm tra điều

kiện của a Ngược lại, biểu thức n

a chỉ được viết dưới dạng lũy thừa sau khi đã thu

hẹp điều kiện xác định của a (a dương)

Chúng tôi nghĩ rằng học sinh sẽ mắc sai lầm khi chuyển từ cách viết căn sang cách viết lũy thừa khi điều kiện của cơ số không hợp thức

Lũy thừa của một số mũ vô tỉ

Theo SGV Giải tích 12 nâng cao (tr.112) : “Lũy thừa với số mũ vô tỉ là một

khái ni ệm khó trong chương trình Toán phổ thông Để định nghĩa chính xác số aα

v ới a là một số dương và α là số vô tỉ tùy ý, người ta phải thực hiện các bước sau:

+ G ọi (αn) là m ột dãy số hữu tỉ sao cho limαn =α Khi đó ( )aαn là m ột dãy s ố xác định và có giới hạn (hữu hạn), tức là tồn tại lim( )aαn

+ Gi ới hạn lim( )aαn không ph ụ thuộc vào việc chọn dãy số ( )αn , nghĩa là:

N ếu ( )β là m n ột dãy số hữu tỉ tùy ý, thỏa mãn lim( )aβn =α thì

lim aβn = lim aαn ”

Trong khuôn khổ chương trình Toán phổ thông, M3 chỉ mô tả định nghĩa này theo tinh thần trên Tính chất của nó được kế thừa từ tính chất lũy thừa với số mũ nguyên và không được chứng minh

Nh ận xét

Lũy thừa với số mũ vô tỉ a α , trong đó α là số vô tỉ, được định nghĩa là giới

hạn của dãy số ( )r n

a với a > 0 và ( )r n là dãy số hữu tỉ hội tụ về α

Lũy thừa với số mũ vô tỉ có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên Như vậy, lũy thừa α

a được định nghĩa cho mọi cơ số a và mọi số mũ α Có

sự ràng buộc nghiêm ngặt giữa cơ số a và số mũ α, mối tương quan giữa chúng

được mô tả như sau:

Hàm s ố lũy thừa

Thứ tự trình bày hàm số lũy thừa trong M3:

§1 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

§2 Lũy thừa với số mũ thực

này được SGV giải tích 12 nâng cao giải thích như sau: “Cũng như các sách giáo

khoa trước đây, hàm số lũy thừa giới thiệu rất sơ lược; chỉ khác là đưa sau bài hàm

Số mũ (α) α là số tự nhiên α = 0 hoặc

α là số nguyên âm

α không nguyên

(hữu tỉ hoặc vô tỉ)

s ố mũ và hàm số logarit Sở dĩ có sự khác biệt đó là do phép chứng minh công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa có sử dụng đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit” (tr.149)

Như vậy, việc trình bày hàm số lũy thừa sau hàm số mũ và logarit nhằm sử

dụng các kết quả về đạo hàm của hàm số mũ và logarit để tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Định nghĩa hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa được khái quát từ các hàm số đã được học “Chúng ta đã

s ố lũy thừa” (M3, tr.114) Từ đó, M3 đưa ra định nghĩa “Hàm số lũy thừa là hàm

s ố có dạng y=xα, trong đó α là hằng số tùy ý.” (M3, tr.114)

Tập xác định của hàm số lũy thừa được khái quát từ nhận xét “Từ các định

y= x , v ới n nguyên dương, xác định với mọi

∈ 

y=x , v ới n nguyên âm hoặc n = 0, xác định với mọi x ≠ 0; hàm số

y=xα, v ới α không nguyên, có tập xác định là tập các số thực dương.” (M3,

tr.114) Như vậy, M3 chỉ rõ tập xác định của hàm số lũy thừa sẽ thay đổi theo tính

chất (nguyên dương, nguyên âm hoặc không nguyên) của số mũ

Tính liên tục của hàm số lũy thừa được thừa nhận “Người ta chứng minh

được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó” (M3, tr.114)

Với kết quả có được từ hàm số mũ và hàm số logarit, M3 trình bày các công

thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số chứa căn:

Công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa:

“a) Hàm s ố y=xα (α∈  ) có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và ( )' 1

x

xα =α α− b) N ếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số

( )

uα x =α α− x u x ” (M3, tr.115)

Công thức tính đạo hàm của hàm số chứa căn:

“a) Áp d ụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm

s ố căn bậc n sau đây: ( )'

b) N ếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0

v ới mọi x ∈ J khi n ch ẵn, u(x) ≠ 0 với mọi x ∈ J khi n l ẻ thì

1

'( )( )

( )

n

n n

Hàm số lũy thừa là hàm số cho bởi công thức y=xα, tập xác định của hàm

số lũy thừa thay đổi tùy thuộc vào tính chất của số mũ α Như vậy, M3 xây dựng

hàm số lũy thừa từ lũy thừa của một số Các kết quả về mở rộng khái niệm lũy thừa

là cơ sở để xây dựng hàm số lũy thừa

Việc trình bày rõ công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa và hàm số

chứa căn, M3 muốn phân biệt sự khác nhau giữa hàm số y=x1n và hàm số = n

y x

Đồ thị hàm số lũy thừa

Để tránh những rắc rối do sự thay đổi tập xác định của hàm số lũy thừa gây

ra, M3 chỉ xét chúng trên tập xác định là khoảng (0 ; +∞) (điều này được giải thích trong SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.149)

Kết quả về sự biến thiên của hàm số lũy thừa được trình bày sơ lược : “từ

' x

xα =α α− ta suy ra hàm s ố y=xα đồng biến trên khoảng (0 ; +∞) với

α > 0 và nghịch biến trên khoảng (0 ; +∞) với α < 0” (M3, tr.117) Đồ thị hàm số

lũy thừa y=xα được minh họa bằng hình vẽ trong 4 trường hợp tương ứng với

Trên tập xác định (0 ; + ∞), hàm số lũy thừa y=xα là hàm số đơn điệu (đồng

biến khi α > 0 và nghịch biến khi α < 0)

Đồ thị hàm số lũy thừa y=xα được M3 trình bày khá vắn tắt, đồng thời cũng không nhấn mạnh khi nghiên cứu hàm số lũy thừa phải xét trên toàn tập xác định

của chúng Không có kiểu nhiệm vụ vẽ đồ thị hàm số lũy thừa Mặc dù M3 có minh

họa đồ thị hàm số lũy thừa nhưng chúng lại được xét trên tập xác định đã thu hẹp

Từ sự thu hẹp điều kiện xác định của hàm số lũy thừa cùng với việc thể chế không ưu tiên các kiểu nhiệm vụ về hàm số lũy thừa, chúng tôi nghĩ rằng học sinh

sẽ quan niệm hàm số lũy thừa là hàm số đơn điệu

Kết quả về mở rộng khái niệm lũy thừa trong M3 còn là cơ sở để xây dựng hàm số mũ Tuy nhiên trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi sẽ không phân tích

về hàm số mũ Hơn nữa, khái niệm hàm số mũ đã được phân tích khá chi tiết trong

luận văn “Khái niệm hàm số mũ ở Trường trung học phô thông” của Nguyễn Hữu

Lợi

Ngoài ra, kết quả về mở rộng khái niệm lũy thừa trong M3 còn là yếu tố công nghệ trong kỹ thuật tìm nguyên hàm của hàm số chứa căn dạng n(ax b+ )α

Nh ận xét M3

1 V ề định nghĩa lũy thừa: lũy thừa của một số được xây dựng theo hướng

mở rộng dần: lũy thừa với số mũ nguyên dương → lũy thừa với số mũ nguyên âm

→ lũy thừa với số mũ hữu tỉ → lũy thừa với số mũ vô tỉ với cơ số là một số thực

+ Lũy thừa với số mũ nguyên dương n

a =a = a a>

+ Lũy thừa với số mũ vô tỉ α

a chính là giới hạn của dãy ( )r n

a với ( )r n là dãy số có giới hạn là α : α = lim r n ( ≠ 0 )

a a a với limr n =α

2 V ề tính chất của lũy thừa: lũy thừa được mở rộng theo hướng bảo toàn

tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, nghĩa là lũy thừa luôn được mở

rộng sao cho có đầy đủ các tính chất sau:

+ Quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: a aα β =aα β− (1) + Quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: α α β

β

−

=

a a

+ Quy tắc lũy thừa của một tích: ( )a b. α =a bα. β (3)

+ Quy tắc lũy thừa của một thương:   = α αα

Ngoài ra, M3 trình bày đầy đủ các tính chất về so sánh hai lũy thừa cùng cơ

số, hai lũy thừa cùng số mũ

3 V ề hàm số lũy thừa:

Hàm số lũy thừa là hàm số cho bởi công thức y=xα Tập xác định của hàm

số lũy thừa thay đổi tùy thuộc vào tính chất của số mũ Trên khoảng (0 ; +∞), hàm

số lũy thừa là hàm số đơn điệu

Cách định nghĩa này hoàn toàn khác với kết quả phân tích ở chương 1

Bảng 2.1 So sánh định nghĩa hàm số lũy thừa ở bậc đại học và bậc THPT

Hàm số lũy thừa y=xα là quy tắc

cho tương ứng mỗi số thực x với số

thực y=xα

Kết quả về mở rộng khái niệm lũy thừa và các tính chất của nó

Giới hạn

Câu hỏi đặt ra: Vì sao có sự khác biệt giữa hai cách định nghĩa hàm số lũy thừa ở bậc phổ thông và bậc đại học? Theo chúng tôi, ở bậc đại học, hàm số lũy

thừa được định nghĩa dựa trên kết quả của hàm số mũ cơ số e, tiến trình xây dựng

hàm số này cần đến các kiến thức về đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Ở chương trình phổ thông, các kiến thức này được trình bày sau khi học về hàm số lũy thừa

Vì vậy sách giáo khoa không thể định nghĩa hàm số lũy thừa như ở cấp độ đại học

4 Về mối quan hệ giữa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa: hàm số

lũy thừa được định nghĩa dựa trên kết quả của mở rộng khái niệm lũy thừa Các tính

chất hàm số lũy thừa đều được suy ra từ tính chất lũy thừa của một số

Đối với SGK 12 chương trình chuẩn, chúng tơi nhận thấy các kiến thức về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa được trình bày giống với kết quả phân tích trong M3

Kết quả phân tích chương trình và SGK (M1, M2, M3) chúng tơi tìm thấy được sự lựa chọn của thể chế khi trình bày về lũy thừa của một số và hàm số lũy

thừa Sự lựa chọn này được chúng tơi tĩm tắt trong bảng sau:

Bảng 2.2 So sánh định nghĩa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ở cấp độ tri

thức khoa học và cấp độ tri thức giảng dạy Đối tượng Cấp độ tri thức khoa học Cấp độ tri thức giảng dạy Lũy thừa với số mũ nguyên

.

n n

a = a a a

thừa số

.

n n

a = a a a

Lũy thừa với số mũ 0 a0 = 1 (a≠ 0) a0 = 1 (a≠ 0)

Lũy thừa với số mũ nguyên

a = a a>

m

n m n

α = a α

a

Hàm số lũy thừa

ln(0; )

α α α

3 Các tổ chức toán học về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa

Bảng 2.3 Bảng mô tả các kiểu nhiệm vụ về lũy thừa và hàm số lũy thừa

T1: Tính giá trị biểu

thức chứa lũy thừa

T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một lũy thừa

T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa tích, thương các lũy thừa

T1.3: Tính giá trị biểu thức gồm tổng các biểu thức trong

T1.2

T2: Viết biểu thức

dưới dạng lũy thừa

T2.1: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa (với cơ số không cho trước)

T2.2: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với cơ số cho trước

T2.3: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ cho trước

T3: So sánh hai biểu thức dạng lũy thừa

T4: Tìm x thỏa hệ thức chứa lũy thừa

T5: Rút gọn biểu

thức

T5.1: Rút gọn biểu thức chứa tích, thương các lũy thừa

T5.2: Rút gọn biểu thức chứa hỗn hợp căn và lũy thừa

T6: Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số căn

+ Định nghĩa lũy thừa

+ Các quy tắc tính lũy thừa

+ Tập số tự nhiên ℕ là một vị nhóm giao hoán

+ Tính chất các phép toán trên tập số tự nhiên ℕ

a) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : Tính giá trị của biểu thức chứa lũy thừa

Kiểu nhiệm vụ này gồm hai kiểu nhiệm vụ con: T1.1 và T1.2

 Kiểu nhiệm vụ T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một lũy thừa

?1 trang 27: Điền vào chỗ trống cho đúng:

• Kỹ thuật giải τ1.đn: áp dụng định nghĩa lũy thừa

 Kiểu nhiệm vụ T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa tích, thương các lũy thừa

Bài t ập 68 trang 30: Tính bằng hai cách:

Cách 1: tính số bị chia, tính số chia rồi tính thương

Cách 2: chia 2 lũy thừa cùng cơ số rồi tính kết quả

a = a a a

+ Quy tắc nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số

+ Các phép toán trên tập số tự nhiên

Nh ận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1.1 trong M1: cơ số và số mũ là các số cụ thể;

kiểu nhiệm vụ được trình bày tường minh, kỹ thuật giải đơn giản

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1.2 trong M1:

+ Biểu thức cần tính giá trị chỉ chứa tích hoặc thương của hai lũy thừa + Các lũy thừa này có cùng cơ số hoặc dễ dàng đưa về cùng cơ số

+ Kiểu nhiệm vụ được trình bày tường minh, kỹ thuật giải đơn giản

b) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 2 : Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa

M1 chỉ trình bày kiểu nhiệm vụ T2.1: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa (cơ

số không cho trước)

Ví d ụ trang 27: Viết tích của hai lũy thừa sau thành một lũy thừa 3 2

2 2 ; a a4 3 Bài giải

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T2.1 trong M1:

+ Biểu thức cần viết dưới dạng lũy thừa chỉ chứa tích hoặc thương các lũy

thừa

+ Các lũy thừa đã cho có cùng cơ số hoặc có thể đưa về cùng cơ số

+ Kiểu nhiệm vụ này không chỉ rõ cơ số trong lũy thừa nhưng được ngầm hiểu: đối với biểu thức có cơ số là chữ thì chọn cơ số này khi viết biểu thức dưới dạng lũy thừa; đối với biểu thức có cơ số là số thì chọn cơ số nhỏ nhất có thể để viết dưới dạng lũy thừa

c) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 3 : So sánh hai biểu thức dạng lũy thừa

Bài t ập 65 trang 29: Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T3 trong M1:

+ Biểu thức đem so sánh là một lũy thừa có cơ số và số mũ là các số cụ thể, hoàn toàn có thể tích được giá trị của chúng bằng kỹ thuật τ1.đn

+ Hai biểu thức đem so sánh có dạng a b

và b a

Kiểu nhiệm vụ này giúp học sinh phân biệt a b và b a, không có mối liên hệ gì

giữa hai biểu thức này, tránh sai lầm do biểu diễn hình thức của chúng gây ra Ngoài ra, việc giải quyết kiểu nhiệm vụ này giúp học sinh tránh sai lầm khi các em nghĩ rằng : b =

a a b

Bảng 2.4 Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M1

xuất hiện Tỉ lệ

T1: Tính giá trị

của biểu thức

chứa lũy thừa

T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một

29,4 %

T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa tích,

T2.1: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa (cơ số không cho

phù hợp với mục tiêu mà thể chế đặt ra (“Học sinh nắm được định nghĩa lũy thừa;

biết nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số” – SGV Toán 6 tập 1, tr.44, 47)

T3 không phải là kiểu nhiệm vụ so sánh hai lũy thừa, kiểu nhiệm vụ này trình bày nhằm hạn chế sai lầm mà học sinh có thể mắc phải do biểu diễn hình thức của chúng gây ra Vì vậy kiểu nhiệm vụ này không được M1 ưu tiên (11,8 %)

3.2 Các tổ chức toán học trong M2

Các tổ chức toán học sau có công nghệ được giải thích dựa trên lý thuyết công nghệ Θ[M2]:

+ Định nghĩa lũy thừa

+ Các quy tắc tính lũy thừa

+ Tập số hữu tỉ ℚ là một trường

+ Tính chất các phép toán trên tập số hữu tỉ ℚ

a) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : Tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa

Kiểu nhiệm vụ này gồm hai kiểu nhiệm vụ con: T1.1 và T1.2

 Kiểu nhiệm vụ T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một lũy thừa