một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thông, vectơ hình học và vectơ vật lý

Ở Việt Nam, khái niệm vectơ được đưa vào từ đầu năm lớp 10 của chương trình toán học phổ thông nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để nghiên cứu hình học, đồng thời phục vụ cho vi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Ngơ Thị Hồng Hạnh

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC

VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG:

VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Ngơ Thị Hồng Hạnh

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC

VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG:

VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ THỊ HỒI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, dù bộn bề công việc nhưng cô đã nhiệt tình hướng dẫn, luôn động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, đã nhiệt tình giảng dạy, cung cấp cho chúng tôi những công cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu đồng thời dẫn dắt chúng tôi tiếp cận một chuyên ngành mới, thú vị: didactic toán

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Tập thể lớp Didactic K18, những người đã cùng tôi làm quen, học tập và nghiên cứu

về didactic toán Đặc biệt là các bạn: Hoàng Thị Oanh, Đinh Quốc Khánh, Nguyễn Thị Tố Như, Lê Thị Huỳnh Liên, Nguyễn Thị Cẩm Trinh

- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Bình Phú nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn thông cảm, động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt

Ngô Thị Hồng Hạnh

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 6

MỞ ĐẦU 1

1.Lý do chọn đề tài 1

2 Lý thuyết tham chiếu 2

3 Mục đích nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Tổ chức của luận văn 3

CH ƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI VECTƠ HÌNH HỌC 4

1.1 Vectơ trong các chương trình hình học THPT trước năm 2006 4

1.2 Vectơ trong chương trình hình học hiện hành 4

1.2.1 Vectơ với tư cách là đối tượng trong sách giáo khoa hiện hành 5

1.2.2 Vectơ với tư cách là công cụ trong sách giáo khoa hiện hành 7

1.2.3 Các tổ chức toán học liên quan đến vectơ 9

1.3 Kết luận 18

CHƯƠNG 2: VECTƠ TRONG DẠY HỌC VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 19

2.1 Vectơ trong chương trình Vật lý hiện hành 19

2.2 Vectơ trong SGK Vật lý hiện hành 20

2.2 1 Vectơ trong SGK Vật lý 8 và SGK Vật lý 9 20

2.2.2 Vectơ trong SGK Vật lý 10 21

2.2.3 Vectơ trong SGK Vật lý 11 24

2.2.4 Ve ctơ trong SGK Vật lý 12 26

2.3 Các tổ chức vật lý liên quan đến vectơ 28

2.4 Kết luận: 50

CHƯƠNG 3 : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 52

3.1 Đối tượng thực nghiệm: 52

3.2 Giới thiệu bài thực nghiệm: 52

3.3 Phân tích tiên nghiệm: 53

3.4 Phân tích hậu nghiệm: 60

3.4.1 Phân tích bài 1 60

3.4.2 Phân tích bài 2 và bài 3: 63

KẾT LUẬN CHUNG 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của nhiều ngành toán học hiện đại, như đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân, Nó còn mang lại một công cụ hiệu quả cho việc nghiên cứu hình học sơ cấp Không chỉ trong phạm vi toán học, vectơ còn được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực của vật lý và kỹ thuật

Ở Việt Nam, khái niệm vectơ được đưa vào từ đầu năm lớp 10 của chương trình toán học phổ thông nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để nghiên cứu hình học, đồng thời phục vụ cho việc học môn vật lý Cụ thể là vectơ được sử dụng ở cả ba lớp 10, 11, 12

để biểu diễn và nghiên cứu các đại lượng vật lý Trong khuộn khổ của luận văn chúng tôi

quy ước dùng các thuật ngữ vectơ vật lý và vectơ hình học để nói về các vectơ được dùng

tương ứng trong hai phạm vi khoa học này

Liên quan đến khái niệm vectơ, chúng tôi tìm thấy một số công trình nghiên cứu didactique đề cập đến phương diện đối tượng cũng như phương điện công cụ của nó: Lê Thị Hoài Châu (Luận án tiến sĩ, 1997), Đỗ Công Đoán (Luận văn thạc sĩ, 2002), Võ Hoàng (Luận văn thạc sĩ, 2002), Hoàng Hữu Vinh (Luận văn thạc sĩ, 2002) Kết quả nghiên cứu của các công trình này cho thấy học sinh gặp khó khăn trong việc chiếm lĩnh khái niệm vectơ cũng như sử dụng công cụ vectơ trong phạm vi hình học Cụ thể, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã vạch ra những khó khăn mà học sinh thường gặp khi học tập phần vectơ:

- Khó khăn trong việc vượt ra khỏi mô hình mêtric để xem xét các đặc trưng định hướng của vectơ

- Khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc trưng định hướng của vectơ

- Khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của phép toán vectơ

Hơn thế, tác giả còn chứng tỏ được rằng ngoài nguồn gốc khoa học luận, những khó khăn trên còn có thể bị làm cho trầm trọng thêm bởi một sự lựa chọn chuyển đổi sư phạm

Các công trình mà chúng tôi đã kể ra ở trên chỉ nghiên cứu vectơ trong phạm vi hình học mà chưa đề cập đến khái niệm vectơ trong phạm vi vật lí Mặc khác những công trình này nghiên cứu về khái niệm vectơ trong các chương trình: chương trình cải cách giáo dục năm

1990 và chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 Trong khi chương trình hiện hành là chương trình phân ban được áp dụng từ năm 2006 trên toàn quốc

Thực tế này dẫn chúng tôi đến những câu hỏi sau:

Khái niệm vectơ được đưa vào chương trình hình học hiện hành có gì thay đổi so với các chương trình trước đó: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh

lý hợp nhất năm 2000?

Trong dạy học vật lý ở trường phổ thông, vectơ được đưa vào và sử dụng như thế nào? Học sinh gặp vectơ trong vật lý trước hay sau khi đối tượng này được nghiên cứu trong dạy học toán? Khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí học sinh gặp phải thuận lợi hay khó khăn gì? Việc nghiên cứu vectơ trong hình học có ảnh hưởng gì đến việc học tập các khái niệm có liên quan đến vectơ trong vật lí không?

Đó là những câu hỏi mà chúng tôi đặt ra và cũng là lý do mà chúng tôi chọn đề tài

“Một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thông : vectơ hình học và vectơ vật lý” để trả lời các câu hỏi trên.

2 Lý thuyết tham chiếu

Để trả lời cho các câu hỏi trên chúng tôi đặt nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic, cụ thể là thuyết nhân học

Trong thuyết nhân học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” và “praxéologie ”

Để thuận lợi trong việc trình bày, từ nay về sau chúng tôi quy ước gọi:

I1: là thể chế dạy học hình học THPT theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành

I2 : là thể chế dạy học vật lí ở trường phổ thông theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành

Nghiên cứu quan hệ thể chế sẽ cho chúng tôi biết đối tượng tri thức “vectơ” xuất hiện ở đâu, tồn tại như thế nào, có vai trò gì trong các thể chế I1 và I2 Nghiên cứu quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “vectơ trong vật lý” sẽ cho chúng tôi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm vectơ, từ đó trả lời cho câu hỏi “ Khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí học sinh gặp phải những thuận lợi và khó khăn gì?” Mối quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân được xác định thông qua việc nghiên cứu các“praxéologie ”

Q2 Trong thể chế I2, mối quan hệ thể chế với đối tượng vectơ có những đặc trưng

cơ bản nào? Vectơ được đưa vào ra sao, gắn với những nghĩa gì, được sử dụng như thế nào trong vật lý? Những tổ chức vật lý có liên quan đến vectơ ? Những kiểu nhiệm vụ nào đòi hỏi học sinh hiểu đúng khái niệm vectơ đặc biệt là hai đặc trưng định hướng của vectơ?

Q3 Những khó khăn mà học sinh gặp phải khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí?

4 Phương pháp nghiên cứu

- Trước hết, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa hình học hiện hành nhằm thấy được mối quan hệ thể chế đối với đối tượng vectơ trong thể chế I1 Trên cơ sở tham khảo kết quả nghiên cứu về vectơ trong các chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất của tác giả : Lê Thị Hoài Châu, Đỗ Công Đoán và Hoàng Hữu Vinh

Chúng tôi sẽ chỉ ra có sự thay đổi hay không về đặc trưng và vai trò của vectơ trong thể chế I1 với các thể chế dạy học vectơ theo các chương trình hình học: chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất Kết quả thu được cho phép chúng tôi trả lời cho câu

hỏi Q1

- Tiếp đến chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, sách giáo viên vật lý phổ thông hiện hành, tài liệu hướng dẫn giảng dạy, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các tổ chức vật lý gắn với

đối tượng vectơ Nghiên cứu này cũng cho phép chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q2 và Q3

- Từ những kết quả đạt được ở trên chúng tôi sẽ nghiên cứu và thiết lập một hệ thống câu hỏi thực nghiệm để kiểm chứng những giả thuyết mà chúng tôi đưa ra về những khó khăn của học sinh khi sử dụng vectơ trong vật lý

5 Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau :

Chương 1- Nghiên cứu quan hệ thể chế với vectơ hình học

Chương 2- Vectơ trong dạy học vật lý ở trường phổ thông

Chương 3- Nghiên cứu thực nghiệm

CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI VECTƠ

HÌNH HỌC

Bắt đầu từ năm 2006, chương trình phân ban được áp dụng trên cả nước Qua đó chương trình toán THPT gồm có: chương trình chuẩn và chương trình nâng cao; tương ứng

có hai bộ sách giáo khoa

Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ của thuyết nhân học để phân tích chương trình chuẩn nhằm làm rõ đặc trưng và vai trò của vectơ trong thể chế I1 Chúng tôi sẽ so sánh với vai trò của vectơ trong thể chế dạy học hình học theo chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 (mà chúng tôi sẽ gọi tắt là các chương trình trước năm 2006)

1.1 Vectơ trong các chương trình hình học THPT trước năm 2006

Trước hết vectơ được nghiên cứu với tư cách là đối tượng toán học trong chương

trình hình học 10 Cụ thể, chương trình đưa vào khái niệm vectơ, các phép toán vectơ, tọa

độ của vectơ Tiếp đến, vectơ được sử dụng làm công cụ để xây dựng định nghĩa tọa độ của

điểm Sau đó, công cụ vectơ được dùng để nghiên cứu các hệ thức lượng, các phép dời hình

và đồng dạng Các kiến thức vectơ trong mặt phẳng ở chương trình hình học 10 được dùng làm cơ sở để đưa vào phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian trong chương trình hình học 12

1.2 Vectơ trong chương trình hình học hiện hành

Về mặt cấu trúc, trong chương trình hình học hiện hành có một số thay đổi về trình tự đưa vào các kiến thức Ở chương trình hình học 10 phần các phép dời hình và phép đồng dạng được đưa lên chương trình hình học 11, thay vào đó là phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng từ chương trình hình học lớp 12 trước kia đưa vào cuối lớp 10.Tuy nhiên so với các chương trình cũ mục đích của việc dạy học vectơ không thay đổi, nó được đưa vào nhằm cung cấp cho học sinh một phương pháp mới để nghiên cứu hình học: phương pháp vectơ Qua đó, trong chương trình hình học 10, trước hết vectơ cũng được nghiên cứu với tư cách là đối tượng Sau đó, công cụ vectơ được dùng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, đồng thời xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng Trong chương trình hình học 11, công cụ vectơ được sử dụng để nghiên cứu các phép biến hình Nếu như trong các chương trình hình học trước năm 2006, ở chương trình hình học 11, phần hình học không

gian được nghiên cứu hoàn toàn bằng phương pháp tổng hợp thì trong chương trình hiện hành khái niệm vectơ trong không gian được đưa vào ngay từ lớp 11 nhằm cung cấp thêm công cụ để nghiên cứu một số nội dung của phần hình học không gian Cụ thể là quan hệ vuông góc trong không gian Sau đó công cụ vectơ tiếp tục được sử dụng làm cơ sở để đưa vào phương pháp tọa độ trong không gian ở chương trình hình học 12

Như vậy với sự thay đổi về cấu trúc của chương trình hình học hiện hành thì phương pháp vectơ được đề cập đến xuyên suốt từ lớp 10 đến lớp 12 mà không bị gián đoạn ở lớp 11 như trong các chương trình hình học trước năm 2006

Một điểm đáng lưu ý là trong chương trình hình học hiện hành có nhấn mạnh vai trò của vectơ trong vật lý qua mục tiêu

“Giới thiệu cho học sinh một số ứng dụng trong vật lý Trong vật lý 8, học sinh đã được học cách biểu diễn một lực bằng vectơ và cũng chỉ dừng lại ở cách biểu diễn Khi có kiến thức về vectơ học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu các kiến thức về cơ học trong chương trình THPT.”(SGV hình học 10 trang 22)

Trong khi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 với yêu cầu “ giảm tải” đã bỏ bớt một số nội dung lý thuyết trong đó có phần “ý nghĩa vật lý của vectơ”

Để kết luận, chúng tôi có thể nói rằng dù có sự thay đổi về mặt cấu trúc của chương trình hiện hành so với các chương trình trước năm 2006 nhưng vai trò của vectơ không thay đổi Mục đích của việc dạy học vectơ là cung cấp một công cụ hiệu quả để nghiên cứu hình học đồng thời phục vụ cho việc tiếp thu thuận lợi một số kiến thức trong phạm vi vật lý

1.2.1 Vectơ với tư cách là đối tượng trong sách giáo khoa hiện hành

Các khái niệm liên quan đến vectơ trong mặt phẳng được trình bày trong “Chương I Vectơ” củaSGK hình học 10 Trong chương này, các tác giả đưa vào khái niệm vectơ, tổng

và hiệu của hai vectơ, tích của vectơ với một số, hệ trục tọa độ Chúng tôi sẽ phân tích cách đưa vào khái niệm vectơ trong SGK hình học 10 hiện hành trên cơ sở so sánh với cách đưa vào khái niệm vectơ trong các SGK thuộc chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất (mà chúng tôi sẽ gọi tắt là các SGK trước năm 2006)

Trong toán học, để định nghĩa khái niệm vectơ hình học người ta có thể định nghĩa qua hệ tiên đề của không gian vectơ, qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc qua lớp tương đương các cặp điểm sắp thứ tự Trong chương trình toán trung học, khái niệm

vectơ thường được trình bày theo tư tưởng lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc lớp tương đương các cặp điểm Theo xu hướng này, khái niệm vectơ được xây dựng qua khái niệm phép tịnh tiến hoặc khái niệm vectơ buộc Trong các chương trình hình học trước năm 2006 đều lựa chọn xây dựng khái niệm vectơ qua khái niệm vectơ buộc theo sơ

đồ trình bày: định nghĩa vectơ là đoạn thẳng có hướng, sau đó định nghĩa hai vectơ cùng phương, mô tả hai vectơ cùng hướng, định nghĩa độ dài (hay môđun) của vectơ, cuối cùng định nghĩa hai vectơ bằng nhau Trong đó khái niệm vectơ tự do có thể được đưa vào một cách tường minh hay ngầm ẩn Khi nghiên cứu SGK hiện hành chúng tôi thấy rằng về cơ bản không có sự thay đổi trong việc đưa vào khái niệm vectơ so với các SGK trước năm

2006 Ở đây khái niệm vectơ cũng được đưa vào thông qua khái niệm vectơ buộc Khái niệm vectơ tự do không được trình bày tường minh Theo các tác giả: “Vì lí do sư phạm khi định nghĩa vectơ, ta không đề cập đến khái niệm vectơ tự do Tuy nhiên khi định nghĩa hai vectơ bằng nhau giáo viên cần hiểu hai vectơ này cùng thuộc một lớp tương đương và sau khi xây dựng tọa độ của vectơ thì tất cả các vectơ bằng nhau đều có cùng một tọa độ, như vậy thông qua tọa độ ta đã dùng các vectơ tự do” (SGV hình học 10 trang 23)

Sau khi định nghĩa và nêu ra các tính chất của phép nhân vectơ với một số SGK đưa ra mệnh đề về việc phân tích một vectơ qua cơ sở:

“Cho hai vectơ a

và b

không cùng phương Khi đó mọi vectơ x

đều phân tích một cách duy nhất theo hai vectơ a

Khái niệm vectơ trong không gian được đưa vào trong chương III “ Vectơ trong

không gian Quan hệ vuông góc trong không gian” của SGK hình học 11 Trong đó định nghĩa vectơ, các khái niệm liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, , các phép toán vectơ được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng Như vậy, cách đưa vào khái niệm vectơ trong không gian hoàn toàn tương

tự cách đưa vào khái niệm vectơ trong mặt phẳng

Tiếp theo SGK đưa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng và định lí về điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Định lí này cung cấp công cụ để chứng minh 4 điểm cùng thuộc một mặt

phẳng Sau đó SGK giới thiệu định lí về sự phân tích duy nhất của một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

“Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a

, b

, c

Khi đó với mọi vectơ x

ta tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x =ma +nb + pc

Ngoài ra bộ ba số m, n, p

là duy nhất ”(SGK hình học 11 trang 90)

Vai trò của định lí này được chương trình khẳng định là cơ sở để xây dựng phương pháp tọa

độ trong không gian:

“ Định lí 2 này là một định lí quan trọng vì dựa vào định lí này người ta mới xây dựng được khái niệm tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm trong không gian Điều đó đặt nền móng cho sự hình thành việc nghiên cứu hình học bằng phương pháp tọa độ trong không gian.”(SGV hình học 11 trang 90)

1.2.2 Vectơ với tư cách là công cụ trong sách giáo khoa hiện hành

II.2.1 Công cụ vectơ trong SGK hình học 10

Công cụ vectơ được dùng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, đồng thời xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng Để đưa vào các hệ thức lượng trong tam giác, trước hết SGK đưa vào khái niệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của tích vô hướng để tính độ dài của vectơ, góc giữa hai vectơ, khoảng cách giữa hai điểm Nhờ đó, các tác giả chứng minh định lí côsin, công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác…Trong các ứng dụng của tích vô hướng, SGK có đề cập đến ứng dụng trong vật lý:

“Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực F

tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OO’ thì công A của lực F

được tính theo công thức:

A = F OO  ' cosϕ

(hình 2.8) trong đó |F

| là cường độ của lực F

tính bằng Niutơn (viết tắt là N), |OO'

| là độ dài của vectơ OO'

tính bằng mét (m), ϕ là góc giữa hai vectơ OO'

và F

, còn công A được tính bằng Jun (viết tắt là J)

Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ F

và OO'

.”(SGK hình học 10 trang 41) Điều này cho thấy ý nghĩa vật lý của tích vô hướng của hai vectơ

Để xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng, ngay từ chương I các tác giả đưa vào các

kiến thức cơ sở của phương pháp tọa độ: khái niệm trục tọa độ và hệ trục tọa độ vuông góc,

tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ đối với trục và hệ trục

Về khái niệm tọa độ của vectơ SGKtrình bày như sau:

“Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u

Cặp số (x;y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u

đối với hệ tọa

độ Oxy và viết u = ( ; )x y

Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai gọi là tung độ của vectơ u

” (SGK hình học 10 trang 23)

Ở đây sự duy nhất của cặp số (x; y) là do sự phân tích duy nhất của một vectơ qua cơ sở

Sau khi đã đưa khái niệm tọa độ của vectơ thì vectơ được biểu diễn thông qua tọa độ của nó

và các phép toán vectơ cũng được thực hiện trên tọa độ các vectơ

Tọa độ của điểm được định nghĩa như sau:

“Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý

Tọa độ của vectơ OM

tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó” (SGK hình học

10 trang 23)

Việc đưa vào các khái niệm tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm là cơ sở để xây dựng phương

pháp tọa độ trong mặt phẳng ở chương III Từ đó, người ta nghiên cứu đường thẳng, đường

tròn và đường elip Công thức tính độ dài đoạn thẳng và góc giữa hai đường thẳng được suy

ra từ tích vô hướng của hai vectơ Phương trìnhđường thẳng, công thức tính khoảng cách từ

một điểm đến một đường thẳng được xây dựng dựa vào khái niệm vectơ chỉ phương và

vectơ pháp tuyến của đường thẳng Phương trình đường tròn và đường elip được thiết lập

mà không cần có sự can thiệp trực tiếp của vectơ (gián tiếp thì người ta đã sử dụng vectơ

thông qua công thức tính độ dài một đoạn thẳng)

II.2.2 Công cụ vectơ trong SGK hình học 11 và 12

Trong SGK Hình học 11, trước hết công cụ vectơ được dùng để nghiên cứu phép biến hình Cụ thể là vectơ được dùng để định nghĩa phép tịnh tiến, phép vị tự; chứng minh tính chất của phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm và phép vị tự Một điểm khác biệt so với các SGK trước năm 2006 là trong SGK hiện hành có đưa vào biểu thức tọa độ của một số phép biến hình: phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm Khi đó phương pháp tọa

độ được sử dụng trong việc xác định ảnh của các đối tượng điểm, đường thẳng, đường tròn qua các phép biến hình trên

Để nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian, SGK đưa vào khái niệm tích vô hướng của hai vectơ trong không gian và vectơ chỉ phương của đường thẳng Từ đó công cụ vectơ được dùng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trên cơ sở khái niệm vectơ trong không gian được giới thiệu ở Hình học 11, trong SGK Hình học 12 xây dựng phương pháp tọa độ trong không gian Các khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm đối với hệ trục được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng Các khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng, phương trình tham số của đường thẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được xây dựng dựa vào vectơ thông qua các khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, vectơ chỉ phương của đường thẳng Ngoài ra việc xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa hai đường thẳng cũng dựa vào kiến thức vectơ

1.2.3 Các tổ chức toán học liên quan đến vectơ

Như trong phần phân tích chương trình đã chỉ ra, trong các SGK Hình học 11 và 12 công cụ vectơ chủ yếu được sử dụng để xây dựng các kiến thức trong phần lý thuyết, đồng thời được sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong phần bài tập ở SGK hình học 11 Do đó trong phần này chúng tôi chỉ phân tích SGK Hình học 10, 11 nhằm làm

rõ vai trò của vectơ trong các tổ chức toán học liên quan đến vectơ Nghiên cứu các SGK này chúng tôi thấy các tổ chức toán học được hình thành từ những kiểu nhiệm vụ cơ bản sau:

T1 Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài của vectơ)

T2 Xác định tọa độ của vectơ

T3 Chứng minh một đẳng thức vectơ

T4 Tính tích vô hướng

T5 Phân tích (biểu thị) một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

T6 Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa một hệ thức vectơ

T7 Chứng minh hai điểm trùng nhau

T8 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

T9 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

So với các SGK trước năm 2006, trong SGK hiện hành đã bỏ đi các kiểu nhiệm vụ:

Tìm tỉ số một điểm chia một đoạn thẳng

Chứng minh một đường thẳng di động đi qua một điểm cố định

Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Dưới đây chúng tôi sẽ làm rõ những tổ chức toán học được thiết lập trong SGK từ các kiểu nhiệm vụ này Khi phân tích, chúng tôi sẽ dừng ở thành phần công nghệ, vì chúng là các tổ chức toán học bộ phận đều có chung Θ là lý thuyết vectơ và tập số thực R với các phép toán đại số

Tổ chức toán học gắn với T1 - Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài của

vectơ)

T1 gồm các kiểu nhiệm vụ con sau đây :

• T 11 : Tìm vectơ cùng phương hoặc cùng hướng với một vectơ hoặc bằng một vectơ cho trước

Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

O

• T 12 : Xác định vectơ tổng và vectơ hiệu (vẽ vectơ tổng hoặc vectơ hiệu; tính độ dài của vectơ tổng hoặc vectơ hiệu)

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB Vẽ các

vectơ MA MB  +

và MA MB  −

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Tìm độ dài của các vectơ AB

Công nghệ θ12 : định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ

Tổ chức toán học gắn với T2 - Xác định tọa độ của vectơ

T2 cũng gồm hai kiểu nhiệm vụ con

• T 21 : Tìm tọa độ của một vectơ biểu thị theo hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ Đề-cac

Kỹ thuật τ21 : Trong biểu thức đã cho, xác định hệ số của các vectơ đơn vị trên trục

Ox, Oy Nếu các hệ số đó theo thứ tự là x, y thì tọa độ của vectơ đã cho là (x, y)

Kỹ thuật:

τ31: Biến đổi vế này thành vế kia bằng cách dùng quy tắc 3 điểm

τ32 : Dùng quy tắc ba điểm kết hợp với hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi hai vế về cùng một vectơ

Công nghệ θ3:

- Các định nghĩa: vectơ bằng nhau, vectơ-không, phép cộng và hiệu hai vectơ, phép nhân vectơ với một số

- Tính chất của phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số

- Tính chất của tích vô hướng

- Quy tắc 3 điểm:Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN  +NP=MP

(Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật τ32) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB

và CD của tứ giác ABCD Chứng minh rằng: 2MN    = AC+BD=BC+AD

Tổ chức toán học gắn với T4 - Tính tích vô hướng

a) Có hai kiểu nhiệm vụ con gắn với T4:

T41: Cho trước độ dài đoạn thẳng, số đo góc Tính tích vô hướng

T42: Cho tọa độ vectơ, tính tích vô hướng

Các tính chất của tích vô hướng

=(2;2), hãy tính tích vô hướng a.b

Tổ chức toán học gắn với T5 - Phân tích (biểu thị) một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

a) Hai kiểu nhiệm vụ con của T5:

T51: Cho trước hai vectơ không cùng phương Hãy biểu thị các vectơ khác qua hai vectơ đó

T52: Cho tọa độ các vectơ Hãy biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

và b

, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x=ha+kb

.”

- Quy tắc ba điểm

- Nhận xét: “ Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau”

- Công thức tính tọa độ của các vectơ u     +v u, −v ku,

Tổ chức toán học gắn với T6 - Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa một hệ thức vectơ

Kỹ thuật τ6: Dùng quy tắc ba điểm, hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để rút gọn hệ thức đã cho về một trong các dạng:

- Hệ thức trung điểm:I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi   IA IB+ =0

- Tích của vectơ với một số và các tính chất

- Điều kiện để ba điểm thẳng hàng:”Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB=k AC

Ví dụ: Cho tam giác ABC Tìm điểm M sao cho MA MB + +2MC =0

Tổ chức toán học gắn với T7: chứng minh hai điểm trùng nhau

a) Có hai kiểu nhiệm vụ con của T7 được xem xét trong SGK:

T71: Chứng minh các đoạn thẳng có cùng trung điểm

T72: Chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm

b) Kỹ thuật:

τ71: Để chứng minh I ≡ I’ ta chứng minh II '=0

τ72: Tính tọa độ trọng tâm G và G’ của các tam giác ABC và A’B’C’, suy ra G và G’

có tọa độ bằng nhau, từ đó kết luận G ≡ G’

c) Công nghệ θ7 :

- Định nghĩa vectơ-không

- Quy tắc ba điểm

( Kiểu nhiệm vụ T 72 , kỹ thuật τ71 ) Chứng minh rằng  AB=CD

khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau

(Kiểu nhiệm vụ t 72 , kỹ thuật τ71 ) Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

( Kiểu nhiệm vụ t 72 , kỹ thuật τ72 ) Cho các điểm A(-4;1), B’(2;4), C’(2;-2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’ trùng nhau

Tổ chức toán học gắn với T8 - chứng minh ba điểm thẳng hàng

Kỹ thuật τ8: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng người ta làm như sau:

- Định nghĩa tích của một vectơ với một số

- Tính chất của phép nhân vectơ với một số

- Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k sao cho AB=k AC

Ví dụ: Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là

điểm trên cạch AB sao cho AK = 1

5AB

a) Hãy phân tích    AI AK CI CK, , ,

theo a=CA b ,  =CB

b) Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng

Tổ chức toán học gắn với T9: chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Kỹ thuật τ9: Để chứng minh AB⊥CD ta chứng minh rằng  AB CD =0

Công nghệ θ9:

- Định nghĩa tích vô hướng

- Các tính chất của tích vô hướng

- Chú ý: a b  = ⇔ ⊥0 a b

- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD Gọi P và Q lần lượt là trung

điểm của AB và CD Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc

Thống kê số bài tập tương ứng với các kiểu nhiệm vụ

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Bài tập Tổng cộng

phương, hướng, độ dài của vectơ được đặt trong mối liên hệ với các vectơ khác và dựa vào tính chất hình học của hình SGK có giới thiệu một bài tập ứng dụng trong phạm vi vật lí liên quan đến việc xác định vectơ và tổng của hai vectơ

cùng tác động vào một vật tại điểm M

và vật đứng yên Cho biết cường độ của F1

” (Bài tập 10 SGK Hình học 10 trang 12)

- Kiểu nhiệm vụ T2 nhằm mục đích củng cố định nghĩa tọa độ của vectơ và các công thức

về tọa độ của các vectơ u    +v u, −v ku,

Trong các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này các vectơ được cho dưới dạng phân tích theo hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ vuông góc hoặc cho trước tọa độ Không có bài tập nào cho bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp Kỹ thuật để giải quyết đơn giản chỉ áp dụng trực tiếp định nghĩa và các công thức

- Kiểu nhiệm vụ T3 giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi một hệ thức vectơ thành một

hệ thức vectơ Tương tự như ở các SGK trước năm 2006, số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm

vụ này nhiều hơn so với các kiểu nhiệm vụ khác Điều này cho thấy yêu cầu rèn luyện kỹ năng biến đổi các hệ thức vectơ là một yêu cầu trọng tâm Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này không được đưa ra tường minh mà chỉ ngầm ẩn qua lời giải các ví dụ và bài tập

- Mục đích của kiểu nhiệm vụ T4 là giúp học sinh biết cách vận dụng định nghĩa và biểu thức tọa độ để tính tích vô hướng của hai vectơ Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này đơn giản chỉ vận dụng định nghĩa và công thức để tính Vì trong phần lý thuyết không trình bày công thức hình chiếu nên không có bài tập liên quan đến việc sử dụng kỹ thuật này để tính tích vô hướng

- Kiểu nhiệm vụ T5 không xuất hiện trong SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 vì các tác giả không đưa vào định lí về phân tích vectơ qua cơ sở Trong kiểu nhiệm vụ T51 đề bài cho dưới dạng ngôn ngữ vectơ, khi đó kỹ thuật giải tương ứng sử dụng phương pháp vectơ Trong kiểu nhiệm vụ T52 đề bài cho bằng ngôn ngữ tọa độ, kỹ thuật giải tương ứng sử dụng phương pháp tọa độ Các kỹ thuật không được trình bày tường minh mà ngầm ẩn qua lời giải ví dụ và bài tập Yếu tố công nghệ được trình bày tường minh trong SGK

- Kiểu nhiệm vụ T6 nhằm mục đích rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ từ vectơ sang hình học tổng hợp và ngược lại đồng thời rèn luyện kỹ năng biến đổi trên một hệ thức vectơ Kỹ thuật không được trình bày tường minh trong SGK hiện hành mà ngầm ẩn qua lời giải các bài tập

- Các kiểu nhiệm vụ từ T7 đến T9 liên quan đến phương diện công cụ của vectơ Các bài tập thuộc các kiểu nhiệm cụ này được cho bằng ngôn ngữ tổng hợp, ngôn ngữ vectơ hoặc ngôn ngữ tọa độ Nếu đề bài cho bằng ngôn ngữ tổng hợp hoặc ngôn ngữ vectơ thì kỹ thuật để giải quyết tương ứng sẽ dựa vào các phép biến đổi vectơ, nếu đề bài cho bằng ngôn ngữ tọa

độ thì kỹ thuật giải chủ yếu dựa vào các công thức về tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm Dựa vào kết quả thống kê ở trên ta thấy số lượng bài tập liên quan đến phương diện công cụ của vectơ rất ít Điều đó cho thấy việc sử dụng vectơ để giải toán không được xem là mục đích quan trọng

- Kiểu nhiệm vụ T3 (chứng minh một đẳng thức vectơ) có số bài tập nhiều nhất Điều này cho thấy trong SGK hiện hành việc rèn luyện kỹ năng biến đổi các biểu thức vectơ, chứng minh đẳng thức vectơ vẫn là yêu cầu trọng tâm

1.3 K ết luận

Từ các kết quả phân ở trên, chúng tôi có thể khẳng định: Mặc dù phương pháp vectơ được đề cập xuyên suốt từ chương trình hình học lớp 10 đến lớp 12, nhưng cũng như trong các chương trình trước năm 2006, công cụ vectơ được sử dụng chủ yếu để xây dựng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác, phép biến hình, quan hệ vuông góc trong không gian và các kiến thức cơ sở của phương pháp tọa độ

Về các ứng dụng của vectơ trong vật lý: trong SGK hiện hành chỉ đề cập đến một đại lượng vật lý được biểu diễn bằng vectơ là lực, ứng dụng của phép cộng vectơ trong việc tổng hợp lực, của tích vô hướng trong việc tính công sinh bởi một lực Chúng tôi tự hỏi: Còn những đại lượng nào trong Vật lý có thể được biểu diễn bằng vectơ? Việc học các kiến thức về vectơ có giúp tiếp thu thuận lợi các kiến thức trong phần cơ học như mục tiêu mà chương trình hiện hành đề ra không? Chúng tôi sẽ tìm các yếu tố cho phép trả lời những câu

hỏi này trong phần phân tích ở chương tiếp theo

CHƯƠNG 2: VECTƠ TRONG DẠY HỌC VẬT LÝ Ở TRƯỜNG

PHỔ THÔNG

Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa và sách giáo viên môn vật

lý Cụ thể, chúng tôi sẽ tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây: Trong thể chế I2, khái

niệm vectơ được đưa vào ra sao, gắn với những nghĩa gì, được sử dụng như thế nào? Vectơ được đưa vào trước hay sau khi đối tượng này được nghiên cứu trong toán học? Các đặc trưng định hướng của vectơ được đề cập đến như thế nào? Có những tổ chức vật lý nào liên quan đến khái niệm vectơ?

2.1 Vectơ trong chương trình Vật lý hiện hành

Vectơ bắt đầu xuất hiện lần đầu tiên ở chương trình vật lý 8 trong tình huống biểu diễn lực Lúc này khái niệm vectơ chưa được nghiên cứu chính thức trong dạy học toán

Đến chương trình vật lý 10, vectơ được dùng để biểu diễn các đại lượng: vận tốc , gia tốc, lực Vận tốc, gia tốc được nghiên cứu trong chương “ Động học chất điểm” Lực được nghiên cứu trong các chương “Động lực học chất điểm”, “Cân bằng và chuyển động của vật rắn”.Khi đó mức độ cần đạt được về kiến thức liên quan đến các vectơ này là nêu được đặc điểm của các vectơ biểu diễn các đại lượng vectơ tương ứng; về kỹ năng là vẽ được vectơ biểu diễn:

“Viết được công thức định nghĩa và vẽ được vectơ biểu diễn vận tốc tức thời…”(SGV

Vật lí 10 trang 31)

“Nêu được đặc điểm của vectơ gia tốc trong chuyển động thẳng nhanh dần đêu, trong

chuyển động thẳng chậm dần đều”(SGV Vật lí 10 trang 9)

“Phát biểu được định nghĩa của lực và nêu được lực là đại lượng vectơ”(SGV Vật lí

10 trang 11)

“Biểu diễn được các vectơ lực và phản lực trong một số ví dụ cụ thể”(SGV Vật lí 10

trang 13)

Trong chương trình vật lý 11, vectơ được đề cập đến khi nghiên cứu các đại lượng: cường

độ điện trường và cảm ứng từ Cường độ điện trường được nghiên cứu trong chương “Điện tích – Điện trường”, cảm ứng từ được nghiên cứu trong chương “ Từ trường” Các mục tiêu

về kiến thức và kỹ năng liên quan đến các vectơ này cũng tương tự như trong chương trình Vật lý 10 là nêu được đặc điểm của vectơ biểu diễn và vẽ được vectơ biểu diễn

Trong chương trình Vật lý 12, vectơ được nhắc đến trong chương I “Dao động cơ” qua khái niệm “vectơ quay” dùng để biểu diễn phương trình dao động điều hòa trong phương pháp

“Giản đồ Fre-nen” Khi đó mức độ cần đạt về kỹ năng là

“Biểu diễn được phương trình của một dao động điều hòa bằng vectơ quay””(SGV Vật lí 12 trang 13)

Như vậy, trong chương trình Vật lý phổ thông vectơ được dùng để biểu diển các đại lượng vectơ và phương trình của dao động điều hòa Để làm rõ vai trò của công cụ vectơ trong việc khảo sát các đại lượng vectơ cũng như các đặc trưng của vectơ được đề cập đến như thế nào chúng tôi sẽ phân tích SGK vật lý 8, 9, 10, 11, 12 ở những nội dung mà chúng tôi nêu ra

ở trên

2.2 Vectơ trong SGK Vật lý hiện hành

Phân tích của chúng tôi dựa vào các tài liệu sau:

Vật lý 8 – Vũ Quang (Tổng chủ biên), Bùi Gia Thịnh (Chủ biên)

Vật lí 9 – Vũ Quang (Tổng chủ biên), Đoàn Duy Hinh (Chủ biên)

Vật lý 10 (cơ bản) – Lương Duyên Bình (Tổng chủ biên kiêm Chủ biên)

Vật lý 11(cơ bản) – Lương Duyên Bình (Tổng chủ biên), Vũ Quang (Chủ biên)

Vật lí 12 (cơ bản) – Lương Duyên Bình (Tổng chủ biên), Vũ Quang (Chủ biên)

Sách giáo viên ở các khối lớp tương ứng

2.2 1 Vectơ trong SGK Vật lý 8 và SGK Vật lý 9

Trước hết trong SGK Vật lý 8 nêu ra khái niệm đại lượng vectơ:

“Ngay từ lớp 6 ta đã biết một lực không những có độ lớn mà còn có phương và chiều Một đại lượng vừa có độ lớn, vừa có phương và chiều là một đại lượng vectơ”(SGK Vật lí 8 trang 15)

Từ đó đề cập đến việc biểu diễn lực bằng vectơ:

“Để biểu diễn vectơ lực người ta dùng một mũi tên có:

- Gốc là điểm mà lực tác dụng lên vật (gọi là điểm đặt của lực)

- Phương và chiều là phương và chiều của lực

- Độ dài biểu diễn cường độ của lực theo một tỉ xích cho trước

Vectơ lực được kí hiệu bằng chữ F có mũi tên ở trên: F

Cường độ của lực được kí hiệu bằng chữ F không có mũi tên ở trên: F ” (SGK Vật lí 8 trang 15)

Qua đó vectơ dùng để biễu diễn lực gồm có các đặc trưng: gốc (điểm đặt), phương, chiều và

độ dài Vectơ này mang nghĩa vectơ buộc Phương và chiều của vectơ được hiểu thông qua phương và chiều của lực

Trong SGK Vật lý 8 và 9, vectơ chỉ được dùng để biểu diễn cho đại lượng vectơ là lực Chương trình vật lí 8 nghiên cứu các lực: lực ma sát (có phương nằm ngang), lực đẩy Ác-si-mét (có phương thẳng đứng) Chương trình Vật lý 9 nghiên cứu lực điện từ Vectơ lực được dùng để minh họa trực quan cho các đặc trưng của lực được đề cập đến Ở đây vectơ chỉ mang nghĩa là đoạn thẳng có hướng (SGK dùng từ “mũi tên”) mà chưa thể hiện bản chất đại

số của nó Phép tính vectơ chưa được đề cập đến trong việc nghiên cứu đại lượng vectơ

2.2.2 Vectơ trong SGK Vật lý 10

Trong chương trình vật lý 10, vectơ được dùng để biểu diễn các đại lượng: vận tốc , gia tốc, lực

II.2.1 Vectơ vận tốc và vectơ gia tốc

Các khái niệm về vectơ vận tốc và vectơ gia tốc được trình bày trong bài 3 “ Chuyển động

thẳng biến đổi đều” và bài 5 “Chuyển động tròn đều” ở chương 1“ Động học chất điểm”

SGK không định nghĩa vectơ vận tốc và vectơ gia tốc một cách tổng quát mà định nghĩa ứng với từng trường hợp cụ thể: chuyển động thẳng biến đổi đều, chuyển động tròn đều Quy trình đưa vào vectơ vận tốc và vectơ gia tốc tương tự nhau:

Trước hết các tác giả đưa ra khái niệm độ lớn của vận tốc tức thời và gia tốc tức thời

∆ là tốc độ dài của vật tại điểm M Tốc độ dài chính là độ

lớn của vận tốc tức thời trong chuyển động tròn đều.”

“…Hệ số tỉ lệ a là một đại lượng không đổi và gọi là gia tốc của chuyển động Gia

Sau đó SGK đưa ra khái niệm vectơ vận tốc tức thời và vectơ gia tốc tức thời :

“ Vectơ vận tốc tức thời của một vật tại một điểm là một vectơ có gốc tại vật chuyển

động, có hướng của chuyển động và có độ dài tỉ lệ với độ lớn của vận tốc tức thời

theo một tỉ xích nào đó.” (SGK Vật lí 10 trang 16-17)

“…Trong điều kiện cung tròn có độ dài rất nhỏ, có thể coi như một đoạn thẳng, người ta dùng một vectơ ∆s

vừa để chỉ quãng đường đi được, vừa để chỉ hướng chuyển động gọi là vectơ độ dời Khi đó vận tốc sẽ được biểu diễn bằng vectơ vận tốc, cùng phương, cùng chiều với vectơ độ dời: v s

Khi vật chuyển động thẳng nhanh dần đều, vectơ gia tốc có gốc ở vật chuyển động,

có phương và chiều trùng với phương và chiều của vectơ vận tốc và có độ dài tỉ lệ với độ lớn của gia tốc theo một tỉ xích nào đó.”(SGK Vật lí 10 trang 18)

Từ đó suy ra các đặc trưng của các vectơ vận tốc tức thời và vectơ gia tốc tức thời

Nhận xét

- Trong định nghĩa vectơ vận tốc tức thời trong chuyển động tròn đều và vectơ gia tốc tức

thời SGK sử dụng cách viết “thương số” của một vectơ và một số Trong thể chế I1 không

định nghĩa phép chia một vectơ cho một số thực mà chỉ đề cập đến tích của một số thực với

một vectơ Do đó cách viết này không tồn tại trong I1 Chúng tôi cũng không tìm thấy một

sự giải thích nào cho sự tồn tại của cách viết này trong I2 Điều này có thể gây khó khăn cho học sinh trong việc chiếm lĩnh các khái niệm này Mặt khác để đưa vào khái niệm vectơ vận tốc tức thời trong chuyển động tròn đều và vectơ gia tốc tức thời SGK bắt đầu từ công thức

tính độ lớn, sau đó gắn cho những đại lượng này các đặc trưng phương và chiều, từ đó chuyển công thức độ lớn thành hệ thức vectơ Việc chuyển từ công thức độ lớn sang hệ thức vectơ nhất thiết phải dựa trên mối liên hệ về hướng của các vectơ nhưng điều này đã không được SGK giải thích rõ ràng Theo chúng tôi điều này có thể hình thành ở học sinh quan niệm có thể suy từ một công thức đại số sang công thức vectơ chỉ bằng một thao tác đơn giản là gắn dấu vectơ (dấu mũi tên) vào công thức đại số và ngược lại muốn tính độ lớn của vectơ chỉ cần bỏ dấu vectơ trong công thức vectơ để chuyển về công thức đại số

-Các vectơ biểu diễn cho vận tốc và gia tốc là vectơ buộc vì nó gắn với vật đang xét Các mối quan hệ về phương, chiều và độ lớn của các đại lượng vận tốc và gia tốc được thể hiện bằng các hệ thức vectơ thông qua các phép toán vectơ

II.2.2 Vectơ lực

- Lực được nghiên cứu trong các chương “Động lực học chất điểm”, “Cân bằng và chuyển động của vật rắn” Sau khi nhắc lại khái niệm lực và biểu diễn lực bằng vectơ SGK trình bàythí nghiệm chứng tỏ việc tổng hợp lực áp dụng các quy tắc tìm tổng các vectơ: quy tắc hình bình hành Điều này chứng tỏ lực là đại lượng vectơ Khi đó ngoài vai trò biểu diễn lực vectơ còn là công cụ để tổng hợp và phân tích lực

“Tổng hợp lực là thay thế các lực tác dụng đồng thời vào cùng một vật bằng một lực

có tác dụng giống hệt như các lực ấy Lực thay thế này gọi là hợp lực

Quy tắc hình bình hành: Nếu hai lực đồng quy làm thành hai cạnh của một hình bình hành, thì đường chéo kẻ từ điểm đồng quy biểu diễn hợp lực của chúng Về mặt toán học ta viết:   F =F1+F2

” (SGK Vật lí 10 trang 56)

“Muốn tổng hợp hai lực có giá đồng quy tác dụng lên một vật rắn, trước hết ta phải trượt hai vectơ lực đó trên giá của chúng đến điểm đồng quy, rồi áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm hợp lực” (SGK Vật lí 10 trang 98)

Trường hợp tìm hợp lực của hai lực song song cùng chiều tác dụng lên vật rắn thì vận dụng quy tắc:

“a) Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực song song, cùng chiều và có

độ lớn bằng tổng các độ lớn của hai lực ấy

b) Giá của hợp lực chia khoảng cách giữa hai giá của hai lực song song thành những đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn của hai lực ấy: F =F1+F2;

Các đặc trưng của lực và một số loại lực cụ thể được phát biểu dưới dạng các định luật Khi

đó công cụ vectơ được dùng để mô tả các định luật này dưới dạng một công thức toán học

để có thể tính toán được và làm cho các phát biểu trở nên gọn gàng hơn

Nhận xét

-Các đặc trưng của vectơ biểu diễn lực: điểm đặt, phương, chiều và độ dài Khi lực tác dụng lên chất điểm thì vectơ lực là vectơ buộc Vấn đề tổng hợp và phân tích lực chỉ đặt ra khi các lực có chung điểm đặt Tác dụng của lực thay đổi khi thay đổi điểm đặt Trong trường hợp lực tác dụng lên vật rắn thì có thể di chuyển vectơ lực trên giá của nó Do đó vectơ biểu diễn cho lực tác dụng lên vật rắn là vectơ trượt Khi đó việc tổng hợp hoặc phân tích lực được thực hiện khi giá của các vectơ lực đồng quy hay song song

-Các phép toán vectơ được sử dụng chủ yếu là các phép toán đại số trong đó xoay quanh hai phép toán: phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số

- Phép cộng vectơ lực cũng tuân theo quy tắc của phép cộng vectơ, tuy nhiên điểm đặt của vectơ hợp lực không tùy ý mà phụ thuộc vào điểm đặt của các vectơ lực thành phần, trong trường hợp ngẫu lực thì không thể tìm hợp lực của hai lực này Ở đây có sự khác biệt rõ giữa phép cộng vectơ hình học với phép cộng vectơ trong vật lý (phép tổng hợp lực) Phép tổng hợp lực chỉ thực hiện được khi các vectơ có chung điểm đặt (đối với lực tác dụng lên chất điểm) hoặc có giá đồng quy hoặc có giá song song (đối với lực tác dụng lên vật rắn)

2.2.3 Vectơ trong SGK Vật lý 11

Trong chương trình vật lí 11 vectơ được dùng để biểu diễn các đại lượng vectơ:

cường độ điện trường và cảm ứng từ

Khái niệm vectơ cường độ điện trường được đưa vào ở bài 3 “Cường độ điện

trường” trong chương “Điện tích –Điện trường” Trước hết, SGK đưa ra khái niệm điện trường Tiếp theo các tác giả đưa ra khái niệm cường độ điện trường:

“Cường độ điện trường tại một điểm là đại lượng đặc trưng cho tác dụng lực của điện

trường tại điểm đó Nó được xác định bằng thương số của độ lớn lực điện F tác dụng

lên một điện tích thử q (dương) đặt tại điểm đó và độ lớn của q: E F

q

= trong đó E là cường độ điện trường tại điểm mà ta xét” (SGK Vật lí 11 trang 16)

Từ đó đưa ra khái niệm vectơ cường độ điện trường:

“Vì lực F là đại lượng vectơ, còn điện tích q là đại lượng vô hướng, nên cường độ điện trường E cũng là đại lượng vectơ Cường độ điện trường được biểu diễn bằng

một vectơ gọi là vectơ cường độ điện trường: E F

q

=





Vectơ cường độ điện trường E

Khái niệm vectơ cảm ứng từ được trình bày ở bài 20 “Lực từ Cảm ứng từ” trong chương IV

“Từ trường” Đầu tiên SGK đưa ra thí nghiệm xác định lực từ Tiếp đến SGK đưa ra khái niệm cảm ứng từ:

“Thí nghiệm mô tả ở mục trên cho phép xác định lực từ F

do từ trường tác dụng lên đoạn dây dẫn M1M2 = l có dòng điện cường độ I chạy qua

Tiếp tục tiến hành thí nghiệm trong đó cho I và l thay đổi, kết quả cho thấy thương số

F

Il không thay đổi Thương số đó chỉ phụ thuộc vào tác dụng của từ trường tại vị trí đặt đoạn dây dẫn M1M2 Nói cách khác, có thể coi thương số đó đặc trưng cho tác

dụng của từ trường tại vị trí khảo sát Người ta định nghĩa thương số đó là cảm ứng

từ tại vị trí đang xét, kí hiệu là B: B F

Il

= ”( SGK Vật lí 11 trang 126)

- Sau đó SGK đưa ra khái niệm vectơ cảm ứng từ:

“Người ta biểu diễn cảm ứng từ bằng một vectơ gọi là vectơ cảm ứng từ, kí hiệu là

Ngoài ra công cụ vectơ còn được dùng để xác định cường độ điện trường tổng hợp và cảm ứng từ tổng hợp tại một điểm nhờ vào các nguyên lý chồng chất điện trường và từ trường

Nhận xét

-Giống như khi đưa ra các khái niệm vectơ vận tốc và vectơ gia tốc, SGK Vật lí 11 xuất phát từ mối liên hệ về đặc trưng số giữa các đại lượng để định nghĩa cường độ điện trường

và cảm ứng từ, sau đó gắn cho các đại lượng này các đặc trưng về phương và chiều, từ đó định nghĩa vectơ cường độ điện trường và vectơ cảm ứng từ Chúng tôi tìm thấy trong cách trình bày này một mâu thuẫn khi ban đầu SGK định nghĩa cường độ điện trường “bằng thương số của độ lớn lực điện F tác dụng lên một điện tích thử q (dương) đặt tại điểm đó và

giải thích về bản chất vectơ của gia tốc trong SGK Vật lý 10 Ở đây ta cũng bắt gặp cách

tương tự như trong định nghĩa vectơ gia tốc tức thời Rõ ràng với

lời giải thích và quy trình đưa vào vectơ biểu diễn như trên đã tiếp tục củng cố quan niệm có

thể chuyển từ biểu thức mô tả đặc trưng số của các đại lượng vectơ sang biểu thức vectơ chỉ

bằng cách thêm vào các dấu vectơ (dấu mũi tên)

-Vì các vectơ này liên kết với một điểm cố định trong điện trường hoặc từ trường nên chúng cũng là các vectơ buộc

2.2.4 Vectơ trong SGK Vật lý 12

Trong SGK Vật lý 12 vectơ còn được dùng để biểu diễn cho phương trình của dao động điều hòa Nội dung này được đề cập đến ở bài 5 “Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số Phương pháp giản đồ Fre-nen” trong chương I “Dao động cơ” Mỗi phương trình dao động điều hòa được biểu diễn bằng một vectơ quay có độ dài bằng biên độ dao động và hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu

“Ở bài 1 ta đã biết, khi điểm M chuyển động tròn đều thì vectơ vị trí OM

quay đều với cùng tốc độ góc ω Khi ấy x = Acos(ωt + ϕ) là phương trình của hình chiếu của vectơ quay OM

lên trục x Dựa vào đó người ta đưa ra cách biểu diễn phương trình

của dao động điều hòa bằng một vectơ quay được vẽ tại thời điểm ban đầu Vectơ quay có những đặc điểm sau đây:

-có gốc tại gốc tọa độ của trục Ox;

-có độ dài bằng biên độ dao động, OM = A;

-hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu (chọn chiều dương là chiều dương của đường tròn lượng giác)” (SGK Vật lí 12 trang 22)

Khi đó có thể tìm phương trình của dao động điều hòa tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số thông qua việc tìm vectơ tổng của hai vectơ quay biểu diễn cho các phương trình của dao động điều hòa thành phần (Phương pháp giản đồ Fre-nen)

“Ta lần lượt vẽ hai vectơ quay OM1

và OM2

biểu diễn hai li độ x1 = A1cos(ωt + ϕ)

và x2 = A2cos(ωt + ϕ) tại thời điểm ban đầu Sau đó ta vẽ vectơ OM

là tổng của hai vectơ trên Vì hai vectơ OM1

và OM2

có cùng một tốc độ góc ω nên hình bình hành

OM1MM2 không biến dạng và quay với tốc độ góc ω Vectơ đường chéo OM

cũng quay với tốc độ góc ω quanh gốc tọa độ O

Vì tổng hình chiếu của hai vectơ OM1

và OM2

lên trục Ox bằng hình chiếu của vectơ tổng OM

lên trục đó, nên vectơ quay OM

biểu diễn phương trình dao động điều hòa tổng hợp x = Acos(ωt + ϕ)” (SGK Vật lí 12 trang 23)

Việc biểu diễn phương trình của dao động điều hòa bằng vectơ quay cho phép xác định

phương trình của dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số thông qua việc xác định các yếu tố của vectơ quay

Kết luận

Trong chương trình vật lí phổ thông, vectơ đóng vai trò là công cụ để biểu diễn các đại lượng vectơ và biểu diễn cho phương trình của dao động điều hòa Các vectơ biểu diễn các đại lượng: vận tốc, gia tốc, lực tác dụng lên chất điểm, động lượng, cường độ điện trường, cảm ứng từ đều mang nghĩa vectơ buộc Vectơ biểu diễn cho lực tác dụng lên vật rắn mang nghĩa vectơ trượt Không có đại lượng nào được biểu diễn bằng vectơ tự do

Ngoài vai trò biểu diễn đại lượng vectơ nhằm minh họa trực quan các đặc trưng của đại lượng vectơ, công cụ vectơ còn được dùng để tổng hợp hai đại lượng vectơ cùng loại

Các phép toán đại số vectơ được sử dụng trong việc định nghĩa các đại lượng vectơ,

mô tả các định luật vật lí liên quan đến đại lượng vectơ đồng thời giải thích các đặc trưng của các đại lượng vectơ

2.3 Các tổ chức vật lý liên quan đến vectơ

Theo kết quả nghiên cứu ở trên, vectơ xuất hiện trong chương trình vật lí từ lớp 8 đến lớp 12, do dó chúng tôi sẽ nghiên cứu SGK các lớp từ lớp 8 đến lớp 12 Tương ứng trong SGK các khối lớp có các kiểu nhiệm vụ sau:

Tv5 Chất điểm ở vị trí cân bằng dưới tác dụng của 3 lực Biết một hoặc hai trong số các lực

đó, xác định lực còn lại

Tv5’ Vật ở vị trí cân bằng Xác định lực tác dụng vào vật hoặc lực mà vật tác dụng lên mặt phẳng đỡ

Tv6 Xác định hợp lực của hai lực song song cùng chiều:

Tv7 Xác định các lực song song cùng chiều biết điểm đặt và hợp lực của chúng:

Tv8.Xác định chuyển động của vật (hoặc hệ vật) biết các lực tác dụng lên vật ( hoặc hệ vật)

Tv9 Xác định các lực tác dụng lên vật (hoặc hệ vật) hoặc một số yếu tố có liên quan đến lực tác dụng lên vật (góc, hệ số ma sát,…) biết chuyển động của vật ( hoặc hệ vật)

Tv10 Cho một hệ cô lập Xác định vận tốc của hệ hoặc vận tốc của một vật trong hệ SGK lớp 11:

Tv11 Tính cường độ điện trường tổng hợp và vẽ vectơ cường độ diện trường tổng hợp tại một điểm

Tv12 Xác định cảm ứng từ tổng hợp tại một điểm

SGK lớp 12:

Tv13.Tìm phương trình dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số

Theo kết quả phân tích ở trên chúng tôi phân chia các tổ chức thành hai loại:

Các tổ chức gắn với vectơ buộc gồm các kiểu nhiệm vụ: TV1, Tv2, Tv3, Tv4, Tv5, Tv8, Tv9,

Tv10, Tv11, Tv12, Tv13

Các tổ chức gắn với vectơ trượt gồm các kiểu nhiệm vụ: Tv5’, Tv6, Tv7

III.1 Các tổ chức gắn với vectơ buộc:

Tv 1 Biễu diễn lực

τv 1 vẽ vectơ có gốc, phương, chiều, độ lớn ứng với điểm đặt, phương, chiều và cường độ của lực

θv 1 Lực là đại lượng vectơ

Ví dụ (C2 SGK Vật lí 8 trang 16): Biểu diễn những lực sau đây

- Trọng lực của một vật có khối lượng 5kg (0,5cm ứng với 10N)

- Lực kéo 15000N theo phương nằm ngang, chiều từ trái sang phải

Tv 2 D iễn tả bằng lời các yếu tố của lực

τv 2 điểm đặt của lực là gốc của vectơ

Phương và chiều của lực là phương và chiều của vectơ Cường độ của lực là giá trị độ dài của vectơ theo tỉ xích đã cho

θv 2 Lực là đại lượng vectơ

Ví dụ(C3 SGK Vật lí 8 trang 16): Diễn tả bằng lời các yếu tố của các lực vẽ ở hình

Nhận xét

Kiểu nhiệm vụ thứ nhất nhằm mục đích rèn luyện kỹ năng biểu diễn lực bằng vectơ Yêu cầu của kiểu nhiệm vụ này là học sinh vẽ được vectơ mô tả lực khi biết các thông tin về lực Kiểu nhiệm vụ thứ hai giúp học sinh đọc được những thông tin về lực được cho trên hình

vẽ Đây là hai kỹ năng cơ bản Trong các bài tập này phương của lực chủ yếu là phương thẳng đứng hoặc phương nằm ngang Chỉ có một bài phương của lực tạo với phương nằm ngang một góc 300

Hai kiểu nhiệm vụ này được nêu lên tường minh trong bài “Biểu diễn lực” trong SGK vật lí 8 và xuất hiện trong những bài nghiên cứu về các lực cụ thể ở lớp 8 và lớp 9, chẳng hạn ớ bài “Sự nổi":

“Có thể xảy ra ba trường hợp sau đây đối với trọng lượng P của vật và độ lớn FA của lực đẩy Ac-si-met:

a) P > FA b) P = FA c) P < FA

Hãy vẽ các vectơ lực tương ứng với ba trường hợp trên hình 12.1a, b, c và chọn cụm

từ thích hợp trong số các cụm từ sau đây cho các chỗ trống ở các câu phía dưới hình 12.1:

(1) Chuyển động lên trên (nổi trên mặt thoáng)

(2) Chuyển động xuống dưới (chìm xuống đáy bình)

(3) Đứng yên (lơ lửng trong chất lỏng)” (SGK vật lí 8 trang 43)

Tv 3 Tìm hợp lực của hai lực đồng quy

τv 3 vẽ sơ đồ vectơ biểu diễn các lực tác dụng vào vật

Xác định hợp lực F

của các lực này bằng quy tắc hình bình hành Xác định độ lớn của hợp lực và góc giữa các lực dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác

3

F



030

(xy là phương nằm ngang)

θv3 : Quy tắc tổng hợp lực (quy tắc hình bình hành); các hệ thức lượng trong tam giác

phương OM và ON cho trước Xác định các lực đó

τv 4 Từ đầu mút C của vectơ F

ta kẻ hai đường thẳng song song với hai phương

đó, chúng cắt những phương này tại các điểm A, B Các vectơ OA OB  ,

biểu diễn các lực thành phần F1

O