một lớp bài toán biên không địa phương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Ngọc Bích MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP 1 LUẬN VĂ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Ngọc Bích

MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP 1

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Ngọc Bích

MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP 1

Chuyên ngành : Toán Giải tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy Cô trong và ngoài Bộ môn Toán của Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, trường Đại học Quốc Tế - Đại học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian học Sau Đại học tại trường Tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khóa học

Tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô trong Trường Đại học Tây Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu đề tài Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị và các bạn đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơn

Xin chân thành cảm ơn

TP Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2012

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các kí hiệu

PHẦN MỞ ĐẦU 1

Chương 1 TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP 1 3

1.1 Phương trình vi phân hàm tuyến tính 3

1.1.1 Giới thiệu bài toán 3

1.1.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) 4

1.1.3 Phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra 8

1.2 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên không địa phương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1 17

1.3 Số chiều của tập hợp nghiệm của phương trình thuần nhất 23

Chương 2 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP 1 35

2.1 Phát biểu bài toán 35

2.2 Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm 36

2.3 Tính duy nhất nghiệm của bài toán biên cho phương trình vi phân đối số lệch 57

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

 C a b  là tập các hàm số liên tục tuyệt đối ( [ ], ; ) u a b →  :[ ],

 L a b  là không gian Banach các hàm số khả tích Lebesgue ( [ ], ; ) p a b →  :[ ],

 P là tập hợp các toán tử tuyến tính không âm, đó là các toán tử ab ∈L ab và

 mesA : độ đo Lebesgue của tập hợp A

 dimU : số chiều của không gian U

MỞ ĐẦU

Trong lĩnh vực toán học nói chung và phương trình vi phân nói riêng, lý thuyết bài toán biên đóng vai trò quan trọng và ngày càng có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, kinh tế, môi trường… Bài toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1 u t′( ) ( )( ) ( )= u t +q t với điều kiện biên h u( )= , trong đó c

[ ]

h C a b  → là một phiếm hàm tuyến tính liên tục, q L a b∈ ( [ ], ; , c ∈  )

và  là toán tử tuyến tính bị chặn mạnh, đã được nghiên cứu nhiều trong các công trình của I Kiguradze và B Puza trong các năm từ 1995 đến 2003… và đã thu được khá nhiều kết quả về tính giải được và giải được duy nhất của một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bị chặn mạnh

Trong [10] Shaefer đã chứng minh rằng tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn nhưng không bị chặn mạnh Như vậy, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là khi  là toán tử tuyến tính bị chặnthì các kết quả của I Kiguradze và B Puza có còn đúng hay không? Vấn đề này nhận được sự quan tâm của khá nhiều tác giả như R Hakl,

A Lomtatidze, Z Opluštil, I P Stavroulakis, J Šremr, Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng của các tác giả trên

Luận văn tập trung nghiên cứu vấn đề tồn tại nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của bài toán trên trong trường hợp  là toán tử tuyến tính bị chặn và n = 1

Nội dung của luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Tính giải được của bài toán biên không địa phương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1

Ở chương này chúng tôi trình bày lại sự tồn tại, duy nhất nghiệm và tính xấp

xỉ nghiệm của bài toán

trong đó  là toán tử tuyến tính bị chặn, h là phiếm hàm tuyến tính liên tục,

[ ]

( , , )

q L a b∈  và c ∈  Bên cạnh chúng tôi cũng áp dụng các kết quả đó để xét

số chiều không gian nghiệm của phương trình thuần nhất

Chương 2 Một lớp bài toán biên không địa phương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1

Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi áp dụng kết quả chương 1 để thiết lập một số điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán trên, với điều kiện biên được mở rộng hơn so với điều kiện biên của bài toán được nghiên cứu trong tài liệu [4], nghĩa là:

( ) ( )

u a =h u c+ , trong đó h là một phiếm hàm tuyến tính liên tục có dạng đặc biệt

u t′ =p t u τ t +q t ∫u s d sσ =c, trong đó p q L a b, ∈ ( [ ], , ), τ :[ ] [ ]a b, → a b, là một hàm đo được, σ :[ ]a b, →  là một hàm liên tục tuyệt đối, σ( )a >0, σ( )b >0 và c ∈ 

Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên năm cuối hoặc học viên cao học ngành Toán khi nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1

C hương 1 TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG ĐỊA

PHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP 1

Trong chương này chúng tôi trình bày lại một số kết quả về sự tồn tại và duy

nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên không địa phương cho phương

trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1 từ tài liệu [6] Từ đó áp dụng để xét số chiều của

không gian nghiệm của phương trình thuần nhất

1.1 Phương trình vi phân hàm tuyến tính

1.1.1 Giới thiệu bài toán

Trên đoạn [ ]a b , xét bài toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính ,

Hàm u a b →  được gọi là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) nếu nó liên :[ ],

tục tuyệt đối trên [ ]a b , thỏa (1.1) hầu khắp nơi trên , [ ]a b và thỏa (1.2) ,Cùng với bài toán (1.1), (1.2) ta xét bài toán thuần nhất tương ứng

Giả sử ∈Lab Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

bài toán thuần nhất tương ứng (1.1 ) , 0 (1.2 )0 chỉ có nghiệm tầm thường

Từ định lý 1.2 ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3 Cho ∈Lab và bài tốn (1.10), (1.20) chỉ cĩ nghiệm tầm thường Tốn tử Ω:L a b( [ ], ,)→C a b( [ ], , xác định với mỗi ) q L a b∈ ( [ ], , ứng với )

một nghiệm u của bài tốn (1.1), (1.20) Khi đĩ Ω được gọi là tốn tử Green của bài tốn (1.10), (1.20)

Định lý 1.4 Giả sử ∈Lab và bài tốn (1.10), (1.20) chỉ cĩ nghiệm tầm thường Khi

đĩ tốn tử Green của bài tốn (1.10), (1.20) là một tốn tử tuyến tính bị chặn

Ta chú ý rằng cả định lý 1.2 và 1.4 đều được phát biểu cho trường hợp  là tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh, điều này cho phép nghiên cứu một lớp khá rộng các tốn tử tuyến tính

Trong [10], Shaefer đã chứng minh rằng tồn tại tốn tử tuyến tính bị chặn nhưng khơng bị chặn mạnh , tức là tồn tại ∈L ab nhưng ∉Lab Như vậy, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: khi ∈L ab thì định lý 1.2 và định lý 1.4 cĩ cịn đúng hay khơng? Năm 2000 định lý 1.2 đã được Bravyi chứng minh cho trường hợp  là tốn tử tuyến tính bị chặn Cách chứng minh của Bravyi dựa trên kết quả của định lí Nikol’ski’s và tập trung trả lời câu hỏi về tính chất Fredholm Vì vậy trong chương này chúng tơi xin trình bày lại chi tiết hơn một cách chứng minh khác của định lý 1.2 dựa vào chứng minh tốn tử T C a b: ( [ ], ,)→C a b( [ ], , được định nghĩa bởi )

[ ]

t a

T v t =∫ v s ds với t∈ a b

là tốn tử compact khi ∈L ab Đồng thời tính compact của tốn tử T cho phép

chúng tơi xét tính xấp xỉ nghiệm của bài tốn (1.1), (1.2) Đặc biệt khẳng định định

lý 1.4 vẫn đúng trong trường hợp  là tốn tử tuyến tính bị chặn (thể hiện ở hệ quả 1.18) Sau đĩ áp dụng các kết quả trên để xem xét số chiều của khơng gian nghiệm của phương trình thuần nhất

1.1.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn (1.1), (1.2)

Định lí 1.5 Bài tốn (1.1), (1.2) cĩ nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài tốn thuần

nhất tương ứng (1.10), (1.20) chỉ cĩ nghiệm tầm thường

Để chứng minh định lý 1.5 ta cần một số kết quả sau đây từ [3]

Bổ đề 1.6 [định lý IV.8.6] Không gian L a b  là hoàn toàn yếu ( [ ], , )

Bổ đề 1.7 [định lý VI.7.6] Toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian C a b  ( [ ], , )

vào không gian Banach hoàn toàn yếu là liên tục hoàn toàn yếu

Bổ đề 1.8 [định lý IV.8.11] Nếu M L a b⊆ ( [ ], , là tập compact tương đối yếu thì )

nó có tính chất tích phân liên tục tuyệt đối Nghĩa là với mọi ε >0, tồn tại δ > , 0sao cho với mọi tập đo được E ⊂[ ]a b, thỏa mes E( )≤ thì δ

Theo bổ đề 1.6 và bổ đề 1.7 toán tử :C a b( [ ], ,)→L a b( [ ], , là liên tục )

hoàn toàn yếu Vì M là tập bị chặn nên (M)={( ) :v v M∈ } là tập compact tương đối yếu Theo bổ đề 1.8 ( ) M có tính chất tích phân liên tục tuyệt đối Nghĩa là, với mọi ε > 0 tồn tại δ > sao cho 0

Toán tử T xác định như (1.6) là toán tử compact Thật vậy

Vậy T =(T T1, 2) là toán tử tuyến tính compact

Theo định lí Riesz – Schauder điều kiện cần và đủ để (1.6) có nghiệm duy nhất là phương trình thuần nhất tương ứng

( )

chỉ có nghiệm tầm thường Điều này tương đương với bài toán (1.10), (1.20) chỉ có

Tương tự định nghĩa 1.3 ta có định nghĩa toán tử Green của bài toán (1.10), (1.20) trong trường hợp  là toán tử tuyến tính như sau

nghiệm u của bài toán (1.1), (1.20) Khi đó Ω được gọi là toán tử Green của bài toán (1.10), (1.20)

Chú ý 1.11

 Theo định lý 1.5 thì định nghĩa toán tử Green là hợp lý

 Từ chứng minh của định lý 1.5 và định lý Riesz – Schauder suy ra: nếu bài toán (1.10), (1.20) có nghiệm không tầm thường thì với mỗi c ∈  tồn tại

[ ]

( , , )

q L a b∈  và mỗi q L a b∈ ( [ ], , thì tồn tại c ∈  để bài toán (1.1), (1.2) vô )

nghiệm

1.1.3 Phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra

Định nghĩa 1.12 Toán tử ∈L ab được gọi là toán tử t - Volterra nếu với 0

 Sau đây ta đưa ra một số kí hiệu

Giả sử t0∈[ ]a b, , ta định nghĩa toán tử k :C a b( [ ], ,)→C a b( [ ], , và số )

i k

Định lí 1.13 Giả sử ∈L ab và tồn tại k m ∈ , \ 0{ }, m ∈  , 0 α∈[0,1) sao cho 0

Giả sử u x là nghiệm của bài toán (1.1( ) 0), (1.20) Khi đó

u t =u t +∫ u s ds Đặt c u t= ( )0 thì

0

t t

( )

k k

( )

m k

i k

Hệ quả 1.14 Giả sử ∈L ab là toán tử t - Volterra Khi đó bài toán 0

có nghiệm duy nhất, với q L a b∈ ( [ ], ,),c∈

Để chứng minh hệ quả 1.14 ta cần chứng minh bổ đề 1.15

Bổ đề 1.15 Giả sử ∈L ab là toán tử t - Volterra Khi đó 0

• Giả sử (1.21) đúng với i , ta cần chứng minh (1.21) đúng với 1 i +

Thật vậy, cũng do (1.20) và  là toán tử t - Volterra nên ta có 0

Vậy (1.21) đúng với 1i + Theo nguyên lý quy nạp thì (1.21) đúng

 Tương tự ta chứng minh được rằng

(1.25)

Do (1.21), (1.22), (1.24) và (1.25) suy ra tồn tại số tự nhiên γ khác 0 ( nghĩa là γ

không phụ thuộc k ) sao cho

Theo định lý 1.13 để chứng minh bài toán (1.18) có nghiệm duy nhất ta cần chứng minh tồn tại k m ∈ , \ 0{ }, m ∈ , 0 α∈[0,1) sao cho λk ≠ và u thỏa 0mãn bất đẳng thức (1.14)

Đặt h v( )=v t( )0 Với mọi số tự nhiên khác không ,k m , theo cách đặt h và

Vậy điều kiện (1.14) được thỏa mãn với m0 =0,α =  Do đó, theo định lí 1.13 m

Với  là toán tử t - Volterra thì định lý 1.13 được phát biểu ngược lại như sau: 0

Định lí 1.16 Giả sử ∈L ab là toán tử t - Volterra Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có 0

nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tồn tại các số tự nhiên ,k m khác 0 sao cho λk ≠ 0

và

k m <

thì u luôn tồn tại theo hệ quả 1.14 0

Ta có h u ≠ vì nếu ( 0) 0 h u = thì hàm ( 0) 0 u là nghiệm không tầm thường 0

của bài toán (1.10), (1.20)

Tiếp tục quá trình này ta được

i k

λ

chúng tôi sẽ mở rộng các kết quả trên khi ,  là các toán tử tuyến tính bị chặn k

Ta ký hiệu  là tập hợp các hàm  y C a b∈( [ ], , được biểu diễn dưới dạng )

Bổ đề 1.20 Giả sử bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường Hơn nữa, giả

sử dãy toán tử k∈L ab và các hàm tuyến tính bị chặn h C a b k : ( [ ], ,)→ thỏa mãn điều kiện (1.36) và (1.39) Khi đó tồn tại số tự nhiên k khác không và số 0

với mọi số tự nhiên k khác không

Điều kiện (1.36) được viết lại như sau

Do (1.39) và (1.61), trong (1.62) cho m → +∞ ta được h y = ( )0 0

Vậy y là nghiệm không tầm thường của (1.10 0), (1.20) Điều này mâu thuẫn với giả thiết của bổ đề 1.20 Ta có điều phải chứng minh 

Chứng minh định lý 1.17

Vì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất nên bài toán thuần nhất tương

ứng (1.1 ) , 0 (1.2 )0 chỉ có nghiệm tầm thường Giả sử u là nghiệm của bài toán 0k

'( )u t =k( )( ),u t h u k( )=0 (1.63) Suy ra u0k ∈C a b( [ ], , Gọi ) k và r là các số được xác định như trong bổ đề 0

1.20 Khi đó, theo bổ đề 1.20 u thỏa mãn đánh giá 0k

(do u là nghiệm của bài toán (1.63)) Vậy bài toán (1.63) chỉ có nghiệm tầm 0k

thường Do đó theo định lý 1.5, với mỗi k k> bài toán (1.34) 0 chỉ có nghiệm duy nhất

Ta sẽ chứng minh rằng nếu u và u lần lượt là nghiệm của bài toán (1.1), k

1.3 Số chiều của tập hợp nghiệm của phương trình thuần nhất

Gọi U là tập hợp nghiệm của phương trình thuần nhất (1.10) Khi đó U là

không gian vectơ tuyến tính Theo định lí 1.5 ta có U ≠{ }0 tức là dimU ≥ Hơn 1nữa, ta có định lí sau

Định lí 1.21 Không gian U có số chiều hữu hạn

Hiển nhiên, T là toán tử tuyến tính Theo mệnh đề 1.9 thì T là toán tử compact

Phương trình (1.10) tương đương với phương trình toán tử x T x= ( ) theo nghĩa: nếu u C a b∈( [ ], , là nghiệm của (1.1) 0) thì x u= là nghiệm của phương trình x T x= ( ), và ngược lại nếu x C a b∈ ( [ ], , là nghiệm của phương trình )

( )

x T x= thì x C a b∈( [ ], , và u x) = là nghiệm của (1.10) Nói cách khác, tập hợp

U cũng là tập hợp nghiệm của phương trình x T x= ( )

Mặt khác, T là toán tử compact nên theo định lí Riesz – Schauder thì không

gian nghiệm của phương trình là hữu hạn chiều

Hiển nhiên p L a b∈ ( [ ], , , ) τ∈ và ab u u1, 2, ,u là các nghiệm độc lập n

tuyến tính của phương trình vi phân đối số lệch

( ) ( ) ( ( ))

Ta sẽ chứng minh tập nghiệm của phương trình (1.71) có số chiều là n

Giả sử u là nghiệm bất kì của (1.71)

( )i ( i ) i( ) ( )i i ( i ) ( ),i 1,

u ξ =u t− +u ξ u ξ =u t− +u ξ i = n Suy ra u t( i−1)= , 0 i =1,n

Vậy không gian nghiệm của (1.71) có số chiều là n 

Mệnh đề 1.23 dimU = khi và chỉ khi tồn tại 1 ξ∈[ ]a b, để bài toán

=với ∀ ∈t [ ]a b, Nghĩa là u u phụ thuộc tuyến tính (mâu thuẫn với giả thiết) Do 1, 2

đó, dimU ≤ 1

Từ mệnh đề 1.23 và định lý 1.5 ta suy ra: nếu dimU = thì với mọi 1

Từ mệnh đề 1.23 và giả thiết dimU ≥ ta suy ra với mọi 2 ξ∈[ ]a b, bài toán

(1.64) có nghiệm không tầm thường uξ Do đó, theo chú ý 1.11 thì với mỗi

Bổ đề 1.26 Giả sử toán tử  được biểu diễn dưới dạng  = 0− , với 1  0, 1∈P ab,

0(1)( ) 1,

b a

Không mất tính tổng quát ta giả sử t M < t m

Lấy tích phân hai vế (1.10) từ t đến M t , ta được m

Lấy tích phân hai vế (1.10) từ a đến t và từ M t đến b , ta được m