ứng dụng một số định lí về tập có thứ tự trong giải tích

Một số kết quả về điểm bất động trong tập có thứ tự .... Các định lý điểm bất động trong không gian có thứ tự ..... Chỉ ở cuối học phần Giải tích hàm ta mới thấy một ứng dụng của quan hệ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Khoa: Toán – Tin

L ỜI CẢM ƠN



Lời đầu tiên trong bài khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến

Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình giúp đỡ, động viên, hướng dẫn

và cung cấp đầy đủ các tài liệu để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này một cách tốt nhất

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy trong hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp

đã dành thời gian quý báu để đọc và cho lời nhận xét khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại Học

Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt

thời gian học tập

Sau cùng tôi xin kính chúc Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại Học

Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và tất cả các bạn dồi dào sức khỏe, luôn đạt được nhiều thành công trong công việc cũng như trong cuộc sống Tôi xin chân thành cảm ơn

Sinh viên thực hiện Dương Thùy Vân

M ỤC LỤC



Trang

Lời mở đầu 1

Chương I: Một số nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự 3

1 Bổ đề Zorn và các dạng tương đương 3

1.1 Các định nghĩa 3

1.2 Tiên đề chọn 4

1.3 Bổ đề cơ bản 4

1.4 Liên hệ giữa các định lý cơ bản 6

2 Nguyên lý Entropy 8

2.1 Định lý (Brezis – Browder) 8

2.2 Hệ quả 9

Chương II: Các ứng dụng 11

1 Ứng dụng vào lý thuyết tập hợp 11

a Một số kết quả về điểm bất động trong tập có thứ tự 11

b Định lý Berstein 13

c Ứng dụng vào bài toán lực lượng tập hợp 13

2 Ứng dụng vào lý thuyết độ đo 15

3 Ứng dụng vào tôpô, giải tích hàm 17

a Tồn tại tập bất biến compắc của ánh xạ liên tục 17

b Định lý Hahn – Banach 18

c Định lý Tychonoff 21

d Nguyên lý biến phân Ekerland 24

4 Ứng dụng vào bài toán điểm bất động 27

a Định lý Caristi 27

b Các định lý điểm bất động trong không gian có thứ tự 28

Tài liệu tham khảo 35

L ỜI MỞ ĐẦU

Chúng ta đã biết vai trò quan trọng của quan hệ thứ tự trong  khi nghiên

cứu các hàm một biến Tuy nhiên khi học về Hàm nhiều biến, Hàm phức, Không gian Tôpô, Lý thuyết độ đo tích phân chúng ta chưa thấy vai trò của quan hệ thứ tự Chỉ ở cuối học phần Giải tích hàm ta mới thấy một ứng dụng

của quan hệ thứ tự qua việc sử dụng bổ đề Zorn để chứng minh định lý Hahn – Banach Ví dụ này và các ví dụ được nêu trong khóa luận chỉ ra vai trò quan

trọng của quan hệ thứ tự trong chứng minh các định lý phức tạp của Giải tích;

đó là ngay cả khi bài toán ban đầu không liên quan đến thứ tự thì việc đưa vào

một thứ tự thích hợp sẽ làm cho chứng minh định lý rõ ràng hơn, ngắn gọn hơn

Mặt khác, trong các nghiên cứu về ánh xạ thì các điều kiện liên quan đến thứ tự, đặt lên các ánh xạ có thể thay thế cho các tính chất Tôpô Ví dụ, trong bài toán điểm bất động thì tính tăng của ánh xạ có thể thay thế cho tính liên tục

Để tìm hiểu các nguyên lý cơ bản về tập thứ tự và các ứng dụng đa dạng của quan hệ thứ tự, tôi đã chọn đề tài này làm khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu của khóa luận là:

• Trình bày các định lý cơ bản về tập có thứ tự, mối liên hệ giữa chúng

• Tìm hiểu chứng minh một số kết quả của Giải tích bằng cách đưa vào một

Do đó khóa luận có thể là một tài liệu tham khảo cho các sinh viên khoa Toán khi tìm hiểu về quan hệ thứ tự và ứng dụng

Khóa luận có hai chương Chương I trình bày về định lý Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại, tiên đề chọn, định lý về sắp tốt; mối liên hệ giữa các nguyên lý này Chương này cũng giới thiệu về nguyên lý Entropy Chương II trình bày các ứng dụng khác nhau của hai định lý trên trong Giải tích như ứng

dụng vào bài toán so sánh lực lượng tập hợp, vào Tôpô và Giải tích hàm, vào lý thuyết Độ đo, vào bài toán điểm bất động

Sinh viên thực hiện Dương Thùy Vân

CHƯƠNG I: MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ

1 B Ổ ĐỀ ZORN VÀ CÁC DẠNG TƯƠNG ĐƯƠNG

Cho tập được sắp X, A là tập con của X Ta nói:

i) A là một xích trong X nếu mọi cặp phần tử (x y, )∈A đều so sánh

Ánh xạ S X: → X gọi là tăng( giảm) nếu S x( ) ≤S y( )(hay S x( ) ≥S y( ))

Phát biểu khác của tiên đề chọn:

Cho X≠∅thì tồn tại ánh xạ f:2 /X { }∅ →X thoả f A( )∈ ∀ ≠ ∅A, A ( f gọi là hàm

chọn của tập X)

1.3 B Ổ ĐỀ CƠ BẢN:

Cho X≠∅, ta xét thứ tự " " ≤ trên 2X

theo A B≤ ⇔ ⊂A B Cho ∅ ≠ ⊂F 2 /X { }∅ và g F: →F thoả mãn:

2) ∀ ∈A F thì A⊂g A( ) và g A( ) \A chứa không quá một phần tử

Khi đó tồn tại B F∈ thoả g(B)= B

( ( )

A A A A A

µ µ

A

g A A A

1.4 LIÊN H Ệ GIỮA CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

Bốn mệnh đề sau đây là tương đương với nhau:

a) Bổ đề Zorn: Nếu trong tập hợp không rỗng X với thứ tự bộ phận, mỗi xích đều có cận trên thì X có một phần tử tối đại

b) Định lý về sự sắp tốt: Mọi tập khác rỗng X đều có thể được sắp tốt

c) Tiên đề chọn

d) Nguyên lý tối đại Hausdorff : Mọi tập hợp X với thứ tự bộ phận đều tồn tại

một xích tối đại, tức là S là một xích của X sao cho với mọi xích T của X ,

S ⊂T kéo theo S = T

Chứng minh

) )

a ⇒b Kí hiệu W là họ các quan hệ thứ tự sắp tốt một tập con của X

Xét W như là họ các tập con của 2

X , W được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm

( ) ⊂

W thoả a) nên W có phần tử tối đại là E với quan hệ sắp tốt ≤ trên E

Ta chứng minh E=X Thật vậy, nếu tồn tại x0 ∈X E\ , đặt x0 ≤ ∀ ∈x, x E thì tồn tại quan hệ sắp tốt trên E∪{ }x0 : mâu thuẫn với E tối đại

Ánh xạ g thoả tính chất 2 của bổ đề cơ bản

Tập F thoả tính chất 1 của bổ đề cơ bản

Vậy theo bổ đề cơ bản ta có B F∈ thoả g( B ) = B

(2) S X: → −∞ +∞[ ; ) là một hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên, nghĩa là từ

u v≤ , luôn luôn suy ra S u( ) ≤S v( ) và tồn tại một số thực c sao cho S u( ) ≤c,

với mọi u∈X Thế thì tồn tại u∈X sao cho:

(3) Với mọi v∈X, u v≤ thì S u( ) =S v( )

Chứng minh:

Chọn một phần tử cố định tuỳ ý u1 ∈X rồi dựng theo quy nạp dãy (u n)n

đơn điệu tăng như sau:

• Nếu βn =S u( n) thì (3) thoả với u=u n và chúng ta chứng minh xong

• Nếu không, ta có βn >S u( n) và có thể chọn một u n+1 ∈M n sao cho:

Giả sử u không thoả (3) thì tồn tại v∈X sao cho u v≤ mà S u( ) <S v( )

Dãy (S u( n))n đơn điệu tăng và bị chặn trên nên theo (2) nó hội tụ Từ (5) và tính đơn điệu tăng của dãy S ta suy ra:

(6) lim ( n) ( )

n S u S u

→∞ ≤

Vì v≥u mà u≥u n với mọi n (do (5)) nên v≥u n với mọi n

Vậy v∈M n với mọi n

Do đó từ (4) ta suy ra : 2 (S u n+1 ) −S u( n) ≥ βn≥S v( ) với mọi n Cho n→ ∞ ta có: (7) lim ( n) ( )

n S u S v

→∞ ≥

Từ (6) và (7) ta suy ra S u( ) ≥S v( ) mâu thuẫn với giả thiết của phản chứng

Vậy định lý được chứng minh

2.2 H Ệ QUẢ:

Giả sử:

i) X là một tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy giảm trong X có cận dưới ii) S X: → −∞ +∞( , ] là một phiếm hàm tăng và bị chặn dưới

Thế thì tồn tại phần tử u∈X sao cho:

iii) Với mọi v∈X v, ≤u thì S u( ) =S v( )

Chứng minh:

Ta định nghĩa trong X quan hệ thứ tự mới “<” như sau: x< ⇔ ≥y x y

Thế thì tập sắp thứ tự ( , )X < và phiếm hàm (-S) thoả mãn các điều kiện của định

lý 1.1 Thật vậy, ta kiểm tra dãy tăng { }x n n⊂X có một cận trên.Ta có:

1

n n

x <x − với mọi n∈N nên x n≥x n+1 Do đó theo giả thiết { }x n có một cận dưới là

u, nghĩa là: x n ≥u với mọi n

Trở lại quan hệ “<” trong X ta có: x n <uvới mọi n∈N

Vậy { }x n ⊂X có một cận trên

Áp dụng nguyên lý Entropy (X,<) và phiếm hàm (-S) ta có:

Tồn tại u∈X sao cho :

Với mọi v∈X v: > ⇒ −u S u( ) = −S v( )

Hay với mọi v∈X v, ≤ ⇒u S u( ) =S v( )

Ta có X là tập có thứ tự và mỗi xích thuộc X có cận trên nên theo bổ đề Zorn X

có phần tử tối đại Gọi x1 là phần tử tối đại

Cho tập được sắp ( , )X ≤ và ánh xạ f X: →X thoả mãn:

a) Mỗi xích thuộc X có một cận trên đúng

b) Ánh xạ f là ánh xạ tăng

c) ∃ ∈x0 X x: 0≤ f x( 0)

Khi đó f có điểm bất động

Chứng minh Đặt X1 ={x∈X x: ≤ f x( )}

Ta có x o∈X1 Do f là ánh xạ tăng nên f X( 1 ) ⊂X1

Thật vậy, với x∈X1ta có x≤ f x( )nên do f là ánh xạ tăng ta có

( ) ( ( ))

f x ≤ f f x hay f x( ) ∈X

Do định nghĩa của tập X1, ta thấy X1 thỏa điều kiện b) của định lý 1.1.1

Ta sẽ chứng minh thỏa điều kiện a) của định lý 1.1.1

Thật vậy A⊂ X1là một xích thì theo giả thiết a) của định lý 1.1.2 tồn tại a= supA

Ta phải chứng minh a∈X1 Thật vậy, với mọi x∈A, ta có: x≤ ⇒a f x( ) ≤ f a( )

Mà x≤ f x( ) với mọi x∈A

Vậy f(a) là một cận trên của A trong X, do đó a≤ f a( )

Vậy a∈X1và là một cận trên của A trong X1

Áp dụng định lý 1.1.1 cho tập X1 và ánh xạ f ta suy ra f có điểm bất động trong

Trong A ta xét thứ tự: (A f1 , 1 ) ≤ (A f2 , 2 ) nếu A1 ⊂ A2 , f x1 ( ) = f2 ( )x với mọi x∈A1

Ta chứng minh A có phần tử tối đại

Suy ra f0 xác định đúng và (A0 ,f0 ) là cận trên của (A f i, i i I)∈

Theo bổ đề Zorn thì A có phần tử tối đại là cặp (M,f)

2) Ta nói lực lượng của X không lớn hơn lực lượng của Y và viết c dXar ≤c dYar

nếu tồn tại một đơn ánh từ X vào Y

Chứng minh 1) Theo mệnh đề 1.3.1, với hai tập X, Y tùy ý tồn tại ít nhất một trong hai

khả năng sau:

• Tồn tại một đơn ánh f :X →Y hay card(X) card(Y) ≤

• Tồn tại một đơn ánh f Y: →X hay card(Y) card(X) ≤

2) Do c dXar ≤c dYar và c dYar ≤c dXar nên tồn tại các đơn ánh

: , :

f X →Y g Y →X

Theo định lý Berstein, tồn tại song ánh giữa X và Y hay cardX= cardY

2 ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO

Ta đặt : F1 ={A∈F: ( ) µ A ≤ α}

Giả sử { }A n ∈F1là dãy tăng Ta đặt

1

n n

Vậy A∈F1 và A≥A nvới mọi n∈ 

Xây dựng hàm S F: 1 → ∞[- , + )∞ sao cho S A( ) = µ ( )A , với mọi A∈F1

Ta có : S tăng do độ đo µtăng

S bị chặn trên bởi α

Áp dụng nguyên lý Entropy cho F1 và phiếm hàm S A( ) = µ ( )A Ta có:

Tồn tại tậpA o∈F1 sao cho:

Vậy B∈F2 và B≤B nvới mọi n∈ 

Xây dựng hàm S F: 2 → ∞ (- , + ]∞ sao cho S B( ) = µ ( )B , với mọi B∈F2

Ta có : S tăng do độ đo µtăng

3 ỨNG DỤNG TRONG TƠPƠ, GIẢI TÍCH HÀM

3.1 T ỒN TẠI TẬP BẤT BIẾN COMPẮC CỦA ÁNH XẠ LIÊN TỤC

M ệnh đề: Cho X là T2-khơng gian compắc, f X: →X là ánh xạ liên tục Khi đĩ

tồn tại tập compắc A≠ ∅sao cho f(A)=A

Chứng minh Đặt Y ={A⊂X A: đóng, A≠ ∅, f(A) A⊂ }

Ta chứng minh sự tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F xác định trên X

Trước hết ta chứng minh χ có phần tử tối đại

Theo bổ đề Zorn trong χ tồn tại phần tử tối đại F G: →K

Ta sẽ chứng minh miền xác định của F là toàn không gian (G X≡ )

Giả sử trái lại, tồn tại y∈X G\

Xét D={λy+z: λ ∈  ,z G∈ }: không gian con sinh bởi y và G

Với u v G, ∈ , ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F u +F v =F u+ ≤v p u+ =v p u− + − ≤y y v p u− +y p y−v ( do p là nửa chuẩn)

z y p

µ λ

• Phủ (G i i I)∈ của A gọi là phủ mở nếu G i là tập mở

• A⊂X - tập compắc nếu từ mỗi phủ mở của A luôn có thể lấy một phủ

, G mở i I , hữu hạn,

• Cho τ là một tơpơ trên X

Một họ con σ của τ gọi là một tiền cơ sở của τ nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ

Như vậy họ con σ của τ là tiền cơ sở của τ nếu mọi G∈ τ và mọi x G∈ tồn tại

Theo bổ đề Zorn, trong U có phần tử tối đại là Α

Khi đó Α là phủ mở của X không có phủ con hữu hạn

Với mọi tập mở U của X,U ∉A A, { }U có phủ con hữu hạn

Vì B⊂ ξ nên B có phủ con hữu hạn

do đóA có phủ con hữu hạn ( vô lý)

Nếu X compắc thì do πα: X→Xα liên tục nên Xα compắc

Giả sử mọi Xα đều compắc Để chứng minh X compắc, theo bổ đề Alexandrov,

ta chứng minh mọi phủ G của X gồm các tập dạng 1

( ) ( )

n

i i

i) (X,d) là không gian metric đầy đủ

ii) F X: → nửa liên tục dưới và bị chặn dưới

Cho ε λ , > 0 và xε∈X thoả mãn: ( ) inf ( )

v X

F xε F v ε

∈

< + Khi đó tồn tại phần tử uε sao cho:

Ta sẽ áp dụng nguyên lý Entropy cho Y và phiếm hàm S(u) = -F(u)

Từ định nghĩa thứ tự trong Y ta có nếu u≤vthì:

( ) ( )

F u F v

− ≤ − nên (-F) tăng, bị chặn trên

Ta cần kiểm tra mọi dãy tăng trong Y đều có một cận trên

Suy ra {F u( n)}n là dãy giảm và bị chặn dưới nên {F u( n)}n hội tụ (2)

Ta chứng minh dãy hội tụ bằng cách chứng minh { }u n là dãy Cauchy Coi n<m và u n ≤u m, ta có theo (1) thì :

( ) ( ) ( n, m) F u n F u m (3)

Nên u n ≤u với mọi n∈

Áp dụng nguyên lý Entropy cho Y và phiếm hàm S(u)= -F(u), ta có:

Vậy ta có điều phải chứng minh

4 ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

4.1 ĐỊNH LÝ CARISTI

Cho (X,d) là không gian metric đầy đủ

ϕ : ( , )X d →[0,+ ) ∞ nửa liên tục dưới

f: X→X là ánh xạ thỏa d(x, f(x))≤ ϕ ( )x − ϕ ( ( ))f x

Khi đó f có điểm bất động

Chứng minh Trong X ta xét thứ tự: x≤ ⇔y d(x, y)≤ ϕ ( )y − ϕ ( )x

Kiểm tra “≤” là quan hệ thứ tự trong X

Hiển nhiên ta có x≤x

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

Vậy ϕ là phiếm hàm tăng và bị chặn dưới

Áp dụng nguyên lý Entropy cho phiếm hàm S x( ) = ϕ ( )x ở dạng hệ quả, ta có:

4.2 CÁC ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ

T Ự

4.2.1 Định nghĩa

Cho X là không gian Banach trên trường số thực  và K là tập con của X

Khi đó K được gọi là nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

Chứng minh i) Ta có:

ii) Nếu { }x n ⊂M là dãy tăng thì {F x( n)} hội tụ

Khi đó F có điểm bất động trong M

Chứng minh Đặt M0 = ∈{x M x: ≤F x( )}

Xét phiếm hàm S M: 0 →[0, + ∞] như sau:

Thật vậy lấy ( , )u v ∈A ythì u≥ ≥v y nên u≥ ≥v x( do y≥x) ⇒ ( , )u v ∈A x

Vậy phiếm hàm (-S) tăng và bị chặn trên

Áp dụng nguyên lí Entropy cho (-S) ta tìm được a M∈ 0 thoả: x≥ ⇒a S x( ) =S a( ).

Ta cần chứng minh S(a) = 0

Giả sử trái lại ∃ > α 0: ( )S a > > α 0.

Vì S a( ) > α nên tồn tại u u1 , 2 ∈M0 :u2 ≥ ≥u1 a , F u( 2 ) −F u( ) 1 ≥ α

Vì u ≥a nên S u( ) =S a( ) hay S u( ) ≥ α

Do đó tồn tại u u3 , 4 ∈M u0 : 4 ≥ ≥u3 u2 , F u( ) 3 −F u( 4 ) ≥ α ,

Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng được dãy:

a u≤ ≤ ≤1 u2 , F u( 2n) −F u( 2n−1) ≥ α

Suy ra dãy {F u( )}không hội tụ, trái giả thiết

Vậy S(a) = 0 hay F(u) = F(v), ∀ ( , )u v ∈A a

Do ( ( ), )F a a ∈A a nên F(F(a)) = F(a)

Vậy F(a) là điểm bất động

Định lí 2:

Cho sử ( , )X ≤ là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón, M là tập đóng, bị

chặn F M: →M là ánh xạ tăng thỏa:

1) Tồn tại x0 ∈M x: 0 ≤F x( 0 )

2) Mọi dãy tăng {F n(x n) (} x n∈M) hội tụ

Khi đó F có điểm bất động trên M

0 0

( ) ( ) , ,

F Fu ≥F Fv ≥x Fu M∈ Fv M∈

( ) ( ) ( )

n

F Fu F Fv S x

⇒ − ≤

1 1

( ) ( ) ( )

n

F + u F + v S x

⇒ − ≤

( , )

( ) sup ( ) ( ) : , , ( ) ( ) ( )

x

u v A

S + x F + u F + v u v M F + u F + v x S x

∈

Dãy {S x n( )} giảm, bị chặn dưới nên lim n( )

n S x

→∞ tồn tại

S giảm Thật vậy nếu x≤ y thì ( ) lim n( ) lim n( ) ( )

S x S x S y S y

→∞ →∞

= ≥ =

Ta cần chứng minh nếu { }x n là dãy tăng trong M0 thì { }x n có cận trên thuộc M0

Ta xét bảng sau:

1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n n n n n F x F x F x F x F x F x F x F x F x Do { }x n là dãy tăng và F tăng nên các phần tử thuộc một hàng tạo thành dãy tăng Do x k≤F x( k) ( vì (x k⊂M0) nên các phần tử thuộc một cột tạo thành dãy tăng Suy ra: 2 1 2 ( ) ( ) n( n)

F x ≤F x ≤ ≤F x ≤

Đặt 0 lim n ( n)

n

x F x

→∞

= thì x n≤x0

Mặt khác 1

( ) ( )

F − x ≤F x ≤x nên F n(x n) ≤F x( 0) với mọi *

n∈

Cho n→ ∞ ta có x0 ≤F x( 0) hay x0∈M0

Vậy dãy tăng { }x n có cận trên trong M0là x0

Áp dụng nguyên lý Entropy cho (-S) ta tìm được a M∈ 0 thoả:

Với mọi x≥ ⇒a S x( ) = S a( )

Ta cần chứng minh S(a) =0

Giả sử trái lại tồn tại α > 0 : ( )S a > > α 0.