tính chuẩn tác và tính khai triển của không gian tôpô tích

Rudin [29] đã chứng minh được rằng tồn tại một không gian chuẩn tắc sao cho tích tôpô của nó với khoảng đơn vị đóng [ ]0,1 không là không gian chuẩn tắc.. Từ các ví dụ cụ thể trên cùng v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh; người thầy

dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học Sự tận tình hướng dẫn cùng những lời động viên, chỉ bảo của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn:

1 Ban lãnh đạo và các chuyên viên của phòng Sau đại học; ban chủ nhiệm khoa và các giảng viên khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh; các giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Hình học và Tôpô khóa 20

đã tạo điều kiện học tập thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học

2 Ban giám hiệu, lãnh đạo khoa Sư phạm, tập thể Tổ Tự nhiên và các thầy cô đồng nghiệp trường Đại học Tiền Giang đã luôn sẵn sàng giúp đỡ, tạo mọi điều kiện có

thể tôi học tập và hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình trong thời gian học Cao học

3 Bạn Liễu Mỹ Chương (Singapore, email: lieumychuong@gmail.com) đã hỗ trợ tôi

hết mình trong việc tìm kiếm các tài liệu tham khảo

4 Cô Trương Thị Hồng Nhung (trường Trung học phổ thông Chuyên Tiền Giang)

và thầy Hồ Công Xuân Vũ Ý (trường Đại học Tiền Giang) đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong việc soạn thảo luận văn bằng

5 Các bạn lớp Cao học Hình học và Tôpô khóa 20 đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong quá trình học tập

Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn bên

cạnh, động viên, hổ trợ về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành thành tốt khóa học

M ỤC LỤC

Trang ph ụ bìa ii

L ời cảm ơn iii

M ục lục iv

M ở đầu 1

Chương 1 KI ẾN THỨC BỔ TRỢ 4

1.1 Bội Hilbert 4

1.2 Phản continuum Cantor 4

1.3 Tôpô thứ tự 5

1.4 Các tiên đề tách 5

1.5 Phủ 9

1.6 Không gian Baire 13

1.7 Không gian compact, không gian paracompact 14

1.8 P-không gian 16

1.9 Không gian metric hóa 18

1.10 Σ-không gian 19

Chương 2 TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH 22

2.1 L là lớp các không gian Hausdorff compact 23

2.2 L là lớp các không gian metric compact 25

2.3 L là lớp các không gian metric hóa 28

Chương 3 TÍNH KHAI TRI ỂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH 37

3.1 Tính chất khai triển 37

3.2 Tính chất σ -khai triển 38

3.4 Tính chất khai triển con 53

K ết luận và kiến nghị 58 Tài li ệu tham khảo 60

M Ở ĐẦU

Theo Tôpô đại cương, tôpô trên tích Decartes của hai không gian tôpô được xây dựng từ tôpô trên các không gian thành phần thông qua khái niệm cơ sở Vì vậy, các tính chất trên không gian tôpô tích có thể kế thừa từ các không gian thành phần Một ví dụ dễ thấy chính

là tích của hai không gian Hausdorff là một không gian Hausdorff Một vấn đề được đặt ra:

‘‘Có phải mọi tính chất trên không gian tôpô tích đều được kế thừa từ các không gian tôpô thành phần hay không?’’ Câu trả lời là không trong trường hợp tổng quát

Một minh chứng khá nổi tiếng chính là tích tôpô của hai không gian chuẩn tắc nhìn chung không chuẩn tắc Bài toán này đã được các nhà Toán học trên thế giới nghiên cứu từ

những thập niên 30 của thế kỷ trước Cụ thể, J Dieudonné [10] năm 1939 đã xét tích tôpô

giữa một không gian chuẩn tắc với một không gian compact; R H Sorgenfrey [30] năm

1947 đã xét tích giữa hai không gian Linderlöf Hơn nữa, năm 1971 M E Rudin [29] đã

chứng minh được rằng tồn tại một không gian chuẩn tắc sao cho tích tôpô của nó với khoảng đơn vị đóng [ ]0,1 không là không gian chuẩn tắc Từ các ví dụ cụ thể trên cùng với các công trình nghiên cứu gần đây, tính chuẩn tắc của không gian tôpô tích là một bài toán thu hút được sự quan tâm của các nhà Toán học trên thế giới Họ mong muốn không gian tôpô tích có thể kế thừa tính chuẩn tắc từ các không gian thành phần Do đó, một vấn đề được mở ra: ‘‘Để không gian tôpô tích kế thừa tính chuẩn tắc từ các không gian thành phần,

cần phải bổ sung những điều kiện gì?’’ Trong số các nghiên cứu về vấn đề này, chúng ta có

thể kể đến công trình của C H Dowker và H Tamano Nghiên cứu của C H Dowker [11] năm 1951 đã mô tả được tính paracompact đếm được của không gian tôpô X thông qua tính chuẩn tắc của X×[ ]0,1 Tương tự, năm 1960 H Tamano [34] cũng đã mô tả tính paracompact của không gian hoàn toàn chính quy X thông qua tính chuẩn tắc của không gian tôpô tích của X với compact hóa Čech-Stone của nó Chính các kết quả này đã tạo động lực thúc đẩy nghiên cứu và góp phần to lớn cho sự phát triển của Tôpô đại cương Nhiều kết quả đẹp và quan trọng trên không gian tôpô tích đã ra đời từ hướng nghiên cứu

của C H Dowker và H Tamano Một trong số các nhà Tôpô học xuất sắc có nhiều cống

hiến theo hướng này không thể không nhắc tới K Morita Các vấn đề thú vị khác nhau liên

quan trực tiếp hay gián tiếp đến các công trình của ông đã được nghiên cứu và phát triển hơn cả mong đợi

Trong luận văn này, chúng tôi kế thừa các nghiên cứu của C H Dowker, H Tamano và

K Morita nhằm giải quyết một bài toán hẹp về tính chuẩn tắc của không gian tôpô tích:

Bài toán 1 Gọi L là lớp các không gian chuẩn tắc thỏa mãn một số tính chất nào đó Tìm điều kiện cần và đủ đối với không gian chuẩn tắc X để tích của X với mọi không gian Y

thuộc vào L là một không gian chuẩn tắc

Theo một hướng nghiên cứu khác, năm 1971 L L Krajewski [16] đã định nghĩa tính

chất khai triển của một không gian tôpô và nghiên cứu cùng J C Smith [31] đưa ra một số đặc trưng của tính chất khai triển Sau đó, Y Katuta [15] năm 1975 đã định nghĩa một số thuật ngữ mới về tính khai triển: σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ-khai triển, θ-khai triển rời rạc, khai triển con rời rạc và khai triển con …

Kế thừa ý tưởng của Bài toán 1 và kết hợp với các kết quả đã nghiên cứu về tính khai triển của P-không gian, một thuật ngữ được đưa ra bởi K Morita [22], chúng tôi cũng nghiên cứu giải quyết thêm

Bài toán 2 Tìm điều kiện cho không gian tôpô Y để tích tôpô của một P-không gian chuẩn

tắc X với Y kế thừa được tính khai triển từ P-không gian chuẩn tắc X

Xuất phát từ những mục tiêu trên, nội dung của luận văn này sẽ gồm phần mở đầu, ba chương chính và phần kết luận Cụ thể như sau:

1 Phần mở đầu: Đặt vấn đề và trình bày sơ lược lịch sử của vấn đề

2 Phần nội dung:

a Chương 1 – KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương này trình bày các khái niệm cần thiết và đưa ra cơ sở lý thuyết cho các kết quả được nghiên cứu ở Chương 2 và Chương 3

b Chương 2 – TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH Chương này trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy đủ chứng minh nhằm giải quyết Bài toán 1 trong ba trường hợp của L:

• L là lớp các không gian Hausdorff compact,

• L là lớp các không gian metric compact,

• L là lớp các không gian metric hóa

c Chương 3 – TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH Chương này trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy đủ chứng minh nhằm giải quyết Bài toán 2 trong bốn trường hợp của tính khai triển:

• tính chất khai triển,

• tính chất σ -khai triển,

• tính chất θ-khai triển,

• tính chất khai triển con

3 Phần kết luận: Tổng kết lại các kết quả nghiên cứu và đưa ra những nhận xét cũng như các vấn đề mở cho hướng nghiên cứu sắp tới

Chương 1

Nội dung chương này chủ yếu đưa ra cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở

những chương sau Nhiều định lý trong chương chỉ được nêu ra và lược bỏ chứng minh Độc giả quan tâm chứng minh chi tiết có thể tham khảo R Engelking [12] và J Nagata [28] Trong suốt luận văn, nếu không có gì nhầm lẫn thì thuật ngữ không gian được hiểu là

không gian tôpô, thuật ngữ không gian tôpô tích là tích tôpô của hai không gian tôpô

tạo thành một không gian metric Vì thế, (H,ρ) cũng là một không gian tôpô và được gọi là

không gian Hilbert

Không gian con ( 1 2 )

1, , i , 0 i , 1, 2,

i

ω = … ∈ ≤ ≤ = …

gọi là bội Hilbert

Từ định nghĩa trên, chúng ta thấy rằng Iω đồng phôi với tích tôpô của đếm được các

Tổng quát, I n được xây dựng bằng cách chia mỗi khoảng đĩng cấu tạo nên I n−1 thành ba

phần đều nhau và bỏ đi khoảng giữa trong ba phần ấy

Định nghĩa 1.2

0

i i

Chúng ta định nghĩa một họ  các tập con của Wξ như sau:

{U Wξ với mọi α U thỏa α 0,

Tiên đề T0 Với mọi cặp điểm phân biệt x, y của khơng gianX ; tồn tại một lân cận U

của x khơng chứa y hoặc tồn tại một lân cận V của y khơng chứa x

Tiên đề T1 Với mọi cặp điểm phân biệt x, y của khơng gian X ; tồn tại một lân cận U

của x khơng chứa y và một lân cận V của y khơng chứa x

Tiên đề T2 Với mọi cặp điểm phân biệt x, y của khơng gian X ; tồn tại một lân cận U

của x và một lân cận V của y sao cho U∩ = ∅ V

Tiên đề T3 Với mọi điểm x và mọi tập con đóng F không chứa x của không gian X ,

tồn tại một lân cận U của x và một lân cận V của F sao cho U∩ = ∅ V

Tiên đề T4 Với mọi cặp tập con đóng rời nhau F , G của không gian X ; tồn tại một lân

cận U của F và một lân cận V của G sao cho U V∩ = ∅

Định nghĩa 1.4 Không gian X thỏa mãn tiên đề T i (i=0,1, 2, 3, 4) được gọi là T i -không gian

0

T -không gian được giới thiệu bởi Kolmogoroff nên còn được gọi là không gian Kolmogoroff Các khái niệm T1-không gian và T2-không gian lần lượt được đưa ra bởi Riesz năm 1907 và Hausdorff năm 1914 Người ta còn gọi T1-không gian là không gian Fréchet và

2

T -không gian là không gian Hausdorff

Định nghĩa 1.5 Không gian X được gọi là 1

2

T -không gian hay không gian hoàn toàn Hausdorff nếu với mọi cặp điểm phân biệt x, y của X ; tồn tại một lân cận U của x và

một lân cận V của y sao cho U∩ = ∅V

Năm 1921, trong công trình nghiên cứu của mình Vietoris đưa ra khái niệm không gian chính quy và tính chuẩn tắc của một không gian

Định nghĩa 1.6 Một không gian thỏa mãn đồng thời tiên đề T1 và tiên đề T3 được gọi là

không gian chính quy

Định nghĩa 1.7 Một không gian thỏa mãn đồng thời tiên đề T1 và tiên đề T4 được gọi là

không gian chu ẩn tắc

Sau đó, Tietze năm 1923 và Alexandroff - Urysohn năm 1924 đã phát triển khái niệm này đồng thời phân lớp một số không gian chuẩn tắc Năm 1925 Urysohn định nghĩa thêm tính chất 1

2

T và sau này được nghiên cứu, phát triển bởi Tychonoff

Định nghĩa 1.8 Không gian X được gọi là 1

Định nghĩa 1.9 Một không gian được gọi là không gian hoàn toàn chính quy hay không

gian Tychonoff nếu không gian đó đồng thời là T1-không gian và 1

2

T -không gian

4

T -không gian được đặc trưng lần lượt bởi các định lý sau:

Định lý 1.1 Không gian X là m ột T4-không gian khi và ch ỉ khi với mọi tập con đóng F và

m ọi tập con mở G của X th ỏa F G ⊂ , t ồn tại một một tập con mở U của X th ỏa

F ⊂ ⊂ ⊂U U G

Định lý 1.2 (Bổ đề Urysohn) Không gian X là m ột T4-không gian khi và ch ỉ khi với mọi

c ặp tập con đóng rời nhau F , G c ủa X ; t ồn tại một hàm liên tục f X: →[ ]0,1 sao cho

Hệ quả 1.1 Với m là b ản số vô hạn, không gian X là m ột không gian Tychonoff có trọng

s ố ≤ m khi và ch ỉ khi X đồng phôi với một không gian con của Im, trong đó Im là tích tôpô c ủa m b ản sao khoảng đơn vị đóng [ ]0,1

Các tiên đề tách có tính di truyền cũng như được bảo toàn thông qua một phép đồng phôi

Định lý 1.4 Giả sử (X,  ) là m ột không gian tôpô Khi đó,

(a) N ếu A là m ột tập con của T i -không gian thì A s ẽ là một T i -không gian v ới tôpô cảm

Định lý 1.5 Giả sử f :X →Y là m ột đồng phôi từ không gian X vào không gian Y Khi

đó, X là m ột T i -không gian khi và ch ỉ khi Y là m ột T i -không gian v ới 0,1, 2, 2 , 3, 3 , 41 1

Từ các định lý trên, chúng ta chứng minh được rằng:

Định lý 1.6 Với 0,1, 2, 2 , 3, 31 1

i= ; không gian tôpô tích th ỏa mãn tiên đề tách T i khi và ch ỉ khi m ỗi không gian thành phần thỏa mãn tiên đề tách T i

Ch ứng minh Giả sử X×Y là tích tôpô của hai không gian X và Y

Gọi p X :X× →Y X là phép chiếu lên không gian thành phần X Chiều nghịch của định

lý được chứng minh trong từng trường hợp cụ thể của i

1 Trường hợp 1 (i= ) Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt 0 x=(x x1 , 2), y=(y y1 , 2) của không gian X×Y Không mất tổng quát giả sử x1 ≠ y1 Do X là T0-không gian nên trong X tồn tại một lân cận U của x1 không chứa y1 hoặc một lân cận V của y1không chứax1 Suy ra 1( )

chứa x1 Suy ra 1( )

X

p− U , 1( )

X

p− V lần lượt là lân cận của x không chứa y và lân cận

của y không chứa x Do đó X×Y là T1-không gian

3 Trường hợp 3 (i=2) Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt x=(x x1 , 2), y=(y y1 , 2) của không gian X×Y Không mất tổng quát giả sử x1 ≠ y1 Do X là T2-không gian nên trong X tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của y1 sao cho U∩ = ∅V Suy ra 1( )

i= ).Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt x=(x x1 , 2), y=(y y1 , 2) của

không gian X×Y Không mất tổng quát giả sử x1 ≠ y1 Do X là 1

2

T -không gian nên trong X tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của y1 sao cho U∩ = ∅V Suy ra 1( )

p− U , 1( )

p− V lần lượt là lân cận của x và lân cận của y thỏa mãn

-5 Trường hợp 5 (i=3) Lấy bất kỳ điểm x=(x x1 , 2) và bất kỳ tập con đóng F không

chứa x của không gian X×Y Do X là T3-không gian nên trong X tồn tại một lân

cận U của x1, một lân cận V của p X ( )F sao choU∩ = ∅V Suy ra 1( )

i= ) Lấy bất kỳ điểm x=(x x1 , 2) và bất kỳ tập con đóng F không

chứa x của không gian X×Y Do X là 1

Các hệ quả sau được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.6:

Hệ quả 1.2 Không gian tôpô tích là không gian chính quy khi và chỉ khi mỗi không gian

thành ph ần là không gian chính quy

Hệ quả 1.3 Không gian tôpô tích là không gian hoàn toàn chính quy khi và chỉ khi mỗi

không gian thành ph ần là không gian hoàn toàn chính quy

1.5 Ph ủ

Giả sử ,  là hai họ các tập con của không gian X

Định nghĩa 1.10  được gọi là một phủ của X nếu các phần tử của  phủ X , tức là

{U U| ∈ }=X

 

Một phủ  của X được gọi là phủ con của  nếu ⊂

Định nghĩa 1.11  được gọi là hữu hạn (đếm được, vô hạn) nếu  chứa hữu hạn (đếm được, vô hạn) phần tử

 được gọi là mở (đóng) nếu  chỉ chứa các tập con mở (đóng) của X

 được gọi là rời rạc (hữu hạn địa phương, đếm được địa phương) nếu với mọi điểm p

thuộc X , tồn tại một lân cận U của p trong X có giao khác rỗng với không quá một (không quá hữu hạn, không quá đếm được) phần tử của 

 được gọi là σ -r ời rạc (σ-h ữu hạn địa phương, σ - đếm được địa phương) nếu

  , trong đó i là một họ rời rạc (hữu hạn địa phương, đếm được địa phương) các

tập con của X với mọi i= 1, 2, …

 được gọi là hữu hạn điểm (đếm được điểm) nếu mọi điểm p của X bị chứa trong không quá hữu hạn (không quá đếm được) phần tử của 

 được gọi là rời nếu hai phần tử bất kỳ của  luôn rời nhau

Các tính chất sau dễ dàng suy ra từ định nghĩa:

Định lý 1.7 Nếu  ={Uξ |ξ∈Ξ} là m ột họ hữu hạn địa phương (rời rạc) các tập con của không gian X thì  ={Uξ |ξ∈Ξ} cũng là một họ hữu hạn địa phương (rời rạc) các tập con

c ủa không gian X

Định lý 1.8 Nếu  ={Uξ |ξ∈Ξ} là m ột họ hữu hạn địa phương các tập con của không gian

Phân hoạch đơn vị {fξ |ξ∈Ξ} trên không gian X được gọi là hữu hạn địa phương nếu

phủ { 1( ( ] ) }

0,1 |

fξ− ξ∈Ξ của X hữu hạn địa phương

Phân hoạch đơn vị {fξ |ξ∈Ξ} trên không gian X được gọi là phụ thuộc vào phủ  của

Định nghĩa 1.13 S x( , ) (S A( , )) được gọi là tập sao của x (của A) tương ứng với 

Định nghĩa 1.14  được gọi là một mịn của  và được ký hiệu là   nếu với mọi

U∈  , tồn tại một V∈ thỏa mãn U ⊂V

 được gọi là một mịn delta (mịn sao) của  nếu  ∆   ( *  )

Định lý 1.9 Giả sử ωα là s ố thứ tự bé nhất tương ứng với bản số ℵ α Ký hi ệu Wα là không gian tôpô g ồm tất cả các số thứ tự ≤ωα v ới tôpô thứ tự Nếu X W× α là m ột không gian chu ẩn tắc với mọi không gian X thì m ỗi phủ mở  th ỏa  ≤ ℵ α c ủa X luôn có m ột mịn đóng F th ỏa F ≤ ℵ α

Năm 1941, J W Tukey đưa ra một số khái niệm về phủ chuẩn tắc

Định nghĩa 1.15 Dãy phủ mở {i|i= 1, 2, …} của X được gọi là chuẩn tắc nếu i+ 1 là một

mịn sao của  với mọi i= 1, 2, … (tức là, …   *  *)

Phủ mở  của X được gọi là chuẩn tắc nếu tồn tại một dãy phủ mở {i|i= 1, 2, …} của

2 2 1 1

…     Hay nói cách khác, phủ mở  của X chuẩn tắc nếu tồn

tại một dãy phủ mở chuẩn tắc {i|i= 1, 2, …} sao cho 1 là mịn sao của 

Chúng ta quan tâm đến các tính chất sau của phủ mở chuẩn tắc:

Định lý 1.10 (Định lý 1.2 trong K.Morita [21]) Giả sử  là m ột phủ mở của không gian

X Khi đó, các mệnh đề sau tương đương nhau:

(a)  là m ột phủ mở chuẩn tắc

(b) T ồn tại một ánh xạ liên tục f t ừ X vào không gian metric Y sao cho  b ị làm mịn

b ởi ảnh ngược của một phủ mở nào đó của Y

(c)  có m ột mịn ={Vξ |ξ∈Ξ} là ph ủ mở hữu hạn địa phương sao cho với mỗi ξ∈Ξ

ph ần tử Vξ ∈ có th ể biểu diễn dưới dạng Vξ ={x f| ξ( )x >0}, trong đó

[ ]

fξ X → =I là m ột hàm liên tục nào đó

(d)  có m ột mịn là phủ mở chuẩn tắc hữu hạn địa phương

(e) T ồn tại một phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương phụ thuộc 

(f) T ồn tại một phân hoạch đơn vị phụ thuộc 

(g) T ồn tại một phủ mở chuẩn tắc  ={Vξ |ξ∈Ξ} c ủa X sao cho v ới mỗi ξ∈Ξ, h ạn chế

{Vξ ∩U U| ∈ } c ủa  lên Vξ là m ột phủ mở chuẩn tắc của Vξ

Hệ quả 1.4 Giả sử  là m ột phủ mở của không gian chuẩn tắc X N ếu tồn tại một phủ mở chu ẩn tắc  ={Vξ |ξ∈Ξ} c ủa X sao cho v ới mỗi ξ∈Ξ, Vξ b ị phủ bởi hữu hạn phần tử của

 thì  là m ột phủ mở chuẩn tắc của X

Ch ứng minh Gọi W là một phủ mở chuẩn tắc của X sao cho W  Khi đó, với mỗi

W∈W, W là một không gian chuẩn tắc bị phủ bởi hữu hạn phần tử của  Do đó, hạn chế

của  lên W là một phủ mở chuẩn tắc của W Theo Định lý 1.10,  là một phủ mở chuẩn

Hệ quả 1.5 Giả sử

1

i i

t ồn tại một hàm liên tục ϕiα :X →[ ]0,1 sao cho G iα ={x|ϕiα( )x > 0} thì  là m ột phủ mở chu ẩn tắc

Ch ứng minh Vì i hữu hạn địa phương nên ϕ xác định bởi

với mọi x∈X là một hàm liên tục trên X

Nếu với mọix∈X , đặt ( ) 1 2 1( ( ) ( ) )

i i

x x

x

ϕϕ

α α

ϕψ

x

α α

và G iα ={x|ψiα( )x > 0} Do đó, {ψiα( )x :X →[ ]0,1 |α∈Ω =i,i 1, 2,…} là một phân hoạch đơn

vị trên X phụ thuộc  Theo Định lý 1.10,  là phủ mở chuẩn tắc 

Định lý 1.11 Mọi phủ mở σ -h ữu hạn địa phương của một không gian chuẩn tắc paracompact đếm được 1

là ph ủ mở chuẩn tắc

Ch ứng minh Gọi

1

i i

Nếu đặt G i = {G G| ∈ i} thì {G i i| = 1, 2, …} là phủ mở đếm được của X Do đó, tồn tại

một phủ mở đếm được hữu hạn địa phương {H i i| = 1, 2, …} của X sao cho H i ⊂G i với mọi

1, 2,

i= … Khi đó, {H i∩G G| ∈i,i= 1, 2, …} là một phủ mở hữu hạn địa phương, vì vậy cũng

là một phủ mở chuẩn tắc của X Vì {H i∩G G| ∈ i,i= 1, 2, …} là mịn của  nên  là phủ

1.6 Không gian Baire

1

Không gian X được gọi là paracompact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X luôn có một mịn

mở hữu hạn địa phương.

Gọi Ω là một tập khác rỗng Với bất kỳ hai dãy α ={α α1 , 2 , …}, β ={β β1 , 2 , …} các phần

,nếu với 1,2,0

i i

i k k

i

Định nghĩa 1.16 Tập hợp N( )Ω tất cả dãy các phần tử của Ω với ρ định nghĩa như trên

sẽ lập thành một khơng gian metric và được gọi là khơng gian Baire

w N

trong đĩ ℵ 0 là bản số của tập hợp các số tự nhiên

1.7 Khơng gian compact, khơng gian paracompact

Định nghĩa 1.17 Khơng gian X được gọi là khơng gian compact nếu mọi phủ mở của X

luơn cĩ một phủ con hữu hạn

Khơng gian X được gọi là khơng gian compact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được

của X luơn cĩ một phủ con hữu hạn

Khơng gian X được gọi là khơng gian Linderlưf nếu mọi phủ mở của X luơn cĩ một

phủ con đếm được

Với m là bản số vơ hạn bất kỳ, khơng gian X được gọi là khơng gian m -paracompact

nếu mọi phủ mở cĩ lực lượng ≤ m của X luơn cĩ một mịn mở hữu hạn địa phương

Khơng gian X được gọi là khơng gian paracompact nếu mọi phủ mở của X luơn cĩ một

mịn mở hữu hạn địa phương

Khơng gian X được gọi là khơng gian paracompact đếm được nếu mọi phủ mở đếm

được của X luơn cĩ một mịn mở hữu hạn địa phương

Không gian X được gọi là không gian paracompact con nếu mọi phủ mở của X luôn có

một mịn đóng σ-rời rạc

Không gian X được gọi là không gian paracompact con đếm được nếu mọi phủ mở đếm

được của X luôn có một mịn đóng σ -rời rạc

Một số kết quả quan trọng của không gian compact và không gian paracompact:

Định lý 1.12 (Định lý tích Tychonoff) Nếu {Xξ |ξ∈Ξ} là m ột họ các không gian compact thì X =∏ {Xξ |ξ∈Ξ} cũng là một không gian compact

Hệ quả 1.6 Không gian X là một không gian Hausdorff compact khi và chỉ khi X đồng

phôi v ới một tập con đóng của tích tôpô của các bản sao khoảng đơn vị đóng [ ]0,1

Định lý 1.13 Giả sử A , B là m ột cặp tập con đóng của không gian Hausdorff paracompact X N ếu với mọi x∈B , t ồn tại một lân cận U x c ủa A và m ột lân cận V x c ủa x sao cho U x∩V x = ∅ thì cũng tồn tại một lân cận U c ủa A và m ột lân cận V c ủa B sao cho

U∩ = ∅V

Ch ứng minh Vì họ {V x|x∈B} (∪ X B\ ) là một phủ mở của không gian X paracompact nên

nó có một mịn mở {Wξ |ξ∈Ξ} hữu hạn địa phương

H ệ quả 1.7 Mọi không gian Hausdorff paracompact là không gian chuẩn tắc

Vì mọi không gian compact là không gian paracompact nên từ Hệ quả 1.7 suy ra

H ệ quả 1.8 Mọi không gian Hausdorff compact là không gian chuẩn tắc

Bên cạnh đó,

Định lý 1.14 (Định lý 1.1 trong K.Morita [21]) Giả sử X là m ột không gian tôpô Khi đó, các m ệnh đề sau tương đương nhau:

(a) X là m ột không gian chuẩn tắc m -paracompact

(b) M ọi phủ mở có lực lượng ≤ m c ủa X là m ột phủ chuẩn tắc

(c) M ọi phủ mở có lực lượng ≤ m c ủa X luôn có m ột mịn là phủ đóng hữu hạn địa phương

(d) M ọi phủ mở có lực lượng m của X luôn có m ột mịn là phủ mở σ-h ữu hạn địa phương và X là không gian chu ẩn tắc paracompact đếm được

Định lý 1.15 Giả sử A là t ập con của không gian X chu ẩn tắc m -paracompact Nếu với

b ất kỳ tập mở G ch ứa A , t ồn tại một họ {Hξ |ξ∈Ξ} các Fσ-t ập mở của X sao cho

Định nghĩa 1.18 Không gian X được gọi là một P( )m -không gian nếu với mọi tập Ω có

lực lượng m và bất kỳ họ {G(α α1 , 2 , … ,α α αi)| 1 , 2 , … ,αi∈Ω = ,i 1, 2, …} các tập con mở của

bản số m

Các định lý sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa:

Định lý 1.16 Mọi P( )m -không gian là P( )n -không gian v ới > m n là các b ản số

Định lý 1.17 Không gian chuẩn tắc X là m ột P( )1 -không gian khi và ch ỉ khi X là m ột không gian paracompact đếm được

Kết hợp hai định lý vừa nêu,

Định lý 1.18 Mọi P( )m -không gian chu ẩn tắc là không gian paracompact đếm được

Ngoài ra,

Định lý 1.19 Nếu {G(α α1 , 2 , … ,α α αi)| 1 , 2 , … ,αi∈Ω = ,i 1, 2, …} là h ọ các tập con mở của không gian chu ẩn tắc X th ỏa điều kiện (1.1) thì các mệnh đề sau tương đương nhau:

(a) T ồn tại một họ {G(α α1 , 2 , … ,α α αi)| 1 , 2 , … ,αi∈Ω = ,i 1, 2, …} các t ập con đóng của X

th ỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.18

(b) T ồn tại một họ {G(α α1 , 2 , … ,α α αi)| 1 , 2 , … ,αi∈Ω = ,i 1, 2, …} các Fσ-t ập mở của X

th ỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.18

(c) T ồn tại một họ {G(α α1 , 2 , … ,α α αi)| 1 , 2 , … ,αi∈Ω = ,i 1, 2, …} các Fσ-t ập của X th ỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.18

Ch ứng minh Định lý được chứng minh theo sơ đồ sau: ( ) ( ) ( ) ( )a ⇒ b ⇒ c ⇒ a

1 ( ) ( )a ⇒ b : Giả sử rằng có mệnh đề ( )a Với mỗi dãy hữu hạn (α α1 , 2 , … ,αi) do X là không gian chuẩn tắc nên tồn tại một Fσ-tập con mở H(α α1 , 2 , … ,αi) thỏa mãn

Định nghĩa P-không gian có thể được viết lại đơn giản theo cách ký hiệu mới

Định nghĩa 1.19 Không gian X được gọi là một P -không gian nếu với mọi tập Ω và bất

kỳ họ {G( )σ σ| ∈Ω<ω} các tập con mở của X thỏa G( )σ ⊂G(σ α∨ ) với mọi σ∈Ωn,

α ∈Ω; tồn tại một họ {F( )σ σ| ∈Ω<ω} các tập con đóng của X thỏa mãn hai điều kiện:

(i) F( )σ ⊂G( )σ với mọi σ∈Ω < ω,

1.9 Không gian metric hóa

Định nghĩa 1.20 Không gian X được gọi là không gian metric hóa nếu X đồng phôi với

một không gian metric

Đối với không gian metric hóa, chúng ta quan tâm đến tính chất sau:

Định lý 1.20 (Bổ đề 6 trong M Katĕtov [13]) Nếu không gian X là m ột không gian metric hóa thì v ới mỗi n ∈ , tồn tại những phủ mở hữu hạn địa phương ω n và n c ủa X

th ỏa mãn các điều kiện:

(i) n ={V( )σ σ| ∈Ωn}, n ={B( )σ σ| ∈Ωn},

là các cơ sở địa phương của x trong X

Định lý 1.21 (Định lý 2.1 trong K Morita [22]) Giả sử m là bản số vô hạn và Ω là t ập

h ợp có lực lượng m Để không gian X là m ột không gian metric hóa có trọng số ≤ m, điều kiện cần và đủ là tồn tại một không gian con S c ủa N( )Ω và m ột toàn ánh liên tục đóng g S: →X sao cho 1( )

g− x là compact v ới mọi điểm x∈X

Trong trường hợp m = ℵ 0, Định lý 1.21 có thể được phát biểu lại như sau:

Định lý 1.22 Để không gian X là m ột không gian metric hóa khả ly, điều kiện cần và đủ là

t ồn tại một không gian con S c ủa phản continuum Cantor Dℵ0 và m ột toàn ánh liên tục đóng g S: →X sao cho 1( )

g− x compact v ới mọi điểm x∈X

Năm 1969, K Nagami [27] đưa ra các nghiên cứu của mình về Σ-không gian

Định nghĩa 1.22 Σ-lưới  của không gian X thỏa mãn C x( ) compact với mọi x X∈ được gọi là Σ- lưới mạnh của X Không gian X có một Σ-lưới (Σ-lưới mạnh) được gọi là

Σ-không gian (Σ-không gian m ạnh)

Chúng ta có thể suy ra từ định nghĩa trên các tính chất sau:

Định lý 1.23 Mọi Σ-không gian paracompact là Σ-không gian m ạnh

Định lý 1.24 Giả sử  ={ }F i i ω là m ột Σ- lưới của không gian X N ếu i v ừa là một phủ đóng hữu hạn địa phương của X v ừa là mịn của i v ới mọi i∈ ω thì  ={ }H i i ω là m ột Σ- lưới của X

Định lý 1.25 Nếu X là m ột Σ-không gian thì X có m ột Σ- lưới  ={ }F i i ω th ỏa mãn các tính ch ất:

(i) i là ph ủ đóng hữu hạn địa phương của X ,

=  (t ức là, nếu U là m ột tập con mở của X th ỏa mãn C x( )⊂U

thì t ồn tại một n ∈ sao cho ω F(σn)⊂U )

Ch ứng minh Vì X là một Σ-không gian nên X có một Σ-lưới  ={ }H i i ω Gọi i′ là họ

tất cả các giao hữu hạn của các phần tử thuộc i Khi đó, hiển nhiên i′ là một phủ đóng

hữu hạn địa phương của x và đặt i′ ={H i( )αi |a i∈A i}

Đặt Ω là tập hợp chứa tất cả các A i sao cho lực lượng của nó Ω là sup của tất cả các lực lượng A i Nếu đặt H i( )αi = ∅ với mọi αi∈Ω \A i thì chúng ta có thể ký hiệu lại i′ thành

Vì  i i nên { }F i là một Σ-lưới thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) theo Định lý 1.24

Lấy bất kỳ x∈X Do i′ là phủ đóng hữu hạn địa phương của X nên tồn tại αi∈Ω sao cho C x( ,  ′ =) H ( )α Suy ra tồn tại một σ =(α α, , … ,α , … ∈Ω) ω thỏa mãn (iii) 

Định nghĩa 1.23 Σ-lưới  ={ }F i i ω thỏa mãn tất cả các tính chất trong Định lý 1.25 được

gọi là Σ- lưới phổ hay gọi tắt là phổ

  khi và chỉ khi mọi không gian thành phần thỏa mãn tiên đề táchT i

Tuy nhiên, không giống như những tiên đề tách được đề cập đến, tính chuẩn tắc của không gian tôpô tích không được kế thừa từ các không gian thành phần

Một phản ví dụ được J Dieudonné [10] đưa ra năm 1939 khi xét tích tôpô giữa một không gian chuẩn tắc và một không gian compact

Ví d ụ 2.1 Không gian ω ω1× 1 không chuẩn tắc

Một ví dụ khác được đưa ra năm 1947 bởi R H Sorgenfrey [30] khi xét tích giữa hai không gian Linderlöf

Ví d ụ 2.2 Bình phương của đường thẳng Sorgenfrey không là không gian chuẩn tắc

Hơn nữa, năm 1971 M E Rudin [29] đã chứng minh được rằng

Ví d ụ 2.3 Tồn tại một không gian chuẩn tắc sao cho không gian tôpô tích của nó với

khoảng đơn vị đóng [ ]0,1 không chuẩn tắc

Vì vậy, tìm điều kiện đối với các không gian thành phần để không gian tôpô tích có thể

kế thừa tính chuẩn tắc là một bài toán được các nhà Toán học trên thế giới quan tâm Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng ta sẽ nghiên cứu

Bài toán 1 Gọi L là lớp các không gian chuẩn tắc thỏa mãn một số tính chất nào đó Tìm điều kiện cần và đủ đối với không gian chuẩn tắc X để tích của X với mọi không gian Y

thuộc vào L là một không gian chuẩn tắc

Nội dung Chương 2 sẽ giải quyết Bài toán 1 trong các trường hợp sau:

1 Llà lớp các không gian Hausdorff compact (sử dụng các kết quả của H Tamano [34])

2 Llà lớp các không gian metric compact (sử dụng các kết quả của C H Dowker [11])

3 Llà lớp các không gian metric hóa (sử dụng các kết quả của K Morita [22])

2.1 L là lớp các không gian Hausdorff compact

Định lý 2.1 Tích tôpô của không gian X v ới mọi không gian Hausdorff compact Y là m ột không gian chu ẩn tắc khi và chỉ khi X là m ột không gian Hausdorff paracompact

Để chứng minh định lý trên, chúng ta cần chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Tích tôpô của không gian Hausdorff paracompact X và không gian Hausdorff compact Y là m ột không gian Hausdorff paracompact

Ch ứng minh Không gian tôpô tích X×Y là một không gian Hausdorff theo Định lý 1.6

Gọi  là phủ mở bất kỳ của X×Y Do Y là không gian compact nên với mọi x X∈ có

thể chọn một họ hữu hạn các lân cận {U x i( )|i =1, 2,…,k x( ) } của x trong X và một phủ

mở {V ix|i=1, 2,…,k x( ) } của Y sao cho mỗi U x i( )× V ix được chứa trong phần tử nào đó

của

Đặt ( ) ( ) ( )

1

k x i i

Ch ứng minh Rõ ràng X là một không gian chuẩn tắc Đặt m= ℵα, gọi ωα là số thứ tự bé

nhất tương ứng với bản số ℵ và Wα α là không gian tất cả các số thứ tự ≤ωα với tôpô thứ

tự Khi đó, vì mọi tập con đóng của không gian compact là không gian compact nên theo Hệ

quả 1.1 Wα là một tập con đóng của Im, do đó X W× α là không gian chuẩn tắc Gọi  là

một phủ mở bất kỳ của X có  ≤m Do tính chuẩn tắc và theo Định lý 1.9, chúng ta có

một phủ mở chuẩn tắc của X Nếu lấy x′∈ X thì

ϕ là một tập con đóng của Im và hiển nhiên compact Vì vậy, ϕ(B x( ) )bị phủ bởi

hữu hạn phần tử Vλ theo (2.3) và (2.1) Suy ra B x b( ) ị phủ bởi hữu hạn phần tử Gλ theo (2.2) Ngoài ra, do G là một phủ con của  nên mỗi phần tử B x c( ) ủa  bị phủ bởi hữu

hạn phần tử của  Áp dụng Hệ quả 1.4,  là một phủ mở chuẩn tắc của X Theo Định

lý 1.10,  có một mịn mở hữu hạn địa phương Điều này chứng tỏ X là không gian m

Chúng ta sẽ chứng minh Định lý 2.1 thông qua hai bổ đề vừa nêu

Ch ứng minh Chiều nghịch của định lý được suy ra trực tiếp từ Hệ quả 1.7 và Bổ đề 2.1

Ngược lại, không khó để kiểm tra X là một không gian Hausdorff Hơn nữa, vì X ×Y là

một không gian chuẩn tắc với mọi không gian Hausdorff compact Y nên X×Im cũng là

một không gian chuẩn tắc với mọi bản số vô hạn m Do đó, X là không gian m paracompact với mọi bản số vô hạn m theo Bổ đề 2.2 Suy ra X là không gian paracompact

-2.2 L là lớp các không gian metric compact

Định lý 2.2 Tích tôpô của không gian X v ới mọi không gian metric compact Y là m ột không gian chu ẩn tắc khi và chỉ khi X là m ột không gian chuẩn tắc paracompact đếm được

Trước hết, chúng ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 2.3 Tích tôpô của không gian chuẩn tắc m -paracompact X và không gian Hausdorff compact Y có tr ọng số ≤ m là m ột không gian chuẩn tắc

Ch ứng minh Lấy bất kỳ một cặp tập con đóng F , G rời nhau của không gian tôpô tích

X ×Y Gọi {Vξ |ξ∈Ξ là cơ sở của } Y thỏa Ξ ≤ m và Γlà họ gồm tất cả tập con hữu hạn

của Ξ

Với mỗi γ ∈Γ, đặt Hγ = {Vλ |λ γ∈ } Với mỗi x X∈ , chúng ta định nghĩa

( ) { |( ), }

F x = y∈Y x y ∈F và G x( )={y∈Y|( )x y, ∈G}

Khi đó, Uγ ={x∈X F x| ( )⊂ Hγ ⊂Hγ ⊂Y G x\ ( ) } là một tập con mở của X Thật vậy,

lấy bất kỳ x0∈Uγ và gọi {Wδ |δ ∈ ∆ là tập tất cả các lân cận của } x trong0 X , trong đó ∆

được xem như tập định hướng với quan hệ thứ tự > được xác định bởiδ δ> ′⇔Wδ ⊂W δ′

Giả sử x 0 không là điểm trong của Uγ, tức là Wδ ⊂/Uγ với mọiδ∈ ∆ Với mỗiδ ∈ ∆ , chọn

( ) Wδ \Uγ

ϕ δ ∈ Từ định nghĩa của Uγ, chúng ta có hai trường hợp có thể xảy ra:

1 Nếu F(ϕ δ( ) )⊂/Hγ với mọiδ∈ ∆′, trong đó ′∆ là một tập con cùng gốc của ∆ thì

với mỗi δ∈ ∆ ch′ ọnψ δ( )∈F(ϕ δ( ) )\Hγ

Vì Y là không gian compact nên lưới ψ(∆ > có một điểm tụ ′| ) y0∈Y H\ γ Nếu

(x y0, 0)∈ thì F y0∈F x( )0 ⊂ Hγ Điều này không thể xảy ra, do đó (x y0, 0)∉ F

Mặt khác, từ ψ δ( )∈F(ϕ δ( ) ) suy ra θ δ( )=(ϕ δ ψ δ( ) ( ), )∈ với mọiF δ∈ ∆ Vì ′0

y là điểm tụ của ψ(∆ > ′| ) và lưới ϕ(∆ > h′| ) ội tụ về x nên 0 (x y là m0, 0) ột điểm tụ

của θ(∆ > Ngoài ra, do ′| ) F là một tập con đóng của X nên (x y0, 0)∈ (mâu F

thuẫn với chứng minh trên)

2 Nếu Hγ ∩G x( )δ ≠ ∅ với mọi δ∈ ∆′, trong đó ′∆ là một tập con cùng gốc của ∆

thì với mỗi δ∈ ∆ , ch′ ọn ψ δ( )∈Hγ ∩G x( )δ

Gọi y 0 là điểm tụ của lưới ψ (∆ >′| ) Khi đó, vì y0∈Hγ ⊂ X G x\ ( )0 nên

(x y0, 0)∉ MG ặt khác, từ ψ δ( )∈G(ϕ δ( ) ) suy ra θ δ( )=(ϕ δ ψ δ( ) ( ), )∈ với G

mọi δ∈ ∆ Vì ′ y 0 là điểm tụ của ψ (∆ > ′| ) và lưới ϕ(∆ > h′| ) ội tụ về x nên 0 (x y 0, 0)

là một điểm tụ củaθ(∆ > Ngoài ra, doG là một tập con đóng của ′| ) X nên

(x y, )∈ (mâu thuG ẫn với chứng minh trên)

Lưu ý rằng  {Uγ |γ∈Γ =} X do {Vξ |ξ∈Ξ là một cơ sở của không gian Hausdorff }

compact Y Vì thế, với mọi x X∈ , tồn tại γ ∈Γ sao choF x( )⊂Hγ ⊂Hγ ⊂Y G x\ ( ) Vì

Γ ≤ m và X là không gian chuẩn tắc m -paracompact nên tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương {Pγ |γ ∈Γ thỏa P} γ ⊂Uγ với mọi γ ∈Γ Đặt P= {Pγ ×Hγ |γ ∈Γ} Khi đó,

Thật vậy, lấy bất kỳ (x y, )∈ và F x∈Pγ Khi đó, x U∈ γ , vì thếy∈F x( )⊂Hγ Do đó,

( )x y, ∈ ×Pγ Hγ ⊂P với mọi γ ∈Γ Mặt khác, lấy bất kỳ (x y, )∈ và x P G ∈ Khi đó, γ

x U∈ γ và vì thế y H∉ γ do Hγ ∩G x( )= ∅ theo định nghĩa của Hγ Do đó,

( )x y, ∉ ×Pγ Hγ ⊂P với mọi γ ∈Γ Điều này suy ra ( )x y, ∈P theo cách định nghĩa của P

Theo Định lý 1.1, vì P mở và thỏa (2.4) nên X ×Y là không gian chuẩn tắc 

Bổ đề 2.4 Các mệnh đề sau tương đương nhau:

(a) X là một không gian chuẩn tắc m -paracompact

Ch ứng minh Chúng ta chỉ cần chứng minh ( ) ( )b ⇒ c vì các chiều ( ) ( )a ⇒ b và ( ) ( )c ⇒ a

lần lượt suy ra từ Bổ đề 2.3 và Bổ đề 2.2 Chiều ( )b ⇒ ( )c được suy ra từ Hệ quả 1.6 và

Ch ứng minh Xét ánh xạ ψ : X Y× → ×X Z xác định bởi ψ(x y, )=(x,ϕ( )x ) với mọi

(x y, )∈ ×X Y Không khó để thấy rằng ψ là một toàn ánh liên tục Hơn nữa, ψ còn là một

ϕ− compact nên tồn tại một lân cận U

của x trong X và một tập mở V của Y sao cho 1( )

,

ϕ− ⊂ × ∩ = ∅ Do ϕ là ánh xạ đóng nên U×(Z\ϕ(Y V\ ) ) là một lân cận của ( )x z, và rời với ψ( )F Do đó, ( )x z, ∉ψ( )F Điều này suy ra ψ( )F là một tập con đóng hay ψ là một ánh xạ đóng Vì ảnh của không gian chuẩn tắc qua một ánh xạ liên tục đóng là một không gian chuẩn tắc theo Tôpô đại

 Chúng ta đi đến chứng minh của Định lý 2.2

Ch ứng minh Giả sử X là không gian chuẩn tắc paracompact đếm được Theo Bổ đề 2.4,

X×Iω là không gian chuẩn tắc với Iω là bội Hilbert Nếu xem không gian metric Y như

một tập con đóng của Iω thì X×Y là một tập con đóng của X×Iω Theo Định lý 1.4, X×Y

là không gian chuẩn tắc

Ngược lại, do tích tôpô của không gian X với mọi không gian metric compact Y là một không gian chuẩn tắc nên X×[ ]0,1 là không gian chuẩn tắc Vì Dℵ0 là một tập con đóng của

[ ]0,1 nên X×Dℵ0 là một tập con đóng của X×[ ]0,1 Do đó, X×Dℵ0 là không gian chuẩn tắc

và X là không gian chuẩn tắc paracompact đếm được theo Bổ đề 2.4

Từ chứng minh trên, chúng ta suy ra

Định lý 2.3 Tích tôpô của không gian X v ới mọi không gian metric compact Y có tr ọng số

≤ m là m ột không gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là m ột không gian chuẩn tắc m paracompact

-2.3 L là lớp các không gian metric hóa

Định lý 2.4 Tích tôpô của không gian X v ới mọi không gian metric hóa Y là m ột không gian chu ẩn tắc khi và chỉ khi X là m ột P -không gian chu ẩn tắc