giảng dạy các thuật toán tìm ước chung lớn nhất với sự giúp đỡ của máy tính cầm tay

Với mong muốn giới thiệu với HS về kỹ thuật tìm ƯCLN của hai số nguyên bằng máy tính cầm tay, chúng tôi cố gắng xây dựng một tình huống didactic, qua đó có thể giới thiệu với học sinh về

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VỚI SỰ

LU ẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VỚI SỰ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán

Mã số: 60.14.10

LU ẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành những dòng đầu tiên trong luận văn này để gửi lời tri ân sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người Thầy đã rất tận tình hướng dẫn và cực kì kiên nhẫn trong suốt quá trình thực hiện luận văn Không chỉ là một người dẫn đường, Thầy còn cho tôi niềm tin thúc đẩy tôi vượt qua những trở ngại trong thời gian qua Xin gửi đến Thầy lòng biết ơn sâu sắc

Bên cạnh đó, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn của mình đến PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến và Quý Thầy, Cô ở trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy những kiến thức hết sức quý báu trong suốt quá trình học Cao học Bên cạnh là cơ sở lý thuyết cho luận văn, những

kiến thức mới này thật sự hữu ích cho việc giảng dạy của tôi Dù lời cảm ơn này đến muộn nhưng tôi vẫn xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô đã rất tâm huyết vì

học viên

Xin cảm ơn bạn Trần Đỗ Duy Thức, bạn Nguyễn Bích Hoàng Anh về những tài liệu rất có giá trị mà các bạn đã giúp đỡ cũng như sự quan tâm, động viên từ xa

của hai bạn Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến Cô Nguyễn Thị Anh Đào, Cô Tô

Thị Hoàng Lan, bạn Trần Đắc Mỹ Hạnh, bạn Bùi Thanh Hà, bạn Đặng Quốc Sỹ đã nhiệt tình giúp đỡ cho phần thực nghiệm Cảm ơn các bạn đồng nghiệp, phụ huynh

và các em học sinh thân thương ở trường Đinh Thiện Lý đã quan tâm, khích lệ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn Tôi cũng xin cảm ơn chị Nguyễn Thị Bích Hoa, một người đi trước, một người chị và đồng thời là một người bạn đã luôn lắng nghe và chân tình giúp đỡ

Cuối cùng, xin gửi đến Ba Mẹ và gia đình lòng biết ơn chân thành vì đã luôn

ở bên lo lắng, động viên, chia sẻ và luôn là chỗ dựa tin cậy trong những lúc khó khăn, căng thẳng nhất

M ỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 3

PHẦN MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Khung lý thuyết tham chiếu 5

3 Mục đích nghiên cứu 6

4 Phương pháp nghiên cứu 6

CHƯƠNG I CÁC KỸ THUẬT TÌM ƯCLN CỦA HAI SỐ NGUYÊN 8

1 Dựa vào định nghĩa (τ1) 9

2 Chọn trong các ước của số nhỏ (τ2) 10

3 Phân tích ra thừa số nguyên tố (τ3) 11

4 Thuật toán Euclide (τ4) 11

5 Dùng máy tính cầm tay (τ5) 14

6 Kết luận chương I 16

CHƯƠNG II ƯCLN TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG 17

1 Phân tích chương trình 17

2 Phân tích sách giáo khoa 18

3 Kết luận chương II 33

CHƯƠNG III PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA NƯỚC NGOÀI TRÊN CƠ SỞ SO SÁNH VỚI SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 6 36

1 Tổng quan về chương trình 36

2 Về phần bài học 37

3 Về phần bài tập 47

4 Kết luận chương III 50

CHƯƠNG IV THỰC NGHIỆM 52

1 Giả thuyết nghiên cứu 52

2 Dự kiến thực nghiệm 53

3 Kết quả thực nghiệm ở lớp 6 60

4 Kết quả thực nghiệm ở lớp 10 69

6 Tổng hợp kết quả thực nghiệm 77

KẾT LUẬN 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

PHỤ LỤC 90

HDMTCT Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay

PH ẦN MỞ ĐẦU

Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số nguyên là một bài toán rất thông dụng và đã xuất hiện từ rất lâu đời Bài toán này xuất phát từ việc người ta đo đạc các độ dài thông qua một số đơn vị đo đã có, mà sâu xa hơn là tìm cách quy đổi các đơn vị đo khác nhau về cùng một đơn vị tạm gọi là đơn vị chung Khoảng 300 năm trước Công nguyên, Euclide đã trình bày một thuật toán mà sau này gọi là thuật toán Euclide để giải quyết vấn đề này, đặc biệt ở mệnh đề 1-2 (quyển 7) và mệnh đề 2-3 (quyển 10) trong bộ Elements Các con số được đề cập trong thuật toán này đại diện cho độ dài của đoạn thẳng, cho diện tích hay thể tích nên có giá trị dương Ngày nay, ta có thể áp dụng thuật toán này cho các số nguyên

âm và mở rộng thành một tiên đề để xây dựng tập hợp số thực

Xuất phát từ một thực tế mà chúng tôi thấy trong quá trình giảng dạy: Khi

HS được yêu cầu tìm ƯCLN(29 844, 13 644), hầu hết các em đều có thể làm đến

Tuy nhiên, khi giáo viên (GV) hỏi HS có chắc chắn 829 và 379 là số nguyên

tố hay không thì hầu hết HS không trả lời được Dường như việc kiểm tra một số có

phải là số nguyên tố hay không không được HS quan tâm dù HS tìm ƯCLN theo cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Một câu hỏi nữa xuất hiện trong những câu trả lời của HS khi được hỏi: tìm ƯCLN(6; 12) Thay vì nhận ra 6 là ước của 12 nên nó chính là ƯCLN(6; 12) thì HS

lại phân tích hai số này thành thừa số nguyên tố rồi mới có thể trả lời được câu hỏi

Như vậy, chúng tôi hồ nghi rằng hình như lúc nào HS cũng sử dụng cách phân tích

ra thừa số nguyên tố để tìm ƯCLN của hai số tự nhiên

Mặt khác, HS đã được sử dụng máy tính cầm tay từ lớp 6 Bên cạnh việc giúp HS khi thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, máy tính còn có thể giúp

HS tìm được ƯCLN của hai số nguyên nhờ vào khả năng đơn giản phân số của nó

Với mong muốn giới thiệu với HS về kỹ thuật tìm ƯCLN của hai số nguyên bằng máy tính cầm tay, chúng tôi cố gắng xây dựng một tình huống didactic, qua đó có

thể giới thiệu với học sinh về thuật toán Euclide, một thuật toán cổ xưa nhưng có rất nhiều ứng dụng trong nhiều ngành nghề hiện nay

Tuy nhiên, do áp lực quá lớn từ công việc ở trường đang công tác và thời gian thực hiện luận văn có hạn, chúng tôi nhận thấy việc xây dựng một đồ án didactic vượt quá khả năng của mình Do đó, chúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình trong việc nghiên cứu về đối tượng ƯCLN trong chương trình Việt Nam cũng như tìm hiểu về các cách tìm ƯCLN cùng với cơ sở lý thuyết của chúng

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic Toán để giải quyết các câu hỏi nêu trên

Xuất phát từ yêu cầu tìm hiểu đối tượng ƯCLN của hai số nguyên trong chương trình môn Toán lớp 6, chúng tôi chọn khung lý thuyết Nhân học Với việc xem mỗi hoạt động của con người như là việc thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu

T, với kỹ thuật τ tương ứng, cùng với công nghệ θ cho phép giải thích τ hay có khi sinh ra τ và lý thuyết của công nghệ, ký hiệu là Θ Một khối [T/τ /θ/ Θ] trong môn toán được gọi là một tổ chức toán học Qua đó, chúng tôi sẽ tìm hiểu xem kỹ thuật nào xuất hiện nhiều nhất trong thể chế? Vì sao?

Bên cạnh đó, lý thuyết chuyển hóa sư phạm đã chỉ ra: “vấn đề hợp pháp của các đối tượng tri thức được dạy: tri thức được dạy được hợp pháp hóa như thế nào? Tri thức tham chiếu nào? Cái gì quyết định sự hiện diện của tri thức này, mà không

phải là tri thức khác?” Nhờ đó, chúng tôi có thể giải đáp được phần nào lí do của sự

vắng mặt thuật toán Euclide trong chương trình toán lớp 6, cũng như thúc đẩy

chúng tôi tìm hiểu sâu hơn về nguồn gốc cũng như tính đúng đắn của các kỹ thuật liên quan đến kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN của hai số tự nhiên

Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung vào đối tượng ƯCLN và kiểu nhiệm vụ T – tìm ƯCLN vì nó dường như là kiểu nhiệm vụ quan

trọng nhất gắn với đối tượng này

Sau khi tham chiếu khung lý thuyết ở trên, những câu hỏi ban đầu được chuyển thành câu hỏi nghiên cứu như sau:

hiện trong các giáo trình đại học? Những yếu tố công nghệ nào giải thích cho các kỹ thuật này?

mất đi trong chương trình phổ thông? Kiểu nhiệm vụ này có ứng dụng gì trong chương trình phổ thông?

Trên cơ sở các câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra, chúng tôi xác định các phương pháp nghiên cứu sau:

Đối với câu hỏi Q1, để tìm hiểu về nguồn gốc và phần chứng minh của các

kỹ thuật liên quan đến kiểu nhiệm vụ T – tìm ƯCLN, chúng tôi sẽ tham khảo các giáo trình về Đại số đại cương, toán rời rạc và Số học ở bậc Đại học

Kết quả của những nghiên cứu này sẽ được trình bày ở chương I của luận văn: “Các kỹ thuật tìm ƯCLN của hai số nguyên”

Liên quan đến các tổ chức toán học xoay quanh việc tìm ƯCLN và sự chuyển hóa sư phạm của tri thức, cũng như các ứng dụng của đối tượng ƯCLN trong chương trình phổ thông, chúng tôi tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa môn toán hiện hành của lớp 6, 7, 8 (riêng chương trình toán 6 gồm có sách bài học và bài

tập); sách Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức và kỹ năng môn Toán Trung học

cơ sở và sách giáo khoa môn Tin học lớp 10 hiện hành Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ

tham khảo thêm sách Pre-Algebra của Mỹ dành cho bậc trung học để đối chiếu Chương II - ƯCLN trong chương trình phổ thông và chương III – Phân tích sách giáo khoa nước ngoài trên cơ sở so sánh với sách giáo khoa toán 6 sẽ trình bày kết

quả của phần này

Để trả lời câu hỏi Q2, chúng tôi sẽ thiết lập các câu hỏi trong đó có các tình

huống để HS bộc lộ quy tắc hành động của mình Những phân tích tiên nghiệm và

hậu nghiệm cho thực nghiệm này sẽ được trình bày trong chương IV: “Thực nghiệm”

Như vậy, cấu trúc của luận văn gồm các phần sau:

Phần mở đầu Chương I: Các kỹ thuật tìm ƯCLN của hai số nguyên

Chương II: ƯCLN trong chương trình phổ thông

Chương III: Phân tích sách giáo khoa nước ngoài trên cơ sở so sánh

với sách giáo khoa Toán 6

Chương IV: Thực nghiệm Chương V: Kết luận

CHƯƠNG I CÁC KỸ THUẬT TÌM ƯCLN CỦA HAI SỐ

NGUYÊN

Trong chương này, chúng tôi sẽ tìm hiểu về một số kỹ thuật tìm ƯCLN xuất

hiện trong các giáo trình đại học và các sách chuyên khảo nhằm làm cơ sở để phân tích chương trình phổ thông Các tác phẩm mà chúng tôi lựa chọn như sau:

Hoàng Chúng (1997), S ố học Bà chúa của toán học, NXB Giáo dục

Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục

Nguyễn Hữu Anh (2010), Toán rời rạc, NXB Lao động xã hội

Nguyễn Văn Trang (Chủ biên), Nguyễn Trường Chấng, Nguyễn Thế Thạch, Nguyễn Hữu Thảo (2008), Hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính CASIO fx

570MS, NXB Giáo dục

Bài toán tìm ƯCLN được nghiên cứu rất sớm trong lĩnh vực số học Chính vì

vậy chúng tôi chọn phân tích quyển sách chuyên khảo của Hoàng Chúng (1997) Quyển sách này không dùng để giảng dạy ở bậc đại học nhưng được nhiều giáo viên tham khảo để giảng dạy, đặc biệt là dạy cho các học sinh giỏi Bằng việc trình bày một số vấn đề cơ bản của số học thông qua những bài toán cổ, quyển sách này phù hợp với trình độ học sinh khá giỏi toán cấp 2 và 3

Khái niệm ƯCLN được mở rộng, có lẽ ở mức độ đầu tiên, trong lĩnh vực đại

số và được giảng dạy tại các Khoa Toán của các trường Đại học Sư phạm và Khoa

học tự nhiên Chính vì vậy, chúng tôi chọn phân tích giáo trình Đại số đại cương

của TS Mỵ Vinh Quang (1999)

Chúng ta cũng biết, khái niệm ƯCLN được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực công nghệ thông tin và như vậy, chúng tôi sẽ phân tích một giáo trình toán rời rạc

của Nguyễn Hữu Anh (2010) Quyển sách này được dùng làm giáo trình cho sinh viên ngành Toán và ngành Công nghệ thông tin của Đại học Khoa học Tự nhiên TP HCM

Bên cạnh đó, máy tính cầm tay (MTCT) được cho phép sử dụng chính thức trong chương trình phổ thông hiện hành (chính xác là cho bậc THCS và THPT)

Như vậy, các thuật toán tìm ƯCLN bằng máy tính bỏ túi có thể xuất hiện Bằng cách chọn loại MTCT đang được sử dụng phổ biến hiện nay, chúng tôi sẽ phân tích các thuật toán tìm ƯCLN trong quyển sách chuyên khảo hướng dẫn sử dụng loại máy này và hướng dẫn cách sử dụng chúng để giải các bài toán trong chương trình

phổ thông với lưu ý rằng chúng được xuất bản bởi Vụ Trung học phổ thông của Bộ giáo dục và đào tạo Vì thế, chúng có nhiều ảnh hưởng lên chương trình và SGK

phổ thông hiện hành

Để thuận tiện cho việc trích dẫn, chúng tôi tạm kí hiệu các giáo trình này lần lượt là [SH], [ĐSĐC], [TRR] và [HDMTCT]

Đầu tiên chúng ta sẽ mô hình hoá kiểu nhiệm vụ chính cần nghiên cứu là:

Chúng ta đã biết việc tìm ƯCLN của ba số nguyên trở lên được dựa trên việc tìm ƯCLN trong các ƯCLN của mỗi cặp số trong các số đã cho Do đó, trong chương này, chúng tôi chỉ tập trung vào kiểu nhiệm vụ là tìm ƯCLN của hai số nguyên khác 0 cho trước

Chúng tôi sẽ không phân tích từng tác phẩm nhưng sẽ phân tích theo từng kĩ thuật tìm thấy trong các tác phẩm này vì chúng có thể trùng nhau Ngoài ra, chúng tôi cũng cố gắng làm rõ mối liên hệ của các kĩ thuật này trên phương diện các yếu

tố lí thuyết giải thích chúng

Tên gọi ƯCLN xuất phát từ định nghĩa của nó và bản thân tên gọi này cũng

đã miêu tả chính xác bản chất của nó

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó

[Sách giáo khoa Toán 6, trang 54]

Định nghĩa này được công nhận và sử dụng trong tất cả các tác phẩm mà chúng tôi đã tham khảo Thậm chí, trong một số tài liệu như ĐSĐC hay TRR, các

tác giả sử dụng kí hiệu ƯCLN mà không nêu ra định nghĩa, như một cách mặc nhiên công định nghĩa này

Kỹ thuật này có các bước làm hoàn toàn dựa trên định nghĩa Ta có thể tóm

tắt các bước làm của kỹ thuật τ1 như sau:

• Tìm tập hợp tất cả ước chung của hai số

• Chọn số lớn nhất trong tập hợp các ước chung đó

1

θ : kỹ thuật τ1 không chỉ dựa trên định nghĩa của ƯCLN của hai hay nhiều

số mà còn dựa trên cơ sở: tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số là tập hợp có

hữu hạn phần tử

Điều này xuất phát từ việc mỗi số nguyên chỉ có hữu hạn ước: Nếu a là ước

của b thì ta có a ≤b , mà tập hợp N thì không thể giảm vô hạn Ngoài ra, tập hợp N

là tập hợp được sắp thứ tự tốt Do đó, với hai phần tử bất kì trong tập hợp các ước chung, ta luôn tìm được số lớn hơn Vì thế, ta luôn tìm được số lớn nhất trong tập

hợp này

Theo như tên gọi, kỹ thuật này đặc biệt hữu dụng với các số có 1 hoặc 2 chữ

số, những số quen thuộc có thể nhẩm nhanh các ước Do ƯCLN trước hết phải là ước chung, tức là nó phải là ước của tất cả các số đã cho nên ta có thể chọn lấy số

nhỏ nhất trong số đó và tìm tất cả các ước của nó Sau đó, lần lượt thử xem từng ước đó có là ước của các số còn lại không cho đến khi thử đến ước lớn nhất của số

vừa chọn ƯCLN là số lớn nhất thỏa trong quá trình đó Tất nhiên, việc thử chọn này thường đi kèm với nhận xét về tính chia hết của các số đã cho

Ví dụ, để tìm ƯCLN(22, 33, 77), ta không cần thử ước là 2 được vì chắc

chắn 33 và 77 không chia hết cho nó Với ví dụ này, ta có thể nhẩm ngay ƯCLN(22, 33, 77) là 11 mà không cần tính toán nhiều

Kỹ thuật này được dựa trên định nghĩa của ƯCLN Bên cạnh đó, quan hệ thứ

tự toàn phần của tập hợp số tự nhiên và tính duy nhất của ƯCLN cũng là cơ sở lý thuyết cho kỹ thuật này

3 Phân tích ra th ừa số nguyên tố (τ3)

Thuật toán này dựa vào một định nghĩa khác của ƯCLN(a, b): Đó là tích của

những thừa số nguyên tố chung của a và b

Cơ sở lý thuyết θ của kỹ thuật 3 τ là định lý cơ bản của Số học: 3

Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố

một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số)

[SH, tr 64]

Định lý này được chứng minh dựa trên 2 định lý nhỏ hơn:

“Mọi số lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố.” và “Mọi số lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất.”

Việc chứng minh những định lý này cơ bản dựa vào nguyên lý quy nạp toán

học Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi sẽ không trình bày phần chứng minh

của các định lý này

Lý thuyết cho công nghệ θ là Số học 3

Được Euclide tìm ra và trình bày trong quyển Elements vào thế kỷ thứ 3 trước công nguyên, đây là thuật toán lâu đời nhất để tìm ƯCLN nhưng rất hiệu quả Đây gần như là giải thuật duy nhất dùng trong lập trình tin học hay máy tính cầm tay với thời gian tính toán kết quả rất nhanh Donald Knuth đã đưa ra nhận định sau

về thuật toán Euclide:

Thuật toán Euclide là ông tổ của mọi thuật toán vì nó là một thuật toán phi thường và cổ xưa nhất còn tồn tại đến ngày hôm nay

“The Euclidean algorithm is the granddaddy of all algorithms, because it is the oldest nontrivial algorithm that has survived to the present day.”

Donald Knuth (1981), The Art of Computer Programming, Vol.2:

Seminumerical Algorithms, ấn bản thứ 2, tr 318

Thuật toán như sau:

Nếu b là ước của a, đặt r0 = b Nếu không, ta thực hiện lần lượt các phép chia có dư số:

b r r

bq

a= 1+ 1 , 0 ≤ 1≤

1 2 2

1 2

1 r q r ,0 r r

………

1 2 2

=bp r (r 0)

Thuật toán Euclide có thể mô tả bằng sơ đồ sau:

[SH, tr 12]

Thuật toán này được chứng minh trong tài liệu [TRR] bằng phương pháp quy

nạp toán học Đó là công nghệ θ4 của τ4 Tìm hiểu sâu hơn, τ4 được xây dựng và

chứng minh một cách hoàn chỉnh hơn dựa trên tính chất đặc trưng của vành Euclide: tồn tại ánh xạ δ sao cho:

r r

N N

Trong phần chứng minh thuật toán được trình bày trong [ĐSĐC, tr 117], r là

số dư trong phép chia của số tự nhiên a cho số tự nhiên b Tính chất của ánh xạ này làm cho thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn bước vì dãy các số tự nhiên không thể giảm vô hạn Do đó, Đại số đại cương chính là lý thuyết tham chiếu của công nghệ θ 3

Một biến thể khác của thuật toán này là: Với hai số tự nhiên a, b, trong đó

a>b thì ta có: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(a – b, b)

Với cách làm này, ta không phải thực hiện phép chia mà thay vào đó là phép

trừ qua lại giữa các số, cho đến khi nào ta được cặp số bằng nhau Do đó, kĩ thuật này đơn giản hơn do việc thực hiện phép trừ dù sao cũng dễ hơn việc thực hiện phép chia, đặc biệt là với các đa thức Kỹ thuật này cũng được trình bày ở trang 48

và 49 trong sách giáo khoa môn Tin học lớp 10 hiện hành

Ví dụ: Để tìm ƯCLN của 108 và 30, ta làm như sau:

Suy ra: ƯCLN(108; 30) = ƯCLN(30; 18) = ƯCLN(18; 12) = ƯCLN(12; 6)

Mà 12 chia hết cho 6 nên 6 là ƯCLN(108; 30)

Những thuật toán ở trên có thể đều cần đến máy tính cầm tay để quá trình tính toán nhẹ nhàng hơn nhưng ở thuật toán này, máy tính cầm tay giúp ta tìm được ƯCLN một cách trực tiếp chứ không chỉ là một công cụ tính toán ƯCLN của hai số được tìm ra dựa trên chức năng đơn giản phân số của máy tính và định nghĩa của phân số tối giản: Đó là phân số có ƯCLN của tử và mẫu là 1, hay tử và mẫu là hai

số nguyên tố cùng nhau Để đơn giản phân số, máy tính đã được lập trình để chia tử

và mẫu cho ƯCLN của chúng Theo đó, với mỗi phân số nhập vào, máy tính đều đơn giản đến dạng tối giản Ứng dụng này được lập trình thành vòng lặp dựa trên thuật toán Euclide

Bên cạnh đó, dựa vào định nghĩa của phân số tối giản và tính duy nhất của

dạng phân tích thành thừa số nguyên tố, khi đơn giản phân số thì tử và mẫu đơn

giản cho nhau những thừa số chung Ta tìm được ƯCLN là tích của những thừa số chung đó Có thể tóm tắt kỹ thuật này như sau:

• ƯCLN(a, b) = a : c hay ƯCLN(a, b) = b : d

Việc sử dụng máy tính đã đơn giản các công đoạn tính toán của HS và cho

kết quả xuất hiện nhanh chóng Trong [HDMTCT, tr 65] có đưa ra một ví dụ minh

họa với 2 số 209865 và 283935 thì kết quả theo các bước hướng dẫn xuất hiện chỉ trong khoảng chưa đầy 1 phút, nhanh hơn nhiều so với việc tính tay Từ đó, việc tìm ƯCLN của 3 số tự nhiên trở lên có thể được thực hiện bằng cách tìm ƯCLN của

từng cặp và chọn ra số nhỏ nhất trong các ƯCLN của từng cặp đó Quan trọng hơn,

việc sử dụng máy tính còn giúp HS tránh được bước kiểm tra một số có phải là số nguyên tố không, vốn là bước khó nhất trong thuật toán phân tính thành thừa số nguyên tố

Tuy nhiên, máy tính chỉ thực hiện chính xác các phép tính trong giới hạn là

±1 ở chữ số thứ 10 nên với những trường hợp vượt quá giới hạn này, kết quả của máy tính không còn chính xác nữa

Ví dụ: Với yêu cầu tìm ƯCLN(987 654 321; 123 456 789), dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9, ta biết rằng 2 số này có ước chung là 9 nên ƯCLN của chúng sẽ lớn hơn hay bằng 9 Tuy nhiên, khi nhập vào máy tính phân số

thực hiện thêm các bước: tìm số dư của phép chia bằng cách tính hiệu của

987654321 – 8 123456789 = 9 Theo thuật toán Euclide, ta có:

6 K ết luận chương I

Từ những kỹ thuật được nêu ở trên, chúng tôi có sơ đồ sau:

Trong các kỹ thuật trên, τ và 3 τ4 đóng vai trò là công nghệ cho τ Thực 5

chất, các kỹ thuật trên còn dựa trên định nghĩa của ƯCLN, hay ta có thể nói τ1chính là một phần công nghệ của tất cả các kỹ thuật

Từ các kỹ thuật để tìm ƯCLN được nêu ở trên, chúng tôi đặt lại câu hỏi nghiên cứu như sau:

Trong tổ chức toán học xoay quanh kiểu nhiệm vụ T – Tìm ƯCLN của các

số nguyên thì những kỹ thuật nào xuất hiện trong dạy học ở trường phổ thông?

Những kỹ thuật nào được thể chế ưu tiên hơn?

CHƯƠNG II ƯCLN TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ

THÔNG

Đối tượng ƯCLN xuất hiện trong chương trình phổ thông ở chương trình các

lớp sau:

Toán 6 ƯCLN là đối tượng nghiên cứu chính và T – tìm ƯCLN là kiểu

nhiệm vụ tương ứng

Toán 7 Tìm ƯCLN là một công cụ để giải quyết các kiểu nhiệm vụ khác

trong chương trình Toán 7 và 8

Tin 10 Thuật chia Euclide để tìm ƯCLN được giới thiệu trong phần mở

đầu về thuật toán

Do đó, trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa môn Toán

lớp 6 để làm rõ các tổ chức toán học xoay quanh đối tượng ƯCLN vì ước chung

lớn nhất được trình bày lần đầu tiên và chủ yếu trong chương trình môn toán lớp 6

Sang học kì hai, HS được học về các số hữu tỉ và các phép toán trên số hữu

tỉ Trong đó, “Rút gọn phân số” là một bài học riêng ở §4 và đây được xem một nhiệm vụ cơ bản trong mỗi bài thực hiện phép tính liên quan đến phân số Kỹ thuật được Sách giáo khoa giới thiệu là đơn giản tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng Rút gọn phân số cũng là yêu cầu trọng tâm trong kì thi giữa học kì hai

Lên đến lớp 7, tập hợp số hữu tỉ và các phép toán trên số hữu tỉ được nhắc lại

một lần nữa ở những bài đầu tiên Trong đó, sách giáo khoa không hề nhắc lại cách rút gọn phân số, xem như HS đã biết

Bên cạnh đó, chương trình Toán 8 cũng sử dụng ƯCLN như một công cụ để giúp đặt thừa số chung trong kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử Dù không được nêu ra thành một kỹ thuật chính thức trong sách giáo khoa nhưng để rút

được thừa số chung của các đơn thức trong đa thức, HS phải vận dụng ƯCLN Vì

thế, chúng tôi cũng sẽ nghiên cứu sách giáo khoa Toán lớp 7 và 8

Ngoài ra, dùng ƯCLN để đơn giản phân số cũng là một trong những thuật toán cơ bản trong lập trình HS làm quen với lập trình ở môn Tin học lớp 10 Trong

đó, đơn giản phân số được giới thiệu như là một ví dụ điển hình về lập trình dựa trên thuật toán Để làm rõ vị trí và vai trò của kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN trong môn Tin học, chúng tôi sẽ tham khảo thêm sách giáo khoa ở lớp 10 của môn này

2 Phân tích sách giáo khoa

Trong phần này, chủ yếu chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa Toán lớp 6 vì

ở cấp lớp này, HS làm quen với bài toán tìm ƯCLN lần đầu tiên Bên cạnh đó, để

có cái nhìn tổng thể về vai trò, vị trí của bài toán tìm ƯCLN của hai số nguyên trong chương trình môn Toán ở bậc trung học cơ sở (THCS), chúng tôi tham khảo sách Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức và kỹ năng môn Toán Trung học cơ sở song song với việc tham khảo sách giáo khoa môn toán lớp 7, 8

Ngoài ra, do bài toán tìm ƯCLN cũng là một vấn đề cơ bản khi viết thuật toán nên nó cũng xuất hiện trong chương trình môn tin học ở lớp 10 Do đó, chúng tôi cũng sẽ phân tích sách giáo khoa này

Để tiện trích dẫn và tránh rườm rà khi cần dẫn chứng, chúng tôi tạm viết tắt các giáo trình trên lần lượt thành SGK 6.1, SBT 6.1, SGK 6.2, SBT 6.2, SGV 6.1, SGV 6.2, SGK 7.1, SGV 7.1, SGK 7.2, SGV 7.2, SGK 8.1, SGV 8.1, SGK Tin 10

Trước khi đến với bài học về ƯCLN ở tiết 17, HS được làm quen với một số

kiến thức chuẩn bị, lần lượt ở các tiết:

§11 Dấu hiệu chia hết cho 2, 5

§12 Dấu hiệu chia hết cho 3, 9

§13 Ước và bội

§14 Số nguyên tố Hợp số Bảng số nguyên tố

§15 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

§16 Ước chung Bội chung

Như vậy, HS được học về các dấu hiệu chia hết – một căn cứ để xác định

một số là hợp số hay số nguyên tố Bên cạnh đó, HS được cung cấp định nghĩa của ước và bội, cách tìm tập hợp ước và bội của một số ở tiết 13 HS cũng được giới thiệu thế nào là hợp số, thế nào là số nguyên tố qua bài học ở tiết 14 Đến tiết 15 – Phân tích một số ra thừa số nguyên tố, HS được học cách phân tích một số ra thừa

số nguyên tố Đây là bài học rất quan trọng trong việc cung cấp kiến thức chuẩn bị cho bài ƯCLN, đặc biệt là đối với cách tìm ƯCLN bằng việc phân tích một hợp số

ra thừa số nguyên tố Ở bài học này, SGK 6.1 hướng dẫn HS phân tích theo sơ đồ

dạng cây và theo cột dọc

Tuy nhiên, để xác định một số có là số nguyên tố hay không, hay nói một cách khác là khi nào ta dừng việc phân tích này lại thì SGK 6.1 không trình bày trong phần bài học Phần hướng dẫn chỉ xuất hiện trong phần đọc thêm sau tiết 14

KIỂM TRA MỘT SỐ LÀ SỐ NGUYÊN TỐ

Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a Như vậy:

29 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5

67 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5; 7

127 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5; 7; 11

173 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5; 7; 11; 13

[SGK 6.1, tr 48]

SGK 6.1 cũng đã có bài 123 trang 48 để dẫn dắt cho bài tập dạng này trước

bài 118, HS có thể nhận xét dựa vào tính chẵn lẻ và dấu hiệu chia hết cho 5 hoặc tính các tổng (hiệu) ra là thấy ngay các tổng (hiệu) trên là hợp số

Như vậy, cách trình bày của SGK 6.1 cho thấy: kiểm tra một số có là số nguyên tố hay không không phải là nhiệm vụ trọng tâm mà chương trình nhắm đến Các bài tập của dạng bài này cũng chỉ dựa trên các dấu hiệu chia hết đã học

2.1.1.2 Bài học ƯCLN

Về nội dung và mục tiêu cho phần kiến thức này được đưa ra trong Sách giáo viên Toán 6 là:

_ Học sinh hiểu được thế nào là ƯCLN của hai hay nhiều số, thế nào là hai

số nguyên tố cùng nhau, ba số nguyên tố cùng nhau

_ Học sinh biết tìm ƯCLN của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số

đó ra thừa số nguyên tố, từ đó biết cách tìm các ước chung của hai hay nhiều số

_ Học sinh biết tìm ƯCLN một cách hợp lí trong từng trường hợp cụ thể,

biết vận dụng tìm ước chung và ƯCLN trong các bài toán thực tế đơn giản [SGV 6.1, tr 77]

Bắt đầu bài học ở tiết 17, SGK 6.1 cho HS tìm hiểu ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm tập hợp các ước chung của 12 và 30

Ta lần lượt tìm được: Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của số đó

[SGK 6.1, tr 54]

Qua cách dẫn dắt vào bài học cũng như thông qua định nghĩa, HS sẽ nghĩ ngay đến kỹ thuật dựa trên định nghĩa Tuy nhiên, câu hỏi SGK 6.1 đặt ra ngay từ đầu bài học: “Có cách nào tìm ước chung của hai hay nhiều số mà không cần liệt kê các ước của mỗi số hay không?” cho thấy rằng kỹ thuật dựa trên định nghĩa không

phải là kỹ thuật được chương trình hướng HS đến

Thay vào đó, SGK 6.1 hướng dẫn cho HS một kỹ thuật khác để tìm ƯCLN

Kỹ thuật đó được trình bày minh họa qua ví dụ:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ

nhất của nó Tích đó là ƯCLN phải tìm

[SGK 6.1, tr 55]

Phần trình bày trên của SGK 6.1 thể hiện rõ: kỹ thuật tìm ƯCLN thông qua

việc phân tích các số ra thừa số nguyên tố được thể chế ưu tiên Ta có thể nhận thấy các bước của kỹ thuật này được minh họa một cách rõ ràng qua Ví dụ 2

Tuy nhiên, cả ví dụ hay phần bài học đều không được SGK 6.1 giải thích vì sao kỹ thuật này giúp ta tìm được ƯCLN Ở ví dụ 2, SGK 6.1 cũng không so sánh ƯCLN vừa tìm được với ƯCLN có được từ cách làm bằng định nghĩa để chỉ ra cho

HS thấy tính đúng đắn của thuật toán

Thế nhưng, đối với các số nguyên tố cùng nhau thì ở bước hai, HS không thể nào chọn ra được các thừa số nguyên tố chung Do đó, kỹ thuật phân tích ra thừa số nguyên tố không phải là giải pháp cho mọi trường hợp Mặt khác, nếu trong các số

đã cho để tìm ƯCLN, nếu tồn tại một số là ước của tất cả các số còn lại thì HS cũng không cần dùng đến kỹ thuật này Trong hoạt động 2, HS có thể thấy ngay điều này:

Tìm ƯCLN(8, 9); ƯCLN(8; 12; 15); ƯCLN (24; 16; 8)

[SGK 6.1, tr 55]

Đây là dụng ý của SGK 6.1 nhằm dẫn dắt HS đến các trường hợp đặc biệt được nêu trong Chú ý ngay sau đó:

Chú ý:

Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố nào chung thì ƯCLN

của chúng bằng 1 Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên

Đối với chú ý a, SGK 6.1 đã có phần “Chú ý” trước đó để giải thích:

Chú ý:

Số 1 chỉ có một ước là 1 Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có:

ƯCLN(a, 1) = 1, ƯCLN(a, b, 1) = 1

Ví dụ: ƯCLN(5, 1) = 1 ƯCLN(12, 30, 1) = 1 [SGK 6.1, tr 55]

Riêng đối với chú ý b, SGK 6.1 không đưa ra phần giải thích Chú ý này cũng chỉ có 1 câu bài tập để áp dụng Đây là một điểm mà chúng tôi sẽ lưu ý trong

phần thực nghiệm

2.1.1.3 Kết luận về phần bài học trong SKG 6.1

Phần trình bày của SGK 6.1 giới thiệu 2 kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ

T – Tìm ƯCLN nhưng chỉ tập trung vào kỹ thuật τ3- phân tích ra thừa số nguyên

tố Tuy nhiên, SGK 6.1 không đưa ra chứng minh cũng như giải thích gì cho kỹ thuật này Do đó, chúng tôi đặt ra câu hỏi: trong dạy học toán lớp 6 thì giáo viên có

thể đưa ra giải thích nào cho kỹ thuật τ3?

Mặt khác, kỹ thuật phân tích ra thừa số nguyên tố cũng được ưu tiên trong

kiểu nhiệm vụ tìm BCNN của hai hay nhiều số trong bài học ở tiết 18 – Bội chung

nhỏ nhất Kỹ thuật ở bài này chỉ khác một chút ở bước hai và bước ba:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn

nhất của nó Tích đó là BCNN phải tìm

[SGK 6.1, tr 55]

Do cách trình bày như vậy của SGK 6.1, HS dễ nhầm lẫn kỹ thuật khi giải quyết hai kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN và tìm BCNN, đặc biệt trong việc chọn thừa số chung hay vừa chung vừa riêng; chọn số mũ nhỏ nhất hay lớn nhất; …

2.1.2 SGK 7, 8

Trong chương trình của hai cấp lớp này, ƯCLN không còn là đối tượng nghiên cứu nữa mà kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN trở thành công cụ để giải quyết các

kiểu nhiệm vụ khác

Ở chương trình lớp 7, T – tìm ƯCLN đóng vai trò là công cụ cho kiểu nhiệm

vụ đơn giản phân số Nó cũng giúp đơn giản các tỉ số với số hạng có giá trị tuyệt đối

lớn thành một tỉ số với số hạng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn Nhờ vậy, việc tìm các

cặp tỉ số bằng nhau để thành lập tỉ lệ thức sẽ đơn giản hơn Tuy nhiên, ƯCLN không hề được đề cập lại trong chương I – “Số hữu tỉ Số thực” dù các bài tập trong chương này đều ngầm yêu cầu HS phải rút gọn các phân số đã cho, cũng như đơn

giản kết quả cuối cùng về dạng phân số tối giản

Ví dụ: Trong §1 Tập hợp Q các số hữu tỉ, ở bài tập 2a trang 7 của SGK 7.1,

HS phải rút gọn các phân số đã cho để tìm được phân số biểu diễn

20

;32

24

;20

Đề bài không trực tiếp yêu cầu phải rút gọn các phân số nhưng HS phải tự

thực hiện bước này mới tìm được những phân số thỏa yêu cầu Đây gần như luôn là bước đầu tiên mà HS phải thực hiện trước khi tính toán với phân số trong các bài

học sau Trong phần bài tập của các tiết 2; 3; 4; 7; 8 cũng có một số câu mà HS phải rút gọn phân số trước khi thực hiện yêu cầu chính của đề Điều này sẽ được chúng tôi phân tích rõ hơn trong phần sau

Sang đến chương trình lớp 8, ƯCLN xuất hiện trong kiểu nhiệm vụ phân tích

đa thức thành nhân tử, bắt đầu từ §6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức

[SGK 8.1, tr 18]

ƯCLN được sử dụng để đưa tối đa các thừa số và các lũy thừa bằng chữ ra ngoài làm nhân tử chung Theo SGK 8.1, ở kiểu nhiệm vụ này, HS chỉ cần biến đổi

đa thức ban đầu thành tích của những đa thức Thế nhưng, HS luôn được yêu cầu

phải rút nhân tử chung một cách triệt để, như một hợp đồng ngầm ẩn giữa GV và

HS Tuy nhiên, SGK 8.1 không nêu các bước của kỹ thuật rút nhân tử chung trong

phần bài học mà chỉ trình bày một ví dụ và bài giải mẫu Thế nhưng, trong SGV 8.1, mục tiêu và kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ này được trình bày như sau:

A MỤC TIÊU

_ HS hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử

_ Biết cách tìm nhân tử chung và đặt nhân tử chung

B NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý

Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên:

_ Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử

_ Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy

2.1.3 SGK Tin 10

SGK Tin 10 thực chất không trình bày kiến thức về ƯCLN Bài toán này chỉ được SGK Tin 10 trình bày trong ví dụ minh hoạ cho phần bài học về thuật toán Trong đó, kỹ thuật được dùng để vẽ thành lưu đồ là thuật toán Euclide

Ý tưởng: Sử dụng những điều đã biết sau:

_ Nếu M = N thì giá trị chung đó là ƯCLN của M và N _ Nếu M < N thì ƯCLN(M, N) = ƯCLN(M, N – M) _ Nếu M > N thì ƯCLN(M, N) = ƯCLN(M – N, N) [SGK Tin 10, tr 48, 49]

Từ ý tưởng ban đầu trên, thuật toán được trình bày thành các bước như sau: Bước 1: Nhập M, N

Bước 2: Nếu M = N thì lấy giá trị chung này làm UWCLN rồi chuyển đến bước 5

Bước 3: Nếu M > N thì M ← M – N rồi quay lại bước 2

Bước 4: N ← N – M rồi quay lại bước 2

Bước 5: Đưa ra kết quả ƯCLN rồi kết thúc

[SGK Tin 10, tr 48]

Tuy nhiên kiến thức về ƯCLN được dạy trong chương trình toán ở lớp 6 không còn được sử dụng như yếu tố công nghệ giải thích cho thuật toán nữa và SGK Tin 10 cũng không đưa ra lời giới thiệu hay chứng minh nào cho phần này Qua phần trình bày đó cho thấy: thuật toán Euclide không xuất hiện trong dạy học toán mà lại xuất hiện trong Tin học để dạy về thuật toán

2.1.4 Kết luận về phần bài học trong SGK 7, 8 và SGK Tin 10

T – tìm ƯCLN đóng vai trò là công cụ để giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến tính toán trên tập hợp số hữu tỉ, cũng như giúp cho việc đưa thừa số chung

của các đơn thức trong đa thức ra ngoài một cách triệt để Do đó, đối tượng ƯCLN

liên quan mật thiết đến các dạng toán quan trọng ở lớp 7 và lớp 8 Tuy nhiên, kỹ thuật rút thừa số chung không được nêu một cách tường minh trong phần bài học, cũng không có lưu ý nào trong SGK 8.1 buộc HS phải đưa tất cả các thừa số chung

ra ngoài một cách triệt để Nếu có, điều này cũng chỉ là hợp đồng ngầm ẩn giữa GV

+ Không ra các bài tập phân tích một số ra thừa số nguyên tố, trong đó có

thừa số nguyên tố lớn hơn 100

+ Các số cho trước để tìm ƯCLN, BCNN không vượt quá 1 000

+ Chỉ ra các bài tập đơn giản về tìm ƯCLN, BCNN

Các kiểu nhiệm vụ sau đây liên quan đến việc tìm ƯCLN xuất hiện trong thể

chế đã chọn:

2.2.1 Kiểu nhiệm vụ chính T - Tìm ƯCLN của hai/ ba số tự nhiên

Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện trong 6 câu nhỏ ở các bài 139, 140, 143 trang

56 SGK 6.1; trong đó có 3 câu yêu cầu tìm ƯCLN của 2 số và 3 câu yêu cầu tìm ƯCLN của 3 số, chưa kể đến việc HS cũng phải tính ƯCLN của các cặp số được cho trong 2 bài toán đố 147, 148 ở trang 57 Ngoài ra, kiểu nhiệm vụ này còn xuất

hiện trong 4 câu ở bài 176, 178 trang 28 SBT 6.1 với 2 câu cần tìm ƯCLN của 2 số

và 2 câu cần tìm ƯCLN của 3 số

139 Tìm ƯCLN của:

a) 56 và 140 b) 24, 84, 180

c) 60 và 180 d) 15 và 19

[SGK 6.1 tr 56]

Riêng trong bài 143 trang 56 SGK 6.1 hay bài 178 trang 28 SBT 6.1, ƯCLN

được diễn là là số tự nhiên x lớn nhất mà a ,x bx

[SGK 6.1 tr 56]

Các kỹ thuật dựa trên định nghĩa; phân tích ra thừa số nguyên tố; dùng thuật toán Euclide hay dùng MTCT đều có thể giải quyết kiểu nhiệm vụ này

Ngoài ra, chúng tôi còn nhận thấy kiểu nhiệm vụ sau là trường hợp đặc biệt

của T: Tìm ƯCLN(a, b) khi a  b Kiểu nhiệm vụ này chỉ xuất hiện ở câu c bài 139 trang 56 hay trong bài 185 trang 29 SBT 6.1

Tất cả các số được cho trong các bài tập SGK 6.1 hay SBT 6.1 đều là số tự nhiên có tối đa 3 chữ số và có các ước nguyên tố khá dễ nhận thấy như 2; 3; 5 hoặc các số có ước là 7; 11 nhưng dấu hiệu nhận biết tương đối rõ ràng, ví dụ như số 77 Ước nguyên tố lớn nhất trong dạng phân tích của các số được cho trong SGK 6.1 là

13, xuất hiện trong ở câu 142b khi phân tích số 234

Các kiểu nhiệm vụ dưới đây sử dụng T như một phần của kĩ thuật

2.2.1.1 Kiểu nhiệm vụ T1.1: Tìm các ƯC của hai/ ba số tự nhiên qua ƯCLN

T1 1 xuất hiện trong bài 142 trang 56 SGK 6.1 và bài 177 trang 28 SBT 6.1

Kiểu nhiệm vụ này xuất phát từ tính chất: Mọi ước chung của hai số đều là ước của ƯCLN của hai số đó Tính chất này được nêu lên như một nhận xét ở cuối trang 54 trong SGK 6.1 Ở kiểu nhiệm vụ này, ngoài việc phải tìm ƯCLN của hai/ ba số tự nhiên, HS còn phải tìm các ước của ƯCLN vừa tìm được

142 Tìm ƯCLN rồi tìm ƯC của:

a) 16 và 24 b) 180 và 234 c) 60, 90, 135 [SGK 6.1 tr 56]

HS có thể sử dụng nhiều kỹ thuật để tìm ƯCLN, sau đó tìm các ước của ƯCLN vừa tìm Đây cũng là kỹ thuật được thể chế hướng đến, được thể hiện trong SGV 6.1:

B Những điểm cần lưu ý

1 Ở §16, để tìm ước chung của hai hay nhiều số, ta viết tập hợp các ước của mỗi số bằng cách liệt kê, sau đó chọn ra các phần tử chung của tất

cả các tập hợp đó Cách làm đó thường không đơn giản

Ở §17, do đã có quy tắc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số nên để tìm ước chung của hai hay nhiều số, ta chỉ cần tìm ước của ƯCLN của các số

đó

[SGV 6.1, tr 77]

2.2.1.2 Kiểu nhiệm vụ T1.2: tìm/ chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

Định nghĩa hai số nguyên tố cùng nhau:

a) Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN

của chúng bằng 1 Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên

tố cùng nhau

Ví dụ: 8 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau; 8, 12, 15 là ba số nguyên tố cùng nhau

[SGK 6.1, tr 55]

Ở kiểu nhiệm vụ này, HS tìm ƯCLN của các cặp số Nếu ƯCLN của hai số

bất kì bằng 1 thì ta kết luận hai số đó là hai số nguyên tố cùng nhau

T1.2 xuất hiện ở bài 141 trang 56 SGK 6.1 và bài 183 trang 29 SBT 6.1 Kiểu nhiệm vụ này cũng xuất hiện ở bài 17.2* trang 29 SBT 6.1

[SBT 6.1 tr 29]

2.2.1.3 Kiểu nhiệm vụ T1.3: tìm số tự nhiên x, biết a chia x dư a’, b chia x dư b’

Bài 17.5* trang 30 SBT 6.1 là một ví dụ cho T1.3

2.2.2 Kiểu nhiệm vụ T2: Rút gọn phân số

Kiểu nhiệm vụ này dù chỉ xuất hiện trong bài 15, 17 trang 15 SGK 6.2 nhưng

lại có vai trò rất quan trọng và được cho ở hai dạng Dạng thứ nhất là phân số có cả

tử số và mẫu số là số nguyên, ví dụ như bài 15 Dạng thứ hai là mẫu số là các số nguyên hoặc phân số có tử số và mẫu số là các biểu thức, trong đó thừa số chung

của biểu thức ở tử và thừa số chung của biểu thức ở mẫu có thể rút gọn cho nhau

− c)

8

5

3

)

a

8.7

14.2)

b

9.22

11.7.3)

c

16

2.85

114.11)

để giải quyết kiểu nhiệm vụ này trong phần Nhận xét như sau:

… Muốn vậy, chỉ cần chia tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng, ta sẽ được một phân số tối giản

[SGK 6.2, tr 14]

Do đó, giải quyết T là bước trung gian để giải quyết kiểu nhiệm vụ này Tuy nhiên, trong các bài tập của SGK 6.2, các phân số hầu hết đều có tử và mẫu là các

số có 2 đến 3 chữ số mà có thể dễ dàng phân tích ra thành thừa số nguyên tố và các

thừa số này cũng đơn giản và quen thuộc, như 2; 3; 5; 7; 11…

2.2.3 Kiểu nhiệm vụ T3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

HS làm quen với kiểu nhiệm vụ này từ bài 6 – Phân tích đa thức thành nhân

tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung trong SGK 8.1

39 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

14x y− xy + x y d) ( 1)

5

2)1(5

2x y− − y y−

e) 10x(x−y)−8y(y−x)

[SGK 8.1, tr 19]

Kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ này là đặt ƯCLN của các đơn thức có mặt trong

đa thức đó Tuy nhiên, kỹ thuật này không được đề cập trong SGK 8.1 Thêm vào

đó, không có một yêu cầu nào trong SGK 8.1 bắt buộc nhân tử chung phải được đưa

ra ngoài một cách triệt để

Ngoài ra, các hệ số của các đơn thức trong đa thức cần phân tích thành nhân

tử trong bài 39 ở trên là những số nguyên nhỏ hơn 100 và dễ dàng phân tích ra thừa

số nguyên tố; hoặc các phân số có tử và mẫu là các số nguyên chỉ có một chữ số Điều kiện này rất thuận lợi cho việc HS nhẩm ra ƯCLN hay tìm ƯCLN bằng kỹ thuật phân tích các số đó ra thừa số nguyên tố

Ngoài câu 39 a, b, c, HS còn gặp kiểu nhiệm vụ này trong câu 40a hay 41b cũng ở trang 19 Đặc biệt, chỉ cần đưa ra được nhân tử chung là ƯCLN của 55n+1

và

55n, HS sẽ giải quyết được bài 42

42 Chứng minh rằng 55n+1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)

học) được chọn để giới thiệu trong phần mở đầu về thuật toán nên có thể nói đây là

lựa chọn đầu tiên cho bài toán này

Từ những phân tích ở phần trên, chúng tôi đưa ra một số nhận định sau:

Kiểu nhiệm vụ T gần như là một kiểu nhiệm vụ chính (có 16 câu bài tập trong SGK 6.1 và SBT 6.1 trực tiếp yêu cầu tìm ƯCLN) Các kiểu nhiệm vụ khác được kể ở trên đều gián tiếp yêu cầu tính T như: tìm ƯC thông qua ƯCLN, đơn

giản phân số Bên cạnh đó, tìm ƯCLN cũng là một công cụ của kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

Mặt khác, do yêu cầu “Chỉ ra các bài tập đơn giản về tìm ƯCLN, BCNN” nên tất cả các cặp số (a; b) được cho trong SGK đều có ít hơn 4 chữ số và dễ dàng

phân tích ra những thừa số nguyên tố quen thuộc, tạo điều kiện thuận lợi cho kỹ thuật phân tích ra thừa số nguyên tố Do đó, chúng tôi có thể khẳng định đây là kỹ thuật mà thể chế hướng HS đến, từ đó cho thấy phạm vi ứng dụng mạnh mẽ của kỹ thuật này, dù kỹ thuật tìm ƯCLN bằng định nghĩa cũng được giới thiệu trong cùng bài học đó

Đặc biệt, dạng bài tìm ƯCLN(a; b) khi a b chỉ xuất hiện 1 lần duy nhất ở câu 139c: tìm ƯCLN của 60 và 180 Liệu HS có nhận xét được về quan hệ chia hết trong trường hợp đặc biệt này hay không? Chúng tôi sẽ xây dựng thực nghiệm để tìm câu trả lời cho câu hỏi này

Mặt khác, như đã đề cập ở trên, HS không được tiếp xúc với kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN của hai số nguyên tố cùng nhau trong chương trình Trong SGK 6.1, không có một bài tập nào cho kiểu nhiệm vụ này Theo nhận định của chúng tôi, với ràng buộc của thể chế về bài tập như vậy, HS không thật sự được học về các số nguyên tố cùng nhau Liệu HS có biết rằng ƯCLN của chúng khi đó là 1 hay HS sẽ

kết luận rằng không tìm được ƯCLN vì không tìm được thừa số nguyên tố chung? Chúng tôi cũng sẽ cố gắng làm rõ cho câu hỏi ở phần thực nghiệm

Ở một khía cạnh khác, dù kỹ thuật τ3 được giới thiệu như một kỹ thuật chủ

yếu nhưng SGK 6.1 không hề đưa ra công nghệ nào giải thích cho nó Thêm vào đó,

việc SGK 6.1 trình bày bài học về BCNN ngay sau bài học ƯCLN với kỹ thuật của hai kiểu nhiệm vụ này quá giống nhau rất có thể khiến cho HS nhầm lẫn giữa chúng

Một điểm quan trọng khác mà chúng tôi nhận thấy là: thể chế ưu tiên cho kỹ thuật phân tích ra thừa số nguyên tố Trong khi đó, những chỉ dẫn để HS kiểm tra

một số có là số nguyên tố hay không lại không được chú trọng trong cách trình bày

của SGK 6.1

Bên cạnh đó, HS không được giới thiệu về kỹ thuật dùng thuật toán Euclide hay sử dụng máy tính bỏ túi để tìm trực tiếp ƯCLN trong chương trình nên hầu như

HS không biết gì về hai kỹ thuật này

Điều này đặt chúng tôi trước câu hỏi: ở một thể chế khác, kỹ thuật tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố có được giải thích hay không, bằng công nghệ nào và như thế nào? Ngoài ra, thể chế ấy còn giới thiệu những kỹ thuật nào khác để giải quyết kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN hay không?

CHƯƠNG III PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA NƯỚC NGOÀI TRÊN CƠ SỞ SO SÁNH VỚI SÁCH GIÁO KHOA

TOÁN 6

Sách giáo khoa chúng tôi chọn để tham khảo và nghiên cứu trong chương này là quyển Pre – Algebra (từ đây chúng tôi sẽ viết tắt tên sách này là PA) Đây là quyển sách nằm trong bộ sách giáo khoa môn toán ở cấp Trung học cơ sở, phiên

bản quốc tế ở Mỹ của các tác giả Carol Malloy, Jack Price, Teri Willard, Leon L

“Butch” Sloan được nhà xuất bản Glencoe/McGraw-Hill phát hành vào năm 2001

Bộ sách được chia thành 5 phần lớn, gồm 13 chương Do HS sẽ học bộ sách này trong suốt chương trình học ở cấp Trung học cơ sở nên chúng tôi chỉ dừng lại ở

việc phân tích các mục kiến thức tương đương với khối lớp 6 ở Việt Nam Trong chương này, chúng tôi sẽ tập trung phân tích chương IV – Thừa số và phân số, nằm trong phần 2 – Đại số và số hữu tỉ trên cơ sở so sánh với SGK 6.1 để làm rõ những nét tương đồng cũng như sự khác biệt của hai chương trình, từ đó có các nhìn khách quan hơn về chương trình ở Việt Nam

Bài học về ƯCLN là phần 4-4 nằm trong chương IV gồm các phần sau:

4-1: Thừa số và đơn thức 4-2: Lũy thừa và số mũ 4-3: Phân tích ra thừa số nguyên tố

4-4: Ước chung lớn nhất 4-5: Đơn giản phân số và phân thức 4-6: Nhân và chia các đơn thức 4-7: Số mũ âm

4-8: Chú giải khoa học Theo chương trình này, HS sẽ học về cách đơn giản phân số ngay sau bài

học về ƯCLN Đây là điểm khác biệt lớn so với chương trình Việt Nam khi HS nước ta phải đến chương trình học kì 2 mới gặp lại các vấn đề về phân số

Nhưng bên cạnh đó, điểm chung của hai chương trình là HS đều được học về lũy thừa và cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố, là những kiến thức chuẩn bị quan trọng trước khi học về ƯCLN Điều đó cho thấy kỹ thuật tìm ƯCLN thông qua dạng phân tích ra thừa số nguyên tố được cả hai chương trình chú trọng

2 Về phần bài học

2.1 Kiến thức chuẩn bị

Tương tự như HS ở Việt Nam, HS học theo sách PA sẽ được học về các dấu

hiệu chia hết, số nguyên tố, hợp số, cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố và khái niệm ước trước khi làm quen với ƯCLN

Đây là một điểm tương đồng trong thứ tự trình bày ở hai quyển sách: trong SGK 6.1, khái niệm ước của một số cũng được giới thiệu sau bài “Dấu hiệu chia hết cho 2, 5” và “Dấu hiệu chia hết cho 3, 9”

Tương tự như SGK 6.1, sách PA cũng trình bày 2 kiểu phân tích: dạng hình cây và kiểu dạng miếng bánh (cake method) gần giống kiểu phân tích theo cột dọc trong SGK 6.1 Với phân tích dạng hình cây, phần trình bày của sách PA cũng tương tự như SGK 6.1 và cả hai sách đều có lưu ý với HS khi nào ta dừng việc phân tích này lại

Ví dụ 2: Viết dạng phân tích thừa số nguyên tố

Viết dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của 36

Quá trình phân tích dừng lại vì 2 và 3 là số nguyên tố

Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của 36 là 2 2 3 3 hay 22 32

[PA, tr 160]

Tuy nhiên, không như SGK 6.1, sách PA không đưa ra cách kiểm tra một số

có phải là số nguyên tố hay không

Ngoài ra, khác với SGK 6.1, sách PA còn hướng dẫn cho HS cách phân tích

một đơn thức ra thành tích của các số nguyên tố và các biến với số mũ lớn hơn 1

Phân tích các đơn thức Phân tích một số nghĩa là viết số đó dưới dạng

tích các ước của nó Một đơn thức cũng có thể được phân tích thành tích

của các số nguyên tố và các biến với số mũ lớn hơn 1 Số âm có thể phân tích với việc dùng –1 như là một thừa số

Ví dụ 3: Phân tích đơn thức Phân tích mỗi đơn thức sau: