lý thuyết xoắn tổng quát và mối quan hệ của nó với tôpô tuyến tính và tôpô gabriel

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô dạy Triết học, Ngoại ngữ và các thầy cô ở Phòng Khoa học – Công nghệ và sau đại học đã tạo mọi điều kiện để cho học viên khóa cao học Luận văn

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Mẫn

LÝ THUYẾT XOẮN TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA NÓ VỚI TÔPÔ TUYẾN TÍNH VÀ TÔPÔ GABRIEL

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Mục lục

Lời mở đầu 1

Bảng ký hiệu 3

Chương 1 - Các vấn đề cơ bản về lý thuyết vành, môđun và không gian tôpô 5

1.1 Vành 5

1.2 Môđun 9

1.3 Không gian tôpô 22

Chương 2 - Lý thuyết xoắn tổng quát, lý thuyết xoắn di truyền và các ví dụ 25

2.1 Preradicals 26

2.2 Lý thuy ết xoắn 34

2.3 Lý thuy ết xoắn di truyền 39

Chương 3 - Mối quan hệ giữa lý thuyết xoắn tổng quát và tôpô tuyến tính, tôpô Gabriel và một số ví dụ 45

3.1 Tôpô tuy ến tính 46

3.2 Tôpô Gabriel 51

3.3 Một số ví dụ 54

Kết luận 61

Tài liệu tham khảo 63

Lời mở đầu

Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.Tiến sĩ Bùi Tường Trí, Người đã giảng dạy, trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình

Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh và Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập như: PGS TS

Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Lê Hoàn Hóa, PGS.TS Đậu Thế Cấp, TS Trần Huyên, PGS.TS Trần Tuấn Nam Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô dạy Triết học, Ngoại ngữ và các thầy cô ở Phòng Khoa học – Công nghệ và sau đại học đã tạo mọi điều kiện để cho học viên khóa cao học

Luận văn này sẽ đưa ra những khái niệm cơ bản về lý thuyết xoắn, lý thuyết

xoắn di truyền của một phạm trù A-môđun phải C,tôpô tuyến tính trên một vành

A, tôpô Gabriel trên một vành A, và sẽ minh họa bằng những ví dụ cụ thể cho

những khái niệm này Đồng thời, luận văn cũng sẽ trình bày mối quan hệ giữa lý

thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trù A-môđun phải Cvớitôpô

tuyến tính, tôpô Gabriel trên một vành A Nội dung chính của luận văn được

Chương 1 Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản về Vành, Môđun, và

văn

Chương 2 Chương này sẽ giới thiệu khái niệm Preradical, Preradical lũy

đẳng, Radical của một phạm trù A-môđun phải C, và các khái niệm về lớp tiền

xoắn, lớptiền xoắn tự do, lớp tiền xoắn di truyền, lớp xoắn, lớp xoắn tự do, lớp

xoắn di truyền của những vật trong phạm trù A-môđun phải C, cũng như sẽ trình

bày định nghĩa và các tính chất của Lý thuyết xoắn và Lý thuyết xoắn di truyền

của một phạm trù A-môđun phải C, đồng thời sẽ đưa ra một số ví dụ minh họa

Chương 3 Chương này sẽ trình bày về tôpô tuyến tính của một vành A và

tính của một vành A, tôpô Gabriel của một vành A vớiLý thuyết xoắn, Lý thuyết

xoắn di truyền của phạm trù A-môđun phải C Cuối cùng là một số ví dụ minh

họa

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng vì kiến thức còn nhiều hạn chế và thời gian không nhiều nên sẽ khó tránh khỏi có nhiều sai sót.Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý chân tình của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Bảng ký hiệu

Mod- A Phạm trù những A-môđun phải

<S> Ideal con sinh bởi S

Ann(x) = {a∈A | x.a = 0}

A/a Vành thương của vành A trên ideal a của A

t(M)={x ∈M|∃s∈S,x.s= 0}

lànhững phần tử không phải là ước của 0)

a.b = 0

Sets Phạm trù các tập hợp

Chương 1 -Các vấn đề cơ bản

không gian tôpô

Chương này nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản về lý thuyết vành, môđun và không gian tôpô, việc chứng minh chúng có thể được tìm thấy ở các

1.1 Vành

Định nghĩa 1.1.1.Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và nhân

 Phần tử đối xứng của x∈R gọi là phần tử đối của x, kí hiệu là -x

 Nếu phép nhân có phần tử đơn vị ta nói vành R là vành có đơn vị Phần tử đơn vị được kí hiệu là e hay 1

 Nếu phép nhân giao hoán ta nói vành R giao hoán

R*={x ∈R | x kh ả nghịch} Khi đó,R* là một nhóm đối với phép nhân, còn gọi

Định nghĩa 1.1.2.Cho (R,+,.) là một vành, tập con A khác rỗng của R được gọi là

vành con c ủa R nếu A ổn định đối với hai phép toán trong vành R và A cùng với

Định nghĩa 1.1.3.Vành con I của R được gọi là idealphải (tương ứng ideal trái)

Ví d ụ :

• I là ideal của Z⇔I có dạng nZ, n∈Z

Định nghĩa 1.1.4.Cho S là tập con khác rỗng của vành R Ta định nghĩa giao của

 Giao của tất cả các ideal của R có chứa S là ideal sinh bởi S Kí hiệu là:<S>

 Giả sử I = <S> Nếu S hữu hạn thì ta nói I là hữu hạn sinh Đặc biệt, S = {a}

Định lý 1.1.5.Giả sử I là một ideal của (R,+,.).Trên nhóm thương (R/I,+), ta

định nghĩa phép toán nhân như sau:(x+I).(y+I) = x.y + I Khi đó:(R/I,+,.) là một vành và được gọi là vành thương của R trên ideal I

Ví dụ :

Định nghĩa 1.1.6.(Các vành đặc biệt)

không có ước của 0

 Trường là một miền nguyên mà mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo

t ại x∈R sao cho a = axa

 Vành đơn là vành chỉ có hai ideal là 0 và R

Định nghĩa 1.1.7.Lấy A là một vành và S là tập con đóng nhân của A, nghĩa là:

] t ồn tại, nó có tính chất phổ dụng sau: Với mọi đồng cấu

Mệnh đề 1.1.9.Cho S là một tập con đóng nhân của A Khi đó, A[S -1

] t ồn tại khi

và ch ỉ khi S thỏa mãn:

Định nghĩa 1.1.10.Tập S được gọi là tập mẫu số phải nếu nó là tập đóng nhân

Ví d ụ :

điển phải” của A Ta thường kí hiệu là: Qrcl(A) hoặc Qrcl

M ệnh đề1.1.11.Qclr (A)t ồn tại khi và chỉ khi A thỏa mãn điều kiện Ore, nghĩa

Định nghĩa 1.1.12.Một vành A được gọi là vành các thương(rings ofquotients)

vành các thương trái và phải của chính nó Chẳng hạn, mọi vành chính quy đều

là vành các thương

1.2 Môđun

Định nghĩa 1.2.1.Lấy A là một vành có đơn vị 1 Một A-môđun phải là một

2 Vành A được xem như một A-môđun (trái cũng như phải) với phép nhân

3 Nếu A là một vành, ta xác định một vành đối A op

Định nghĩa 1.2.2.Cho M, N là những A-môđun Ánh xạ 𝛼: M→N được gọi là

m ột đồng cấu(hay ánh xạ A-tuyến tính) nếu : Với mọi x, y∈M, a∈A, ta có:

𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼(𝑥) + 𝛼(𝑦), 𝛼(𝑥 𝑎) = 𝛼(𝑥) 𝑎

Mệnh đề 1.2.3.Đồng cấu 𝛼: M→N cảm sinh ra đẳng cấu: M / Ker 𝛼 ≅ Im 𝛼 Mệnh đề 1.2.4.Nếu L⊂M⊂N là những môđun, thì (N/L)/(M/L)≅(N/M)

Mệnh đề 1.2.5.Nếu L,M là những môđun con của N, thì (L+M)/ M ≅ L/(L∩M) Định nghĩa 1.2.6.Dãy đồng cấu A-môđun…→M i-1

Định nghĩa 1.2.7.Môđun M được gọi là sinh bởi họ (x i)I của các phần tử của M

được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở

Mệnh đề 1.2.8.Môđun M tự do khi và chỉ khi M ≅ 𝐴(𝐼)v ới I là một họ nào đó

Định nghĩa 1.2.9.Môđun con sinh bởi một tập S⊂M là môđun con gồm tất cả

các tổ hợp tuyến tính của S

 Tổng của một họ môđun con {M i}i ∈I là môđun con sinh bởi tập ⋃ 𝑀𝐼 𝑖, ký

Định nghĩa 1.2.10.Môđun M được gọi là môđun Nơ-te nếu mọi môđun con của

Định nghĩa 1.2.13.Môđun M được gọi là môđun cyclic nếu nó được sinh ra từ

Mệnh đề 1.2.14.Môđun M là cyclic khi và chỉ khi M ≅ A/a,với alà ideal phải

c ủa A

Định nghĩa 1.2.15 Mộtphạm trùC xác định gồm 3 thành phần:

o Kí hiệu: 𝛼∈Mor(C,C’) là 𝛼: C→C’

1 Phạm trù Ab các nhóm Aben Với các vật là các nhóm Aben và các

cấu xạ là những đồng cấu nhóm Tích của hai cấu xạ là tích của hai đồng cấu nhóm

2 Phạm trù các A- môđun phải Mod-A Với các vật là các A- môđun

phải và các cấu xạ là các đồng cấu A- môđun phải Tích của hai cấu xạ là tích

của hai đồng cấu A- môđun Dễ dàng kiểm tra được Mod-A thỏa mãn tất cả các

điều kiện trong định nghĩa phạm trù

Định nghĩa 1.2.16.Phạm trù C được gọi là phạm trù tiền cộng tính nếu mỗi tập

xạ :Mor(C’,C’’)×Mor(C,C’)→Mor(C,C’’) là một ánh xạ song tuyến tính

Ví dụ :

• Phạm trù Mod-Alà một phạm trù tiền cộng tính, bởi vì dễ dàng kiểm

Hom(M’,M’’)×Hom(M,M’) →Hom(M,M’’) là một ánh xạ song tuyến

tính

Định nghĩa 1.2.17.Cho các phạm trù B và C Hàm tửT:B → C là một quy luật,

tương ứng mỗi vật B∈Bvới một vật T(B)∈C, và tương ứng mỗi cấu xạ 𝛼:B→C

các tiên đề sau phải được thỏa mãn:

Định nghĩa 1.2.18.NếuB và C là những phạm trù tiền cộng tính thì hàm tử T:B

→ C được gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn:

Do đó, T là hàm tử cộng tính khi và chỉ khi ánh xạ (1) là một đồng cấu nhóm

Ví dụ :

1 Những phạm trù con Nếu B và C là những phạm trù thì B là phạm trù

Khi đó, ta có một hàm tử nhúng B→Clà trung thành Bđược gọi là phạm trù đầy của C nếu hàm tử này đầy.Nếu C là một phạm trù tiền cộng tính và B là một

phạm trù con đầy của C thì B cũng là tiền cộng tính và hàm tử nhúng B→C là

cộng tính

2 Hàm tử Hom Lấy Clà một phạm trù Mod-A Ta định nghĩa hàm tử

×

Mod-A với tập HomA (C,D) Đối với mỗi cặp 𝛼: C’→C và 𝛽: D→D’của những

đồng cấu trong C ta đặt tương ứng với ánh xạ Hom( 𝛼, 𝛽 ):

được Hom(𝛼, 𝛽) là một đồng cấu nhóm vì thế Hom là một hàm tử

Định nghĩa 1.2.19.Hàm tử T:B → Ccộng tính được gọi là hàm tử khớp nếu nó

biến mọi dãy khớp trong phạm trù B thành một dãy khớp trong phạm trù C

là một hàm tử khớp trái nếu nó có tính chất yếu hơn là biến mỗi dãy khớp

0→M’→M→M’’→0 trong Mod-A thành một dãy chỉ khớp bên

trái0→T(M’)→T(M)→T(M’’) trong Mod-B Tương tự cho tính khớp phải của

hàm tử.Hàm tử T là khớp khi và chỉ khi nó vừa khớp trái vừa khớp phải

Ví dụ :

• Hàm tử Hom: (Mod-A) op

×Mod-A →Ab là khớp trái đối với mỗi biến của nó

môđun khác, ta sẽ chứng minh dãy sau khớp:

Ta có: 𝛽∗ là một đơn cấu, bởi vì nếu 𝜑: M’’→N sao cho 0 = 𝛽∗(𝜑) = 𝜑 𝛽, từ đây

nếu 𝜑 𝛼 = 0 thì ta có thể định nghĩa 𝜑�: M’’→N theo quy tắc 𝜑�(𝛽(x)) = 𝜑(x), và

minh được tính khớp trái của hàm tử Hom( ,N) Tính khớp trái của hàm tử

Định nghĩa 1.2.20.Cho C là một phạm trù tiền cộng tính.Tích trực tiếp của họ

• Tích trực tiếp của một họ môđun

Để xây dựng khái niệm tích trực tiếp của một họ môđun,trước hết ta cần nhắc lại một vài điều cần thiết về khái niệm tích Descartes của họ tập hợp

là bộ x = (x i)i ∈I với điều kiện x i ∈A i,∀i

Vậy ∏ 𝐴𝐼 𝑖 = {(x i)i ∈I |x i ∈A i,∀i ∈I}

Về cách viết bộ x = (x i)i ∈I, đôi khi để tránh rườm rà ta có thể viết gọn là x = (x i)

(x i ) + (x i ’) = (x i + x i’)

r.(x i ) = (r.x i)

được gọi là các môđun thành phần của tích trực tiếp

Sự liên hệ giữa các môđun thành phần và tích trực tiếp được thực hiện thông qua các phép nhúng và các phép chiếu

Với mỗi k∈I ta có cặp phép nhúng và chiếu được xác định như sau:

j k:X k→∏ 𝑋𝐼 𝑖 với j k (x k ) = ([ j k (x k)]i),

trong đó [ j k (x k)]i = �𝑥𝑘 𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑘

p k:∏ 𝑋𝐼 𝑖 →X k với p k [(x i )] = x k, với mọi (x i)∈∏ 𝑋𝐼 𝑖

Tích trực tiếp của các môđun có tính phổ dụng sau:

Mệnh đề 1.2.21 Cho họ môđun {X i}i ∈I khi đó với bất kỳ môđun X, mỗi họ

f: X→∏ 𝑋𝐼 𝑖 sao cho f i =p i f với mọi i∈I

Định nghĩa 1.2.22.Đối ngẫu của khái niệm tích trực tiếp là khái niệm đối

tíchtr ực tiếp(hoặc là tổng trực tiếp), được kí hiệu là: ⊕RI C i, được đặc trưng bởi

Ví dụ :

• Tổng trực tiếp của họ môđun

Tổng trực tiếp của các môđun cũng có tính chất phổ dụng sau:

Mệnh đề 1.2.23.Cho họ môđun {X i}i ∈I khi đó với bất kỳ môđun X, mỗi họ đồng

Định nghĩa 1.2.24.Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu mọi toàn cấu môđun

𝜑

Định nghĩa 1.2.25.Môđun Eđược gọi là môđun nội xạ nếu mọi đơn cấu môđun

Định nghĩa 1.2.26.Môđun nội xạ E được gọi vật đối sinh nội xạ nếu Hom A (M,E)

≠0, với mọi A-môđun M ≠0

Mệnh đề 1.2.27.Tích trực tiếp ∏E i là m ột môđun nội xạ khi và chỉ khi mỗi E i n ội

x ạ

Mệnh đề 1.2.28.Một môđun E là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi ideal phải a

c ủa A và một đồng cấu 𝛼:a→E, tồn tại y∈E sao cho 𝛼(a) = y a,a∈a

Mệnh đề 1.2.29.Nếu E là một vật đối sinh nội xạ thì đối với mỗi môđun M tồn

tại một đơn cấu M→E (I) đối với họ I nào đó

Định nghĩa 1.2.30.Môđun M là đơn(hoặc bất khả quy) nếu M ≠ 0 và môđun con

A /a, trong đó a là ideal phải tối đại của A

môđun đơn

Định nghĩa 1.2.31 Nếu M là một môđun, tổng của tất cả môđun con đơn của M

được gọi làSocle của M và được kí hiệu làs(M) Nếu x∈s(M) thì xA là một tổng

Mệnh đề 1.2.32.S là nửa đơn khi và chỉ khi :

Mệnh đề 1.2.33.S là tổng trực tiếp của những môđun con đơn S i (i∈I) và l ấy L là

m ột môđun con tùy ý của S Khi đó, tồn tại J⊂I sao cho S = L⊕(⊕RJ S i )

Mệnh đề 1.2.34.Mọi vành nửa đơn là chính quy

Mệnh đề 1.2.35.Một môđun nội xạ E là vật đối sinh khi và chỉ khi nó chứa một

bản sao đẳng cấu của mỗi môđun đơn

Định nghĩa 1.2.36.Môđun M A được gọi là môđun chia được nếu mọi phần

Mệnh đề 1.2.37.Nếu A là một vành chính thì mọi môđun nội xạ khi và chỉ khi nó

chia được

Ví dụ :

nữa, Q/Z là một vật đối sinh nội xạ trong phạm trù Mod-Z Thật vậy, mọi Z-môđun M xem như một nhóm aben Lấy 0 ≠ x∈M, ta có:x Z = {x

n | n ∈Z} là một môđun con cyclic của M và ta xét đồng cấu môđun sau

𝛼 : x Z → Q/Z

Khi đó, Ker𝛼 = {x.kp ∈xZ,k∈Z} ≠ xZ Suy ra, 𝛼 ≠ 0.Bởi vì Q/Zlà

môđun nội xạ nên đồng cấu 𝛼 có thể mở rộng đến đồng cấu

Định nghĩa 1.2.38.Cho M là một A-môđun, S là tập mẫu số của vành A Khi đó:

t(M) = {x ∈M | ∃s∈S, xs = 0} là môđun conS-xoắn của M

 Môđun M là môđun S-xoắn nếu t(M) = M

Định nghĩa 1.2.39.Môđun M được gọi là môđun S-nội xạ nếu mỗi ideal phải a

x 𝑎,∀a∈a

Định nghĩa 1.2.40.Môđun M là môđun S-chia được nếu M = Ms, với mọi s∈S Định nghĩa 1.2.41.Nếu L là một môđun con của M thì L là hạng tử trực tiếp của

M Chú ý r ằng M là tổng trực tiếp của hai môđun con L và L’ khi và chỉ khi

= e thì ta có s ự phân tích tổng trực tiếp A = eA ⊕(1-e)A Ta có:

≠ 0 ⇒∃0≠x∈A, x = ea = (1-e)b, với a,b∈A ⇒ ea = b - eb ⇒ e(a+b) = b

(iii) M ọi ideal phải hữu hạn sinh của A được sinh bởi một phần tử lũy

đẳng

Định nghĩa 1.2.44.Một phần tử a∈A được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số tự

Định nghĩa 1.2.45.Một phần tử trong A được gọi là tâm nếu nó thuộc tâm của A,

nghĩa là nó giao hoán với mọi phần tử của A

Mệnh đề 1.2.46.Nếu e là một lũy đẳng tâm(tức là vừa là tâm vửa là lũy đẳng) thì

Định nghĩa 1.2.47.Bao nội xạcủa một vật C là một đơn cấu cốt yếu C→E với E

Định nghĩa 1.2.48.Vật C của C là một vật sinh của C nếu Hom(C, ) là trung

Định nghĩa 1.2.49.(Dàn môđun).Cho P là một tập sắp thứ tự từng phần, thứ tự

ng ẫu) của L và kí hiệu là L op

Định nghĩa 1.2.50.Mộtdàn L là đầy đủ nếu mọi tập con S của L có một cận trên

Ví dụ :

• Dàn môđun con: Nếu M là một môđun thì những môđun con của M

L(A.) )

 Lấy L là một dàn đầy đủ Nếu C là một tập con của L và C đóng dưới giao tùy

ý (nghĩa là S⊂C chỉ ra infS∈C), thì C là một dàn đầy đủ Khi đó, tập con C

1.3 Không gian tôpô

Định nghĩa 1.3.1.Cho tập X Một họ 𝜏 các tập con của X gọi là một tôpô trên X

(𝜏1).X và ∅thuộc 𝜏,

Định nghĩa 1.3.2.(Cơ sở và tiền cơ sở) Cho 𝜏 là một tôpô trên X Một họ con 𝛽

Định nghĩa 1.3.3.(Lân cận) Cho X là một không gian tôpô và x∈X Tập con V

Định nghĩa 1.3.4.Một họ U x các lân cận của x gọi là một hệ nền tảng các lân

cận(haycơ sở lân cận)của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận U∈Ux

 Bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là:𝐴

Định nghĩa 1.3.6.(Ánh xạ liên tục) Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh

-1

x ∈X

Định nghĩa 1.3.7.Một song ánh f: X→Y gọi là phép đồng phôi nếufvà f -1 đều là

Chương 2 - Lý thuyết xoắn tổng quát, lý thuyết xoắn di truyền và các ví dụ

Chúng ta đã biết rằng mỗi vành phân số của một vành A có liên kết với một khái

thương tổng quát của A, nhưng ở đây ta sẽ xét chiều ngược lại.Chúng ta bắt đầu

tương đương:

Trong chương này, xét C là một phạm trù môđun phải trên vành A

2.1 Preradicals

Định nghĩa 2.1.1.Một preradical rcủa Ctương ứng mỗi vật C với một vật con

r(C) sao cho m ọi đồng cấu C→D sinh ra đồng cấu r(C)→r(D) bằng cách thu hẹp

C

sau: r1.r2(C) = r1(r2(C))và (r1 : r2)(C) /r1(C) = r2(C /r1(C))

Bổ đề 2.1.2.Nếu r là một radical và D ⊂r(C),thì r(C/D) = r(C)/D

Ch ứng minh.Xét đồng cấu chính tắc π: C→C/D Đồng cấu này cảm sinh ra đồng

đẳng cấu 1 (mệnh đề 1.2.3), ta có: r(C)/D⊂r(C/D) (1) Mặt khác, xét đồng cấu

r(C /D)→r(C/r(C)) bằng cách thu hẹp Vì r là một radical nên r(C/r(C)) = 0 Do

 Nếu r là một preradical của C thì ta có thể định nghĩa preradicalr-1

M ệnh đề 2.1.3.T rđóng dưới những vật thương và đối tích trực tiếp, trong khi

Frđóng dưới những vật con và tích trực tiếp

Ch ứng minh.Dễ thấy rằng Trđóng dưới những vật thương Thật vậy, giả sử C∈Tr,

r(C) = C, suy ra r(C /D) ⊃C/D (theo định lí đẳng cấu 1) Do đó, r(C/D) = C/D

Hệ quả 2.1.4.Nếu C∈Trvà D∈Fr thì Hom(C,D)= 0

Chứng minh.Thật vậy, giả sử 𝛼 ∈Hom(C,D) Đồng cấu 𝛼 cảm sinh ra đồng cấu

Định nghĩa 2.1.5.Một lớp C của những vật C được gọi là một lớp tiền xoắn

= t(C)

đẳng r, ta có:

Mệnh đề 2.1.6.Có một song ánh tương ứng giữa những preradical lũy đẳng của

C và l ớp tiền xoắn của những vật của C Đối ngẫu, có một song ánh tương ứng

gi ữa những radical của Cvà lớp tiền xoắn-tự do của những vật của C

Đặc biệt, nếu r là một preradical tùy ý của C và đặt 𝑟̂ kí hiệu cho

r(D) = D Khi đó, dễ dàng chỉ ra rằng 𝑟̂ là một preradical lớn nhất nhỏ hơn r Do

đó, ta có:

Mệnh đề 2.1.7.Đối với mỗi preradical r tồn tại một preradical lũy đẳng lớn nhất

𝑟̂ nhỏ hơn r, và có một radical 𝑟 nhỏ nhất lớn hơn r

Vế thứ hai của mệnh đề này có được là do đối ngẫu Chú ý rằng 𝑟(C) là

𝛼<𝛽 Điều này cho ta nâng lên một dãy giảm

𝛽

Tương ứng r→𝑟 là một phép toán đóng trên dàn những preradical của C, và r→𝑟̂

lũy đẳng tạo thành một dàn đầy đủ

Mệnh đề 2.1.8.(i) Nếu r là một lũy đẳng thì 𝑟 cũng lũy đẳng.

Ch ứng minh.Do tính đối ngẫu, ta chỉ cần chứng minh (ii) là đủ Do đó, ta phải

𝑟 �(C/𝑟 �(C)) = 0, với mọi vật C Điều này đồng nghĩa với việc chứng minh C/

(a).r là m ột hàm tử khớp trái;

(c).r là lũy đẳng và Tr đóng dưới những vật con

Ch ứng minh.(a)⇔ (b): Xét dãy khớp ngắn: 0→D→ 𝐶𝑖 → 𝐶/𝐷 →0 Do r là một π

r(D)

Định nghĩa 2.1.10.Lớp tiền xoắn được gọi là di truyền nếu nó đóng dưới những

Hệ quả 2.1.11.Có một song ánh tương ứng giữa preradical khớp trái và những

l ớp tiền xoắn di truyền

Ví d ụ :

1.Socle và radical Jacobson

socle c ủa C, nghĩa là tổng của tất cả vật con đơn của C, và lấy r(C) kí hiệu cho