tập nghiệm của phương trình vi tích phân volterra đối số lệch phi tuyến loại hyperbolic

Chẳng hạn nếu X là một không gian vectơ,f là một toán tử trên X và y là một phần tử cố định của X thì x0 là nghiệm của phương trình f x = y khi và chỉ khi x0 là điểm bất động của toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Trọng

TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH

PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN

LOẠI HYPERBOLIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Nguyễn Ngọc Trọng

TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN

VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI

HYPERBOLIC

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Lê Hoàn Hóa

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

conv Ω Bao lồi đóng của Ω

A B× Tích Descartes của hai tập hợp A và B

X • Không gian Frechet X với họ nửa chuẩn { }• n n

(E,• ) Không gian Banach E với chuẩn •

C Không gian các hàm liên tục u:[−r, 0]→ E

Cσ Không gian các hàm liên tục u:[−r,σ]→ E

lim← Xα Giới hạn ngược của hệ ngược {Xα,παβ,Ω }

PHẦN MỞ ĐẦU

Lý thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong đó lớp phương trình vi tích phân đóng vai trò quan trọng Các kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lý, hóa học, sinh học cũng như trong việc nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học

Khi khảo sát một phương trình, trước tiên ta muốn nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của

nó Khi phương trình đã có nghiệm thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: liệu nghiệm có duy nhất hay không và trong trường hợp phương trình có nhiều nghiệm thì tập nghiệm có những tính chất gì?

0T

Một tính chất đặc biệt hơn của S được tìm thấy năm 1942 bởi Aronszajn Trong [1] Aronszajn0Tđã 0Tcải thiện0T 0Tkết quả của Kneser0T 0Tbằng cách chứng minh tập nghiệm S của bài toán Cauchy thậm chí còn là Rδ tập- một trường hợp đặc biệt của tập continuum Điều này dẫn đến S là acyclic, nghĩa là nếu không có tính Lipschitz của vế phải g thì S có thể có nhiều hơn một phần tử nhưng theo quan điểm tôpô đại số thì nó tương đương với một điểm, theo nghĩa nó có cùng các nhóm đồng điều giống như không gian một điểm Do đó, một số tác giả gọi tính chất Rδ là tính chất Aronszajn

Cũng theo hướng nghiên cứu về cấu trúc tập nghiệm, năm 1986 trong bài báo [2] F.S.De Blasi và J.Myjak chứng minh được tính Rδ của tập nghiệm bài toán Darboux

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

với I =[ ]0,1 ; ,φ ψ :I →  d là các hàm liên tục tuyệt đối cho trước thỏa φ( )0 =ψ( )0 và ánh

xạ :f Q×d →d(trong đó Q= ×I I) thỏa mãn các điều kiện sau

( ) 0

g t > với mọi t> 0 và

( )

1 1 0

0T

Một số kết quả về tính chất tập nghiệm có thể tìm thấy trong các tài liệu [1]-[7], [10], [12], [14], [15], [18], [21], [23]-[25], [28], [29] Riêng các kết quả về tính Rδ của tập nghiệm được đề cập trong [3], [6], [14], [15], [21], [25], [28], [29] Tổng quan một số kết quả chính

về tính chất tập nghiệm có thể tìm thấy trong [14]

0T

Như vậy là chúng ta đã phát họa một số nét sơ lược về hướng nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của phương trình vi tích phân nhằm nói lên vị trí, nguồn gốc phát sinh vấn đề nghiên cứu của đề tài Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày một phương pháp hữu hiệu thường được sử dụng trong việc nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của một phương trình

về việc tìm điểm bất động của một toán tử thích hợp Chẳng hạn nếu X là một không gian

vectơ,f là một toán tử trên X và y là một phần tử cố định của X thì x0 là nghiệm của phương trình f x( )= y khi và chỉ khi x0 là điểm bất động của toán tử T định bởi

Năm 1955, Krasnosel’skii đưa ra một định lý về sự tồn tại điểm bất động của toán tử

có dạng tổng của một ánh xạ co U và một ánh xạ hoàn toàn liên tục C Kết quả này đã thúc đẩy quá trình nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các loại phương trình vi tích phân mà nghiệm của phương trình đó là điểm bất động của một toán tử thỏa các điều kiện của Định

lý Krasnosel’skii

0T

Nhiều tác giả tìm cách mở rộng Định lý này bằng cách thay đổi “kiểu co” của toán

tử co U sao cho U vẫn có điểm bất động duy nhất Mỗi lần như vậy, các tác giả trên lại kết hợp với toán tử hoàn toàn liên tục C để từ đó mở rộng Định lý điểm bất động Krasnosel’skii ứng với toán tử co mới

0T

Cũng theo dòng chảy này, năm 1994 trong [17] L.H.Hoa và K.Schmitt đã đề nghị một Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trên không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy Một điểm thú vị là ngoài sự tồn tại điểm bất động thì tàng ẩn trong chứng minh của hai tác giả chúng ta còn thấy tồn tại một tập lồi đóng bị chặn khác rỗng D sao cho mọi điểm bất động đều thuộcD

Krasnosel’skii0Ttrong không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy, Định lý về tính continuum

và tính Rδ của giới hạn ngược, Định lý về tính continuum và tính Rδ của tập điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục

0T

Trong [20], [21] chúng tôi đòi hỏi tính hoàn toàn liên tục của f để lần lượt thu được tính khác rỗng và tính Rδ của tập nghiệm phương trình

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

0 0

Chương 3 Tính continuum0Tcủa tập nghiệm

Chương 4 Một dạng tổng quát của phương trình ( )T

Kết thúc luận văn là một vài kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Sau đây là phần giới thiệu cho từng chương

Mở đầu Chương 1, 0Tchúng tôi đưa ra định nghĩa các không gian hàm cùng các ký hiệu cần thiết và giới thiệu về phương trình mà luận văn nghiên cứu cùng các giả thiết kèm theo

0T

Hệ quả 2.3.2 có hình thức khá tương đồng với 0TĐịnh lý Krasnosel’skii-Perov Giả thiết của hệ quả này được thay đổi đôi chút so với Định lý Krasnosel’skii-Perov Sửa đổi

này giúp ta thu được tính Rδ- tính chất này mạnh hơn tính continuum trong kết luận của Định lý Krasnosel’skii-Perov

Một khó khăn nảy sinh đó là Hệ quả 2.3.2 phát biểu trên không gian Banach nhưng tập nghiệm của phương trình ( )T lại là tập con của không gian Frechet các hàm liên tục

Mặt khác, trong [12] Gabor đã chứng minh tính Rδ của lim←M n khi tất cả M n là Rδ

Do đó để chứng minh lim←M n là Rδ chúng tôi tìm cách chứng minh M n là Rδ Kết hợp với

sự kiện tính Rδ là một bất biến tôpô ta thấy M cũng là Rδ

0T

Trong Định lý 2.3.13, chúng tôi đã áp dụng kỹ thuật này vào việc chứng minh tính Rδ

của tập nghiệm phương trình ( )T Đây là định lý quan trọng của luận văn và đã được công

continuum - điều này được thể hiện trong Định lý 3.2.5 Định lý 3.2.2 và Định lý 3.2.5 là hai kết quả chính của chương

chương, mục và tiểu mục mà chúng có mặt (ví dụ Định lý 1.2.12 có nghĩa là Định lý này nằm ở chương 1, mục 1.2, tiểu mục 1.2.12)

0T

Trong khi trình bày, những vấn đề nào được trích dẫn sẽ chỉ nêu kết quả và nguồn gốc trích dẫn mà không đưa ra chứng minh Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các tác giả có tài liệu được chúng tôi trích dẫn trong luận văn

0T

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân đến gia đình và bạn bè - những người đã luôn ở bên quan tâm và động viên tác giả Sự giúp đỡ của họ 0Tđã góp phần không nhỏ vào việc hoàn thành luận văn này

TP.Hồ Chí Minh – Mùa hè 2011

Nguyễn Ngọc Trọng

CHƯƠNG 1: TÍNH KHÁC RỖNG CỦA TẬP NGHIỆM

0T

Năm 1981, trong [16] M.L.Heard đã xem xét phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có dạng

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 0 0

1.1.Giới thiệu bài toán

Cho r> 0 Ta ký hiệu • là chuẩn của không gian Banach E

[ ]

: 0,

u n → E

Đặt X =C( +,E) là không gian Frechet các hàm liên tục từ  + vào E

Đặt F = ×E C r với chuẩn ( )x y, = x + y0 và Η =  ×F với chuẩn ( )t x, Η = +t x

0TT gọi là compact nếu T D ( ) là tập compact tương đối

0TT gọi là ánh xạ riêng nếu với mọi tập con compact M của Y ta đều có T−1( )M là tập con compact của D.0T

Chú ý 1.1.2

( )i Toán tử compact thì hoàn toàn liên tục

( )ii Nếu D bị chặn và T hoàn toàn liên tục thì T compact

( )iii Cho D là tập con bị chặn của X và T:D→ X hoàn toàn liên tục Xét ánh xạ nhúng i D: →X định bởi i x( )= x Khi đó i−T là ánh xạ riêng

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu phương trình vi tích phân Volterra đối số

lệch phi tuyến loại Hyperbolic

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )

0 0

Ta đưa ra một số điều kiện sau

(T.3.1)Với mọi x∈F hàm τ  f ( )τ,x Borel đo được;

(T.3.2)Với hầu hết τ ∈ ∆ hàm x f ( )τ,x liên tục;

(T.3.3)Với mỗi n∈  và mỗi hằng số C> 0, tồn tại hàm không âm

→∞ = đều theo ( )t s trên m, ỗi tập con bị chặn bất kỳ của ∆

( )i Ta thấy rằng nếu f thỏa ( )T 3 thì f thỏa ( )T.3

Thật vậy, do f liên tục nên f thỏa (T.3.1) và (T.3.2)

Do ∆ ×n B F (0,C) bị chặn nên f (∆ ×n B F(0,C) ) là tập compact (ở đây

( )ii Bây giờ chúng tôi đưa ra một ví dụ cho thấy tồn tại hàm f thỏa điều kiện

( ) ( )T.3 , T.4 và f không thỏa ( )T.3

Xét E =  và lấy hàm không âm, bị chặn, không liên tục h∈L1( +× +) Đặt

:

f ∆ ×F →  định bởi f t s x( , , )=h t s( ), với mọi (t s x, , )∈ ∆ × F

Vì với mọi x∈F, ánh xạ τ  f ( )τ,x chính là h nên từ tính đo được của h ta thấy

(T.3.1) thỏa mãn Ta thấy (T.3.2) và ( )T.4 cũng thỏa

Hơn nữa f t s x( , , )∈h t s( ) { }, 1 với mọi (t s x, , )∈ ∆ × nên F (T.3.3) cũng thỏa

Vì f không liên tục nên cũng không hoàn toàn liên tục Do đó f không thỏa ( )T.3

Ta chú ý rằng C( [− ∞r, ),E) là không gian Frechet các hàm liên tục từ [− ∞r, ) vào

E với họ nửa chuẩn đếm được { }•n n∈ σ

 định nghĩa như sau: sup{ ( ) : [ , ] }

Với mỗi n∈ σ ta đặt Y n =C( [ ] σ,n E, ) là không gian Banach các hàm liên tục

 định bởi: u n =sup{u t( ) :t∈[σ,n] }với n∈  σ

Ta thấy metric ( , ) 2 n.min 1,{ }

n n

thấy phương trình ( )T chính là phương trình ( )T0

Với u∈Y đặt u:[− ∞ → r, ) E được định nghĩa như sau

Khi t∈ −[ r,σ] ta có x t( ) ( )−y t = ≤0 2 x− y n

Khi t∈[ ]σ,n ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

n

x t −y t ≤ x t −y t + x σ −y σ ≤ x−y Vậy ( ) ( ) 2

n

x t+θ ≤ x t+θ + x σ +ϕ σ ≤ x +ϕσ Vậy t( )x ( )θ ≤ 2 x n +ϕσ với mọi θ∈ −[ r, 0] và t∈[ ]0,n

Lấy m∈ σ sao cho t t, n∈[0,m] với mọi n∈ 

Lấy ε > 0, do u liên tục đều trên [−r m, ] nên tồn tại 0,

εε

Lấy u∈ Σ Khi đó V u t( )( )+G u t( )( )=u t( ) với t≥ σ , nghĩa là

Do u( )σ = y( )σ =ϕ σ( ) nên u t( )=u t( )= y t( ) với mọi t≥ σ

Ta lại có u t( )=ϕ( )t = y t( ) với mọi t∈ −[ r,σ] nên u= y

Do vậy với mọi t≥ σ ta có

Như vậy là tồn tại u∈ Σ để φ( )u = =u y Vậy φ là toàn ánh

Lấy x y, ∈ Σ thỏa φ( )x =φ( )y Khi đó x t( )= y t( ) với mọi t≥ σ

n n

0 0

Cho X là không gian lồi địa phương và F là họ nửa chuẩn tách trên X

Cho D là tập con của X và cho toán tử U:D→ X

Với mỗi a∈X , định nghĩa U a:D→ X bởi U a( )x =U x( )+ a

Toán tử U:D→ X gọi là co theo điều kiện ( )A trên tập con Ω của X nếu

Cho X là không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách F , D là tập con đầy đủ theo dãy của X

Cho U là toán tử liên tục đều trên D (tức là với p∈F và ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu p x( −y)< δ thì dẫn đến p U x( ( )−U y( ) )< ) ε

Giả sử U là co theo điều kiện ( )A trên tập con Ω của X Khi đó toán tử ( ) 1

I −U −được định nghĩa tốt và liên tục trên Ω

( )ii Nếu trong điều kiện ( )A

, δ được chọn độc lập với a∈ Ω thì với các giả thiết của Mệnh đề 1.2.7 ta có ( ) 1

I−U − liên tục đều trên Ω

Mệnh đề 1.2.9 ([17])

Cho X là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy và F là họ nửa chuẩn

tách trên X

Cho U và C là các toán tử trên X thỏa mãn

( )B.1 U co theo điều kiện ( )A trên X ;

( )B.2 Với bất kỳ p∈F , tồn tại k> 0 ( k phụ thuộc vào p ) thỏa mãn

( ) ( ) 2( )

!

j n

p n

c

x y p

n

x y p

n

p n

Với n∈ σ , vì 2( )

!

j n j

ε

δ = − > Khi đó a( )j n, ( ε δ+ )<ε Với bất kỳ z∈Y, để chứng minh V thỏa điều kiện ( )A.2 ta chọn k z =0 và r= j n

Khi đó với mọi x y, ∈Y ta có z n( ),

Vậy điều kiện ( )A.2 thỏa Từ đó V co theo điều kiện ( )A trên Y

Điều kiện ( )B.2 thỏa vì ( ) ( ) 2( ) n n

n

V x −V y ≤  n−σ c  x− y với mọi x y, ∈Y Điều kiện ( )B.3 thỏa vì với mọi x y, ∈Y ta có

Cho M là tập con của Y =C(σ,E) Khi đó hai mệnh đề sau tương đương

( )i Tập M compact tương đối trong Y

( )ii Với mọi n∈  σ , M đẳng liên tục trên [ ]σ, n và với bất kỳ s∈[ ]σ,n tập

( )ii Nếu f thỏa các điều kiện ( ) ( )T.3 , T.4 thì ( )

n

n u

n

G u u

→∞ = v ới mọi n∈ σ Hơn nữa, khi Ω ⊂ X thỏa Ω < ∞n thì G( )Ω n < ∞

Chứng minh

Ta chứng minh ( )i

Dễ thấy G Y: →Y là ánh xạ Ta chứng minh rằng G liên tục

Lấy ( )u m m là một dãy trong Y thỏa mãn lim m

→∞ = Đặt Φ ={u m:m∈  } { }u Khi đó Φ là tập compact trong Y

Lấy n∈ σ , do ζ liên tục nên ζ ( [ ]0, n ×Φ) là tập compact

Vậy tồn tại C > 0 sao cho ζ ( )t u, Η <C với mọi t∈[ ]0,n và u∈ Φ

Do vậy f t( ,ζ ( )s u, )= f t s u s( , , ( ), s( )u )∈h C( )t s K, C với mọi u∈ Φ và với hầu hết

( )t s, ∈ ∆n Từ đó tồn tại β > 0 sao cho f t( ,ζ ( )s u, ) ≤ βh C( )t s, với mọi u∈ Φ và với hầu hết ( )t s, ∈ ∆ n

Từ điều kiện (T.3.2) ta có lim m( ), 0

m ρ t s

→∞ = với hầu hết ( )t s, ∈ ∆ nMặt khác theo ( )3 ta có ρm( )t s, ≤2βh C( )t s, với hầu hết ( )t s, ∈ ∆ n

Vậy theo Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có lim ( ), 0

Tiếp theo, lấy Ω là tập con bị chặn của Y Lấy n∈ σ

Theo Định lý 1.2.3 ta có ζ ( [ ]0, n ×Ω) là tập bị chặn Vậy tồn tại C> 0 sao cho ( )t u, C

s ∫h sτ τd khả tích trên [ ]0, n Lấy ε > 0, theo tính liên tục tuyệt đối của tích phân tồn tại δ > 0 sao cho

∫ ∫ với mọi t t1, 2∈[ ]0,n thỏa mãn t1≤t2 và t1−t2 < δ

Mặt khác với mọi u∈ Ω và t t1, 2∈[ ]σ,n thỏa t1≤t2 ta có

E là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục x*:E→ 

Vì f t( ,ζ ( )s u, )∈h C( )t s K, C với mọi u∈ Ω và với hầu hết ( )t s, ∈ ∆n, hơn nữa do x*

0

0

,

.,

t s C

t s C

Khi đó h C( )s,τ = 0 với hầu hết ( )s,τ ∈ Q

f s ζ τ u ≤ βh sτ = với mọi u∈ Ω và với hầu hết ( )s,τ ∈ Q

Vậy f s( ,ζ τ( ),u )= 0 với mọi u∈ Ω và với hầu hết ( )s,τ ∈ Q

Theo Định lý 1.2.11 ta thấy G( )Ω là tập compact tương đối

Do đó G hoàn toàn liên tục trên Y

Bây giờ ta chứng minh ( )ii

Lấy n∈ σ , ta chứng minh ( )

n

n u

n

G u u

≤ + với mọi x∈F và với hầu hết ( )t s, ∈ ∆ n Do đó

n

G u u

→∞ = với mọi n∈ σ Lấy n∈  σ Lấy Ω ⊂Y thỏa Ω < ∞n Theo Định lý 1.2.3 ta có ζ ( [ ]0, n ×Ω) bị chặn Vậy tồn tại C> 0 sao cho ζ ( )t u, Η <C với mọi t∈[ ]0,n và u∈ Ω

Khi đó tồn tại R> 0 và hàm không âm 1( [ ]2)

K = R  h sτ τd ds

∫ ∫  Khi đó với mọi u∈ Ω và t∈[ ]σ,n ta có

Từ Định lý 1.2.10 và Định lý 1.2.12 ta thấy V G, thỏa tất cả các điều kiện của Mệnh

đề 1.2.9 Vậy tập điểm bất động Σ của V+G khác rỗng

Vậy theo Định lý 1.2.4 ta thấy S ≠ ∅ ■

Hệ quả 1.3.2

Nếu các điều kiện ( ) ( )T.1 , T.2 ,( )T.3 ,( )T.4 được thỏa mãn thì tập nghiệm S của phương trình ( )Tσ khác rỗng

Vì phương trình ( )T chính là phương trình ( )T0 nên ta có ngay hai hệ quả sau

Hệ quả 1.3.3 Nếu các điều kiện ( ) ( ) ( ) ( )T.1 , T.2 , T.3 , T.4 được thỏa mãn thì tập nghiệm S của phương trình ( )T khác rỗng

Hệ quả 1.3.4 Nếu các điều kiện ( ) ( )T.1 , T.2 ,( )T.3 ,( )T.4 được thỏa mãn thì tập nghiệm S của phương trình ( )T khác rỗng

CHƯƠNG 2 TÍNH Rδ CỦA TẬP NGHIỆM

Năm 2006, trong [18] hai tác giả L.H.Hoa và L.T.P.Ngoc đã thu được tính continuum của tập nghiệm phương trình tích phân

Trong chương này chúng tôi sử dụng kết quả của G.Gabor và kết quả của L.H Hoa, K.Schmitt để chứng minh tập nghiệm phương trình

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )

0 0

là Rδ Kết quả này đã được công bố trong [21]

Khi ta xét phương trình tích phân ( )4 cùng với các giả thiết mà [18] đưa ra thì ta thấy một điều thú vị là nếu lặp lại các kỹ thuật được sử dụng cho việc chứng minh tính Rδ

tập nghiệm phương trình ( )T vào phương trình tích phân ( )4 thì ta cũng nhận được tính Rδ

của tập nghiệm phương trình ( )4 Chú ý là trong [18] hai tác giả chỉ chứng minh tập nghiệm của phương trình ( )4 là continuum

Mục đầu tiên của chương này được dành để giới thiệu các khái niệm về tập co rút tuyệt đối, tập acyclic và tập Rδ

2.1 Khái niệm và tính chất của tập co rút tuyệt đối, tập acyclic và tập Rδ

Cho X là không gian metric và tập con khác rỗng A⊂ X

Định nghĩa 2.1.1 ([9])

A được gọi là co rút tuyệt đối nếu với mọi không gian metric Y, mọi tập con đóng

B⊂Y và mọi ánh xạ liên tục f :B→ A đều tồn tại mở rộng liên tục  :f Y → A của f

Một ví dụ của tập acyclic là tập lồi

Ta giới thiệu một số tính chất của tập Rδ

Tính chất 1 ([28])

Tập Rδ là continuum (tức compact liên thông khác rỗng) và acyclic Tồn tại tập continuum mà không là Rδ

Tính chất 2 ([9])

Tồn tại tập Rδ không liên thông đường

2.2.H ệ ngược và giới hạn ngược ([12])

được gọi là hệ ngược nếu

( )i Ω được định hướng bởi quan hệ thứ tự ;

( )ii Xα là không gian tôpô Hausdorff với mọi α ∈ Ω;

( )iii παβ : Xβ → Xα

là ánh xạ liên tục với mọi α β , ∈ Ω thỏa mãn α β ;

( )iv Với mọi α β γ , , ∈ Ω thỏa mãn α β γ ta có παα =I Xα

và ký hiệu bởi lim← Xα nếu

thỏa mãn Xα là Rδ với mọi α ∈ Ω thì giới hạn ngược lim← Xα cũng

Rδ Do đó để chứng minh tập điểm bất động Σ là Rδ chúng tôi tiến hành chứng minh Σn là

Rδ

1T

Từ kết quả của Gabor trong [12] chúng tôi đưa ra Hệ quả 2.3.2 về 0T1Ttính Rδ của tập điểm bất động toán tử hoàn toàn liên tục xác định trên tập con khác rỗng bị chặn của một không gian Banach 0TMà ta thấy Σn là tập con của không gian Banach X n nên chúng tôi tìm cách xây dựng một toán tử hoàn toàn liên tục T xác định trên tập con bị chặn khác rỗng của