sự mở rộng tính compact của lũy thừa tychonoff của 2 trong zf

Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều chứa một phủ con hữu hạn.. Cụ thể hơn, các nhà Toán học đã quan tâm đến tính compact của không gian Tychono

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Hà Thanh

Thà nh phố Hồ Chí Minh- 2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tình hướng dẫn và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian thực hiện luận văn, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giáo sư Kyriakos Keremedis, Department of Mathematics,University of The Aegean,Karlovassi, Samos 83200, Greece và giáo sư Jan Mycielski, Department of Mathematics, University of Color ado at Boulder, USA đã cung cấp tài liệu và các chỉ dẫn quý báu cho tôi

T ôi cũng xin chân thành cảm ơn:

1 Ban chủ nhiệm Khoa và các thầy trong tổ Hình học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy giúp tôi nâng cao trình

độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học

2 Ban lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học trường đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

3 Anh Trương Hồng Minh (Université Toulouse III Paul Sabatier, France), anh Lữ Hoàng Chinh (Université Toulouse III Paul Sabatier, France), bạn Hoàng Thị Thảo Phương (INRIA, France) đã hỗ trợ tôi rất nhiều trong việc tìm kiếm các tài liệu tham khảo

4 Các bạn lớp Hình học và Tôpô khóa 20 đã luôn cùng tôi chia sẻ mọi khó khăn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình và bạn bè đã luôn bên cạnh, quan tâm và giúp đỡ tôi mọi mặt để hoàn thành tốt khóa học

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn 2

5 Cấu trúc luận văn 2

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian tôpô 3

1.2 Một số lớp không gian tôpô 5

1.3 Lí th uyết tập hợp 7

1.4 Các định lí 13

Chương 2 TÍNH COMPACT ĐẾM ĐƯỢC VÀ COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 2X 15

2.1 Các khái niệm mở đầu 15

2.2 Các kết quả chính 16

Chương 3 TÍNH COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 2 29 KẾT LUẬN 34

1 Kết quả nghiên cứu 34

2 Hướng nghiên cứu tiếp theo 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

TP( 2X) : 2X là compact

TPC( 2X) : 2X là compact đếm được

AC(X) : ( ) \X { }∅ có một hàm chọn

Dom(f ) : miền xác định của hàm f

Ran(f ) : miền giá trị của hàm f

p ⊂ : p f là ánh xạ hạn chế của f

Với n ∈  ,

( )

ACfin X : Mỗi họ các tập con hữu hạn khác rỗng của X đều có một hàm chọn

AC(≤n X, ): Mỗi họ gồm các tập con ≤ -phần tử khác rỗng của X có một hàm chọn

CAC(≤n X, ): AC(≤n X, ) hạn chế trên một họ đếm được

AC ( ,dis n X): Mỗi họ rời nhau của các tập con n-phần tử khác rỗng của X có một hàm chọn

CAC ( ,dis n X : AC ( ,) dis n X ) hạn chế trên một họ đếm được

BPI : Mỗi đại số Boolean có một ideal nguyên tố

UF(ω): Tồn tại một siêu lọc tự do trên ω

CAC : AC hạn chế trên một họ đếm được các tập khác rỗng

CAC() : CAC hạn chế trên một họ đếm được các tập con khác rỗng của 

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong Toán học, khái niệm compact đóng vai trò quan trọng trong tôpô tổng quát Như

ta đã biết, có hai cách để định nghĩa không gian compact

Định nghĩa 1 Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ

mở của X đều chứa một phủ con hữu hạn

Định nghĩa 2 X là compact khi và chỉ khi mỗi họ  gồm các tập con đóng của X đều

có tính chất giao hữu hạn, ∩≠ ∅

Từ định nghĩa thứ hai này, người ta đi tìm mối liên hệ giữa tính compact và các dạng

của tiên đề chọn trong lý thuyết tập hợp Cụ thể hơn, các nhà Toán học đã quan tâm đến tính compact của không gian Tychonoff 2X (với 2 = {0, 1}), là không gian các ánh xạ từ X vào 2

={0, 1}, và thiết lập được những mối tương quan giữa tính chất compact và các mệnh đề trong lý thuyết tập hợp ZF

Trong các nghiên cứu này, J Mycielski [21] đã chứng minh được trong lý thuyết tập

hợp ZF, BPI ⇔ “Với mỗi tập X, 2 X là không gian compact” mà không đòi hỏi một dạng đặc biệt nào của tiên đề chọn

Trong một bài báo khoa học của mình, K Keremedis và E Tachtsis đã xét đến hai sự

mở rộng nữa của tính compact đối với không gian Tychonoff 2X đó là tính compact đếm

được và compact-n Từ đó xét đến trường hợp đặc biệt với X =  Xét thấy tầm quan trọng

của bài báo, vì thế chúng tôi chọn đề tài luận văn là

“SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA 2 TRONG ZF”

2 Mục đích

Nghiên cứu sức mạnh của tính compact theo nghĩa lý thuyết tập hợp cũng như sự mở rộng tính compact của không gian 2X

và 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tính compact đếm được và compact-n ( n ∈  ) của không gian 2 X

và 2 trong ZF

Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu rõ hơn về sự mở rộng tính compact của

2X trong ZF

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận Trong đó, chương hai và chương ba là phần chính của luận văn Cụ thể như sau:

Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị bao gồm những khái niệm, mệnh đề cơ bản có liên quan đến

nội dung đề tài

Chương 2: Tính compact đếm được và tính compact-n ( n∈  ) của không gian 2 X

Chương 3: Tính compact-n ( n∈  ) của không gian 2

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lý thuyết nhằm phục vụ đề tài Các kiến thức chủ yếu ở chương này là các kiến thức cơ bản Ở đây, các định lí, các hệ quả và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh, được trích dẫn từ các tài liệu [9], [10], [14], [15] và [21]

1.1 Không gian tôpô

1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô

Cho tập X Một họ τ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa các điều

τ ) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ

Tập X cùng với một tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu là (X, τ) hay ngắn

gọn hơn là X nếu không cần chỉ rõ τ là tôpô trên X Các phần tử của không gian gọi là các

Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x

1.1.3 Cơ sở và tiền cơ sở

Cho τ là một tôpô trên X Một họ con σ của τ được gọi là một cơ sở của tôpô τ nếu mỗi phần tử của τ là hợp của một họ nào đó các phần tử của σ Hay nói cách khác, σ là

cơ sở của τ nếu ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈G τ, x G, V σ :x V∈ ⊂ G

Một họ σ các tập con của tập hợp X được gọi là tiền cơ sở của tôpô τ trên X nếu họ các giao của một số hữu hạn phần tử của σ tạo thành cơ sở của τ Như vậy họ con σ của

τ là tiền cơ sở của τ nếu mọi G∈ τ và mọi x G∈ tồn tại W W1, 2, ,W n∈ sao cho σ

x W∈ ∩W ∩ ∩W ⊂G

Hiển nhiên, một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó

1.1.4 Cơ sở địa phương

Một họ  các lân cận của x được gọi là một cơ sở địa phương của x nếu mọi lân cận x

V của x đều tồn tại lân cận U ∈  sao cho U V x ⊂

1.1.5 Điểm giới hạn

Cho A là một tập con của không gian tôpô X và x X∈ Nếu mọi lân cận V của x ta

đều có (V \ { }x )∩A≠ ∅ thì x được gọi là điểm giới hạn hay điểm tụ của tập A

1.1.6 Phần trong, bao đóng, trù mật

Cho X là không gian tôpô và tập A X⊂

• Ta gọi phần trong của tập A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, kí hiệu

là A 0

• Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là A

• Tập con A được gọi là trù mật hay trù mật khắp nơi trong X nếu A X=

• Tập con A trù mật trong không gian tôpô X nếu và chỉ nếu mọi x X∈ và mọi lân cận

V của x, V A ≠ ∅∩

1.1.7 Định nghĩa các T i −không gian

Cho X là không gian tôpô, khi đó

• X được gọi là T0− không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y∈ X có một lân

cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x

• X được gọi là T1− không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y∈ X có một lân cận

của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x

• X được gọi là T2 − không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y∈ X tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U V = ∅∩

• X gọi là T3− không gian hay không gian chính quy nếu X là T1− không gian và với

mọi x X∈ và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U, V

Xα τα α∈ là một họ các không gian tôpô

Đặt X =∏α∈I Xα và πα : X → Xα là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ α Các không gian

Xα gọi là không gian tọa độ Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép

n

n i

Tôpô tích còn gọi là tôpô Tychonoff Tập X cùng với tôpô Tychonoff gọi là tích của họ

không gian đã cho

1.2.1 Không gian compact

1.2.1.1 Định nghĩa không gian compact

Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều chứa một phủ con hữu hạn Hay nói một cách tương đương, X là compact khi và chỉ khi mỗi

họ  gồm các tập con đóng của X đều có tính chất giao hữu hạn, ∩ ≠ ∅

Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X đều chứa một phủ con hữu hạn Hay nói một cách tương đương, X là compact đếm được khi và chỉ khi mỗi họ  đếm được gồm các tập con đóng của X đều có tính chất

giao hữu hạn, ∩ ≠ ∅

Một phủ  của X được gọi là phủ cực tiểu của X nếu với mỗi U∈   không là , \{ }U phủ của X Ta nói X có tính chất phủ cực tiểu nếu với mỗi phủ mở  của X có chứa một phủ

con cực tiểu 

Nhận xét: Trong ZF, mỗi không gian compact đều có tính chất phủ cực tiểu

1.2.1.2 Compact hóa một điểm của một tập

X là compact và Hausdorff trong ZF

1.2.2 Không gian Lindelöf

Một không gian tôpô X được gọi là không gian Lindelöf nếu với mỗi phủ mở của X có

một phủ con đếm được

1.2.3 Không gian Loeb

Một không gian tôpô X được gọi là không gian Loeb nếu họ các tập con đóng khác rỗng của X đều có một hàm chọn

Một không gian tôpô X được gọi là không gian Loeb đếm được nếu mỗi họ đếm được các tập con đóng khác rỗng của X đều có một hàm chọn

1.3 Lí thuyết tập hợp

1.3.1 Hệ tiên đề của Zermelo – Fraenkel

Ở đây chúng ta đề cập đến hệ tiên đề của Zermelo – Fraenkel gồm các tiên đề sau:

1 Tiên đề quảng tính Nếu hai tập hợp X và Y có cùng phần tử thì X = Y

Tiên đề này được sử dụng khi ta đưa vào khái niệm quy nạp siêu hạn và số thứ tự

8 Tiên đề về tính chính quy Mỗi tập x khác rỗng đều có phần tử y sao cho x, y là các tập

Paul J Cohen đã chứng minh rằng tiên đề chọn là độc lập đối với các tiên đề khác của lý thuyết Zermelo – Fraenkel Trước đó, Godel đã chứng minh nếu lí thuyết tập hợp của Zermelo – Fraenkel là không mâu thuẫn thì nó sẽ không mâu thuẫn nếu ta thêm vào tiên đề chọn

Hệ thống gồm 8 tiên đề đầu tiên được gọi là lý thuyết tập hợp Zermelo – Fraenkel và còn được kí hiệu là ZF Hệ gồm 9 tiên đề trên kí hiệu là ZFC

Ngoài hai lý thuyết tập hợp ZF và ZFC người ta còn xét đến lý thuyết ZFA, nghĩa là

lý thuyết ZF thừa nhận các đơn tử Thêm vào các tập hợp, ZFA có thêm các vật gọi là các đơn tử Những đơn tử này không có phần tử nào khác ngoài nó nhưng có thể được tập hợp

• Một lọc được gọi là tự do nếu ∩ = ∅

• Một siêu lọc trên X là lọc lớn nhất theo quan hệ bao hàm

• Mỗi lọc đều có tính chất giao hữu hạn

(3) Nếu ,A B⊂ X A, ∈ và B I ⊂ thì B I A ∈

Nhận xét

+ Nếu  là một lọc trên X thì I ={X −F F: ∈  là một ideal trên X Và ngược lại nếu I }

là một ideal trên X thì  ={X −F F: ∈I} là một lọc trên X Đây là hai khái niệm đối ngẫu

với nhau

+ Đối ngẫu với khái niệm siêu lọc là khái niệm ideal nguyên tố: Với mỗi tập F ⊂ X thì

F∈ I hoặc X F I− ∈

1.3.3 Đại số Boolean

1.3.3.1 Định nghĩa Một đại số Boolean là một tập B cùng với ít nhất 2 phần tử 0 và 1,

được trang bị phép toán hai ngôi + và và phép toán lấy phần bù thỏa mãn các tính chất sau: (1) Tính chất giao hoán:

Ta định nghĩa u− =v u.(− và v) u≤ ⇔ − = v u v 0

Khi đó ≤ là một quan hệ thứ tự trên B và u≤ ⇔ + = ⇔v u v v u v = u

1.3.3.2 Lọc và ideal trên đại số Boolean

Cho B là một đại số Boolean Một ideal trên B là một tập con I thỏa các điều kiện sau

1.3.4 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, biểu thức, lớp

Một biểu thức của lý thuyết tập hợp được xây dựng từ các công thức nguyên tử

,

x∈y x= bởi các phép toán nối y ϕ ψ ϕ ψ∧ , ∨ ,¬ϕ ϕ, →ψ ϕ, ⇔ψ (lần lượt là phép hội, phép tuyển, phép lấy phủ định, phép kéo theo, phép tương đương) và các lượng tử hóa ,

xϕ xϕ

Nếu ϕ( ,x p1, ,p n) là một biểu thức thì ta gọiC ={x: ( ,ϕ x p1, ,p n)} là một lớp

• Mỗi phần tử của C là các tập x thỏa ϕ( ,x p1, ,p n)

• Hai lớp bằng nhau nếu chúng có cùng phần tử

• Lớp mở rộng là lớp V ={x x: =x}

• Lớp bắc cầu là lớp thỏa điều kiện (∀x x∈ → ⊆S x S)

Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp là tập gồm các kí tự: kí tự quan hệ, kí tự hàm và các kí

tự hàm số ={P, , , , F c }

Mô hình của một lý thuyết tập hợp T được xác định bởi một tập J mà các quan hệ trong

đó được định nghĩa sao cho tập V gồm các “mệnh đề hợp lệ” của T đều “đúng” trong J Như vậy, một lớp bắc cầu là một mô hình của ZF nếu nó thỏa mãn các tiên đề của ZF

Nếu M là một lớp bắc cầu thì mô hình ( , ) M ∈ là một mô hình bắc cầu

1.3.5 Một số mô hình trong ZF

1.3.5.1 Dạng của tiên đề chọn

Dạng của tiên đề chọn là các mệnh đề trong ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp có thể

được chứng minh bằng cách sử dụng tiên đề chọn nhưng nó không là các định lí trong lí thuyết tập hợp mà tiên đề chọn bị bỏ qua

Người ta bắt đầu đánh số từ dạng 0, dạng 0 là 0=0 và dạng 1 là tiên đề chọn

Ví dụ:

a Dạng 2 (Sự tồn tại của bản số kế tiếp) : với mỗi bản số m, tồn tại một bản số n sao cho m

< n và ∀ <p n p( ≤m)

b Dạng 4 Mỗi tập vô hạn là hợp của họ nào đó rời nhau các tập con đếm được

c Dạng 10 Mỗi họ đếm được các tập hữu hạn khác rỗng đều có một hàm chọn

d Dạng 14 (BPI) mỗi đại số Boolean đều có một ideal nguyên tố

e Dạng 15 KW( , )∞ ∞ Nguyên lý chọn Kinna- Wagner: với mỗi tập M thì tồn tại một hàm f sao cho với mọi A M∈ nếu A > thì 1 ∅ ≠ f A( ) A

f Dạng 41 Wℵ1 với mỗi bản số m, thì m≤ ℵ 1 hoặc ℵ ≤ 1 m

g Dạng 43 DC( )ω Nếu S là một quan hệ trên một tập A khác rỗng và

(∀ ∈x A)(∃ ∈y A xSy)( ) thì tồn tại một dãy (0), (1), (2), a a a các phần tử của A sao cho

c Mô hình  (mô hình thứ hai của Cohen) : dạng 191 đúng nhưng các dạng 18, 91, 340, 7

quát để tạo ra một mô hình lớn hơn từ một mô hình ban đầu và các tính chất được xác định

bởi cách xây dựng và mô hình ban đầu

Ý tưởng chính của sự mở rộng là từ một mô hình bắc cầu M (mô hình nền) của lý thuyết tập hợp ta thêm vào một tập G (tập sinh) để tạo thành một mô hình bắc cầu M[G] lớn hơn của

lý thuyết tập hợp (sự mở rộng sinh) Tập sinh được xấp xỉ bởi điều kiện mở rộng trong mô

hình nền và sự lựa chọn chính xác của các điều kiện mở rộng sẽ xác định cái gì là đúng trong sự mở rộng sinh

1.3.6.1 Điều kiện mở rộng

Cho M là một mô hình bắc cầu của ZFC, mô hình nền Trong M ta xét một tập được sắp

thứ tự bộ phận ( , )P < khác rỗng Ta gọi ( , )P < là k hái niệm mở rộng và các phần tử của P là

các điều kiện mở rộng

Ta nói p mạnh hơn q nếu p < q

Nếu p, q là các điều kiện mà tồn tại r sao cho r p ≤ và r q ≤ thì p và q là tương thích với nhau, những trường hợp khác ta gọi p và q không tương thích

1.3.6.2 Tập sinh

• Một tập F P⊂ là một lọc trên P nếu

i F ≠ ∅

ii Nếu p≤q p, ∈ thì q F F ∈

iii Nếu ,p q∈ F thì tồn tại r F ∈ sao cho r p ≤ và r q≤

• Tập các điều kiện G P⊂ là tập sinh trên M nếu

i G là lọc trên P

ii Nếu D trù mật trong P và D M∈ thì G∩ ≠ ∅ D

Ví dụ Cho P là khái niệm mở rộng như sau:

Các phần tử của P là dãy hữu hạn 0-1 < p(0),….,p(n-1)> Một điều kiện p là mạnh hơn q nếu p ⊇ q Và như vậy p, q tương thích nhau khi và chỉ khi p q⊂ hoặc q⊂ p

Cho M là mô hình nền ( ( , )P < ∈M ) và G⊂ P là một tập sinh trên M Đặt

f = G = p p∈G , do đó f là hàm từ ω vào {0, 1} và G là lọc Với mỗi n∈ , ω

n

D = p∈P n∈ p trù mật trong P nên nó giao với G Suy ra dom(f) = ω

Hàm 0-1 f là hàm đặc trưng của tập A⊂ω Ta khẳng định rằng f (hay là tập A) không nằm trong mô hình nền Với mỗi ánh xạ 0-1 g trong M, đặt D g ={p∈P p: ⊄g} Do D trù mật g nên giao với G Do đó f ≠ g

Ví dụ này mô tả cách đơn giản nhất để thêm vào một tập mới các số tự nhiên vào mô hình

nền Tập A⊂ có được bằng cách này được gọi là số thực Cohen sinh ω

Tổng quát, gọi κ là một bản số vô hạn, khái niệm mở rộng thêm vào κ số thực, được gọi là

Định lí 1.3

(i) ([14]) Phát biểu “ 2 là compact đếm được” thì không chứng minh được trong ZF

(ii) ([10]) Phát biểu CAC( ) không suy ra được “ 2 là compact” trong ZF

Chương 2 TÍNH COMPACT ĐẾM ĐƯỢC VÀ

COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN

Fn(X ,2) là tập hợp các hàm riêng hữu hạn từ X vào 2

Khi đó X ={[ ] :p p∈Fn( , 2)X } là cơ sở đóng-mở chuẩn của tôpô trên 2X

Với mỗi n ∈  , đặt X n ={[ ]p ∈X : p =n} ở đây p n= là số phần tử của miền xác định

Một tập đóng-mở O của 2X được gọi là bị hạn chế nếu tồn tại một tập con hữu hạn Q X⊂

và các phần tử p i∈2 ,Q i=1, 2, ,k với k ∈  nào đó sao cho

[ ] [ ] [ k]

O= p ∪p ∪ ∪p (*)

và không có Q’ thực sự nào nằm trong Q mà tập O được biểu diễn ở dạng (*) trên

+ Q được gọi là tập các tọa độ bị hạn chế

+ p i i, =1, 2, , ,k được gọi là các tọa độ của O

Định nghĩa Với mỗi n∈  , 2 X

là compact- n nếu mỗi phủ n

X

⊂

  của 2 X có một phủ con hữu hạn