sử dụng hàm h vào thống kê nhiều chiều và ứng dụng

Đi đầu trong hướng ứng dụng này phải nhắc đến Mathai và Saxena, trong quyển sách chuyên khảo Generalized Hypergeometric Function with Application in Statistics and Physical Sciences xuất

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Thanh Phong

Chuyên ngành : Toán Gi ải Tích

M ục Lục

MỞ ĐẦU I

L ỜI CÁM ƠN III

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1

1.1.HÀM GAMMA 𝚪 PHứC 1

1.2.PHÉP BI ếN ĐổI MELLIN 2

1.3 TH ốNG KÊ NHIềU CHIềU 3

1.3.1 Phân ph ối nhiều chiều 3

1.3.2 Phân ph ối chuẩn nhiều chiều (Multivariate Normal Distribution) 6

1.3.3.Phân ph ối Wishart 7

1.3.4 Ước lượng tham số 9

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT HÀM H 17

2.1 ĐịNH NGHĨA 17

2.2 TÍNH CH ấT CƠ BảN CủA HÀM H 35

2.3 TÍCH VÀ T ỉ Số CÁC BIếN NGẫU NHIÊN CÓ PHÂN PHốI H 38

2.4 CÁC TRƯờNG HợP ĐặC BIệT 42

CHƯƠNG 3: THỐNG KÊ WILKS 44

3.1 TH ốNG KÊ WILKS SUY R ộNG VÀ THốNG KÊ WILKS 44

3.2 TÍCH VÀ T ỉ Số CủA 2 TH ốNG KÊ WILKS SUY R ộNG ĐộC LậP 53

3.3 HÀM M ậT Độ CủA𝚲(𝐩, 𝐧, 𝐪)𝐭, 𝐭 > 0 55

CHƯƠNG 4: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HÀM H VÀO BÀI TOÁN TÌM HÀM M ẬT ĐỘ 57

4.1 TIÊU CHUẩN KIểM ĐịNH BằNG NHAU CủA CÁC TRUNG BÌNH KHI BIếT CÁC PHÂN PH ốI CÙNG MA TRậN HIệP PHƯƠNG SAI 57

4.2 TIÊU CHUẩN KIểM ĐịNH GIả THUYếT Về Sự ĐộC LậP CủA CÁC THÀNH PHầN 62 4.3 TIÊU CHU ẩN KIểM ĐịNH Sự BằNG NHAU CủA CÁC HIệP PHƯƠNG SAI 68 4.4.TIÊU CHU ẩN KIểM ĐịNH CÁC PHÂN PHốI LÀ CÙNG KÌ VọNG VÀ HIệP PHƯƠNG SAI 74

K ẾT LUẬN 77 TÀI LI ỆU THAM KHẢO 78

của nó ( chẳng hạn, Mathai và Saxena)

Một hướng ứng dụng của lý thuyết hàm H là lĩnh vực thống kê Đi đầu trong hướng ứng dụng này phải nhắc đến Mathai và Saxena, trong quyển sách chuyên khảo

Generalized Hypergeometric Function with Application in Statistics and Physical Sciences xuất bản 1973, hai ông đã sử dụng công cụ hàm H để tìm hàm mật độ của nhiều bài toán kiểm định trong thống kê nhiều chiều Đến năm 2010, trong quyển sách chuyên

khảo The H- Function, Theory and Applications, MaThai, Saxena và Haubold đã khái

quát nhiều cấu trúc tổng quát và biểu diễn hàm mật độ dưới dạng hàm H như tích và tỉ số

của nhiều phân phối Gamma độc lập, tích và tỉ số của các phân phối độc lập thuộc loại Beta loại I và Beta loại II Ngoài ra, trong năm 2008 và 2009, GS Phạm Gia Thụ đã có hàng loạt các bài báo về ứng dụng của hàm H trong thống kê như: Exact distribution of

the generalized Wilks’s statistic and application hay (vi ết cùng GS Turkan) Testing the

equality of several covariance matrices,và Testing sphericity using small samples,…

Quan tâm đến hướng ứng dụng của hàm H vào thống kê, với đề tài Sử dụng hàm

H vào th ống kê nhiều chiều và ứng dụng Chúng tôi muốn trình bày một cách chi tiết về

một phần lý thuyết của hàm H và một số ứng dụng của hàm H vào trong thống kê, trong

đó bao gồm thống kê Wilks và bài toán tìm hàm mật độ của một số kiểm định giả thuyết trong thống kê nhiều chiều

N ội dung của luận văn bao gồm 4 chương:

Chương 1 là một số kiến thức liên quan về hàm Gamma, phép biến đổi Mellin và

những kiến thức cơ bản của thống kê nhiều chiều

ii

Chương 2 là lý thuyết về hàm H, trong đó chúng tôi chứng minh sự tồn tại của hàm H dựa vào những điều kiện cho trước Đặt biệt trong chương này sẽ chứng minh định lý về phân phối của tích và tỉ số các phân phối độc lập có hàm mật độ dạng hàm H Đây có thể xem là nền tảng cho các ứng dụng của hàm H vào trong thống kê

Chương 3, chúng tôi định nghĩa thống kê Wilks một cách tổng quát dựa vào một

loại phân phối thuộc dạng hàm H Đây chính là định nghĩa thống kê Wilks suy rộng của GS.Phạm Gia Thụ Cũng như tính toán tích và tỉ số các thống kê Wilks suy rộng độc lập trên quan điểm phân phối dạng hàm H Trường hợp lũy thừa của thống kê Wilks cũng được xem xét một cách tỉ mỉ để ứng dụng cho chương sau

Chương 4 là phần ứng dụng tổng hợp của các chương 2 và 3 vào bài toán tìm hàm

mật độ của nhiều bài toán kiểm định Nhiều kết quả trong chương này là kết quả tương đối mới, được công bố trong các bài báo của GS Phạm Gia Thụ năm 2008 và 2009

iii

L ỜI CÁM ƠN

Tôi xin chân thành cám ơn sự hướng dẫn nhi ệt tình và tận tụy của GS.TS Đặng Đức

Tr ọng Tôi vô cùng biết ơn những lời khuyên và

l ời dạy bảo của những người Thầy của tôi trong quá trình h ọc tập

Tôi xin chân thành cám ơn sự chỉ dạy

c ủa các Thầy trong khoa Toán – Tin, đại học

Sư Phạm TP.HCM Cuối cùng, tôi xin vô cùng cám ơn gia đình và những người thân đã tạo

m ọi điều kiện tốt cho quá trình học tập của tôi trong 2 năm qua

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương 1 trình bày một số kiến thức có liên quan đến luận văn, trong đó một

phần về kiến thức giải tích bao gồm hàm Gamma, phép biến đổi Mellin Phần còn lại

là các kiến thức về thống kê nhiều chiều mà trọng tâm là phân phối chuẩn của vector

và những kết quả về ước lượng tham số trong thống kê nhiều chiều Những định nghĩa, tính chất, định lý,… của chương này sẽ được sử dụng trong các chương sau

v) Công th ức tính thặng dư của 𝛤(𝑠) tại các cực điểm

𝛤(𝑠)có các cực điểm (đơn) tại 𝑠 = 0, −1, −2, −3, …,

𝑅𝑒𝑠

𝑠=−𝑘𝛤(𝑧) = 𝑙𝑖𝑚

𝑠→−𝑘(𝑠 + 𝑘)𝛤(𝑠) =(−1)𝑘! 𝑘 , 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …,

vi) Công th ức tiệm cận tại ∞ của hàm Gamma (công thức Stirling)

𝑙𝑛𝛤(𝑠) = �𝑠 −12� 𝑙𝑛𝑠 − 𝑠 +12𝑙𝑛2𝜋 + 𝑂(𝑠−1) ; |𝑎𝑟𝑔𝑠| < 𝜋, |𝑠| → ∞

(1.2)

Với kí hiệu Landau O được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.3 Ta nói 𝑓(𝑠) = 𝑂�𝑔(𝑠)�, 𝑠 → 𝑠0 nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho

khi tích phân vế phải tồn tại

S ự tồn tại của tích phân (1.3), xem [8]

Nếu

f(x) = �O(x−a−ε), x → 0+

O�x−b+ε�, x → ∞trong đó ε > 0, a < b, thì (1.3) hội tụ tuyệt đối khi a < Re(s) < b

Miền a < Re(s) < b được gọi là dải giải tích của 𝑀[𝑓; 𝑠]

Định nghĩa 1.5 Cho phép biến đổi Mellin M[f; s] trên dải giải tích a < Re(s) < b

,

khi đó 𝑥𝑘ℎ(𝑥) ∈ 𝐿1(0, ∞) và 𝑀[ℎ; 𝑠] = 𝑀[𝑓; 𝑠]𝑀[𝑔; 𝑠], với 𝑅𝑒(𝑠) = 𝑘 + 1

1.3 Th ống kê nhiều chiều

1.3.1 Phân ph ối nhiều chiều

Định nghĩa 1.8 Vector ngẫu nhiên và kì vọng của vector ngẫu nhiên

Vector ng ẫu nhiên ( random vector) p chiều là ma trận cấp p × 1 có các phần

tử là các biến ngẫu nhiên

Cho vector ngẫu nhiên X = (X1, X2, … , Xp)T khi đó kì vọng (expectation)

của X ( nếu có), kí hiệu E(X) được định nghĩa như sau

E(X) = �E(X1), E(X2), … , E(Xp)�T

Vậy kì vọng của vector ngẫu nhiên p chiều là một vector ( không ngẫu nhiên) p chiều

Định nghĩa 1.9 Ma trận hiệp phương sai ( covariance matrix) của vector ngẫu nhiên

X = (X1, X2, … , Xp)T, kí hiệu cov(X), là ma trận cấp p × p có phần tử thứ (j, k)

là cov�Xj, Xk� = E��Xj− E�Xj��[Xk− E(Xk)]�

Như vậy ta có cov(X) = �cov�Xj, Xk��

j,k Từ định nghĩa ta thấy 𝑐𝑜𝑣(𝑋) là ma trận

đối xứng, hơn nữa là ma trận nửa xác định dương

Định nghĩa 1.10 Cho vector ngẫu nhiên X = (X1, X2, … , Xp)T và vector ngẫu nhiên

Y = (Y1, Y2, … , Yq)T Ma tr ận hiệp phương sai của X và Y là ma trận cấp p × q, có

phần tử thứ (j, k) là cov�Xj, Yk� = E��Xj − E�Xj��[Yk− E(Yk)]�, hay cov(X, Y) =

�cov�Xj, Yk��

j,k Từ định nghĩa suy ra 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = [𝑐𝑜𝑣(𝑌, 𝑋)]𝑇

Định nghĩa 1.11 Hàm phân phối tích lũy ( cumulative distribution function) của

vector ngẫu nhiên X = (X1, X2, … , Xp)T là hàm p biến thực FXđịnh bởi

FX�x1, x2, … , xp� = P ��[Xj ≤ xj]

p j=1

� , �x1, x2, … , xp� ∈ ℝp

Với P(A) là độ đo xác suất của tập A

Hàm phân phối tích lũy của X viết tắt là cdf của X

Nếu FX là hàm liên tục tuyệt đối trên ℝp khi đó tồn tại hàm fX�u1, u2, … , up� ≥

Hàm fX được gọi là hàm mật độ xác suất đồng thời hay gọi tắt là hàm mật độ xác suất

(probability density function) của X

Ta có ∫ fℝp Xdu = 1 Hàm mật độ xác suất của X viết tắt là pdf của 𝑋

Định nghĩa 1.12 Phân phối biên ( marginal distribution) và sự độc lập

Cho vector ngẫu nhiên X = (X1, X2, … , Xp)T, FX, fX tương ứng là cdf và pdf của

X Phân phối của vector X(1) = (X1, X2, … , Xr)T, (r < 𝑝) được gọi là phân phối biên

X(1) của X hay phân phối biên X(1)

Hàm số FX(1) định bởi

FX(1)(x1, … , xr) = P(X1 ≤ x1, … , Xr ≤ xr)

gọi là hàm mật độ biên hay pdf biên X(1)

X được gọi là có các thành phần phân phối độc lập từng đôi (mutually

Định nghĩa 1.13 Ma trận ngẫu nhiên và kì vọng của ma trận ngẫu nhiên

Ma tr ận ngẫu nhiên cấp k × m là ma trận cấp k × m có các phần tử là các biến

ngẫu nhiên

Cho ma trận ngẫu nhiên X = �x11⋮ ⋯ x⋱ 1m⋮

xk1 ⋯ xkm

� khi đó kì vọng của X (nếu có),

kí hiệu E(X) được định nghĩa như sau

E(X) = �E(x⋮11) ⋯ E(x⋱ ⋮1m)

E(xk1) ⋯ E(xkm)�

Vậy kì vọng của ma trận ngẫu nhiên k × m chiều là một ma trận (không ngẫu nhiên)

k × m chiều

1.3.2 Phân ph ối chuẩn nhiều chiều (Multivariate Normal Distribution)

Định nghĩa 1.14 Cho 𝜇 ∈ ℝp, Σ là ma trận xác định dương cấp p Vector ngẫu nhiên

X – p chiều được gọi là phân phối chuẩn 𝑝 chiều, kí hiệu X~Np(µ, Σ), nếu X có hàm

iii) Cho 𝑋~𝑁𝑝(𝜇, 𝛴), khi đó mọi phân phối biên s chiều của X là phân phối

chu ẩn s chiều với 𝑠 < 𝑝,

iv) Cho 𝑋~𝑁𝑝(𝜇, 𝛴), với 𝑋, 𝜇, 𝛴 được chia thành các khối

� 𝛼𝑗𝑋𝑗 𝑁 𝑗=1

~𝑁𝑝�� 𝛼𝑗𝜇𝑗

𝑁 𝑗=1

, � 𝛼𝑗2𝛴𝑗 𝑁

𝑗=1

�,

vi) N ếu 𝑋𝑗~𝑁𝑝(𝜇, 𝛴), 𝑗 = 1, , 𝑁 và 𝑋1, 𝑋2, , 𝑋𝑁 là độc lập, thì

𝑋� =𝑁1� 𝑋𝑗

𝑁 𝑗=1

v ới 𝑋(1), 𝜇(1)có c ấp 𝑠 × 1, 𝛴11có c ấp 𝑠 × 𝑠 Khi đó phân phối của 𝑋(1) khi 𝑋(2) =

𝑥(2) cũng là phân phối chuẩn với kì vọng 𝐸�𝑋(1)� = 𝜇(1)+ 𝛴12𝛴22−1�𝑥(2)− 𝜇(2)� và

ma tr ận hiệp phương sai 𝐶𝑜𝑣�𝑋(1)� = 𝛴11− 𝛴12𝛴22−1𝛴21

1.3.3.Phân phối Wishart

Định nghĩa 1.16 Ma trận phân phối Wishart

Cho n vector phân phối độc lập X1, X2, , Xn và Xj~Np(0, Σ), j = 1, , n Đặt A = ∑ Xn jXjT

j=1 , khi đó ta nói A có phân phối Wishart với bậc tự do n và ma

trận hiệp phương sai Σ

Trường hợp n < 𝑝 thì A không có hàm mật độ

~𝑊𝑝�� 𝑛𝑗

𝑘 𝑗=1

,

t rong đó 𝑈𝑘~𝐵𝑒𝑡𝑎 �𝑛+𝑞−𝑝+1−𝑘2 ,𝑝2� và 𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑞 là độc lập

1.3.4 Ước lượng tham số

N ội dung cơ bản của bài toán ước lượng tham số

Mỗi phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X xác định một số hằng số đặc trưng như kì vọng, hiệp phương sai…Ngược lại, nếu ta biết loại phân phối của đặc tính X và một số tham số của nó ta có thể tìm được phân phối của X Chẳng hạn,

nếu ta biết X thuộc loại phân phối chuẩn, biết E(X), cov(X) thì phân phối của X hoàn toàn xác định

Như vậy từ mẫu quan sát (x1, x2, … , xn) của một đặc tính X mà ta chưa biết phân phối F(x), tuy nhiên ta biết loại phân phối của X phụ thuộc vào các tham số

θ1, θ2, … , θk Ta có thể tìm các giá trị θ�1, θ�2, … , θ�k gần đúng của θ1, θ2, … , θk rồi xác định F(x, θ�1, θ�2, … , θ�k) thay cho F(x, θ1, θ2, … , θk)

Định nghĩa 1.18

Giả sử đặc tính X có phân phối chưa biết phụ thuộc vào tham số θ thuộc không

gian các tham s ố Θ (tập các tham số 𝜃 mà X phụ thuộc) , X có hàm mật độ f(x, θ), θ có

thể dạng vector (θ1, θ2, … , θk) (x1, x2, … , xn) là mẫu quan sát của X, τ(θ) là một hàm nào đó của θ Hàm đo được T(x1, x2, … , xn) không phụ thuộc vào θ được gọi là một

hàm ước lượng (estimator) của τ(θ), hay gọi tắt là ước lượng của τ(θ)

Một ước lượng T(x1, x2, … , xn) của τ(θ) được gọi là không chệch (unbiased

estimation) hay vững nếu E(T(x1, x2, … , xn))= τ(θ)

1.3.4.1 Phương pháp ước lượng hợp lí cực đại ( maximal likelihood)

Phân phối thực nghiệm là một ước lượng phân phối của X Nhưng phân phối

thực nghiệm luôn là phân phối rời rạc và có thể không thỏa mãn một số tính chất mà X

thỏa mãn, tức là không nằm trong họ các phân phối mà X rơi vào, ví dụ họ các phân

phối chuẩn…Một trong những phương pháp phổ biến nhất để ước lượng phân phối

xác suất của X bằng một phân phối xác suất trong một họ nào đó là phương pháp hợp

lí cực đại Ý tưởng của phương pháp này là: Những gì quan sát được trong thực

nghi ệm thì phải dễ xảy ra hơn không thấy, tức là xác suất xảy ra phải lớn hơn những

gì không th ấy

Phương pháp này được Ronald Fisher (1890 – 1962) đề nghị

N ội dung cơ bản của phương pháp

Giả sử (x1, x2, … , xn) là mẫu quan sát độc lập của X có phân phối phụ thuộc vào các tham số θ1, θ2, … , θk (x1, x2, … , xn) có hàm mật độ đồng thời f(x1, x2, … , xn, θ1, θ2, … , θk)

Đặt L(x1, x2, … , xn, θ1, θ2, … , θk) = f(x1, x2, … , xn, θ1, θ2, … , θk), ta viết gọn là L(θ) = f(x, θ), trong đó ta xem các x1, x2, … , xn là cố định còn θ1, θ2, … , θk là các biến

của L(θ) Hàm L(x, θ) được gọi là hàm hợp lí

Giá trị θ� = (θ�1, θ�2, … , θ�k) làm hàm hợp lí đạt cực đại gọi là ước lượng hợp lí

c ực đại của θ = (θ1, θ2, … , θk)

1.3.4.2.Các ước lượng cơ bản đối với mẫu là vector phân phối chuẩn

a) Cho X ∼ Np(μ, Σ) Và x1, x2, … , xN là các giá trị quan sát thực nghiệm độc

lập của X, với N > 𝑝 Trong đó μ, Σ là chưa biết, ta ước lượng μ, Σ bằng phương pháp hợp lí cực đại

exp [−12�xj− µ�TΣ−1�xj− µ�]

�

Do L > 0 nên ta lấy logarit 2 vế

ln(L) = −12pNln(2π) −12N ln(|Σ|) −12��xj− µ�TΣ−1�xj − µ�

N j=1

x� được gọi là trung bình mẫu và N1A gọi là hiệp phương sai mẫu

Trước khi tính cực đại của ln(L), ta xét các bổ đề sau

B ổ đề 1.19

Cho 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁 là N vector có 𝑝 thành phần, 𝑥̅ định nghĩa như trên, khi đó

v ới mọi vector 𝑏 có 𝑝 thành phần ta có

��𝑥𝑗 − 𝑏�(𝑥𝑗 − 𝑏)𝑇

𝑁

𝑗=1

= ��𝑥𝑗 − 𝑥̅�(𝑥𝑗 − 𝑥̅)𝑇 𝑁

(2 bổ đề 1.19 và 1.20 được chứng minh trong [1, tr.68-69].)

Với

µ∗= x� = N1� xj

N j=1

b) Cho x1, x2, … , xN là các giá trị quan sát thực nghiệm độc lập, với xj ∼

Np�𝒟zj, Σ�, j = 1, … , N Trong đó zj là vector cho trước có q thành phần, 𝒟

là ma trận cấp p × q, cả Σ, 𝒟 là chưa biết, giả sử N ≥ p + q và rank(z1, z2, … , zN) = q

Ta ước lượng Σ, 𝒟 bằng phương pháp hợp lí cực đại

Hàm hợp lí là

(2π)12pN|Σ|12Nexp[−12��xj− 𝒟zj�TΣ−1�xj − 𝒟zj�

N j=1

�

−1

𝑁 𝑗=1

Khi đó với mọi 𝐹 là ma trận cấp 𝑝 × 𝑞 ta có

��𝑥𝑗 − 𝐹𝑧𝑗��𝑥𝑗− 𝐹𝑧𝑗�𝑇

𝑁 𝑗=1

= ��𝑥𝑗 − 𝐵𝑧𝑗��𝑥𝑗 − 𝐵𝑧𝑗�𝑇

𝑁 𝑗=1

+(𝐵 − 𝐹) � 𝑧𝑗𝑧𝑗𝑇

𝑁 𝑗=1

�

≤ 12pNln(N) −12Nln ����xj− 𝒟zj��xj − 𝒟zj�T

N j=1

�� −12pN,

dấu “=” xảy ra khi

Σ =N1��xj − 𝒟zj��xj− 𝒟zj�T

N j=1

=N1��xj − Bzj��xj− Bzj�T

N j=1

�

−1 N

Lý thuyết xây dựng bài toán kiểm định bằng phương pháp sử dụng tỉ số hợp lí

đã được phát triển bởi Neyman và Pearson (1928) Xem [3],[12]

B ổ đề 1.23

N ếu giả thuyết 𝐻1 suy ra r ằng đại lượng ngẫu nhiên 𝑋 lấy giá trị 𝑥 với xác

su ất 𝑓1(𝑥), trong khi giả thuyết 𝐻2 suy ra 𝑋 lấy giá trị 𝑥 với xác suất 𝑓2(𝑥) Khi đó

quan sát 𝑋 = 𝑥 cho ta thông tin để kết luận về giả thuyết 𝐻1đúng là nhiều hơn giả thuy ết 𝐻2đúng nếu 𝑓1(𝑥) > 𝑓2(𝑥) Và tỉ số 𝑓1 (𝑥)

𝑓 2 (𝑥)được dùng để đo mức độ mạnh của

k ết luận trên

Định nghĩa 1.24

Giả sử X là đại lượng có hàm mật độ fX(x, θ) với tham số θ thuộc không gian các tham số Θ, trong đó Θ = Θ0⋃Θ0c và Θ0 là tập con khác rỗng của Θ.Và

(x1, x2, … , xn) là mẫu quan sát của X Khi đó tỉ số

λ = maxθ∈Θ0L(x, θ)max

Cho 𝑦 là mẫu quan sát của đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ 𝑓(𝑥, 𝜃), với 𝜃

là tham s ố thuộc không gian các tham số 𝛩 Cho 𝐻𝑎 là gi ả thuyết 𝜃 ∈ 𝛩𝑎 ⊂ 𝛩, cho 𝐻𝑏

là gi ả thuyết 𝜃 ∈ 𝛩𝑏 𝑣ớ𝑖 𝛩𝑏 ⊂ 𝛩𝑎 cho bởi 𝜃 ∈ 𝛩𝑎, và 𝐻𝑎𝑏 là gi ả thuyết 𝜃 ∈ 𝛩𝑏 cho

b ởi 𝜃 ∈ 𝛩 Nếu 𝜆𝑎 là tiêu chu ẩn hợp lí cho kiểm định 𝐻𝑎, 𝜆𝑏 cho ki ểm định 𝐻𝑏, 𝜆𝑎𝑏

cho ki ểm định 𝐻𝑎𝑏, các tiêu chu ẩn xác định duy nhất với mẫu quan sát 𝑦, khi đó

𝜆𝑎𝑏 = 𝜆𝑎𝜆𝑏

Chương 2: LÝ THUYẾT HÀM H

Nội dung chương 2 là trình bày định nghĩa về hàm H, sự tồn tại và một vài tính

chất cơ bản của hàm H Phần cuối chương là 2 định lý quan trọng ( định lý 2.8 và 2.9 )

về tích và tỉ số các thống kê có phân phối dạng hàm H, 2 định lý này là nền tảng cơ

bản cho chương 3 và chương 4

Hàm H được định nghĩa bằng tích phân đường với biểu thức lấy tích phân là tích và tỉ số của các hàm Gamma Nó được xem là hàm tổng quát của rất nhiều hàm

đặc biệt, chẳng hạn như hàm Meijer – G hay hàm siêu bội suy rộng (Generalized Hypergeometric Function), hàm Psi 𝜓(𝑥), hàm Zeta 𝜁(𝑥), đa thức Legendre 𝑃𝑛(𝑥),

đa thức Chebyshev 𝑇𝑛(𝑥), đa thức Hermite 𝐻𝑛(𝑥), ……

j = 1, … , m nằm về bên trái của L, các cực điểm của Γ(1 − ak − αks), k = 1, , n nằm

về bên phải của L, và L là một trong các trường hợp sau

i) L = L−∞ là đường bắt đầu ở −∞ + iφ1 và kết thúc ở −∞ + iφ2 với

Ch ứng minh bổ đề

Sử dụng công thức tiệm cận Stirling của hàm gamma tại ∞

ln Γ(s) = �s −12� lns − s +12ln2π + Ο �1s� , khi|s| → ∞, |args| < 𝜋

= ��Reα + βRcosθ −12� lnβR − (Imα + βRsinθ)θ − βRcosθ�

+i �(Imα + βRsinθ)lnβR + �Reα + βRcosθ −12� θ − βRsinθ�,

ln|Γ(α + βs)| = βRcosθlnβR − βR(θsinθ + cosθ) + �Reα −12� lnβR + O(1), khi

vớis1 = t1+ iφ1; s2 = t2+ iφ2; t1,t2 ∈ ℝ Để xét sự hội tụ của các tích phân vế phải

ta chỉ cần xét sự hội của tích phân có dạng

� |h(s)x−s|ds

∞+iφ

t0+iφ

trong đó đường lấy tích phân t0+ iφ → ∞ + iφ là đường cùng phương với trục Ox

Bây giờ ta thực hiện phép đổi biến s = t + iφ

��h(t + iφ)x−t−iφ�dt

∞

t0

Các a∗, ∆, µ, δ trong (2.3), (2.4),(2.5),(2.6) đối với

h(t + iφ) = ∏ Γ�bm j+ iφβj + βjt�

k=1

∏pk=n+1Γ(ak+ iφαk+ αkt)∏qj=m+1Γ�1 − bj− iφβj−βjt�

là a∗0, ∆0, µ0, δ0 được tính lại như sau

+ � βj

m j=1

− � βj

q j=m+1

� +p − q2 + iφ �� βj

q j=1

− � αk p k=1

�,

Re(µ0) = Re �� bj

q j=1

− � ak

p k=1

ln|Γ(α + βt)| = βtlnβt − βt + �Reα −12� lnt + O(1), khi t → ∞,

ln|Γ(α − βt)| = −βtlnβt + βt + �Reα −12� lnt + O(1), khi t → ∞

− � (αktlnαkt − αkt)

p i=n+1

− � �−βjtlnβjt + βjt�

q j=m+1

+ �� Re�bj�

q j=1

− � Re(αk)

p k=1

+p − q2 � lnt + Ο(1)

= ln ��(αk)−αk

p k=1

��βj�βj

q j=1

|h(t)x−t| ≤ exp(N + [∆tlnt − ∆t + Re(µ)lnt]) �|x|�δ t

Khi ∆< 𝟎, 𝒙 ≠ 𝟎

Tích phân ∫ exp(N + [∆tlnt − ∆t + Re(µ)lnt]) �t∞0 |x|δ�tdt hội tụ, do đó

Sử dụng (2.15),(2.16) ta có ước lượng khi t → ∞

ln|Γ(α + βit)| = −βπ2 t +�Reα −12� lnt + O(1),

− �π

2αkt

n k=1

2αkt

p k=n+1

2βjt

q j=m+1

+ � �Re�bj� + γβj−12� lnt

m j=1

+ � �Re(1 − ak) − γαk−12� lnt

n k=1

− � �Re(ak) + γαk −12� lnt

p k=n+1

− � �Re�1 − bj� − γβj −12� lnt

q

j=m+1

+ O(1) = −π2a∗t + [Re(µ) + γ∆]lnt + Ο(1)

Tương tự

ln|h(γ + it)| = −π2a∗t + [Re(µ) + γ∆]lnt + Ο(1) , khi t → ∞,

ln�x−γ−it� = argx t + O(1) khi t → ∞,

ln�x−γ+it� = −argx t + O(1) khi t → ∞

Vậy khi t → ∞ ta có

ln�h(γ − it)x−γ+it� = �argx −π2a∗� t + [Re(µ) + γ∆]lnt + Ο(1),

ln�h(γ + it)x−γ−it� = �−argx −π

2a∗� t + [Re(µ) + γ∆]lnt + Ο(1)

Tồn tại P1 > 0, P2 > 0 sao cho khi t → ∞ ta có

� �ln�h(γ − it)x

−γ+it� − �argx −π2a∗� t − [Re(µ) + γ∆]lnt� ≤ P1,

�ln�h(γ + it)x−γ−it� − �−argx −π2a∗� t − [Re(µ) + γ∆]lnt� ≤ P2

Ta suy ra

� �h(γ − it)x

−γ+it� ≤ exp ��argx −π2a∗� t + P1� t[Re(µ)+γ∆],

�h(γ + it)x−γ−it� ≤ exp ��−argx −π2a∗� t + P2� t[Re(µ)+γ∆]

q, βq)� tồn tại khi ít nhất một điều kiện của định lý được thỏa Nhưng

nếu như có nhiều hơn một điều kiện được thỏa thì liệu khi tính tích phân bên vế phải

của định nghĩa 2.1 bằng nhiều cách khác nhau (theo những điều kiện được thỏa) thì

kết quả có như nhau không ? Câu trả lời là có

Định lý 2.4 Sự duy nhất của định nghĩa 2.1

N ếu có nhiều hơn một điều kiện trong các điều kiện (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), (2.11), (2.12), (2.13), (2.14 ) được thỏa, thì giá trị của 𝐻𝑚 𝑛𝑝 𝑞 �𝑥 �(𝑎(𝑏𝑝, 𝛼𝑝)

𝑞, 𝛽𝑞)� là xác

định duy nhất đối với mỗi 𝑥, 𝑎𝑟𝑔𝑥 cho trước thỏa (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), (2.11), (2.12), (2.13), (2.14)

Ch ứng minh

Xét trường hợp tích phân tồn tại cả trên 𝐋 = 𝐋−∞; 𝐋 = 𝐋𝐢𝛄∞

Trước tiên tính tích phân trên 𝐋 = 𝐋−∞

Ta chia L−∞=L−∞φ1A ∪ (AB) ∪ BL−∞φ2 ; A(tv, iφ1), B(tv, iφ2) ∈ L−∞ với

L−∞φ1A là nhánh của L−∞ xuất phát từ −∞ + iφ1 đến A, BL−∞φ2 là nhánh của L−∞

xuất phát từ B đến −∞ + iφ1, (AB) là phần còn lại xuất phát từ A đến B Ta chọn tv

sao cho trong miền giới hạn bởi đoạn AB và (AB) có đúng vj > 1 cực điểm của Γ�bj+ βjs�, j = 1 … m

�h(s)x−s, s = −bjβ+ r

j �

Khi tv→ −∞ ta có

12πi � h(s)

− � (αktvln|αktv| − αitv)

p k=n+1

− � �−βjtvln|βjtv| + βjtv�

q j=m+1

+ �� Re�bj�

q j=1

− � Re(ak)

p k=1

+p − q2 � ln|tv| + Ο(1), tv → −∞

� tv+ ∆tvln|tv| − ∆tv+ Re(µ)ln|tv| − tvln|x|

+ Ο(1), tv → −∞

= ln �|x|� tδ v+ ∆tvln|tv| − ∆tv+ Re(µ)ln|tv| + Ο(1), tv → −∞

Do đó, tồn tại M > 0 sao cho

�ln�h(tv+ iy)x−(tv+iy)� − �ln �|x|� tδ v+ ∆tvln|tv| − ∆tv+ Re(µ)ln|tv|�� ≤ M Suy ra

�h(tv+ iy)x−(t v +iy)� ≤ exp �ln �|x|� tδ v+ ∆tvln|tv| − ∆tv+ Re(µ)ln|tv| + M�

Ta lại có

lim

tv→−∞exp �ln �|x|� tδ v+ ∆tvln|tv| − ∆tv+ Re(µ)ln|tv| + M� = 0

( do một trong các điều kiện (2.10), (2.11), (2.12) được thỏa)

Vậy limtv→−∞�h(tv+ iy)x−(t v +iy)� = 0

Suy ra

I t�⎯⎯⎯� 0 v→−∞

Kết quả

12πi � h(s)

L−∞

x−sds = � � Res �h(s)x−s, s = −bjβ+ r

j �

∞ r=0

m j=1

�h(s)x−s, s = −bjβ+ r

j �

Khi Rv → ∞ ta có

12πi � h(s)

Lại sử dụng (2.15), (2.16) ta có ước lượng

ln�Γ�α + βγ + βRveiθ�� = βRvcosθlnβRv− βRv(θsinθ + cosθ) +

+ �Re(α + βγ) −12� lnRv+ O(1), khi Rv → ∞, ln�Γ�α − βγ − βRveiθ�� = −βRvcosθlnβRv+ βRv(θsinθ − π|sinθ| + cosθ) + + �Re(α − βγ) −12� lnRv+ O(1) , khi Rv → ∞

− � βj q j=m+1

� π|sinθ|� Rv

+ [Re(µ) + ∆γ]lnRv+ O(1), khi Rv → ∞

Do đó, tồn tại K > 0 sao cho

�h�γ + Rveiθ�x−γ−Rveiθ� ≤ exp[k(θ) + K], k(θ) = ∆cosθRvlnRv+ ln �|x|� cosθRδ v

+ �−(θsinθ + cosθ)∆ + sinθargx − �� αk

n k=1

− � βj

q j=m+1

� π|sinθ|� Rv +[Re(µ) + ∆γ]lnRv

N ếu ∆ > 𝟎, 𝐱 ≠ 𝟎 Do cosθ < 0, ∀θ ∈ (π2,3π2) nên

+ � βj

m j=1

− � βj

q j=m+1

Do ( dùng khảo sát hàm số ta được kết quả)

Liγ∞

x−sds = � � Res

∞ r=0

m j=1

m j=1