sử dụng bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình của hàm chỉnh hình theo từng biến

HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH TRÍ SỬ DỤNG BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN MINH TRÍ

SỬ DỤNG BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH

ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM

CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS: NGUYỄN THÁI SƠN

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011

LỜI CẢM ƠN

Tôi vô cùng biết ơn Tiến sĩ NGUYỄN THÁI SƠN đã định hướng tôi trong việc nghiên cứu luận văn này, một vấn đề đang được quan tâm do những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vức của Toán học; thầy là người trực tiếp hướng dẫn tôi trong việc thực hiện luận văn này

Tôi gửi lời tri ân đến các thầy cô giáo trong khoa Toán- Tin đã hướng dẫn tôi nghiên cứu Toán học trong những năm học tại trường Đại Học Sư Phạm TPHCM Đồng thời tôi cũng gởi lời tri ân đến gia đình và bạn bè đã hiểu, chia sẻ và động viên tôi trong quá trình thực hiện đề tài

Nguyễn Minh Trí

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

DANH MỤC KÍ HIỆU 7

LỜI NÓI ĐẦU i

1 Lý do chọn đề tài: i

2 Mục đích nghiên cứu: i

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: i

4 Phương pháp nghiên cứu: ii

5 Cấu trúc luận văn: 4 chương: ii

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ VÀ GIẢI TÍCH HÀM 1

1.1 Không gian vectơ tôpô 1

1.1.1 Định nghĩa 1

1.1.2 Tính chất 1

1.1.3 Mệnh đề 2

1.1.4 Hệ quả 2

1.1.5 Tập bị chặn và hoàn toàn bị chặn 3

1.2 Không gian lồi địa phương 3

1.2.1 Định nghĩa 3

1.2.2 Bổ đề 3

1.2.3 Bổ đề 4

1.2.4 Hệ cơ bản các lân cận và các nửa chuẩn 4

1.2.5 Định lý 4

1.2.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục 5

1.3 Đối ngẫu của không gian lồi địa phương 6

1.3.1 Không gian đối ngẫu 6

1.3.2 Hệ đối ngẫu 6

1.3.3 Ánh xạ đối ngẫu 7

1.3.4 Không gian phản xạ và không gian thùng 8

1.4 Tôpô xạ ảnh và tôpô quy nạp 8

1.4.1 Tôpô xạ ảnh 9

1.4.2 Tôpô qui nạp Giới hạn quy nạp 9

1.4.3 Không gian chặn nội và siêu chặn nội 10

1.5 Không gian Fretchet và DF- không gian 10

1.5.1 Hệ cơ bản tăng các nửa chuẩn 10

1.5.2 Không gian Frechet 11

1.5.3 DF- Không gian 11

1.6 Định lý Baire 11

Chương 2: CÁC KIẾN THỨC VỀ HÀM CHỈNH HÌNH 12

2.1 Hàm chỉnh hình 12

2.1.1 Hình cầu và đa dĩa 12

2.1.2 Chuỗi hội tụ và hàm chỉnh hình 13

2.1.3 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình 14

2.1.4 Hàm chỉnh hình theo từng biến 17

2.1.5 Hàm đa điều hòa dưới 19

2.1.6 Thác triển chỉnh hình 20

2.1.7 Miền chỉnh hình và lồi chỉnh hình 21

2.1.8 Hàm vét cạn và miền giả lồi 22

2.2 Tập giải tích: 22

2.2.1 Tập con giải tích 22

2.2.2 Thành phần bất khả quy 23

2.2.3 Quỹ tích kì dị 24

2.3 Các khái niệm trong đa tạp phức 25

2.3.1 Hàm chỉnh hình 25

2.3.2 Vành các mầm hàm 25

2.3.3 Mặt Riemann 25

2.3.4 Tập con giải tích và siêu mặt giải tích 25

2.4 Phủ giải tích nhánh 26

2.4.1 Ánh xạ riêng 26

2.4.2 Ánh xạ hữu hạn 26

2.4.3 Phủ giải tích nhánh 26

2.5 Lý thuyết Stein 26

2.5.1 Đa tạp Stein 27

2.5.2 Mệnh đề 27

2.5.3 Mệnh đề 28

2.5.4 Tập đa cực 28

2.5.5 Bó giải tích coherent trên đa tạp Stein 29

2.5.6 Nhóm đối đồng điều với giá trị trong một bó 31

2.6 Không gian giải tích 32

2.6.1 Không gian vành 32

2.6.2 Không gian giải tích 32

2.7 Điểm chuẩn tắc của không gian giải tích và không gian chuẩn tắc 32

2.8 Chuẩn tắc hóa 32

Chương 3: CÁC BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH 34

3.1 Không gian chuỗi lũy thừa 34

3.2 Không gian có tính chất (DN) 35

3.2.1 Định nghĩa 35

3.2.2 Bổ đề: 36

3.2.3 Bổ đề 37

3.3 Không gian có tính chất ( )Ω 38

3.3.1 Định nghĩa 38

3.3.2 Bổ đề 38

3.4 Một số bất biến tôpô tuyến tính khác 39

Chương 4: CÁC KẾT QUẢ VỀ TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN 40

4.1 Định lý 41

4.2 Bổ đề 41

4.3 Bổ đề 44

4.4 Bổ đề 45

KẾT LUẬN 48

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 49

DANH MỤC KÍ HIỆU

U : cơ sở lân cận của 0 ∈E

'

(z z)n: tích vô hướng chuẩn tắc trong n

LỜI NÓI ĐẦU

Vào những năm 80 của thế kỉ trước, D.Vogt đã đưa ra và có nhiều kết quả nghiên cứu về các bất biến tôpô tuyến tính Các bất biến này mở ra nhiếu ứng dụng cho giải tích phức Một trong những ứng dụng của chúng là nghiên cứu tính chỉnh hình của các ánh xạ chỉnh hình theo từng biến, một bài toán nổi tiếng được đặt ra vào năm 1906 bởi Hartogs Bài toán này

đã được nghiên cứu từ lâu và đã có nhiều kết quả quan trọng

1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành hình học có nhiều nội dung đề cập đến hình học giải tích phức trong đó chủ yếu nói về các đa tạp phức Ta biết rằng một hàm

hình theo từng biến thì chưa chắc là hàm chỉnh hình Và với điều kiện nào thì một hàm

điều kiện cần và đủ về các không gian để các hàm chỉnh hình theo từng biến thì chỉnh

nghiên cứu các kết quả này là các kiến thức về tôpô đại cương và giải tích hàm có liên

hệ mật thiết với hình học giải tích phức Do đó tôi chọn đề tài này để củng cố kiến thức của mình và bước đầu tìm hiểu về hình học giải tích phức hiện đại như hình học

phát triển của giải tích phức

2 Mục đích nghiên cứu:

Tương tự như lý do chọn đề tài tức là tìm hiểu các điều kiện cần và đủ về các không gian

để các hàm chỉnh hình theo từng biến thì chỉnh hình

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

1 Định nghĩa các không gian có tính chất DN, ,Ω LB∞

những hàm chỉnh hình theo từng biến

4 Phương pháp nghiên cứu:

Tiếp cận các kiến thức hiện đại về tôpô, giải tích hàm, giải tích phức để nghiên cứu các không gian DN, , Ω

5 Cấu trúc luận văn: 4 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ bản về tôpô và giải tích hàm

Chương 2: Các kiến thức về hàm chỉnh hình

Chương 3: Các bất biến tôpô tuyến tính

Chương 4: Các kết quả về tính chỉnh hình của hàm chỉnh hình theo từng biến

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ VÀ GIẢI TÍCH HÀM

Nội dung chính của luận văn này là sử dụng các kiến thức về bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến Các kiến thức về bất biến tôpô tuyến tính là những kiến thức mới hiện đại và đang được phát triển bởi nhiều nhà khoa học trong nước và quốc tế Do đó để tiếp cận được các khái niệm này, chúng tôi bắt đầu từ những kiến thức nền tảng để xây dựng các định nghĩa, tính chất về bất biến tôpô tuyến tính Các kiến thức này liên hệ mật thiết với các kiến thức về tôpô và giải tích hàm

Do đó để thuận tiện cho việc theo dõi trong chương này chúng tôi giới thiệu các khái niệm

cơ bản về tôpô và giải tích hàm:

5 Không gian Fretchet và DF-không gian

6 Định lý Baire

1.1 Không gian vectơ tôpô

1.1.1 Định nghĩa

liên tục

Ta gọi một không gian vectơ cùng một tôpô tương thích trên nó là một không gian vectơ tôpô

1.1.2 Tính chất

a) Với mọi a∈E, phép tịnh tiến xx+alà phép đồng phôi E lên E Đặc biệt, U là một cơ sở lân cận của 0 ∈E thì a+ U = {a + U : U ∈U } là cơ sở lân cận của

a∈E

b) Với mọi λ∈K,λ≠ 0, ánh xạ xλxlà phép đồng phôi E lên E Đặc biệt U là lân cận của 0 ∈E thì λ λU, ≠ 0 là lân cận của 0

Sau này lân cận của 0 được viết tắt là lân cận

với mọi λ∈K,λ ≤1 đều có λx∈A

1.1.3 Mệnh đề

a) U là tập hút

Chứng minh:

a) Mọi x∈E, ánh xạ f( )λ =λx liên tục tại λ= 0, do đó tồn tại ε > 0 sao cho λx U∈

với mọi λ∈K,λ ε≤ Chọn n sao cho 1

n <ε ta có x∈nU b) Ánh xạ g x y( , ) = +x y liên tục tại x= 0,y= 0 nên tồn tại V V1, 2∈U sao cho

1.1.5 T ập bị chặn và hoàn toàn bị chặn

tại λ∈Ksao cho A⊂λU ( ta nói U hút tập A)

1

n

i i

địa phương (trên E)

Tập A lồi và cân được gọi là tập tuyệt đối lồi

1.2.2 Bổ đề

Chứng minh:

c)⇒ b) ⇒ a) là hiển nhiên

U

1.2.3 Bổ đề

a) p liên tục nếu và chỉ nếu p liên tục tại 0 ∈E

1.2.4 Hệ cơ bản các lân cận và các nửa chuẩn

1) Mọi x∈E x, ≠ 0, tồn tại U∈U sao cho x U∉

2) Mọi lân cận V của 0 ∈E, tồn tại U∈U và ε > 0sao cho ε U ⊂ V

{ : 1}

1.2.5 Định lý

nửa chuẩn { }.α α∈Λ của E có các tính chất sau:

1) Mọi x∈E x, ≠ 0, tồn tại α∈ Λsao cho xα >0

2) Mọi α β, ∈ Λtồn tại γ ∈ Λvà C> 0 sao cho max , { α β}≤C γ

Chứng minh:

cho U ⊂V Từ đó theo bổ đề 1.2.3 {x: x U < ⊂ ⊂ 1} U V

Bây giờ giả sử { }.α α∈Λlà một hệ cơ bản các nửa chuẩn của E Giả sử x∈E x, ≠ 0, do E

Hausdorff nên tồn tại lân cận W của 0 sao cho x W∉ Chọn α∈ Λ và ε > 0 sao cho

định chuẩn

1.2.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục

Cho E và F là các không gian lồi địa phương với hệ cơ bản các nửa chuẩn ( )pα α∈A trong

E và ( )qβ β∈B trong F Khi đó những điều sau đây là tương đương với mỗi ánh xạ tuyến

3⇒ 1Nếu x o∈ E và lưới ( )xτ τ∈T hội tụ đến x o, khi đó từ 3 suy ra với mỗi β∈ , B

qβ(Hxτ −Hx o)=qβ (H x( τ −x o) )≤Cpα(xτ −x o)

Do ( )xτ τ∈T hội tụ đến x nên o limτ∈T pα(xτ −x o)= với mỗi 0 α∈ nên suy ra A

limτ∈T qβ Hxτ −Hx o = suy ra H 0 liên tục

mọi tập con bị chặn B trong E

Dễ thấy rằng nếu A liên tục thì A bị chặn địa phương

được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu A E: →F Khi đó ta viết E≅F

1.3 Đối ngẫu của không gian lồi địa phương

1.3.1 Không gian đối ngẫu

E nếu mọi x x1, 2∈E x, 1≠x2 tồn tại y∈F sao cho y x( )1 ≠ y x( 2) Ta gọi cặp (E F, )trong đó

Cho(E F, )là một hệ đối ngẫu Đồng nhất E với j E( )qua ánh xạ j E: →F*, ( )( )j x y =y x( )

( )

j E phân biệt các điểm của F Do đó (E F, )là hệ đối ngẫu thì (F E, )cũng là hệ đối ngẫu Cho (E F, ) là một hệ đối ngẫu Tôpô lồi địa phương τ trên E sao cho ( , ) 'E τ =F gọi là tôpô của hệ đối ngẫu Kí hiệu σ( , )E F là tôpô yếu nhất để mọi y∈F liên tục Tôpô đó là

Định lý Schauder: Cho E, F là các không gian Banach và A∈L (E F, )Khi đó A

compact nếu và chỉ nếu A F' : ' →E' compact

Chứng minh:

{ A U( ): ', 1} ( ( ))

M = y y∈F y ≤ ⊂C A U là bị chặn và đồng liên tục Theo định lí Ascoli, M

compact tương đối Với mọi y z, ∈F A y', '( ) = A z'( ) ta có

Đặt V ={y∈F' : y ≤ 1}, ta có ϕ(A V'( ))=M Do M compact tương đối nên A V'( )compact

Định lí: Không gian lồi địa phương E nửa phản xạ nếu và chỉ nếu mọi tập bị chặn trong E

là compact yếu tương đối

1.3.4.2 Không gian thùng

bởi tôpô trên E''

hút các tập bị chặn nếu mọi tập bị chặn B trong E, tồn tại λ> 0 sao cho B⊂λM

Không gian lồi địa phương gọi là không gian tựa thùng nếu mọi cái thùng hút các tập bị chặn là lân cận của 0 Không gian lồi địa phương gọi là không gian thùng nếu mọi cái thùng đều là lân cận của 0

Bổ đề:Nếu E là không gian tựa thùng và mọi tập tuyệt đối lồi, đóng và bị chặn của E đều

Mọi không gian tựa thùng, đầy đủ theo dãy là không gian thùng

1.4 Tôpô xạ ảnh và tôpô quy nạp

Định lý:Mọi không gian lồi địa phương E đều có tôpô xạ ảnh ứng với một hệ xạ ảnh phù hợp của các không gian Banach

Chứng minh:

{λα: E Eα α}

∈Λ

khác α là τ - liên tục với mọi α∈ Λnên tôpô trên E yếu hơn tôpô τ Vậy τ trùng với tôpô xuất phát trên E

1.4.2 Tôpô qui nạp Giới hạn quy nạp

Ta gọi một hệ quy nạp là một hệ có dạng {j E i: i →E}i I∈ , trong đó E là không gian vectơ và với mọi i∈I, E i là không gian lồi địa phương, j E i: i →Elà ánh xạ tuyến tính

i I

Cho hệ quy nạp đếm được {j n:E n →E}n∈ thỏa mãn:

1) E n là không gian con của E và j n:E n →E là phép nhúng

2) E n ⊂E n+1 và phép nhúng E n →E n+1 liên tục với mọi n∈ 

Nếu tồn tại tôpô quy nạp của hệ thì (E,τ ) gọi là giới hạn quy nạp của hệ {j n:E n →E}n∈

Ký hiệu (E,τ)=ind n→E n

Nếu 2) được thay bởi

2’) E n là không gian tôpô con của E n+1 với mọi n∈  thì giới hạn quy nạp lúc đó gọi là giới hạn quy nạp chặt

1.4.3 Không gian chặn nội và siêu chặn nội

hệ {j E i: i →E}i I∈ của các không gian định chuẩn

Không gian chặn nội còn có tên gọi là không gian bonologic hay không gian Mackey

Định lý: Mọi không gian lồi địa phương khả mêtric là không gian chặn nội Nếu E là

quy nạp của một hệ {j E i: i →E}i I∈ của các không gian Banach

Không gian Schwartz:

trong E, tồn tại lân cận tuyệt đối lồi V sao cho mọi ε > 0, tồn tại các điểm x1, ,x n∈V để

1

n

i i

=

⊂ +

Không gian Montel:

Ta gọi không gian Montel là một không gian tựa thùng, mọi tập con bị chặn đều compact tương đối

Định lý:Nếu E là không gian Montel thì E' cũng là không gian Montel

1.5 Không gian Fretchet và DF- không gian

1.5.1 Hệ cơ bản tăng các nửa chuẩn

n n∈ Bằng cách thay n bởi

1

.

j n

tính chất trên là hệ cơ bản tăng các nủa chuẩn

1.5.2 Không gian Frechet

không gian Frechet

Định lý: E là không gian Frechet, F là không gian con đóng của E thì E F/ là không gian Frechet

1.5.3 DF- Không gian

các tập bị chặn nếu mọi tập bị chặn B của E tồn tại n ∈ và λ > 0 sao cho B⊂λU n

cận tuyệt đối lồi thì V là lân cận của 0

Định lý:Nếu E là không gian lồi địa phương khả mêtric thì E' là DF- không gian đầy đủ Nếu E là DF- không gian thì E' là không gian Frechet

Hệ quả: Nếu E là không gian Frechet thì E'' là không gian Frechet và E có thể coi là không gian con đúng của E''

1.6 Định lý Baire

tôpô mêtric

Giả sử có một dãy ( )F n n≥1 các tập con đóng của X sao cho

n

X =∞= F Khi đó tồn tại số nguyên n≥ 1 sao cho Int F( )n ≠ ∅

Chương 2: CÁC KIẾN THỨC VỀ HÀM CHỈNH HÌNH

Như chương 1 chúng tôi đã trình bày, nội dung của luận văn là nghiên cứu tính chỉnh hình

của những hàm chỉnh hình theo từng biến Các kiến thức về hàm chỉnh hình đã được học

trong chương trình giải tích phức Tuy nhiên khi phối hợp với các kiến thức về giải tích hàm

để sử dụng các kiến thức về bất biến tôpô tuyến tính cần thêm nhiều kiến thức cơ bản hơn

nữa Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết các hàm chỉnh hình, các hàm chỉnh

hình theo từng biến để làm nền tảng cho các chương sau:

8 Lý thuyết Stein

9 Không gian giải tích, bó giải tích coherent trên đa tạp Stein

2.1 Hàm chỉnh hình

2.1.1 Hình cầu và đa dĩa

Định nghĩa: Chuẩn Euclide của một vectơ n

( )

:

n

z = z z = z z

Khoảng cách Euclide giữa hai vectơ z w, được cho bởi: dist(z w, ):= −z w

Một chuẩn tương đương là chuẩn sup hoặc modun của một vectơ:

hoặc bằng m) Nếu có một v với v =m và a v≠0 thì p z( )được nói là có cấp m

được gọi là chuỗi hội tụ về z o Đây là một chuỗi các đa thức

f khả vi phức tại z o thì f liên tục tại đó

của B Khi đó đạo hàm từng phần của f được kí hiệu là f z v trên B

Nếu f khả vi phức trên B thì f chỉnh hình yếu trên B

phân Cauchy của f trên T Rõ ràng C f là hàm liên tục trên P

Định lý ( Công thức tích phân Cauchy):

sao cho f1 U = f2 U thì khi đó f1= f2

Chứng minh: Ta có các định nghĩa sau:

Cho v=(v1, ,v n)∈n Khi đó v!:=v1! !v n

1

: n n

v v

!

v v

o v

v

≥

trong lân cận V =V z( )o ⊂G Nếu z o∈N thì f V ≡0 và V ⊂N Suy ra N là tập mở Vì tất

cho f đạt cực đại địa phương tại z o thì f là hằng số

Chứng minh:

Ta xét ánh xạ ϕw:  → n với ϕ ζw( )=z o +ζw, với w≠ 0 bất kì Khi đó f ϕw là hàm chỉnh

2.1 4 Hàm chỉnh hình theo từng biến

( ),

f a chỉnh hình trên G với mỗi a∈D và f ( ).,b chỉnh hình trên D với mỗi b∈G

Rõ ràng một hàm chỉnh hình thì chỉnh hình theo từng biến, nhưng điều ngược lại có đúng không?

Vào cuối thế kỷ 19, sử dụng công thức tích phân Cauchy, ta đã biết rằng mỗi hàm chỉnh hình theo từng biến liên tục thì chỉnh hình Tiếp đến, sử dụng phương pháp cổ điển,

phương thì nó sẽ liên tục và do đó là chỉnh hình Hơn nữa ông ta cũng quan sát và muốn

hình trên B r( ) ( )×B δ với 0 < <δ s Vì vậy chúng ta có kết quả cơ bản sau đây:

Định lý ( Định lý Hartogs 1906):

Cho D⊂p,G⊂q là các miền với p q D G, , , bất kì, một hàm f D G: × →  là chỉnh hình theo từng biến thì chỉnh hình và ngược lại

Bổ đề Hartogs đã gợi lên bài toán sau đây gọi là bài toán Hukuhara:

hình trên U , nếu f = 0 trên B∩U thì f ≡ 0), khi đó mỗi hàm chỉnh hình theo từng biến

Trong luận văn này chủ yếu nghiên cứu hàm chỉnh hình theo từng biến theo nghĩa như sau:

f x( )z = f x z( ), với z∈Z

Và z( ) ( ),

f x = f x z với x∈K

thể thác triển chỉnh hình lên một lân cận của K trong X

điều sau đây đúng:

1 s nửa liên tục trên G

trên ∂D khi đó h≥s trên D

Hàm đa điều hòa dưới:

hình αa w, :→n như sau: αa w, ( )ζ := +a ζw

mỗi vectơ tiếp xúc (a w, ) trong G, hàm p a w, ( )ζ := pαa w, ( )ζ = p a( +ζw) là điều hòa dưới trên thành phần liên thông G a w( , ) của tập 1 ( )

,

Các tính chất của hàm đa điều hòa dưới:

2 Nếu f ∈H G( ) thì log f là đa điều hòa dưới

3 Nếu p p1, 2 là đa điều hòa dưới thì p1+ p2 cũng là đa điều hòa dưới

4 Nếu p là đa điều hòa dưới và c> 0 thì c p. là đa điều hòa dưới

5 Nếu ( )p v là một dãy tăng đơn điệu các hàm đa điều hòa dưới thì p: =limv→∞p v là đa điều hòa dưới

Hàm đa điều hòa dưới yếu theo nghĩa Zeriahi [22]:

một lân cận của a trong X vào một lân cận W của h a( ) trong n, tồn tại một hàm đa điều

tục trên và là hàm đa điều hòa dưới trên R X( ), quỹ tích chính quy của X

2.1.6 Thác triển chỉnh hình

Định lý: Giả sử G là tập con mở trong n

 (n>1) và K là tập compact trong G với G K\

tới G Trước hết để Hchỉnh hình ta phải có ∂ = ∂ − ∂ =H F g 0

Hay ∂ = ∂ = ∂ −g F (1 ϕ) f = − ∂f ϕ