số âm trong dạy học toán ở trường phổ thông, một nghiên cứu so sánh giữa lào và việt nam

Mối quan hệ thể chế RI,O, quan hệ cá nhân RX,O được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard 1998 đưa ra mà việc phân tích chún

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

SỐ ÂM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở

TRƯỜNG PHỔ THÔNG: MỘT NGHIÊN

CỨU SO SÁNH GIỮA LÀO VÀ VIỆT

NAM

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: Toán-07-025

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.Lê Thị Hoài Châu

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

2.Khung lý thuyết tham chiếu1T 71T

2.1 Sai lầm và chướng ngại Giải thích sai lầm và chướng ngại1T 71T

2.1.1 Khái niệm về sai lầm và chướng ngại1T 7

3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu1T 101T

Chương 1 : MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM SỐ ÂM1T 13

2.1.1 Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thông ở Lào1T 211T

2.1.2 Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thông Việt Nam1T 232.2 SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I1 25

2.3.1 Khái niệm số âm1T 42

1T

2.3.2 So sánh hai số nguyên1T 421T

2.3.3 Cộng hai số nguyên1T 421T

2.4.KẾT LUẬN1T 451T

2.4.1 Đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm1T 451T

2.4.2 Về quy tắc nhân hai số âm1T 471T

Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM GIỚI THIỆU THỰC NGHIỆM1T 48

3.2 THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI HỌC SINH1T 553.2.1 Các bài toán thực nghiệm 55

MỞ ĐẦU

1.L ý do chọn đề tài

Khái niệm số âm có một vai trò quan trọng trong sự phát triển của toán học và trong thực tế Ý nghĩa của số âm được tìm thấy nhiều trong thực tiễn Khi chưa được học số âm, các em HS cũng đã bắt gặp chúng đâu đó nhiều trong cuộc sống

Số âm tuy phát biểu rất đơn giản, có thể xem một cách THUẦN TUÝ như là số dương gắn với dấu “ – ” đằng trước nhưng khi thực hiện các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia, so sánh,…) HS gặp không ít khó khăn

Trong chương trình môn toán bậc trung học cơ sở (PTCS) của Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào (CHDCNDL) khái niệm số âm được đưa vào giảng dạy ở lớp 6, 7 Đây là một nội dung rất hay nhưng cũng khá khó đối với học sinh Nếu như trước khi nghiên cứu số âm, HS chỉ thực biện được phép trừ khi số bị trừ lớn hơn số trừ thì nay, phép tính này Nhưng giải thích như thế nào cho học sinh (HS) về kết quả âm của một phép tính trừ, chẳng hạn 3 – 8 = – 5 là gì ? Liệu HS có hiểu bản chất của các quy tắc tính toán và so sánh trên tập hợp Z hay không ? Chúng ta biết rằng trong lịch sử các nhà toán học cũng đã từng phải đi tìm nghĩa của số âm bằng mô hình lỗ lãi trong thương mại Nhưng dường như mô hình này không cho phép giải thích quy tắc “tích (thương) hai số âm là một số dương” Câu hỏi về

tính hợp thức này đã phải được họ giải thích bằng cách chuyển sang phạm vi hình học Nhưng điều đó không phải dễ đối với HS bậc THCS Nếu tiếp cận theo thuật ngữ NGỮ (signifiant – cái biểu đạt) và NGHĨA (signifié – cái được biểu đạt) thì lúc này, dấu “ – ” được tìm thấy với ba nghĩa khác nhau : dấu “ – ” của phép trừ, của số âm và số đối Ví dụ (-5) là âm 5, (-5) là số đối của 5 và là dấu “ – ” trong phép toán, chẳng hạn 3 – 5

Sơ bộ tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy sự mơ hồ trong cách hiểu về số âm đã làm cho HS thật sự lúng túng khi vận dụng vào giải bài tập Chẳng hạn, nhiều học

,

trước thì đó là số âm, có dấu “+” thì là số dương

Là một sinh viên Lào tôi chọn đề tài “nghiên cứu về số âm trong dạy học toán ở

trường phổ thông” cho luận văn thạc sĩ của mình Câu hỏi mở đầu là:

1 Khái niệm số âm được trình bày như thế nào trong chương trình toán bậc THCS ở Lào?

2 Những sai lầm thường gặp của HS Lào khi học về số âm? Chúng xuất phát từ những nguyên nhân nào? Có thể khắc phục được không?

2.K hung lý thuyết tham chiếu

Để trả lời những câu hỏi trên, trước hết chúng tôi xuất phát từ quan niệm về “sai lầm và nguồn gốc của chủng” vốn được thừa nhận rộng rãi trong cộng đồng các nhà nghiên cứu Pháp Những ý kiến trình bày dưới đây được chúng tôi trích ra từ

cuốn sách song ngữ Việt-Pháp Nhập môn didactic toán (2009)của nhóm tác giả

Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến

2.1 Sai lầm và chướng ngại Giải thích sai lầm và chướng ngại

2.1.1 Khái niệm về sai lầm và chướng ngại

“Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard

và Brousseau thì kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó

Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được xây dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và

có thể là không hoàn toàn chính xác.”

Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh:

“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không hiểu biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức

đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, và chúng tạo nên những chướng ngại.” (Brousseau, 1983)

Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có một nguồn gốc chung Việc phân tích sai lầm có thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập”

2.1.2 Đặc trưng của chướng ngại

Cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều có thể được xem là chướng ngại

Trước hết, chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm

“Kiến thức, quan niệm này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một số ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn đến những câu trả lời sai ở

ngoài những ngữ cảnh này Để có một câu trả lời chính xác và đúng trong mọi trường hợp, cần phải có sự thay đổi trong quan điểm.”

Các chướng ngại được phân biệt tùy theo nguồn gốc của chúng Có bốn kiểu chướng ngại chủ yếu sau :

- Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch

sử của những kiến thức mà việc loại bỏ nó đòi hỏi phải được đưa vào một cách tường minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh

- Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi didactic, chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của từng hệ thống giáo dục

- Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của nó

- Chướng ngại văn hóa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luôn luôn tồn tại

“Chỉ có những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc

vượt qua chúng đóng một vai trò quyết định trong việc xây dựng tri thức

Và người ta có thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử

phát sinh của chính khái niệm đang được nói đến

Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic của khái niệm, và như vậy nó đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đó.”

2.1.3 Quan niệm và qui tắc hành động

Nếu sai lầm của HS không phải là ngẫu nhiên mà có thể dự đoán trước được thì làm thế nào để dự đoán và giải thích chúng ? Trả lời câu hỏi này, người ta đã sử

dụng khái niệm quân niệm và quy tắc hành động

• Quan niệm

Q uan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử

nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán

học

G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực

hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm

này dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khó khăn trong điều kiện bất lợi”

Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau):

- Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh;

- Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau

• Qui tắc hành động

“Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ

rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định Quy tắc hành động này liên quan đến một hay

nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả

lời của học sinh

Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động Thông thường thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó.”

Một vấn đề được đặt ra : bằng cách nào, ta có thể dự đoán trước những quan niệm mà HS có thể có về một đối tượng tri thức ? những quy tắc hành động nào

có thể chi phối ứng xử liên quan đến tri thức đó của HS ?

Với cách giả thích về thuật ngữ quan niệm và quy tắc hành động như trên, chúng

ta thấy là điều này phải được tiếp cận từ ba nghiên cứu :

- Nghiên cứu đặc trưng của tri thức

- Nghiên cứu sản phẩm của HS khi họ được đặt trước những tình huống mà tri thức này có thể can thiệp

Để nghiên cứu đặc trưng của tri thức, cần phải xem xét tri thức đó về phương diện khoa học luận : đâu là lý do nảy sinh, phát triển của tri thức ? nó có vị trí, vai trò gì, có quan hệ ra sao với các tri thức khác ? trong quá trình xây dựng nó, các nhà toán học đã phải vượt qua những trở ngại, khó khăn nào ? sự thay đổi gì trong quan niệm cho phép hình thành nên nó ? … Rất nhiều câu hỏi có thể được trả lời từ nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của tri thức

Nhưng, để bàn về việc dạy học tri thức đó thì như vậy hoàn toàn chưa đủ, bởi vì,

để có thể tồn tại và phát triển trong một thể chế dạy học nào đó, tri thức phải bị biến đổi cho phù hợp với những ràng buộc và điểu kiện do thể chế quy định Phân tích cuộc sống của tri thức trong thể chế là một nghiên cứu không thể bỏ qua khi bàn về việc dạy học tri thức đó Liên quan đến nghiên cứu này, chúng tôi

sẽ đặt mình trong phạm vi của Thuyết nhân học trong didactic toán, mà người ta thường nói một cách ngắn gọn là thuyết nhân học

2.2 Thuyết nhân học:

Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”

Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua

nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard

(1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [Τ,τ,θ,Θ], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ

3 Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Quan hệ thể chế với một đối tượng tri thức sẽ được làm rõ thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với nó mà thể chế đã thiết lập Ngoài ra, chúng tôi thừa nhận một giả thuyết công việc đã được tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) phát biểu trong luận án của mình như sau :

“Việc đối chiếu cuộc sống của tri thức trong một thể chế khác sẽ cho phép làm rõ những đặc trưng của thể chế mà ta muốn nghiên cứu”

Thể chế mà chúng tôi chọn để đối chiếu là thể chế dạy học số âm ở Việt Nam, bậc THCS, theo chương trình và sách giáo khoa (SGK) hiện hành Giống như chương trình của Lào, số âm cũng được giảng dạy ở lớp 6 và lớp 7 Để thuận tiện, chúng tôi quy ước gọi I1 là thể chế dạy học số âm ở lớp 6, 7 của Lào, còn I2

là thể chế dạy học số âm ở lớp 6, 7 củaViệt Nam, theo chương trình và SGK hiện hành

Thừa nhận giả thuyết công việc nêu trên và trong khung lý thuyết đã được lựa chọn, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi nghiên cứu như sau :

QR1R: Liên quan đến số âm, các tổ chức toán học nào được soạn thảo trong hai bộ SGK Lào và Việt Nam ? Đâu là những đặc trưng của quan hệ của hai thể chế I1,

I2 với đối tượng O – số âm ? Chúng có những điểm gì giống nhau ? khác nhau ? Đâu là những điều kiện và ràng buộc của việc dạy học O trong mỗi thể chế ?

QR2R: Khó khăn của HS khi tiếp xúc với khái niệm số âm ?

QR3R: Những khó khăn này có thể sinh ra từ quan niệm hay quy tắc hành động nào

? Liệu những kiến thức về tập hợp các số tự nhiên mà các em biết trước đó có là trở ngại và nguyên nhân dẫn đến những sai lầm khi thực hiện các phép toán trên tập hợp số nguyên âm không?

Đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên là mục đích nghiên cứu của chúng tôi

Để trả lời câu hỏi, chúng tôi sẽ tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng có tác dụng bổ sung cho nhau, một nghiên cứu điều tra khoa học luận về khái niệm số

âm và một nghiên cứu thể chế với đối tượng này

Đối với nghiên cứu thứ nhất, chúng tôi sử dụng kết quả của các nghiên cứu đã tồn tại mà chúng tôi được biết về lịch sử của khái niệm số âm Ở đây chúng tôi sẽ

cố gắng làm rõ sự tiến triển cũng như nghĩa của khái niệm số âm

Đối với nghiên cứu thứ hai, chúng tôi sẽ phân tích hai bộ SGK hiện đang được sử dụng ở Lào và Việt Nam, làm rõ sự giống và khác nhau giữa trong cách trình bày khái niệm số âm, những điều kiện và ràng buộc thể chế gắn với khái niệm đó

Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho chúng tôi hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm Đó sẽ là cơ sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm

Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng tôi hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trò gì trong thể chế

Nó cũng giúp cho chúng tôi xác định nguồn gốc didactic của những khó khăn mà học sinh thường gặp Từ đó đưa ra dự đoán kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh phạm phải gắn liền với khái niệm số âm

Như vậy, hai nghiên cứu trên sẽ cho phép chúng tôi đưa ra những giả thuyết nhằm mục đích trả lời cho các câu hỏi Q2, Q3 Các giả thuyết sẽ được kiểm chứng (hay bác bỏ) bằng một thực nghiệm dành cho học sinh lớp 6, 7 và một thực nghiệm trên giáo viên hai nước

Kết quả nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong ba chương

Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ ÂM

Do không có điều kiện thực hiện một nghiên cứu đầy đủ về lịch sử hình thành tri thức, chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả của Nguyễn Thiện Chí

Chương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG QUAN ĐIỂM

SO SÁNH

Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng số âm Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập hiện hành ở các lớp 6, 7 Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm

số âm, cũng như chỉ ra được các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp, bậc học

Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tôi trả lời câu hỏi và đưa ra các giả thuyết nghiên cứu

Chương 1 : MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN

VỀ KHÁI NIỆM SỐ ÂM

1.1 Mục tiêu của chương

Mục tiêu của chương là nghiên cứu lịch sử hay khoa học luận về khái niệm số âm nhằm làm rõ các đặc trưng của đối tượng này trong quá trình nảy sinh và phát

triển của nó

Đặc trưng khoa học luận và đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm là gì? Phần

này chúng tôi lấy lại kết quả nghiên cứu của Nguyễn Thiện Chí

Cụ thể chúng tôi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây:

1 Khái niệm “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học luận?

2 Chướng ngại gì gắn liền với số âm?

1.2 Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm số âm

Một lần nữa, chúng tôi nhắc lại rằng toàn bộ phần này được chúng tôi lấy từ luận văn của tác giả Nguyễn Thiện Chí

Những người Trung Quốc đã sử dụng những số âm từ thế kỷ đầu tiên của thời đại chúng ta Thông thường họ dùng những que tính màu đen để biểu thị các số

âm, những que màu đỏ để biểu thị các số dương Liu Hui (220-280) đã giải thích

và dạy các phép tính số học bằng cách liên kết với các que tính Tuy nhiên những

số âm chỉ xuất hiện như là hỗ trợ cho tính toán, nghĩa là công cụ trung gian, không có số âm trong những phát biểu của bài toán, cũng không có trong các câu trả lời Trong thời kỳ này số âm được hiểu như số “tiền nợ”Diophante (khoảngthế kỉ thứ 3, sau công nguyên) không chấp nhận những phương trình dạng như 4 = 4x + 20P0F

1

P, bởi nghiệm của chúng là “vô lý” Diophante xem số âm

là số “vô lý”

1 Ẩn số x được ki hiệu là s’, bên phải ẩn số Diophante ghi hệ số, ví dụ 4x được viết là s’δ− (t rong đó δ− = 4) Khi c ộng ông viết số hạng này sát số hạng kia, dùng chữ l để chỉ đẳng thức Như vậy phương trình ở trên được viết là s’δ− κ−l δ− , v ới κ =20.

Brahmagupta (598-660) là nhà toán học lớn người Ấn Độ thế kỷ VI và VII Qua tác

phẩm của ông người ta xác nhận rằng: “Ông là người đầu tiên đưa ra số 0 và những

số âm Và ông đã dùng những số này trong tính toán những “khoản tiền” ”

Các nhà toán học Ấn Độ xem số âm là “số lỗ”, là “món nợ” Quy tắc cộng các số

được viết là: “Tổng của hai số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của

số lãi và số lỗ là hiệu của chúng và nếu hai số đó bằng nhau thì tổng bằng không” Trong giai đoạn này số âm được trình bày dưới dạng các “khoản nợ”

Nó không được sử dụng mà chỉ được coi như một khả năng lý luận Mặt khác

Brahmagupta đã sử dụng dấu chấm (.) để chỉ số “tiền nợ”

Vào năm 1484, trong tác phẩm “khoa học về các số” của mình Chuquet

(1445-1500) đã đưa vào số mũ âm, chẳng hạn 5P

a− Như vậy, trong thời kỳ này ông dùng ký hiệu chữ m với một vạch nhỏ trên đầu để chỉ phép trừ và cho cả

số âm

Số âm được hiểu theo nghĩa là số “thiếu” Tuy nhiên lúc bấy giờ số âm chưa được chấp nhận

Ở phương tây những số âm xuất hiện vào cuối thế kỷ XV, khi giải phương trình

Chẳng hạn, qua tác phẩm “Các qui tắc đại số” của nhà toán học người Ý Cardan

(1501-1576) người ta xác nhận rằng: “Cardan là người đầu tiên đã nhận ra nhiều

giá trị của ẩn số trong những phương trình và ông phân biệt các số dương, số

âm Chính ông đã đề nghị một phương trình bậc hai: xP

2

P+ 4x = 21 và nhận thấy các giá trị của x là +3 và số hư 7” Cardan gọi nghiệm âm là nghiệm “hư” Ông

dùng ký hiệu m để chỉ số “hư” Ký hiệu này trùng với ký hiệu của phép toán trừ

mà Chuquet đã sử dụng

Vào năm 1637, trong tác phẩm “hình học” của mình Descartes (1596-1650) đã

giới thiệu các nghiệm của một phương trình như sau: “Đôi khi một vài nghiệm

thì được gọi là “hư” hoặc nhỏ hơn 0, khi giả sử x để chỉ số lượng thiếu nó là 5 thì x + 5 ∝P1F

2 Kí hiệu ∝được đưa vào năm 1557 bởi Robert Record (1510 – 1558) tương ứng với ngày nay là kí hiệu

d ấu “=”

Như vậy, Descartes gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”, số “nhỏ hơn 0”, số “thiếu” Dấu “-” trong đoạn trích trên dùng để chỉ phép trừ, kí hiệu này được giới thiệu bởi nhà bác học Tiệp Vidman (1489)

Các số âm đã phải trải qua nhiều khó khăn trong một thời gian dài vẫn chưa được công nhận, số âm được hiểu theo nghĩa như số “tiền nợ”, số “thiếu”, các nghiệm

âm của phương trình gọi là số “vô lý”, nghiệm “hư”, bên cạnh nghiệm thật là số

dương Các nghiệm này sinh ra từ giá trị của chữ chưa biết trong phương trình

Đến khi hình học giải tích của Descartes ra đời, số âm được chấp nhận vào thế kỉ

thứ 17 sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích Với

sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng (chẳng hạn các đoạn thẳng hướng theo chiều ngược, di chuyển theo chiều ngược với chiều đã chọn) Ông biểu diễn số âm trên trục số vào bên trái điểm 0 với cách viết như -1,-2, -3,…Từ đó kí hiệu dấu“-” được gán để chỉ số âm đã xuất hiện Như vậy, sự

xuất hiện của dấu ” là một dấu hiệu chỉ số âm Điểm đáng chú ý ở đây là dấu

“-” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-“-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu vào năm 1489

Vào năm 1748, Maclaurin (1698-1746) đã hình thành các quy tắc nhân: nhân một số

âm với một số dương, nhân hai số âm như sau: “Với a và n là các số dương thì:

n × [a + (-a)] = n × 0 = 0 (1)

n × [a + (-a)] = n × a + n × (-a) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: n × a + n × (-a) = 0

Vì n × a là số dương nên n × (-a) là số âm

n là số dương và (-a) là số âm nên tích của một số dương và một số âm là một số âm

(-n) × [a + (-a)] = (-n) × 0 = 0

(-n) × [a + (-a)] = (-n) × a + (-n) × (-a)

Do đó: (-n) × a + (-n) × (-a) = 0

Mà (-n) × a là số âm (vì nhân một số dương với một số âm)

Suy ra: (-n) × (-a) là một số dương

Vì (-n) là số âm và (-a) là số âm nên tích của hai số âm là một số dương” Trong chứng minh trên Maclaurin đã đề cập đến việc dùng ký hiệu chữ, nhưng ở

đây chữ chỉ đại diện cho số dương và do đó chẳng hạn (–a) được hiểu là số âm

Như vậy đã có thời kỳ mà (-a) luôn được xem là số âm (vì luôn giả thiết a > 0)

Vào năm 1766, trong sách giáo khoa của mình Euler (1707-1783) đã khẳng định

sự tồn tại phép toán 25 - 40 = -15 và những số âm thì nhỏ hơn 0 Ông đã xem 2 dãy số: 0, 1, 2, 3, 4,…,-4, -3, -2, -1, 0 hợp lại thành tập số nguyên Euler định nghĩa bốn phép toán trên những số này

Trong giáo trình giải tích của mình (1821), Cauchy (1789-1857) đã định nghĩa số (để chỉ số cụ thể) và đưa ra quy tắc nhân dấu dựa trên các ký hiệu “+” và “-” như sau: “Những số bao gồm phần bằng số và trước nó có dấu “+” hoặc “-” Dấu “+” hoặc “-” đặt trước một số sẽ làm thay đổi nghĩa của số đó, gần như là một tính từ

đổi thành danh từ Những số mà đằng trước có dấu “+” gọi là những số

dương, những số mà đằng trước có dấu “-” gọi là những số âm Trong trường

hợp mà ở đó chữ a được đại diện bởi một số thì ký hiệu – a để chỉ số đối của a Theo sự thỏa thuận này thì nếu A đại diện cho số bất kỳ, người ta có: a = +A, b

= -A Ta có: +a = +A, +b = -A, -a = -A, -b = +A

Nếu trong bốn phương trình này, người ta đặt lại a, b và giá trị của chúng trong ngoặc đơn thì sẽ có: +(+A) = +A; +(-A) = -A; -(+A) = -A, -(-A) = +A Trong mỗi công thức này dấu ở vế phải gọi là tích của hai dấu ở vế trái Việc xem xét duy nhất những phương trình ở trên đủ để hình thành quy tắc của những dấu”

Từ đoạn trích trên, chúng tôi nhận thấy Cauchy đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu

“-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể), dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ) Theo chúng tôi đây chính là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ

Theo quan điểm của Wilckens (1800) thì ông đưa ra việc phân biệt rõ ràng giữa dấu của phép toán với dấu của một số, để giải thích sự khác nhau ông đề nghị một khái niệm số đối của một số a được ký hiệu bởi a và số đối ở đây được xác định bởi phương trình: a + a = 0 Bằng cách sử dụng a như là dấu của một số

đối của a, ông đưa đến định nghĩa: “đối với một số nguyên bất kỳ b, số đối của nó

là b được cho bởi phương trình b + b = 0 Vì vậy phép trừ tổng quát trên những số nguyên được định nghĩa bởi: a – b = a + b ”

Theo quan điểm của Hankel (1867), được thể hiện trong giáo trình: “lý thuyết

của số phức” Ông giải thích phép nhân hai số đối:

“0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb)

0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb)

Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab”

Từ cách trình bày trên đã cho thấy Hankel kí hiệu (oppa) để chỉ số đối của số a Với cách ký hiệu này thì ông đã phân biệt một cách rõ ràng dấu “-” của số đối (trong cách ký hiệu số đối của Cauchy) và dấu “-” của phép toán trừ

Bảng 1 Sự tiến triển của khái niệm số âm

Thời điểm Kí hiệu của số âm Đối

là các đoạn thẳng có hướng

Maclaurin (1698-1746) Dấu “-”

Chữ chỉ đại diện

Số âm được hiểu như một ký hiệu gồm số dương và dấu “-” đứng trước

Dấu “-” Chữ - của a a được hiểu là số đối

Tóm lại, trong lịch sử, số âm đã có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau đây:

- Số âm được sinh ra từ nhu cầu tính toán các “khoản tiền”, giải phương trình,…Trong một thời gian dài số âm không được chấp nhận, chẳng hạn các

nghiệm âm của phương trình được gọi là nghiệm “hư”, số “vô lý”, số “thiếu”

Cuối cùng số âm cũng được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17, sau khi được Descartes

biểu diễn trực quan trong hình học giải tích, với sự giải thích hình học số âm như

là các đoạn thẳng có hướng Cuối cùng đã xóa bỏ sự khác biệt về nguyên tắc

giữa các nghiệm âm và nghiệm dương

- Ký hiệu của số âm đã được sử dụng qua các giai đoạn lịch sử: Các que màu đen, dấu chấm, m (trùng với dấu của phép toán trừ m mà chuquet đã sử dụng), dấu“-” (trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu) Điều này cho thấy tính không thống nhất trong việc sử dụng ký hiệu gắn với số

âm Hơn nữa đã có thời kỳ (-a) được hiểu là số âm (vì luôn giả thiết a dương)

- Đã có các quan điểm khác nhau trong cách sử dụng kí hiệu số đối của một

số, chẳng hạn, theo Hankel thì số đối của a, kí hiệu là oppa, theo Wilekens thì số

đối của a, kí hiệu là ā Với các quan điểm này tạo thuận lợi cho việc phân biệt dấu của số âm và dấu của phép toán trừ Tuy nhiên, Cauchy lại sử dụng cùng một

kí hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số âm (trong trường hợp số cụ thể) và là dấu chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”) Điều này dẫn đến trở ngại trong việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển

từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí hiệu chữ Theo chúng tôi đây được xem như là kiểu trở ngại liên quan đến phức tạp về nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang chữ

Như vậy, việc phân tích lịch sử cho phép chúng tôi chỉ ra chướng ngại chủ yếu

liên quan đến số âm: Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể

có thể tạo nên chướng ngại cho việc hiểu số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ

1.3 Về các quy tắc cộng, trừ, nhân chia trên các số âm

Giải thích như thế nào về các quy tắc cộng, trừ nhân chia hai số a, b, trong đó có

ít nhất một số âm ?

Rõ ràng là trong dạy học toán ở trường phổ thông thì cách giải thích trên tập N không phải lúc nào cũng mở rộng được cho trường hợp này Chẳng hạn, nếu trước kia a + b được giải thích qua phép đếm a đồ vật và b đồ vật, thì bây giờ a +

b, với a, b ∈ Z là gì ?

Về câu hỏi này, ta thấy là mô hình « tiền nợ » hay « lỗ, lãi » sẽ cho phép đưa ra câu trả lời Ví dụ : lãi a (a > 0) đồng, lỗ b (b > 0) đồng thì a + (-b) sẽ là khoản tiền lỗ hay lãi tùy theo |a| và |b|, từ đó có quy tắc cộng hai số trái dấu ; hay nợ a (a > 0) đồng và nợ b (b > 0) đồng thì thành nợ (a + b) đồng, tức là

)()

(

)

(−a + −b =− a+b (quy tắc tính tổng hai số âm)

Trong cách tiếp cận phép nhân a.b (a, b ∈ Z, a > 0, b < 0) như là phép cộng lặp lại a lần b thì ta cũng có thể dùng mô hình đó để giải thích quy tắc nhân hai số trái dấu Nhưng với mô hình đó thì làm sao giải thích quy tắc dấu trong phép toán nhân, chia hai số âm ?

Giải thích của Hankel (1867) và Maclaurin (1748) mà chúng tôi đã trích dẫn trong phần trên cho ta một câu trả lời thỏa đáng Chẳng hạn, giải thích do Hankel đưa

ra là :

“0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb)

0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb)

Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab”

Bằng ngôn ngữ của đại số hiện đại, chúng ta thấy phải đặt hai phép toán cộng, nhân vào vành số nguyên Z và trường số thực R, thì các tiên đề của cấu trúc vành

và trường (cụ thể là tiên đề về tính phân phối của phép nhân và phép cộng) sẽ cho phép ta giải thích được những quy tắc tính toán kiên quan đến hai phép toán

đó và hai phép toán ngược (trừ, chia) của chúng nói chung, đặc biệt là quy tắc nhân (chia) hai số âm

Chương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG

QUAN ĐIỂM SO SÁNH

Đặt nghiên cứu của mình trong thể chế dạy học số âm ở hai Nước Việt Nam và Lào để đi tìm lời giải cho những câu hỏi sau là mục đích của chúng tôi ở chương này:

Trong chương này chúng tôi sẽ cố gắng tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi:

- Sự giống nhau và khác nhau giữa hai bộ sách giáo khoa Việt Nam và Lào trong khi trình bày khái niệm số âm?

- Đối với học sinh sự khác nhau giữa số âm và phép “-” theo quan niệm của

Phân tích quan hệ của thể chế I1 sẽ được đặt trong quan điểm so sánh Cụ thể, như đã nói trong phần mở đầu, việc đối chiếu thể chế I1 với một thể chế I2 khác,

mà ở đây chúng tôi chọn là thể chế dạy học số nguyên theo chương trình hiện hành ở trường phổ thông Việt-Nam, sẽ giúp làm nổi bật những đặc trưng trong quan hệ của I1 đối với O

2.1 TIẾN TRÌNH XÂY DỰNG CÁC TẬP HỢP SỐ ÂM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS LÀO VÀ VIỆT NAM

Trước hết, chúng tôi phải giải thích rõ là hệ phổ thông của Lào trước đây gồm 11 lớp Nhưng kể từ năm học 2010-2011 thì hệ phổ thông đã có thêm lớp 12 Với sự xuất hiện này, quá trình đào tạo phổ thông cũng được phân thành ba bậc như Việt-Nam : bậc tiểu học từ lớp 1 đến lớp 5, bậc trung học cơ sở từ lớp 6 đến lớp

9, bậc trung học phổ thông từ lớp 10 đến lớp 12

2.1 1 Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thông

ở Lào

Như mọi chương trình khác, việc nghiên cứu các tập hợp số được bắt đầu ngay từ lớp 1 với tập N Số tự nhiên được hình thành thông qua việc đếm các đồ vật Ở đây, học sinh học các phép toán cộng và trừ trong phạm vi các số từ 0 đến 100 Vấn đề so sánh hai số tự nhiên cũng được nêu ra thông qua các thuật ngữ “nhiều hơn, ít hơn”

Sang lớp 2, tập hợp các số được nghiên cứu mở rộng đến các số trong phạm vi

1000 và hiển nhiên là các phép toán, quan hệ thứ tự cũng được mở rộng cho các

số này Người ta đưa vào các phép tính có nhớ ở lớp 3 Việc nghiên cứu tập số tự nhiên N cùng với các phép toán và quan hệ thứ tự trên nó hoàn thiện ở cuối học

kỳ 1 của lớp 4

Khái niệm phân số (dương) được trình bày ở lớp 4 và tiếp tục nghiên cứu ở lớp 5 Cũng ở lớp này, người ta giới thiệu số thập phân (dương), các phép toán và quy tắc so sánh các số thập phân Số thập phân được trình bày như là một loại phân

số đặc biệt (phân số có mẫu số là 10, 100, 1000, …)

Như vậy, kết thúc bậc tiểu học học sinh đã làm việc với các số tự nhiên Bốn phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) và quy tắc so sánh trên tập hợp các số đó cũng đã được nghiên cứu

Chương trình bậc trung học cơ sở bắt đầu từ lớp 6 Ở đây, người ta dành một thời lượng quan trọng để nhắc lại các kiến thức số học đã được đưa vào ở Tiểu học Giống như ở Tiểu học, chương trình lúc này vẫn không chia theo từng chương riêng mà cấu thành từ 37 bài với sự đan xen các nội dung về số học, hình học, thống kê mô tả Các nội dung về hình học và thống kê mô tả chiếm 23 bài 3 bài dành cho ôn tập cuối lớp Còn lại 11 bài tập trung cho phần nghiên cứu các tập hợp số Một trong những nội dung quan trọng của chương trình toán lớp 6, là bộ sung, hệ thống hóa những kiến thức đã được nghiên cứu ở bậc tiểu học về số tự nhiên, phân số, số thập phân với bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia 11 bài đầu tiên của chương trình Toán lớp 6 dành cho mục tiêu này Ở đây, chương trình đưa vào những nội dung sau :

- Viết và đọc số tự nhiên và số hữu tỉ

- So sánh số tự nhiên và số hữu tỉ

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên và số hữu tỉ

Số hữu tỉ được hiểu là số thập phân hữu hạn, có thể viết được dưới dạng phân số

Chính ở bài số 12 “Kiến thức phổ biến về số nguyên” mà người ta mới đưa vào khái niệm số âm Như thế, dầu thuật ngữ “số hữu tỉ” đã xuất hiện trước đó, thực chất người ta chỉ nghiên cứu các số hữu tỉ không âm mà thôi

Chương trình toán lớp 7 gồm 10 chương :

Chương 1 : So sánh số nguyên dương, số nguyên âm

Chương 2 : Hệ thức tỉ lệ, thống kê

Chương 3: Phép nhân, phép chia số nguyên

Chương 4: Lũy thừa, phương trình, bất phương trình

Chương 10: Đường thẳng trong mặt phẳng

Trong chương trình toán này ta thấy là phần đại số và hình học đan xen nhau Như thế, việc xây dựng tập hợp các số nguyên Z được thực hiện chủ yếu ở lớp 7 Trong chương trình này, người ta đưa vào quy tắc so sánh các số nguyên, các phép toán trên tập Z cũng được nghiên cứu ở lớp 7 Phương trình, bất phương trình bậc nhất ax + b = 0, ax + b > 0 trước kia đã từng được nói đến (nhưng chỉ trong trường hợp a, b ∈ N và phương trình có nghiệm không âm) nay được xem xét cho cả trường hợp a, b ∈ Z và nghiệm cũng có thể thuộc Z

Ở lớp 8, vấn đề mở rộng tập hợp số không thuộc phạm vi chương trình Trên tập hợp số hữu tỉ chương trình đưa vào các kiến thức về đa thức và phân thức đại số, giải phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Số thực được giảng dạy ở chương đầu tiên của lớp 9, chỉ có một bài học được đưa ra nhằm giới thiệu khái niệm số vô tỉ, số thực, so sánh các số thực

Phân tích trên cho thấy tiến trình xây dựng tập số thực R trong chương trình toán phổ thông của Lào có thể được mô tả theo sơ đồ sau :

2.1.2 Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thông Việt Nam

Theo chương trình của Việt Nam, số nguyên âm bắt đầu được nghiên cứu trong SGK toán lớp 6 tập 1 Các nội dung về số nguyên âm được trình bày thành một chương (chương 2) dạy trong 29 tiết, với 13 bài sắp xếp như sau :

§1 Làm quen với số nguyên âm

§2 Tập hợp các số nguyên

§3 Thứ tự trong tập hợp các số nguyên

§4 Cộng hai số nguyên cùng dấu

§5 Cộng hai số nguyên khác dấu

§6 Tính chất của phép cộng các số nguyên

§7 Phép trừ hai số nguyên

§8 Các quy tắc dấu ngoặc

§9 Quy tắc chuyển vế

§10 Nhân hai số nguyên khác dấu

§11 Nhân hai số nguyên cùng dấu

§12 Tính chất của phép nhân

§13 Bội và ước của một số nguyên

 M ục tiêu của chương này là nhằm giúp học sinh:

1 Bi ết được sự cần thiết của các số nguyên âm trong thực tiễn và trong toán

h ọc

2 Phân bi ệt và so sánh được các số nguyên

3 Tìm được số đối và giá trị tuyệt đối của một số nguyên

4 Bi ết được nhu cầu cần thiết phải mở rộng tập Ν

5 Nh ận biết và đọc đúng số nguyên âm trên trục số

Số nguyên âm Phân số, số thập

phân (âm)

Sơ đồ 1

6 Hi ểu và vận dụng đúng các quy tắc thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các s ố nguyên, các tính chất của phép tính trong các tính toán không ph ức tạp, các quy tắc chuyển vế, dấu ngoặc trong các biến đổi các

bi ểu thức, đẳng thức

7 Hi ểu được các khái niệm bội, ước của các số nguyên; biết cách tìm các

b ội, ước của một số nguyên

Chương đầu tiên của chương trình toán lớp 7 dành cho việc xây dựng tập số hữu

tỉ Q và sau đó là tập số thực R Trước hết người ta mở rộng các kiến thức về số nguyên âm cho tập số hữu tỉ, được định nghĩa như là tập các số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn Sau đó, người ta đưa vào khái niệm số thực với tư cách là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn) Các quy tắc tính toán đã có trên Q được mở rộng cho R Như vậy, có thể xem là việc xây dựng tập R đã hoàn thiện từ lớp 7 Tuy nhiên, đến lớp 9, chương trình quay trở lại xem xét R, nhưng tập trung vào việc phân biệt rõ căn (bậc 2) số học với căn đại số của một số thực dương và vấn đề rút gọn các biểu thức có chứa căn (bậc 2, bậc 3)

Phân tích trên cho thấy tiến trình xây dựng các tập hợp số ở trường phổ thông Việt Nam cũng giống như ở Lào Tiến trình đó đã được chúng tôi mô tả bởi sơ đồ

1 Tuy nhiên, nếu như ở Lào, phải đến lớp 9 tập R mới được nghiên cứu thì điều này đã có thể xem như hoàn thiện ở lớp 7

Liên quan đến số âm thì chương trình của Lào phân việc nghiên cứu chúng qua

ba lớp : lớp 6 và 7 đề cập số nguyên âm, các phép tính trên tập số nguyên, so sánh hai số nguyên; các quy tắc tính cộng, trừ, nhân, chia và so sánh sau đó được xem xét trên các phân số (dương, âm) cũng ở lớp 7 Các quy tắc này sau đó được

mở rộngcho tập R, nghiên cứu ở lớp 9

Ở Việt Nam, toàn bộ nội dung về số âm có trong chương trình lớp 6 và 7 của Lào được xem xét trọn vẹn trong hai chương của chương trình toán lớp 6 ở Việt Nam : chương 2 – Số nguyên, và chương 3 – Phân số Tập số thực thì đã được nghiên cứu ngay từ lớp 7, ở đó người ta mở rộng các quy tắc tính toán và so sánh

đã được xây dựng trên Q

Dưới đây chúng tôi sẽ đi sâu vào phân tích quan hệ của mỗi một thể chế đối với đối tượng số âm Với những gì đã được làm rõ qua phân tích chương trình ở trên,

ta thấy các kiến thức về số âm được xây dựng chủ yếu trong Z, sau đó là trong Q, còn đối với R thì người ta chỉ việc mở rộng những gì đã kiến thiết được trong Q, bởi R được xem như là tập các số thập phân (hữu hạn, vô hạn tuần hoàn hoặc không tuần hoàn) Nhận xét đó dẫn chúng tôi đến việc tự giới hạn phân tích các

vấn đề về số âm ở lớp 6 và lớp 7 của Lào, lớp 6, 7 của Việt Nam, là những lớp

mà tập Z và Q được nghiên cứu Lưu ý rằng trước đó các phép toán và quy tắc so sánh hai số đã được xem xét đầy đủ trên các tập N và QP

+

P Những gì vừa nói giải thích cho sự lựa chọn hai thể chế I1 (thể chế dạy học toán

ở lớp 6, lớp 7 của Lào) và I2 (thể chế dạy học toán ở lớp 6, 7 của Việt Nam) mà chúng tôi đã nói đến trong phần mở đầu của luận văn

Với mục đích nghiên cứu quan hệ thể chế I1, I2 đối với O – số âm, chúng tôi sẽ phân tích SGK, tham khảo sách giáo viên (SGV) Để thuận tiện cho việc trình bày kết quả nghiên cứu, chúng tôi dùng các ký hiệu SGKR L6 R, SGKR L7 R, SGKR V7 R, SGKR V7 R, để chỉ lần lượt SGK toán lớp 6, 7 của Lào, rồi lớp 6, 7 của Việt nam, còn SGVR L6 R, SGVR L6 R, SGKR V7 R, SGKR V6 R, SGVR V7 R để chỉ các cuốn SGV ứng với những SGK đó

2.2 SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I1

2.2.1 Khái niệm số âm:

Theo quy định của chương trình, trong ba bài cuối cùng của lớp 6 (bài 12: Số nguyên; bài 13: Cộng số nguyên; bài 14: Trừ số nguyên) học sinh được làm quen với số âm

Ở bài 12, SGKR L6 Rđưa số âm vào như sau :

Hoạt động 2 : Có một người đi bộ sao cho khoảng cách giữa các bước đi

không đổi, người đó bắt đầu xuất từ 0 Quan sát bước đi của người đó và ghi nhận lại các giá trị

Sau đó viết thêm vào bảng sau đây:

Khoảng cách 1 Khoảng cách 2 Kí hiệu độ dài khoảng

cách Tiến phía trước 4 bước

Tiến phía trước 5 bước

Lùi về phía sau 8 bước

Lùi về phía sau 13 bước

Lùi về phía sau 3 bước Lùi về phía sau 6 bước Tiến phía trước 10 bước Tiến phía trước 12 bước

2.1 Dấu hiệu nhận biết trên tia:

Có thể chỉ dấu hiệu về vị trí ở hai đầu của 0 ở tia bằng cách sử dụng số nguyên

Độ lớn của A là + 1,3 ta viết A(+1,3) Độ lớn của B là - 1,3 ta viết B(-1,3) ;

A và B nằm ở hai phía so với 0

Như vậy, mô hình « lỗ, lãi » và « tiến, lùi » đã được sử dụng để giới thiệu số âm

Để chuyển vào toán học thì SGK sử dụng mô hình tương ứng với các mô hình đó

là trục số Sau đó, SGK đưa vào cách viết hình thức : quy ước viết dấu + hay – tùy theo đó là số tự nhiên hay số âm Ở đây, chúng tôi lưu ý là trước khi đưa vào quy ước này thì SGK chưa hề định nghĩa số âm là gì Điều đó lại được làm sau khi đã quy ước về cách viết Lưu ý thứ hai là tuy đề bài là Số nguyên, nhưng trong ví dụ SGK vẫn cho số thập phân (âm, dương) Loại số này cũng có trong phân bài tập ngay sau bài học số 12 (xem phần Phụ lục)

Khái niệm số âm được nhắc lại trong bài đầu tiên của SGKL7

SGKR L7 Rmở đầu bài dạy bằng những ví dụ trong đó số âm xuất hiện, chẳng hạn đó

là việc dùng nhiệt kế để đo nhiệt độ của nước đá tan ở 0P

c Cụ thể, HS phải tiến hành các hoạt động sau:

a Hãy thêm vào câu dưới đây:

+ Số nguyên là số có dấu (+) hoặc (-) ở phía trước

+ Số nguyên dương là số có dấu (+) ở phía trước

+ Số nguyên âm là số có dấu (-) ở phía trước

+ Số 0 có thể là số dương và có thể là số âm: 0 = + 0 = - 0

Ta thấy, số âm đã được định nghĩa một cách hình thức : số có dấu “-” ở phía trước Lưu ý rằng cho đến lúc đó HS chỉ làm việc với số dương, có nghĩa là –a với họ không phải là một số Điều đó có nghĩa là xét về mặt logic thì ở đây người ta đã vi phạm quy tắc “không dùng cái chưa được định nghĩa để định nghĩa một khái niệm mới”

Một lưu ý khác là, cũng như ở lớp 6, dù định nghĩa số nguyên âm, nguyên dương,

trong ví dụ và bài tập chúng tôi vẫn thấy các số thập phân dương, âm xuất hiện

2.2.2 Giá trị tuyệt đối của một số

Cũng trong bài đầu tiên, sau khi đưa vào khái niệm số âm, SGKR L7 R nói về số đối bằng trục số

Khái niệm giá trị tuyệt đối của một số được giới thiệu trong bài số 2 của SGKR L7 R Khái niệm được hình thành từ việc biểu diễn các số âm, dương lên trục số

Sau đó, SGK đưa vào ký hiệu |x| và các tính chất như ta luôn có: x ≥ 0; x = −x ;

Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0

Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó

Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó (và là một số dương).” (SGVR L7 R)

Ba nhận xét trên, đã chứng tỏ sự tồn tại phép tương ứng mỗi số a với giá trị tuyệt đối của nó thực chất là một hàm số a a xác định trên tập hợp R và nhận giá trị trong tập hợp RP

+

P

2.2.3 So sánh hai số (hữu tỉ)

Vấn đề so sánh hai số (hữu tỉ) được đề cập trong bài số 3 của SGKR L7 R

Để so sánh 2 số (hữu tỉ) thì SGK dùng trục số Cụ thể là SGK yêu cầu HS thực hiện hoạt động biểu diễn một số số cho trước trên trục số rồi viết dấu <, > vào giữa hai số lấy ra trong các số đó Hoạt động này cho phép đưa ra một kỹ thuật để so sánh hai số,

đó là biểu diễn chúng trên trục số rồi căn cứ vào vị trí của hai điểm biểu diễn để kết luận Kỹ thuật này không rõ ràng là không thuận tiện trong thực hành, nhất là khi hai

số đó là hai số thập phân khá gần nhau, lại càng khó hơn khi có một số là số thập phân

vô hạn (tuần hoàn) Lúc đó, để áp dụng được kỹ thuật, ta phải viết các số thập phân dưới dạng phân số rồi quy đồng mẫu số hai phân số cần so sánh để có thể biểu diễn chính xác vị trí tương đối giữa chúng trên trục số

Có lẽ vì bất lợi này nên SGK không xem đây là kỹ thuật cần được tiếp tục sử dụng

Hoạt động nói trên chỉ được xem như hoạt động dẫn nhập để ngay sau SGK đưa ngay vào các quy tắc sau :

a) So sánh số dương khác nhau có thể so sánh được như so sánh hai số ở bậc tiểu học và lớp 6

Ví dụ : 1,5 <7; 10>2;

5

1 5 3〉

b) Khi hai số có dấu khác nhau thì số nào có dấu trừ (-) là số bé hơn, số nào có dấu cộng (+) là số lớn hơn

1234

2 2

3 3

4 4

→ mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số nguyên dương bất kỳ

Quy tắc trên sau này được mở rộng cho tập hợp các số hữu tỉ, cũng được đề cập trong chương trình và sách giáo khoa lớp 7 Cụ thể, SGK viết :

“So sánh hai số hữu tỉ

-1, 7 2,5

-3 -1

Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có hoặc x = y, hoặc x < y hoặc x > y Ta có thể so sánh hai số hưũ tỉ bằng cách viết dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân

số đó

Ví dụ 1: so sánh hai số hữu tỉ :-0,6 và

2 1

Giải: Ta có -0,6

10

5 2

1

; 10

6< −

−

hay -0,6<

2 1

- Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương

- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm

- Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm”

2.2.4 Các phép toán

2.2.4.1 Phép cộng, trừ

Mở đầu vào bài “Phép cộng, trừ các số hữu tỉ” thì người ta yêu cầu học sinh thực hiện

hoạt động sau :

“Hoạt động 1 : Một người đi bộ, mỗi bước đi được một khoảng bằng nhau và xem

như là một đơn vị người đó di chuyển, được minh họa bằng trục số dưới đây:

Dấu (+) là có nghĩa người đó tiến về phía trước, dấu (-) là lùi lại về phía sau bắt đầu từ 0 Như vậy, nếu bắt đầu từ điểm 0 người đó đi bộ 4 bước và lùi lại sau 3 bước thì người đó sẽ ở vị trí nào trên trục số?

… Điều đó có nghĩa là tại điểm bắt đầu người ta biết được (+4) + (-3) = +1 Vậy người đó sẽ ở vị trí tại điểm số 1 của trục số”

Đây là một cách dẫn dắt học sinh vào bài học cũng khá hay, đưa vào cách tính mới thay vì cách tính mà HS có thể thực hiện khi chưa được học về số âm : người đi bộ đó tiến lên 4 bước và lùi lại 3 bước thì ta lấy 4 – 3 = 1 và ta cũng có được là người ấy sẽ

ở vị trí số 1 khi biểu diễn trên trục số Nhưng vấn đề khác biệt ở đây đặt ra là: nếu

-3 -2 -1 0 1 2 3

người ấy chỉ tiến lên 3 bước rồi lùi lại về sau 4 bước kể từ vị trí số 0 ban đầu thì mình

sử dụng phép toán trừ số nhỏ cho số lớn hơn có được không ? 3 – 4 = ? Còn nếu thực hiện (+3) + ( - 4 ) = -1 theo cách mới hì ta tìm được đáp án dễ dàng

Như vậy, thay cho mô hình “lỗ, lãi”, SGKL7 đã dùng mô hình “tiến, lùi” để đưa vào phép toán cộng hai số (hữu tỉ) Lưu ý là phép cộng hai số nguyên đã được trình bày trong SGKR L6 R, với cùng một kiểu, nên chúng tôi không trích dẫn ở đây

Từ hoạt động 1 nêu trên, SGK trình bày các quy tắc tính như sau :

Định lý:

Để cộng hai số hữu tỉ có cùng kí hiệu ta làm như sau

- Cộng trị tuyệt đối của nó lại với nhau

- Viết kí hiệu chung của chúng vào giá trị của tổng

Ví dụ

(+4,5)+(+2,3)=+6,8

(-4,5)+(-2,3)=-6,8

Để cộng hai số hữu tỉ có kí hiệu khác nhau ta thực hiện như sau:

- Trừ hai trị tuyệt đối

- Viết kí hiệu của số có trị tuyệt đối lớn hơn vào tổng

Ví dụ

(+4,5)+(-2,3)=+2,2

(-4,5)+(+2,3)=-2,2

Ngay sau đoạn trên, SGKR L7 Rphát biểu quy tắc trừ hai số hữu tỉ:

“Muốn trừ 2 số hữu tỉ phải cộng số thứ nhất với số đối của thứ hai x - y = x+ với số đối của y = x+(-y)

Ví dụ: (+5,3) - (-3,2) = (+5,3) + (+3,2) = +8,5

(-1,2) - (+9,5) = (-1,2) + (-9,5) = -10,7”

Như vậy, phép trừ được xây dựng trên cơ sở phép cộng với số đối

2.2.4.2 Phép nhân

Phép toán nhân được SGK trình bày như sau :

«Hoạt động 1 : Ta đã biết tích hai số dương nhân với nhau là số dương

−+

−

=

−

×( 3,5) ( 3,5) ( 3,5) ( 3,5) ( 3,5)4

=

−

×( 25,5)3

=

×

−6,4) 2(

Sau đó hãy tính 3,85×(−4,2)=

Các bài toán trên cho ta kết luận gì về dấu của tích một số dương với một số âm ?

“Số đối của a nhân với b bằng với số đối của a×b:( a− ) × ( ) = số đối của (a

b ) = …

b) Nhân hai số âm

Số đối của a nhân với số đối của b bằng a×b Hãy viết dưới dạng công thức câu trên :

)10()5,2(

)()3(

Từ các phép tính trên ta rút ra được kết luận gì đối với tích số của hai số âm ?” Sau hoạt động trên, SGK đưa vào các quy tắc thực hiện phép toán nhân :

U

Định lýU:

+ Tích c ủa một số a với 0 bằng 0

00

0= × =

× a a

+ Tích hai s ố có cùng dấu là số dương

+ Tích c ủa hai số khác dấu là số âm

Đúng như lưu ý mà chúng tôi đưa ra trong chương 1, SGK đã khai thác triệt để mô hình “tiến, lùi” (tương tự như mô hình “lỗ, lãi”) để đưa ra các quy tắc cộng, trừ hai số hữu tỉ và sau đó giải thích quy tắc nhân hai số trái dấu, ở đó phép nhân được hiểu như phép cộng lặp lại Nhưng mô hình này không cho phép giải thích quy tắc nhân hai số

âm, và SGK không đưa ra giải pháp nào, chỉ áp đặt quy tắc mà không có lời giải thích

2.2.4.3 Phép chia

Phép chia hai số dương được mở rộng cho hai số hữu tỷ, không kèm theo lời giải thích

nào Cụ thể, ngay vào đầu bài Phép chia hai số hữu tỷ, SGKL7 đưa ra một hoạt động

mà kỹ thuật thực hiện đã được nói trước

25)2

a) Hãy tính

a = 4÷(−2); b =(−4)÷(2) ; c =(−4)÷(−2)

Kết luận như thế nào về dấu của thương và tích của số nguyên?

Với hoạt động này, SGK đưa HS đến với nhận xét thương của hai số nguyên có cùng

dấu với tích của hai số nguyên

U

Ví dụ:

35,1)4()4,5(

35,1)4(4,5

35,1)4()4,5(

35,144,5

6,21)4(4,5

6,21)4()4,5(

6,2144,5

2.2.4.4 Các tổ chức toán học liên quan đến số âm

Trong phầnn ày chúng tôi sẽ làm rõ những tổ chức toán học liên quan đến số âm được thiết lập trong SGKR L6 R và SGKR L7 R

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR1R: “Biểu diễn các số (độ lớn các số) trên trục số”

Ví dụ: (SGKR L6 Rtrang 81)

“Hãy biểu diễn các số nằm giữa -10 và -5 vào trục số”

Lời giải mong đợi: kế từ -5, ta ghi tiếp các số từ phải qua trái -6, -7 -8, -9

-10 -5 0

+ Kỹ thuật τR1R: xem mỗi số gồm 2 phần : phần dấu và phần số

- Nếu số mang dấu “ + “ thì biểu diễn bên phải số 0 của trục số và cách 0 phần số lần đơn vị

- Nếu số mang dấu “-” thì biểu diễn bên trái 0 và cách 0 phần số lần đơn vị

+ Công nghệ θR1R: Quy tắc về ký hiệu số và biểu diễn số trên trục số

Nhận xét:

Kiểu nhiệm vụ được nêu rõ ràng và cụ thể Dãy các số bao gồm số nguyên, số hữu tỉ

âm và dương với các độ lớn khác nhau Do đó, học sinh phải chọn các tỉ lệ phù hợp với 1 đơn vị để có thể biểu diễn các số trên trục số được rõ ràng

Việc biểu diễn các số trên trục số sẽ tạo điều kiện cho việc so sánh các số sau này

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR2R: “ Đếm các số nguyên nằm giữa hai số a, b và tăng theo x đơn vị đã cho trước trong mỗi lần đếm”

Ví dụ (SGKRL6R trang 81)

Đếm các số: a) đếm từ -12 đếm +8 với mỗi lần đếm tăng thêm 2

b) đếm từ -17 đếm +3 với mỗi lần đếm tăng thêm 2

c) đếm từ -11 đếm +9 với mỗi lần đếm tăng thêm 2

Lời giải mong đợi:

a) -12; -10; -8; -6; -4; -2; 0; +2; +3; +4…

b) -17; -15; -13; -11; -9; -7; -5; -3; -1; +1; +3

c) -11; -9; -7; -5; -3; -1; +1; +3; +6; +9

Kỹ thuật τR2R: Biểu diễn a, b trên trục số

- Sau đó biểu diễn tất cả các số cách đầu mút a khoảng x đơn vị nằm trong

khoảng a, b

- Đọc các số

+công nghệ θR2R: thứ tự biểu diễn các số trên trục số

Nhận xét: Kiểu nhiệm vụ được nêu 1 cách tường minh , a là số nguyên âm ; b và x là

2 số tự nhiên Đề bài cho giá trị của a , b nhỏ có thể biểu diễn trên trục số

Kiểu nhiệm vụ này tương tự như cách đếm các số trong tập số tự nhiên mà học sinh đã học ở tiểu học

 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR3R: “Tìm 2 số nằm giữa 2 số a và b cho trước”

Ví dụ: bài tập 4 (MR 7 R trang 11)

Tìm 2 số nằm giữa (-30, 002) và (-30, 001)

Lời giải mong đợi: -30, 0011 ; -30,0012 ; -30, 0013

+ Thêm 1 số 0 vào 2 phần thập phân của mỗi số

+ Khi đó 2 số cần tìm sẽ có phần nguyên và phần nguyên của ban đầu, phần thập phân là số nằm trong khoảng phần thập phân của 2 số ban đầu

Ví dụ : Tìm 2 số nằm giữa -1, 2 và -1, 1

- Thêm 0 vào phần phập phân 2 số : -1, 20 và -1, 10

 2 số cần tìm có thể là -1 , 18 và -1 , 12 ;…

+ C ông nghệ θR3R: Thứ tự các số trên trục số

Nhận xét : kiểu nhiệm vụ tương đối khó đối với học sinh trong các trường hợp bài

cho 2 số a và b cho học sinh có cảm giác như không tồn tại các số thỏa yêu cầu bài toán (ví dụ -5 và -4 ; -1,2 và -1,1 hoặc -5,48 và 5,49)

 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR4R: “ Tìm s ố đối của một số ”

Ví dụ: bài tập5 (SGKRL7R trang4) “tìm số đối của các số sau”

+11; 700; -14

Lời giải mong đợi: +11 và 11 ; 700 và -700; -14 và 14

+ Kỹ thuật τR4R: - số đối của 0 là chính nó

- Xem mối số a gồm phần dấu và phần số

Số đối của a có phần số là phần số của a và phần dấu ngược với phần dấu của a

+ C ông nghệ θR1R: Nhận xét số đối là số nằm ở 2 phía so với 0 và có độ lớn ngược nhau

Nhận xét: kiểu nhiệm vụ được nêu 1 cách tường minh không cho số ở dưới dạng chữ

mà là các số nguyên hoặc số hữu tỉ

Việc tìm số đối là công cụ để tìm giá trị tuyệt đối của 1 số hay tính hiệu của hai số

 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR5R: “ Tìm giá tr ị tuyệt đối của

m ột số”

Ví dụ: Bài tập 1 (SGKL7, tr.6)

“Tìm giá trị tuyệt đối của mỗi số sau:+ 13, − 5”

- Giá trị tuyệt đối của một số là số dương

- 2 số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối

có chứa giá trị tuyệt đối ; và tính khoảng cách của 2 điểm trên trục số

Từ phát biểu công nghệ trên của Sgk có thể đưa cho học sinh một qui tắc ngầm ẩn là :

Để tìm giá trị tuyệt đối của một số ta chỉ cần bỏ dấu “-” trước số đó (nếu có)

Kĩ thuật này không vận hành được trong trường hợp cho dưới dạng chữ Như vậy việc tìm giá trị tuyệt đối trên tập hợp số có thể là chướng ngại trong việc tìm giá trị tuyệt đối dưới dạng chữ Tuy nhiên , chương trình toán 6;7 không đề cập đến dạng bài tập này

 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR6R: “ Tính giá tr ị của biểu thức

ch ứa dấu giá trị tuyệt đối”

Ví dụ: Ví dụ: Bài tập 5 [SGKR L7 R, tr.7]

“Tính giá trị các biểu thức sau:

a) − − − 8 4 b) − 7 3 −

c) 18 : 6 − d) 153 + − 53”

+ Kỹ thuật τR6R: - Bỏ dấu | | nhờ vàoτR5

- Thực hiện các phép toán của biểu thức

+ C ông nghệ θR6R: Công nghệ của τR5R

Các qui tắc +; - hai số

Nhận xét : Đặt trưng của TR 6 R là trong dấu | | là số cụ thể và là số nguyên kiểu nhiệm

vụ được nêu một các tường minh Để thực hiện kiểu nhiệm vụ này, học sinh phải làm

tốt TR5

 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR7R: “So sánh hai s ố a và b”

Ví dụ: 1 , 5 < 7 ; 10<2

+ Kỹ thuật τR7R:

- Nếu a, b là 2 số dương thì so sánh 2 số ở bậc tiểu học

- Nếu a, b là 2 số trái dấu thì số có dấu “-” sẽ bé hơn số có dấu “+”

- Nếu a,b là số âm thì số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn là số bé hơn

+ C ông nghệ θR7R: Quan hệ thứ tự các số trên trục số (Số nằm bên phải sẽ lớn hơn số nằm bên trái )

Nhận xét:

Kiểu nhiệm vụ được nêu 1 cách tường minh, không xuất hiện trường hợp so sánh các

số có chứa giá trị tuyệt đối

 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR8R: “S ắp xếp các số theo thứ tự từ

bé đến lớn (hoặc ngược lại)”

Ví dụ: bài tập 2 (SGKRL7R tr.10)

“Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn”

15; 3; -5; 31; -3; 42 ; 0; 8,11; -3,14

Lời giải mong đợi: -5 ; -3,14; -3 ; 0 ; 3 ; 8,11 ; 15 ; 42

+ Kỹ thuật τR8R: - Chia dãy số thành 2 phần : Phần các số dương (bao gồm cả 0) , phần

Trong trường hợp dãy các số nhỏ, ta có thể biểu diễn chúng trên trục số rồi đọc kết quả Kiểu nhiệm vụ này liên quan đến việc so sánh các số hữu tỉ mà các em đã học ở cấp dưới

 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR9R: “Tính t ổng của 2 số a và b”

Ví dụ: (+4,5) + (+2,3)= +6,8

(-4,5) + (-2,3)= -6,8

+ Kỹ thuật τR9R: - Nếu a , b là 2 số đối nhau thì a+b =0

- Nếu a , b là 2 số dương thì tính tổng như đã học ở tiểu học

- Nếu a , b là 2 số âm thì ta lấy tổng 2 giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “-” trước kết quả tìm được

- Nếu a , b là 2 số trái dấu thì ta trừ 2 giá trị tuyệt đối cùa chúng (số lớn – số bé) sau đó đặt dấu theo dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn

+công nghệ θR9R: Các định lý

- Phép cộng 2 số nguyên có cùng kí hiệu ta làm như sau:

+ Cộng giá trị tuyệt đối của nó lại với nhau

+ Viết kí hiệu của chúng vào giá trị của tổng

- Phép cộng 2 số nguyên có kí hiệu khác nhau ta làm như sau:

+ Trừ giá trị tuyệt đối của nó

+ Viết kí hiệu của số có giá trị của lớn hơn vào hiệu

Nhận xét: kiểu nhiệm vụ được trình bày tường minh và còn được gặp trong bài toán tìm x và chiếm số lượng lớn trong các kiểu nhiệm vụ Việc tính tổng 2 số là cơ sở để thực hiện phép tính hiệu hai số sau này ở lớp 6, HS chỉ tính tổng của 2 số nguyên

 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR10R: “ Tính hiệu của 2 số a và b”

Ví dụ: (-3)-(-8)=(-3)+(+8)=+5

+ Kỹ thuật τR10R: Tính tổng của a và số đối của b

+ C ông nghệ θR10R: Qui tắc

- Để trừ số nguyên a cho b ta cộng số đối của b vào a

- Muốn trừ hai số ta phải cộng số thứ nhất với số ngược của số số thứ hai

Nhận xét : Kiểu nhiệm vụ được nêu 1 cách tường minh và còn gặp trong các bài toán

tìm x Việc tính hiệu hai số liên quan đến kiểu nhiệm vụ tính tổng hai số T 9 , tìm số

đối của 1 số TR4 Rở trên và kiểu nhiệm vụ tính khoảng cách giữa hai điểm trên trục số

- Qui tắc của Sgk AB=| b-a|

- Qui tắc tính giá trị tuyệt đối của một số

 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR12R: “Nhân hai s ố a , b”

Ví dụ: 2 , 1 × 3 = 6 , 3

3 , 6 ) 3 ( 1 ,

3 , 6 ) 3 ( ) 1 , 2

3 , 6 3 ) 1 , 2

+ Kỹ thuật τR12R:

- Một trong hai số là 0 thì tích chúng là 0

- Nếu hai số a, b là dương thì tính tích hai số như đã học ở tiểu học

- Nếu hai số a , b là âm thì tính tích hai giá trị tuyệt đối của chúng

- Nếu hai số trái dấu thì tính tích giá trị tuyệt đối của chúng rồi thêm dấu “-” vào

kết quả tìm được

+ C ông nghệ θR12R: Qui tắc

- Tích của 2 số cùng dấu là số dương

- Tích của 2 số khác dấu là số âm

Nhận xét : Kiểu nhiệm vụ được tình bày tường minh, từ công nghệ θR12R, ta suy ra qui tắc nhân dấu như sau:

+ - = -

- - = + + + = +