các mức năng lượng kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử

52 PHỤ LỤC 4: Chương trình MAPLE tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro bằng lý thuyết nhiễu loạn trong phương pháp toán tử .... Th ứ ba, tính một số mức năng lượng kích thích bậ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÙI NGUYỄN NGỌC THÚY

CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN

TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG PHÁP

TOÁN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÙI NGUYỄN NGỌC THÚY

CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN

TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG PHÁP

TOÁN TỬ

Chuyên ngành: VẬT LÝ NGUYÊN TỬ HẠT NHÂN

VÀ NĂNG LƯỢNG CAO

Mã số: 60 44 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN VĂN HOA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Văn Hoa – người hướng dẫn khoa học của luận văn – thầy đã tận tình hướng

theo đuổi

đã gợi ý đề tài và tận tình giúp đỡ

yêu trong gia đình đã luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá

MỤC LỤC

TRANG PHỤ BÌA 1

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

DANH MỤC CÁC BẢNG 6

MỞ ĐẦU 7

Chương 1 NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 12

1.1 Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro 12

1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro 13

1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro 15

Chương 2 LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ 16

2.1 Các bước cơ bản của phương pháp toán tử 16

2.2 Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro 17

2.2.1 Xây dựng bộ hàm cho bài toán nguyên tử hydro 17

2.2.2 Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro 19

2.2.3 Tính yếu tố ma trận của toán tử Hamiltonian 24

2.3 Nghiệm của bài toán nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn 27

2.3.1 Sơ đồ Rayleigh – Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng 27

2.3.2 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro 30

2.3.3 Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro 31

2.3.4 Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro 33

2.4 Kết luận chương 2 34

Chương 3 CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ THEO SƠ ĐỒ VÒNG LẶP 35

3.1 Sơ đồ vòng lặp cho bài toán nguyên tử hydro 35

3.2 Nghiệm chính xác bằng số của bài toán nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp 39

3.2.1 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro 39

3.2.2 Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro 41

3.2.3 Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro 42

3.3 Kết luận chương 3 43

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

PHỤ LỤC 1: Xây dựng bộ hàm cơ sở đối xứng cầu của nguyên tử hydro 49

PHỤ LỤC 2: Hàm GAMMA( )Γ 51

PHỤ LỤC 3: Tính yếu tố ma trận (0) nn H ,V nk 52

PHỤ LỤC 4: Chương trình MAPLE tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro bằng lý thuyết nhiễu loạn trong phương pháp toán tử 58

PHỤ LỤC 5: Chương trình FORTRAN tính các mức năng lượng của nguyên tử hydro bằng lý thuyết nhiễu loạn trong phương pháp toán tử 82

PHỤ LỤC 6:Sơ đồ vòng lặp nhằm tính số trên máy tính các hệ số khai triển C k và giá trị năng lượng E k 101

PHỤ LỤC 7: Các công thứcdùng để lập trình tính số trên Fortran 9.0 105

PHỤ LỤC 8: Chương trình FORTRAN nhằm tính số trên máy tính các hệ số khai triển C k và giá trị năng lượng E k 110

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu

loạn

……… …….………31

Bảng 2.2 Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro theo lý

Bảng 2.3: Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro theo lý

Bảng 3.1 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp.40

Bảng 3.2 Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro theo sơ đồ

Bảng 3.3 Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro theo sơ đồ

M Ở ĐẦU

1 Tình hình nghiên c ứu

Bài toán nguyên tử hydro đã có lời giải chính xác nên đó là một mô hình lý tưởng cho việc kiểm chứng hiệu quả của các phương pháp gần đúng giải phương trình Schrödinger [6], [7], [8] Kể từ những năm 1970 đã có rất nhiều nghiên cứu

với nhiều phương pháp khác nhau như sử dụng phương pháp biến phân [6], gần đúng Hartree-Fock [8], giải trực tiếp phương trình Schrödinger bằng phương pháp

số [7], phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [1]…

Những ý tưởng về phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt là OM) đã

xuất hiện vào những năm 1979 Tuy nhiên, OM được đưa ra đầu tiên vào năm 1982

bởi một nhóm các giáo sư ở trường đại học Belarus [5] và được ứng dụng thành công cho một nhóm rộng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác các chùm điện tử với cấu trúc tinh thể trong vật lý chất

rắn; bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường [2], [5] Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman, Wistchel

và nhiều tác giả khác Phương pháp toán tử với các tính toán thuần đại số xây dựng cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang là một phương pháp có tính thời sự [1], [3]

Một trong các khó khăn khi vận dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử chính là thành phần tương tác Coulomb có các biến số nằm trong mẫu số Trong công trình [2], khó khăn này được giải quyết bằng cách sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel để đưa bài toán về không gian bốn chiều Tuy nhiên chính phép biến đổi này đã làm phát sinh những khó khăn khác khi giải bài toán, đó là làm cho nó khó phát triển cho các trạng thái kích thích và các bài toán nguyên tử nhiều điện tử

Qua đó chúng tôi nhận thấy việc sử dụng phương pháp toán tử kết hợp với phép biến đổi Laplace và sơ đồ vòng lặp giúp ta thu được nghiệm chính xác bằng số

cho một số mức năng lượng kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro Đây chính là

ưu điểm của phương pháp này [1]

Ngoài ra, qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau

Th ứ nhất, đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông

thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt Thực vậy, trong suốt quá trình tính toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phép biến đổi đại số Và vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán

Th ứ hai, cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài với cường độ

bất kì, nghĩa là xác định giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài (hệ phi nhiễu loạn)

Từ những ưu điểm trên thì việc lựa chọn phương pháp toán tử là rất cần thiết

2 Lý do ch ọn đề tài

Bước đầu, năng lượng trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro thu được chính xác bằng số theo sơ đồ vòng lặp đã chứng tỏ ưu điểm của phương pháp toán tử Tuy nhiên phương pháp này còn một số vấn đề cần làm rõ như giá trị của các mức năng

lượng cao hơn cũng như bậc suy biến của chúng Do đó, đề tài “CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ” là bước đầu thử nghiệm của phương pháp toán tử,

góp phần hoàn chỉnh và khẳng định sự đúng đắn của phương pháp khi áp dụng để tính các mức kích thích của nguyên tử hydro trong các bài toán phức tạp hơn như nguyên tử trong từ trường, điện trường với cường độ bất kì, bài toán phân tử nhiều nguyên tử hay bài toán tinh thể…

3 M ục đích nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành,

sơ đồ tính toán, ưu điểm và áp dụng để giải bài toán nguyên tử hydro Phạm vi

nghiên cứu của luận văn là tính mức năng lượng cơ bản và một số mức kích thích

bậc thấp của nguyên tử hydro Các kết quả thu được so sánh với kết quả chính xác

và kết quả của các tác giả khác [1]

4 Nhi ệm vụ nghiên cứu

Th ứ nhất, tìm hiểu thuật toán và viết chương trình tính số theo sơ đồ vòng lặp

cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

Th ứ hai, xây dựng bộ hàm cơ sở cho các trạng thái kích thích của nguyên tử

hydro trong biểu diễn của dao động tử điều hòa bằng giải tích Từ đó xác định các

mức năng lượng kích thích của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử

Th ứ ba, tính một số mức năng lượng kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro

bằng phương pháp tính số theo sơ đồ vòng lặp và so sánh với phương pháp cổ điển trong cơ học lượng tử cũng như các kết quả tính toán mới nhất trên các tạp chí khoa

học bằng các phương pháp khác

Th ứ tư, trên cơ sở đó khẳng định sự thành công của phương pháp toán tử khi

giải quyết nhóm bài toán hệ nguyên tử và chỉ ra khả năng áp dụng phương pháp toán tử cho các bài toán phức tạp hơn

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết với công cụ chính là phương pháp toán tử, phương pháp giải tích để tính toán và phương pháp lập trình tính số trên máy tính

6 C ấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn “CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH THÍCH B ẬC THẤP CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN T Ử” gồm có ba chương:

 Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO

1.1 Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro

1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro

1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro

Trong chương này chúng tôi trình bày những kết quả mà cơ học lượng tử

đã đạt được về bài toán nguyên tử hydro, mức năng lượng cơ bản và các

m ức năng lượng kích thích của nguyên tử hydro tính chính xác bằng phương pháp c ổ điển trong cơ học lượng tử

 Chương 2: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN

T Ử HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ

2.1 Các bước cơ bản của phương pháp toán tử

2.2 Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro

2.2.1 Xây dựng bộ hàm cho bài toán nguyên tử hydro

2.2.2 Phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro

2.2.3 Tính yếu tố ma trận của toán tử Hamiltonian

2.3 Nghiệm của bài toán nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn

2.3.1 Sơ đồ Rayleigh - Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng 2.3.2 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

2.3.3 Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro

2.3.4 Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro

3.1 Sơ đồ vòng lặp cho bài toán nguyên tử hydro

3.2 Nghiệm chính xác bằng số của bài toán nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng

lặp

3.2.1 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

3.2.2 Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro

3.2.3 Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro

3.3 Kết luận chương 3

Chương này là kết quả chính của luận văn Trong chương này chúng tôi

gi ới thiệu phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp cho bài toán nguyên tử hydro, đối với trạng thái cơ bản, trạng thái kích thích thứ nhất, thứ hai, và

nh ận được nghiệm năng lượng bằng số Kết quả có thể tính đến bổ chính bất

kì và h ội tụ đến giá trị với độ chính xác cho trước nên ta gọi là nghiệm chính xác b ằng số Đây là một bước kiểm tra hiệu quả của việc ứng dụng phương pháp toán t ử theo sơ đồ vòng lặp vào việc tính các mức năng lượng của nguyên t ử hydro Do bài toán nguyên tử hydro có nghiệm chính xác nên ta dễ dàng so sánh và đánh giá phương pháp để chỉ ra khả năng ứng dụng phương pháp toán t ử theo sơ đồ vòng lặp vào các bài toán không có nghiệm chính xác như bài toán nguyên tử hydro trong trường ngoài

Ngoài ra trong chương này chúng tôi so sánh kết quả của việc sử dụng

sơ đồ vòng lặp so với lý thuyết nhiễu loạn, từ đó khẳng định những ưu điểm

n ổi bật của phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp khi giải quyết các bài toán phi nhi ễu loạn

Ph ần kết luận: Tóm tắt lại những kết quả đã đạt được của luận văn, hướng

phát triển sắp tới của đề tài

Ph ần tài liệu tham khảo gồm có trên 10 công trình khoa học cũng như sách

có liên quan

Kết quả thu được đã được báo cáo ở Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần

thứ 36

Chương 1

NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

1.1 Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro

Ta có thể đưa bài toán hai hạt electron - hạt nhân về bài toán một hạt có khối lượng rút gọn là mM

µ = + , chuyển động trong trường thế Coulomb (trường lực

dừng xuyên tâm với tâm của trường lực đặt ở khối tâm của hệ - hạt nhân)

Tuy nhiên trường Coulomb này không mô tả chính xác bức tranh vật lý Đó là

sự phân bố hữu hạn điện tích của hạt nhân và cả hiệu ứng chắn gây ra bởi các electron khác (trường hợp Z > 1) đã được ta bỏ qua

Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro được viết như sau

( ) ( )2

sin

111

ϕθθ

θθθ

r r

r r

Đây chính là phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro trong hệ tọa độ

sin

1ˆ

ϕθθ

θθ

− của hạt nhân là trường xuyên tâm nên ta biểu diễn

nghiệm của phương trình (1.4) dưới dạng

( ) 2 2

1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro

Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của nguyên tử hydro

số nguyên Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở

vô cực

a) Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên

kết, bắt đầu ứng với năng lượng 2 42

2

m Z e

 và kết thúc ứng với năng lượng 0

b) Ứng với một giá trị đã cho của n thì lcó thể có những giá trị

gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ Ứng với một giá trị đã cho của l thì

m có thể nhận các giá trị m= − − +l, l 1, , 1, 0,1, ,− l−1,l Tất cả có (2l+1)giá trị của

m Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z

z

(1.9) Như vậy, ứng với một mức năng lượng E n có nhiều trạng thái khác nhauΨnlm,

ta nói có sự suy biến

Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng E n là

( )

1

2 0

2 1

n l

d) Phổ năng lượng của nguyên tử hydro xác định bởi phương trình (1.8)

Khi so sánh các tính toán năng lượng từ (1.8) với các số liệu thực nghiệm, ta

thấy có một vài điểm khác nhau vì ta đã bỏ qua các tương tác khác trong nguyên tử hydro

Ứng vớin= 1, năng lượng có giá trị thấp nhất E1= −13, 6eV

Khi n càng tăng thì các mức E nliên tiếp càng gần nhau hơn Khi n→ ∞thì 0

1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro

Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hydro có dạng

2

o o

Zr na

a me

α=

= (a0 là bán kính Bohr thứ nhất)

Chương 2

LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN

TỬ HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ

Phương pháp toán tử được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sư ở trường đại học Belarus [5] và được ứng dụng thành công cho một nhóm

rộng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác các chùm điện tử với cấu trúc tinh thể trong vật lý chất rắn; bài toán tương tác

hệ các boson trong lý thuyết trường [2], [5] Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman, Wistchel và nhiều tác giả khác Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử

đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau [3]

Th ứ nhất, đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông

thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt Thực vậy, trong suốt quá trình tính toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phép biến đổi đại số Và vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán

Th ứ hai, cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài với cường độ

bất kì, nghĩa là xác định giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài

Trong phần này chúng tôi sử dụng phương pháp toán tử theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn cho bài toán nguyên tử hydro, tính mức năng lượng cơ bản và một số

mức năng lượng kích thích Do bài toán có nghiệm chính xác nên ta dễ dàng so sánh

và đánh giá phương pháp

2.1 Các bước cơ bản của phương pháp toán tử

(1) Biểu diễn Hamiltonian dưới dạng các toán tử sinh, hủy

ˆ( ,ˆ ˆ ) ˆ( ,ˆ ˆ )

x

H x p →H a a+

(3) Giải tìm nghiệm gần đúng bậc không

n n

2.2 Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro

2.2.1 Xây dựng bộ hàm cho bài toán nguyên tử hydro

Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy như sau [3]

trong đó α β, = 1, 2, 3 tương ứng với 3 trục x y z, ,

Do bài toán có tính đối xứng cầu và chỉ xét đối với trạng thái cơ bản nên

trong đó δij là ký hiệu delta Krôneckơ

Hệ thức này giúp ta đưa các toán tử sinh, hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán

tử sinh nằm về phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn của toán tử

Dễ dàng kiểm chứng rằng ba toán tử ˆ ˆ ˆA+, ,A N tạo thành một đại số kín [trang 16] thỏa mãn các hệ thức giao hoán

a a a

=

=

=

(2.7)

Do bài toán có tính đối xứng cầu và bảo toàn đại lượng bình phương mô-men

quỹ đạo cũng như hình chiếu mô-men quỹ đạo nên ta cần xây dựng bộ hàm cơ sở

2.2.2 P hương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro

Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro theo hệ đơn vị nguyên tử ( = = =m e 1)

Z H

trong đó Z là điện tích hạt nhân

Ta biểu diễn Hamiltonian Hˆ trong hình thức luận toán tử sinh hủy như sau

Thành phần động năng

1ˆ

Thành phần thế năng chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây khó khăn cho quá

trình tính toán Để loại trừ khó khăn trên ta sử dụng phép biến đổi Laplace [4] như

sau

( ) 0

Bước 1: Chứng minh ba toán tử   A A, +,N tạo thành một đại số kín bằng cách

kiểm tra các giao hoán tử sau:  A A, +, A N, ,N A , +

0

0

000

f g h

η

η

η

ηηη

Bước 3: Xây dựng hệ phương trình cho các hàm số cần tìm như sau

Lấy đạo hàm hai vế của (2.18) theo ηta thu được

(2.21)

Ta có

trong đó giao hoán tử lấy k lần

Mặc khác, khai triển Taylor hàm f(t) tại điểm t 0 =0 ta có

với

2

t

ηω

=Khai triển ˆS theo chuỗi Taylor, ta được Hamiltonian (2.17) như sau [3]

ˆ ln 1 2 2 0

chứa số thừa số các toán tử sinh, hủy bằng nhau

Còn toán tử “nhiễu loạn” ˆV có dạng

ˆ ln 1 2 0

Nghiệm gần đúng bậc zero của phương trình Schrödinger chính là nghiệm

riêng chính xác của toán tử Hˆ( )0 , còn các bổ chính bậc cao hơn ta có thể tính theo

sơ đồ thích hợp (sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hay sơ đồ vòng lặp)

2.2.3 Tính yếu tố ma trận của toán tử Hamiltonian

Với bộ hàm sóng trên, ta có các biểu thức thường dùng như sau được chứng

+ − +∞

+ +∞ +∞

2 2 1

(1 )1

2

322(4 1)!!(2 2 )!

2(4 1)!!

j n

( ) ( )

1 2 3 2

(1 )

1(2 1 2 )

21

j nj

j b

i n k i n k i k i

=

2.3 Nghiệm của bài toán nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn

2.3.1 Sơ đồ Rayleigh – Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng

Hầu hết các bài toán chuyển động trong thế giới vi mô đều dẫn đến việc giải phương trình Schrödinger mà nghiệm chính xác của nó chỉ có thể xác định được trong một số trường hợp đơn giản với thế năng đã được lý tưởng hóa (nguyên tử hydro, bài toán dao động tử đều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc ) Do

đó, đối với các bài toán liên quan đến hệ lượng tử thực, người ta phải dùng các phương pháp tính gần đúng để tìm hàm riêng, trị riêng của nó Phương pháp nhiễu

loạn là một trong những phương pháp tính gần đúng rất quan trọng của Cơ lượng tử Bên cạnh những ưu điểm thì phương pháp này cũng bộc lộ một số hạn chế như tính

hội tụ của chuỗi nhiễu loạn và miền ứng dụng của phương pháp

ˆ

n n n

thành phần ˆV còn lại gọi là thế nhiễu loạn

Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn ˆV phải “nhỏ”

so với H ˆ0

0

Điều kiện (2.43) có thể được thỏa mãn nếu chọn giá trị thông số tự do ω hợp

lý Trong quá trình tính số trên máy tính, nếu điều kiện (2.43) thỏa mãn thì quá trình tính số sẽ hội tụ

Ta giả thuyết rằng các trị riêng của ˆH là không suy biến và có phổ gián đoạn,

hệ hàm riêng ψn của H ˆ0 là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng εn, với 0,1, 2

n= Khi đó, ta tìm nghiệm của (2.40) dưới dạng khai triển các hàm riêng của

các hệ số C j, nghĩa là tìm được hàm sóng Ψn( )x qua công thức (2.45)

Ta có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn như sau

( ) 0 ( )

1

s s

∆ là các bổ chính năng lượng bậc s và hệ số hàm sóng tương ứng

Thay (2.40) và (2.41) vào (2.47) và (2.48) sau đó đồng nhất hai vế theo lũy

thừa của tham số β ta được

( ) ( ) ( )

( )

0 0 1

1

0

0

n nn j

n nn

jn j

n jj

E H C

s s

,

s s

2.3.2 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

Ta chọn trị riêng của toán tử Hˆ( )0 làm nghiệm gần đúng bậc không Kết quả thu được như sau [3]

( ) 0 0

phụ thuộc vào ω là tham số dương ta đưa vào để tối ưu quá trình tính toán

Vì thành phần nhiễu loạn Vchứa các số hạng không trung hòa nên các thành

phần nằm trên đường chéo chính trong ma trận V b nk ằng không Do đó bổ chính bậc

một của mức năng lượng cơ bản

B ảng 2.1 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính

b ậc ba theo lý thuyết nhiễu loạn khi chọn các giá trị khác nhau của tham số ω

[ph ụ lục 5]

ω

Năng lượng

cơ bản của nguyên tử hydro

Sai số tương đối

Tài liệu [1] Tài liệu [3]

Năng lượng

Sai số tương đối

Năng lượng

Sai số tương đối 0.200000 -0.474594 5.08% -0.495110 0.98% -0.503036 0.61%

0.300000

0.590000

0.597705

-0.503036 -0.499602 -0.499725

loạn Ngoài ra giá trị bổ chính bậc ba nhỏ hơn so với giá trị bổ chính bậc hai chứng

tỏ chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ và ta hy vọng có thể tính chính xác đến bậc tùy ý [3]

Nếu tiếp tục thêm vào các giá trị bổ chính bậc cao hơn, ta sẽ thu được giá trị

mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hiđrô theo phương pháp toán tử chính bằng giá trị thu được trong bài toán giải chính xác [1], [3]

Tuy nhiên phương pháp toán tử theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn vẫn tồn tại một

số vấn đề còn bỏ ngỏ như việc lựa chọn tham số ω tối ưu để bài toán cho kết quả

hội tụ đến giá trị chính xác nhanh nhất, khảo sát miền hội tụ của tham số ω Ngoài

ra, việc tính số trên máy tính thông qua sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn còn khá phức tạp, sai số của mức năng lượng cơ bản có thể lớn hơn 1% một chút nếu ta không chọn được giá trị ω thích hợp Ta không thể xác định trước sai số mong muốn của kết

quả trước khi tính số trên máy tính

2.3.3 Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro

Ta chọn các số lượng tử l m, bằng 0 để tính các mức năng lượng kích thích Khi đó bộ hàm {n0 0}hợp thành một không gian Hilbert và bài toán có thể đưa về nhiễu loạn không suy biến

Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro khi chưa có nhiễu

loạn được tính bởi công thức sau [3]

(0) 1

Vì thành phần nhiễu loạn Vchứa các số hạng không trung hòa nên các thành

phần nằm trên đường chéo chính trong ma trận V b nk ằng không Do đó bổ chính bậc

một của mức năng lượng kích thích thứ nhất

Các bổ chính bậc cao (s≥ 2) của mức năng lượng kích thích thứ nhất và các

hệ số hàm sóng tương ứng được tính theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn (2.53), (2.54)

Kết quả mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro tính đến bổ chính

bậc ba được đưa ra trong bảng 2.2

B ảng 2.2 Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc ba theo lý thuyết nhiễu loạn [phụ lục 5]

2.6%

2.2%

0.85%

Như vậy, khi tính mức năng lượng kích thích thứ nhất bằng phương pháp toán

tử với sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn, chúng tôi nhận thấy kết quả tương đối phù hợp

với kết quả chính xác (sai số dưới 2.6%)

Tuy nhiên cũng giống như trường hợp mức năng lượng cơ bản, vấn đề còn tồn

tại khi tính các mức năng lượng kích thích là việc chọn tham số ω tối ưu để bài

toán cho kết quả hội tụ đến giá trị chính xác nhanh nhất cũng như khảo sát miền hội

tụ của tham số ω bằng tính số trên máy tính Đối với sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn,

việc khảo sát miền hội tụ của giá trị ω khá khó khăn do các giá trị ω làm cho bài toán hội tụ đến nghiệm chính xác phân bố rời rạc

2.3.4 Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro

Mức kích thích thứ hai khi chưa có nhiễu loạn được tính bởi công thức [3]

(0) 2

Vì thành phần nhiễu loạn Vchứa các số hạng không trung hòa nên các thành

phần nằm trên đường chéo chính trong ma trận V b nk ằng không Do đó bổ chính bậc

một của mức năng lượng kích thích thứ nhất

Các bổ chính bậc cao (s≥2) của mức năng lượng kích thích thứ hai và các hệ

số hàm sóng tương ứng được tính theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn (2.53), (2.54) Kết

quả mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc

ba được đưa ra trong bảng 2.3

B ảng 2.3 Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro tính

đến bổ chính bậc ba theo lý thuyết nhiễu loạn [phụ lục 5]

0.45%

0.75%

0.23%

Như vậy, khi tính mức năng lượng kích thích thứ hai bằng phương pháp toán

tử với sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn, chúng tôi nhận thấy kết quả tương đối phù hợp

với kết quả chính xác (sai số nhỏ hơn 1%) Tuy nhiên việc tính số trên máy tính bộc

lộ một số hạn chế như tính hội tụ của chuỗi nhiễu loạn chưa cao và việc tính toán khá phức tạp

2.4 Kết luận chương 2

Qua chương này chúng tôi rút ra các kết luận như sau

Khi sử dụng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn, ta đã xem

cơ sở không gian của nguyên tử hydro và của dao động tử điều hòa là tương đương nhau, từ đó thu được các mức năng lượng của nguyên tử hydro với kết quả rất chính xác tính đến bổ chính bậc ba Giá trị bổ chính bậc ba nhỏ hơn nhiều giá trị bổ chính

bậc hai… Điều này chứng tỏ chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ và ta hy vọng có thể tính chính xác các mức năng lượng đến bậc tùy ý

Tuy nhiên bên cạnh những ưu điểm thì phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn cũng bộc lộ một số hạn chế như tính hội tụ của chuỗi nhiễu loạn chưa cao, chưa được lợi nhiều về thời gian và việc khảo sát miền hội tụ của tham số

tự do ω vẫn chưa được giải quyết hợp lý Hơn nữa với sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn, ta không thể xác định trước bậc nhiễu loạn cần tính theo sai số mong muốn

Chương 3.

TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ THEO SƠ ĐỒ VÒNG

LẶP

Trong chương này các mức năng lượng của nguyên tử hydro được tính chính xác bằng số tới bậc tùy ý theo sơ đồ vòng lặp và được so sánh với kết quả chính xác cũng như kết quả của các tác giả khác Kết quả khảo sát cho thấy triển vọng ứng

dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong trường ngoài và các bài toán hệ nguyên tử Việc sử dụng sơ đồ vòng lặp thay vì sơ đồ lý thuyết nhiễu

loạn giúp chúng ta tiết kiệm tài nguyên tính toán hơn rất nhiều

3.1 Sơ đồ vòng lặp cho bài toán nguyên tử hydro

Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro được viết dưới dạng

trong đó E nlà năng lượng tính được sau (s) vòng lặp

Thay (2.6.2) vào (2.6.4) ta được

Đồng nhất hai vế (3.10) ta thu được

( ) ( ) ( )

( )

H C H C

E H

H C H C

E H

+

=

−+

Sơ đồ vòng lặp nhằm tính số trên máy tính các hệ số khai triển C k và giá trị

năng lượng E k tới độ chính xác tùy ý theo công thức truy hồi sau [phụ lục 4]

Đúng

Input

n, ω

Đọc Hnn, V tnk ừ file Gán b ậc s = , 0 E =0

3.2 Nghiệm chính xác bằng số của bài toán nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp

3.2.1 M ức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

Lập trình tính toán trên FORTRAN 9.0 [phụ lục 7] ta thu được mức năng lượng cơ bản E0 của nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp Chọn sai số tương đối là

10-6 và giá trị thông số tự do ω = 0.5gần với giá trị cực tiểu hóa năng lượng cơ bản

của thành phần trung hòa trong Hamiltonian, thì số vòng lặp tương ứng là s= 1528

Kết quả phù hợp với lời giải chính xác và được trình bày trong bảng 3.1 Trong đó

Như vậy ta thấy phương pháp toán tử với sơ đồ vòng lặp cho ta hội tụ đến kết

quả chính xác, cụ thể là với 1528 vòng lặp ta có năng lượng chính xác đến năm chữ

số sau dấu phẩy E0 = −0.499990 Tuy số vòng lặp lớn nhưng số lượng tính toán ít hơn khi sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn là vì với mỗi bậc nhiễu loạn ta đều có

tổng vô hạn và tốc độ hội tụ của các tổng đó cũng không cao

Tham số tự do ω rất quan trọng trong việc nâng cao tốc độ hội tụ đến nghiệm chính xác khi sử dụng phương pháp toán tử với sơ đồ vòng lặp Qua khảo sát bằng tính số, miền hội tụ của thông số tự do đối với mức đối với mức năng lượng cơ bản

là ω < 6 Như vậy, ta dễ dàng chọn được giá trị ω thích hợp để bài toán cho nghiệm chính xác bằng số Đây là ưu điểm của sơ đồ vòng lặp so với sơ đồ lý thuyết nhiễu

loạn vì với lý thuyết nhiễu loạn, việc lựa chọn tham số ω thích hợp khá khó khăn, thông thường giá trị ω phải gần với giá trị cực tiểu hóa năng lượng Ngoài ra, khi

so sánh với sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn, sơ đồ vòng lặp giúp chúng tôi khảo sát miền

hội tụ của tham số tự do ωmột cách dễ dàng qua việc tính số trên máy tính