các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên trường hữu tỷ

Ban chủ nhiệm Khoa và Quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình học, Khoa Toán – Tin c ủa Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành t ất cả các học phần của khóa học Cao họ

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

CÁC ĐIỂM XOẮN HỮU TỶ CỦA

ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN

L ỜI CẢM ƠN

mình t ới TS Phan Dân – người đã định hướng cho tôi lựa chọn đề tài và hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

1 Ban chủ nhiệm Khoa và Quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình học, Khoa Toán – Tin c ủa Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành t ất cả các học phần của khóa học Cao học, giúp tôi nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học

t ập hữu ích, giúp tôi hoàn thành việc tiếp cận nội dung các học trình và định hướng đề tài cho luận văn tốt nghiệp

2 Ban Giám hi ệu, Phòng Sau Đại học, Phòng Tổ chức-Hành chính, Phòng K ế hoạch-Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám hi ệu trường THPT Nguyễn Hữu Cầu huyện Hóc Môn thành ph ố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

3 Các đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và

t ạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Thành Ph ố Hồ Chí Minh, 06/ 2012

Tác gi ả

H ứa Thị Hạ Phương

M ỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

CÁC KÝ HIỆU 6

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Lịch sử của vấn đề 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Mục đích nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 7

1.1 Nhóm aben hữu hạn sinh 7

1.2 1.2 Đa tạp affine và đa tạp xạ ảnh 9

1.2.1 Đa tạp affine 9

1.2.2 Đa tạp xạ ảnh 11

1.3 Tổng quan về đường cong elliptic 16

1.4 Đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝒒1T 18

1.5 Đường cong elliptic trên trường số thực ℝ1T 19

1.6 Đường cong elliptic trên trường số phức ℂ1T 20

Chương 2:CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG WEIERTRASS TRÊN ℚ 25

2.1 Tổng quan về các đường cong dạng Weiertrass trên ℚ1T 25

2.1.1 Đường cong affine và đường cong xạ ảnh 25

2.1.2 Phương trình Weiertrass dạng dài và ngắn 25

2.1.3 j – bất biến của đường cong elliptic 26

2.2 Các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên ℚ1T 27

2.2.1 Các định lý cơ bản 27

2.2.2 Nhóm các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ 30

2.2.3 Sự phân bố của các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ 30

2.2.4 Hạng đại số và hai bài toán cơ bản 30

2.3 Mô tả chung về luật nhóm và các j – bất biến của một số họ đường cong 34

2.3.1 Luật nhóm và một số phương pháp xác định điểm bội 34

2.3.2 Các j – bất biến của các họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝒙, 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên tố) 44

2.4 Mô tả các nhóm con xoắn của một số họ đường cong elliptic 44

2.4.1 Các thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ 45

2.4.2 Các nhóm xoắn của họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝒙, 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên tố) 53 2.4.3 Nhóm con xoắn của họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙1T 56

2.4.4 Các tính toán cho Bảng 2.1 57

KẾT LUẬN 61

Phụ lục A: BẢNG TÍNH TOÁN 62

Phụ lục B: CHU KỲ 𝝎𝟏 VÀ 𝝎𝟐, THUẬT TOÁN AM – GM 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

Vành các đa thức biến 𝑋 trên trường 𝕂

Nhóm các điểm hữu tỷ của đường cong elliptic 𝐸 Nhóm các điểm hữu tỷ có bậc hữu hạn chia hết 𝑛

Điểm ở vô tận 𝒪 của đường cong elliptic 𝐸

PH ẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Định lý lớn Fermat (còn được gọi là Định lí Fermat-Wiles) là một trong những vấn

đề thời sự của Toán học trong suốt ba thế kỷ qua và mới được giải quyết trọn vẹn vào năm 1994 bởi Wiles và Taylor có lẽ là vấn đề thuộc loại thú vị và được các

ta đã phải sử dụng tới rất nhiều kiến thức và kỹ thuật cũng như phương pháp nghiên

đa tạp, các đường cong đại số và các điểm hữu tỷ trên chúng, các hàm elliptic, các

chúng

Vì vậy đề tài được mang tên:

“Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên trường hữu tỷ”

2 L ịch sử của vấn đề

Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu vấn đề “Các điểm hữu tỷ của đường cong

đường cong elliptic là một nhóm aben hữu hạn sinh,

định các điểm xoắn hữu tỷ

hoàn toàn khác xa với điều đó, vì những khó khăn gặp phải ngay cả khi sử dụng

điểm xoắn hữu tỷ trên một số họ đường cong trên Q được cho dưới dạng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu mô tả cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ đường cong Elliptic dưới dạng Weierstrass trên trường các số hữu tỷ (Định lý Mordell-Weil)

- Xét một số họ các đường cong có phương trình dạng: y2

= x3 –px, với p là số

- Phân loại và xác định nhóm con xoắn của các điểm hữu tỷ trên một số họ

= x3 - p2, với p là số nguyên tố

điểm xoắn hữu tỷ

- Trình bày chi tiết các thuật toán xác định nhóm con xoắn các điểm hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q thông qua mối liên hệ với các kết quả nghiên cứu các họ đường cong trên trường hữu hạn và các đường cong trên trường số phức , ngoài phương pháp xác định trực tiếp bằng cách sử dụng định lý Nagell-Lutz

5 Phương pháp nghiên cứu

mô tả các đối tượng cần quan tâm

xác định các điểm xoắn trên một số họ đường cong đặc biệt, với các j-bất biến trên

pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường cong Elliptic trong thời gian gần đây, đã và đang được sử dụng và phát triển bởi nhiều tác giả trong

[2], [3], [13]

6 C ấu trúc luận văn

Chương 1: Kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công

- Các đa tạp xạ ảnh, afin

Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên Q

đường cong Elliptic cụ thể và đưa ra sự mô tả chung về luật nhóm, các j-bất biến trên chúng

- Nhóm con xoắn của các họ y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2

- Nhóm con xoắn của y2 = x3 + 2x2 - 3x

Trong Luận văn này cũng giới thiệu nội dung cơ bản và ứng dụng của các Thuật toán Doud, Schoof, …

Chương 1

KI ẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Nhóm aben h ữu hạn sinh

sinh

Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm aben 𝐴 được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại hữu hạn

các ph ần tử 𝑎1, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴 sao cho với mỗi 𝑥 ∈ 𝐴, tồn tại các số nguyên 𝑘1, … , 𝑘𝑛

Định nghĩa 1.1.3 Một nhóm aben 𝐴 được gọi là không có xoắn nếu 𝑇(𝐴) = {0}

Định nghĩa 1.1.4 ℤ𝑛 ≔ ℤ ⨁ … ⨁ ℤ (tổng của 𝑛 bản ) được gọi là nhóm aben tự

do h ạng 𝑛

Bổ đề 1.1.5 Cho 𝐴 là một nhóm aben, khi đó 𝐴/𝑇(𝐴) là không có xoắn

Định nghĩa 1.1.6 Cho 𝐴 là một nhóm aben và 𝐵, 𝐶 là các nhóm con của 𝐴 Ta nói

𝐴 là tổng trực tiếp trong của 𝐵 và 𝐶, kí hiệu 𝐴 = 𝐵 ⊕ 𝐶, nếu 𝐴 = 𝐵 + 𝐶 và

𝐵 ∩ 𝐶 = {0}, trong đó 𝐵 + 𝐶 = {𝑏 + 𝑐: 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑐 ∈ 𝐶}

Định lý 1.1.7 Nếu 𝐴 là nhóm aben hữu hạn sinh không có xoắn mà có một tập sinh

có l ực lượng bé nhất với 𝑛 phần tử thì 𝐴 đẳng cấu với nhóm aben tự do có hạng 𝑛

Ch ứng minh Áp dụng phương pháp quy nạp trên số phần tử sinh nhỏ nhất của 𝐴

không có xoắn và {𝑎1, … , 𝑎𝑛} là tập sinh nhỏ nhất của 𝐴 Nếu 𝑇(𝐴/〈𝑎1〉) = {0} thì

𝑗/𝑖 và 𝑓(0) ≔ 0 Khi đó, dễ thấy ker𝑓 = {0} và ta có 𝑓 là một đơn ánh Suy ra

𝐵 ≅ 𝑓(𝐵) Nếu 𝐵 là nhóm hữu hạn sinh thì 𝐵 là nhóm cyclic Giả sử 𝐵 =

〈𝑏1, … , 𝑏𝑚〉 Khi đó, 𝑓(𝐵) = 〈𝑓(𝑏1), … , 𝑓(𝑏𝑚)〉 = 〈𝑗1/𝑖1, … , 𝑗𝑚/𝑖𝑚〉 là nhóm con

tử Nếu không, ta sẽ có 𝐴/𝐵 = 〈𝑎�1, … , 𝑎�𝑛〉 = 〈𝑎�2, … , 𝑎�𝑛〉 và 𝐴/𝐵 ≅ (𝐴〈𝑎1〉)/

Định lý 1.1.8 Cho 𝐴 là một nhóm aben hữu hạn sinh Khi đó 𝐴 ≅ 𝑇(𝐴) ⊕

𝐴/𝑇(𝐴)

Ch ứng minh Giả sử 𝐴 = 〈𝑎1, … , 𝑎𝑛〉 Khi đó 𝐴/𝑇(𝐴) = 〈𝑎�1, … , 𝑎�𝑛〉 Vì vậy

∑ 𝑘𝑚 𝑖𝑥̅𝑖

Hệ quả 1.1.9 Mỗi một nhóm aben hữu hạn sinh đều là tổng trực tiếp của một

nhóm h ữu hạn và một nhóm aben tự do có hạng hữu hạn

1.2 1.2 Đa tạp affine và đa tạp xạ ảnh

Định nghĩa 1.2.1.2 Một tập đại số (affine) là một tập bất kỳ có dạng 𝑉𝐼 Nếu 𝑉 là

m ột tập đại số thì idean của 𝑉 được định nghĩa bởi

𝐼(𝑉) = {𝑓 ∈ 𝕂�{𝑋}: 𝑓(𝑃) = 0 với mọi 𝑃 ∈ 𝑉}

các điểm 𝕂 – hữu tỷ của 𝑉 là tập hợp

Định nghĩa 1.2.1.4 Một tập đại số affine 𝑉 được gọi là một đa tạp affine nếu 𝐼(𝑉)

là m ột idean nguyên tố trong 𝕂�[𝑋]

Chú ý là nếu V được định nghĩa trên 𝕂 thì sẽ không đủ nếu ta chỉ kiểm tra

ℚ[X1, X2]

Định nghĩa 1.2.1.5 Cho 𝑉 là một đa tạp Chiều của 𝑉, ký hiệu bởi 𝑑𝑖𝑚(𝑉), là bậc

siêu vi ệt của 𝕂�(𝑉) trên 𝕂�

Ví d ụ 1.2.1.6 Chiều của 𝒜𝕂�𝑛 là 𝑛, vì 𝕂��𝒜𝕂�𝑛� = 𝕂�(𝑋1, … , 𝑋𝑛) Tương tự, nếu

𝑓(𝑋1, … , 𝑋𝑛) = 0,

Định nghĩa 1.2.1.7 Cho 𝑉 là một đa tạp, 𝑃 ∈ 𝑉 và 𝑓1, … , 𝑓𝑚 ∈ 𝕂�[𝑋] là tập các

ph ần tử sinh của 𝐼𝑉 Khi đó, 𝑉 là không kỳ dị (hoặc trơn) tại 𝑃 nếu ma trận 𝑚 × 𝑛

�𝜕𝑋𝜕𝑓𝑖

𝑗(𝑃)�

1≤𝑖≤𝑚 1≤𝑗≤𝑛

có h ạng 𝑛 − 𝑑𝑖𝑚(𝑉) Nếu 𝑉 không kỳ dị tại mọi điểm thì ta nói rằng 𝑉 là không kỳ

d ị (hoặc trơn)

Ví d ụ 1.2.1.8 Cho 𝑉 được định nghĩa bởi phương trình đa thức khác hằng

𝜕𝑓

1.2.2 Đa tạp xạ ảnh

Định nghĩa 1.2.2.1 Không gian xạ ảnh 𝑛 chiều trên 𝕂, ký hiệu 𝒫𝑛 hay 𝒫𝕂�𝑛, là t ập

t ất cả các bộ ( 𝑛 + 1 ) phần tử

(𝑥1, … , 𝑥𝑛+1) ∈ 𝔸𝑛+1

sao cho t ồn tại ít nhất một phần tử 𝑥𝑖 khác 0

Hai b ộ (𝑥1, … , 𝑥𝑛+1) và (𝑦1, … , 𝑦𝑛+1) được gọi là tương đương nếu tồn tại một số

{(𝜆𝑥1, … , 𝜆𝑥𝑛+1): 𝜆 ∈ 𝕂�\{0}}

được ký hiệu bởi [𝑥1: … : 𝑥𝑛+1] và 𝑥1, … , 𝑥𝑛+1được gọi là các tọa độ thuần nhất của

m ột điểm trong 𝒫𝑛 Tập các điểm 𝕂 – hữu tỷ trong 𝒫𝑛 là t ập

𝒫𝕂𝑛 = {[𝑥1: … : 𝑥𝑛+1] ∈ 𝒫𝑛:tất cả 𝑥𝑖 ∈ 𝕂}

Nh ận xét 1.2.2.2 Chú ý là nếu 𝑃 = [𝑥1: … : 𝑥𝑛+1] ∈ 𝒫𝕂�𝑛, ta không thể suy ra mỗi

mọi 𝑗

Định nghĩa 1.2.2.3 Một đa thức 𝑓 ∈ 𝕂�[𝑋] = 𝕂�[𝑋1, … , 𝑋𝑛+1] là thuần nhất bậc 𝑑

n ếu

𝑓(𝜆𝑋1, … , 𝜆𝑋𝑛+1) = 𝜆𝑑𝑓(𝑋1, … , 𝑋𝑛+1) 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝜆 ∈ 𝕂�

M ột idean 𝐼 ⊂ 𝕂�[𝑋] là thuần nhất nếu nó được sinh bởi các đa thức thuần nhất

Với mỗi idean thuần nhất 𝐼 ta liên kết một tập con của 𝒫𝕂�𝑛 bởi quy tắc

Định nghĩa 1.2.2.4 Một tập đại số xạ ảnh là tập bất kỳ có dạng 𝑉𝐼 v ới một idean 𝐼 thu ần nhất Nếu 𝑉 là một tập đại số xạ ảnh thì idean thuần nhất của 𝑉, ký hiệu là

𝐼(𝑉), là idean của 𝕂�[𝑋] sinh bởi

�𝑓 ∈ 𝕂�[𝑋]: 𝑓 là thuần nhất và 𝑓(𝑃) = 0 với mọi 𝑃 ∈ 𝑉�

được sinh bởi các đa thức thuần nhất trong 𝕂[𝑋] Nếu 𝑉 được định nghĩa trên 𝕂 thì

Ví d ụ 1.2.2.5 Một đường trong 𝒫2 là một tập đại số cho bởi phương trình tuyến tính

𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐𝑍 = 0

được định nghĩa trên một trường bất kỳ chứa 𝑎/𝑐 và 𝑏 /𝑐 Một cách tổng quát hơn,

Nh ận xét 1.2.2.6 Một điểm của 𝒫ℚ𝑛 có dạng [𝑥1: … : 𝑥𝑛+1] với 𝑥𝑖 ∈ ℚ Nhân với

𝑥1, … , 𝑥𝑛+1 ∈ ℤ và gcd(𝑥1, … , 𝑥𝑛+1) = 1

trình thuần nhất

𝑓1(𝑋1, … , 𝑋𝑛+1) = ⋯ = 𝑓𝑚(𝑋1, … , 𝑋𝑛+1) = 0

Định nghĩa 1.2.2.7 Một tập đại số xạ ảnh được gọi là một đa tạp xạ ảnh nếu idean

thu ần nhất 𝐼(𝑉) của nó là một idean nguyên tố trong 𝕂�[𝑋]

0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, ta có phép nhúng sau

𝜙𝑖: 𝒜𝕂�𝑛 ⟶ 𝒫𝕂�𝑛, (𝑥1, … , 𝑥𝑛) ⟼ [𝑥1: … : 𝑥𝑖−1 : 1: 𝑥𝑖: … : 𝑥𝑛]

Ta ký hiệu 𝐻𝑖 là siêu phẳng trong 𝒫𝕂�𝑛xác định bởi 𝑋𝑖 = 0,

𝐻𝑖 = {𝑃 = [𝑥1: : 𝑥𝑛+1] ∈ 𝒫𝕂�𝑛: 𝑥𝑖 = 0},

Và 𝑈𝑖 là phần bù của 𝐻𝑖,

𝑈𝑖 = {𝑃 = [𝑥1: … : 𝑥𝑛+1] ∈ 𝒫𝕂�𝑛: 𝑥𝑖 ≠ 0} = 𝒫𝕂�𝑛\𝐻𝑖 Khi đó, tồn tại một song ánh tự nhiên

𝜙𝑖−1 : 𝑈𝑖 ⟶ 𝒜𝕂�𝑛, [𝑥1: … : 𝑥𝑛+1] ⟼ �𝑥1

𝑉 ∩ 𝒜𝕂�𝑛 = 𝜙𝑖−1(𝑉 ∩ 𝑈𝑖) là một tập đại số affine với idean 𝐼�𝑉 ∩ 𝒜𝕂�𝑛� ⊂ 𝕂�[𝑌] được cho bởi

𝐼�𝑉 ∩ 𝒜𝕂�𝑛� = {𝑓(𝑌1, … , 𝑌𝑖−1, 1, 𝑌𝑖+1, … , 𝑌𝑛): 𝑓(𝑋0, … , 𝑋𝑛) ∈ 𝐼(𝑉)}

Chú ý là các tập hợp 𝑈0, … , 𝑈𝑛 phủ toàn bộ 𝒫𝕂�𝑛, do đó một đa tạp xạ ảnh 𝑉 bất kỳ sẽ

(dehomogenization) tương ứng với 𝑋𝑖

Quy trình này cũng có thể được thực hiện ngược lại Với mỗi f(Y) ∈ 𝕂�[Y], ta định nghĩa

Định nghĩa 1.2.2.8 Cho 𝑉 ⊂ 𝒜𝕂�𝑛 là m ột tập đại số affine với idean 𝐼(𝑉) Ta có thể

(a) Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh Khi đó, 𝑉� là một đa tạp xả ảnh và 𝑉 = 𝑉� ∩ 𝒜𝕂�𝑛

(b) Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh Khi đó, 𝑉 ∩ 𝒜𝕂�𝑛 là m ột đa tạp affine, và ta có

𝑉 ∩ 𝒜𝕂�𝑛 hoặc 𝑉 = 𝑉 ∩ 𝒜 ���������� 𝕂�𝑛

(c) N ếu một đa tạp affine (xạ ảnh) 𝑉 được định nghĩa trên 𝕂, thì 𝑉� (tương ứng

Từ Định lý 1.2.2.9, ta suy ra mỗi đa tạp affine có thể được xác định bởi một đa

được gọi là điểm ở vô tận trên 𝑉

Ví d ụ 1.2.2.10 Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh xác định bởi phương trình

phương trình

𝑌�2𝑍̅ = 𝑋�3+ 17𝑍̅3, Thông qua phép xác định 𝑋 = 𝑋�/𝑍̅ và 𝑌 = 𝑌�/𝑍̅

Đa tạp này có một điểm ở vô tận là [0: 1: 0], nhận được khi ta cho 𝑍̅ = 0 Vậy,trong trường hợp cụ thể 𝕂 = ℚ, ta có

đưa ra quy tắc để tính được vô số các điểm trên 𝑉(ℚ) Đa tạp 𝑉 là một đường cong

elliptic, và như vậy, đây là ví dụ đầu tiên về các đa tạp mà chúng ta sẽ quan tâm chính trong đề tài này

Định nghĩa 1.2.2.11 Cho 𝑉/𝕂 là một đa tạp xạ ảnh và chọn 𝒜𝕂�𝑛 ⊂ 𝒫𝕂�𝑛 sao cho

Định nghĩa 1.2.2.12 Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh và 𝑃 ∈ 𝑉 Chọn 𝒜𝑛 ⊂ 𝒫𝑛 v ới

1.3 T ổng quan về đường cong elliptic

elliptic trên trường bất kỳ

Định nghĩa 1.3.1 Đường cong elliptic 𝐸 trên trường 𝕂 được được định nghĩa bởi

phương trình

để thay thế cho phương trình (1.1), và ngầm hiểu rằng 𝐸 là một đa tạp trong không

𝑥 = 𝑋/𝑍 và 𝑦 = 𝑌/𝑍, và được gọi là phương trình Weiertrass

nh ất một điểm ở vô tận là [0: 1: 0] (tương tự Ví dụ 1.2.2.10) Ta ký hiệu điểm này

(1.2) về dạng đơn giản hơn là

trong đó,

𝑏2 = 𝑎12+ 4𝑎2, 𝑏4= 2𝑎4+ 𝑎1𝑎3, 𝑏6 = 𝑎32+ 4𝑎6

Và khi char(𝕂) ≠ 2,3, phép thế (𝑥, 𝑦) ⟼ (𝑥−3𝑏2

dạng

𝑦2 = 𝑥3− 27𝑐4𝑥 − 54𝑐6, trong đó,

𝑐4 = 𝑏22− 24𝑏4, 𝑐6 = −𝑏23+ 36𝑏2𝑏4− 216𝑏6

Phương trình (1.4) được gọi là phương trình Weierstrass dạng ngắn

Định nghĩa 1.3.2 Cho 𝐸 là đường cong eliptic trên trường 𝕂 được định nghĩa bởi

phương trình Weierstrass dạng ngắn (1.4)

Bi ểu thức 𝛥 = Δ(𝐸) = 4𝐴3+ 27𝐵2 được gọi là biệt thức của 𝐸

Đường cong elliptic 𝐸 được gọi là không kỳ dị nếu 𝛥 ≠ 0 Nếu Δ = 0, ta nói đường cong elliptic 𝐸 là kỳ dị

Ví d ụ 1.3.3 Xét đường cong elliptic 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3+ 2𝑥2− 3𝑥 Lần lượt thực hiệc

đó, khi nhắc đến một đường cong elliptic và không đề cập gì thêm nữa thì ta sẽ

1.4 Đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝒒

trường số phức ℂ Nội dung của phần này sẽ chủ yếu giới thiệu một phương pháp đơn giản để tính số điểm trên một đường cong elliptic trên trường hữu hạn, nhằm hỗ

𝐸 trên trường hữu tỷ ℚ Thuật toán Schoof, một phương pháp phức tạp hơn và do

đó hiệu quả hơn, sẽ được giới thiệu ở chương sau (Mục 2.3.1) sau khi ta đã có các

= 8 + �57� + �27� + �57� + �67� + �47� + �57� + �17�

= 8 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 7

đường cong elliptic trên trường hữu hạn Thuật toán này chỉ hữu hiệu khi ta có 𝑞 tương đối nhỏ Vì vậy, để cho hoàn thiện, ta sẽ giới thiệu một thuật toán phức tạp hơn nhưng có thể ứng dụng hiệu quả cho mọi 𝑞 ở chương sau Cụ thể hơn, đó là

1.5 Đường cong elliptic trên trường số thực ℝ

Hình 1.1: Đường cong elliptic không kỳ dị

1.6 Đường cong elliptic trên trường số phức ℂ

ℂ Định lý quan trọng nhất được xem xét là định lý về sự tương ứng giữa cấu trúc

dùng để xác định cấu trúc nhóm xoắn của 𝐸 trên ℚ

Định nghĩa 1.6.1 Một tập con 𝐿 ⊂ ℂ được gọi là một dàn (lattice) nếu có hai

vector 𝜔1, 𝜔2 ∈ ℂ độc lập tuyến tính trên ℝ và

T ập hợp ℱ = {𝑡1𝜔1+ 𝑡2𝜔2: 0 ≤ 𝑡1, 𝑡2 ≤ 1} được gọi là miền cơ bản của dàn 𝐿

Định nghĩa 1.6.2 Cho 𝐿 là một dàn của ℂ

𝜔∈𝐿 𝜔≠0

Chu ỗi Eisenstein được định nghĩa bởi

𝜔∈𝐿 𝜔≠0

Định lý 1.6.3

1 N ếu 𝑘 > 2, 𝐺𝑘 h ội tụ tuyệt đối

2 Hàm ℘ Weierstrass hội tụ tuyệt đối và đều trên tập compact ℂ\𝐿⋃{0}

Như vậy, định nghĩa trên của hàm ℘ Weierstrass và chuỗi Eisenstein là có nghĩa Hơn nữa, hàm ℘ có mốt số tính chất căn bản sau:

Định lý 1.6.4 Hàm ℘ Weierstrass thỏa mãn các tính chất sau

Do đó, ta nói hàm ℘ Weierstrass là hàm chu kỳ đôi

℘′(𝑧) = −𝑧23− �(𝑧 − 𝜔)2 3

𝜔∈𝐿 𝜔≠0

Các định lý tiếp sau đây cho thấy mối liên hệ giữa hàm ℘ Weierstrass và đạo hàm

℘′ với lý thuyết về đường cong elliptic

Định lý 1.6.5 Hàm ℘ Weierstrass thỏa mãn phương trình

trên đường cong elliptic trên trường ℚ Thông qua phép toán này, ta sẽ có 𝐸(ℚ) là

Định lý 1.6.7 Cho 𝐿 là một dàn và (𝐸): 𝑦2 = 4𝑥3− 𝑔2𝑥 − 𝑔3 là m ột đường cong elliptic Khi đó,

𝛷: ℂ/𝐿 → 𝐸(ℂ)

𝑧 ↦ �℘(𝑧), ℘′(𝑧)�

0 ↦ 𝒪

là m ột đẳng cấu nhóm

Và ngược lại, ta có định lý sau:

Định lý 1.6.8 Giả sử (𝐸): 𝑦2 = 4𝑥3− 𝐴𝑥 − 𝐵 là một đường cong elliptic trên ℂ

Khi đó, tồn tại một dàn 𝐿 ⊂ ℂ sao cho

𝑔2(𝐿) = 𝐴, 𝑔3(𝐿) = 𝐵

Và t ồn tại một đẳng cấu nhóm ℂ/𝐿 ≅ 𝐸

Nh ận xét 1.6.9 Từ Định lý 1.6.8, ta nói rằng 𝐸(ℂ) là một vòng xuyến vì sự tương

ứng giữa 𝐸(ℂ) và ℂ/𝐿, trong đó ℂ/𝐿 tương đương tôpô với một vòng xuyến (xem Hình 1.4)

Chương 2

CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG

WEIERTRASS TRÊN ℚ

ℚ Ba định lý cơ bản của chương này là định lý Mordell, định lý Mazur và định lý

trong chương này dùng để tính các điểm xoắn cũng như xác định cấu trúc nhóm

2.1 T ổng quan về các đường cong dạng Weiertrass trên ℚ

2.1.1 Đường cong affine và đường cong xạ ảnh

Trên các mặt phẳng affine, mặt phẳng xạ ảnh trên trường 𝕂 người ta có thể xây dựng khái niệm đường cong phẳng affine và đường cong phẳng xạ ảnh dùng công cụ đa thức và các tập không điểm của các đa thức với một sự trình bày chặt chẽ và chi tiết Trên cơ sở đó người ta đưa ra định nghĩa các đường cong Elliptic Tuy nhiên điều đó không thuộc phạm vi nội dung của Luận văn này Chúng ta sẽ tiếp cận phương pháp trình bày các nội dung về đường cong Elliptic theo lược đồ đơn giản hơn, bắt đầu từ mục 2.1.2 sau đây

2.1.2 Phương trình Weiertrass dạng dài và ngắn

Về thực chất, một đường cong Elliptic là một đa tạp xạ ảnh có chiều 1 Tuy nhiên để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu và các thuật toán tính

toán chúng ta sẽ sử dụng các đường cong Elliptic theo nghĩa mô tả bởi định nghĩa trực tiếp như sau:

𝕂 bất kỳ được định nghĩa bởi

𝑦2 + 𝑎1𝑥𝑦 + 𝑎3 = 𝑥3+ 𝑎2𝑥2+ 𝑎4𝑥 + 𝑎6, 𝑎𝑖 ∈ 𝕂 ∀𝑖

thông qua phép biến đổi (𝑥, 𝑦) ⟼ �361 (𝑥 − 3𝑎12− 12𝑎2),2161 (𝑦 − 𝑎1𝑥 − 𝑎3)� Chú

phương trình Weiertrass dạng ngắn sẽ đẳng cấu với đường cong elliptic ban đầu

2.1.3 j – b ất biến của đường cong elliptic

Định nghĩa 2.1.3.1 Cho 𝐸 là đường cong eliptic trên trường 𝕂 được định nghĩa

b ởi phương trình Weierstrass dạng ngắn (1.4)

Bi ểu thức 𝑗 = 𝑗(𝐸) = 17284𝐴34𝐴+27𝐵3 2 = 17284𝐴Δ3được gọi là j – bất biến của 𝐸

biến đổi

với

𝐴′ = 𝜇4𝐴, 𝐵′ = 𝜇6𝐵

Định lý 2.1.3.2 Cho (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3+ 𝐴𝑥 + 𝐵 và 𝐸′: 𝑦′2 = 𝑥′3+ 𝐴′𝑥′+ 𝐵′ là các

đường cong elliptic trên trường 𝕂, với các j – bất biến lần lượt là 𝑗 và 𝑗′ Giả sử

bi ến đổi 𝑥 ⟼ 𝜇2𝑥′, 𝑦 ⟼ 𝜇3𝑦′ biến 𝐸 thành 𝐸′

Định nghĩa 2.1.3.3 Hai đường cong elliptic 𝐸 và 𝐸′ trên trường 𝕂 được gọi là

đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu nhóm 𝜙: 𝐸 ⟶ 𝐸′ (trên 𝕂)

đẳng cấu trên một trường đại số đóng 𝕂 Tuy nhiên, nếu ta làm việc với một trường không đại số đóng thì có thể có hai đường cong elliptic với cùng một j – bất biến nhưng không đẳng cấu Trường hữu tỷ ℚ mà chúng ta quan tâm là một trường như

2.2 Các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên ℚ

2.2.1 Các định lý cơ bản

Định lý 2.2.1.1 (Mordell-Weil) Cho 𝐸 là đường cong elliptic trên ℚ Khi đó, 𝐸(ℚ)

là nhóm abel h ữu hạn sinh

các điểm khác của 𝐸(ℚ)

Định lý 2.2.1.2 (Mazur) Cho 𝐸 là một đường cong elliptic trên trường ℚ Khi đó,

nhóm con xo ắn của 𝐸(ℚ) là một trong các dạng sau:

ℤ𝑛 với 1 ≤ 𝑛 ≤ 10 hoặc 𝑛 = 12 ,

ℤ2⨁ℤ2𝑛 với 1 ≤ 𝑛 ≤ 4

Nh ận xét 2.2.1.3 Với mỗi nhóm như trong định lý Mazur, có vô hạn các đường

đường cong elliptic trên ℚ ứng với 15 trường hợp trên Tính toán cụ thể của các kết

Định lý 2.2.1.4 (Nagell-Lutz 1) Cho (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3+ 𝐴𝑥 + 𝐵 là đường cong

elliptic v ới 𝐴, 𝐵 ∈ ℤ Cho 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(ℚ) Giả sử 𝑃 có bậc hữu hạn Khi đó,

Định lý 2.2.1.5 (Nagell-Lutz 2) Cho (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3+ 𝐴𝑥 + 𝐵 là đường cong

elliptic v ới 𝐴, 𝐵 ∈ ℤ Cho 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(ℚ) Giả sử 𝑃 có bậc hữu hạn Khi đó,

dài, ta thường sử dụng dạng mạnh hơn của định lý Nagell – Lutz như sau

Định lý 2.2.1.6 (Định lý Nagel – Lutz dạng mạnh) Cho (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3+ 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐 là đường cong elliptic với 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ Cho 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(ℚ) Giả sử 𝑃 có

b ậc hữu hạn Khi đó, 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ Nếu 𝑦 ≠ 0 thì

Ch ứng minh Với phép đổi biến thích hợp, ta có thể đưa 𝐸 về dạng phương trình

2.2.2 Nhóm các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ

Định lý 2.2.2.1 Cho (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3+ 𝐴𝑥 + 𝐵 trên trường ℚ và 𝑛 là một số nguyên

Định nghĩa 2.2.2.2 Nhóm 𝐸(ℚ)tor được gọi là nhóm xoắn của 𝐸 trên trường ℚ

M ỗi điểm trong 𝐸(ℚ)tor được gọi là điểm xoắn

đường cong elliptic sẽ là trọng tâm nghiên cứu của đề tài này

2.2.3 S ự phân bố của các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ

kiểm tra tập các điểm hữu tỷ trong các cặp đôi (x,y) nào Tuy nhiên trong thực tế bài toán không đơn giản như vậy Chỉ riêng nhóm con xoắn của nhóm các điểm hữu tỷ

dù đã được mô tả triệt để về cấu trúc tổng quát nhờ định lý Mazur nhưng với các bài toán cụ thể thì phải xử lý chi tiết hơn nhờ vào các kết quả nghiên cứu và công cụ của Lý thuyết nhóm Nội dung đó chỉ được minh họa qua một số thí dụ ở phần sau, không đi sâu vào chi tiết kỹ thuật

2.2.4 H ạng đại số và hai bài toán cơ bản

Từ định lý Mordell – Weil và định lý về cấu trúc các nhóm abel hữu hạn sinh, ta suy ra là

Hai bài toán cơ bản trong lý thuyết đường cong elliptic là

cũng là nội dung làm việc chính của đề tài này Trong mục này, ta sẽ tập trung bàn

không đẳng cấu với nhau

(𝑒2, 0) ⟼ (𝑒2− 𝑒1, (𝑒2− 𝑒1)(𝑒2− 𝑒3), 𝑒2− 𝑒3), (𝑒3, 0) ⟼ �𝑒3− 𝑒1, 𝑒3− 𝑒2, (𝑒3− 𝑒1)(𝑒3− 𝑒2)�

là m ột đồng cấu Kernel của phép đồng cấu này là 2𝐸(ℚ)

Mệnh đề 2.2.4.2 Cho 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3− 4𝑥 trên ℚ Khi đó,

𝐸(ℚ) = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}

Ch ứng minh Chú ý là 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3− 4𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) Đặt 𝑥 = 𝑎𝑢2, 𝑥 − 2 =

điều này vô lý vì 𝑘 lẻ Vậy 𝑎 không chia hết cho số nguyên tố 𝑝 lẻ nào Tương tự

đó, 𝑥 + 2 ≥ 0 Từ đó suy ra 𝑐 > 0 Vì 𝑎𝑏𝑐 ≥ 0, ta suy ra 𝑎, 𝑏 cùng dấu Vì 𝑎𝑏𝑐 là

(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈

{(−1, −1,1), (1,1,1), (−1, −2,2), (1,2,2), (−2, −1,2), (2,1,2), (−2, −2,1), (2,2,1)}

và

𝜙(𝒪) = (1,1,1), 𝜙(0,0) = (−1, −2,2), 𝜙(−2,0) = (−2, −1,2), 𝜙(2,0) = (2,2,1)

Giả sử (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (−1, −1,1) Khi đó tồn tại một điểm 𝑃 ∈ 𝐸(ℚ) sao cho 𝜙(𝑃) =(−1, −1,1) Bây giờ ta tính

𝜙�𝑃 + (0,0)� = 𝜙(𝑃)𝜙(0,0) = (−1, −1,1)(−1, −2,2) = (1,2,2)

Nhưng ta đã chỉ ra trước đó là không có điểm nào của 𝐸 tương ứng với điểm (1,2,2) Vậy, trường hợp này không xảy ra Tương tự, ta loại

𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0) trên đường cong elliptic 𝐸 Suy ra

𝐸(ℚ)/2𝐸(ℚ) = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}

Hệ quả 2.2.4.3 Hạng đại số của 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3− 4𝑥 trên ℚ bằng 0

Ch ứng minh Sử dụng thuật toán Nagell – Lutz, ta tính được 𝐸(ℚ)tor = 𝐸(ℚ) =

Ví d ụ 2.2.4.4 Xét hai đường cong elliptic 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3− 4𝑥 và 𝐸′: 𝑦2 = 𝑥3 − 25𝑥