phương trình đồng dư với hệ số nguyên p adic

LỜI NÓI ĐẦU Giải tích p – adic là một chuyên ngành mới của Toán học đang phát triển và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học hiện đại như lý thuyết số, hình học đạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Đại số, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy PGS.TS Bùi Xuân Hải, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học tập

Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này

Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Trỗi tỉnh Tây Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

TP HCM tháng 03 năm 2012 Tác giả

Trần Quốc Dũng

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 1

Mục lục 2

Một số kí hiệu 3

Lời nói đầu 4

Ch ương 1 Kiến thức cơ bản 6

1.1 Quan hệ đồng dư 6

1.2 Lớp thặng dư và hệ thặng dư 8

1.3 Định lí Ơle và định lí Phecma 9

1.4 Kí hiệu Legendre 11

1.5 Chuẩn trên một trường 12

1.6 Xây dựng trường số p – adic 22

1.7 Khai triển p – adic của x trong 25 p Ch ương 2 Phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic 28

2.1 Phương trình đồng dư theo môđun nguyên tố 28

2.2 Các tổng lượng giác 35

2.3 Phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic 55

Kết luận 62

Tài liệu tham khảo 63

  : Kí hiệu Legendre của a trên p

χ : Hàm đặc trưng nhân tính môđun p

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích p – adic là một chuyên ngành mới của Toán học đang phát

triển và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học hiện đại như lý thuyết số, hình học đại số, tô pô đại số…

Vào những năm 40 của thế kỷ trước, giải tích p – adic đã phát triển

mạnh mẽ và trở thành chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc của giải tích p – adic với những vấn đề lớn của số học và hình

học đại số

Chính bởi vậy, chúng tôi chọn đề tài “Phương trình đồng dư với hệ

số nguyên p – adic” để nghiên cứu sâu hơn mối liên hệ giữa các số p – adic

với phương trình đồng dư trong số học

Luận văn sẽ làm sáng tỏ các mối liên hệ giữa các phương trình đồng dư

với hệ số nguyên và phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Nghiên

cứu các phương trình đồng dư theo môđun nguyên tố với hệ số nguyên Nghiên cứu các phương trình đồng dư theo môđun nguyên tố với hệ số

nguyên p – adic Cụ thể nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình đồng

dư với hệ số nguyên và sự tồn tại nghiệm phương trình đồng dư với hệ số

nguyên p – adic Tìm hiểu và chứng minh công thức về số nghiệm của phương trình đồng dư với hệ số nguyên, đưa ra công thức về số nghiệm của phương trình đồng dư trong các trường hợp đặc biệt

Cấu trúc luận văn được chia thành hai chương:

Chương1 Kiến thức cơ bản

Chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về quan hệ

đồng dư, lớp thặng dư và hệ thặng dư, kí hiệu Legendre, giải tích p – adic

chẳng hạn như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái

niệm chuẩn phi Acsimet, xây dựng trường p – adic, khai triển p – adic của

phần tử trong  và một số tính chất cần thiết cho chương sau p

Chương 2 Phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic

Chương này chúng tôi trình bày các vấn đề về sự tồn tại nghiệm của

một phương trình đồng dư với hệ số nguyên theo môđun nguyên tố Nghiên

cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic

Nghiên cứu mối liên hệ giữa phương trình đồng dư với hệ số nguyên và

phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do khả năng còn hạn chế nên khó tránh

khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự thông cảm và góp ý chân thành của quý thầy cô cùng tất cả các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về quan

hệ đồng dư, lớp thặng dư và hệ thặng dư, kí hiệu Legendre, các kiến thức về

giải tích p – adic chẳng hạn như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái niệm chuẩn phi Acsimet, xây dựng trường số p – adic, khai triển p – adic của phần tử trong  và một số tính chất cần thiết cho chương psau Đa số các chứng minh trong chương này đều được bỏ qua và người đọc

dễ dàng tìm thấy chúng qua các tài liệu tham khảo

1.1 Quan hệ đồng dư

Cho m là số tự nhiên khác 0 Các số nguyên a và b được gọi là đồng

dư theo môđun m nếu khi chia a và b cho m ta được cùng một số dư Kí

2’ a≡b(modm)⇒ka≡kb(modm), với mọi k∈

2’’ a≡b(modm)⇒a n ≡b n(modm), với mọi *

1 Ta thường chọn hệ thặng dư đầy đủ theo hai cách:

 Chọn các giá trị không âm, nhỏ nhất: {0, 1, 2, ,m− 1}

 Chọn các giá trị có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất:

2 {x x1, 2, ,x m} là một hệ thặng dư đầy đủ theo môđun m khi và chỉ khi x i

và x j không đồng dư với nhau theo môđun m với mọi i j≠

H = a a ∈ gọi là một hệ thặng dư thu gọn theo môđun m

Số nguyên a được gọi là một thặng dư bậc hai theo môđun p nếu a làm cho

a ∈ +  cũng là một thặng dư bậc hai theo môđun p Do đó, ta xem a p

hai thặng dư bậc hai a và ' a là phân biệt khi chúng không đồng dư với

nhau theo môđun p

 Cho p là số nguyên tố lẻ thì trong  ta có số các thặng dư bậc hai theo p

môđun p bằng số các bất thặng dư bậc hai theo môđun p và bằng 1

⇒ là hệ thặng dư thu gọn theo môđun m

⇒{aa aa1, 2, ,aaϕ( )m} cũng là một hệ thặng dư thu gọn theo môđun

1

2

modmod

mod

m

i i

i m

Vì 1 2 ( ) 1 2 ( )

m

i i i m

a a aϕ =a a aϕ và (a a1 2 aϕ( )m ,m)= nên 1 aϕ( )m ≡1 mod( m) 

1.3.3 Định lí Phecma

Chứng minh:

 Nếu a không chia hết cho p thì (a p, )= 1

Theo định lí Ơle, aϕ( )p ≡1 mod( p) 1 ( ) ( )

5 ( ) ( ) ( )

2 1 8

Cho F là trường, ánh xạ : F →  gọi là một chuẩn trên F nếu thỏa

các điều kiện sau:

 F là trường bất kì, ta có thể định nghĩa ánh xạ : F →  sao cho

khi x x

 Metric d cảm sinh ra tôpô τ trong F

A⊂F , A mở trong F (A∈ τ) khi và chỉ khi ∀ ∈a A B a, ( ),ε ⊂ A, với

( ),



 Cho F là trường 1và 2 là hai chuẩn trên F Ta nói 1tương

đương với 2 nếu tôpô cảm sinh bởi chuẩn 1và

sau là tương đương:

11

⇒ = ≤ ⇒ ≥ (mâu thuẫn với giả

thiết) nên x2 <1 Lập luận tương tự ta cũng có nếu x2 <1 thì

Không mất tính tổng quát, ta giả sử 1 tầm thường Khi đó *

m n

x > x nên 0

1 1

x →→+∞ Khi đó N  sao cho n N∀ ≥ thì x2n <1, suy ra x2 <1 Tương

tự, ta cũng chứng minh được nếu x2 <1 thì x1 <1

x < 

1.5.5 Định nghĩa chuẩn phi Acsimet

Cho  là một chuẩn trên trường F Chuẩn  được gọi là chuẩn phi Acsimet trên trường F nếu nó thỏa thêm điều kiện

iii)’ ∀x y, ∈F x+ ≤y max{x y, } Một chuẩn không là chuẩn phi Acsimet gọi là chuẩn Acsimet

Ví dụ:

 Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Acsimet

 Nếu F là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên F đều là tầm thường, do đó

nó là chuẩn Acsimet

Cho F là một trường với chuẩn phi Acsimet  Ta có các khẳng định sau:

đều cân trong không gian mêtric sinh bởi chuẩn 

thặng dư của F đối với chuẩn 

iii) ∀ ∈b B r a( ) ta chứng minh B r a( )=B r b( ) Thật vậy,

( )

a

∀ ∈ ⇔ − < ⇔ − + − <

Ta chứng minh M là iđêan tối đại của A Rõ ràng M là iđêan của A, ta chỉ còn

chứng minh tính tối đại của nó Giả sử M ⊂ ⊆I A , ta chứng minh I = A

i)  là chuẩn phi Acsimet

Cho n→ ∞ ta được x+ y A=max{x y, } 

1.6 Xây dựng trường số p – adic

x p

m p n p n

Khi đó suy ra (νp x+ y)≥ =α min{νp( ),x νp( )}y

Mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương đương với giá trị tuyệt

Theo định lý Ostrowski ta thấy mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường  hoặc tương

đương với chuẩn phi Acsimet  (p là số nguyên tố) Nếu làm đầy đủ  theo p

chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường  thì ta sẽ được trường số thực , còn

nếu làm đầy đủ  theo chuẩn  thì ta sẽ được một trường mới gọi là trường pcác số

Ta sẽ xây dựng trường các số p-adic  như sau: p

Xét  là chuẩn p – adic trên ; 1 ( )

đương ~ được cho như sau:

Khi đó dãy { }y n với

1

0,,

n n

n x

→∞

+ Nếu x n →0 thì x n → ⇒0 x = 0

+ Nếu x n →/ 0 thì x n = ≠ ∀ > ⇒a 0, n N x n → ⇒a x = a

Tiếp theo x không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện

Giả sử x={ } { }x n = y n thế thì x n  y n nên lim( n n) 0

điều kiện sau:

1.7.4 Khai triển p – adic của x trong  p

1) Với x∈p, x p ≤1, theo định lý 1.7.3 tồn tại dãy Cauchy { }a n trong

 thỏa hai điều kiện: a n∈,0≤a n < p n n( =1, 2, ) và

p – adic của x trong O p

2) Nếu x không thỏa điều kiện x p ≤ 1 thì ta sẽ nhân x với một số m

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ VỚI HỆ SỐ NGUYÊN P – ADIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày các vấn đề về sự tồn tại nghiệm

của một phương trình đồng dư với hệ số nguyên theo môđun là số nguyên tố

và sự tồn tại nghiệm của phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic

Nghiên cứu mối liên hệ giữa phương trình đồng dư với hệ số nguyên và

phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic

2.1 Phương trình đồng dư theo môđun nguyên tố

Xét phương trình đồng dư với môđun nguyên tố p Các lớp thặng dư môđun nguyên tố p là trường hữu hạn với p phần tử và một phương trình đồng dư với môđun p có thể được xem như một phương trình trong trường

này Ta kí hiệu trường các lớp thặng dư môđun p là  p

Hai đa thức F và G được gọi tương đương với nhau, kí hiệu là F G

nếu với bất kỳ bộ giá trị c1, ,c n ta có

( 1, , n) ( 1, , n)(mod )

Nh ận xét 2.2

 Rõ ràng, nếu F G≡ thì F G nhưng điều ngược lại trong trường

hợp tổng quát là sai Ví dụ đa thức p

Nếu với mọi biến x i trong đa thức F mà bậc lớn hơn hoặc bằng p thì sử

 Với n= : Do 1 F là đa thức thu gọn và F chỉ có một biến nên bậc

dư F x( ) (≡0 modp) có p nghiệm Điều này chỉ có thể xảy ra nếu tất cả các

hệ số của F chia hết cho p , nghĩa là F ≡0 mod( p) Thật vậy, xét phương

trình đồng dư theo môđun nguyên tố p

trong đó m p< và F x( ) có quá m nghiệm Giả sử phương trình đồng dư này

có m+ nghiệm đôi một khác nhau là 1 x ≡x x1, 2, ,x m+1(mod p) Ta xác định các hệ số b b0, , ,1 b m sao cho ta có khai triển

Việc này được thực hiện bằng cách đồng nhất hai vế ta được kết quả là mọi b i

đều là tổ hợp tuyến tính của các a j và ngược lại

Ta có F x( )1 = ≡b0 0 mod( p) vì x≡x1(mod p) là một nghiệm của phương trình đồng dư Mặc khác, F x( )2 =b x1( 2 −x1)+ ≡b0 0 mod( p) vì

 Giả sử kết quả trên đúng với n−1, tức là nếu F x( 1, ,x n−1) là đa thức thu gọn và F  thì 0 F ≡0 mod( p)

 Ta chứng minh kết quả trên đúng với n

Vì bộ (c1, ,c n−1) lấy bất kỳ nên A0 0, ,A p−1  Do các đa thức 0 A i rõ ràng

là thu gọn và phụ thuộc vào n−1 biến nên theo giả thiết quy nạp, ta có được

A ≡ p A − ≡ p

Từ đó, suy ra F x( 1, ,x n) (≡0 modp)

Bây giờ, ta sẽ chứng minh định lí với F và G là hai đa thức thu gọn và

F  thì G F ≡G(mod p) Thật vậy, do F G nên với mọi bộ giá trị

( ) ( ) 1

1, , n 1 1, , n p

Khi đó, bậc của đa thức H là r p( − 1)

Theo định lí nhỏ Phecma và giả thiết trên ta có:

được các giá trị như H Mặc khác, ta có thể xây dựng một đa thức thu gọn

lấy cùng giá trị như H , cụ thể là đa thức ( ( ) 1)

không lớn hơn r p( −1) Do đó bậc bên trái của (2.1) không lớn hơn r p( − 1)

và bậc bên phải (2.1) bằng n p( −1) Do đó, n p( − ≤1) (r p− suy ra 1) n≤r Điều này mâu thuẫn với giả thiết r<n (bậc của đa thức F bé hơn số biến)

Vì vậy, phương trình đồng dư F x( 1, ,x n) (≡0 modp) có ít nhất hai nghiệm 

luôn có một nghiệm tầm thường là 0 Theo định lí 2.5 phương trình này phải

có ít nhất hai nghiệm, tức là nó có một nghiệm khác 0  Định lí 2.5 là một trường hợp đặc biệt của định lí sau:

i i

trong đó, X =(x1, ,x n) (sự đồng dư của các vectơ giá trị nguyên có nghĩa là

sự đồng dư theo các thành phần tương ứng)

Do bậc của F bé hơn n nên bậc của H bé hơn n p( − 1)

Với mọi A=(a1, ,a n) ta đặt đa thức

Vì các đa thức D A i thu gọn nên *

H cũng thu gọn và theo định lí 2.3 bậc của

− ) Định lí Warning đã được chứng minh 

Nhận xét: Định lí 2.5 suy ra từ định lí Warning Vì p≥ 2 và do đó nếu s≠0

và s≡0 mod( p)thì s≥2

2.2 Các t ổng lượng giác

Xét phương trình đồng dư với hệ số nguyên

( 1, , n) (0 mod )

Ta sẽ đi xây dựng công thức về số nghiệm của phương trình đồng dư (2.6)

chỉ phụ thuộc vào lớp thặng dư của các số nguyên x x, , ,1 x n môđun p Ta kí

thặng dư đầy đủ môđun p và kí hiệu tổng ' ( )

x

f x

∑ , trong đó x lấy từ một hệ thặng dư thu gọn môđun p

Cho ζ là một căn nguyên thủy bậc p cố định nào đó của 1 Rõ ràng,

1

p y

1 , , , , ,

Chứng minh:

Xét tổng

( ) ( )

1 1

, ,

, ,

n n

( ) ( )

( ) ( )

Các số hạng trong (2.8) mà x≡0 mod( p) đều bằng 1 Chúng có tất cả

là p n số (do mỗi biến x1, ,x n lấy p giá trị khác nhau) Do đó, công thức (2.8)

có thể được viết lại như sau:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

, , 1

( )

1

1 1 1

1

, ,

1'

r

r n

n n n

x a x a x n

1

1

1' i i ri i

n

a xx n

trong đó m x ( ) là số nghiệm của phương trình đồng dư y r ≡x(modp)

Hiển nhiên, m( )0 = Ta sẽ tìm công thức cho 1 m x khi ( ) x≡/0 mod( p)

Nếu g là một căn nguyên thủy môđun p thì

(mod )

r u r

y ≡g p ,

trong đó k được xác định bởi phương trình đồng dư (2.12)

 Nếu k ≡0 mod( d) thì εks = với mọi 1 s=0,1, ,d −1 Do đó,

gọi là đặc trưng đơn vị

( do x chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ môđun p ,χs( )x = 0 với x≡0 mod( p))

Cho χ là một đặc trưng χs và a là một số nguyên Biểu thức

( ) ax x

, 1

1

1'

i i

d n n

n

a xx n

trong đó, t chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ môđun p và d i =(r p i, − 1)

Cho χi s, là một đặc trưng χs, vì a x i là một số nguyên nên tổng Gauss

( ) ( ) ( )

,

i i

i ri

i i

i i

, 1

1

1'

i i

d n n

N = p − Trong phần kế tiếp, ta sẽ đi ước lượng số nghiệm của phương trình đồng dư (2.19)

2.2.3 Giá trị tuyệt đối của tổng Gauss

Xét tập Ω là tập tất cả các hàm số phức f x( ), xác định với các hệ số

nguyên hữu tỉ x và thỏa mãn điều kiện f x( )= f y( ) nếu x≡ y(modp) Vì

mỗi hàm f x( )∈Ω được xác định bởi các giá trị của nó trên một hệ thặng dư

đầy đủ môđun p nên Ω là một không gian tuyến tính p – chiều trên trường

được gọi là tích trong Hermit trên Ω

Dễ dàng kiểm tra rằng với tích trong này, p hàm

( ) ax a

1,

được gọi là các đặc trưng cộng tính môđun p Ta sẽ tìm tọa độ của một đặc

a a a

(với ( )c p, =1) có thể được chọn sao cho χ( )c ≠ , và trong (2.25) 1 với a= 0

và a là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với p thì

( )

Chứng minh:

Chúng ta tìm giá trị của tích trong (χ χ, ) trong không gian Ω

Do χ( )x = 1 với x≡/0 mod( p) nên

, 1

1

1'

i

i

d n n

Để tìm số nghiệm của phương trình đồng dư bậc hai theo môđun nguyên tố p≠ ta c2 ần đến các định lí sau:

Định lí 2.12

Cho số nguyên tố p≠2 Khi đó, đặc trưng χ χ= 1 được xác định bởi

( ) x x

định duy nhất theo môđun p− 1 và thỏa phương trình đồng dư

(mod )

k

x≡g p , trong đó g là căn nguyên thủy theo môđun p Như vậy, g là

phần tử sinh của nhóm nhân *

 Nếu x là một thặng dư bậc hai theo môđun p thì x 1