phép chia có dư trong dạy học toán ở trường phổ thông

Định nghĩa số nguyên tố cũng dựa vào tính chất của phép chia hết: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu chỉ có hai ước số tự nhiên là 1 và chính nó.” Các tính chất của số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

PHÉP CHIA CÓ DƯ TRONG DẠY HỌC

TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hoàng Thị Oanh

PHÉP CHIA CÓ DƯ TRONG DẠY HỌC

TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2011

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung người đã nhiệt tình

hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Chí Thành, TS Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành:

- Tất cả các bạn học viên cao học khóa 18, những người đồng hành cùng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu về didactic toán

- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Cần Đước đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo môi trường học tập, nghiên cứu thuận lợi cho chúng tôi

- Gia đình và những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học

Hoàng Thị Oanh

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

PCCD : Phép chia có dư PCH : Phép chia hết ƯCLN : Ước chung lớn nhất TCTH : Tổ chức toán học KNV : Kiểu nhiệm vụ THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở

TH : Tiểu học SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập SGK3 : Sách giáo khoa toán 3 SGK4 : Sách giáo khoa toán 4 SGK5 : Sách giáo khoa toán 5 SGK6 : Sách giáo khoa toán 6 SGK7 : Sách giáo khoa toán 7 MTBT : Máy tính bỏ túi

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:

Sau khi tham khảo luận văn của thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) về đề tài “Nghiên

cứu Didactic về bước chuyển từ phân số như là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là “ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào tạo giáo viên tiểu học về phân số”, chúng tôi chú ý những nhận xét về phép chia hết và phép chia có dư xuất hiện ở tiểu học trong những tình huống và nghĩa của phép chia trong những tình huống đó

Phép chia có những nghĩa như sau:

- Phép chia là sự phân phối lần lượt, mỗi lần một đối tượng cho đến hết

- Phép chia là sự phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng

- Phép chia là phép toán ngược của phép nhân: muốn tìm kết quả của phép chia cần

dựa vào phép nhân tương ứng

Nghĩa của phép chia hết và phép chia có dư:

- Phép chia hết là sự phân phối lần lượt các đối tượng bằng nhau cho đến hết

- Phép chia có dư là sự phân phối lần lượt các đối tượng cho đến khi còn một số đối tượng không thể phân phối đều được nữa

Tuy nhiên khi làm tính trên số, phép chia hết và phép chia có dư lại có nghĩa:

- Phép chia hết là phép chia mà không có dư

- Phép chia có dư là phép chia có thương là số nguyên và số dư bé hơn số chia

Luận văn chỉ đề cập đến nghĩa của phép chia ở bậc tiểu học Như vậy, các câu hỏi sau đây được đặt ra:

Phép chia có dư được tiếp tục trình bày ở THCS và THPT như thế nào? Đối tượng này có còn mang những nghĩa như đã nhắc tới ở SGK tiểu học nữa hay không? Phép chia

có dư xuất hiện trong chương trình nhằm giải quyết những vấn đề toán học gì?

2 Khung lý thuy ết tham chiếu

Chúng tôi sẽ vận dụng lý thuyết nhân học của Chevallard để phân tích các thể chế

dạy học nhằm xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chia có dư trong các thể chế

dạy học đại học và phổ thông Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia

có dư, hiểu về PCCD và thao tác về PCCD Để nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, chúng tôi cần đặt trong mối quan hệ thể chế dạy học PCCD ở bậc phổ thông Bên cạnh đó, chúng tôi xây dựng các tổ chức toán học xung quanh khái niệm phép chia có dư ở để làm rõ mối quan hệ ở hai thể chế trên

Kế tiếp chúng tôi vận dụng các lý thuyết của didactic toán để mô tả, giải thích kiến thức của học sinh về PCCD Từ đó tìm mối liên hệ giữa kiến thức về PCCD và ứng xử của học sinh trước trước một nhiệm vụ cụ thể về PCCD Với những phân tích này chúng tôi có thể giải thích hoặc tiên đoán bằng thuật ngữ quy tắc hành động liên quan khái niệm PCCD trong các câu trả lời của học sinh

Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu:

Q1 Khái niệm phép chia có dư đối với tri thức khoa học được trình bày như thế nào? Nó

có những đặc trưng cơ bản nào? Phép chia có dư đóng vai trò công cụ cho những tri thức nào?

Q2 Trong thể chế dạy học toán ở phổ thông Việt Nam phép chia có dư được giảng dạy như thế nào? Phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào? Mối quan hệ thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn đó như thế nào?

3 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi thực hiện trong luận văn này là:

Tiến hành nghiên cứu so sánh việc đưa vào phép chia có dư trong hai thể chế

• Thể chế dạy học phép chia có dư ở bậc đại học: Cụ thể là nghiên cứu các giáo trình đại học về việc trình bày phép chia có dư như thế nào và các ứng dụng của phép chia

có dư để giải quyết những vấn đề nào

• Thể chế dạy học phép chia có dư ở trường phổ thông: phân tích SGK tiểu học và THCS, phép chia có dư được giảng dạy như thế nào, kiến thức này được đưa vào để

ải quyết những bài toán nào trong chương trình Dựa trên việc tổng kết các kết quả

phân tích đưa ra những giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được

kiểm nghiệm bằng thực nghiệm

• Xây dựng tình huống thực nghiệm đối với học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên

cứu đã được đặt ra ở trên

Phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

4 T ổ chức luận văn:

Luận văn gồm những phần chính sau đây:

• Ph ần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn đến việc

lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn

• Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư ở cấp độ tri thức khoa học trong các

giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng cơ bản của khái niệm phép chia có dư và cơ chế công cụ của khái niệm này

• Chương 2: Chúng tôi phân tích quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư trong SGK

phổ thông Từ đó chúng tôi đưa ra những câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu

• Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả

thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2

THỰC NGHIỆM

C HƯƠNG 1: KHÁI QUÁT VỀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở BẬC ĐẠI

HỌC

Mục tiêu của chương

Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của phép chia có dư và cơ chế công cụ của phép chia có dư trong một số giáo trình ở bậc đại học Cụ thể hơn, qua phân tích các giáo trình này chúng tôi cố gắng tìm hiểu cách trình bày khái niệm phép chia có dư trong các giáo trình đại học và các ứng dụng của phép chia có dư cũng như vai trò công cụ của phép chia có dư trong nghiên cứu những khái niệm có liên quan

Chúng tôi chọn phân tích ba giáo trình, thuộc các lĩnh vực số học, toán rời rạc và đại

số đại cương được sử dụng phổ biến trong các trường đại học phía Nam :

[a] Đậu Thế Cấp (2008) - Số học, NXB Giáo dục

[b] Kenneth H Rosen (2001) - Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, NXB Lao

động – Người dịch: Bùi Xuân Toại

[c] Hoàng Xuân Sính (1998) – Đại số đại cương, NXB Giáo dục

Mục đích của việc lựa chọn các giáo trình này là do phép chia có dư và các vấn đề có liên quan đến phép chia có dư trình bày trong các giáo trình này khá phong phú Phân tích

so sánh các giáo trình trên sẽ cho phép làm rõ sự khác nhau trong cách trình bày phép chia

có dư ở cấp độ giáo tri thức khoa học Điều này làm cơ sở tham chiếu cho chúng tôi thực hiện phân tích phép chia có dư được giảng dạy ở phổ thông

1.1 Phép chia có dư trong giáo trình [a] – Số học

1.1.1 Phép chia có dư xét trên phương diện đối tượng

Trong giáo trình [a] phép chia đề cập lần đầu tiên ở chương 1 trong tập hợp số tự nhiên

Định nghĩa phép chia được trình bày ở trang 11 như sau:

“Cho hai số tự nhiên a và b, b≠0 Nếu có số tự nhiên c sao cho cb = a thì c được gọi là thương trong phép chia a cho b.”

Phép chia trình bày theo quan điểm phép chia là phép toán ngược của phép toán

nhân Định nghĩa ngầm ẩn việc tìm một số chưa biết c khi ta đã có a và b tức là một dạng

giải phương trình Qua phần trình bày của định nghĩa, phương trình này không phải lúc nào cũng có nghiệm, có nghĩa thương của phép chia hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng tồn

tại Trong phần nhận xét, giáo trình nêu: “Nếu thương a : b tồn tại thì a = b (a:b) Suy ra a

= 0 hoặc a ≥b” [trang 11] với điều kiện trên thì phép chia này được gọi là phép chia hết Định nghĩa trình bày trong bài “Phép trừ và phép chia” thế mà qua cách trình bày không thể hiện mối quan hệ nào giữa phép trừ và phép chia

Trong bài “Phép chia có dư”, trước khi định nghĩa phép chia có dư [a] đưa vào định

lý 5 ở trang 11 như sau:

“Cho hai số tự nhiên a và b, b≠0 Khi đó tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q, r thỏa mãn

a = bq + r ; 0 ≤ r < b”

Sau phần chứng minh của định lý, trên cơ sở của định lý mà phép chia có dư trong tập hợp

số tự nhiên định nghĩa như sau:

“Chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b (b ≠0) là tìm hai số tự nhiên q và r thỏa mãn:

a = bq + r ; 0 ≤r < b

a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư Nếu r = 0 thì ta nói a chia hết cho b.”

Định nghĩa nêu đặc trưng của phép chia có dư với mọi số tự nhiên a, b (b≠0 ) thì

luôn tìm được q và r thỏa mãn biểu thức a = bq + r Vậy phép chia có dư luôn thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên

Trong [a] phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư

Cho đến chương 3, định lý về phép chia có dư còn gọi là định lý cơ bản phát biểu trong tập hợp Z:

“Cho hai số nguyên a và b, b≠0, khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho:

Cặp số cần tìm là (- q -1, b - r)

Trường hợp a < 0, để thoả mãn yêu cầu số dư là số dương ta thực hiện thêm bớt cho số chia

để tìm cặp số (q, r), phần chứng minh thể hiện sự ngầm ẩn phép chia có dư có nghĩa phép trừ liên tiếp số bị chia cho số chia tới khi được một số nhỏ hơn số chia

Ví dụ phép chia có dư: – 14 chia cho 3

“Cho hai số nguyên a và b, b≠0, thực hiện phép chia có dư số a cho số b là tìm cặp

số nguyên q, r sao cho

a chia hết cho b, a là bội số của b; kí hiệu a b; hoặc :

b chia hết a, b là ước của a; kí hiệu b/a”

Như vậy, phép chia có dư đã được định nghĩa trên tập số Z Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư Trong phép chia có dư thì số dư luôn là số nguyên không

âm và bé hơn số chia Bên cạnh đó, giáo trình [a] đã đưa ra các ngôn ngữ tương đương của đặc trưng chia hết là “bội” và “ước” Sau phần định nghĩa [a] không đưa ra một ví dụ nào để minh họa cho phép chia có dư Điều này gây không ít khó khăn cho người học khi biểu diễn

số nguyên âm dưới dạng phép chia có dư

Phần tiếp theo của [a] giới thiệu tính chất cơ bản của chia hết và các kiểu nhiệm vụ liên quan tới tính chia hết

1.1.2 Phép chia có dư xét trên phương diện công cụ

a Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Định nghĩa ƯCLN ở trang 44 như sau:

“Nếu số d là ước số của tất cả các số aR1R, aR2R, ,aRnRthì d được gọi là ước chung của các

số aR1R, aR2R, ,aRnR

Một ước chung của các số aR1R, aR2R, ,aRnR được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN) nếu

nó chia hết cho mọi ước chung của các số đó

ƯCLN của aR1R, aR2R, ,aRnRđược kí hiệu là ƯCLN(aR1R, aR2R, ,aRnR )

ƯCLN dương của aR1R, aR2R, ,aRnRđược kí hiệu là (aR1R, aR2R, ,aRnR ).”

Trong tập hợp các ước chung, theo hình thức thì ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập ước chung, định nghĩa đã nêu rõ bản chất của ƯCLN là ước chung chia hết cho mọi ước chung còn lại Thông qua định nghĩa ta có thể nhận thấy kỹ thuật tìm ƯCLN đã chỉ

rõ nhưng kỹ thuật này có thể mất nhiều thời gian khi các số đó là những số rất lớn

Từ định nghĩa ƯCLN thì [a] cũng đưa vào định nghĩa số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi Một số tính chất sử dụng đến phép chia có dư để tìm ƯCLN chẳng hạn như tính chất 5, 6 ở trang 45 như sau:

“5 Nếu có số aRjR sao cho aRjR \ aRiRvới mọi i = 1, 2, , n thì ƯCLN (aR1R, aR2R, , aRnR) = ±aRj

6 Cho a = bq + c; a, b, c, q ∈Z Khi đó mỗi ước chung của a, b cũng là ước chung của b, c và ngược lại.”

Tính chất được nêu ra mà không trình bày chứng minh, ghi cụ thể như sau:

a = bq + r thì (a, b) = (b, r)

Đây cũng là cơ sở để giải thích cho cách tìm ƯCLN bằng thuật toán Euclide Thuật toán Euclide đưa vào ở trang 46 như sau:

“Cho hai số nguyên a ≠0 và b ≠0

Khi đó theo định lý 1, ta tìm được các cặp số (qR0R, rR0R),(qR1R, rR1R), ,(qRnR, rRnR) sao cho

chia có dư liên tiếp, mà trong các phép chia có dư, chúng ta chỉ chú ý đến số dư Thuật toán

này, số dư đóng vai trò quan trọng, thuật toán sẽ dừng lại khi r = 0

Bên cạnh đó [a] cũng đưa ra lược đồ tìm ƯCLN của nhiều số nguyên aR 1 R, aR 2 R, , aR n R (aR 1 R, aR 2 R) = DR 1

tìm ƯCLN của những số nguyên dương

Bài toán tìm ƯCLN thường gắn liền với bài toán tìm bội chung nhỏ nhất, nhưng trong luận văn này chúng tôi chỉ tìm hiểu về ƯCLN

Với định nghĩa trên, tập hợp số nguyên được phân hoạch thành các lớp tương đương

và được gọi là lớp thặng dư Quan hệ đồng dư theo môdun m có m lớp thặng dư:

1 , ,

Trong phần lý thuyết của quan hệ đồng dư có định lý quan trọng về dấu hiệu chia hết

ở trang 60 như sau:

“Điều kiện cần và đủ để một số A= a n a n−1 a1a0g viết trong hệ cơ số g chia hết cho số d là tổng aR0RrR0R + aR1RrR1R + + aRnRrRnR chia hết cho d, trong đó rRiR là các số nguyên sao cho i

Ứng dụng của phép chia có dư trong thuật toán Euclide còn là công cụ để giải phương

trình vô định Định nghĩa số nguyên tố cũng dựa vào tính chất của phép chia hết: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu chỉ có hai ước số (tự nhiên) là 1 và chính nó.”

Các tính chất của số nguyên tố hay phân tích một số ra thừa số nguyên tố cũng dựa vào các dấu hiệu chia hết và không chia hết của các số tự nhiên

 Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư

 Kiểu nhiệm vụ TRDCSR: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g

Ví dụ trang 17: Viết số 115 sang hệ ghi cơ số 3

+ Phép chia dừng lại khi thương số bằng 0

+ Dãy các số dư viết theo thứ tự đảo ngược chính là kết quả cần tìm

Kỹ thuật này được [a] nêu rõ: “Để đổi một số x từ hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số

g ta thực hiện chia liên tiếp x cho g Số dư lần chia đầu là aR0R, số dư lần tiếp theo là aR1R, số

dư lần cuối cùng là aRn.R Ta được x=

g

a a a

mong đợi được nêu ra bởi [a] không giải thích cho kết quả này Trong kỹ thuật, khi thực hiện liên tiếp các phép chia có dư thì kết quả của bài toán là dãy những số dư Số dư đóng vai trò quan trọng trong kiểu nhiệm vụ này Điều kiện dừng của thuật toán không được nêu

rõ trong [a] Quá trình thực hiện phép chia phải dừng lại sau hữu hạn bước do g > 1 nên x >

xR 0 R > xR 1 R > xR 2 R dãy xR i Rgiảm dần, do đó tồn tại n để xR n R = 0

 Công nghệ θDCS: Định nghĩa phép chia có dư

,a N Z

+ Phân hoạch Z thành các lớp thặng dư: n = ak + r; với 0 ≤r<a

+ Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng trong từng lớp thặng dư

 Công nghệ θCH: Các tính chất chia hết Định nghĩa phép chia có dư

 Lý thuyết ΘCH: Quan hệ tương đương, quan hệ đồng dư

Đây là kiểu nhiệm vụ cơ bản của chương, có nhiều kỹ thuật giải như dùng phương pháp chứng minh quy nạp, chứng minh phản chứng, dùng kỹ thuật phân tích nhân tử Trong một bài toán các kỹ thuật này kết hợp với nhau để giải quyết nhiệm vụ này

Kỹ thuật phân hoạch Z thành những lớp thặng dư có nhiều cách ghi khác nhau nhưng chúng tôi nhận thấy thường theo hai cách:

• Không âm, nhỏ nhất: {0,1,2, m – 1}

• Có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất:{0, ± 1, ± 2, , ±

2 1

2 m

m−

} nếu m chẵn Trong [a] dùng cách ghi thứ nhất Để giảm bớt

độ lớn của các số trong các phép tính, người ta có thể chọn những đại diện phân bố quanh 0 như cách ghi thứ hai

 Kiểu nhiệm vụ TRƯCLNR: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên

 Kỹ thuật τUCLN DN:

+ Liệt kê tất cả các ước của các số nguyên

+ Tìm ước chung của tập hợp số này

+ Số lớn nhất của ước chung chính là ƯCLN

Dựa vào định nghĩa ta có được kỹ thuật này Chúng tôi nhận thấy kỹ thuật này tốn thời gian và công sức nên thực tế ít được áp dụng để tìm ƯCLN

 Công nghệ θUCLN DN:Phép chia hết và các tính chất cơ bản của phép chia hết

Ví dụ trang 47: Tìm ƯCLN của 119 và 84

Ta có 119 = 84.1 + 35

84 = 35.3 + 14

35 = 14.2 + 7

14 = 7.2 vậy (119, 84) = 7

 Kỹ thuật τUCLN TTE: Dùng thuật toán chia Euclide để tìm ƯCLN

 Công nghệ θUCLN TTE:

+ Các tính chất ƯCLN

+ Định lý cơ bản về phép chia có dư

 Lý thuyết ΘUCLN TTE

3

P

.3 = 24

aR 1 R = k

k

p p

pα1 α2 α

2 1

aR 2 R = k

k

p p

pβ1 β2 β

2 1

aR n R = k

k

p p

p α β γ α β γ α β γ , với αi≥0,βi ≥0,γi ≥0,i=1 k

 Công nghệ θUCLN NT:

+ Số nguyên tố, dấu hiệu chia hết

+ Quy tắc nhân lũy thừa

 Lý thuyết ΘUCLN NT: định lý

“Mỗi hợp số đều phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố và nếu không kể đến thứ tự của các thừa số thì sự phân tích là duy nhất.”

Trong ba kỹ thuật tìm ƯCLN, ta thấy rằng kỹ thuật τUCLN NT là có nhiều ưu điểm hơn

cả Nhờ vào MTBT để phân tích ra thừa số nguyên tố, và tìm ƯCLN của nhiều số nguyên nhanh hơn Kỹ thuật này khắc phục điểm yếu của những kỹ thuật khác

Bài toán tìm bội chung nhỏ nhất là bài toán luôn đi với bài toán tìm ƯCLN, tuy nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ xem xét về ƯCLN

 Kiểu nhiệm vụ TRSDR: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z

Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ TR SD R của giáo trình có số bị chia rất lớn được biểu diễn dưới dạy lũy thừa Vì thế kỹ thuật giải phải huy động các định lý về quan hệ đồng dư

Số dư có vai trò quan trọng trong một số bài toán của số học hay tin học vì vậy trong kiểu nhiệm vụ này giáo trình thường huy động các đinh lý sau

1 Định lý Fermat dạng: Nếu p là nguyên tố và (a, p) = 1 thì:

 Kiểu nhiệm vụ TRNNPTR: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c

Ví dụ trang 103: Giải phương trình: 53x + 32y = 14

Vì (53, 32)= 1 nên phương trình có nghiệm

Theo thuật toán Euclide, ta tìm được các số u = - 3 và v = 5:

t x

3242

họ nghiệm của phương trình là: t Z

t D

a y y

t D

b x x

 Công n ghệ θNNPT:

+ Định lý về phép chia có dư

+ Các tính chất về ƯCLN Định lý: “ Nếu D là ƯCLN của hai số a, b thì tồn tại các số

Ngoài ra phương trình vô định còn một số kỹ thuật giải khác như kỹ thuật áp dụng

định lý Euler: “Cho số tự nhiên m > 1 và số nguyên a sao cho (a, m) = 1 khi đó (m) ≡1

Nghĩa của phép chia trong phần trình bày của [a] là phép toán ngược của phép nhân Nghĩa của phép chia có dư là phép trừ liên tiếp chúng tôi nhận thấy nó không được trình bày tường minh trong [a], qua phân tích trên ta thấy tư tưởng này ngầm ẩn trong phần chứng minh định lý cơ bản với trường hợp a là số nguyên âm

Phép chia có dư là phần lý thuyết cơ sở của giáo trình số học này Nên khái niệm phép chia có dư xuất hiện trong vai trò công cụ nghiên cứu một số khái niệm khác như ƯCLN, quan hệ đồng dư, giải phương trình vô định Một trong những ứng dụng nổi bật của phép chia có dư là thuật toán Euclide, và chính thuật toán này cho ta công cụ giải quyết nhiều bài toán của số học Phép chia có dư được sử dụng như một yếu tố công nghệ để giải quyết các nhiệm vụ sau:

TRDCSR: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g

TRCHR: Chứng minh rằng: P(n)a, *

,a N Z

n∈ ∈

TRƯCLNR: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên

TRSDR: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z

TRNNPTR: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c

Ta có thể xem TR CH Rlà một trường hợp riêng của TR SD R

Như vậy, giáo trình [a] chỉ đề cập đến vành số nguyên, và thực hiện phép chia có dư trong tập hợp số nguyên

1.2 Phép chia có dư trong giáo trình [b] – Toán rời rạc

1.2.1 Phép chia có dư với vai trò là đối tượng

Trong giáo trình [b], các phép toán được xét trong tập hợp số nguyên Phép chia được định nghĩa trên tập số nguyên và hình thức tương tự như trong [a] Để diễn đạt cho mối quan hệ chia hết thì [b] cũng đưa vào ngôn ngữ “bội” và “ước” Cùng với các tính chất chia hết [b] đã đưa ra định nghĩa về số nguyên tố, hợp số và nêu định lý về sự phân tích số nguyên dương ra thừa số nguyên tố

Phép chia có dư trong [b] được gọi là thuật toán chia, định lý về phép chia có dư ở

trang 155 như sau: “Cho a là một số nguyên và d là một số nguyên dương Khi đó tồn tại các số q và r duy nhất, với 0≤ r < d, sao cho a = dq + r” Qua định lý này chúng tôi nhận thấy có sự khác biệt với định lý trong [a] là số chia thuộc tập số nguyên dương Trong biểu

thức 0≤ r < d không còn giá trị tuyệt đối Cách trình bày định lý này đã loại trường hợp d <

0, nhưng điều này không làm mất tính tổng quát của định lý vì dựa vào qui tắc dấu ta có thể

các kí hiệu mà [b] có thuật toán chia như sau: “Trong đẳng thức được cho trong thuật toán chia, d được gọi là số chia, a được gọi là số bị chia, q được gọi là thương số và r được gọi

là số dư”[ trang 156]

Giáo trình đã nêu hai ví dụ minh họa trang 156:

1 Xác định thương số và số dư khi chia 101 cho 11

101 = 11.9 + 2 V ậy thương số của phép chia 101 cho 11 là 9 và số dư là 2

2 Xác định thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3

1.2.2 Phép chia có dư với vai trò là công cụ

Có thể thấy trong [b] phép chia có dư cũng được đề cập trong bài tìm ước chung lớn nhất, số học đồng dư, số nguyên và thuật toán Trong [b] vai trò của số dư được quan tâm nhiều hơn vì những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực như: dùng các đồng dư để gán các

vị trí của bộ nhớ cho các hồ sơ, hệ thông mật mã dựa trên số học đồng dư Trong bài “Ước

số chung lớn nhất” các kỹ thuật tìm ƯCLN không có gì thay đổi so với [a] Với bài số học

đồng dư thì [b] có đưa vào định nghĩa ở trang 159: “Cho a là một số nguyên và m là một số nguyên dương Khi đó kí hiệu a mod m là số dư khi chia a cho m” Đây có thể coi là một

cách gọi tên khác của số dư trong phép chia có dư Và sau đó [b] cũng định nghĩa quan hệ đồng dư và nêu các tính chất của nó Thuật toán Euclide được giới thiệu trong bài “Số

nguyên và thuật toán” trước khi giới thiệu toán [b] đưa ra bổ đề “Cho a = bq + r, trong đó

a, b, q và r là các số nguyên khi đó: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r)”

Ta có chứng minh:

Giả sử d là ước số chung của a và b Từ đó suy ra a – bq = r chia hết cho d Do đó mọi ước chung của a và b cũng là ước chung của b và r

Tương tự, giả sử b là ước số chung của b và r khi đó bq + r = a cũng chia hết cho d

Do đó mọi ước chung của b và r cũng là ước chung của a và b

x := y

y := r end {ƯCLN(a,b) là x}

Trong phần “Biểu diễn các số nguyên” ta gặp dạng bài toán chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g mà trong [b] có tên gọi khai triển cơ số b của một số nguyên dương n Một chương trình máy tính điển tử giải bài toán này là:

Procedure khai triển cơ số b(n: positive integers)

k := k+1 end {khai tri ển cơ số b của n là (aRk-1R aR1RaR0R)RbR} [trang 175]

Trong giáo trình [b] đã bổ sung vào các kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ bằng máy tính điển tử

Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư

TRDCSR: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g

TRƯCLNR: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên

TRSDR: Tìm số dư trong phép chia có dư trong vành ZR

Trong kiểu nhiệm vụ TRSDR các số nguyên được đưa ra khá đơn giản không có dạng

lũy thừa như trong [a] vì vậy kỹ thuật của TRSDR chỉ sử dụng công thức r=a – bq Các kiểu

nhiệm vụ TRDCSR, TRƯCLNR các kỹ thuật như trong [a], ngoài ra còn có kỹ thuật sử dụng ngôn ngữ lập trình của MTĐT để giải quyết bài toán

Cũng như giáo trình [a], giáo trình [b] chỉ trình bày phép chia có dư trong vành Z Mối liên hệ giữa phép chia có dư với phép trừ được giáo trình [b] giới thiệu rõ hơn giáo trình [a]

1 3 Phép chia có dư trong giáo trình [c] – Đại số đại cương

Đối với giáo trình [c], chúng tôi không phân tích phép chia có dư trong vành Z Vì điểm khác biệt lớn so với hai giáo Số học và Toán rời rạc đã phân tích là sự khái quát phép chia có dư trong một vành Euclide bất kì

Phân tích vành Euclide sẽ làm cơ sở toán học cho phép chúng tôi giới thiệu phép chia

có dư trong vành DR n R, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, xuất hiện trong chương trình và SGK phổ thông

1 3.1 Phép chia có dư trong vành Euclide

Trang 141 bài “Vành Ơclit (Euclide)” mô tả cấu trúc đại số trong đó có phép chia có

dư được nêu trong một vành tổng quát hơn vành Z đã xét trong các giáo trình [a] và [b]

“Định nghĩa: Giả sử A là một miền nguyên, AP

*

Plà tập hợp các phần tử khác 0 của A Miền nguyên A cùng với ánh xạ (gọi là ánh xạ Ơclit)

ii V ới hai phần tử a và b tuỳ ý của A, bR≠ R0, có q và r thu ộc A sao cho

a = bq + r và Rδ R(r) <Rδ R(b) n ếu r R≠R0; g ọi là một vành Ơclit”

Vành euclide là một vành chính và do đó vành này thoả mãn điều kiện có ƯCLN, phép chia Euclide cho phép tìm ra ƯCLN đó Điều này dựa trên bổ đề:

“Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử của A thoả mãn quan hệ

a = bq + r

Thế thì ước chung lớn nhất của a và b là ước chung lớn nhất của b và r”

Vậy cách tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán Euclide có cơ sở là bổ đề này

Vành Z chính là một trường hợp của vành DR n R, vành DR 0 R Từ đó, chúng tôi mô hình hóa kiểu

nhiệm vụ TRDnR như sau : Trong vành DRnR (n ∈ N), cho trước hai số thập phân a, b với b≠0, tìm thương q và số dư r trong phép chia có dư a cho b

Như vậy chúng ta có thể xem các kiểu nhiệm vụ TR SD, RTR CH Rtrong vành Z là những kiểu nhiệm

vụ con của TRDnR

Về mặt toán học, nếu a, b ∈ N, a/b là số thập phân thì sẽ tồn tại một q ∈ DR n R sao cho

a = bq (phép chia hết hay là dư 0) Vành Z chính là DR 0 R Vì vậy ta có thể có một phép chia có

dư trong Z nhưng là phép chia hết trong DR n R nào đó, chẳng hạn: a =12 và b = 5 ta có phép chia có dư trong Z với số dư là 2; tuy nhiên trong vành DR 1 Rthì đây là phép chia hết 12 = 5 x 2,4

1 4 Kết luận của chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã làm rõ một số cách trình bày về PCCD và các khái niệm có liên quan trong các giáo trình toán ở bậc đại học Sau đây là các kết quả chính của phân tích trong chương 1

• PCCD với vai trò là một đối tượng:

PCCD được định nghĩa trong tập hợp số nguyên, trước khi định nghĩa về PCCD thì cả hai giáo trình [a] và [b] đều nêu định lý về PCCD Tuy nhiên định lý trong giáo trình [b] phát biểu với số bị chia là số nguyên, số chia là số nguyên dương, khác với [a] cả số chia và

số bị chia đều thuộc tập hợp số nguyên và b≠0 Điều này dẫn đến biểu thức số dư có sự

khác biệt [a] chứa dấu giá trị tuyệt đối (0 ≤ r < |b|) và [b] không có giá trị tuyệt đối (0 ≤ r

< b) Theo chúng tôi định nghĩa trong [b] thuận tiện hơn và không mất tính tổng quát cho việc phát biểu PCCD trong tập hợp số nguyên Cả hai giáo trình đều không nêu tường minh

ý nghĩa của PCCD là phép trừ liên tiếp Nhưng nghĩa của PCCD là phép trừ liên tiếp ngầm

Giáo trình [c] khái quát về PCCD trong một vành euclide bất kì bao gồm phép chia có

dư trong vành Z Giáo trình [a] và [b] đã trình bày PCCD trong Z Hình thức biểu diễn của PCCD trong các giáo trình đại học là: a = bq + r với 0≤ r< |b|, trong đó a, b, q, r thuộc vành

A (Z hoặc vành euclide bất kì ) và b ≠0 Số dư xuất hiện tường minh trong biểu thức

Đặt trưng của số dư trong PCCD đã được nêu rõ: r = 0 là phép chia hết, khi 0< r <

|b| thì là phép chia có dư Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư

Trong vành số nguyên phép chia hết không khép kín, khi phép chia có dư được đưa vào thì phép chia được thực hiện với mọi số nguyên

• PCCD với vai trò công cụ:

PCCD xuất hiện trong vai trò công cụ liên quan đến những khái niệm sau đây

- Ước chung lớn nhất

- Quan hệ đồng dư

Đây là hai khái niệm nổi bật nhất ứng dụng PCCD Và thuật toán Euclide là ứng dụng tiện ích nhất và lâu đời nhất của PCCD Thuật toán này có mặt trong kỹ thuật để giải quyết một

số kiểu nhiệm vụ của những bài toán liên quan đến PCCD

Vành DR n R là vành euclide, vành Z là DR 0 R dựa vào sự khái quát này mà chúng tôi mô hình hóa kiểu nhiệm vụ TR Dn R

Các kiểu nhiệm vụ xoay quanh đối tượng PCCD trong các giáo trình đại học đã nghiên cứu có thể chia thành hai nhóm như sau

- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò đối tượng nghiên cứu:

TRSDR: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z

TRCHR: Chứng minh rằng: P(n)a, *

,a N Z

n∈ ∈

Như chúng tôi đã mô hình ở trên, các kiểu nhiệm vụ này là những trường hợp đặc biệt của

TRDnR(Tìm thương và số dư của phép chia có dư trong vành DR n R)

- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò công cụ nghiên cứu :

TRDCSR: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g

TRƯCLNR: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên

TRNNPTR: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c

Những kết quả đã đạt được ở chương 1 sẽ là cơ sở cho việc phân tích SGK mà chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 2 tiếp theo của luận văn

C HƯƠNG 2: PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN

GIẢNG DẠY

Mục đích của chương này là làm rõ mối quan hệ thể chế giữa TH và THCS với phép chia có dư Cụ thể hơn chúng tôi nhắm tới việc trả lời các câu hỏi sau:

• Những tổ chức toán học nào được xây dựng xung quanh khái niệm này?

Đặc biệt, phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào?

• Đâu là những ràng buộc thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn của PCCD?

Để trả lời những câu hỏi trên chúng tôi phân tích SGK, cụ thể là SGK lớp 3, 4, 5 và SGK lớp 6, 7 hiện hành vì phép chia có dư được giảng dạy ở những lớp này Những kết quả trong chương 1 là cơ sở tham chiếu để chúng tôi phân tích trong chương này

2.1 Th ể chế tiểu học :

2.1.1 Ph ần bài học

Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình toán bậc tiểu học Như vậy chúng tôi sẽ

bắt đầu với SGK bậc tiểu học với sơ đồ sau:

Phép chia được học ở lớp 2 với bảng nhân và bảng chia 2, 3, 4, 5 Và ở lớp 3 giới thiệu các bảng nhân, bảng chia còn lại Phép chia có dư được giới thiệu cho học sinh bắt đầu

từ lớp 3 và tiếp tục nghiên cứu ở lớp 4 Khái niệm phép chia học sinh gặp lần đầu tiên ở lớp

2 Để rõ ràng hơn chúng tôi giới thiệu định nghĩa và những yêu cầu của chương trình đối với phép chia ở lớp 2

Phép chia đưa vào ở lớp 2, trong SGV lớp 2 trang 173 đã nêu mục tiêu của bài học là:

Và yêu cầu về trình độ chuẩn của toán lớp 2: học sinh phải thuộc bảng chia 2, 3, 4, 5

và biết chia nhẩm trong phạm vi các số đã học, chia số tròn chục cho số có một chữ số và nhận biết phép chia là phép toán ngược của phép toán nhân Phép chia đưa vào sau khi học sinh đã học các bảng nhân

Bài “Phép chia” trong SGK lớp 2 trang 107 được trình bày như sau:

• Ta có phép chia để tìm số phần, mỗi phần có 3 ô:

bằng nhau và nghĩa nổi bật vẫn là phép chia là phép toán ngược của phép toán nhân Tương

Đọc là sáu chia hai bằng ba

Dấu : gọi là dấu chia

Viết là 6 : 2 = 3

3 × 2 = 6

tự [a], phép chia được đưa vào chương trình đầu tiên sau đó mới phân chia phép chia có dư

Thuật toán chia bằng sơ đồ của phép chia được SGK3 trang 27 giới thiệu qua bài:

“Chia số có 2 chữ số cho số có một chữ số” như sau:

về phép chia hết và phép chia có dư Ta có thể gọi thuật toán chia được miêu tả bằng sơ đồ:

Phép chia có dư giới thiệu ở tiểu học chia làm hai trường hợp riêng biệt (tức là phân biệt trường hợp r = 0 và r≠ 0 và bé hơn số chia) Phép chia hết khi r = 0 và phép chia có dư khi r ≠ 0 và số dư bé hơn số chia Phép chia hết và phép chia có dư thực hiện bằng sơ đồ chia và ghi kết quả dưới dạng a : b = q hoặc a : b = q (dư r) Thuật toán chia là công cụ giới thiệu phép chia hết và phép chia có dư Cách viết chính thức của phép chia có dư là a : b = q (dư r) Phép chia hết được thể hiện bởi một đẳng thức, trong biểu thức phép chia có dư “ = ”

ở đây không mang nghĩa là một đẳng thức

Phép chia hết và phép chia có dư được đưa vào lớp 3 với hình thức mô tả các bước thực hành tìm thương và số dư Các thành phần của phép chia đều thuộc số tự nhiên Số dư

là đặc trưng cho phép chia có dư, phân biệt phép chia hết r = 0 và phép chia có dư r≠0 và r

bé hơn số chia

• Phân tích SGK lớp 4

Phép chia hết và phép chia có dư tiếp tục giảng dạy và hoàn thiện trong SGK lớp 4 Học sinh sử dụng sơ đồ chia thực hiện phép chia số có 6 chữ số cho số có 3 chữ số (chia hết

và phép chia có dư) Phép chia được thực hiện liên tiếp cho đến khi số dư bằng 0 hoặc số dư

bé hơn số chia Phép chia hết và phép chia có dư được giới thiệu trong tập hợp số tự nhiên

Vì vậy các thành phần a, b, q, r đều thuộc tập hợp số tự nhiên Đặc trưng của phép chia hết

Chú ý: Số dư bé hơn số chia”

và phép chia có dư được nhấn mạnh ở bậc tiểu học là phép chia hết khi r = 0 và phép chia có

dư khi r≠0 và r bé hơn số chia Phép chia hết và phép chia có dư tách làm hai trường hợp khác nhau, điều này không giống như trong [a], [b] xem phép chia hết là trường hợp riêng của phép chia có dư Khi đưa phép chia có dư vào chương trình thì phép chia thực hiện được đối với số tự nhiên

Một trong những ứng dụng của phép chia có dư giới thiệu ở lớp 4 là dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 9, 3

Tiếp theo, phép chia có dư trong mối liên hệ với khái niệm phân số

b

a

Trong bài:

“Phân số và phép chia số tự nhiên”SGK4 trang 108 có nhận xét:

“Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân

số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia chẳng hạn 8:4 =

b

a

xuất hiện với nghĩa là thương của một phép chia Trong đó phép chia hết

thì phân số rút gọn thành một số tự nhiên, phép chia có dư là một phân số

Phép chia có dư xuất hiện trong SGK lớp 5 thông qua việc hình thành khái niệm hỗn

số Bên cạnh đó chúng tôi xem xét một số ứng dụng mà phép chia có dư trong việc giảng dạy phép chia trong tập hợp số thập phân

Hỗn số được định nghĩa trong trong bài “Hỗn số” SGK5 trang 12 Hỗn số được viết dưới dạng q r

b trong đó q được gọi là phần nguyên và

Sau khi kiến thức về hỗn số và phân số thập phân được giới thiệu Cùng với bài toán

về đơn vị đo và phân số thập phân, số thập phân được đưa vào giảng dạy Chúng tôi chú ý đến phép chia các số thập phân với các đề mục sau:

Chia số thập phân cho một số tự nhiên

Chia một số thập phân cho 10, 100, 10000

Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được là một số thập phân Chia một số thập phân cho một số thập phân

Trong bài “Chia một số thập phân cho một số tự nhiên” SGK5 trang 63 có:

“ Ta phải thực hiện phép chia: 8,4 : 4 = ? (m)

Ta có 8,4 m = 84 dm

21(dm) = 2,1 m Vậy : 8,4 : 4 = 2,1 (m)

Thông thường ta đặt tính rồi làm như sau:

Muốn chia một số thập phân cho một số tự nhiên ta làm như sau:

- Chia phần nguyên của số bị chia cho số chia

- Viết dấu phẩy vào bên phải thương đã tìm được trước khi lấy chữ số đầu tiên ở phần thập phân của số bị chia để tiếp tục thực hiện phép chia

- Tiếp tục chia với từng chữ số ở phần thập phân của số bị chia.”

Dựa trên kỹ thuật chia của phép chia có dư trong tập hợp số tự nhiên, khi chuyển đổi đơn vị, các đại lượng trở thành số thập phân và thực hiện phép chia có dư trong DR n R Kỹ

4 8,4

• Viết dấu phẩy vào bên phải 2

• Hạ 4 ; 4 chia cho 4 được 1, viết 1;

1 nhân 4 bằng 4 ; 4 trừ 4 bằng 0, viết 0

thuật chia số thập phân cho số tự nhiên thực hiện như đối với số tự nhiên Phép chia các số thập phân được thực hiện bằng sơ đồ chia

Trong bài “Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được làm một số thập phân” trang 67:

Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà còn dư, ta tiếp tục chia như sau:

- Viết dấu phẩy vào bên phải số thương

- Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số 0 rồi chia tiếp

- Nếu còn dư nữa, ta lại viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục chia, và cứ làm như thế mãi.”

Với câu “Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà còn dư, ta tiếp tục chia như sau: ” phép chia có kết quả là số thập phân là phép chia có dư (theo nghĩa mà học sinh

đã học) Liệu học sinh có chú ý đến điều này hay không?

Một điều đáng quan tâm là số dư thể hiện trong sơ đồ dư vẫn là số tự nhiên Điều này có là một chướng ngại cho học sinh khi tìm số dư trong phép chia các số thập phân này?

Sơ đồ chia cùng với kỹ thuật thực hiện phép chia có dư được ứng dụng để thực hiện phép chia trong tập hợp số thập phân Thể chế không làm rõ sự khác biệt giữa phép chia có

dư thực hiện trong tập hợp số tự nhiên và phép chia có dư thực hiện trong tập hợp số thập phân

Tuy nhiên trong bài tổng kết cuối chương trình PCCD được ôn lại và PCCD trên DR n

Phép chia hết: a : b = c, ta có a = c× b (b khác 0)

Trong phép chia có dư: a : b = c (dư r), ta có a = c× b + r (0 < r < b)”

Trong đó ta thấy xuất hiện biểu thức a = c× b + r (0 < r < b) như là phép toán ngược kiểm tra kết quả của phép chia có dư

Ở lớp 5, phép chia có dư không được nhắc đến nhưng kỹ thuật thực hiện phép chia có

dư được sử dụng để thực hiện phép chia giữa các số thập phân, các số tự nhiên hay số thập phân và số tự nhiên có kết quả là số thập phân Và các tên gọi của thành phần trong phép chia không có gì thay đổi

Từ đó chúng tôi đặt ra câu hỏi: Quan niệm của học sinh về phép chia hết và phép chia có dư có gì thay đổi khi các em học chương trình lớp 5?

Dựa trên cơ sở phân tích SGK chúng tôi xem xét tổ chức toán học liên quan đến phép chia có dư

Người ta xếp đều 240 bộ bàn ghế vào 15 phòng học

bảng chia từ 2 đến 9, hoặc chia cho các số tròn chục, tròn trăm

Thực hiện phép chia liên tiếp khi r = 0 hay r < b thì dừng lại

Một số bài toán lời văn với chủ đề như sau:

- Giảm đi một số lần

- So sánh số lớn gấp mấy lần

Kỹ thuật của KNV này được nêu rõ ràng PCH và PCCD các số

tự nhiên được thực hiện trong phạm vi số

có 6 chữ số cho số có

3 chữ số Hình thức cho kiểu nhiệm vụ này “cho bảng” hoặc yêu cầu “tính nhẩm” hoặc “đặt tính rồi tính” Những bài toán dạng lời văn học sinh chủ yếu sắp bài toán

Tìm số chia chưa biết

trong phép chia hết ta lấy số

bị chia chia cho thương

Phép chia trong kiểu nhiệm vụ này đều là phép chia hết

Các bài tập trong kiểu nhiệm vụ này đều là phép chia hết

LN GTNN

τ :Thực hiện phép chia

có dư

Thương là câu trả lời của bài toán và số dư là phần còn thừa lại

Một ý nghĩa của (q, r) trong N

Các bài tập trong kiểu nhiệm vụ này đều là phép chia có dư

Bảng 2.1 Thống kê về số lượng kiểu nhiệm vụ trong SGK3 và SGK4

Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có nhận xét như sau:

- Gần như tất cả các nhiệm vụ dựa trên việc thực hiện phép chia trong N, và nhắm đến kỹ năng tính toán Chỉ có 6/106 nhiệm vụ (5,6%) đề cập đến ý nghĩa của số dư

- Chúng tôi nhận thấy vai trò của số dư đối với các kiểu nhiệm vụ trong SGK3 và SGK4 rất mờ nhạt

Từ những phân tích trên chúng tôi rút ra qui tắc hành động:

R1: Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r, r≠ 0 và r < b

R2: Trong phép chia a cho b thì số bị chia a lớn hơn số chia b

Tiếp theo chúng tôi sẽ nghiên cứu các kiểu nhiệm vụ trong SGK5, phép chia có dư ở lớp 5 được vận dụng tường minh trong phần bài học chuyển phân số thành hỗn số Mặt khác, kỹ thuật chia lại được sử dụng trong phép chia các số thập phân với số thập phân, số

tự nhiên với số thập phân và số tự nhiên với số tự nhiên có kết quả là số thập phân

Một người đi xem máy trong 3 giờ đi được 126,54km Hỏi trung bình mỗi giờ người đó đi được bao nhiêu km?

-τTT CN: Chia nhẩm chia cho các số tròn chục, tròn trăm

- τTT TT: kỹ thuật sắp xếp các số theo sơ đồ chia rồi thực hiện phép chia tìm thương

Các phép chia đều là phép chia hết trong

Các phép chia đều là phép chia hết trong

TGTBT

τ :Thực hiện các tính toán theo qui tắc nhân chia trước cộng trừ sau khi không có dấu ngoặc

Các phép chia đều là phép chia hết trong

DR 2 R

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Kỹ thuật Đánh giá

GTLN

τ :Thực hiện phép chia có dư Thương là câu trả lời của bài toán

và số dư là phần còn thừa lại

Thương trong dạng bài tập này là số nguyên dương

605

; 100 5608

; 10

734

; 10 162

HS PSTP.

τ :Lấy tử số chia cho mẫu số Thương tìm được là phần nguyên của hỗn số Hỗn số gồm phần nguyên kèm theo một phân số có

tử số là số dư, mẫu số là số chia

Đối với dạng bài tập này phép chia luôn là phép chia có dư với

0 < r< b, a và b thuộc tập hợp các số nguyên dương