một số ứng dụng của định lý wedderburn – artin

L ỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết vành hiện đại bắt đầu khi J.H.M Wedderburn chứng minh định lý phân lớp cho đại số nửa đơn hữu hạn chiều.. Hai mươi năm sau đó E.Noether và E.Artin đưa ra Điều kiện

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

L ỜI CÁM ƠN



Trước tiên qua luận văn này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và lời

cô đã trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tôi cùng các bạn học viên cao h ọc khóa 20

Đặc biệt là thành kính gửi lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ đã tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện luận văn này

Qua đây tôi cũng xin chân thành cám ơn đến tất cả các bạn học viên cao

khoa Toán và phòng Sau Đại Học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập, nghiên c ứu

động viên tôi để hoàn thành luận văn này

TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2011

Tác giả luận văn

M ỤC LỤC

MỤC LỤC 3

LỜI MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 7

1.1 MÔĐUN 7

1.2 RADICAL CỦA MỘT VÀNH 10

1.3 RADICAL CỦA ĐẠI SỐ VÀ VÀNH NỬA ĐƠN 13

1.4 VÀNH ARTIN 19

1.5 VÀNH ARTIN NỬA ĐƠN 24

1.6 ĐỊNH LÝ DÀY ĐẶC 30

CHƯƠNG II: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN 36

2.1 Định lý 2.1: (Định lý Wedderburn – Artin) 36

2.2 Định lý 2.2: 40

2.3 Định lý 2.3: 40

2.4 Định lý 2.4 40

CHƯƠNG III: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN 41

3.1 ĐỊNH LÝ BURNSIDE, TÍNH HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG CỦA NHÓM MA TRẬN: 41

Định lý 3.1.1 41

Định lý 3.1.2: 43

Định lý 3.1.3 44

Định lý 3.1.4: 44

Định nghĩa: 46

Bổ đề 3.1.1: 47

Bổ đề 3.1.2: 48

Bổ đề 3.1.3: 48

Bổ đề 3.1.4: 49

Định lý 3.1.5 (BURNSIDE) 50

3.2 MÔ TẢ VÀ XÂY DỰNG NHÓM BRAUER: 52

Định nghĩa: 52

Bổ đề 3.2.1: 52

Định lý 3.2.1: 54

Định lý 3.2.2: 56

Hệ quả: 56

Định lý 3.2.3: 56

Định nghĩa (quan hệ tương đương): 59

Bổ đề 3.2.2: 59

Nhóm Brauer: 60

Mô tả nhóm Brauer trong một số trường hợp cụ thể của trường F 61

3.3 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM: 65

Định nghĩa: 65

Định nghĩa: 66

Định lý: 3.3.1: 68

Định lý 3.3.2: 69

Định lý 3.3.3: 70

Bổ đề 3.3.1: 71

Định nghĩa: 73

Định lý 3.3.4: 73

KẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

L ỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết vành hiện đại bắt đầu khi J.H.M Wedderburn chứng minh định lý phân lớp cho đại số nửa đơn hữu hạn chiều Hai mươi năm sau đó E.Noether và E.Artin đưa ra Điều kiện dây chuyền tăng và Điều kiện dây chuyền giảm thay thế cho số chiều hữu hạn, ngoài ra Artin còn chứng minh sự tương tự của định lý Wedderburn cho vành nửa đơn tổng quát Định lý Wedderburn – Artin từ đó trở thành nền tảng của lý thuyết vành không giao hoán và có nhiều ứng dụng sâu sắc

Luận văn đặt mục tiêu trình bày lại các dạng khác nhau của định lý Wedderburn – Artin và các khả năng ứng dụng khá đa dạng của nó trong lý thuyết vành không giao hoán như định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương của nhóm ma

trận, mô tả nhóm Brauer, và trong lý thuyết biểu diễn nhóm

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

− Định lý Wedderburn – Artin

− Các ứng dụng của định lý Wedderburn – Artin trong:

• Định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương của nhóm ma

trận

• Mô tả và xây dựng nhóm Brauer

• Lý thuyết biểu diễn nhóm

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp tổng hợp

5 D Ự KIẾN NỘI DUNG LUẬN VĂN

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Các khái niệm và kết quả được sử dụng Chương 2: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN

Trình bày định lý Wedderburn – Artin và các dạng khác nhau

của định lý

Chương 3: CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN

1 Định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương của nhóm ma trận

2.Ứng dụng trong mô tả và xây dựng nhóm Brauer

3.Ứng dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 MÔĐUN

Định nghĩa

Cho M là m ột R – môđun Ký hiệu A M( ) {= ∈r R Mr: =(0)}

Ký hiệu E(M) là tập tất cả các tự đồng cấu nhóm cộng M Trên E(M) ta trang

bị hai phép toán cộng và nhân như sau:

Phép c ộng: ∀ϕ ψ ∈, E M( ), (ϕ + ψ)( )m = ϕ( )m + ψ( ),m ∀ ∈m M Phép nhân: ∀ϕ ψ ∈, E M( ), ( )( )ϕ ψ m = ϕ ψ( ( )),m ∀ ∈m M

1) MR≠(0)

2) M ch ỉ có hai môđun con là (0) và M

Định lý 1.1.1 (bổ đề Schur)

Ch ứng minh Do C(M) là vành con của vành E(M) nên ta chỉ còn phải chứng minh

mọi phần tử khác không trong C(M) đều khả nghịch Tuy nhiên, nếu 0≠ ϕ∈C M( )

trung thành nên Kerϕ =M , suy ra ϕ =0 (MT) Do đó, Kerϕ =(0) hay ϕ là đơn cấu

Vậy ϕ là đẳng cấu Suy ra ϕ có đồng cấu ngược 1

b ất khả quy

Ký hiệu: S= ∈{u M uR: =(0)}

Dễ thấy S là môđun con của M Do MR≠(0) nên S≠M , mà M là môđun bất

khả quy nên S = (0) Điều này có nghĩa là ∃ ∈m M \ {0}: mR≠(0) Nhưng mR cũng

là môđun con của môđun trung thành M nên mR M=

Xét R- đồng cấu ϕ:R→M, ϕ( )r =mr ∀ ∈r R Ta có ϕ( )R =mR=M nên ϕ

là toàn cấu Theo định lý Noether, M ≅ ρR , với ρ =Kerϕ Ta còn phải chứng minh

Ker

ρ = ϕ là iđêan tối đại và chính quy

Tức ρ là iđêan phải tối đại của R

+) ρ =Kerϕ chính quy: vì mR=M nên ta suy ra

Tức ρ = Kerϕ là iđêan chính quy

Ngược lại, giả sử ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy của R, ta sẽ chứng

minh R ρ là R– môđun bất khả quy

1.2 RADICAL C ỦA MỘT VÀNH

Định nghĩa

môđun bất khả quy Nếu không tồn tại R– môđun bất khả quy thì J(R) = R

Radical định nghĩa như trên thường được gọi là radical Jacobson

Từ định nghĩa ta suy ra J R( )= A M( ), với M chạy khắp tập các R – môđun

bất khả quy Mặt khác, A(M) là iđêan hai phía nên J(R) là iđêan hai phía Tuy

nhiên, để cho tiện ta hiểu J(R) định nghĩa như trên là iđêan phải

Định nghĩa

Choρ là m ột iđêan phải của R Ta định nghĩa ( : ) {ρ R = ∈x R Rx: ⊂ ρ}

Định lý 1.2.1: J R( )= ρ( : )R

v ới ρ ch ạy khắp tập các iđêan phải, tối đại, chính quy của R và ( : )ρ R là iđêan

Ch ứng minh Ta có

_

M bkq

J R =  A M Với mỗi R – môđun bất khả quy M, theo bổ

đề 1.1.3, tồn tại một iđêan phải, tối đại, chính quy ρ sao cho M = ρR Ta chỉ cần

phía của R lớn nhất nằm trong ρ

+) ( : )ρ R là iđêan hai phía của R: Vì A M( )= ρ( : )R nên ( : )ρ R là iđêan hai phía của R

+)( : )ρ R ⊂ ρ:∀ ∈ ρx ( : )R ⇒Rx⊂ ρ Mặt khác, ρ chính quy nên có

r R y ry y R Do đó, x− ∈ρrx , mà Rx⊂ ρ nên rx∈ρ suy ra x∈ρ Tức ( : )ρ R ⊂ ρ

+) ( : )ρ R là lớn nhất: giả sử có iđêan hai phía ρ′ của R mà ρ ⊂ ρ′ Khi đó,

′

∀ ∈ρx , ta có Rx⊂ ρ ⊂ ρ ⇒ ∈ ρ′ x ( : )R ⇒ ρ ⊂ ρ′

B ổ đề 1.2.1

đại, chính quy của R

τ =  ρ và chọn ∈τx

Ký hiệu S ={xy+y y: ∈R} Ta khẳng định S = R Thật vậy, nếu ≠ S R thì S

là một iđêan phải của R Hơn nữa, chọn = − ∈ r x R , ta có y ry− = + ∈ ∀ ∈y xy S, y R,

tức S là iđêan phải chính quy của vành R Theo bổ đề 1.2.1, S có thể nhúng được

vào một iđêan phải, tối đại, chính quy P của R Khi đó, ∀ ∈y R ta có

Rõ ràng τm là m ột R – môđun con của môđun bất khả quy M nên τ = m M

Do đó, tồn tại t∈τ sao cho mt = −m Vì t∈τ nên bằng cách lập luận như trên,

đều tựa chính quy phải

Nh ận xét

1) J(R) là iđêan phải tựa chính quy phải của R

Ch ứng minh

1) Từ phép chứng minh định lý 1.2.2 ta thấy ∀ ∈x J R( ),∃ ∈y R x: + +y xy=0

Hay J(R ) là iđêan phải tựa chính quy phải của R

2) Giả sử ρ ⊂/ J R( ) thì tồn tại một R – môđun bất khả quy M sao cho Mρ ≠0 Khi đó, ∃ ∈m M m: ρ ≠0 Nhưng mρ là môđun con của môđun bất khả quy M nên

Định lý 1.2.3

J(R) là iđêan phải tựa chính quy phải của R chứa mọi iđêan phải tựa chính quy

Định nghĩa

a) Ta nói ph ần tử ∈ a R là lũy linh nếu ∃ ∈m * để m =0

a

đều lũy linh

I I I n Từ đó ta suy ra, iđêan phải I

là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương m sao cho m=0

Nilpotent ⇒ Nil-; Nil- ⇒/ Nilpotent

B ổ đề 1.2.2

Ch ứng minh Giả sử I là nil-idean phải của R Khi đó, *

3) k(ab) = (ka)b = a(kb), ∀ ∈ ∀k F, a b, ∈A

Các khái niệm đại số con, iđêan, đồng cấu, của đại số được định nghĩa

tương tự như của vành Chẳng hạn, B là đại số con của đại số A trên trường F nếu B

vừa là vành con, vừa là không gian véctơ con của A Radical của đại số A là giao

của tất cả các iđêan phải, tối đại, chính quy của đại số A Một câu hỏi đặt ra là:

radical của đại số A có khác gì so với radical của vành A không? Câu trả lời là hai

radical này trùng nhau vì ta có thể dễ dàng chứng minh được rằng: nếu ρ là một

iđêan phải, tối đại, chính quy của vành A thì ρ cũng là không gian véctơ con của không gian véctơ A trên trường F Do đó, theo định lý 1.2.2, ta được

N ếu A là một iđêan của vành R thì J A( )= ∩A J R( )

Chứng minh Với mọi a∈ ∩A J R( ) ta có a∈ và A a∈J R( ) Vì a∈J R( ) nên a là

tựa chính quy phải trong R, tức ∃ ∈a′ R a a: + +′ aa′= ⇔ = − −0 a′ a aa′, mà a∈  A R

nên a ′∈ , tức a là tựa chính quy phải trong A suy ra A a∈J A( ) Vậy

Lại do, ρ là một iđêan phải, tối đại, chính quy của R nên R ρ là môđun bất

khả quy, do đó,

A

Aρ là môđun bất khả quy suy ra ρA là iđêan phải, tối đại, của A

Vì ρ là iđêan chính quy nên ∃ ∈b R x bx, − ∈ρ ∀ ∈, x R Vì b∈ = + ρR A nên ,

∃ ∈ ∈ρ sao cho b= + Ta có a r

,

Ch ứng minh Giả sử A là một iđêan của vành R Theo định lý 1.2.5 ta có

J A = ∩A J R = ∩ =A

Vậy A cũng là vành nửa đơn

Chú ý Định lý 1.3.2 sẽ không còn đúng nếu A chỉ là iđêan một phía Chẳng hạn, xét R là vành các ma tr ận vuông cấp 2 trên trường số thực Vì R là vành có đơn vị

1 0

0 1

=  

  nên J R( )≠R Ta khẳng định R không có iđêan hai phía thật sự không

tầm thường Thật vậy, giả sử A là một iđean hai phía của R và A≠ Xét các ma 0

phải của ρ, do đó, ρ ⊂ ρ ⇒ ρ ≠ 1 J( ) J( ) 0 Và khi đó, J( )ρ ≠ = ρ ∩0 J R( )

Cho R là một vành, ta ký hiệu R m là vành các ma trận bậc m trên R Ta có

Dễ kiểm tra được ( )n

M là một R m - môđun phải Hơn nữa, ( )n

Gọi A là một môđun con của ( )

, 0

n

M A≠ ta sẽ chứng minh ( )n

A=M Vì 0

Dễ thấy ρ 1 là iđêan phải của R n Ta sẽ chứng minh ρ ∈ 1 J R( n) bằng cách chỉ

ra rằng mọi phần tử của ρ 1 đều tựa chính quy phải Thật vậy, với mọi phần tử

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được

đều có phần tử tối tiểu

Chú ý R là vành Artin n ếu và chỉ nếu mọi dây chuyền giảm các iđêan phải

Sau đây ta nêu một vài ví dụ về vành Artin

1) Mọi vành chia là vành Artin 2) Vành ma trận vuông cấp n trên một vành chia là vành Artin Tổng quát hơn, nếu R là vành Artin thì vành ma trận R n cũng là vành Artin

3) Tổng trực tiếp hữu hạn của các vành Artin là Artin

Định lý 1.4.1 Nếu R là vành Artin thì J(R) là idean lũy linh

Ch ứng minh Đặt J =J R( ) Xét dây chuyền giảm các iđêan phải

{ : n 0}

I = x∈R xJ =

Kiểm tra trực tiếp ta được I là iđêan hai phía của R Có hai khả năng có thể xảy ra

Vì J n ≠ 0 nên Γ = ρ ≠ { 0 : ρ R∧ ρ ⊆ J n} ≠ ∅ Mà R là vành Artin nên R

cũng là vành Artin, do đó, Γ có phần tử tối tiểu ≠ ρ ⊆0 J Do n ρ là phần tử tối

tiểu của Γ nên nó là R - môđun bất khả quy, thêm nữa, n ( )

ρ = ⇒ρ = (MT) Mâu thuẫn này cho ta J n =0

Vậy J(R) là iđêan lũy linh

H ệ quả

Ch ứng minh Giả sử A là một nil-idean của R Khi đó, A⊆J R( ) Mặt khác, theo

định lý 1.3.1, J(R) là iđêan lũy linh nên A là iđêan lũy linh

Định nghĩa

e =e

B ổ đề 1.4.1

Ch ứng minh Vì R không có iđêan lũy linh nên 2

0

ρ ≠ , do đó, ∃ ∈ρx \ {0},xρ ≠0

Mặt khác, xρ là iđêan phải của R nằm trong iđêan tối tiểu ρ nên xρ = ρ Khi đó,

2 2

e xe x xe xe x e e

Đặt ρ =o {a∈ρ :xa= 0} Dễ thấy ρo là iđêan phải của R nằm trong ρ Thêm

nữa, xρ ≠0 nên ρ ≠ ρo Do đó, từ tính tối tiểu của ρ suy ra ρ =o 0 Ta có

Khi đó, do R là vành Artin nên tập Γ có phần tử tối tiểu 0 ≠ ρ ⊆ ρo Theo bổ

đề 1.3.1, trong ρo có phần tử lũy đẳng e≠ 0 Khi đó 2 2

e − = ⇒ − ∈e e e J R

Suy ra e2−e là phần tử lũy linh trong R

Định lý 1.4.3

Ch ứng minh Giả sử M là một R– môđun bất khả quy Khi đó Me = 0 hoặc Me là

môđun bất khả quy

Vì Me≠ nên xét 0 Ne ≠ là một eRe – môđun con bất kỳ của Me Do 0 Ne≠ 0nên ∃ ∈m N me, ≠0 Ta có (me eRe)( )=meRe ; vì M là R – môđun bất khả quy và

0

me ≠ nên meR M= ; suy ra meRe=Me⇒Ne=Me(do )meRe⊆Ne Rõ ràng

(Ne eRe)( )=NR≠0 Tức Me là eRe – môđun phải bất khả quy Suy ra

(Me J eRe) ( )=M eJ eRe( ( ))=0; vì e là đơn vị của eRe nên suy ra eJ eRe( )=J eRe( )

suy ra MJ eRe( )=0

Tóm lại, Me≠ thì 0 MJ eRe( )=0; còn Me= thì rõ ràng 0

Tức J eRe( ) linh hóa mọi R – môđun bất khả quy nên

J eRe ⊂J R ⇒eJ eRe e⊂eJ R e⇔J eRe ⊂eJ R e (1) Ngược lại, ∀ ∈a eJ R e( ) ⇒ ∈a J R( ) suy ra a t ựa chính quy phải, suy ra a R∃ ∈ ′sao cho a a+ +′ aa′= 0

Suy ra ea e ′ là tựa nghịch đảo phải của a, mà tựa nghịch đảo là duy nhất nên

a′=ea e eRe′ ∈

Như vậy ta đã chứng minh được mọi phần tử trong eJ R e( ) đều tựa chính quy

trong eRe Hơn nữa, eJ R e( ) là một iđêan của eRe nên eJ R e( ) ⊆J eRe( ) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra J eRe( )=eJ R e( )

Định lý 1.4.4

lũy đẳng trong R Khi đó, eR là iđêan phải tối tiểu của R khi và chỉ khi eRe là vành chia

Ch ứng minh giả sử ρ =eR là iđêan phải tối tiểu của vành R Ta chứng minh eRe là

vành chia Tức chứng minh mọi phần tử khác không trong eRe đều khả nghịch

Với mọi eae eRe∈ , ta có 2

(eae e) =eae =eae Suy ra e là đơn vị của eRe

Với mọi eae∈eRe\ {0}, ta có

Suy ra eye là ngh ịch đảo của eae Tức eRe là vành chia

Ngược lại, giả sử eRe là vành chia Ta chứng minh ρ =eR là iđêan phải tối

tiểu cuả R Giả sử ρo là một iđêan phải của R thỏa 0 ≠ ρ ⊂ ρo Vì ρ ≠o 0 nên

H ệ quả

R Khi đó, eR là iđêan tối tiểu của vành R nếu và chỉ nếu Re là iđêan tối tiểu của vành R

Ch ứng minh Rõ ràng định lý 1.4.4 vẫn đúng trong trường hợp iđêan trái Do đó,

Re là iđêan trái tối tiểu của vành eRe khi và chỉ khi eRe là vành chia Điều này tương đương với eR là iđêan phải tối tiểu của vành eRe

1.5 VÀNH ARTIN N ỬA ĐƠN

Cho F là m ột trường, G là một nhóm hữu hạn cấp o G( ) Ký hiệu F(G) là tập

hợp các tổng hình thức F G( ) = {∑αi g i: α ∈i F g, i∈G}

Trên F(G) ta trang bị hai phép toán cộng và nhân như sau:

+) Phép c ộng: ∀ =x ∑αi g y i, =∑α ′i g i, ta có x+ =y ∑( α + αi i′ )g i

+) Phép nhân: ∀ =x ∑αi g y i, =∑α ′i g i thì tích xy là phép nhân hai đa thức

Với hai phép toán vừa định nghĩa, F(G) là một vành

Khi đó ψ trở thành phép nhúng đẳng cấu Thật vậy, rõ ràng ψ là toàn cấu Ta

chứng miinh ψ là đơn cấu hay kerψ =( )0

Lấy a∈kerψ ta có T a = ⇒0 xa= ∀ ∈0, x F, đặc biệt lấy

x= e⇒ xa = = ⇒a ψ = Vậy ψ đơn cấu do đó là ψ đẳng cấu

Với mọi phép biến đổi tuyến tính ta biết rằng đều có ma trận tương ứng Do đó, với

mỗi hàng có một số 1, mỗi cột không có hai số 1 (để ý

rằng trong G có luật giản ước nên nếu g g m i =g g n i ⇒g m =g n) Vết của ma trận A

là tr A( )=a11+a22+ + a nn, đặc biệt T g1 =T e = ma trận đơn vị, nên ta có tr T( )g1 =

Cho R là vành Artin n ửa đơn và ρ ≠0 là iđêan phải của R Khi đó, tồn tại một phần

t ử lũy đẳng e∈R\{0} sao cho ρ =eR

Ch ứng minh Vì R là vành nủa đơn, ρ là iđêan phải khác không của R nên ρ

không thể là iđêan lũy linh Do đó, theo định lý 1.4.2, ∃ ∈ρe \ {0} và e lũy đẳng Đặt

A e =/ là iđêan của vành nửa đơn R nên theo định lý 1.4.2, A e( )o phải chứa một

phần tử lũy đẳng e1 ≠ 0 Theo định nghĩa A e( )o , ta có e1∈ρ và e e o 1= 0 Ký hiệu

đẳng e thuộc tâm của R để A = eR = Re

Ch ứng minh Vì A là iđêan của R nên theo định lý 1.5.2, tồn tại một phần tử lũy

đẳng e R ∈ sao cho A = eR Từ đây ta suy ra ∀ ∈x A x, =ex

Ta chỉ còn phải chứng minh A = Re Ký hiệu B= −{x xe x: ∈A} Vì A là iđêan trái của R nên B cũng là iđêan trái của R Mặt khác,

Tức B là iđêan trái lũy linh của R suy ra B⊂J R( )= ⇒ = ⇒ =0 B 0 A Re

Cuối cùng ta chứng minh e thuộc tâm của R Vì e là lũy đẳng và A = eR = Re nên e là đơn vị của A, suy ra, với r∈R thì er re, ∈A do đó, er=( )er e=e re( )=re

Tức e thuộc tâm của R

H ệ quả 2

Ch ứng minh Vì R là iđêan của R, theo hệ quả 1, tồn tại e R ∈ để sao cho eR = R =

Vành R được gọi là vành không xoắn nếu 0 0, ,

Ch ứng minh Giả sử R là một vành Artin nửa đơn Gọi A là một iđêan tối tiểu của

vành R

Trước hết ta chứng minh A là vành đơn Vì R là vành nửa đơn nên J(R) = 0 suy ra R không có iđêan lũy linh khác không mà A≠(0) nên A2 ≠0

Gọi B ≠ là một iđêan của vành A Khi đó, ABA là một iđêan của vành R và 0

ABA⊂B Vì A là iđêan của vành Artin nửa đơn nên A cũng là vành Artin nửa đơn,

do đó, A có đơn vị trái Suy ra AB ≠ Vì AB là một iđêan trái khác không của vành 0

nửa đơn R nên AB không là iđêan lũy linh Suy ra 2

(AB) =ABAB≠ 0 mà

ABAB⊂ABA nên ABA≠(0) Khi đó,

min

0 ABA B A ABA R ABA A B A

Tức A không có iđêan thật sự khác không Vậy A là vành đơn

Tiếp đến ta chứng minh R= ⊕A R1 Vì A là iđêan của vành Artin nửa đơn nên tồn tại phần tử lũy đẳng e trong tâm của R sao cho A = eR = Re

Vì R là vành Artin n ửa đơn nên R có đơn vị 1 Khi đó, x R∀ ∈ ta có

x=xe+x − ∈e Re R+ −e ⇒ =R Re R+ (1− = +e) A R(1−e)

Với mọi x∈ ∩A R(1−e), ta có

Do R1 là vành Artin nửa đơn nên theo lập luận trên, R1 =A1 ⊕R2, trong đó, A1

là vành Artin đơn, R2 là vành Artin nửa đơn Khi đó, R=A o⊕A1 ⊕R2

Cứ lập luận như vậy ta sẽ được một dãy các vành Artin đơn A i mà R= ⊕A i

Tổng trực tiếp này là tổng hữu hạn, tức, *

0

:

n i i

=

= ⊕ , với A i là các vành Artin nửa đơn

B ổ đề 1.5.4

N ếu R là vành Artin nửa đơn và R= A1 ⊕A2 ⊕ ⊕  A k v ới các A i là vành đơn Khi

đó, A i ch ạy khắp tập các iđêan tối tiểu của R

Ch ứng minh Giả sử B ≠ là một iđêan tối tiểu của vành R Vì R là Artin nửa đơn 0

nên R có đơn vị Suy ra RB≠ ⇔ 0 A B1 ⊕ ⊕  A B k ≠ 0 Do đó, ∃i sao cho A B i ≠ 0 Ta

nó đều có phần tử tối đại

Cho R là m ột vành nguyên thủy; M là một R – môđun trung thành, bất khả

quy Theo bổ đề Schur, ta có

trong M thì t ồn tại r∈R sao cho w i =v r i

Khái niệm dày đặc được hiểu theo nghĩa: với bất kỳ hệ véctơ hữu hạn độc

lập tuyến tính trên ∆ và một hệ hữu hạn bất kỳ của M thì bao giờ cũng có một phép

biến đổi tuyến tính biến hệ độc lập này thành hệ kia

Chú ý rằng, nếu dim M∆ = < ∞n thì Hom M M∆( , ) =R

Bổ đề (*) Với V là một không gian véctơ con hữu hạn chiều của M trên ∆ thì

Ch ứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo số chiều của V

Nếu dim∆V = ⇒ = 0 V (0), trường hợp này bổ đề (*) luôn đúng

Giả sử bổ đề (*) đúng với mọi dim∆V ≤ −n 1, ta sẽ chứng minh bổ đề (*) đúng với dim V∆ =n Vì dim V∆ =n nên có thể đặt V = + < >V o w , trong đó,

dim∆V o = −n 1 và w∉V o Do dim∆V o = −n 1, nên theo giả thiết quy nạp,

xA V = thì x∈V o Từ đó, vì w V∉ o nên wA V( o) ≠ (0), mà wA V( o) là môđun con

của R – môđun bất khả quy M nên suy ra wA V( )o =M; tức M ={wa a: ∈A V( o)}

Đến đây ta sẽ chứng minh bổ đề (*) bằng phản chứng Giả sử có m∈M V\(**) mà với mỗi r∈R Vr, =(0) thì suy ra mr = 0 Xét tương ứng

+) T là ánh x ạ: giả sử wa=wa′⇒w a a( − ′)=0 suy ra a – a’ linh hóa w và V o

do đó, a – a’ linh hóa toàn bộ V, tức V a a′( − )=(0) suy ra m(a – a’) = 0 hay

T wa =T wa′

+) T∈ ∆: ta cần chứng minh,∀ ∈r R, TT r =T T r , với T x r( ) =xr, ∀ ∈x M Với

V là không gian véctơ con của M sinh bởi v j với j≠i; tức V i = v j,j≠i suy ra V i

hữu hạn chiều Vì { }v i độc lập tuyến tính nên v i ∈V i Khi đó, theo bổ đề (*),

V trên vành chia D thì R dày đặc trong V và commuting của R trên V là D

Định lý 1.6.4

Cho R là một vành nguyên thủy Thì với một vành chia ∆ hoặc R đẳng cấu với

vành con S m c ủa R sao cho có ánh xạ toàn cấu từ S m lên ∆m

Ch ứng minh Vì R là vành nguyên thủy nên có một R – môđun trung thành bất khả

quy V Khi đó, theo định lý dày đặc, R dày đặc trong không gian vectơ V trên ∆ Có hai trường hợp có thể xảy ra

Thứ nhất, dim V = < +∞n thì R=Hom V V( , ) ≅ ∆n hay R≅ ∆n

Thứ hai, dim V = +∞ Gọi v v1 , 2 , là hệ vô hạn các véctơ độc lập tuyến tính

của V trên ∆ và ký hiệu V m = v v1 , 2 , ,v m ∆ và S m = ∈{r R V r: m ⊂V m}

thì V m là không gian vectơ con của V, S m là vành con của R

Vì v v1, 2, là hệ vô hạn các véctơ độc lập tuyến tính của V trên ∆ nên

1 , 2 , , m

v v v cũng độc lập tuyến tính trong V Với mọi ϕ∈Hom V V∆( m, m) thì { ( )} ϕ v i i=1,m

là một hệ trong V Theo định lý dày đặc ∃ ∈r R v r, i = ϕ ( )v i Do đó, ta có toàn cấu

2) Linh hóa t ử bên phải của iđêan phải khác không của R phải bằng không

3) Linh hóa t ử bên trái của iđêan trái khác không của R phải bằng không

B ổ đề 1.6.2

Ch ứng minh Vì R là vành nguyên thủy nên tồn tại R – môđun M trung thành và bất

khả quy Giả sử aRb = 0 ta sẽ chứng minh a = 0 hoặc b = 0

Giả sử a≠ Có hai khả năng có thể xảy ra 0

Một là, aR≠ Đặt 0 ρ =aR ta có Mρ là môđun con của môđun bất khả quy

không trong R Đặc biệt, tâm của vành nguyên tố là miền nguyên Do đó, tâm của

Cho R là m ột vành tùy ý Ký hiệu E(R) là vành các tự đồng cấu nhóm cộng

Rõ ràng T L a, a∈E R( ) Ký hiệu B R( ) = { ,T L a b: ,a b∈R} B(R) là vành con của vành

E(R) sinh bởi { ,T L a b: ,a b∈R} Ta gọi B(R) là vành con nhân của vành E(R)

Chú ý:

R có thể xem là modun trên B(R) Khi đó một B(R) – modun con chính là một idean

của vành R Từ đó vành R là vành đơn khi và chỉ khi R là B(R) – modun bất khả quy, hay B(R) là vành nguyên thủy

trường đó Nếu tâm của R khác không thì tâm và phỏng tâm của R là trùng nhau

CHƯƠNG II: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày định lý Wedderburn – Artin và các dạng khác nhau cũng như các hệ quả trực tiếp của nó mà ta sẽ dùng trong chương III Ban đầu Wedderburn chứng minh định lý:

Sau đó Artin đã mở rộng định lý trên cho R là vành đơn, artin tùy ý mà ngày nay ta

gọi đó là định lý Wedderburn – Artin

Trước hết ta chứng minh R là vành nguyên thủy bằng cách chứng minh R là

vành vừa đơn vừa nửa đơn Vì R là vành Artin nên J(R) là lũy linh Mặt khác, R là

R = ≠R ⇒R = ≠R ∀ ∈ n , tức R không lũy linh Do đó, J R( )≠Rnhưng

J(R ) là iđêan hai phía của vành đơn R nên J R( )=(0), tức R là vành nửa đơn Như

vậy, R vừa là vành đơn, vừa là vành nửa đơn nên R là vành nguyên thủy

Vì R là vành nguyên th ủy nên có một R – môđun bất khả quy, trung thành M

Ta có thể xem M là không gian véctơ trên vành chia D, với

+) ρm là iđêan phải của R: hiển nhiên

Suy ra ρm+1 ⊆ ρm Ngoài ra, R là vành nguyên th ủy, M là R – môđun trung

thành, bất khả quy nên R dày đặc trong D – không gian véctơ M Khi đó, ∃ ∈r o R

sao cho v r i o = ∀ = 0, i 1,m còn v m+1r o =v m+1 Vì v r i o = ∀ = 0, i 1,m nên r o∈ρm, còn

Điều này không thể xảy ra vì R là vành Artin Vậy M là D – không gian

véctơ hữu hạn chiều Khi đó, giả sử dim M∆ = < +∞n thì vì R dày đặc trong M trên

D nên R=Hom D(M M, ) ≅D n

Tiếp đến ta chứng minh n là duy nhất, còn D xác định duy nhất sai khác một

đẳng cấu Giả sử rằng R≅D n và R≅F m , trong đó, D, F là vành chia Ta sẽ chứng minh m = n và F ≅D

Trong đó, I r là ma trận đơn vị cấp r Vì < = ϕf ( )e > là iđêan phải tối tiểu

ϕ

≅ ≅ ≅ ⇔ ≅ Từ đây suy ra m = n

Cuối cùng ta chứng minh nếu D là vành chia thì D n là vành Artin đơn