về cấu trúc thứ tự trong các vành không giao hoán

Trong trường hợp nếu R là một trường thì Artin và Schreier đã chỉ ra rằng: một trường R là trường sắp thứ tự nếu và chỉ nếu R là “số thực hình thức”, −1 không là tổng của các bình phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

L ỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người

thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán- Tin thuộc trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã giảng dạy, truyền đạt

những kiến thức quý báu và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

và hoàn thành chương trình đào tạo ở trường

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn cùng khóa và các anh chị khóa trên đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực

M ỤC LỤC

trang Trang phụ bìa

Tuy nhiên không phải bất cứ vành R nào cũng có thể đưa vào một quan

hệ thứ tự để nó trở thành một vành sắp thứ tự Điều đó càng phức tạp hơn đối với

lớp các vành không giao hoán Trong trường hợp nếu R là một trường thì Artin

và Schreier đã chỉ ra rằng: một trường R là trường sắp thứ tự nếu và chỉ nếu R

là “số thực hình thức”, −1 không là tổng của các bình phương trong R

Vậy với những điều kiện gì thì vành R sắp thứ tự và các vành không giao hoán sắp thứ tự có các đặc trưng cơ bản nào? Luận văn sẽ tìm hiểu và làm rõ vấn

đề trên

Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản và các kết quả có liên quan chặt chẽ đến chương sau như: lý thuyết vành, lý thuyết module, quan hệ thứ

tự, trường sắp thứ tự

1.1 Định nghĩa vành

Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí

hiệu là “+” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân) Ta nói , ,.R + là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép nhân

có phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị

1.2 Định nghĩa vành con

Một bộ phận A khác rỗng của vành R cùng với hai phép toán của vành R

cảm sinh trên A lập thành một vành thì ta nói A là vành con của vành R

1.3 Định lý

Cho A là một tập con khác rỗng của vành R Các mệnh đề sau tương đương:

i) A là vành con của R;

ii) Với mọi ,x y∈A x, + ∈y A xy, ∈ − ∈ A, x A;

iii) Với mọi ,x y∈A x, − ∈y A và xy∈ A

1.4 Định nghĩa ideal của một vành

Cho R là một vành, một vành con I của R được gọi là ideal trái (ideal

phải) của vành R nếu thỏa mãn các điều kiện: rx∈I xr( ∈I),∀ ∈ ∀ ∈ x I, r R Vành con I của R được gọi là ideal của vành R nếu I vừa là ideal trái vừa

là ideal phải của vành R

1.5 Định lý

Cho I là một tập con khác rỗng của vành R Các mệnh đề sau tương đương:

i) I là ideal của R;

ii) Với mọi ,x y∈ và I r∈R x, + ∈ − ∈y I, x I rx, ∈ và I xr∈I;

iii) Với mọi x y, ∈I và r∈R x, − ∈y I rx, ∈ và I xr∈I

1.6 Định nghĩa ideal nguyên tố

Một ideal I của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu I ≠ R và với hai ideal M N, ⊆R MN, ⊆I thì M ⊆ hoặc N I I ⊆

1.7 Định nghĩa ideal tối đại

Một ideal I của vành R được gọi là ideal tối đại nếu I ≠R và nếu M là

một ideal thỏa I ⊂M ⊂R thì I = M hoặc M =R

là vành, gọi là vành thương của R trên I

Nh ận xét:

1) Nếu R là vành giao hoán thì vành thương R I cũng giao hoán

2) Nếu vành R có đơn vị e thì vành thương R I có đơn vị e I+

1.9 Định nghĩa đồng cấu vành

Một ánh xạ f từ vành R vào vành R' được gọi là một đồng cấu vành nếu

f bảo toàn các phép toán, nghĩa là ∀x y, ∈R

Một đồng cấu từ vành R vào vành R được gọi là một tự đồng cấu của R

Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn

cấu, toàn cấu, đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu

Nếu tồn tại một đẳng cấu từ R vào R' thì ta nói R đẳng cấu với R' Kí hiệu:

i A→R định bởi i A( )x = là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chính tắc x

3) Giả sử I là một ideal của vành R Khi đó ánh xạ :R R

I

bởi π( )x = + là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc x I

4) Giả sử R R, ' là hai vành Khi đó ánh xạ :f R →R' định bởi ( ) 0R'

f x = (0R' là phần tử không của vành R') là một đồng cấu, gọi là đồng cấu tầm thường

5) Cho R là một vành có đơn vị và a∈R khả nghịch Khi đó ánh xạ :

f R→R, định bởi ( ) 1

f x =axa− là một tự đẳng cấu của R

1.11 Mệnh đề

Nếu f R: →R' là đồng cấu vành thì f ( )0R =0R' và ( ) ( ),

f − = −x f x ∀ ∈ x R

1.12 Mệnh đề

Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành Đặc biệt, tích của hai đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành cũng là một đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành

ker f = f− 0R là ideal của R Ta

gọi Im f là ảnh của f và ker f là hạt nhân của f

Cho R là một vành và I là ideal của R Khi đó:

i) A là vành con của vành thương R

I khi và chỉ khi A có dạng A'

I

với A' là vành con của R và A' chứa I

ii) A là ideal của vành thương R

Cho R là một vành có đơn vị Nếu mọi phần tử khác không trong R đều

khả nghịch (đối với phép nhân) thì R được gọi là một thể (hay vành chia)

1.19 Định nghĩa

Một thể giao hoán được gọi là một trường

1.20 Định nghĩa

Vành giao hoán R được gọi là miền nguyên nếu tích của các phần tử khác

không luôn khác không

Chứng minh

Xét vành R và giả sử r∈R không phải là ước của 0 Nếu R có đặc số s≠0,

ta có sr =0 và r có cấp là n là một ước số của s Ta chứng tỏ n=s Với mọi

x∈R, ta có ( )nx r =x nr( )= x0R =0R và do r không phải là ước của 0R, suy ra

0R

nx= Vậy n=s Bây giờ nếu vành R có đặc số s=0 và giả sử r có cấp hữu

hạn n Lập luận như trên, ta có: nx= 0R với mọi x∈R, điều này trái với giả thiết R có đặc số s=0 Vậy r có cấp vô hạn

1.25 H ệ quả

Đặc số của vành R có đơn vị 1R ≠ 0R chính là cấp của phần tử đơn vị 1R

trong nhóm cộng R (tức là số nguyên s>0 bé nhất sao cho s.1R = 0R)

1.26 M ệnh đề

Nếu R là một miền thì hoặc R có đặc số 0 hoặc R có đặc số nguyên tố

Ch ứng minh

Vì R≠{ }0R nên có x∈R x, ≠ 0Rvà do đó, nếu R có đặc số s≠0 thì phải

có s>1 Hơn nữa, nếu giả sử s=mm' với 1<m m, '< s thì phải có r∈R sao cho

Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng Aben M được gọi là

một R−module ph ải nếu có một ánh xạ f M: × →R M m r,( , ) f m r( , )=mr

sao cho ∀m m m, 1, 2∈M và ∀a b, ∈R thì:

M là R−module phải, tương tự có R M là R−module trái, M vừa là R−

module phải vừa là R−module trái gọi là song module Kí hiệu: R M R

1.29 Định nghĩa module con

Cho R−module M và tập ∅ ≠ ⊂N M N, được gọi là module con của M

nếu:

i) ∀x y, ∈N x: − ∈y N

ii) ∀ ∈ ∀ ∈a R, x N xa: ∈N

Tất nhiên module con N là một R−module với phép toán cảm sinh và

M N cũng là R−module được gọi là module thương

1.32 Định nghĩa

M là R−module trung thành khi và chỉ khi A M( )= 0

1.33 Định nghĩa vành nguyên thủy

Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có một R−module bất khả quy và trung thành

1.34 Định nghĩa căn Jacobson của một vành

Căn Jacobson của một vành R là tập tất cả các phần tử của R mà linh hóa

mọi R−module bất khả quy Kí hiệu: J R N( ) ếu R không có module bất khả quy thì ta đặt J R( )= R

1.35 Định nghĩa vành nửa nguyên thủy

Nếu J R( )= thì 0 R được gọi là vành nửa nguyên thủy

1.36 Định nghĩa vành nguyên tố

Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu ∀a b, ∈R sao cho aRb=( )0 thì ta

có a=0 hoặc b=0

1.37 Định nghĩa quan hệ thứ tự

Quan hệ hai ngôi ℜ trong một tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự

trong X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:

i) Phản xạ: x xℜ ∀ ∈, x X

ii) Phản xứng: ∀x y, ∈X , nếu x yℜ và y xℜ thì x= y

iii) Bắc cầu: , ,∀x y z∈ , nX ếu x y ℜ và y zℜ thì x zℜ

Quan hệ này mở rộng quan hệ “bé hơn hoặc bằng” trong tập hợp số thực

và thường được kí hiệu là “≤”

Nếu với mọi cặp ( )x y ta có x y, ℜ hoặc y xℜ thì quan hệ thứ tự ℜ được gọi

là tuy ến tính hay toàn phần, còn nếu trong X tồn tại các cặp phần tử không so sánh được với nhau thì ℜ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận

1.38 Định nghĩa

Cho (X,≤ là một tập sắp thứ tự Khi đó ta định nghĩa: )

• Cận trên của một tập con A của X là phần tử x∈X thỏa

Một trường F là trường sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự toàn phần “<”

trên F sao cho ∀a b c, , ∈F, ta có:

Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC

VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

Chương này sẽ trình bày các tính chất và mối quan hệ giữa vành tiền sắp

thứ tự và vành sắp thứ tự, điều kiện để một tiền thứ tự trở thành một thứ tự, mối quan hệ giữa miền nguyên sắp thứ tự và vành các thương, mối quan hệ giữa vành

sắp thứ tự Acsimet và tính giao hoán của vành

Trước tiên, ta định nghĩa khái niệm thông thường của một vành sắp thứ tự như sau:

2.1 2.2 2.3 \ 0

Cuối cùng, ta chứng minh R là một miền Nếu b c, ∈R\ 0{ } thì việc lựa

chọn một cách thích hợp dấu của b và c cho ta ( )( )±b ± ∈c P P ⊆ và P bc ≠0

Trong vành [ ]x , ta gọi P là tập hợp các đa thức khác không có hệ số

dẫn đầu dương, T là tập hợp các đa thức khác không có hệ số dẫn đầu dương và

bậc lớn hơn 100 Khi đó, P thỏa các tính chất (2.1), (2.2) và (2.3) nên P là một

thứ tự, T thỏa các tính chất (2.4), (2.5) nên T là một tiền thứ tự Nhưng T

không thỏa tính chất (2.3) nên T không là một thứ tự

2) Giao của một họ bất kỳ (không rỗng) của các thứ tự là một tiền thứ tự

ii) Phương trình t'+ =bt 0 có nghiệm , '∈T

iii) Phương trình t''+t b' =0 có nghiệm t t', ''∈T

Vì T là tiền thứ tự nên nhóm các số hạng trong phương trình (*) mà i

chẵn thì ta sẽ có phương trình t+ =r 0,t T br T∈ , ∈ ; nhưng trong (*) phải tồn

tại một số hạng với i lẻ mà t =0 Khi đó, nhân trái b ta có phương trình

( )⇐ Giả sử T là một tiền thứ tự tối đại Khi đó nếu T không là một thứ

tự thì tồn tại b sao cho b và −b đều không thuộc vào T Mặt khác T b thỏa hai tính chất (2.4), (2.5) và T b ⊃T T, b ≠T Theo b ổ đề 2.1.6 phương trình t1 +bt2 = 0

có nghiệm t t, ∈T và phương trình t −bt = 0 có nghiệm t t, ∈T Mà

Vành R là th ực hình thức nếu 0 T R∉ ( ).Trong trường hợp này, T R là ( )

một tiền thứ tự trong R vì nó được chứa trong mỗi tiền thứ tự của R Ta gọi ( )

i ⇒ii Giả sử R là thực hình thức Khi đó R có một tiền thứ tự yếu 0 T R∉ ( )

chứa trong một tiền thứ tự T nào đó của R

ii⇒iii Cố định một tiền thứ tự T trong R Theo bổ đề Zorn, ta có thể mở

rộng T thành tiền thứ tự tối đại T1 Áp dụng định lý 2.1.7, ta có T1 là một thứ tự trên R Vậy định lý đã được chứng minh

Trong lý thuyết của trường thực hình thức, điều nổi tiếng là bất kỳ tiền thứ

tự Tnào trong trường F cũng đều là giao của tất cả các thứ tự chứa T Trong trường hợp T =T F( ) thì phần tử a∈F \ 0{ } là tổng của các bình phương trong

F nếu và chỉ nếu a>0 trong mỗi thứ tự của trường F Artin đã sử dụng kết quả này làm công cụ trong bài giải nổi tiếng của ông về vấn đề thứ 17 của Hilbert (những lưu ý về cấu trúc của hàm hữu tỉ nửa xác định dương)

Tiếp theo, chúng ta sẽ xét sự tổng quát hóa các kết quả này từ trường đến vành tùy ý

Thật vậy:

Ta có 0 ∉ ⇒ ∉T 0 T Do đó để chứng minh T là một tiền thứ tự của R ta

cần kiểm tra T thỏa hai tính chất sau:

là tích của các phần tử c c1 , , , 1 c c a m, m, 1 , ,a n lấy theo thứ tự bất kỳ Nếu ta sắp

xếp các t i∈T sao cho a t i i∈T thì với cách đặt t=( ) ( )a t1 1 a t n n ∈ ta có : T

Cho ti ền thứ tự bất kỳ T ⊆ R\ 0{ }, cái bao đóng chia T của T là giao c ủa

t ất cả các thứ tự T' của R ch ứa T

Chứng minh

Với bất kỳ thứ tự P T⊇ , ta có P⊇T Từ P= ⇒P T'⊇T Để hoàn tất

chứng minh, ta cần chỉ ra rằng: với bất kỳ a≠ 0,a∉ ⇒ ∉T a P P, ⊇T a( ∉T') Xét tập T−a được định nghĩa trong bổ đề 2.1.6 Vì a T∉ và theo b ổ đề 2.1.6 nên

a

T− là một tiền thứ tự trong R và T−a có thể mở rộng thành một thứ tự P của R

Nhưng P T⊇ và − ∈a T−a ⊆ ⇒ ∉P a P.Vậy định lý đã được chứng minh

2.3.2.1 H ệ quả

M ột tiền thứ tự T ⊆ R\ 0{ }là giao c ủa một họ các thứ tự nếu và chỉ nếu T

là “cái bao đóng chia” của nó (a∈R t, ∈T at: ∈ ⇒ ∈T a T)

2.3.2.2 H ệ quả

Trong m ột vành thực hình thức R , ph ần tử 0≠ ∈a R là hoàn toàn dương

(t ức là dương trong tất cả các thứ tự của R ) n ếu và chỉ nếu tồn tại b∈R\ 0{ }

sao cho 2 ( )

Nh ận xét:

Tiền thứ tự yếu T R không nh( ) ất thiết phải là cái bao đóng chia của chính

nó, vì phần tử hoàn toàn dương a ở trên không cần thuộc vào T R ( )

Chẳng hạn, chúng ta xét một ví dụ minh họa như sau:

Cho R⊆ R' là các vành Khi đó một thứ tự P c ủa R có th ể được mở

r ộng thành một thứ tự P' c ủa R' n ếu và chỉ nếu trong R',0 không là t ổng của các ph ần tử có dạng ( 2 2 ) { }

1 m1 n , , ,1 m '\ 0 , , ,1 n

Chứng minh

Cho R là m ột miền, R' là vành các thương của R Khi đó, bất kỳ thứ tự

P nào của R đều mở rộng duy nhất thành một thứ tự P' của R'

Ch ứng minh

Đặt P'= ∈{x R',∃a b, ∈P axb: ∈P} Giả sử P'= ∈{x R',∃ ∈a P ax: ∈P} ( )1

Lấy x∈P a b', , ∈P axb: ∈P Cố định một phần tử c∈R\ 0 :{ } cax∈ R

Ta có thể giả sử rằng c P∈ , khi đó c axb( )∈P P ⊆ Điều này kéo theo P

,

cax∈P ca∈P

Chứng minh tương tự, ta có: P'= ∈{x R',∃ ∈b P xb: ∈P} ( )2

Ta có: R∩ =P' P và P'∪ −( P')=R'\ 0{ } Do đó để chỉ ra rằng P' là một thứ tự

của R', ta chỉ cần chứng minh: ,x y∈P'⇒ + ∈ và x y P' xy∈P' Từ (1) và (2) suy ra tồn tại ,a b∈P ax: ∈P yb, ∈ Mà P a x( + y b) ( )= ax b+a yb( )∈ và P

Ch ứng minh

Cố định một phần tử a≠0 trong I Với bất kỳ x R∈ , ta có: ax∈I xa, ∈I

Vì R là một vành các thương của I, áp dụng định lý 2.5.1 ta có điều phải chứng

minh

Nh ận xét: Nói chung lớp các vành sắp thứ tự là quá rộng và khác biệt so với bất

kỳ định lý về sự phân lớp tốt nào Do đó, lớp con của vành sắp thứ tự Acsimet đủ

nhỏ để có thể được mô tả hoàn toàn

2.6 Định lý

2.6.1 Định nghĩa

Cho a là phần tử dương trong vành sắp thứ tự (R,< Khi đó: )

a là vô cùng lớn nếu a> =n( n.1) với bất kỳ số nguyên n≥1

a là vô cùng bé nếu na<1với bất kỳ số nguyên n≥1

2.6.2 B ổ đề

Cho vành sắp thứ tự (R,< Hai tính chất sau là tương đương: )

(1) Với a b, >0 trong R, tồn tại số nguyên n≥1 sao cho na b>

(2) R không có phần tử vô cùng lớn lẫn vô cùng bé

Nếu (1) hoặc (2) đúng thì (R,< được gọi là vành sắp thứ tự Acsimet )

Ch ứng minh

( ) ( )1 ⇒ 2 là rõ ràng

( ) ( )2 ⇒ 1 Giả sử ta có (2) và lấy a b, >0 Từ (2) ta có: b n< và ma>1 với

, 1

m n≥ là các số nguyên thích hợp.Ta suy ra mna> >n b

Chú ý: Nếu (R,< là vành chia sắp thứ tự thì với ) a>0,a là vô cùng lớn nếu và

chỉ nếu 1

a− là vô cùng bé Do đó, trong trường hợp này (R,< là vành sắp thứ tự )Acsimet nếu và chỉ nếu R không có phần tử vô cùng lớn, nếu và chỉ nếu R

không có phần tử vô cùng bé

iii) A không chứa phần tử lớn nhất

iv) Với x y, ∈, nếu x∈A y, < x thì y ∈ A

Vậy (R,< đẳng cấu thứ tự với ) f R cùng v( ) ới thứ tự cảm sinh từ 

Trong trường hợp đặc biệt khi R là giao hoán, ta có f hiển nhiên là phép nhúng

thứ tự duy nhất từ R vào  Từ đó ta có kết luận ii) và iii)

Nh ận xét:

Việc chứng minh định lý trên dựa vào nhát cắt Dedekind, tuy nhiên ta có

thể dùng phương pháp khác để chỉ ra vành sắp thứ tự Acsimet (R,< là giao )hoán và chỉ có tự đẳng cấu thứ tự của (R,< là ánh xạ đồng nhất )

Ch ứng minh R là vành giao hoán

Lấy a b R, ∈ , ta chứng minh ab ba=