tìm hiểu bước đầu về phương trình monge ampere phức trên đa tạp compact kahler

Các kết quả đặc sắc hòa dưới của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampere phức và đưa ra như là một công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay.. Việc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Nh ật Nguyên

COMPACT KAHLER

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2014

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Nh ật Nguyên

COMPACT KAHLER

Chuyên ngành : Toán giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Học viên xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng học viên Luận văn được hoàn thành bởi cá nhân dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Đông Các tài liệu tham khảo, các định lí, bổ đề và các kết quả trích dẫn, sử dụng trong luận văn đều được nêu đầy đủ nguồn gốc cụ thể, rõ ràng

Học viên thực hiện

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Phép tính vi phân trên đa tạp khả vi 3

1.2 Dòng trên các đa tạp khả vi 7

1.3 Phép tính vi phân phức 9

1.4 Hàm đa điều hòa dưới 15

1.5 Đa tạp Stein 17

1.6 Đa tạp Hecmit và đa tạp Kahler 19

1.7 Một số kết quả về dung lượng tương đối và hàm cực trị tương đối 20

1.8 Bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere trong miền giả lồi ngặt 24

Ch ương 2 DÒNG DƯƠNG ĐÓNG VÀ TOÁN TỬ MONGE-AMPERE TRÊN ĐA TẠP PHỨC 27

2.1 Dòng dương đóng 27

2.2 Toán tử Monge-Ampere 33

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER 43

3.1 Mở đầu 44

3.2 Nguyên lý so sánh 47

3.3 Ước lượng L 49

3.4 Sự duy nhất và ổn định của nghiệm 55

KẾT LUẬN 60

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 61

MỞ ĐẦU

năm trở lại đây là lý thuyết đa thế vị Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước Các kết quả đặc sắc

hòa dưới của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampere phức và đưa ra

như là một công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay Trong

( c )n ,

dd u =dµ u = ϕ trên biên được giải với một lớp rộng rãi các độ đo khác nhau Việc đưa ra các điều kiện để phương trình có nghiệm liên tục cũng như mô tả các độ đo này để phương trình có các

toán học trên thế giới

Phương trình Monge-Ampere cũng được nghiên cứu gắn với hình học các đa tạp

cho trước Vào những năm 70 Yau giải phương trình Monge-Ampere trên các đa tạp

Calabi là đúng Trong chứng minh ông sử dụng phương pháp liên tục cùng với phương pháp đánh giá tiên nghiệm đối với đạo hàm của nghiệm Theo cách tương tự phương trình cũng được nghiên cứu trên miền giả lồi ngặt bởi Caffarelli Kohn, Nirenberg và Spruck Khi đó ngoài việc chỉ ra sự tồn tại nghiệm, Aubin, G.Tian còn chỉ ra tính

định lý của Yau với dữ liệu không trơn, suy biến Đặc biệt, ông chỉ ra sự tồn tại của

thuộc lớp L p > p, 1

Với mong muốn tìm hiểu một số kết quả của lý thuyết đa thế vị và phương trình

bước đầu về phương trình Monge-Ampere phức trên đa tạp compact Kahler”

làm đề tài luận văn của mình Nội dung chính của luận văn này trình bày về sự tồn tại,

vị Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị

Chương 2 trình bày về dòng dương đóng và toán tử Monge – Ampere trên đa tạp

dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Đông Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn

Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn

Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy cô và các bạn

Tác giả

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Phép tính vi phân trên đa tạp khả vi

1.1.1 Đa tạp khả vi

Cho m và k∈ ∪ ∞  { } Ta ký hiệu lớp các hàm khả vi k lần v ới các đạo hàm liên tục là k

C

Một đa tạp khả vi m chi ều thực thu ộc lớp k

Hausdorff, khả ly, nghĩa là có một cơ sở đếm được, được trang bị một atlas lớp k

C với giá trị trong m Một atlas lớp k

i) Uα là tập con mở khác rỗng của X với mọi α∈ A

ii) ϕα :Uα →Vα là đồng phôi từ Uα lên một tập mở Vα trong m với mọi

+ (Uα,ϕα) được gọi là bản đồ địa phương

+ Các thành phần của ϕα ( )x =(x1α,x2α, ,x nα) được gọi là hệ tọa độ địa phương trên Uα xác định bởi ϕα

+      1 được gọi là phép biến đổi tọa độ (phép chuyển dịch) Ta có mối liên hệ xα =φαβ(xβ)

Nếu k = ∞ ta nói X là đa tạp trơn m chiều

Nếu Ω là tập con mở của X và s∈ ∪ ∞  { }, 0 ≤ ≤s k ta ký hiệu C s( , )  là t ập

h ợp các hàm thuộc lớp s

C trên Ω, nghĩa là 1

f   thuộc lớp s

C trên ϕα(Uα Ω)

Nếu Ω không là tập con mở của X thì C s( , )  là tập hợp các hàm có mở rộng thuộc

lớp s

C trên một lân cận nào đó của Ω,

+ Một vec-tơ tiếp xúc ξ tại điểm a∈X được định nghĩa là một toán tử vi phân tác động lên các hàm, có dạng:

1

m j

gian X tại a, ký hiệu là T X a,

Vi phân c ủa hàm f tại a là dạng tuyến tính trên không gian T X a, được định nghĩa

bởi:

, 1

∑ Như vậy (dx1, ,dx m) là cơ

sở đối ngẫu của

Ta nói ξ là m ột trường vec-tơ thuộc lớp s

1.1.2 Các d ạng vi phân trên đa tạp khả vi

M ột dạng vi phân bậc p, hay vắn tắt một p- dạng trên X là một ánh xạ trên X lấy

trong đó I = ( , , )i1 i p là một đa chỉ số với các thành phần là các số nguyên i1 < < i p và

1

:

p

dx =dx ∧ ∧dx Ký hiệu I là số các thành phần của I, đọc là độ dài của I

Với mọi số nguyên p=0,1, ,m và s∈ ∪ ∞  { }, s≤k, ta ký hiệu *

( , )

X

C X Λ T là

không gian các p-d ạng vi phân thuộc lớp s

C , nghĩa là với các hệ số u I thuộc lớp s

C Các phép toán trên dạng vi phân cũng được định nghĩa một cách tự nhiên

Hai tính chất cơ bản của đạo hàm ngoài là:

Nếu ta có ánh xạ thứ hai G X: ' → X'' và nếu w là dạng vi phân trên X’’ thì

nếu tồn tại một atlas (Uα,ϕα) sao cho các φ bαβ ảo tồn hướng, nghĩa là có định thức Jacobi dương

Giả sử X được định hướng Nếu u x( )= f x( , ,1 x dx m) 1∧ ∧ dx m là một dạng liên

tục với bậc cực đại m = dim X

 , với giá compact trong một tập mở tọa độ Ω, ta đặt:

Cho F X: → X' là một vi phôi giữa các đa tạp có định hướng và v là dạng thể

tích trên X’ Công thức đổi biến:

thiết này chúng ta hiểu rằng với mỗi a∈∂K có các tọa độ ( ,x x1 2, ,x m) trên một lân

cận V của a, tâm a, sao cho:

{ : 1 0, , l 0}

K∩ =V x V x∈ ≤ x ≤ với chỉ số l nào đó l≥ 1 Khi đó ∂ ∩K V là một hợp của các siêu mặt trơn với các biên khả vi liên tục từng khúc:

{ : 1 0, , j 0, , l 0}

K V U x V x x x

≤ ≤

Tại các điểm thuộc ∂K mà x j = 0 thì 

1

( , ,x x j, ,x m) xác định các tọa độ trên

K

Cho X là một đa tạp khả vi có định hướng lớp C∞, m= dim X Trước hết ta giới

( , )

X

mở tọa độ và u là một p − dạng trên X, được viết là u x( )= ∑u x dx I( ) trên Ω Đối với

mọi tập con compact L ⊂ Ω và mọi số nguyên s  ta xét nửa chuẩn:

α α

b) Nếu K X⊂ là một tập compact ta ký hiệu D P( )K là không gian con của

c) Các không gian của các s

C − dạng s D P( )K và s D P( )X được định nghĩa tương

tự Vì các đa tạp được ta giả thiết là khả ly nên tô pô của εP( )X được xác định bởi họ

( )

P

D X không là một không gian Frechet, D P( )X trù mật trong εP( )X

Không gian các dòng được định nghĩa như là đối ngẫu của các không gian trên, tương tự như định nghĩa thông thường về các phân bố

gọi là không gian dòng cấp s trên X.

Ta đặt 〈T u, 〉 là cặp giữa một dòng T và một dạng thử u∈D P( )X Rõ ràng '

P trên D P( )K với mọi tập compact K nằm trong một mảnh tọa độ

Ω Giá của T, ký hiệu suppT, là tập con đóng nhỏ nhất A X⊂ sao cho hạn chế của T lênD P(X A\ ) bằng 0 Đối ngẫu tô pô '

1.2.3 Đạo hàm ngoài và tích ngoài của dòng trên đa tạp khả vi

Cho ( , ,x1 x m) là hệ tọa độ trên một tập con mở Ω ⊂ MX ọi dòng '

ở đây T I là các hàm phân bố cấp s trên Ω, được xem như là các dòng bậc 0

nhất các ký hiệu liên quan đến các dạng và dòng, ta đặt:

i Uα là tập con mở khác rỗng của X với mọi α∈ A

ii  :U   là đồng phôi từ U n α lên một tập mở trong n với mọi α∈ A iii A U  X

+ Uα được gọi là miền tọa độ hay mảnh tọa độ của bản đồ địa phương đó

+ Các thành phần của ϕα( )z =(z1α,z2α, ,z nα) được gọi là hệ tọa độ địa phương trên Uα xác định bởi ϕα

+    1 được gọi là phép đổi tọa độ (phép chuyển dịch)

chỉnh hình với giá trị trong n, các phép chuyển dịch là các ánh xạ chỉnh hình

Định nghĩa Một tập con M của đa tạp phức n chiều X được gọi là đa tạp con m

chiều (m≤n) nếu với mỗi ξ∈M , có một bản đồ địa phương (U,ϕ) trên X sao cho

Định nghĩa chỉnh hình là độc lập với cách chọn hệ tọa độ địa phương

1.3.2 D ạng vi phân trên đa tạp phức

Cho X là một đa tạp phức n chiều Xét V= T X x là không gian tiếp xúc của X

tại xX , (z z1, 2, ,z n) là các tọa độ trên V ,

=

=∑ trong đó u j là các dạng vi phân kiểu (p q th, ) ỏa p q r+ =

Tập tất cả các dạng vi phân bậc r trên X được ký hiệu r( )

X

n c

mỗi tập mở tọa độ Ω ⊂ X thì ϕj j→∞→ϕ0 khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa:

i Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho suppϕj ⊂K,∀i I J, ,

ii ( ) ( )0

j

Các phép toán trên dạng vi phân phức Cho đa tạp phức n chiều X Khi đó:

a Nếu ϕ là dạng kiểu (p q thì , ) ϕ là dạng kiểu (q p, ), trong đó nếu

, ,

với biên trơn từng khúc và ϕ là dạng vi phân bậc n− l1 ớp 1

C trên X Khi đó:

Kϕ K dϕ

∂ =

chặn, compact tương đối trong X có biên trơn và f g , là các dạng thuộc lớp 2

D X được gọi là một dòng song bậc (n−p n, − (hoq) ặc song chiều (p q ) trên , )

X Tập tất cả các dòng song bậc (n−p n, − trên q) X được ký hiệu D'(p q, )( )X Mỗi dòng T∈D'(p q, )( )X có thể viết được dưới dạng:

Giá trị của T tại φ∈D(p q, )( )X được ký hiệu: T( )φ hoặc T∫ ∧φ

Tôpô (yếu) trên D'(p q, )( )X :

Dòng T được gọi là đóng nếu dT =0

Giá của dòng T , ký hiệu: suppT , là tập đóng nhỏ nhấtA⊂ X sao cho thu hẹp của T

b Cho Z là đa tạp con đóng p chiều của X Khi đó dòng tích phân T =[ ]Z

sinh bởi Z là dòng xác định bởi:

[ ] ( ) , (p p, )( )

Z

Hơn nữa, nếu Z đóng thì [ ]Z là đóng

Tích ngoài Cho T∈D'(p q, )( )X và ϕ∈D(p q', ' )( )X với p+ p'≤n q, '+ ≤q n Khi đó

tích ngoài T∧ ∈ϕ D'(p p q q+ ', + ' )( )X xác định bởi:

(T ∧ϕ ψ)( )=T(ϕ ψ∧ ) ∀ ∈ψ D(n p p n q q− − ', − − ')( )X

Đạo hàm của tích ngoài ( ) ( )2

Công thức Stokes đối với dòng ChoK là tập con compact của X với biên trơn và T

là dòng bậc 2n− 1 xác định trên một lân cận của K và T là C1 trên lân cận của K∂ Khi đó:

K T K dT

∂ =

∫ ∫

1.4 Hàm đa điều hòa dưới

1.4.1 Hàm đa điều hòa dưới trên n

Định nghĩa Cho tập mở   n Hàm u:Ω → −∞ ∞ [ , ) được gọi là đa điều hòa dưới trên Ω nếu:

a) u là hàm nửa liên tục trên

L   ta có

L

u  điều hòa dưới trên L 

Họ tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω được ký hiệu là PSH( )Ω

Một cách phát biểu tương đương tính chất b) là: Với mỗi a  , nsao cho

( , )

d a

2 0

Sau đây là một số tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới:

1) Với mọi dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới u k PSH( ) , hàm giới hạn

B

−

Định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hòa dưới Cho tập mở   n và u∈PSH( )Ω

sao cho u   trên mọi thành phần liên thông của 

3) Cho u u1, 2, ,u pPSH( ) và :p là hàm lồi sao cho ( , , )t1 t p

không giảm với mỗi t j Khi đó ( , ,u1 u p)là hàm đa điều hòa dưới trên  Đặc biệt,

u + u + +u , max{u u1, 2, ,u p}, log( u1 u p)

4) Cho { }uα α∈A ⊂ PSH( )Ω bị chặn trên đều địa phương và sup

( , ) ( ),

thì với mọi  n :

là một độ đo dương Ngược lại, nếu v  D '( )  sao cho Hv ( ) ξ là một độ đo dương với

mọi  n , tồn tại duy nhất một hàm u ∈ PSH ( ) Ω khả tích địa phương trên  sao cho v là một phân bố tương ứng với u

bị chặn là compact tương đối

1.4.2 Hàm đa điều hòa dưới trên đa tạp phức

Bây giờ ta giả sử u là một hàm thuộc lớp 2

Dạng Hess phức của u tại một điểm a X là dạng Hecmit trên T X được xác định bởi

F a

dưới có nghĩa trên mọi đa tạp phức

Lưu ý: Đa tạp phức X là lồi chỉnh hình nếu và chỉ nếu có một dãy các tập

Hàm ψ :X → −∞ ∞ trên không gian tôpô [ , ) X được gọi là một vét kiệt nếu tất

cả các tập mức dưới X c ={z∈X :ψ( )z <c} là compact tương đối với mọi c  

Cho đa tạp phức n chiều X Khi đó:

a X được gọi là giả lồi yếu nếu tồn tại một hàm vét kiệt đa điều hòa dưới trơn

dưới ngặt trơn, nghĩa là ψ ∈PSH X( )C∞( )X và Hψ xác định dương tại mọi điểm,

1.5.3 Định lí Mọi đa tạp lồi chỉnh hình X là giả lồi yếu

1.5.4 Định nghĩa Đa tạp phức X được gọi là đa tạp Stein nếu:

mi ền chỉnh hình nếu với mỗi tập con mở liên thông U của n cắt ∂Ω và với mỗi

thành phần liên thông V của U  tồn tại f ∈O( )Ω sao cho f V không có mở rộng

chỉnh hình đến U )

và ii

1.5.5 Định lý Mọi đa tạp Stein là giả lồi ngặt

1.5.6 M ệnh đề Nếu X là đa tạp giả lồi yếu (ngặt) và u là hàm trơn đa điều hòa dưới

1.6 Đa tạp Hecmit và đa tạp Kahler

được gọi là Hecmit nếu với mọi u v V, ∈ có h u v( , ) =h v u( , )

Nếu dimV =n, một dạng Hecmit H trên V được biểu diễn bởi một dạng n n×

ma trận (h jk) và điều kiện h u v( , ) =h v u( , ) tương đương với:

; , 1, ,

kj jk

c Đa tạp phức X được gọi là đa tạp Kahler nếu X được trang bị ít nhất một mêtric Kahler

Vì ωlà thực nên điều kiện dω =0, 0, 0∂ =ω ∂ = ω là tương đương

Trong hệ tọa độ địa phương '∂ ω = tương đương với: 0

X   n Vol  X 

Một hàm thực địa phương u thỏa mãn h i u = ∂∂ được gọi là thế vị Kahler địa

Một vài ví dụ về các đa tạp Kahler

a) n, ,  với , ký hiệu mêtric Hecmit

1

, Re

n

j j j

b) Đa tạp Riemann định hướng 2 chiều là đa tạp Kahler

c) Đa tạp xạ ảnh phức P n( ) được trang bị mêtric Fubini-Study là đa tạp Kahler

d) Đa tạp xạ ảnh, nghĩa là đa tạp con của P n( ) xác định bởi các đa thức thuần

nhất trong n 1 là đa tạp Kahler

1.7 M ột số kết quả về dung lượng tương đối và hàm cực trị tương đối

Trong phần này ta cho Ω là tập mở trong n

Ta sẽ xét các hàm tập hợp gắn với dòng dương đóng Tsong bậc(n−k n, −k):

Một số tính chất của dung lượng được liệt kê ở mệnh đề sau

Mệnh đề 1.7.1 Cho tập con Borel E j c ủa miền bị chặn Ω ta có:

1) cap E( 1 , Ω ≤) cap E( 2 , Ω) n ếu E1⊂E2

j

cap E cap E

→∞

3) cap E( , Ω ≤) ∑cap E( j, Ω) v ới E= ∪E j

dưới của một hàm đa điều hòa dưới âm

M ệnh đề 1.7.2.Cho K U Ω,k hi đó tồn tại hằng số C ph ụ thuộc vào các tập hợp này sao cho v ới bất kỳ u∈PSH( )Ω ,u< 0 :

B ất đẳng thức cũng đúng cho cap T v ới C cũng phụ thuộc T

Định nghĩa Một dãy u j các hàm xác định trên Ω được gọi là hội tụ theo dung lượng

Tương tự ta có định nghĩa sự hội tụ theo dung lượng đối với cap T

Toán tử Monge-Ampere liên tục đối với các dãy hội tụ theo kiểu này

Định lý 1.7.3 (Định lý hội tụ) Cho { }j 1

k j

u ∞

= là dãy b ị chặn đều địa phương các hàm đa

u → ∈u PSH∩L∞ Ω theo dung lượng capβ khi j→ ∞ v ới k =1, 2, ,n Khi đó:

Kết luận của định lý đúng nếu sự hội tụ theo dung lượng capβ được thay thế bởi

capβ ≤n cap Đặc biệt, như mệnh đề sau đây chỉ ra, với dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới ta có sự hội tụ của các dòng tương ứng

Mệnh đề 1.7.4 Dãy u j∈PSH∩L∞( )Ω v ới u j ↓u trong Ω h ội tụ tới

Nguyên lý so sánh là một trong công cụ hiệu quả nhất trong lý thuyết đa thế vị

dd u với u là hàm đa điều hòa dưới

Định lý 1.7.6 (Nguyên lý so sánh) Cho Ω là t ập con mở bị chặn của n V ới

1.7.9 Hàm c ực trị tương đối

Một miền Ω được gọi là siêu lồi nếu tồn tại hàm khác không u∈PSH( )Ω ∩C( )Ω

sao cho u= trên ∂Ω 0

Cho E là tập con của miền  n ta định nghĩa hàm cực trị tương đối bởi công

1.8 Bài toán Dir ichlet cho phương trình Monge-Ampere trong miền giả lồi ngặt

trình Monge-Ampere trong miền giả lồi ngặt Ω ⊂ n

Xét bài toán Dirichlet sau:

với hàm f không âm tùy ý và liên tục trong bao đóng của Ω

Ta gọi một hàm liên tục tăng h: +→( )1, ∞ là ch ấp nhận được nếu nó thỏa:

( )

( 1 ) 1 1

được h và một hằng số dương A như sau:

A,h, ,c ;ψ ϕ = ∈u PSH Ω ∩C Ω : dd u ∈ A,h ∩L c , uψ =ϕtrên∂Ω

với A dương Khi đó, ước lượng tiên nghiệm với chuẩn . ∞ các nghiệm bài toán

Dirichlet đối với các độ đo thuộc (A,h) sẽ được chỉ ra, dẫn đến rằng với ( )0

h

f ∈Lψ c

phương trình (I) có nghiệm Cụ thể ta có các kết quả sau:

Bổ đề 1.8.2 Với hàm chấp nhận được h tùy ý thỏa mãn h x( )≤const.(1 +x)k với

k< ∞ nào đó và với c0>0 tùy ý, tồn tại A> sao cho: 0

Định lí 1.8.4 Cho Ω là một miền giả lồi ngặt trong n Giả sử u j∈PSH( )Ω ∩C( )Ω

là dãy bị chặn đều hội tụ yếu tới u∈PSH( )Ω và với j tùy ý:

Định lý 1.8.6 Với ( )0

h

f ∈Lψ c tùy ý, bài toán Dirichlet (I) có nghiệm

Chương 2 DÒNG DƯƠNG ĐÓNG VÀ TOÁN TỬ MONGE-AMPERE

TRÊN ĐA TẠP PHỨC

các đa tạp phức đối với lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và không bị

chặn

Để xây dựng toán tử này mục 2.1 trình bày về tính dương của dạng vi phân và dòng trên đa tạp phức

2.1 Dòng d ương đóng

Cho X là một đa tạp phức n chiều Xét V T X x là không gian tiếp xúc của X

tại xX, (z z1, 2, ,z n) là các tọa độ trên V ,

trước tiên ta nhận xét rằng V T X x luôn có một định hướng chính tắc cho bởi (n,n)-

nếu và chỉ nếu v    vu u v 0 ới mọi dạng dương u

B ổ đề 2.1.2 Cho (z z1, 2, ,z n) là các tọa độ tùy ý trên V Khi đó p q, ( )