Với thầy cô giáo dạyTóan thì hiểu biết về Tóan học ứng dụng là một việc có ý nghĩa cả về lý luận và thực tiễndạy học, bởi vì có như thế mới hy vọng làm phong phú thêm các phương cách tru
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ TÌM HIỂU VỀ TOÁN ỨNG DỤNG Ở
TRƯỜNG PHỔ THÔNG VIỆT NAM
Người thực hiện: TS ĐINH QUANG MINH Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: PPDH Toán
- Lĩnh vực khác:
Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học: 2011 - 2012
BM 01-Bia SKKN
Trang 2SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: ĐINH QUANG MINH
2 Ngày tháng năm sinh: 21 tháng 12 năm 1961
8 Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Tiến Sỹ
- Năm nhận bằng: 2006
- Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và PPDH Toán
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: 30 năm
Số năm có kinh nghiệm: 30
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 05
BM02-LLKHSKKN
Trang 3Họ và tên tác giả: TS Đinh quang Minh Chức vụ: P Hiệu Trưởng
Đơn vị: THPT chuyên Lương Thế Vinh
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học bộ môn:
- Phương pháp giáo dục - Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị Trong Ngành
1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụngtrong toàn ngành có hiệu quả cao
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tạiđơn vị có hiệu quả
3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt Khá Đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và
dễ đi vào cuộc sống: Tốt Khá Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quảtrong phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt
Sau khi duyệt xét SKKN, Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có
ký tên xác nhận và chịu trách nhiệm của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
BM04-NXĐGSKKN
Trang 4(Ký tên và ghi rõ họ tên) (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)
1.1 Phương hướng ứng dụng và lý thuyết trong phát triển tóan học
1.2 Các quan điểm về tóan ứng dụng
§2 Đường phân nhánh cơ bản giữa “ Toán học ứng dụng” và “ Toán thuần
túy”
§3.Tổng quan về hướng ứng dụng toán học ở nước ta và trên thế giới.
§4 Một số nhận xét về tình hình ứng dụng toán học ở trường phổ thông
4.1 Rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tóan học vào thực tiễn là một
trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của việc giảng dạy tóan ở nhà
trường
4.2 Một số yếu tố của tóan ứng dụng đã được đề cập và xem xét ở mức độ
thích với điều kiện Việt Nam
4.3 Ở phổ thông chương trình, nội dung sách giáo khoa đã có sự quan tâm
nhất định tới khía cạnh ứng dụng thực tế của các kiến thức tóan học
4.4 Phân tích mạch tóan ứng dụng trong Đại số 10
Tài liệu tham khảo
45
5710
121717
17181924
Trang 5LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chắc hẳn mọi người đều nghe bàn luận vấn đề: Có hay không Toán học ứng dụng,hay Toán học ứng dụng chỉ là một phần của Toán học lý thuyết? Tìm hiểu và trả lời câuhỏi đó là một việc làm thú vị với những người làm Tóan, học Tóan Với thầy cô giáo dạyTóan thì hiểu biết về Tóan học ứng dụng là một việc có ý nghĩa cả về lý luận và thực tiễndạy học, bởi vì có như thế mới hy vọng làm phong phú thêm các phương cách truyền thụToán học, phần nào đó làm cho Toán học học đỡ khô cứng, và tất nhiên giờ dạy sẽ thú vịlên rất nhiều Điều nữa, tìm hiểu mạch toán ứng dụng trong trường Toán học phổ thông
sẽ góp phần trang bị thêm tri thức Tóan học cho giáo viên, giúp giáo viên có nhiềuphương tiện hơn nhằm thúc đẩy đổi mới phương pháp dạy học theo xu thế hiện nay.Thực tiễn cho thấy hiện nay sự quan tâm về Tóan học ứng dụng trong cộng đồng giáoviên dạy học Tóan vẫn còn nhiều hạn chế, dù rằng các sách giáo khoa mới đã cố gắngđưa một số yếu tố của Toán ứng dụng vào nội dung giảng dạy
Từ những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài: MỘT SỐ TÌM HIỂU VỀ TOÁNỨNG DỤNG Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG VIỆT NAM, nhằm giải quyết phần nào nhữngyêu cầu cần thiết nói trên Vấn đề này có thể được xem như một tài liệu tham khảo bổ íchcho những ai quan tâm đến Tóan học
Trang 6§1 NHỮNG ĐẶC ĐIỂM VỀ ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
CỦA “TOÁN HỌC ỨNG DỤNG”.
1.1 Phương hướng ứng dụng và lý thuyết trong phát triển toán học:
Vị trí hiện nay của toán học ứng dụng sẽ trở nên rõ ràng hơn nếu như theo dõi conđường phát triển của bản thân toán học Động lực phát triển của toán học có hainguồn cơ bản tồn tại một cách khách quan Một là nguồn bên ngoài do việc cần thiếtphải dùng các phương tiện toán học để giải những bài toán nằm ngoài phạm vi củatoán học, các bài toán của các khoa học khác, kỹ thuật, của kinh tế,vv… ; Chính đây
là nguồn đầu tiên về mặt lịch sử Nguồn thứ hai là nguồn bên trong do việc cần thiếtphải hệ thống hoá các sự kiện toán học đã khám phá được, giải thích các mối liên hệgiữ chúng với nhau, hợp nhất chúng lại bằng các quan niệm khái quát thành lý luậnphát triển lý luận đó theo các quy luật bên trong của nó; chính nguồn này ở thời điểmcủa nó đã dẫn tới các chỗ tách toán học thành một khoa học
Trong lời giới thiệu cho một cuốn sách phổ biến nổi tiếng của R.Courant vàG.Robbin đã nói: “Rõ ràng là sự vận động đi lên trong lĩnh vực toán học là do xuấthiện những nhu cầu mà ở mức độ nhiều hay ít điều có mang một tính chất thực tiễn.Nhưng một khi đã xuất hiện thì sự vận động ắt phải có một khuôn khổ nội tại của nó
và vượt ra ngoài phạm vi của tính hữu ích trực tiếp Chính vì vậy sự biến đổi hoàntoàn một khoa học ứng dụng thành khoa hoc lý thuyết đã thấy trong lịch sử cổ đại và
ở ngày nay cũng không phải ở mức độ kém hơn; người ta đã thừa nhận sự đóng gópcủa các kỹ sư và các nhà vật lý và toán học hiện đại” [1,tr15 ]
Vì vậy có thể là mạo hiểm nếu xác định quá chi tiết về ranh giới giữa hai nguồn
đó Tuy nhiên những đặc điểm của các nguồn đó và ảnh hưởng của chúng trong đại bộphận các trường hợp vẫn dễ dàng thấy được Hai phương hướng phát triển của toán họcứng với hai nguồn đó được gọi là phương hướng ứng dụng và phương hướng lý thuyếtthuần tuy
Xin nhấn mạnh là ở đây muốn nói về những ảnh hưởng chiếm ưu thế trong việc xâydựng và phát triển của các phương pháp toán học, của các khái niệm và những khẳngđịnh Còn đối với bất kỳ bản chất toán học nào đã được xây dựng thì vấn đề nó thuộcphương hướng nào - lý thuyết hay ứng dụng – thường là vô nghĩa
Trang 7Có lẽ quan điểm phổ biến nhất đối với khái niệm “toán học ứng dụng” trong hàng ngũ
các nhà toán học là quan điểm cho rằng nói chung không có toán học ứng dụng Ngoài racác nhà toán học ấy có gia nhập vào bản thân môn toán học hay không
Có những người cho rằng chỉ những kết cấu thuần tuý suy diễn mới được gọi là toán học.Tất cả những gì ngoài những kết cấu đó, không có quan hệ với toán học hoặc với những
bộ môn toán học thì cũng không được goị là toán học, kể cả gọi là toán học ứng dụng.Hiện nay quan điểm này ít được phát biểu ầm ĩ, song một cách”không chính thức” nó vẫncòn khá phổ biến; Bên cạnh những việc khác, quan điểm này tỏ ra “thuận tiện” cho nhiềungười dạy toán với những người không phải là các nhà toán học [1,tr30]
Thực tế quan điểm này đã thu hẹp một cách vô lý và đáng kể gianh giới củakhoa học Toán học vĩ đại mà trước hết mang lại cái bất lợi cho chính môn Toán học.A.poincaré cho rằng: “Vật lý học không chỉ cho chúng ta (các nhà toán học) cái lý đểgiải quyết vấn đề, nó còn giúp chúng ta tìm thấy các phương tiện để giải quyết nữa.Điều này theo hai con đường, một là nó cho ta linh cảm của phép giải, hai là gợi ý cho
ta tiến trình của các lập luận”[1,tr.31]
Thực chất ở đây đã biểu hiện một quan điểm thứ ba, rộng nhất cho rằng toán họckhông những chỉ bao hàm các lĩnh vực suy diễn mà còn bao hàm toàn bộ những thựcchất toán học - các khách thể toán học, các phương pháp và tư tưởng gặp nhau trongtoán học lý thuyết cũng như trong các ứng dụng: tức là kết cấu các mô hình toán học,thực nghiệm toán học, những lập luận quy nạp hay những lập luận hợp lý khác có tínhchất toán học, v.v
G.polya nói rằng: “Giới hạn của toán học tiềm ẩn những lập luận chứng minh thuộcbất kỳ khoa học nào đã đạt mức phát triển là những khái niệm thuộc khoa học ấy cóthể biểu diễn dưới dạng lôgic toán trừu tượng”
Xin dẫn thêm lời của R.Courant: “Thực ra giữa toán học “thuần tuý” và toán học “ứngdụng” không thể vạch ra một ranh giới rõ rệt được vì vậy trong toán học không thểphân ra một lớp người thầy tối cao thiên về cái đẹp hoàn thiện của toán học và chỉ chú
ý đến thiên hướng đó của mình, và những người phục vụ cho họ Sự “phân đẳng cấp”
đó, trong trường hợp tốt nhất cũng chỉ là một triệu chứng của những bộ óc hẹp hòi”.[2]
1.2 Các quan điểm về toán học ứng dụng
Trang 8Định nghĩa: Toán học ứng dụng là khoa học về các phương pháp giải tối ưu, mà
về thực tiễn là chấp nhận được, những bài toán nảy sinh từ bên ngoài toán học
Như vậy toán học ứng dụng là toán học bị gián tiếp bởi thực tiễn, một bộ phậnkhoa học hợp thành tựa sinh hoá hay nhiệt kỹ thuật Sự phát triển của bộ môn này đượcxát định bởi sự mở rộng nhóm những ứng dụng cũng như bởi sự thay đổi nội dung cụ thểcủa khái niệm tính tối ưu của phép giải bài toán: nói riêng, nội dung này hoàn toàn thayđổi do ảnh hưởng của các phương tiện toán hiện nay Tất nhiên nếu chúng ta tìm thấynghiệm tối ưu thì điều đó không có nghĩa là loại bỏ những nghiệm chỉ đáp ứng gần đúngyêu cầu của tính tối ưu Phần lớn các nghiệm thực tại mà chúng ta dùng thì cũng là nhữngnghiệm mà trong một thời gian nào đó, ở một mức độ nào đó đã thoả mãn yêu cầu đó
Vấn đề này ta có thể nhớ đến một câu cách ngôn nổi tiếng: “Toán học thuần tuý làm cái có thể khi cần còn toán học ứng dụng làm cái cần khi có thể” [1,tr35] Câu cách
ngôn đó truyền đi mội xu hướng nói chung là đúng, dù rằng từ “cần” được dùng ở đâytheo những nghĩa khác nhau Chỉ để ý đến ý nghĩa thứ hai, dưới đây chúng tôi sẽ cốgắng chứng minh rằng toán học ứng dụng làm cái cần khi cần làm
Cũng đáng chú ý đến một qua điểm được L.V Ovsjannikov phát biểu bằng lời:
“toán học ứng dụng là khoa học về các mô hình toán học; chi tiết hơn, có thể nói rằng: làkhoa học các kết cấu, nghiên cứu, diễn tả và tối ưu hoá các mô hình toán học” Địnhnghĩa này nhằm vào đối tượng của khoa học đó và theo chúng tôi thì không mâu thuẫn gìvới định nghĩa trên, là định nghĩa nặng về tính chất chức năng hơn Như vậy nếu muốn sosánh tương tự – nói chung cũng khá xa- giữa toán học và ngôn ngữ thì toán học thuần tuý
và toán học ứng dụng có thể sẽ làm người ta lần lượt nhớ đến văn phạm và ngữ nghĩa
Bàn về vấn đề toán học ứng dụng có tạo thành một khoa học độc lập không làviệc làm không đơn giản chút nào Vì do tính nhiều nghĩa của cách nói “khoa học độclập” thì đúng đắn hơn có thể không nên nói về một khoa học mà là về một khía cạnh củatoán học ra đời trong những ứng dụng của nó, và nếu có thể, thì nên nói về kết quả củaphép “chiếu” toán học một cách độc đáo lên nền văn minh; điều quan trọng là với phépchiếu đó thì toán học có những nét mới về chất và phép chiếu ấy, những nét ấy cũng sẽđịnh nghĩa cho toán học ứng dụng.[1,tr35]
Do đó các từ toán học ứng dụng coi như một thuật ngữ làm việc được xác định
bởi quan điểm cuối cùng nêu ở trên và dành vấn đề về tính độc lập của sự tồn tại toán học
Trang 9ứng dụng với tính cách một khoa học cho các nhà triết học Để phân biệt với điều đó, khinói về toán học thuần tuý, chúng ta sẽ quan niệm rằng đó là toán học chính thống từwaiartrass đến Bourbaki dựa trên cơ sở lý thuyết tập hợp ngây thơ
Để kết luận, chúng tôi đưa ra nhận xét của R.Courant nói về sự khác nhau trongphương pháp tiếp cận các vấn đề của toán học thuần tuý và toán học ứng dụng:
Cùng một vấn đề toán học có thể giải quyết khác nhau; người theo quan niệm toánhọc chặt chẽ (và khuynh hướng này đôi khi thấy ở mọi người thiên về tư duy khoahọc) thì đòi hỏi một sự hoàn thiện không phân nhượng Anh ta không cho phép cónhững lỗ hỏng trong lôgic của tư duy và trong sách giải các bài toán được đặt ra, vàkết quả đạt được theo ý anh ta phải là một đỉnh cao của một mắt xích liên tục nhữnglập luận hoàn thiện Và nếu như đối phương của quan điển này mà gặp những khókhăn dường như không khắc phục nổi thì anh ta sẽ nhanh chóng tìm cách phát biểu lạibài toán, hoặc thậm chí đặt nó khác đi nhưng cũng loại với bài toán cũ, trong đó cóthể khắc phục được những khó khăn (“cái có thể khi cần”) Còn có một đường vòngkhác nữa: xác định lại xem cái gì được coi là “nghiệm của bài toán” ; trong thực tế,cách làm này đôi khi là một bước sơ bộ được chấp nhận để đi đến nghiệm chân chínhcủa bài toán ban đầu
Trong các công trình nghiên cứu có tính chất ứng dụng thì mọi thứ đều khác Trướchết không thể dễ dàng làm thay đổi hoặc lảng tránh bài toán đã được đặt ra Ơ đây đòihỏi một cái khác là đưa ra một câu trả lời đúng đắn và đáng tin cậy theo quan điểmchung của người ta Trong trường hợp cần thiết, nhà toán học có thể có nhân nhượng:anh ta đã sẵn sàng đưa những dự đoán vào xích các lập luận cũng như cho phép mộtsai số nhất định trong những giá trị hằng số Nhưng ngay cả những bài toán chủ yếutheo phương hướng thực tiễn, ví dụ về bài toán về các dòng có sóng va chạm, cũng cóthể đòi hỏi một công trình nghiên cứu toán học cơ bản để xác định xem bài toán đóđặt ra có đúng hay không Trong các công trình nghiên cứu ứng dụng có thể đòi hỏi
cả những phép chứng minh những phép chứng minh định lí toán học thuần tuý về sựtồn tại, bởi vì sự tin tưởng là có nghiệm có thể đảm bảo cho độ tin cậy của mô hìnhtoán học được sử dụng Và cuối cùng chế ngự trong toán học ứng dụng là các phépxấp xỉ vì thiếu chúng thì không thể chuyển được các quá trình vật lí thực tại, thànhcác mô hình toán học
Trang 10Việc quay lại với hiện thực đã được biến đổi thành các mô hình toán học trừu tượng
và sự đánh giá những sự tương ứng đã đạt được ở đây đòi hỏi phải có những thói quentrực quan hoàn thiện qua kinh nghiệm Thường cần phải biến đổi như thế nào đó đốivới bài toán lúc đầu tỏ ra rất phức tạp để có thể giải được bằng các phương pháp hiệnđại Điều này phần nào giải thích tính chất rủi ro về trí óc và sự thoả mãn có ở các nhàtoán học làm việc với những kĩ sư và các nhà khoa học tự nhiên để giải các bài toánhiện thực có ở khắp nơi, tại đó con người tìm cách nhận thức thiên nhiên và điềukhiển nó
§2 – ĐƯỜNG PHÂN NHÁNH CƠ BẢN GIỮA “TOÁN HỌC ỨNG DỤNG” VÀ
“TOÁN HỌC THUẦN TUÝ”.
H.rosenbrock và C.Storey khi nói về phép giải toán học các bài toán ứng dụng
đã viết: “Người kĩ sư hay nhà toán học trước hết cần phải nhớ rằng họ sử dụng toán học
để mô tả thế giới thực tại Nhà toán học thuần tuý không hề làm điều đó và ít tìm hiểu cáinghệ thuật này Bất kỳ một dãy các dấu toán học nào đó do một nhà toán học ứng dụngghi lại thực tế đều là dãy những khẳng định vật lý Nếu một khẳng định viết bằng tiếnganh thì tác giả phải xem lại nghiêm túc xem có đúng hay không Tất nhiên anh ta cũngphải làm như vậy để kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định đã được viết ra bằng kí hiệutoán học [1,tr78 ]
Cái chính trong trường hợp này (và đó cũng là nguồn gốc của những khó khăn lớn) là
ở chỗ một nhà toán học lý thuyết thì bắt đầu bằng việc phát biểu một bài toán mà vềsau anh ta không còn chút ngờ vực nào cả Mục đích duy nhất của nhà toán học lýthuyết trong suốt những bước làm việc kế tiếp là xây dựng cơ sở cho những lập luậncủa mình Không có một bài toán quan trọng nào trong kĩ thuật có thể đặt vấn đề kiểunhư vậy Bất kỳ một phát biểu nào về bài toán kỹ huật cũng đều là quy ước và nếunhư có một hậu quả nào đó của việc phát biểu bài toán đó tỏ ra không đúng hay khôngchấp nhận được thì nó cần phải được phát biểu lại Nếu như bất kỳ một bước trunggian nào trong lập luận toán học lại phản ánh một lập trường không đúng về mặt vật
lý thì kết quả nhận được trên cơ sở những lập luận chặt chẽ của quan điểm logic dẫusao cũng sẽ là sai Do đó nhà toán học ứng dụng phải tính đến cả mặt toán học lẫn mặtvật lí của bài toán và liên hệ chúng với nhau
D.Chorafas ch rằng: “Trên một bình diện rộng nhất, toán học có thể chia thànhhai lĩnh vực Ơ một trong những lĩnh vực đó, các nhà khoa học quan tâm tới những dấu
Trang 11tượng trưng, những kết hợp các dấu đó và thuộc tính của chúng ở dạng hình thức hoá.Còn ở lĩnh vực kia những nhà toán học lại quan tâm tới ý nghĩa của các dấu tượng trưng,
tức là nội dung ý nghĩa của lý thuyết trong mối quan hệ với thế giới hiện thực” Đó cũng
là một định nghĩa giản lược về toán học thuần tuý và toán học ứng dụng Chúng tôimuốn nói thêm là ở đây không có ý nói về lĩnh vực ứng dụng bởi vì toán học ứng dụngnghiên cứu những phương pháp nhằm đưa những luận cứ không hình thức vào việc giảinhững bài toán hình thức hóa, còn lĩnh vực cụ thể những ứng dụng thì lại xác dịnh cáclớp những bài toán, đó là những luận cứ ấy Điều đáng chú ý ở đây là phân tích so sánhcác lĩnh vực ứng dụng khác nhau của toán học (cơ học, vật lý, hoá học, kỹ thuật, sinh vậthọc, kinh tế,.v.v ) điều nổi bật ở đây là nét đặc thù của các lĩnh vực đó cũng như néttổng quát đặc trưng cho việc sử dụng toán học vào các lĩnh vực ấy [1,tr78 ]
Đường phân nhánh cơ bản giữa toán học lý thuyết và toán học ứng dụng nằm ở tính chấtcủa lôgic được dùng đến Mặc dù lôgic của toán học ứng dụng không chính tắcnhư lôgiccủa toán học thuần tuý song nó cũng có một số các nét đã được hình thành tự phát nhưnhững biện pháp chứng minh, tiêu chuẩn độ chính xác,v.v ở đây, những biện pháp vàtiêu chuẩn như vậy đã quen thuộc trong toán lý thuyết song ở những ứng dụng thì chúngphần nào tỏ ra là thừa hoặc đã bị khước từ một cách giản đơn Toán học ứng dụng cũngnhư tất cả các bộ môn khoa học khác trừ toán học thuần tuý, không thể tự hạn chế ở
những lập luận suy diễn Một phong cách lập luận đả tự phát được hình thành là phong
cách tạo ra cơ sở lôgic của toán học ứng dụng và đã kết hợp những lập luận suy diễn vớinhững lập luận không chấp nhận được theo quan điểm toán học thuần tuý, nhưng nếu ápdụng chúng một cách hợp lý thì có khả năng dẫn đến những kết quả đúng đắn Những lậpluận loại này được gọi là những lập luận hợp lý (Giống như đúng yên có thể coi được làdạng đặc biệt của vận động, trong nhiều trường hợp người ta coi là những lập luận suydiễn là trường hợp đặc biệt, giới hạn của những lập luận hợp lý)
Tóm lại: Sự khác biệt cơ bản nhất về phương pháp giữa toán học ứng dụng và toán học
lý thuyết là ở chỗ trong toán học ứng dụng có sự kết hợp của những suy luận diễn dịch
và những suy luận hợp lý, trong khi lôgic các toán học lý thuyết là lôgic chỉcác suy luận diễn dịch.
§3 – TỔNG QUAN HỆ VỀ HƯỚNG ỨNG DỤNG TOÁN HỌC Ở NƯỚC TA
VÀ TRÊN THẾ GIỚI
