sự nối khớp giữa dạy học khái niệm giới hạn ở trường trung học phổ thông và ở trường đại học sư phạm

T ổng quan về lịch sử nghiên cứu vấn đề Tổng hợp các công trình nghiên cứu đã có trong nước về khái niệm giới hạn, chúng tôi có thể nêu ra các công trình nghiên cứu nổi bật sau: - Luận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Bùi Thành Vinh

SỰ NỐI KHỚP GIỮA DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ Ở TRƯỜNG

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bùi Thành Vinh

SỰ NỐI KHỚP GIỮA DẠY HỌC KHÁI

NIỆM GIỚI HẠN Ở TRƯỜNG TRUNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS LÊ V ĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

Khoa Toán – Trường đại học Tây Nguyên, tập thể lớp Sư Phạm Toán K38 Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn lớp Didactic Toán K22 vì những sẻ chia trong thời gian suốt thời gian học tập

Cuối cùng, tôi hết lòng cảm ơn gia đình đã quan tâm và động viên suốt quá trình học tập của tôi

Bùi Thành Vinh

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

PH Ụ LỤCDANH MỤC VIẾT TẮT 4

M Ở ĐẦU 5

1 Ghi nh ận ban đầu và câu hỏi xuất phát 5

2 T ổng quan về lịch sử nghiên cứu vấn đề 5

3 M ục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu 7 4 T ổng kết các kết quả nghiên cứu về những đặc trưng khoa học luận của khái niệm gi ới hạn 8

5 T ổ chức của luận văn 12

CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU SO SÁNH MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NI ỆM GIỚI HẠN Ở BẬC THPT VÀ Ở CÁC LỚP SƯ PHẠM TOÁN TRƯỜNG ĐHSP 13

1.1 Quan h ệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở các lớp sư phạm toán trường đại học sư phạm 14

1.1.1 Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn, cơ chế và hình thức thể hiện của khái niệm giới hạn 14

1.1.2 Tổ chức toán học liên quan tới khái niệm giới hạn 20

1.1.3 Quan điểm tiếp cận 31

1.1.4 Các đối tượng liên quan tới khái niệm giới hạn 35

1.2 Quan h ệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học ph ổ thông 37

1.2.1 Tiến trình, cơ chế và hình thức thể hiện 37

1.2.2 Tổ chức toán học liên quan tới khái niệm giới hạn trong SGK.C11 và SGK.N1140 1.2.3 Quan điểm tiếp cận khái niệm giới hạn 52

1.2.4 Đối tượng liên quan tới khái niệm giới hạn 54

1.3 S ự liên tục và ngắt quãng giữa THPT và ĐHSP về khái niệm giới hạn 55

1.3.1 Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn, cơ chế và hình thức thể hiện của khái niệm giới hạn 55

1.3.2 Các đối tượng liên quan tới khái niệm giới hạn 57

1.3.3 Tổ chức toán học 59

1.3.4 Quan điểm tiếp cận khái niệm giới hạn 66

CHƯƠNG 2 : THỰC NGHIỆM 71

2.1 M ục đích thực nghiệm 71

2.2 Th ực nghiệm trên giảng viên 71

2.2.1 Hình thức thực nghiệm 71

2.2.2 Phân tích bảng câu hỏi thực nghiệm giảng viên 71

2.2.3 Phân tích các trả lời của giảng viên 74

2.3 Th ực nghiệm đối với sinh viên 78

2.3.1 Hình thức thực nghiệm 78

2.3.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm 78

2.3.3 Phân tích hậu nghiệm 82

K ẾT LUẬN 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93

PHỤ LỤC 95

DANH M ỤC VIẾT TẮT

SGK.C11 : Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SGK.N11 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

SGK.C12 : Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 12 hiện hành

SGK.N12 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

SBT.C11 : Sách bài tập chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SBT.N11 : Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

SBT.C12 : Sách bài tập chương trình chuẩn lớp 12 hiện hành

SBT.N12 : Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

SGV.C11 : Sách giáo viên chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SGV.N11 : Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

SGV.C12 : Sách giáo viên chương trình chuẩn lớp 12 hiện hành

SGV.N12 : Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

M Ở ĐẦU

1 Ghi nh ận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Một trong những mục tiêu của dạy học ở bậc phổ thông là chuẩn bị những kiến thức

nền tảng để học sinh có thể tiếp tục học tập tốt ở các bậc học sau (đại học, cao đẳng, trung

cấp) Như vậy, những kiến thức giải tích mà học sinh được truyền thụ ở trường trung học

phổ thông là yếu tố cơ sở cho việc tiếp cận giải tích ở trường đại học

Thế nhưng, hiện nay, ở trung học phổ thông người ta nhấn mạnh trên tiếp cận trực giác các khái niệm của giải tích nói chung và khái niệm giới hạn nói riêng Ngược lại, ở Đại học đó là một tiếp cận thiên về hình thức hóa với tính trừu tượng cao

Từ những ghi nhận trên chúng tôi đưa ra những câu hỏi xuất phát sau:

- Có sự liên tục và ngắt quãng nào về dạy học khái niệm giới hạn ở bậc THPT và

bậc đại học

- Giảng viên đại học có ý thức về sự liên tục và ngắt quãng này không?

- Sự liên tục và ngắt quãng đó tạo điều kiện và ràng buộc gì cho dạy học khái niệm

giới hạn ở bậc đại học? Ảnh hưởng của chúng trên sinh viên?

2 T ổng quan về lịch sử nghiên cứu vấn đề

Tổng hợp các công trình nghiên cứu đã có trong nước về khái niệm giới hạn, chúng tôi có thể nêu ra các công trình nghiên cứu nổi bật sau:

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004): Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy - học toán: Đồ án Didactic trong môi trường máy tính bỏ túi Luận văn đã đạt được một số kết quả nổi bật sau: Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu

đã có về khái niệm giới hạn nhằm làm rõ chướng ngại khoa học luận, quan niệm khoa học luận về khái niệm giới hạn; Phân tích các chương trình và các sách giáo khoa của hai giai đoạn “cải cách giáo dục” (từ những năm 1990) và giai đoạn “chỉnh lý và hợp nhất” (kể từ năm 2000) để xác định các lựa chọn thể chế và các yếu tố của hợp đồng didactique; Nghiên cứu thực nghiệm đã cho thấy rằng học sinh quan niệm khái niệm giới hạn chỉ trên quan điểm đại số; Phân tích sự có mặt của của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương trình Toán ở THCS và THPT Việt Nam; Xây dựng đồ án với mục tiêu giới thiệu quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn trong phạm vi số học với môi trường máy tính bỏ túi

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thành Long (2004): Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông Các kết quả chính của

luận văn: Tổng hợp và phân tích kết quả của một số công trình nghiên cứu về khoa học luận nhằm làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn; Phân tích chương trình, sách giáo khoa của giai đoạn “chỉnh lý và hợp nhất” (năm 2000) nhằm làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông; Dựa trên vấn đề tính diện tích hình phẳng, tác giả đã xây dựng nên tình huống cho phép làm nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thành Đạt ( 2010): Dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông Một số kết quả chính trong luận văn này: Tổng hợp những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn trong lịch sử, ghi nhận một

số kết quả chính trong việc phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn của hàm

số trong các công trình nghiên cứu trước đây; Phân tích và đối chiếu giữa một bộ sách giáo khoa Mỹ và bộ sách giáo khoa toán 11 ban cơ bản của Việt Nam về cách xây dựng và trình bày tri thức giới hạn hữu hạn của hàm số; Phân tích, đánh giá tổ chức didactic được giáo viên thiết lập trong giảng dạy giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thông Việt Nam Các kết luận mà tác giả rút ra sau quá trình nghiên cứu: Giáo viên chỉ tập trung vào việc xây dựng và củng cố kỹ thuật đại số trong việc tính giới hạn của hàm số Hầu như giáo viên không chú trọng đến các kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật liên quan đến việc hình thành quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn hàm số Đặc biệt là không chú trọng đến vấn đề thực nghiệm

số đối với việc hình thành quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn hàm số ở học sinh ; Đặt hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn: xây dựng một đồ án didactic dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số nhằm hình thành quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn ở học sinh phổ thông Việt Nam mà trong đó bao gồm cả thực nghiệm số và đồ thị của hàm số

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Kim Cúc (2010): Dạy học khái niệm giới hạn vô hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông Một số kết quả chính trong luận văn : Tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có trên phương diện khoa học luận và phương diện thể chế dạy học trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 ; Phân tích thể chế dạy học hiện hành, làm rõ sự tiến triển của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong các SGKHH so với SGKCL hợp nhất và SGK Mỹ ; Sau khi thực nghiệm trên học sinh, tác giả đưa ra các

kết luận sau: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy

học hiện hành Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn Trong

học sinh tồn tại quy tắc hành động như sau: lim ( ) lim ( )

đạt đại số của hàm số đó Máy tính bỏ túi có vai trò mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số ; Đặt hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn: Xây dựng đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong môi trường tích hợp cả phạm vi số và đồ thị Nghiên cứu về mức độ quan tâm của giáo viên đến sự tiến triển của SGKHH so với SGKCLHN.

- Luận án tiến sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007):Nghiên cứu didactic mối liên hệ giữa khái niệm giới hạn và sự thập phân hoá các số thực trong môi trường máy tính bỏ túi Các kết quả chính của luận án: Nghiên cứu khoa học luận khái niệm giới hạn và khái niệm số thực, từ đó làm rõ mối quan hệ biện chứng giữa khái niệm số thực và khái niệm giới hạn ; Vai trò của các dạng viết thập phân trong sự xây dựng số thực;Các tổ chức

toán học quy chiếu đề cập hoặc trực tiếp hoặc gián tiếp đến mối liên hệ qua lại giữa khái niệm giới hạn, khái niệm số thực và sự thập phân hóa các số thực; Các quan điểm khoa học luận của khái niệm giới hạn; Mối liên hệ giữa giới hạn, số và sự thập phân hóa trong giảng dạy Toán ở phổ thông Việt Nam

Qua sự tổng hợp các công trình nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy rằng, ở Việt Nam, chưa có công trình nghiên cứu nào về dạy học khái niệm giới hạn ở bậc đại học, đặc biệt là sự liên tục và ngắt quãng về dạy học khái niệm giới hạn ở trường trung học phổ thông và dạy học khái niệm giới hạn đối với các lớp sư phạm toán ở trường đại học sư phạm Do đó, việc tìm câu trả lời cho những câu hỏi xuất phát nêu trên trở nên thích đáng và cần thiết đối với chúng tôi

3 M ục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên

c ứu

Mục đích của luận văn là làm rõ sự liên tục và ngắt quãng trong tổ chức kiến thức

gắn liền với khái niệm giới hạn cần giảng dạy ở Trường THPT và ở các lớp sư phạm toán trường đại học sư phạm, cũng như ảnh hưởng của sự liên tục và ngắt quãng này trên đối tượng giảng viên đại học và sinh viên các lớp sư phạm toán

Nghiên cứu sẽ đươc đặt trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán

Trong phạm vi lí thuyết này, theo chúng tôi, để đạt được mục tiêu nghiên cứu nêu trên, cần thiết phải làm rõ sự tương đồng và khác biệt của mối quan hệ thể chế với khái

niệm giới hạn giữa cả hai thể chế : dạy học toán ở trường THPT và dạy học toán ở các lớp

sư phạm toán trường đại học sư phạm Sự nghiên cứu so sánh này chắc chắn sẽ hiệu quả hơn nếu nó được định hướng bởi kết quả nghiên cứu khoa học luận về khái niệm giới hạn

Từ đó, phương pháp luận nghiên cứu của chúng tôi có thể được sơ đồ hóa như sau :

Trong phạm vi lý thuyết và phương pháp nghiên cứu nêu trên, chúng tôi cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu của luận văn thông qua hệ thống câu hỏi cần nghiên cứu sau đây:

Q1: Mối quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn ở các lớp sư phạm toán trường

đại học sư phạm có những đặc trưng cơ bản nào ?

Q2: Mối quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn ở bậc trung học phổ thông có

những đặc trưng cơ bản nào ?

Q3: Sự liên tục và ngắt quãng nào trong mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn

có thể ghi nhận giữa thể chế dạy học toán THPT và thể chế dạy học toán ở các lớp sư phạm toán trường đại học sư phạm ?

Q4 : Giảng viên ĐHSP quan niệm thế nào về sự liên tục và ngắt quãng nêu ở Q4

Q5 Sự liên tục và ngắt quãng nêu trên, cùng với quan niệm của giảng viên ảnh hưởng thế nào đối với sinh viên sư phạm toán khi học khái niệm giới hạn?

4 T ổng kết các kết quả nghiên cứu về những đặc trưng khoa học luận của khái ni ệm giới hạn

• Các giai đoạn nảy sinh và phát triển

Theo những phân tích và tổng hợp kết quả nghiên cứu về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn của tác giả Nguyễn Thành Long trong [11] thì quá trình hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn chia làm 3 giai đoạn, bắt đầu với sự xuất hiện của

Nghiên cứu so sánh mối quan hệ thể chế với khái

niệm giới hạn:

Nghiên cứu khoa học luận về khái niệm giới hạn

(Tổng hợp các công trình đã có)

Thể chế dạy học toán ở THPT

Thể chế dạy học toán ở ĐHSP

Nghiên cứu quan niệm của Giảng viên Sư phạm về

sự nối khớp THPT-ĐH Nghiên cứu ảnh hưởng trên sinh viên

khái niệm vô hạn (thế kỷ VI TCN) cho đến chương trình số học hóa giải tích của Weierstrass (thế kỉ XIX) Chúng tôi có thể tóm tắt 3 giai đoạn đó như sau:

- Giai đoạn 1: Tiến trình của khái niệm vô hạn (từ cổ Hy Lạp tới đầu thế kỷ XVII): Trong giai đoạn này, các nhà toán học Hy Lạp lẫn tránh vấn đề vô hạn trong các bài toán về

độ dài, diện tích, thể tích của các hình được giới hạn bởi những đường cong bằng phương pháp vét cạn Phương pháp vét cạn loại trừ tính vô hạn bằng cách nhờ tới một số suy luận kéo theo một số hữu hạn các bước và các thao tác với hữu hạn Vấn đề là chọn ra một số thực nào đó và chỉ ra rằng có thể giải bài toán với số thực này Sau đó chỉ ra là có thể giải quyết bài toán theo cách tương tự cho mọi số thực bé tùy ý Phương pháp này chứa đựng ngầm ẩn tư tưởng chuyển qua giới hạn Xuất phát từ phương pháp vét cạn, việc tính tổng vô hạn của chuỗi được phát triển mạnh vào thế kỷ 17 tạo mầm mống cho sự nảy sinh của khái niệm giới hạn Nhưng trong giai đoạn này, các nhà toán học quan tâm nhiều đến việc tính tổng của chuỗi hơn là suy nghĩ về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi Khái niệm giới hạn vẫn

là công cụ ngầm ẩn để giải toán, chưa phải là đối tượng nghiên cứu

- Giai đoạn 2: Sự ra đời của giải tích vô cùng bé (từ thế kỉ XVII đến nửa đầu thế kỉ XVIII): Giai đoạn này được đánh dấu bằng sự ra đời của phương pháp tọa độ được đề xuất

và nghiên cứu bởi Fermat (1601 – 1665) và Descartes (1596 – 1650) Đây là phương pháp dùng để chuyển đổi các vấn đề hình học sang phạm vi số, cho phép phát huy khía cạnh thuật toán của giải tích các vô cùng bé Từ giữa thế kỷ XVII cho đến thế kỷ XVIII, toán học có những bước tiến bộ quan trọng trong mặt lý thuyết Đầu tiên là sự ra đời và phát triển của phép tính vô cùng bé được Newton (1642 – 1727) và Leibniz (1646 – 1716) hệ thống hóa Qua nửa đầu thế kỷ XVIII, một phân môn mới của toán học ra đời: Giải tích, được đánh dấu bởi sự sát nhập vô cùng chặt chẽ của phép tính vô cùng bé và đại số Người ta bắt đầu nắm được việc cắt nhỏ các đại lượng ngày càng bé và tính tổng của chúng, đây là cơ sở của phép tính vi phân Tuy nhiên vì mãi theo đuổi những phép tính mới, các nhà toán học như Newton, Leibniz, anh em nhà Bernoulli, Euler và những người khác đã ít quan tâm tới bất

kỳ lý thuyết nào về giới hạn, họ chỉ có ý tưởng trực giác về khái niệm giới hạn và sử dụng điều đó một cách ngầm ẩn rất chính xác trong các khái niệm vô cùng bé, vô cùng lớn và tỉ

số hai vô cùng bé Giới hạn được chính thức đặt tên (limit) bởi Newton Như vậy, trong giai đoạn này khái niệm giới hạn vẫn lấy cơ chế công cụ mà chưa phải là đối tượng nghiên cứu

- Giai đoạn thứ 3: Xây dựng lý thuyết giới hạn (nửa sau thế kỉ XVIII tới thế kỉ XIX): Trong giai đoạn này, cùng với quá trình đại số hóa giải tích, khái niệm giới hạn đã chuyển

hẳn sang lĩnh vực số Nhưng vẫn chưa có sự nhất trí đối với khái niệm giới hạn và vô cùng

bé Điều đó đặt ra cho các nhà toán học thời bấy giờ một nhiệm vụ là phải xây dựng được lý thuyết giới hạn nhằm làm cho giải tích được chặt chẽ hơn Đáp ứng nhiệm vụ đó, Cauchy (1789-1857) đã phát triển lý thuyết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa sự hội tụ, tính liên tục, tích khả vi và tích phân theo quan niệm về giới hạn Nhưng lý thuyết giới hạn này được xây dựng trên trực giác đơn giản về hệ thống số thực Muốn trình bày chặt chẽ hơn lý thuyết giới hạn thì phải có sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết số thực Thông qua chương trình “số học hóa giải tích”, Weierstrass và các môn đệ đã xây đựng nên được tập hợp các định đề đặc trưng cho hệ thống số thực Như vậy, giai đoạn này đã hoàn thành nghiên cứu cơ sở của giải tích Các khái niệm cơ bản như hàm số, giới hạn, liên tục, số thực…đã được định nghĩa tường minh Lý thuyết giới hạn chính thức trở thành nền tảng cho giải tích

• Các đối tượng có liên quan tới khái niệm giới hạn

Từ việc phân tích và tổng hợp các kết quả về quá trình hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn, trong luận văn của Nguyễn Thành Long (2004), tác giả chỉ ra một số đối tượng toán học liên quan tới khái niệm giới hạn:

“Vị trí đầu tiên dành cho khái niệm vô hạn Lịch sử của giới hạn gắn bó với lịch sử của khái niệm này Ngay cả khi ngờ vực và chối bỏ thuật ngữ “vô hạn” thì trong bản thân phương pháp vét cạn của các nhà toán học cổ Hy Lạp cũng ngầm chứa sự tác động của khái niệm vô hạn Vô hạn có vai trò như vừa một chướng ngại, vừa như một động cơ Không thể hiểu được khái niệm giới hạn nếu không có quan niệm thỏa đáng về vô hạn Nhưng vô hạn cũng là một nhân tố tiến bộ, thí dụ như chính

“nỗi sợ” sự vô hạn, sự do dự khi sử dụng vô hạn trong toán học đã khiến người Hy Lạp tìm đến phương pháp vét cạn và thúc đẩy D’Alembert tìm cách định nghĩa minh bạch khái niệm giới hạn

Những khái niệm khác có vai trò quyết định trong lịch sử của giới hạn như: diện tích, thể tích, khái niệm thời gian (nhiều nhà toán học đã chuyên tâm nghiên cứu vai trò của thời gian trong khái niệm toán học, và đặc biệt là sự kiện “giới hạn có đạt được hay không?”)

Những khái niệm có tính kỹ thuật như dãy số, chuỗi số (vào thời D’Alembert thì các thuật ngữ dãy số và chuỗi số là đồng nghĩa nhau), vô cùng bé hay những khái niệm cực đại, cực tiểu, tiếp tuyến cũng đi cùng với lịch sử của khái niệm giới hạn

Chắc chắn là khái niệm hàm số có vai trò quan trọng Để làm cho giới hạn thành một công cụ hoạt động trong lĩnh vực số, phải làm rõ khái niệm hàm số Euler và Lagrange đã có những đóng góp chính trong việc này Khái niệm hàm số được phụ thêm bởi khái niệm đạo hàm Sau đó là các bài toán về liên tục, về tích phân cho phép xác định rõ hơn về khái niệm giới hạn Đặc biệt là mối liên hệ sâu xa giữa khái niệm giới hạn và số thực mà Weierstrass đã chứng tỏ: có làm chặt chẽ được hệ thống số thực mới định nghĩa chặt chẽ được khái niệm giới hạn

Chúng ta có thể kể ra những khái niệm của động học: chuyển động của chất điểm và đặc biệt nhất là vận tốc tức thời

Khi quan tâm đến mặt số lượng của khái niệm giới hạn, người ta đã phát triển các khái niệm tốc độ hội tụ, chặn trên, chặn dưới

Cuối cùng, về sau này, các khái niệm như cận trên, cận dưới, điểm tụ dần dần được xác định rõ, phân biệt với khái niệm giới hạn.” [11, tr26-27]

• Các quan điểm khoa học luận về khái niệm giới hạn

Luận văn của Nguyễn Thành Long (2004) đã làm rõ 3 quan điểm về khái niệm giới hạn ( )

x a

lim f x l

→ = thông qua tổng hợp các kết quả nghiên cứu của Trouche (1996):

o Quan điểm xấp xỉ: độ xấp xỉ của f x ( ) với l mong muốn sẽ quyết định độ xấp

xỉ của x với a Quan điểm này thể hiện trong nhiều phạm vi tác động của khái niệm giới hạn:

- Xấp xỉ hình học, chẳng hạn qua phương pháp vét cạn của Eudoxe, qua phép phân

hoạch của Fermat và Pascal để tính diện tích parabol

- Xấp xỉ đại số ( khi tính tổng chuỗi số,…)

- Xấp xỉ số ( khi xấp xỉ một dãy số vô tỉ bởi dãy số thập phân,…)

Quan điểm xấp xỉ thể hiện rõ nét nhất trong định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn

ngữ ε δ− , như BKOUCHE R (1996) đã phân tích: “Định nghĩa này theo (ε η, ) không có

gì khác hơn là sự hệ thống hóa quan điểm xấp xỉ này”

o Quan điểm động học: theo phân tích của BKOUCHE R (1996): “Đúng như tên

g ọi của nó, quan điểm này gắn liền với chuyển động Nếu như một đại lượng

bi ến x dần về một giá trị a của đại lượng này (theo nghĩa nó lấy những giá trị càng ngày càng g ần giá trị a), thì một đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x

( nghĩa là một hàm số của x) dần về một giá trị b nếu đại lượng x càng gần tới giá tr ị a thì đại lượng y cũng gần tới b”

BKOUCHE R (1996) cũng làm rõ sự khác biệt giữa quan điểm xấp xỉ và quan

điểm động học: “Nếu khái niệm động học chính biến kéo theo hàm số, thì trong khái niệm

xấp xỉ, chính độ xấp xỉ mà người ta muốn sẽ xác định xấp xỉ của biến”

o Quan điểm đại số hóa: “Manh nha từ khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa của

Newton, quan điểm này đã xuất hiện ở Leibniz khi đề ra những thuật toán, ngôn ngữ hình thức trong phép tính vi phân Đến thế kỷ 18, nó được Euler và Lagrange phát triển rất mạnh trong cố gắng đại số hóa giải tích

Trong quan điểm này, vấn đề là tìm cách xác định các quy tắc, các phép toán cho phép thao tác trên các đối tượng mà không cần quan tâm tới bản chất của những đối tượng này” [11, tr27-28]

5 Tổ chức của luận văn

Luận văn được cấu trúc trong 5 phần:

Phần mở đầu

Chương 1: Nghiên cứu so sánh quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn ở bậc THPT

và ở các lớp sư phạm toán trường đại học sư phạm

1.1 Quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở các lớp sư phạm toán trường đại học sư phạm

1.2 Quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

1.3 Sự liên tục và ngắt quãng giữa THPT và ĐHSP về khái niệm giới hạn Chương 2: Thực nghiệm

2.2 Điều tra quan niệm của giảng viên

2.3 Thực nghiệm trên sinh viên

Phần kết luận

C HƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU SO SÁNH MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ

V ỚI KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Ở BẬC THPT VÀ Ở CÁC LỚP SƯ

PHẠM TOÁN TRƯỜNG ĐHSP

Trong chương này chúng tôi sẽ làm rõ sự tương đồng và khác biệt của mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn giữa các thể chế : dạy học toán ở trường THPT và dạy học toán ở các lớp sư phạm toán trường đại học sư phạm Để thuận lợi cho việc nghiên cứu, chúng tôi chọn hai trường đại học sư phạm cụ thể là: trường đại học Sư Phạm Thành Phố

Hồ Chí Minh và trường đại học Tây Nguyên

Việc so sánh này dựa trên các tiêu chuẩn sau:

- Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn, cơ chế và hình thức thể hiện của khái niệm

giới hạn

- Đối tượng liên quan tới khái niệm giới hạn

- Tổ chức toán học

- Quan điểm tiếp cận

Lý thuyết giới hạn của dãy số thực và hàm số biến số thực được giảng dạy trong chương trình giải tích dành cho các lớp sư pham toán năm nhất đại học sư phạm Vì vậy, tài liệu chứng tôi sử dụng để phân tích trong mục này là:

- Giáo trình giải tích hàm một biến, Nguyễn Cam (2007), NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM, TP HCM (kí hiệu là GTGT) Đây là giáo trình dành cho sinh viên toán năm thứ

nhất đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

- Toán học cao cấp tập 2: Phép tính giải tích một biến số Nguyễn Đình Trí (2000), NXB Giáo Dục (kí hiệu là THCC) Đây là giáo trình được dành cho sinh viên toán năm nhất đại học Tây Nguyên

• Bộ sách giáo khoa cơ bản gồm:

- SGK Đại số và giải tích 11 (SGK.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo,

Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên

- SGV Đại số và giải tích 11 (SGV.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo,

Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên

- SGK Giải tích 12 (SGK.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

- SGV Giải tích 12 (SGV.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

• Bộ sách giáo khoa nâng cao gồm:

- SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao (SGK.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng

- SGV Đại số và giải tích 11 nâng cao (SGV.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng

- SGK Giải tích 12 (SGK.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng

- SGV Giải tích 12 (SGV.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng

1.1 Quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở các lớp sư

phạm toán trường đại học sư phạm

1.1.1 Ti ến trình đưa vào khái niệm giới hạn, cơ chế và hình thức thể hiện của khái

ni ệm giới hạn

Trong GTGT khái niệm giới hạn được trình bày ở chương 3 Chương 1: Tập hợp và ánh xạ Chương 2: Số thực Trong chương 2, tập hợp số thực được xây dựng theo phương pháp tiên đề, bao gồm các nhóm tiên đề sau: nhóm tiên đề đại số, nhóm tiên đề thứ tự, nhóm tiên đề sup-inf Sau đó giáo trình trình bày topo trên tập hợp số thực R với các khái niệm như: tập số thực mở rộng, khoảng, đoạn, lân cận, điểm giới hạn, điểm cô lập, điểm trong Chương 3: Giới hạn, gồm 3 bài học: dãy số, hàm số và hàm số liên tục

Trong giáo trình THCC, khái niệm giới hạn của dãy số được trình bày trong chương 1: Số Thực Khái niệm giới hạn của hàm số được trình bày ở chương 3: Giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số

Cả hai bộ giáo trình [GTGT] và [THCC] đều có chung một tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan : Số thực→dãy số→giới hạn của dãy số→giới hạn của hàm số→hàm số liên tục→đạo hàm→tích phân

GTGT và THCC đều đưa vào khái niệm giới hạn theo con đường suy diễn, tức là trình bày các định nghĩa khái niệm giới hạn trước sau đó mới đưa ra các ví dụ, phản ví dụ,

các vấn đề trong đó khái niệm giới hạn được sử dụng như là công cụ giải quyết hay thực

hiện nghiên cứu các tính chất khác của khái niệm giới hạn

GTGT và THCC định nghĩa các khái niệm : giới hạn hữu hạn, giới hạn +∞ và giới

hạn −∞ của dãy số theo ngôn ngữ (ε, N), các định nghĩa này trong hai giáo trình là tương

tự nhau

« Số thực a được gọi là giới hạn của dãy số { }xn nếu: cho số ε >0bất kỳ thì tồn tại

số nguyên N 0 > sao cho với mọi n N≥ thì thỏa xn− < »[GTGT, tr 20] a ε

« Dãy s ố { }xn có gi ới hạn là +∞ nếu:

Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm được GTGT trình bày như sau:

« Cho X⊂Rvới R là tập hợp các số thực, và hàm số f xác định trên X Cho hàm số f xác định trên X, với x 0 là điểm giới hạn của X Ta nói f x( )→ khi α x→ x0 nếu có điều sau đây: ∀ > ∃ > ε 0, δ 0 ( phụ thuộc vào ε và vào x 0 ) sao cho: với mọi x∈X thỏa

( )0

Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm được THCC trình bày như sau:

« Cho hàm số f x ( ) xác định trên khoảng ( )a, b ; nói rằng f x( )có giới hạn là L (hữu hạn) khi x dần đến x , 0 x0∈[ ]a, b nếu bất kì ε >0

cho trước tìm được δ > sao cho khi 0

( )0

0< −x x <δthì f x − < » ([THCC, tr 71]) L ε

Khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm được THCC và GTGT định nghĩa theo ngôn ngữ ( )ε δ, , định nghĩa này độc lập với định nghĩa giới hạn của dãy số Điểm khác nhau trong hai định nghĩa này là : GTGT giả thiết hàm số f x ( ) xác định trên

X⊂R, với a là điểm giới hạn của X, THCC giả thiết hàm số f x ( ) xác định trên khoảng

( )a, b , x0∈[ ]a, b

GTGT và THCC trình bày đầy đủ các định nghĩa còn lại của khái niệm giới hạn hàm

số Các khái niệm này trong hai bộ giáo trình là tương tự nhau

→ = từ quan điểm này là: độ xấp xỉ của f x ( ) với l mong muốn sẽ quyết định độ

xấp xỉ của x với a Sau các định nghĩa khái niệm giới hạn, GTGT và THCC đều đưa ra các

ví dụ củng cố cho các định nghĩa này, các ví dụ này đều thuộc các kiểu nhiệm vụ: “chứng

x<a) ta có định nghĩa giới hạn một bên GTGT và THCC định nghĩa khái niệm giới hạn một bên tương tự nhau

Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm trong GTGT : «Cho S R ⊂ , x0∈ và hàm S

s ố f xác định trên S Hàm số f được gọi là liên tục tại x n0 ếu ( ) ( )

Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm trong THCC : « Cho hàm số f x xác ( )

định trong khoảng ]a,b[ , ta nói rằng hàm số f x kh( ) ả vi tại điểm c ]a,b[∈ n ếu tồn tại giới

được gọi là đạo hàm của hàm số f x l( ) ấy tại điểm x c = , kí hi ệu f ' c » [THCC, tr111] ( )

Định nghĩa tích phân xác định của hàm số f x l( ) ấy trên khoảng đóng [a,b] :

[GTGT, tr122]

GTGT trình bày định nghĩa tích phân xác định của hàm số f x l( ) ấy trên khoảng đóng [a,b] mà không đưa ra hoạt động xây dựng khái niệm nào Trong THCC, khái niệm này nảy sinh nhờ vào thao tác khái quát hóa giới hạn được vận dụng trong bài toán tính diện

tích hình thang cong : « Cho hàm s ố y=f x( ), xác định liên tục trên khoảng đóng [ ]a, b ,

ngoài ra gi ả sử f x không âm trên ( ) [ ]a, b Xét hình thang cong AabB là hình gi ới hạn bởi

đồ thị hàm số f x (trên ( ) [ ]a, b ) ; các đường thẳng x a;x b= = và tr ục hoành Ox ; ta đặt

v ấn đề định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB » [THCC, tr246]

Khi chia đoạn [ ]a, b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia :

λ → ∑ ∆ là công cụ cho phép xác định diện tích của hình thang cong AabB

Trước khi trình bày định nghĩa tích phân xác định, THCC đưa ra nhận xét sau : « giới

h ạn dạng (7.7) có một vai trò cực kỳ quan trọng trong giải tích và trong các ứng dụng đa

d ạng của giải tích và bây giờ chúng ta nêu chi tiết hơn giới hạn dạng đó »

[THCC, tr249]

Giải quyết tương tự như trường hợp của bài toán xác định diện tích của hình thang cong, GTGT và THCC đưa ra các định nghĩa :

Độ dài cung :

1.1.2 T ổ chức toán học liên quan tới khái niệm giới hạn

Trong mục này, chúng tôi hệ thống và phân tích các ví dụ và bài tập có trong GTGT

và THCC để làm rõ các tổ chức toán học liên quan tới khái niệm giới hạn trong các giáo trình này

• Ki ểu nhiệm vụ T 1 : Tìm gi ới hạn của dãy số

o Kỹ thuật τ11A:

- Thay các giới hạn cơ bản vào biểu thức xác định dãy số

 τ11A có phạm vi hoạt động là các giới hạn dãy số không thuộc dạng vô định

o Kỹ thuật τ11B :

- Biến đổi biểu thức dãy số (để khử dạng vô định) và đưa về dạng τ11A

 τ11A có phạm vi hoạt động là các giới hạn dãy số thuộc dạng vô định

Nh ận xét : THCC và GTGT chỉ trình bày và chứng minh định lý đại số giới hạn :

T ổng, hiệu, tích và thương Các định lý khác và các giới hạn cơ bản không được các giáo trình này nh ắc tới trong phần lý thuyết Tập hợp các định lý đại số giới hạn của dãy số và các gi ới hạn cơ bản là công nghệ cho kỹ thuât là τ11:

+ Định lý đại số giới hạn: tổng, hiệu, tích, thương

 τ12 có phạm vi hoạt động là các dãy số truy hồi

Ví dụ : « 23 Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy :

sin n cos n sin n cos n

- Tính n 1 n

n

x xlim

xlim ay

1 2 nc) lim

i

n

nlim 1 i 1, p

- Xét hàm y=f x( ), liên tục trên [ ]0,1 Chọn các điểm chia x0 =0;x1 1, ,

1 0 1x

- Kết luận với N A≥ ε thì un−um < với mọi n,m > N ε

Công nghệ θ32: Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số

lim x lim x + lim x

→∞ ≠ →∞ ⇒ →∞ không tồn tại Vậy ( )xn phân kỳ

• Ki ểu nhiệm vụ T 4 : Chứng minh các đẳng thức hoặc bất đẳng thức giới hạn của dãy

số

Kỹ thuật τ4 dựa trên định nghĩa giới hạn của dãy số và tính chất của tập số thực R

• Ki ểu nhiệm vụ T 5 : Tìm hai dãy ( ) ( )xn và yn thỏa mãn điều kiện cho trước

Kỹ thuật τ5 dựa trên các giới hạn cơ bản của dãy số

Ví dụ : « 4 Tìm hai dãy { }x và n { }y sao cho : n n n

= và yn = , ta có : n n n

1lim x lim 0, lim y lim n

n

→∞ = →∞ = →∞ = →∞ = ∞

- Các định lí đại số giới hạn của hàm số

- Các giới hạn đặc biệt của hàm số

Ví dụ :

[THCC, tr83]

Nh ận xét : THCC và GTGT chỉ trình bày và chứng minh : định lý đại số giới hạn : Tổng,

hi ệu, tích và thương ; Các giới hạn cơ bản :

x

→ + = → = .Các định lý khác và các giới hạn cơ bản không được các giáo trình này nh ắc tới trong phần lý thuyết Tập hợp các định lý đại số giới hạn của hàm

s ố và các giới hạn cơ bản là công nghệ cho kỹ thuât là τ61:

+ Định lý đại số giới hạn: tổng, hiệu, tích, thương

x

x a n

P x a o x alim

n

n

P x a o x alim f x lim

• Ki ểu nhiệm vụ T 7 : Chứng minh ( )

x a

lim f x L

o Kỹ thuật τ7:

• Ki ểu nhiệm vụ T 8 : Chứng minh đẳng thức giới hạn của hàm số

• Ki ểu nhiệm vụ T 9 : Chứng minh tồn tại ( )

x alim f x−

→

Kỹ thuật τ8 và τ9 dựa trên định nghĩa giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ ( )ε δ, và tính chất của tập số thực R

PHÂN LOẠI CÁC NHIỆM VỤ

Loại 1 : Các nhiệm vụ có kỹ thuật giải có bản chất giải tích Cụ thể là các kỹ thuật sau : τ12 +τ τ τ τ τ τ τ τ τ31, 13, 2, 31, 32, 4, 7, ,8 9

Loại 2 : Các nhiệm vụ có kỹ thuật giải cho phép đề cập vài yếu tố của quan điểm động học :

Loại 3 : Các nhiệm vụ có kỹ thuật giải chỉ dùng đến phép toán đại số giới hạn :

Loại 3 35 56.45% 28 68.29% 37 78.72% Tổng cộng 4 100% 62 100% 41 100% 47 100%

Nhận xét :

Trong GTGT, các nhiệm vụ thuộc nhóm 3 chiếm ưu thế hơn so với các nhiệm vụ thuộc nhóm 1 : 56.45% so với 43.55% trong phần bài tập Trong 27 nhiệm vụ thuộc nhóm 1 thì có 25 nhiệm vụ liên quan tới giới hạn của dãy số Các kiểu nhiệm vụ có số nhiệm vụ con chiếm tỉ lệ cao trong nhóm 1 là : Xét sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số, chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức giới hạn dãy số Kiểu nhiệm vụ có số nhiệm vụ con chiếm ưu thế trong nhóm 3 là : tính n

Trong THCC, các nhiệm vụ thuộc nhóm 3 chiếm ưu thế gần như tuyệt đối so với các nhiệm vụ thuộc nhóm 1 : 68.29% so với 31.71% trong phần ví dụ và 78.72% so với 21.28% trong phần bài tập Các nhiệm vụ thuộc nhóm 3 chủ yếu thuộc kiểu nhiệm vụ tính ( )

→∞ Kiểu nhiệm vụ có số nhiệm vụ con chiếm ưu thế trong nhóm

1 là : xét sự hội tụ của dãy số, chứng minh ( )

→ = chỉ xuất hiện trong các ví dụ củng cố định nghĩa giới hạn hàm số)

1.1.3 Quan điểm tiếp cận

GTGT thể hiện đồng thời quan điểm xấp xỉ và quan điểm đại số hóa về khái niệm giới hạn trong xây dựng và tổ chức kiến thức gắn liền với khái niệm giới hạn Quan điểm xấp xỉ thể hiện ngay từ đầu và xuyên suốt trong phần lý thuyết (phần của giáo viên), cụ thể

là trong các định nghĩa giới hạn của dãy số, định nghĩa giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ

( )ε δ, , trong chứng minh các tính chất cơ bản và các định lý cơ bản về giới hạn

Các tính chất cơ bản của giới hạn được chứng minh dựa trên định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ ( )ε δ,

« Mệnh đề 1: Mọi dãy số hội tụ đều bị chặn » [GTGT, tr22]

n

i lim x y lim x lim y

ii lim x y lim x lim y

lim xx

iii lim lim y 0

xlim 0y

xlimy

→∞ = ∞ ” [GTGT, tr 29]

“ Mệnh đề 8: Dãy số ( )xn hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều hội tụ.”

Các định lý cơ bản về giới hạn được chứng minh dựa trên định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ ( )ε δ,

và tính đầy của tập số thực :

“Định lý 1:Mọi dãy số tăng và bị chặn trên đều hội tụ Mọi dãy số giảm và bị chặn dưới đều hội tụ.” [GTGT, tr 27]

« Định lý 2 (Weierstrass – Bolzano)

M ọi dãy số bị chặn đều có điểm tụ » [GTGT, tr 32]

“Định lý 3: Dãy số ( )xn là dãy Cauchy khi và ch ỉ khi ( )xn là dãy h ội tụ”

Ngoài ra quan điểm xấp xỉ còn thể hiện trong các nhiệm vụ cho phép thao tác với các

kỹ thuật bản chất giải tích (chiếm 43.55% trong phần bài tập) Các nhiệm vụ này chủ yếu liên quan tới giới hạn của dãy số (chiếm tỷ lệ 25/27 trong các nhiệm vụ thuộc nhóm 1) Các

kiểu nhiệm vụ chiếm ưu thế trong nhóm này là : Xét sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số ( )un , chứng minh dãy số ( )un có giới hạn là a, chứng minh các tính chất về giới hạn của dãy số, tính n

“Định lý 4: (Điều kiện tồn tại giới hạn) Điều kiện cần và đủ để ( )

x a

lim f x α

→ = là: mọi dãy số { }xn hội tụ về a thì {f x( )n } hội tụ về α.”

i lim f x g x lim f x lim g x

ii lim k.f x k lim f x k R

iii lim f x g x lim f x lim g x

( ) ( )

( ) ( )

về giới hạn của hàm số, các kỹ thuật gắn với kiểu nhiệm vụ này đều là kỹ thuật đại số

THCC thể hiện đồng thời qua điểm xấp xỉ và quan điểm đại số hóa về khái niệm giới hạn trong xây dựng và tổ chức kiến thức gắn liền với khái niệm giới hạn Có sự phân vùng giữa hai quan điểm này trong tổ chức kiến thức gắn với khái niệm giới hạn : Quan điểm xấp

xỉ thể hiện trong định nghĩa giới hạn dãy số, định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ

( )ε δ, , các tính chất cơ bản của dãy số hội tụ được chứng minh dựa trên định nghĩa giới hạn của dãy số, các định lý cơ bản của dãy số hội tụ, các định lý cơ bản về dãy số, các tổ chức toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ : xét sự hội tụ của dãy số, tính n

cố định nghĩa giới hạn của hàm số (phần của giáo viên)

Các định lý về giới hạn của hàm số được trình bày nhưng không được chứng minh,

mục đích đưa ra các định lý về giới hạn của hàm số là « để khử các dạng vô định khác

chúng ta cần một số mệnh đề chi tiết hơn và một vài giới hạn thuộc loại dạng vô định điển hình », các nhiệm vụ thuộc nhóm «chỉ dùng đến các phép toán đại số giới hạn » chiếm

68.29% trong phần ví dụ và 78.72% trong phần bài tập Các nhiệm vụ này thuộc kiểu nhiệm

Quan điểm động học chỉ được thể hiện một lần trong định nghĩa giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ dãy số, không xuất hiện trong bất cứ tổ chức toán học nào

« Cho hàm số f x ( ) xác định trên khoảng ( )a, b ; nói rằng f x( )có giới hạn là L (hữu hạn) khi x dần đến x , 0 x0∈[ ]a, b và viết là ( )

x a

lim f x L

→ = nếu bất kì dãy ( )xn → thì x0( )n

x a

lim f x L

→ = » ([THCC, tr 71])

Từ những phân tích trên, chúng tôi phát biểu giả thuyết nghiên cứu về quan điểm tiếp

cận khái niệm giới hạn hàm số ở trường đại học sư phạm như sau : Quan điểm xấp xỉ được

đưa vào chương trình giải tích ở đại học sư phạm nhưng nó chỉ tồn tại ở vị trí của giáo viên, còn sinh viên không có trách nhiệm áp dụng kỹ thuật đặc trưng cho quan điểm này vào việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan tới khái niệm giới hạn của hàm số

1 1.4 Các đối tượng liên quan tới khái niệm giới hạn

Đối tượng vô hạn không được định nghĩa, xuất hiện và tác động một cách tự nhiên trong các tình huống liên quan tới khái niệm giới hạn

Tính chất của dãy số « một dãy số ( )xn có th ể có hai khả năng : hoặc có các giá trị

có khuynh hướng tập trung gần một số nào α nào đó hoặc không có một số α nào để các giá tr ị ( )xn t ập trung quanh nó » và các dãy số đặt trưng (dãy Cauchy, dãy đơn điệu) có vai

trò quan trọng trong việc xây dựng khái niệm giới hạn Hàm số cũng là một đối tượng nghiên cứu của khái niệm giới hạn THCC và GTGT đều định nghĩa khái niệm dãy số và khái niệm hàm số được thông qua khái niệm ánh xạ

Trong GTGT vô cùng lớn xuất hiện ngầm ẩn trong định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số và hàm số, trong các giới hạn vô cực cơ bản Vô cùng bé xuất hiện ngầm ẩn trong các giới hạn 0 cơ bản Trong THCC, vô cùng lớn và vô cùng bé được định nghĩa tường minh :

« M ột đại lượng x , nn ∈Nđược gọi là một vô cùng bé viết tắt là VCB, nếu với mọi

Trong cả hai giáo trình thì tập hợp số thực được xây dựng là một trường sắp thứ tự

đầy đủ : « Tập hợp số thực R là một trường sắp thứ tự đầy, nghĩa là thỏa mãn các tiên đề

sau :

- Tiên đề về cấu trúc trường

- Tiên đề về quan hệ thứ tự toàn phần

- Tiên đề cận trên đúng (biểu hiện tính đầy của R)

M ọi tập A⊂R không r ỗng, bị chặn trên đều có cận trên đúng thuộc R »

Các khái niệm đi cùng với tập số thực R có liên quan tới khái niệm giới hạn là : chặn trên, chặn dưới, cận trên đúng, cận dưới đúng của một tập hợp được định nghĩa tường minh trong GTGT và THCC

Khi xem R là một không gian topo với topo thông thường (sinh bởi metric thông thường) thì xuất hiện một số khái niệm liên quan tới khái niệm giới hạn như : lân cận, điểm

giới hạn Các khái niệm này được định nghĩa tường minh và xuất hiện trong định nghĩa giới

hạn của hàm số và một số định lý về giới hạn trong GTGT

Bài toán tính diện tích hình thang cong cho phép xây dựng khái niệm tích phân xác định, qua đó các khái niệm độ dài cung phẳng, diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và diện tích xung quanh khối tròn xoay cũng được định nghĩa qua khái niệm giới hạn hàm số

1.2 Quan h ệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

1.2.1 Ti ến trình, cơ chế và hình thức thể hiện

Khái niệm giới hạn được giới thiệu chủ yếu trong chương trình toán lớp 11, nằm trong chương IV: Giới Hạn Chương này được giảng dạy trong 14 tiết với chương trình toán

11 ban cơ bản và 20 tiết với chương trình toán ban nâng cao

Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan: Số thực → Dãy số

→ Giới hạn dãy số → Giới hạn hàm số → Hàm số liên tục → Đạo hàm → Tiệm cận

Tập hợp số thực được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán lớp 7, tập hợp số

thực được hiểu là tập hợp các số có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô

hạn tuần hoàn (số hữu tỉ) hoặc số thập phân vô hạn không tuần hoàn (số vô tỉ)

Trong SGK.C11 và SGK.N11, khái niệm giới hạn lấy cơ chế của một khái niệm toán trước, sau đó mới lấy cơ chế công cụ nghiên cứu các khái niệm: hàm số liên tục, đạo hàm,

tiệm cận

SGK.C11 và SGK.N11 trình bày định nghĩa giới hạn 0 của dãy số, sau đó mới định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số thông qua giới hạn 0 Lý do chọn lựa cách trình bày khái

niệm như trên là:“Sách đã dành một tiết để giới thiệu dãy số có giới hạn 0 Cách trình bày

này tuy có phần dài dòng nhưng nó giúp học sinh tiếp cận khái niệm giới hạn một cách thuận lợi hơn Đối với những người mới làm quen với lí thuyết giới hạn, khái niệm giới hạn

0 dể hình dung hơn.”

[SGV.N11, tr173]

Chương trình phân biệt hai khái niệm: giới hạn +∞ và giới hạn −∞ SGK.N11 trình bày hai khái niệm này độc lập với nhau SGK.C11 trình bày khái niệm giới hạn +∞ của dãy

số, sau đó định nghĩa giới hạn −∞của dãy số thông qua khái niệm giới hạn +∞ SGV.C11

giải thích về cách trình bày hai khái niệm trên như sau:“Khái niệm “Giới hạn +∞ ” có thể được đưa vào một cách tương tự như khái niệm “Giới hạn −∞” Tuy nhiên để đơn giản và làm rõ mối quan hệ giữa hai khái niệm này, SGK đã định nghĩa giới hạn −∞ thông qua giới hạn +∞.”

[SGV.C11, tr128]

Trong SGK, khái niệm giới hạn 0 và giới hạn +∞ được định nghĩa tổng quát dưới

dạng mô tả nhờ vào các ghi nhận trực giác số và trực giác hình học qua các hoạt động Các SGK tuân thủ theo quy định của chương trình là: không dùng ngôn ngữ ε δ để định nghĩa ,

giới hạn của dãy số Lý do của sự lựa chọn này được giải thích dựa trên nhận xét sau về định nghĩa giới hạn dãy số theo ngôn ngữ ε δ : , “Các SGK trong nước và nước ngoài trước đây đã giới thiệu định nghĩa này trong nhiều năm Tuy nhiên qua giảng dạy, người ta thấy rằng định nghĩa này là quá khó đối với phần lớn học sinh ở cấp THPT dù rằng trước khi phát biểu định nghĩa, người ta đã cho nhiều ví dụ để chuẩn bị Hiện nay hầu như trong tất

cả các SGK Toán ở cấp THPT, các chữ ε và N đều không được nhắc đến nữa.”

“Để tránh những khó khăn cho học sinh khi sử dụng các định nghĩa theo ngôn ngữ

,

ε δ ” ([SGV.C11, tr123]), trong các SGK, giới hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực,

giới hạn vô cực của hàm số và giới hạn một bên của hàm số đều được định nghĩa qua giới hạn của dãy số Các định nghĩa còn lại của giới hạn hàm số có thể phát biểu tương tự các

định nghĩa trên nhưng không được trình bày “vì lí do thời gian và tránh phức tạp hóa vấn

đề”

SGK.N11 và SGK.C11 đưa vào định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một

điểm theo con đường quy nạp thông qua hoạt động “nghiên cứu mối quan hệ giữa sự biến

thiên của đối số và biến thiên của các giá trị tương ứng của hàm số Cụ thể, nghiên cứu xem nếu biến số x lấy những giá trị lập thành một dãy số dần tới a (hay ±∞) thì dãy số tương ứng của hàm số y=f x( ) thay đổi ra sao Nói cách khác, khi x dần tới a (hay ±∞) thì f(x) thay đổi như thế nào?” [SGV.C11, tr132] Khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại

vô cực trong SGK.C11 được đưa định nghĩa thông qua một hoạt động quan sát đồ thị đơn giản Các định nghĩa giới hạn hàm số còn lại đều được đưa vào thông qua con đường suy diễn