trong chương trình hình học lớp 12 bài toán viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng là dạng toán hay và không quá khó, tuy nhiên để làm bài toán dạng này đòi hỏi học sinh
Trang 1Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012
Sáng kiến kinh nghiệm:
MỘT SỐ DẠNG VỀ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Xuất phát từ thực tiễn dạy học phổ thông học phải đi đôi với hành trong chương trình hình học lớp 12 bài toán viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng là dạng toán hay và không quá khó, tuy nhiên để làm bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Mức độ tư duy lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lôgic
Là dạng toán chiếm tỉ lệ nhiều trong phần hình học giải tích trong không gian trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi đại học, cao đẳng
Là giáo viên đang công tác tại trường THCS & THPT Bàu Hàm, đa số là học sinh ở mức độ trung bình – yếu, mức độ tư duy vừa phải, các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này, đặc biệt là trong việc tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng Do đó để giúp các em không bị khó khăn khi gặp dạng toán này, thiết nghĩ nên tóm tắt lại phương pháp phân loại lại bài tập từ dễ đến khó để học sinh dễ tiếp cận một cách đơn giản dễ nhớ và vận dụng làm bài tốt hơn
II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1 Cơ sở lý luận
Trong thực tế giảng dạy nếu chỉ cung cấp kiến thức mới mà làm các bài tập mà không chú ý tới các dạng của bài toán thì học sinh sẽ gặp khó khăn khi gặp những dạng toán được phát triển từ dạng toán ban đầu thì học sinh sẽ găp khó khăn Đặc biệt
là những học sinh thuộc dạng trung binh – yếu, tư duy của các em bị hạn chế
Do đó, để học sinh nắm bài, nhớ bài tốt tôi thiết nghĩ phải nên tổng hợp lại các dạng toán cho học sinh sau khi đã giúp học sinh giải các tập để học sinh có thể vận dụng tốt khi thi gặp phải những dạng toán tương tự
Để thực hiện đề tài này, sau khi học sinh đã làm bài tập sách giáo khoa, tôi giao nhiệm vụ cho các tổ một số dạng để học sinh trong tổ thảo luận và tóm tắt dạng toán và làm những ví dụ tôi yêu cầu, sau đó tổng hợp các tổ lại và tiến hành nhận xét
và chỉnh sữa lại cho hoàn chỉnh
Thời gian để thực thiện đề tài là những tiết bài tập và học tăng tiết và những buổi ôn thi tốt nghiệp
2 Một số kiến thức cần lưu ý:
1) Véctơ n 0 nằm trên đường thẳng vuông góc với mp( ) được gọi là véctơ pháp tuyến của mp ( )
2) Nếu 2 véctơ u v , là 2 véctơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên
Trang 2mp( ) thì véctơ nu v,
là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )
3) Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 với A2 B2 C2 0 gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) Khi đó mp( ) có một véctơ pháp tuyến là n ( ; ; )A B C
4) Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có véctơ pháp tuyến n ( ; ; )A B C thì mp() có phương trình là A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
5) Nếu () đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với abc 0thì phương trình mặt phẳng (ABC) là x y z 1
a b c (1) Phương trình (1) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
6) Véctơ a 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì alà vectơ chỉ phương của đường thẳng d
7) Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0)d và có vectơ chỉ phương của d là a = (a; b ; c ) thì:
* Phương trình tham số của đường thẳng d là :
ct z
z
bt y
y
at x
x
0 0
;( t là tham số)
* Phương trình chính tắc của d là :
c
z z b
y y a
x
; (a.b.c 0 ) 8) Cho hai điểm A(xA;yA; zA) và B(xB;yB; zB) Ta có:
a) ABx B x y A; B y z A; A z B
b) Tọa độ trung điểm I của AB là ; ;
Quy ước: Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng kí hiệu là n
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng kí hiệu là a
3 Nêu phương pháp chung để giải bài toán
Cần lưu ý cho học sinh: Để viết được phương trình đường thẳng d thì phương
pháp chung là phải xác định được một véctơ chỉ phương của đường thẳng và tọa độ
một điểm mà đường thẳng đi qua, sau đó dựa vào công thức của định nghĩa (trang
83 SGK hình học 12 – sách chuẩn) để viết phương trình đương thẳng đó.
4 Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết véctơ chỉ phương a( ; ; )a b c và đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ).
Hướng dẫn:
Trang 3Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012
* Phương trình tham số của đường thẳng d là :
ct z
z
bt y
y
at x
x
0 0
;( t là tham số)
* Phương trình chính tắc của d là :
c
z z b
y y a
x
; (a.b.c 0 )
Ví dụ: Trong không gian Oxyz Viết phương trình tham số và phương trình
chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 1; 3) có véc tơ chỉ phương u=(3; -1; -2)
b/ d đi qua góc tọa độ và có véc tơ chỉ phương u=(3; 1; -2)
Lời giải
a/ Ta có phương trình tham số của d là :
t z
t y
t x
2 3
3 2
( t là tham số ) phương trình chính tắc của d là : 32 11 23
x
b/ phương trình tham số của d là
t z
t y
t x
2 3
( t là tham số) phương trình chính tắc của d là 3 1 2
x
Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
cho trước.
Hướng dẫn
- Véc tơ chỉ phương của d là AB
- Chọn điểm A hoặc B là điểm mà d đi qua ( Đưa về dạng 1)
Ví dụ: Viết phương trình tham số của d trong các trường hợp sau :
a/ d đi qua A(-2; 1; 5) và B(-1; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-1, 2, 3) và gốc tọa độ
Lời giải
a/ Do d đi qua A và B nên véc tơ chỉ phương của d là AB=(1; 1; -5)
Lấy A(-2; 1; 5) d phương trình tham số của d là
2 1
5 5
( t là tham số ) b/ Do đi qua M và gốc tọa độ O nên véc tơ chỉ phương của d là OM =(-1; 2; 3)
Trang 4phương trình tham số của d là: 2
3
x t
y t
z t
( t là tham số)
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 cho trước và vuông góc với mặt phẳng ( ).
Hướng dẫn
B1: Tìm vectơ pháp tuyến n của mp( )
B2 : Do d vuông góc với ( ) nên n của ( ) là a của d.
B3: đường thẳng d đi qua điểm M 0 và nhận a làm vectơ chỉ phương.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua M(2; -1; -3) và vuông góc với ( ): x + 2y – 3z + 1 = 0
b/ d đi qua N(0; 2; -3) và vuông góc (Oxy)
Lời giải
a/ do d vuông góc với ( ) nên ta chọn a d
= n
= (1; 2; -3) là vectơ chỉ phương của d
đường thẳng d đi qua M(2;-1; -3) và nhận véctơ ad = (1; 2; -3) làm vectơ chỉ phương
có phương trình tham số là
2
1 2
3 3
x t
y t
z t
(t là tham số)
b/ Do d (Oxy) nên vectơ chỉ phương của d là k =(0; 0; 1)
phương trình tham số là
0 2 3
x y
z t
(t là tham số)
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với đường
thẳng .(M )
Hướng dẫn
B1 : Ta có a d
chính là a B2: đường thẳng d đi qua M và nhận ad là vectơ chỉ phương.
Ví dụ:: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với :
t z
t y
t x
3 1
2
3 ( t là tham
số)
Trang 5Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012
b/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với : x3 2 y214z
c/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với trục ox
Lời giải
a/ Do d // vec tơ chỉ phương của d là a = (1; 2; -3)
phương trình tham số của đường thẳng d là:
t z
t y
t x
3 1
2
2 ( t là tham
số)
b/ Do d // vec tơ chỉ phương của d là a = (3; 2; 4)
phương trình tham số của đường thẳng d là:
2 3
2 2
1 4
x t
y t
z t
( t là tham số)
c/ Do d // Ox vec tơ chỉ phương của d là i = (1; 0; 0)
phương trình tham số của đường thẳng d là:
4 2
z y
t x
(t là tham số)
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 cho trước và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trước.
Hướng dẫn
B1: Tìm vectơ n v P à n Q
B2: Vec tơ chỉ phương của d là a= [nP, nQ]
B3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 0 và nhận a làm vectơ chỉ phương.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(3; 1; 5) và song song với hai mặt
phẳng : (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0
Lời giải
Ta có nP = (2; 3; -2); nQ=(1; -3; 1)
Do d //(P) và d//(Q) vec tơ chỉ phương của d là a= [nP, nQ]= (-3; -4; -9)
phương trình tham số của d là:
t z
t y
t x
9 5
4 1
3 3
( t là tham số)
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 cho trước, song
song với hai mặt phẳng (P) và vuông góc với d’ cho trước.(d’ không vuông
góc với (P))
Trang 6Hướng dẫn
B1: Tìm vectơ n v a P à d'
B2: Vec tơ chỉ phương của d là a d
= [nP, ad']
B3 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 0 và nhận u d
làm vectơ chỉ phương.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 0; -1), song song (P): 3x – 2y + z + 1 = 0 và vuông góc với d’: x2 1y31z43
b/ d đi qua điểm M(-1; 1; 3) song song với(Oxz) và vuông góc với d’:
t z
t y
t x
2 4
3 1
Lời giải
a/ Ta có : nP = (3; -2; 1) và ad'= (2; 3; 4 )
Do d//(P) và dd’ vec tơ chỉ phương của d là a= [nP, a d'
] = (-11; -10; 13)
phương trình tham số của d là:
2 11 10
1 13
x t
y t
z t
( t là tham số)
b/ Ta có : j = (0; 1; 0) và ad'= (3; -1; 2 )
Do d//(Oxz) và dd’ vec tơ chỉ phương của d là a= [ j,ad'] = (2; 0; -3)
phương trình tham số của d là:
1 2 1
3 3
x t y
z t
( t là tham số)
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 cho trước, vuông
góc với hai đường thẳng d 1 và d 2 không cùng phương.
Hướng dẫn
B1: Tìm vectơ chỉ phương của d 1 và d 2 là a 1
và a2 B2: vec tơ chỉ phương của d là aa a1 , 2
B3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 0 và nhận a làm vectơ chỉ phương.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(2; -3; 4) và vuông góc với d1:
t z
t y
t x
2 1
3
3 2
( t là tham số ) và d2:
3
3 5
2
x
Trang 7Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012 Lời giải
Ta có: vec tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là a1 = (-3; 1; 2) và a2 = (2; 5; 3 )
Do d d1 và dd2 vec tơ chỉ phương của d là a=[ a1, a2]= (-7; 13; -17)
phương trình tham số của d là:
t z
t y
t x
1 7 4
1 3 3
7 2
( t là tham số)
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cho trước , vuông góc với đường thẳng d 1 và cắt đường thẳng d 2
Phân tích bài toán :
- do dd2 N N d v à N d 2 N d 2 và N d
- Khi đó MN là vec tơ chỉ phương của d MN u 1 = 0 tọa độ điểm N
Hướng dẫn giải :
B1: Xác định dạng toạ độ điểm N d 2 theo tham số t
B2: Lập véc tơ MN =? , xác định vec tơ chỉ phương của d 1
B3: do d d 1 MN u 1 = 0 toạ độ điểm N
B4: d là đường thẳng đi qua M và N đã biết ( dạng 2)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 3) vuông góc với d1:
x y z
và cắt d2 :
t z
t y x
1 2
3
( t là tham số)
Lời giải:
Ta có: vec tơ chỉ phương của d1 là :u1 = (1; 2; 1)
Do d cắt d2 N(-3; 2 - t; 1+ t ) d MN= (-1; 1 – t ; -2 + t ) là chỉ phương của d
do d d1 MN.u1 = 0 t = -1 MN= (-1; 2; -3)
phương trình tham số của d là :
2
1 2
3 3
x t
y t
z t
( t là tham số)
Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường
thẳng song song d 1 và d 2 và nằm trong mặt phẳng chứa d 1 và d 2
Hướng dẫn
B1: Chỉ phương của d là chỉ phương của d 1 và d 2 (Do song song)
Trang 8B2: Xác định toạ độ điểm Md1, N d2
toạ độ trung điểm I của MN d
B3: Viết phương trình thẳng d theo dạng 2
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
d1:
t z
t y
t x
2 4 3
3 2
( t là tham số ) và d2:
2 1
1 3
4
x
Viết phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2
đồng thời cách đều hai đường thẳng đó
Lời giải
Do d1//d2 và d cách đều d1, d2 chỉ phương của d là u= (3; 1; -2)
Lấy M(2; -3; 4) d1 , N(4; -1; 0) d2 toạ độ trung điểm I của MN là I(3; -2; 2) d
phương trình tham số của d là
t z
t y
t x
2 2 2
3 3
( t là tham số )
Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) và đồng thời
cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2 cho trước
Hướng dẫn
B1: Giả sử d cắt d 1 và d 2 lần lượt tại M và N dạng toạ độ của M và N MN ? B2 : d vuông góc (P) pháp tuyến n P của (P) cùng phương MN toạ độ của M, N
( Đưa bài toán về dạng 9)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng
d1:
t z
t y
t x
2 1
3 2
3
; d2:
' 2 4
' 3
' 2
t z
t y
t x
( t và t’ là tham số )
Lời giải:
Giả sử d cắt d1 tại M toạ độ của M (3 + t; 2 + 3t; 1 - 2t)
d cắt d2 tại N toạ độ của N (2- t’; 3 + t’; 4 + 2t’)
MN=( -t’ – t – 1; t’ – 3t +1; 2t’ +2t +3)
Trang 9Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012
Pháp tuyến của (P) là nP= (1; 2; 1)
Do d vuông góc với (P) MN và nP cùng phương
1
3 2 ' 2 2
1 3 ' 1
1
t=
4
1
và t’=
12
13
M(
4
11
;
4
5
;
2
3
) d1 , MN=(
3
1
;
3
2
;
3
1
) chỉ phương của d là u=(1; 2; 1)
phương trình tham số của d là :
t z
t y
t x
2 3
2 4 5 4 11
; ( t là tham số )
Dạng 11: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P)
Hướng dẫn
B1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P)
B2: khi đó M d ( )P
Ví dụ: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của A(0, 1, -2) lên mặt
phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0
Lời giải
Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là 1 2
2 2
x t
y t
z t
Do M là hình chiếu vuông góc của A lên (P) nên tọa độ điểm M d ( )P
Xét phương trình : t – 2(1 – 2t) + 2(-2 + 2t) – 1 = 0 <=> t = 7
9 Vậy 7; 5; 4
Bài tập tự luyện : Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3)
Viết phương trình tham số của đường thẳng AB
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4)
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN
Trang 10Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm M(1; 0; 2) và N(3; 1; 5)
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và N
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt phẳng (
) : x – 2y + 2z +5 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với (
)
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng () : 2x – 3y + 6z +35 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với (
)
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng (
): 2x – 2y + z - 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (
)
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4).
Viết phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB)
Bài 8: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng
d1:
1
3 3
3 1
x
và d2:
t z
t y
t x
8 2 2
Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai
đường thẳng d1:
t z
t y
t x
4 1
5 2
3
(t R); d2:
' 6
' 2 4
' 2
t z
t y
t x
(t’ R )
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d1:
1
2 1
1
2
x
d2:
3 1
2 1
z
t y
t x
(t R) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z =0 và cắt
cả hai đương thẳng d1 và d2