phép đối xứng trục trong dạy học toán ở trường phổ thông

Bước đầu biết áp dụng tính chất ĐXT vào vẽ hình, gấp hình.” [SGV toán 8 tập 1, tr.118] Qua những điều trên cho thấy rằng ĐXT trong hình học 8 đóng vai trò là tính chất của một số hình

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC TRONG DẠY

Chuyên ngành: Lý lu ận và phương pháp dạy học Toán

Mã s ố: 60 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐOÀN HỮU HẢI

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô :

 TS Đoàn Hữu Hải, người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn

 PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh , PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga đã tận tình

giảng dạy, giải đáp thắc mắc cho chúng tôi trong những ngày đầu làm quen với Didactic toán

Tôi xin chân thành cám ơn :

 Các anh chị và các bạn cùng lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 22 đã chia

sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập

 Ba mẹ và các anh chị trong gia đình đã luôn tin tưởng, ủng hộ và giúp đỡ cho tôi về mọi

mặt

Huỳnh Duy Linh

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH M ỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 3

M Ở ĐẦU 4

1 Ghi nh ận ban đầu và lý do chọn đề tài 4

2 M ục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu 4

3 Phương pháp nghiên cứu 5

4 C ấu trúc của luận văn 5

CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 6 1.1 Phân tích chương trình 6

1.1.1 Phép đối xứng trục trong chương trình toán bậc phổ phông giai đoạn 2006 – 2010 7

1.1.2 Phép đối xứng trục trong chương trình toán bậc phổ phông giai đoạn 2011 đến nay 9

1.2 Phân tích sách giáo khoa 11

1.2.1 Phân tích SGK giai đoạn 2011 đến nay 11

1.2.2 Phép đối xứng trục trong hình học 11 giai đoạn 2006 – 2010 31

CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 43

2.1 Th ực nghiệm 1 43

2.1.1 Mục đích khảo sát 43

2.1.2 Đối tượng khảo sát và hình thức khảo sát 43

2.1.3 Các câu hỏi trên phiếu khảo sát 44

2.1.4 Phân tích các câu hỏi khảo sát 46

2.1.5 Kết quả khảo sát 47

2.2 Th ực nghiệm 2 49

2.2.1 Mục đích thực nghiệm 49

2.2.2 Đối tượng và hình thức thực nghiệm 49

2.2.3 Các câu hỏi thực nghiệm 50

2.2.4 Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm 51

2.2.5 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm 56

KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

Học sinh Giáo viên

M Ở ĐẦU

1 Ghi nh ận ban đầu và lý do chọn đề tài

Nội dung phép biến hình được giảng dạy ở hầu hết các nước trên thế giới: Pháp, Nga,

Nhật Bản,…trong đó có Việt Nam Nếu phép biến hình là nghiên cứu hình học trong sự vận động thì nội dung giảng dạy phép biến hình cũng vận động, thay đổi như chính nó qua từng

thời kỳ đổi mới, cải cách giáo dục ở Việt Nam Gần đây là sự chuyển dời nội dung dạy học phép biến hình ở cuối chương trình hình học 10 (chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000) sang đầu chương trình hình học 11 (chương trình hiện hành) với nhiều sự thay đổi về nội dung Mà sự biến đổi gần đây nhất chính là việc loại bỏ phép đối xứng ( gồm phép ĐXT và phép đối xứng tâm) trong chương trình hình học 11 ban cơ bản với mục đích giảm tải chương trình Như vậy kiến thức về “phép đối xứng” của HS chỉ dừng lại ở lớp 8 ( không được trình bày dưới dạng một phép biến hình) Tuy nhiên, ở một số nội dung liên quan vẫn

phải sử dụng đến kiến thức của phép đối xứng mà đơn cử như là phép dời hình, phép đồng

dạng Ở đây chúng tôi chỉ quan tâm đến trường hợp của phép ĐXT

Từ những thực tế đó đã đặt ra vấn đề: Khi bỏ phép ĐXT thì điều đó ảnh hưởng như thế nào đến kiến thức của HS về phép ĐXT nói riêng và các khái niệm khái quát hơn: phép dời hình, phép biến hình nói chung?

Để làm rõ vấn đề trên chúng tôi sẽ tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau:

Q’1: Khi bỏ phép ĐXT trong hình học 11 CB, những KNV liên quan đến phép ĐXT có

tồn tại không? Nếu có HS sẽ giải quyết như thế nào?

Q’2: Khi bỏ phép ĐXT, có thể có những ảnh hưởng gì đến việc dạy học phép biến hình, phép dời hình?

Đó cũng là lý do dẫn chúng tôi đến việc nghiên cứu đề tài : Phép đối xứng trục trong dạy

học toán ở trường phổ thông

2 M ục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu

Mục đích của luận văn là đi tìm các câu trả lời cho những câu hỏi trên

Để đạt được mục đích trên chúng tôi sẽ tìm câu trả lời các câu hỏi đã nêu bằng ánh sáng

của lý thuyết nhân chủng học và trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Mối quan hệ thể chế với phép ĐXT đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể

chế dạy học toán ở trường phổ thông?

Q2: Những ràng buộc của thể chế dạy học có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ

cá nhân HS và GV với phép ĐXT?

Q3: Những ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đối với ĐXT đến việc dạy học các khái

niệm phép dời hình và phép đồng dạng?

3 Phương pháp nghiên cứu

Để trả lời cho cả 3 câu hỏi trên chúng tôi tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế với phép ĐXT thông qua việc phân tích chương trình, phân tích SGK hình học 8, 10, 11 Khi phân tích chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra vai trò và mục tiêu của phép ĐXT trong chương trình toán phổ thông ở Việt Nam Bên cạnh đó chúng tôi cũng tìm mối quan hệ của phép ĐXT

với một phép biến hình khác để làm rõ sự tác động của việc loại bỏ phép ĐXT ra khỏi chương trình Từ những phân tích đó giúp chúng tôi hình thành giả thuyết nghiên cứu

Cuối cùng chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm ở HS để hợp thức hóa những giả thuyết nghiên cứu trên

Giới hạn phạm vi nghiên cứu: vì mục đích của luận văn nên chúng tôi chỉ nghiên cứu 2

cấp học: THCS và THPT

4 C ấu trúc của luận văn

Từ việc lựa chọn phương pháp nghiên cứu đã nêu trên nên cấu trúc của luận văn như sau:

Luận văn gồm 3 phần

Phần I: Phần mở đầu

Phần II: 2 chương

Phần III : Phần kết luận

Trong ph ần mở đầu, chúng tôi trình bày những lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu,

câu hỏi ban đầu, lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Ph ần II sẽ có 2 chương:

Chương I: Mối quan hệ thể chế đối với phép đối xứng trục

Chương II: Nghiên cứu thực nghiệm

Trong ph ần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở các chương

C HƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI PHÉP ĐỐI

X ỨNG TRỤC

 Mục tiêu của chương

Chương này sẽ tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :

Mối quan hệ thể chế với phép ĐXT đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền với khái niệm này?

 Để đạt được mục tiêu trên chúng tôi sẽ tiến hành phân tích chương trình và SGK toán hiện hành các lớp 8, 10, 11 mà trọng tâm là ở hai khối lớp : lớp 8 bậc THCS và lớp 11 bậc THPT Vì mục tiêu của luận văn nên chúng tôi chỉ phân tích chương trình lớp 11 ban cơ bản

Sau đây là nội dung phân tích của chúng tôi :

1.1 Phân tích chương trình

Việc dạy - học phép ĐXT nói riêng và phép biến hình nói chung có thể được chia ra nhiều cấp độ khác nhau tùy theo mục đích giảng dạy Trong luận văn này chúng tôi sử dụng

4 cấp độ hiểu phép biến hình theo cách phân loại của PGS.TS Lê Thị Hoài Châu trong

Phương pháp dạy – học hình học ở trường trung học phổ thông, 2008 làm tham chiếu:

“C ấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ về hình dáng giữa 2 hình hoặc giữa 2

ph ần của 1 hình ( đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt)

C ấp độ 2 : Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ không gian, lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là các tập

h ợp điểm

C ấp độ 3 : Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học

C ấp độ 4 : Phép biến hình được xem là phần tử của một nhóm và được dùng để phân loại các lý thuy ết hình học ”

Để tránh bị nhầm lẫn chúng tôi sử dụng thuật ngữ “ĐXT” khi phép ĐXT không mang đặc trưng hàm và “phép ĐXT” khi phép ĐXT mang đặc trưng hàm

1.1.1 Phép đối xứng trục trong chương trình toán bậc phổ phông giai đoạn 2006 –

2010

Như chúng ta đã biết, phép ĐXT là một bộ phận của phép dời hình, phép biến hình Do đó việc nghiên cứu phép ĐXT được chúng tôi đặt trong các mối liên hệ này Sau đây là sơ đồ mô tả tiến trình xây dựng phép biến hình nói chung và phép ĐXT nói riêng :

Sơ đồ 1.1

Khái niệm ĐXT ( chưa phải là phép ĐXT) được đưa vào giảng dạy ở chương I phần hình học có tên “Tứ giác” trong chương trình hình học 8 Cụ thể là bài 6 : “đối xứng trục”, các bài trước đó HS đã được học các kiến thức về : tứ giác, hình thang, hình thang cân,… Tuy nhiên “SGK không xây dựng ĐXT như một phép biến hình mà chỉ xét hai hình đối

xứng với nhau qua một đường thẳng và hình có trục đối xứng Khái niệm hai hình đối xứng

với nhau qua một đường thẳng được xây dựng trên cơ sở hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng.” [SGV toán 8 tập 1, tr.117] Do đó SGK sử dụng thuật ngữ “ ĐXT” thay vì

“ phép ĐXT” Mục tiêu của bài này là :

“ Hiểu định nghĩa hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng Nhận biết hai đoạn

thẳng đối xứng nhau qua một đường thẳng Nhận biết được hình thang cân là hình có trục

đối xứng

Biết vẽ điểm đối xứng với một điểm cho trước, đoạn thẳng đối xứng với một đoạn thẳng cho trước qua một đường thẳng Biết chứng minh hai điểm đối xứng với nhau qua một

đường thẳng

Biết nhận ra một số hình có trục đối xứng trong thực tế Bước đầu biết áp dụng tính chất

ĐXT vào vẽ hình, gấp hình.” [SGV toán 8 tập 1, tr.118]

Qua những điều trên cho thấy rằng ĐXT trong hình học 8 đóng vai trò là tính chất

của một số hình đặc biệt ( ví dụ : hình thang cân, hình thoi,…là những hình có trục đối

xứng) và là kiến thức chuẩn bị cho việc học phép biến hình ở bậc THPT, ĐXT chưa được xem xét là một phép biến hình ĐXT ở THCS là một phần của hình học tổng hợp, là công cụ

để giải quyết một số bài toán hình học tổng hợp

Đến lớp 10, HS gặp lại ĐXT trong chương 2 : “Phương pháp tọa độ trong mặt

phẳng”

Khi đó ĐXT không được nhắc lại trong lý thuyết mà xuất hiện dưới dạng bài tập : tìm tọa độ điểm đối xứng với một điểm cho trước qua đường thẳng, tìm tọa độ điểm sao cho độ dài đường gấp khúc bé nhất,… Như vậy, cho đến thời điểm hiện tại thì phép ĐXT

vẫn chưa xuất hiện đặc trưng hàm, chỉ khác lớp 8 ở chỗ các KNV liên quan ĐXT được giải quyết bằng “phương pháp tọa độ”, có vẻ như việc đưa ĐXT vào hình học 10 đóng vai trò như một “bước đệm” để giới thiệu phép biến hình nói chung và phép ĐXT nói riêng trong chương trình hình học 10

ĐXT chính thức được xây dựng thành một phép biến hình và trở thành phép ĐXT trong chương I : “ Phép biến hình”, hình học 11 Cụ thể là bài 3 : “ Phép đối xứng trục” SGK giới thiệu phép biến hình (tổng quát), sau đó là giới thiệu các phép biến hình

cụ thể mà phép ĐXT là một phép biến hình cụ thể, được giới thiệu sau bài phép

tịnh tiến Như vậy, đến thời điểm này thì phép ĐXT được xây dựng là một phép biến hình, là một bộ phận của phép dời hình Nói cách khác phép ĐXT được xây dựng ở đây là

một ánh xạ Mặt khác vì phép ĐXT là một phép dời hình nên SGK xây dựng phép dời hình (tổng quát) bằng cách giới thiệu 4 phép dời hình thường gặp (cách xây dựng biểu thị ở Sơ

đồ 1.1) sau đó tống quát hóa thành phép dời hình (tổng quát) Mục tiêu của bài này là :

“Nắm được định nghĩa phép ĐXT và hiểu phép ĐXT hoàn toàn được xác định khi biết

trục đối xứng

Biết được biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua các trục tọa độ Vận dụng chúng để xác định tọa độ ảnh của 1 điểm, phương trình đường thẳng là ảnh của 1 đường thẳng cho

trước qua phép đối xứng qua các trục tọa độ

Biết cách tìm trục đối xứng của 1 hình và nhận biết được hình có trục đối xứng.”[ SGV HH 11, tr.31]

Đến đây đã có sự thay đổi thuật ngữ so với các lớp trước Đó là SGK đã sử dụng “ phép ĐXT” thay vì “ ĐXT”, do đó SGK đã sử dụng thuật ngữ “biến…thành…”,

“ảnh”,…mà trước đây HS chưa được sử dụng Bên cạnh đó, phép ĐXT trong chương trình

11 gắn liền với biểu thức tọa độ ( đối xứng qua các trục tọa độ), vận dụng chúng vào việc giải toán – một trong những mục tiêu quan trọng của việc giảng dạy phép ĐXT Đây cũng là điểm khác biệt rất lớn so với “ĐXT” trong hình học 8 và lớp 10

Mặt khác, “Phép ĐXT là một phép dời hình cơ bản Người ta có thể chứng minh được

mọi phép dời hình đều có thể xem là hợp thành của một số hữu hạn các phép ĐXT.”[ SGV

HH 11 CB, tr.31] Qua đó chúng ta thấy được mối liên hệ mật thiết của phép ĐXT và các phép dời hình khác

1.1.2 Phép đối xứng trục trong chương trình toán bậc phổ phông giai đoạn 2011 đến nay

Đây là giai đoạn phép ĐXT đã loại khỏi chương trình hình học lớp 11 nhằm mục đích giảm

tải nhưng không thay đổi SGK

Sơ đồ mô tả tiến trình xây dựng phép biến hình nói chung và phép ĐXT nói riêng :

• ĐXT ở lớp 8 và lớp 10 trong giai đoạn trước có 2 vai trò chính: thứ nhất là đóng vai trò kiến thức chuẩn bị cho phép biến hình, thứ hai là đóng vai trò xây dựng phép ĐXT Khi

bỏ phép ĐXT thì vai trò thứ 2 hiển nhiên cũng biến mất theo

• Phép dời hình trong giai đoạn trước được tổng quát hóa từ 4 phép biến hình cơ bản: phép tịnh tiến, phép ĐXT, phép đối xứng tâm, phép quay thì hiện nay chỉ được tổng quát từ

2 phép: tịnh tiến và quay, tương tự cho phép đồng dạng Trong khi đó yêu cầu của BGD&ĐT khi giảm tải chương trình là : “ …Đảm bảo tính logic của mạch kiến thức và tính thống nhất giữa các bộ môn, không thay đổi chương trình, SGK…”[ trích Hướng dẫn

thực hiện chương trình toán THPT] Như vậy việc không thay đổi chương trình, SGK làm

cho phép ĐXT vẫn còn tồn tại trong 2 nội dung này vì cả 2 phép này một phần được xây

dựng nhờ phép ĐXT và phép ĐXT cũng là một bộ phận của chúng Chúng tôi đặt ra câu

hỏi: Khi loại bỏ phép ĐXT ra khỏi thể chế dạy học đã tác động đến HS như thế nào khi tiếp thu khái niệm phép dời hình, phép đồng dạng? Và mức độ tác động đó đến đâu? Những mục tiêu của chương trình đặt ra cho phép dời hình, phép đồng dạng có đạt được không khi loại

bỏ phép ĐXT?

Để trả lời câu hỏi trên chúng tôi sẽ phân tích SGK hình học 8, 10 và 11 trong 2 giai đoạn: trước và sau khi bỏ phép ĐXT Sau đây là phần phân tích:

1.2 Phân tích sách giáo khoa

1.2.1 Phân tích SGK giai đoạn 2011 đến nay

1.2.1.1 Phép đối xứng trục trong sách giáo khoa hình học 8

 V ề định nghĩa, tính chất

Bài Đối xứng trục bắt đầu với một vấn đề đặt ra cho HS Vấn đề này khá quen thuộc vì

HS đã gặp ở cấp tiểu học

Vì sao có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt hình chữ H ? (h 49)

Sau đó SGK xây dựng một hoạt động vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng từ đó đi đến quy ước cách gọi tên trước khi nêu định nghĩa ĐXT :

Cho hình 50 Ta gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d A là điểm đối xứng của A’ qua đường thẳng d, hai điểm A, A’ đối xứng với nhau qua đường thẳng d

Định nghĩa

Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d

nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó

Từ định nghĩa ta có thể thấy đặc trưng hàm hoàn toàn

vắng mặt, điều đó phù hợp với mục tiêu “kiến thức chuẩn

Hình

H

d H A

A'

B

Hình 50

bị” của các tác giả SGK Với cách định nghĩa này, phép đối xứng gắn liền với mối liên hệ giữa 2 hình hoặc 2 phần của 1 hình Cũng chính vì lý do đó, điểm bất biến (điểm nằm trên trục đối xứng) được nêu thành quy ước SGV toán 8 lý giải điều này là “ để HS dễ tiếp thu”

Quy ước: Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với B qua đường thẳng

d cũng là điểm B

Để giới thiệu hai hình đối xứng nhau qua một đường thẳng SGK cho HS một hoạt động

kiểm tra bằng thước kẻ nếu A đối xứng A’, B đối xứng B’ thì C thuộc đoạn AB đối xứng C’

thuộc A’B’ Ta có thể thấy tính chất biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng không được chứng minh mà dùng thước để kiểm nghiệm Từ đó đi đến định nghĩa

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó

Ở đây, các từ “phép biến hình”, “biến … thành …”, “ảnh” không được sử dụng vì HS

chưa được học khái niệm ánh xạ

Tính chất bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ (mà chúng tôi gọi ngắn gọn là tính bảo toàn khoảng cách) qua phép đối xứng cũng được SGK trình bày thông qua một nhận xét: “Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau” SGK còn sử dụng 3 hình vẽ (hình 52, 53, 54 SGK toán 8 tr.85) để minh họa

cho nhận xét trên Tuy nhiên nhận xét này đã không thể hiện được hết tính bảo toàn khoảng cách mà chỉ nêu ra một số trường hợp cụ thể, không mang tính khái quát

Những trình bày trên cho phép chúng tôi nhận xét: ĐXT được giảng dạy trong lớp 8 chỉ

mang tính giới thiệu, làm quen bước đầu Tuy nhiên, các tính chất được giới thiệu đều được thừa nhận mà không chứng minh Lý giải cho điều này tác giả Lê Thị Hoài Châu nhận định:

d

d

Hình 53 Hình 52

C' B'

A'

B'

A

C

“việc chứng minh tính chất đối xứng ở lớp 8 sử dụng phương pháp hình học tổng hợp cần phải xét nhiều trường hợp do đó không phù hợp cho việc tiếp thu của HS”

Cũng không nằm ngoài quan điểm đó, phần hình có trục đối xứng được trình bày

tương tự, mà tam giác cân là một ví dụ của hình có trục đối xứng Trong đó trục đối xứng của hình thang cân được phát biểu thành một định lý mà không chứng minh SGK định nghĩa như sau:

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H

Trong trường hợp này ta nói rằng hình H có trục đối xứng

Chúng tôi nhận thấy ĐXT đã được trình bày chủ yếu dựa trên hình ảnh minh họa,

việc trình bày phép ĐXT gắn chặt với trục đối xứng, hình tam giác cân và hình thang cân Cũng chính vì được trình bày thông qua hình ảnh minh họa nên chúng tôi dự đoán rằng HS chịu ảnh hưởng rất lớn bởi những hình vẽ

 V ề các tổ chức toán học

Phân tích hệ thống ví dụ, bài tập trong Hình học 8, chúng tôi nhận thấy có các KNV sau:

KNV T1: Vẽ hình đối xứng với hình H đã cho qua trục đối xứng

Kĩ thuật 𝝉𝟏: Chọn các điểm đặc biệt A, B, C, trên hình H (thường là các đỉnh, đầu

mút của hình)

- Vẽ các điểm A’, B’, C’,… là các điểm đối xứng với A, B, C,… qua trục đối xứng

- H’ là hình đối xứng của H qua trục đối xứng, với H’ là hình tạo bởi các điểm A’, B’, C’,… sao cho H’ có hình dạng giống H

Công ngh ệ 𝜽𝟏: Định nghĩa hai điểm đối xứng qua một đường thẳng, định nghĩa hai hình

đối xứng qua một đường thẳng, tính chất bảo toàn hình ban đầu

Bài 35 [Hình học 8, tr87]

Vẽ hình đối xứng với hình đã cho qua trục d

Hình 58

Nh ận xét:

Đặc trưng của KNV T1: các hình được cho là các hình quen thuộc:hình vuông, đường

thẳng,…đặc biệt SGK thường cho những hình nằm trong lưới kẻ ô vuông, và các trục đối

xứng là trục nằm ngang hoặc thẳng đứng HS chỉ cần lấy đối xứng các điểm đặc biệt sau đó

nối lại bằng những đoạn thẳng

KNV T2: Tìm trục đối xứng của hình cho trước

Hình được cho là các chữ cái A, B, C,…các hình quen thuộc trong cuộc sống hàng ngày: các biển báo giao thông, hình trái tim,… các hình này rất quen thuộc và HS dễ dàng

dự đoán được trục đối xứng, thông thường các trục này là trục nằm ngang hoặc thẳng đứng

K ỹ thuật 𝝉𝟐: Quan sát hình vẽ, dự đoán trục đối xứng bằng cách tưởng tượng hoặc gấp

giấy theo trục đối xứng khi đó 2 phần của 1 hình sẽ trùng khích lên nhau

Công ngh ệ 𝜽𝟐: Định nghĩa hai điểm đối xứng qua một đường thẳng, định nghĩa hai hình

đối xứng qua một đường thẳng

d

Bài tập 68 [SBT toán 8, tr.87]: Trong các hình nét đậm vẽ trên giấy kẻ ô

xứng?

Nhận xét:

Đặc trưng của KNV T2: Các hình đã cho là những hình quen thuộc, dễ quan sát và nhận thấy trục đối xứng và SGK cũng không đưa ra bất cứ kỹ thuật giải nào, theo chúng tôi nhận

thấy kỹ thuật giải ở đây chủ yếu là quan sát, sau đó có thể kiểm tra, đo đạt bằng thước kẻ

KNV T3: Chứng minh sự bằng nhau của 2 hình

KNV T3 bao gồm: chứng minh hai góc bằng nhau, chứng minh bất đẳng thức hình học, chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, tính số đo của góc,…nhờ các tính chất của đối xứng trục

Kĩ thuật 𝝉𝟑 : Tìm các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau,…nhờ tính bảo toàn

của ĐXT Sau đó suy ra điều cần chứng minh

Công ngh ệ- lý thuyết 𝜽𝟑: Định nghĩa đối xứng trục, tính chất bảo toàn khoảng cách của

ĐXT, các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác

Bài tập 61 [SBT toán 8, tr 87]: Cho tam giác nhọn ABC có 𝐴̂= 60o, trực tâm

H Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC

a) Chứng minh △BHC = △BMC

b) Tính 𝐵𝑀𝐶�

Lời giải mong đợi

a) M đối xứng với H qua BC

⟹ BC là đường trung trực của HM

⟹ BH = BM

Chứng minh tương tự, CH = CM

△BHC = △BMC (c.c.c)

b) Gọi D là giao điểm của BH và AC, E là

giao điểm của CH và AB

KNV T4: Chứng minh hai hình đối xứng nhau qua đường thẳng d

KNV này ở lớp 8 chỉ dừng lại ở cấp độ: chứng minh hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng d

Hình 74

K ỹ thuật 𝝉𝟒: Chứng minh d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm cần chứng

minh

Công ngh ệ - lý thuyết 𝜽𝟒: Định nghĩa hai điểm đối xứng qua một đường thẳng

Bài tập 64 [SBT toán 8, tr 87]: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH

Trên cạnhAB lấy điểm I, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AI = AK Chứng minh rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH

Lời giải mong đợi

Vì △ABC cân tại A, AH là đường cao nên AH là

tia phân giác của góc A

Do △AIK cân tại A, AH là tia phân giác của góc

A nên AH là đường trung trực của IK

Vậy I đối xứng với K qua AH

B ảng 1.1: Số lượng bài tập của các KNV trong SGK và SBT toán 8

Từ những nghiên cứu trên chúng tôi rút ra những kết luận sau:

Nhận xét 1 : Từ cách trình bày của SGK và lời giải thích của SGV chúng tôi thấy rằng

ĐXT trong hình học 8 đóng vai trò là tính chất của một số hình đặc biệt ( các hình thang cân, hình thoi,…là những hình có trục đối xứng) và là kiến thức chuẩn bị cho việc học phép biến hình ở bậc THPT Vì lý do đó nó không được trang bị đầy đủ các tính chất của một

Hình 77

phép dời hình, phép biến hình mà điển hình là tính bảo toàn Bên cạnh đó ĐXT ở bậc THCS

là một phần của hình học tổng hợp, là công cụ để giải quyết một số bài toán hình học tổng hợp

Nh ận xét 2 : Thông qua bảng liệt kê các KNV chúng tôi nhận thấy KNV T2 và T3 được đặc

biệt chú ý, mà chiếm ưu thế là KNV T3 – giải các bài toán hình học tổng hợp nhờ công cụ ĐXT Bên cạnh đó, KNV T2 – tìm trục đối xứng của một hình cũng xuất hiện nhiều, điều

đó phù hợp với mục tiêu của SGK : “Biết nhận ra một số hình có trục đối xứng trong thực

tế Bước đầu biết áp dụng tính chất đối xứng vào vẽ hình, gấp hình”[ SGV toán 8 HK I, tr.117] Vì ĐXT chưa được xây dựng thành phép đồng dạng, phép biến hình, do đó kiến

thức được HS sử dụng chỉ nằm trong 2 phần : định nghĩa ĐXT và tính chất của ĐXT

1.2.1.2 Phép đối xứng truc trong sách giáo khoa hình học 10

Như đã nói ở trên, SGK hình học 10 ( cả ban cơ bản và nâng cao) đều không đề cập đến ĐXT trong lý thuyết nhưng chúng xuất hiện trong bài tập, chúng tôi cũng không tìm

thấy những chú thích trong sách GV liên quan đến phần này Sau đây chúng tôi nêu ra một

số tổ chức toán học liên quan đến phép ĐXT trong hình học 10 cơ bản :

KNV T '1: Tìm điểm đối xứng với một điểm A cho trước qua đường thẳng d

K ỹ thuật 𝝉′𝟏:

• Viết phương trình đường thẳng (d’) đi qua điểm A đã cho và vuông góc trục đối xứng (d)

• Tìm tọa độ giao điểm H của d và d’ Khi đó A’ là điểm đối xứng của A qua d khi và

chỉ khi H là trung điểm AA’

• Áp dụng công thức tính trung điểm suy ra A’(2𝑥𝐻− 𝑥𝐴, 2𝑦𝐻 − 𝑦 ) 𝐴

Công ngh ệ 𝜽′𝟏: Định nghĩa ĐXT, phương trình tổng quát của đường thẳng trong

mp Oxy, h ệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, công thức tính tọa độ trung điểm.

Bài t ập 4 [SGK HH 10CB, tr 93]:

Cho đường thẳng ∆: x – y + 2 = 0

và hai điểm O(0 ; 0), A( 2 ; 0) Tìm

điểm đối xứng của O qua ∆

L ời giải mong đợi

Đường thẳng d đi qua O và vuông

góc với (∆) có phương trình : x + y =

0

d cắt (∆) tại H(-1 ; 1)

Ta có: O’ là điểm đối xứng của O

qua (∆) ⟺ H là trung điểm của

đoạn OO’⟺O’(-2 ; 2)

Nh ận xét:

KNV T’1 thực chất chính là một biến thể của KNV T1 Tuy nhiên, khác với chương trình THCS, ở lớp 10 HS phải tự ngầm hiểu là tìm điểm đối xứng chính là tìm tọa độ điểm đối xứng Chúng tôi tự hỏi rằng việc ngầm hiểu này liệu có gây khó khăn nào cho HS hay không? Thông qua kỹ thuật giải của SGK chúng tôi không thấy tồn tại kỹ thuật tìm điểm đối

xứng bằng cách biểu diễn đường thẳng d và điểm A rồi vẽ A’ đối xứng A qua d Có thể nói ĐXT trong KNV này ở lớp 10 không còn phụ thuộc vào hình vẽ như ở lớp 8, HS hoàn toàn

có thể giải quyết dựa vào định nghĩa của ĐXT từ đó vận dụng kiến thức của hình học tọa độ trong mặt phẳng để tìm ra đáp án bài toán

KNV T’3: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho đường gấp khúc AMB ngắn nhất

với A, B là 2 điểm cho trước

K ỹ thuật 𝝉′𝟑:

• Xác định A, B nằm cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng d:

Tính d(A), d(B) (thay tọa độ A, B vào vế trái của phương trình đường thẳng d)

• Nếu d(A) và d(B) trái dấu thì A, B nằm khác phía đối với đường thẳng d

Suy ra AMB ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng AB và d ( A, M, B thẳng hàng)

• Nếu d(A) và d(B) cùng dấu thì A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng d

Hình 3.14

Khi đó AMB ngắn nhất khi A’, M, B thẳng hàng với A’ là điểm đối xứng của A qua d

Công ngh ệ 𝜽′𝟑: Định nghĩa ĐXT, tính chất ĐXT, phương trình của đường thẳng trong mp Oxy, h ệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, công thức tính tọa độ trung điểm.

Ví d ụ 2 [SBT hình học 10 CB, tr 129]

Cho đường thẳng (∆): x – y + 2 = 0 và 2 điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0)

a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm về cùng phía đối với đường thẳng (∆)

b) Tìm điểm O’ đối xứng với O qua (∆)

c) Tìm điểm M nằm trên (∆)sao cho độ dài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất

L ời giải mong đợi

a) Ta có ∆(𝐴)=2 – 0 +2 = 4 > 0

∆(O) = 0 – 0 + 2 = 2 > 0

Vậy A và O nằm về cùng 1 phía đối với đường thẳng (∆)

b) Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với ∆ tại H Phương trình tham

𝑦 =43

Vậy điểm M(−23; 43) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nh ận xét:

KNV này cũng đã xuất hiện ở lớp 8, nay xuất hiện lại ở hình học 10 Tuy nhiên sự thay đổi lớn nhất là ngoài việc chỉ ra vị trí điểm M thì trong hình học lớp 10 ta phải tìm tọa độ điểm M, mặc dù đề bài không đề cập đến nhưng cũng giống như KNV T5, HS phải ngầm

hiểu đề bài yêu cầu tìm tọa độ mà không phải đơn thuần chỉ ra vị trí điểm M Sự khác biệt

τ′3 đã nêu HS

tiếp theo là HS có thể không cần đến hình vẽ để tìm điểm M vì với kỹ thuật

hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán mà không cần vẽ hình

B ảng 1.2: số lượng bài tập trong hình học 10

Sơ đồ 1.3

Từ đó SGK định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai

điểm bất kì

Sau đó SGK rút ra 2 nhận xét:

1 Các phép đồng nhất, tịnh tiến, ĐXT, đối xứng tâm, phép quay đề là phép dời hình

2 Phép bi ến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép d ời hình

Như vậy, trong nhận xét 1 thì có xuất hiện thêm 2 phép dời hình cụ thể là phép ĐXT và phép đối xứng tâm, tuy nhiên 2 phép biến hình này chưa được học trước đó mà HS chỉ biết

về khái niệm ĐXT, đối xứng tâm ở hình học 8 Điều này có thể gây nhầm lẫn trong nhận

thức của HS khi đồng nhất 2 khái niệm ĐXT và phép ĐXT Khi đó, HS có thể đặt ra câu

hỏi: “Phép ĐXT là gì? Có phải là ĐXT đã học ở lớp 8 hay không?”

Nhận xét 2 là một cách nói khác của: “ Tích các phép dời hình cũng là một phép dời hình” Vì đây là nhận xét nên không được chứng minh, SGK không sử dụng thuật ngữ “tích các phép dời hình” là do HS chưa được học ánh xạ

Sau đó SGK đưa ra một số ví dụ và hình ảnh minh họa trong đó phần lớn có sự xuất hiện

của phép ĐXT

Điều đặc biệt trong các ví dụ này là SGK không đưa ra 1 phép dời hình nào ngoài các phép tịnh tiến, phép ĐXT, phép đối xứng tâm, phép quay Thêm vào đó tất cả các ví dụ đều được cho dưới dạng tích của 2 phép dời hình Điều này có thể làm cho HS có ấn tượng rằng phép dời hình là phép sử dụng liên tiếp 2 phép biến hình khác

PHÉP DỜI HÌNH

Tiếp theo SGK đưa ra các tính chất của phép dời hình:

1) Bi ến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm

2) Bi ến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn

th ẳng bằng nó

3) Bi ến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó

4) Bi ến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Cuối cùng SGK định nghĩa khái niệm hai hình bằng nhau:

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép biến hình biến hình này thành hình kia

K ết luận: SGK nhận xét phép ĐXT là một phép dời hình và hiển nhiên nó có đầy đủ tính

chất của 1 phép dời hình, tuy nhiên thế nào là phép ĐXT thì SGK không có lời giải thích, cũng như không cung cấp thêm điều gì về khái niệm này Bên cạnh đó các ví dụ có sử dụng phép ĐXT mà SGK đã nêu đều là hình vẽ, mà thông qua đó thì phép ĐXT không có gì khác ĐXT trong hình học 8 Từ đó HS không thể phân biệt được sự khác nhau giữa 2 khái niệm này và đồng nhất chúng thành một Vậy khi đó GV sẽ làm như thế nào để giúp HS tránh được sai lầm trên? GV có dành thời gian để nói về phép ĐXT hay là bám theo chương trình, lướt qua khái niệm này?

 V ề các tổ chức toán học

KNV T5 : Xác định ảnh của một hình H qua một phép dời hình

Đặc trưng của KNV này là SGK không xây dựng các phép dời hình mới mà sử dụng tính

chất 2 đã nêu trên để xây dựng nên KNV này, nói cách khác SGK luôn yêu cầu HS tìm ảnh

của 1 hình qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình cơ bản đã học

Ví dụ: thực hiện liên tiếp phép quay và phép ĐXT, phép tịnh tiến và phép quay,…như vậy KNV tìm ảnh của một hình qua phép ĐXT là một KNV con của T5

K ỹ thuật 𝝉𝟓: Gọi F là phép dời hình cần tìm Tìm H’ là ảnh của H qua phép dời hình

thứ nhất, sau đó tìm H” là ảnh của H’ qua phép dời hình thứ 2 H” vừa tìm được là ảnh cần tìm của H thỏa yêu cầu bài toán

Công ngh ệ 𝜽𝟓: định nghĩa và tính chất, biểu thức tọa độ của các phép dời hình cơ bản,

tích hai phép dời hình là một phép dời hình, công thức tính vecto, điều kiện 2 vecto bằng nhau

Bài 1.19 [SBT HH trang 28]

Trong mặt phẳng Oxy, cho 𝑣⃗(2; 0) và điểm M(1;1)

Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép dời hình có được bằng cách thực

hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ 𝑣⃗

L ời giải mong đợi

Gọi F là phép dời hình cần tìm Gọi M” là ảnh của M qua phép ĐXT Oy, M’

là ảnh của M” qua phép tịnh tiến theo 𝑣⃗ Khi đó F(M) = M’

Vì M” đối xứng với M qua Oy nên M”( - 1; 1)

Vì M’ là ảnh của M” qua phép tịnh tiến 𝑣⃗ nên ta có:

có thì sẽ giải quyết như thế nào? HS sẽ cố gắng tìm lại những kỹ thuật đã được học trong hình học 10, kết hợp với những công nghệ được học trong bài phép dời hình để tìm ra kỹ thuật mới? Hay GV sẽ cung cấp cho HS kỹ thuật giải như thế nào? Và một trong những

hướng giải quyết của GV có thể làm là tránh đi những bài toán có sử dụng phép ĐXT

KNV T6: Gi ải bài toán về mối liên hệ giữa một số phép dời hình quen biết

Đặc trưng của KNV này là chứng minh các phép dời hình khác là tích hữu hạn của phép ĐXT

K ỹ thuật 𝝉𝟔: Chọn những trục đối xứng sao cho việc sử dụng biểu thức vectơ qua tích

các phép đối xứng chính là biểu thức vectơ của phép biến hình cần tìm

Công ngh ệ 𝜽𝟔 : Định nghĩa, tính chất, biểu thức vecto của các phép dời hình, tổng các

vecto

Ví d ụ [SBT HH 11 tr.27]: Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ 𝑣⃗ ≠ 0�⃗ là

kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai trục song song với nhau

L ời giải mong đợi

Hình 1.20

Lấy đường thẳng d nhận 𝑣⃗ làm

vectơ pháp tuyến Gọi d’ là ảnh của d

qua phép tịnh tiến theo vectơ 12𝑣⃗

Lấy điểm M tùy ý Gọi M1=

Có thể nói KNV T6 là KNV hoàn toàn phụ thuộc vào phép ĐXT Để tìm được lời giải

buộc HS phải nắm vững các phép dời hình cơ bản mà quan trọng nhất là phép ĐXT, trong

đó biểu thức véctơ của phép ĐXT đóng vai trò trọng tâm Nhưng với vốn kiến thức của HS

về phép ĐXT tính đến thời điểm hiện tại khó có thể cho phép HS giải quyết được KNV này Khi đó GV sẽ làm như thế nào để giúp HS vượt qua được được khó khăn này?

KNV T7: Ch ứng minh hai hình bằng nhau

K ỹ thuật 𝝉𝟕 : Tìm phép dời hình thích hợp sao cho hình này là ảnh của hình kia qua

phép dời hình đã chọn

Công ngh ệ 𝜽𝟕 : Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này

thành hình kia Định nghĩa, tính chất của các phép dời hình cơ bản

Ví d ụ [SBT HH 11 tr.27]: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm đối xứng

của nó; E, F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA,

AH, OG Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau

L ời giải mong đợi

có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên sẽ biến hình thang AIOE thành hình thang GJFC Do đó hai hình thang ấy bằng nhau

Nh ận xét:

KNV T7 là KNV thể hiện “một trong những mục đích chính của việc nghiên cứu phép

dời hình…”[SGV 11 cơ bản, tr.38] KNV chứng minh hai hình bằng nhau đặc trưng cho hình học bậc THCS nhưng đến chương trình THPT, cụ thể là hình học lớp 11 HS đã có thêm một cách mới để chứng minh hai hình bằng nhau Mà theo PGS.TS Lê Thị Hoài Châu thì: “ Có nhiều bài toán nếu giải bằng phương pháp tổng hợp thì rất khó khăn, nhưng ta có

thể tìm ra lời giải bằng phép biến hình khéo chọn" Tuy nhiên những gì SGK trình bày về các phép biến hình trong HH 11 có giúp HS đạt được mục tiêu của chương trình hay không? Khi đối mặt với những bài tập có sử dụng phép ĐXT thì HS sẽ chọn kỹ thuật biến hình hay

chọn những kỹ thuật của hình học tổng hợp vốn đã rất quen thuộc trong HH cấp THCS

B ảng 1.4: Số lượng bài tập trong bài phép dời hình

Qua bảng thống kê ta thấy KNV T5 – Tìm ảnh qua phép dời hình và KNV T7 – Chứng

minh 2 hình b ằng nhau chiếm ưu thế Mặt khác, bảng thống kê còn cho thấy hệ thống bài

tập trong bài phép dời hình sử dụng rất nhiều đến phép ĐXT Tóm lại phép ĐXT không tham gia nhiều trong quá trình xây dựng khái niệm phép dời hình nhưng lại đóng vai trò quan trọng trong hệ thống ví dụ, bài tập trong cả SGK và SBT

 Phép đồng dạng

 V ề định nghĩa, tính chất

SGK mở đầu bài phép đồng dạng bằng một câu nói nổi tiếng của Pythagone “Đừng

tưởng bóng của mình trên tường rất to mà tưởng rằng mình vĩ đại” Câu nói đó gợi ra hình

tượng các hình giống nhau nhưng kích thước khác nhau, từ đó dẫn đến định nghĩa phép đồng dạng:

“Phép bi ến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N

b ất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN.”

Cũng như phép dời hình, các ví dụ SGK nêu ra về phép đồng dạng đều có dạng tích

của 2 phép biến hình, trong đó 1 phép biến hình là phép vị tự, phép còn lại là 1 trong 4 phép

dời hình đã học Đây cũng là đặc trưng khi cho bài tập về phép đồng dạng Có thể thấy với cách xây dựng này thì phép vị tự là “gần gủi” hơn cả với phép đồng dạng so với các phép

biến hình khác Dường như đây là một đại diện cho phép đồng dạng

Các tính chất của phép đồng dạng được nêu ra sau đó nhưng cũng như phép dời hình, chúng được công nhận mà không chứng minh

Để hình thành khái niệm hai hình đồng dạng SGK đã sử dụng một ví dụ rất quen thuộc với HS, đó là ví dụ về 2 tam giác đồng dạng Từ đó tổng quát thành định nghĩa hai hình đồng dạng:

“Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.”

SGK đưa ra một số ví dụ và hoat động Trong đó phép ĐXT xuất hiện trong những bài chứng minh hai hình đồng dạng

Nói tóm l ại, phép ĐXT không góp phần xây dựng khái niệm phép đồng dạng, SGK đã

chỉ ra một cách ngầm ẩn phép đối xứng là một phép đồng dạng, phần lớn nó được xuất hiện dưới những ví dụ minh họa về phép đồng dạng

 Các t ổ chức toán học

KNV T8 : Xác định ảnh của một hình qua một phép đồng dạng

Đặc trưng của KNV này trong SGK là tìm ảnh của các hình qua tích của phép vị tự và 1 trong 4 phép dời hình đã học, trong đó có phép ĐXT

K ỹ thuật 𝝉8: Gọi F là phép đồng dạng cần tìm Tìm H’ là ảnh của H qua phép đồng

dạng thứ nhất, sau đó tìm H” là ảnh của H’ qua phép đồng hại thứ 2 H” vừa tìm được là ảnh

cần tìm của H thỏa yêu cầu bài toán

Công ngh ệ 𝜽8: Định nghĩa, tính chất các phép biến hình, tích hai phép đồng dạng là một

phép đồng dạng, phương trình đường thẳng trong mpOxy, điều kiển điểm thuộc đường

thẳng

Ví dụ [SBT HH 11, tr 34]: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x + y -2 = 0 Viết

phương trình d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép v ị tự tâm I(-1;-1), tỉ số k = 12 và phép quay tâm O góc -45 0

L ời giải mong đợi

Gọi d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1;-1) tỉ số k = 12 Vì d1 song song hoặc trùng

với d nên phương trình của nó có dạng: x + y + C = 0

Lấy M(1;1) thuộc d, thì ảnh của nó qua phép vị tự nói trên là O thuộc d1

Công ngh ệ 𝜽9: Định nghĩa, tính chất các phép biến hình, tính chất các hình thường gặp:

tam giác, hình chữ nhật, hình vuông,

Ví dụ [SBT HH 11, tr.35]: Cho hai hình chữ nhật có tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài

b ằng 12 Ch ứng minh rằng luôn có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia

L ời giải mong đợi

Giả sử ta có hai hình chữ nhật ABCD, A’B’C’D’ và 𝐵𝐵𝐴𝐵 =𝐵𝐴′′𝐵𝐵′′ =12

Phép tịnh tiến 𝑇𝐴𝐴′ biến hình chữ nhật ABCD thành A’B1C1D1

Phép quay 𝑄(𝐴′ ,𝛼) với 𝛼 = (𝐴′𝐵1, 𝐴′𝐵′) biến hình chữ nhật A’B1C1D1 thành hình chữ

KNV T10 bao gồm nhiều dạng khác nhau: chứng minh hai hình đồng dạng, giải bài toán

dựng hình, bài toán quỹ tích,…

K ỹ thuật 𝝉10: Tìm mối liên hệ giữa tính chất các hình trong bài toán và các phép biến

hình đã học

Công ngh ệ 𝜽10: Định nghĩa, tính chất các phép biến hình, tính chất của tam giác, hình

vuông, hình chữ nhật,

Ví d ụ [ SBT HH 11, tr.36]: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm C Tìm trên a

và b các điểm A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A

L ời giải mong đợi

Ta thấy góc lượng giác (CA ; CB) = - 450

và 𝐵𝐵

𝐵𝐴 = √2 Do đó có thể xem B là ảnh của A qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm C, góc – 450

và phép vị tự tâm C, tỉ số √2

Vì 𝐴 ∈ 𝑎 nên 𝐵 ∈ 𝑎" = 𝐹(𝑎), B lại thuộc b Do đó B là giao điểm của a” với b

Nh ận xét: Đây là KNV đòi hỏi HS vận dụng phép biến hình ở cấp độ cao hơn Cũng

giống như phép dời hình, đây cũng là một trong những mục đích chính của việc dạy học phép đồng dạng

Nh ận xét 4:

Thông qua việc phân tích SGK các lớp 8, 10, 11 chúng tôi rút ra được một số nhận xét sau:

- HS chỉ được học phép ĐXT ở cấp độ 1(ĐXT trong hình học 8) nhưng chương

trình yêu cầu HS phải biết vận dụng phép ĐXT ở cấp độ 2 và 3 trong chương trình hình học 11 Điều này khá bất hợp lý khi HS không được cung cấp thêm

những yếu tố công nghệ - lý thuyết về phép ĐXT ở cấp độ 2 và 3

- Cách trình bày của SGK có thể gây nhầm lẫn trong nhận thức HS về 2 cấp độ 1

và 2 của phép ĐXT, cụ thể là HS quan niệm rằng 2 khái niệm này là một

- Vẫn tồn tại trong chương trình những KNV phải sử dụng phép ĐXT trong phép

dời hình, phép đồng dạng và việc giải quyết chúng trở nên khó khăn thậm chí không thể giải được nếu không sử dụng phép ĐXT Tuy nhiên, như đã nói những

gì HS được học về phép ĐXT chỉ dừng lại ở cấp độ 1 thì việc đòi hỏi HS giải quyết các KNV đó có đã gây ra những khó khăn cho HS và GV Đứng trước khó khăn đó, HS và GV đã làm như thế nào để giải quyết tình trạng trên?

Nguyên nhân của những khó khăn trên bắt nguồn từ đâu? Chúng vốn đã tồn tại từ trước hay chỉ mới xuất hiện khi loại bỏ phép ĐXT ra khỏi chương trình hình học 11? Xuất phát từ

những câu hỏi đó chúng tôi đi phân tích phép ĐXT trong hình học 11 trước khi bị loại khỏi chương trình Từ đó chúng tôi đối chiếu, so sánh khi phép đối xứng còn tồn tại trong chương trình thì HS được cung cấp thêm những kiến thức nào, những tổ chức toán học nào

đã được đưa vào, sự biến mất của những tổ chức toán học đó có ảnh hưởng đến quá trình

dạy – học phép dời hình, phép đồng dạng hay không? Nếu có thì mức độ ảnh hưởng như thế nào? Sau đây là nội dung phân tích:

1.2.2 Phép đối xứng trục trong hình học 11 giai đoạn 2006 – 2010

Trước khi loại khỏi chương trình, phép ĐXT được đưa vào chương I – phép biến hình

với trình tự sau: Phép tịnh tiến, phép ĐXT, phép đối xứng tâm, phép quay, phép dời hình, phép vị tự, phép đồng dạng Như vậy phép ĐXT được giới thiệu trước bài phép dời hình và phép đồng dạng Mục đích của SGK là trình bày các phép biến hình theo hình thức quy nạp, sau khi đã trình bày các phép biến hình cụ thể sẽ trình bày các phép dời hình, đồng dạng dưới dạng tổng quát

- Xuất hiện biểu thức tọa độ ( qua trục Ox và trục Oy)

Đầu tiên SGK đưa ra một vài hình ảnh trong thực tế có trục đối xứng: mặt bàn cờ tướng, con bướm, một số ngôi nhà,…để HS có thể hình dung được nội dung của bài học Từ đó sách giao khoa nêu định nghĩa:

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép ĐXT d.(H 1.10)

Từ định nghĩa ta có thể thấy ngay được sự

thay đổi thuật ngữ so với lớp 8, SGK đã sử

dụng đến những thuật ngữ của phép biến

Trục đối xứng của một hình

Hình 1.11

đã nói rõ phép ĐXT là một phép biến hình Tuy nhiên định nghĩa này chỉ là định nghĩa phép ĐXT của một điểm qua một đường thẳng Sau đó SGK mới mở rộng lên thành hai hình đối

xứng qua một đường thẳng :

N ếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép ĐXT d thì

ta còn nói H đối xứng H’ qua d hay H và H’ đối xứng

v ới nhau qua d

Tiếp theo SGK đưa ra biểu thức vectơ của phép ĐXT

thông qua nhận xét:

1) Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M, gọi M 0

là hình chi ếu vuông góc của M trên đường thẳng d Khi đó:

𝑀′ = Đ𝑑(𝑀) ⇔ 𝑀�����������⃗ = −𝑀0𝑀′ ���������⃗ 0𝑀2) 𝑀′ = Đ𝑑(𝑀) ⇔ 𝑀 = Đ𝑑(𝑀′)

Theo sách GV: “nhận xét 1 có thể xem như là một cách định nghĩa khác (thông qua biểu

thức vectơ) của phép ĐXT” Như vậy ngoài định nghĩa đã nêu, HS có thể hiểu phép ĐXT theo một cách khác, công cụ vectơ cũng là một công cụ rất mạnh để nghiên cứu phép ĐXT

Đó cũng là một công cụ mới để HS có thể giải quyết những bài toán liên quan đến phép ĐXT.Như đã nói ở trên, lớp 11 HS còn được cung cấp thêm biểu thức tọa độ qua trục Ox và

trục Oy:

Ch ọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với

đường thẳng d với mỗi điểm M(x ; y), gọi M’ =

Ch ọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d với mỗi điểm M(x ; y), gọi M’ = Đ d (M) = (x’ ; y’) thì :

�𝑥𝑦′′= −𝑥= 𝑦

Nhờ 2 biểu thức tọa độ này mà các bài toán

đối xứng qua trục Ox và trục Oy được giải

quyết nhanh chóng mà không cần thông qua

định nghĩa

Tiếp đến SGK nêu ra hai tính chất của phép ĐXT:

Tính ch ất 1: Phép ĐXT bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính ch ất 2: Phép ĐXT biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành

đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Để HS thấy được các tính chất này SGV đưa ra gợi ý: “GV nên mô tả những tính chất đó

bằng hình vẽ”

Hình 1.15

Tuy nhiên SGK cũng có đưa ra một hoạt động giúp HS chứng minh tính chất 1 bằng cách sử dụng biểu thức tọa độ

Những tính chất trên ở lớp 8 được phát biểu một cách khác, phù hợp với lớp 8, lên lớp

11 những tính chất này đã phát biểu tổng quát hơn

Hình 1.13

Hình 1.14

Cuối cùng SGK đưa ra định nghĩa trục đối xứng của một hình:

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó

Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng

SGK chỉ đưa ra một số hình ảnh minh họa hình có trục đối xứng và hình không có trục đối xứng SGV nói rằng: “Các hình có trục đối xứng là những hình thường gặp trong đời

 Đối với điểm: Xác định tọa độ ảnh bằng biểu thức tọa độ ( nếu trục đối xứng là trục

Ox hoặc Oy) Ngoài ra ta cũng có thể sử dụng kỹ thuật của τ′1