phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua mô hình hóa toán học và giải quyết tình huống gợi vấn đề

Học sinh chưa thực sự thấy được nhu cầu chuyển đổi hệ thống biểu đạt” Theo Nguyễn Thị Hồng Duyên-2012 Dạy học hàm số là giúp học sinh thấy được vai trò của nó trong thực tế và tập cho họ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Quốc

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THÔNG QUA MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC VÀ GIẢI QUYẾT

TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chi Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Quốc

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THÔNG QUA MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC VÀ GIẢI QUYẾT

TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những

trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực

Nguyễn Thành Quốc

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Nga, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,

TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu

Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến vợ và những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học

Nguyễn Thành Quốc

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

MỤC LỤC 3

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 5

MỞ ĐẦU 6

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 6

2 Câu hỏi nghiên cứu 8

3 Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu 8

4 Tổ chức của luận văn 9

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 10

1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số 10

1.2 Tư duy hàm 13

1.3 Quá trình mô hình hóa toán học 15

1 4 Dạy học đặt và giải quyết vấn đề 17

1.4.1 Những khái niệm cơ bản 17

1.4.2 Dạy học đặt và giải quyết vấn đề 18

1.5 Phát triển tư duy hàm cho học sinh nhờ vào mô hình hóa và giải quyết các tình huống gợi vấn đề 19

CHƯƠNG 2: TƯ DUY HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 20

2.1 Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng tiền toán học (tiểu học đến đầu năm lớp 7) 20

2.2 Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng toán học (từ lớp 7 trở đi) 23

2.2.1 Lớp 7 23

2.2.2 Lớp 9 27

2.2.3 Lớp 10 30

2.3 Kết luận 34

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM 36

3.1 Mục đích thực nghiệm 36

3.2 Thực nghiệm : Tiểu đồ án didactic 37

3.2.1 Nội dung thực nghiệm 37

3.2.3 Đối tượng thực nghiệm 39

3.2.4 Phân tích tiên nghiệm 39

3.2.5 Phân tích hậu nghiệm 45

3.3 Kết luận 57

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

PHỤ LỤC 62

MỞ ĐẦU

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

 Ghi nh ận 1

Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của Toán học, “biểu diễn sự phụ thuộc

c ủa những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên khác” Trong SGK

Toán Việt Nam, khái niệm hàm số được xây dựng từng bước qua nhiều cấp lớp Khái niệm hàm số được định nghĩa đầu tiên ở lớp 7 Sau đó được định nghĩa một cách đầy đủ ở lớp 10

Cụ thể:

Cho một tập hợp khác rỗng D⊂R

Hàm s ố 𝑓 xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số 𝑥 thuộc D với một

và ch ỉ một số, kí hiệu là ; s ố đó gọi là giá trị của hàm số 𝑓 t ại

T ập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), gọi là biến số hay đối số của hàm

s ố 𝑓 (Trích SGK Đại số 10 nâng cao)

Sau khi đưa ra định nghĩa, SGK còn lưu ý “ Trong ký hiệu hàm số , ta còn

gọi x là biến số độc lập, y là biến số phụ thuộc của hàm số f Biến số độc lập và biến số phụ thuộc của một hàm số có thể được kí hiệu bởi hai chữ cái tùy ý khác nhau.”

Định nghĩa này làm nổi bật đặc trưng tương ứng của hàm số Tuy nhiên, các thuật

ngữ “quy tắc”, “tương ứng”, “biến số”, “ biến số độc lập”, “ biến số phụ thuộc” được coi

là những khái niệm không được định nghĩa Phải chăng việc chính xác hóa các khái niệm này là phức tạp và không cần thiết đối với học sinh? Điều này có ảnh hưởng như thế nào trên việc học tập của học sinh?

Sự ảnh hưởng của định nghĩa khái niệm hàm số này đã được thể hiện trong các luận văn khoá trước Cụ thể:

 “Đối với học sinh, hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích Vì vậy, họ gặp nhiều khó khăn khi đối diện với các tình huống trong đó hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị”( Theo Nguyễn Thị Nga- 2003)

 “Mối quan hệ cá nhân giữa học sinh và khái niệm hàm số dựa trên cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tích xuất hiện các quy tắc hợp đồng: R 1 : y kí hiệu dùng để chỉ biến phụ thuộc, x kí hiệu dùng để chỉ biến độc lập.”( Theo Đỗ Thị Thuý Vân-2010)

 “ Hai hệ thống biểu đạt hàm số được đề cập chủ yếu là biểu thức giải tích và đồ thị

Tuy nhiên, biểu thức giải tích vẫn chiếm ưu thế, vai trò công cụ của đồ thị khá mờ nhạt Học sinh chưa thực sự thấy được nhu cầu chuyển đổi hệ thống biểu đạt” (Theo Nguyễn Thị Hồng Duyên-2012)

Dạy học hàm số là giúp học sinh thấy được vai trò của nó trong thực tế và tập cho họ khả năng sử dụng nó vào giải quyết các vấn đề của thực tế Để làm được điều này, phải giúp học sinh nhận thấy rằng: hàm số không chỉ xuất hiện trong toán học mà còn được sử dụng như công cụ để giải quyết các vấn đề của thực tiễn và của nhiều lĩnh vực khác như vật lí, kinh tế, trắc địa, tin học, …Trong các giáo trình, sách giáo khoa toán, hàm số thường xuất

hiện trước hết với tư cách là đối tượng nghiên cứu, sau đó với tư cách là một công cụ để giải quyết nhiều bài toán thuộc những nội dung toán học khác như phương trình, bất phương trình…Trong chương hàm số bậc nhất và bậc hai, SGK Đại số 10 nâng cao cũng cố gắng thực hiện mục tiêu này Tuy nhiên, chúng tôi thống kê được trong chương này chỉ có 4 bài toán có tính thực tế (bài 25 tr54, bài 37,38 tr61, bài 46 tr64) Trong các bài toán nói trên, các

“ biến số độc lập”, “ biến số phụ thuộc” và mối liên hệ giữa chúng đã được đề cập tường

minh trong đề toán

Như vậy, câu hỏi đặt ra: khi gặp một bài toán thực tế, học sinh có quan tâm đến mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lượng trong sự vận động của chúng hay không? Học sinh có xác định được đại lượng biến thiên nào là biểu diễn sự phụ thuộc cho đại lượng biến thiên khác? Nói cách khác, học sinh có thể nhìn bài toán theo quan điểm hàm và sử dụng các kiến thức về hàm số để giải quyết các vấn đề thực tế hay không?

số và biến hình làm tư tưởng quan trọng nhất Kiến nghi của Hội nghị Quốc tế về giáo dục

họp tại Giơnevơ (tháng 7 năm 1956) gửi các vị Bộ trưởng Giáo dục các nước nêu rõ: Nên xây dựng chương trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở hàm số…

Ở Việt Nam, chương trình Toán trong cải cách giáo dục và các chương trình đổi mới

dạy học bộ môn Toán”, GS Nguyễn Bá Kim cho rằng “Đảm bảo khái niệm trung tâm của hàm số” là một trong ”những tư tưởng cơ bản” của chương trình môn Toán bậc THPT Khi phân tích tư tưởng này tác giả đã nhấn mạnh:

• Nghiên c ứu hàm số được coi là nhiệm vụ xuyên suốt trong chương trình bậc Phổ thông Trung học

• Ph ần lớn chương trình Đại số và Giải tính dành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số

• C ấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số đối số tự nhiên

• Lượng giác chủ yếu nghiên cứu hàm số lượng giác còn công thức lượng giác được giảm nhẹ

• Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số

Gắn bó chặt chẽ với khái niệm hàm là tư duy hàm Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều

kiện để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán Việc dạy học các

kiến thức môn Toán được trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát triển tư duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng

dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển tư duy hàm Như vậy, có

những hoạt động nào đặc trưng cho tư duy hàm được đề cập trong chương trình và SGK phổ thông?

2 Câu hỏi nghiên cứu

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đưa một số câu hỏi để định hướng cho nghiên cứu như sau:

Q1: Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông, việc phát triển tư duy hàm có được chú trọng hay không? Hoạt động đặc trưng nào của tư duy hàm được nhấn mạnh? Có những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên các kiểu nhiệm vụ gắn với các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm? Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa có được thể chế quan tâm khi đưa vào các hoạt động phát triển tư duy hàm cho học sinh hay không?

Q2: Liệu có thể tổ chức dạy học nhắm đến việc phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT thông qua mô hình hóa và và giải quyết các tình huống gợi vấn đề trong đó có tính đến các điều kiện và ràng buộc của thể chế?

3 Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu thể chế

Trên cơ sở nghiên cứu các hoạt động đặc trưng của tư duy hàm, chúng tôi sử dụng

các khái niệm tổ chức toán học, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân để phân tích chương trình toán trung học phổ thông để trả lời các câu hỏi Q1

3.2 Tiểu đồ án dạy học

Dựa trên kết quả nghiên cứu thể chế cho phép chúng tôi dự đoán những khó khăn của học sinh khi đối diện với một tình huống thực tế Từ đó, dựa vào khái niệm đồ án dạy học trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý thuyết mô hình hóa chúng tôi sẽ xây dựng các tình huống dạy học nhằm phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua mô hình hóa và giải quyết tình huống gợi vấn đề Các tình huống này được xây dựng theo các ràng buộc thể chế

4 T ổ chức của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận

1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số

1.2 Tư duy hàm

1.3 Quá trình mô hình hóa toán học

1.4 Dạy học đặt và giải quyết vấn đề

Chương 2: Vấn đề phát triển tư duy hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông

2.1 Giai đoạn khái niệm hàm số chưa xuất hiện (tiểu học đến đầu năm lớp 7)

2.2 Giai đoạn khái niệm hàm số đã được định nghĩa tường minh (từ lớp7 trở đi)

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số

Chúng tôi sẽ tổng hợp lại các nghiên cứu khoa học luận khái niệm hàm số trong khóa luận

của Nguyễn Thị Nga (2003) Có thể tóm tắt một số điểm chính của luận văn như sau:

 Ba đặc trưng cơ bản của hàm số là: tương ứng, phụ thuộc và biến thiên

 Biểu diễn hàm số: Trong lịch sử toán học, người ta sử dụng các phương tiện khác nhau như bảng số, hình hình học, biểu thức giải tích và đồ thị

Trong từng thời kỳ khác nhau của lịch sử toán học, khái niệm hàm số cùng ba đặc trưng và các cách biểu diễn xuất hiện một cách ngầm ẩn hay tường minh Cụ thể, theo tài liệu của Nguyễn Thị Nga (2003) chúng tôi có bảng tóm tắt như sau:

GIAI

ĐOẠN

CƠ CHẾ CỦA KHÁI NIỆM

ĐẶC TRƯNG CỦA KHÁI NIỆM

PHƯƠNG TIỆN BIỂU DIỄN

Cổ đại

+ chưa có tên + chưa có định nghĩa + công cụ ngầm ẩn

• Phụ thuộc (ngầm ẩn)

• Biến thiên (ngầm ẩn – nhưng bước đầu được quan tâm nghiên cứu)

• Phụ thuộc và biến thiên được đề cập rõ ràng hơn trong vài nghiên cứu

• Tương ứng (ngầm ẩn)

• Bảng số

• Đường cong hình học

Thế kỉ

18

+ có tên + có định nghĩa (hàm

số được đồng nhất với một biểu thức giải tích)

+ công cụ tường minh + đối tượng nghiên cứu

• Phụ thuộc (được đề cập tường minh trong vài nghiên cứu)

• Biến thiên (tường minh)

+ công cụ tường minh + đối tượng nghiên cứu

• Phụ thuộc (được đề cập tường minh trong vài nghiên cứu)

• Biến thiên (tường minh)

• Tương ứng (tường minh)

hệ giữa các phần tử của hai tập hợp) + công cụ tường minh + đối tượng nghiên cứu

cách biểu diễn hình hình học rất ít xuất hiện Hai cách biểu diễn đồ thị và biểu thức giải tích

vẫn luôn được ưu tiên Như vậy, trong từng cách biểu diễn thì đặc trưng hàm số được thể

hiện như thế nào?

Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả nghiên cứu của Nguyễn

Th ị Hồng Duyên (2012) Chúng tôi có bảng tóm tắt như sau:

Các h ệ thống biểu đạt Ưu điểm Nhược điểm

Đại số (biểu thức giải

tích hay công thức)

+ Cô đọng và chính xác

mối tương quan hàm + Làm nổi bật đặc trưng tương ứng của khái niệm hàm số

+ Dễ tính toán, biến đổi + Có thể dùng các công cụ

giải tích để nghiên cứu tính liên tục, sự biến thiên,

+ Tìm được giá trị (đúng hay gần đúng) của hàm số

tại 1 điểm

+ Không phải hàm số nào cũng có thể mô tả chính xác bằng đồ thị

+ Cơ sở cho việc đọc được tính chất của đồ thị là

+Công cụ tiện lợi để ghi

kết quả nghiên cứu thực nghiệm

+ Tập xác định của hàm

số phải hữu hạn + Xác định giá trị của hàm

tại một giá trị ngoài bảng cũng như muốn biết quy

luật phát triển của chúng thì cần phải thực hiện sự

Về tính ưu việt của hệ thống biểu đạt bằng lời, tác giả Trần Lương Công Khanh nói rõ:

“Rõ ràng trong hai ví dụ trên, cách biểu đạt bằng lời là cách biểu đạt tối ưu vì hiện nay toán học chưa

tìm được cách biểu đạt nào khác đối với f và g Giả sử sẽ tìm được biểu thức giải tích của f và g trong

tương lai, cách biểu đạt bằng lời vẫn là cách biểu đạt gọn nhất Điều này cũng cho thấy tồn tại những

hàm số mà ta không thể thực hiện sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt.” (Theo Nguyễn Thị Hồng Duyên

- 2012)

Từ những nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy rằng: khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày càng mở rộng chính xác hóa và hoàn thiện do nhu cầu của thực tiễn Cho nên,

việc dạy học khái niệm hàm số không chỉ nên dừng lại ở việc đưa vào định nghĩa của nó,

mà phải nắm vững các đặc trưng và các hệ thống biểu đạt của nó, cách chuyển đổi giữa các

hệ thống biểu đạt và đặc biệt là áp dụng nó vào việc giải quyết các bài toán của thực tế hay

của khoa học Bởi vì các vấn đề thực tế sẽ làm nảy sinh nhu cầu sử dụng hàm số và thực

hiện sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt

1.2 Tư duy hàm

Phần này được trích từ tài liệu “Phương pháp dạy học bộ môn Toán” của tác giả Nguyễn

Bá Kim (1996)

Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của

một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử

của tập hợp đó trong sự vận động của chúng Tư duy hàm có vai trò quan trọng trong việc giáo dục toán học cho học sinh

Liên quan đến vấn đề phát triển tư duy hàm, tác giả Nguyễn Bá Kim (1996) cho rằng:

“phát triển tư duy hàm là tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và vận

dụng sự tương ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học” Như vậy, đặc trưng cho tư duy hàm có thể liệt kê các hoạt động sau đây:

• Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng

• Nghiên cứu những sự tương ứng

• Vận dụng những sự tương ứng

a) Hoạt động 1

Phát hiện những sự tương ứng tức là nhận ra một mối liên hệ tương ứng tồn tại khách quan,

ví dụ như sự tương ứng giữa độ dài cạnh và diện tích một hình vuông, giữa thời gian đi và quãng đường đi được, giữa các số hạng và tổng của chúng…

Thiết lập sự tương ứng có nghĩa là tự tạo ra những sự tương ứng theo quy định chủ quan của

mình để thuận lợi cho một mục đích nào đó, chẳng hạn sự tương ứng giữa các số thực và các điểm trên một đường thẳng, giữa tập con của tập các số tự nhiên và những que đếm…

b) Hoạt động 2

Nghiên cứu những sự tương ứng nhằm phát hiện ra những tính chất của những mối liên hệ

nào đó, ví dụ như diện tích của hình vuông luôn luôn bằng bình phương độ dài của cạnh

Hoạt động này bao gồm nhiều phương diện khác nhau nhưng có thể cụ thể hoá thành ba tình

huống sau:

Tình huống 1 Xác định giá trị ra khi biết giá trị vào; xác định giá trị vào khi biết giá

trị ra; nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong các trường hợp có thể) khi cho

biết các cặp phần tử tương ứng của mối liên hệ đó (hay khi cho cặp giá trị vào và giá trị ra);

nhận biết tính đơn trị của sự tương ứng

Tình huống 2 Đánh giá sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi giá trị vào; thực hiện một sự biến thiên mong muốn đối với giá ra bằng cách thay đổi giá trị vào;

dự đoán sự phụ thuộc

Tình huống 3 Phát triển và nghiên cứu những bất biến; những trường hợp đặc biệt

và những trường hợp suy biến

Ba loại hoạt động này gắn bó chặt chẽ với nhau, hoạt động trước là tiền đề cho hoạt động sau và hoạt động sau là mục đích, cơ sở hình thành hoạt động trước

Như vậy, rèn luyện tư duy hàm là rèn luyện cho học sinh những khả năng, những hoạt động sau:

(1) Có khả năng xem xét, nhìn nhận các đối tượng toán học dưới con mắt động, nhìn trong sự vận động, biến đổi

(2) Phát hiện được sự tương ứng hay những mối liên hệ giữa các đối tượng, sự kiện toán học trong sự vận động và biến đổi của chúng

(3) Từ việc tìm hiểu rồi nghiên cứu được những tương ứng hay những mối liên hệ nào đó, ở mức độ cao hơn, có khả năng thể hiện (hay diễn đạt) được nội dung của các đối tượng, sự kiện toán học bằng ngôn ngữ hàm

1.3 Quá trình mô hình hóa toán h ọc

Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho

một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt

ra trên hệ thống này

Quá trình mô hình hóa vấn đề thực tiễn được trình bày theo sơ đồ sau (Theo Nguyễn Thị Nga (2011))

Sơ đồ này chia quá trình mô hình hóa thành 4 bước: (Tham khảo Nguyễn Thị Nga (2011))

- Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian Xây dựng

mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo Mô hình trung gian giữa tình huống ngoài toán học và mô hình toán học cần xây dựng biểu thị một cấp độ trừu tượng hóa đầu tiên của

“thực tiễn” Mô hình này tiến triển từ từ qua việc mô hình hóa: một mô hình trung gian có thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với tình huống thực tế được xem xét hoặc so với

mô hình toán học cần xây dựng

- Bước 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính Khi có mô hình trung gian ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét Từ đó dẫn đến việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của tình huống Như vậy mô hình toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng

- Bước 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học Sử dụng các công cụ toán học

để khảo sát và giải quyết mô hình toán học hình thành ở bước thứ hai Căn cứ vào mô hình

đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp

- Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Trở lại tình huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu trả lời của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình hóa

Trong bước này có hai khả năng:

* Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế

* Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế Khi đó cần xem xét các nguyên nhân sau:

- Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình

- Mô hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét

- Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng

- Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế

Có thể phải thực hiện lại quy trình cho đến khi tìm được mô hình toán học thích hợp cho tình huống đang xét

Như thế, mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp Quá trình ấy được thực hiện

thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” – hay ngược lại, bổ sung thông tin - để có thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình toán học Trong bước tìm kiếm mô hình phỏng thực tế này người ta thường phải thực hiện những việc như đặt giả thuyết, tổng quát hóa, hình thức hóa,… Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế

(Theo Vũ Như Thư Hương – 2013)

1.4 Dạy học đặt và giải quyết vấn đề

Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt một số nội dung về dạy học đặt và giải quyết vấn đề trong tài liệu“ Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông” của tác giả Lê Văn Tiến (2005)

1.4.1 Nh ững khái niệm cơ bản

1.4.1.1 V ấn đề

Thuật ngữ Bài toán được hiểu là “tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả

chưa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ liệu, hoặc về phương pháp cần khám phá, mà theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết” (Từ điển “Petit Robert”)

Xét bài toán T và một chủ thể X có ý thức về T và tiếp nhận T để giải quyết Khi đó

có hai khả năng xảy ra:

- Chủ thể X có thể giải quyết được bài toán T chỉ nhờ vào việc áp dụng đơn thuần hệ

thống kiến thức đã có của mình mà không có khó khăn gì

- X không thể giải quyết được T nếu chỉ dựa vào hệ thống kiến thức đã có, hoặc chỉ

giải quyết được T sau một quá trình tích cực suy nghĩ để đồng hóa đối tượng nhận thức vào

mô hình kiến thức cũ của mình, hoặc để điều chỉnh lại kiến thức hay phương pháp hành động cũ (nghĩa là kiến tạo kiến thức mới)

Nói cách khác bài toán T đặt ra trước chủ thể X những khó khăn nhận thức, những mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái chưa biết, được chủ thể ý thức một cách rõ ràng hay mơ

hồ, nhưng chưa có một phương pháp có tính thuật toán nào để giải quyết Khi đó ta nói, bài toán T là một vấn đề đối với chủ thể X

Cần nhấn mạnh rằng, để bài toán T là một vấn đề đối với chủ thể X, thì trước hết X

phải có ý thức về T và tiếp nhận T để giải quyết (tự nguyện hay bắt buộc)

1.4.1.2 Tình hu ống có vấn đề và tình huống gợi vấn đề

Tình hu ống có vấn đề là tình huống trong đó tồn tại một vấn đề (theo nghĩa ở trên) Tình hu ống gợi vấn đề là tình huống thỏa mãn ba điều kiện sau:

a) Tồn tại một vấn đề

b) Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có vấn đề, nhưng vì một lí do nào đó nào

đó mà họ không có hứng thú tìm hiểu, suy nghĩ để tìm cách giải quyết (chẳng hạn vì họ cảm

thấy chẳng có ích gì cho mình, hay vì quá mệt mỏi, ) thì đó cũng không phải là tình huống

gợi vấn đề Tình huống gợi vấn đề phải là tình huống tao ra cho HS một cảm xúc hứng thú, mong muốn giải quyết vấn đề

c) Gây niềm tin ở khả năng: Nếu vấn đề trong tình huống rất hấp dẫn, lôi cuốn và HS

có nhu cầu giải quyết, nhưng nếu họ mau chóng cảm thấy vấn đề là quá khó, vượt quá khả năng của mình, thì họ cũng không còn hứng thú, không còn sẵn sàng giải quyết vấn đề Tình

huống gợi vấn đề phải bộc lộ mối quan hệ (có thể khá mờ nhạt) giữa vấn đề cần giải quyết

và vốn kiến thức sẵn có của chủ thể, và tạo ra ở họ niềm tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ

thấy rõ hơn mối quan hệ này và có nhiều khả năng tìm ra cách giải quyết

Tóm lại, tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho HS những khó khăn về lí

luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay

thức thì nhờ vào một quy tắc có tính thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để đồng hóa nó hay điều chỉnh hệ thống kiến thức sẵn có nhằm thích nghi

với điều kiện hành động mới

1.4.2 D ạy học đặt và giải quyết vấn đề

Dạy học đặt và giải quyết vấn đề ( DHĐ&GQVĐ) là hình thức dạy học trong đó GV (hay cùng HS) tạo ra một hay nhiều tình huống gợi vấn đề, tổ chức, điều khiển HS trình bày

vấn đề và hoạt động giải quyết các vấn đề, qua đó giúp HS lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy và đạt được các mục đích dạy học khác

Một trong các mục đích chủ yếu của DHĐ&GQVĐ là làm cho HS lĩnh hội được kiến

thức mới như là kết quả của quá trình giải quyết vấn đề Nói cách khác, kiến thức không được truyền thụ trực tiếp từ GV, dưới dạng có sẵn, mà được khám phá dần theo quá trình

giải quyết vấn đề

Một mục đích cốt yếu khác của hình thức dạy học này là giúp HS phát triển các khả năng khác, như: khả năng phát hiện và trình bày vấn đề, khả năng tìm kiếm cách giải quyết

vấn đề, khả năng tổ chức quá trình giải quyết vấn đề, khả năng kiểm tra đánh giá kết quả và phương pháp tiến hành giải quyết vấn đề, Nói cách khác, nó cũng cung cấp cho HS những tri thức phương pháp

• Các bước chủ yếu của DHĐ&GQVĐ:

a) Tạo tình huống gợi vấn đề (phát hiện vấn đề)

b) Trình bày vấn đề và đặt mục đích giải quyết vấn đề

c) Giải quyết vấn đề: khám phá các phương pháp giải, chọn phương pháp giải thích

hợp, trình bày lời giải

d) Kiểm tra, đánh giá lời giải, kết quả và cả cách thức tìm kiếm lời giải

e) Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội

1.5 Phát tri ển tư duy hàm cho học sinh nhờ vào mô hình hóa và giải quyết các tình hu ống gợi vấn đề

Qua phân tích các đặc trưng tư duy hàm và các bước của quá trình mô hình hoá, chúng tôi nhận thấy việc phát triển tư duy hàm không thể thiếu hoạt động mô hình hóa một tình huống thực tế bởi một hàm số nhờ vào một trong các hệ thống biểu đạt của nó Đặc

biệt, việc nhìn nhận sự phụ thuộc, tương ứng giữa các đối tượng trong sự vận động giữa chúng để thiết lập nên mối quan hệ hàm cần phải được nhấn mạnh Hơn nữa, cũng cần quan tâm đến việc khai thác, sử dụng các tính chất của hàm số như một công cụ để phân tích một

hiện tượng thực tế Như vậy, việc dạy học toán ở trường phổ thông vấn đề phát triển tư duy hàm được quan tâm ở mức độ nào, có mối liên hệ gì với mô hình hóa toán học Vấn đề này

sẽ được chúng tôi làm rõ trong chương tiếp theo

CHƯƠNG 2: TƯ DUY HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở

TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi trong chương này là đi tìm câu trả lời cho câu

hỏi: Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông việc phát triển tư duy hàm có được đề cập hay không? Hoạt động đặc trưng nào của tư duy hàm được nhấn mạnh? Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa có được thể chế quan tâm khi đưa vào các hoạt động phát triển tư duy hàm cho học sinh hay không?

Tư duy hàm được bồi dưỡng xuyên suốt ở trường phổ thông và hiện diện trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là đại số (chủ đề các tập hợp số, hàm số) và hình học (các phép biến hình)

Việc phát triển tư duy hàm có thể khai thác trong nhiều chủ đề khác nhau Tuy nhiên trong

phạm vi giới hạn của luận văn, chúng tôi chỉ quan tâm đến việc phát triển tư duy hàm trong lĩnh vực đại số

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các sách giáo khoa và sách giáo viên toán hiện hành từ lớp 1 cho đến lớp 10, nhưng tập trung chủ yếu là ở các lớp

7, 9, 10 do ở các lớp này khái niệm hàm số được định nghĩa

2.1 Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng tiền toán học (tiểu học đến đầu năm lớp 7)

Khái niệm hàm số không được định nghĩa trong giai đoạn này Tuy nhiên, đặc trưng

“tương ứng” của hàm số đã hiện diện và được khai thác một cách ngầm ẩn Đó là sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp như tương ứng giữa số chén và số dĩa, tương ứng giữa các con số từ 1 đến 10 với tích số trong bảng nhân, tương ứng giữa giá trị của tổng và số hạng, sự tương ứng giữa diện tích và độ dài một cạnh, tương ứng giữa quãng đường đi được

và thời gian chuyển động… Cụ thể qua từng lớp, chúng tôi minh họa một số kiểu nhiệm vụ xuất hiện như sau:

Ví dụ: Viết giá trị của biểu thức vào ô trống:

(SGK Toán 4, trang 70)

m x 78

“Ví dụ: Một người đi bộ trung bình mỗi giờ đi được 4 km Bảng dưới đây cho biết quãng đường đi được của người đi bộ trong 1 giờ, 2 giờ, 3 giờ:

Nhận xét: Khi thời gian gấp lên bao nhiêu lần thì quãng đường đi được cũng gấp lên bấy nhiêu lần” (SGK Toán 5, trang 18)

Đầu chương trình lớp 7, SGK đưa vào khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ

lệ nghịch với các mục tiêu cụ thể sau:

“- Hi ểu được công thức đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, của hai đại lượng tỉ lệ ngh ịch

ết vận dụng các công thức và tính chất để giải được các bài toán cơ bản về hai đại

Số ki-lô-gam gạo ở mỗi bao 5 kg 10 kg 20 kg

(SGV Toán 7, trang 56)

Ở đây, chúng tôi nhận thấy rằng các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm đã được đề

cập đến thông qua các bài tập cho bằng bảng số, và các bài toán gắn liền với thực tiễn, vật

Cho bi ết x là số trang đã đọc xong và y là số trang còn lại chưa đọc của một

quy ển sách Hỏi x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

Cho bi ết a(m) là chu vi của bánh xe, b là số vòng quay được của bánh xe trên đoạn đường

xe lăn từ A đến B Hỏi a và b có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

Bài 22/62: M ột bánh răng cưa có 20 răng quay một phút được 60 vòng Nó khớp với một răng cưa khác có x răng Giả sử bánh răng cưa thứ hai quay một phút được y vòng Hãy

bi ểu diễn y qua x

Bài 23/62: Hai bánh xe n ối với nhau bởi một dây tời Bánh xe lớn có bán kính 25cm, bánh

xe nh ỏ có bán kính 10cm Một phút bánh xe lớn quay được 60 vòng Hỏi một phút bánh xe

nh ỏ quay được bao nhiêu vòng?

(SGK Toán 7 tập 1) Qua các bài tập trên, mục tiêu mà SGK nhắm đến là giúp học sinh phát hiện và sử

dụng các tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận và nghịch

Các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm được đề cập ở đây là:

- Nghiên cứu sự tương ứng: xác định giá trị ra khi biết giá trị vào (bài tập 2/54), nhận biết

quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (bài 5/55, 15/58, 22/62)

- Vận dụng sự tương ứng: bài tập 23/62 Để giải quyết bài toán này học sinh phải phát

hiện sự tương ứng giữa số vòng quay và bán kính- tỉ lệ nghịch nhau Sau đó, học sinh dựa vào tính chất của tỉ lệ nghịch thiết lập nên công thức, đi tìm kết quả và sử dụng kết quả này

trả lời câu hỏi của bài toán

Tóm lại, giai đoạn này khái niệm hàm số chưa xuất hiện nhưng các hoạt động đăc trưng cho tư duy hàm bước đầu được đề cập Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng được đề

cập nhiều hơn Hai hoạt động còn lại chỉ xuất hiện trong một vài bài tập Trong các bài toán thực tế liên quan đến hoạt động phát triển tư duy hàm, các đại lượng đóng vai trò là biến độc lập, biến phụ thuộc luôn được xác định và được đề cập tường minh trong đề toán Hơn nữa, các biến này liên hệ với nhau bởi một công thức mà việc tìm ra mối liên hệ đó bằng một công thức được thực hiện khá dễ dàng

2.2 Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng toán học (từ lớp 7 trở đi)

2.2.1 L ớp 7

SGK trình bày định nghĩa khái niệm hàm số bằng con đường quy nạp: xuất phát từ

những ví dụ cụ thể và rút ra những đặc trưng của khái niệm, sau đó nêu định nghĩa

Định nghĩa hàm số được SGK trình bày như sau:

“N ếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là

bi ến số” (SGK, Toán 7, tập một, trang 63)

Hàm số trình bày ở đây theo quan điểm: coi hàm số là khái niệm toán học mô tả sự

phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên Khái niệm này đã thể hiện tường minh sự

biến thiên của hai đại lượng Tuy nhiên, SGK đã nêu ra chú ý: “Khi y là hàm số của x ta có

th ể viết y = f(x), y = g(x)… Chẳng hạn, với hàm số được cho bởi công thức y = 2x +3, ta còn có th ể viết y=f(x)=2x+3 và khi đó, thay cho câu”khi x bằng 3 thì giá trị tương ứng của

y là 9” ho ặc câu” khi x bằng 3 thì y bằng 9”) ta viết f(3)=9” Khi đó, đặc trưng tương ứng

của hàm số được thể hiện rõ nét Việc phát triển tư duy hàm được quan tâm như thế nào?

Các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm có được khai thác trong các bài toán thực tiễn hay

không? Điều này chúng tôi sẽ phân tích trong phần hoạt động và bài tập

ận thấy có các kiểu nhiệm vụ liên quan đến việc phát triển tư duy hàm

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 1 (Phát hiện và thiết lập sự tương ứng):

Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không ?

2) Tgiaitich : Tìm biểu thức giải tích của hàm số

Kĩ thuật: Dựa vào một số công thức đã biết như: chu vi, diện tích,… để thiết lập biểu thức

giải tích

Ví d ụ minh họa : Bài 45/73: Hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là 3m và x(m) Hãy viết

công thức biểu diễn diện tích y(m 2 ) theo x

B ảng 2.1 Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hoạt động 1 ở lớp 7

Đa số các bài toán liên quan đến 2 kiểu nhiệm vụ này đều là các bài toán trong toán

học Đặc biệt, với Tnhan dang yêu cầu kiểm tra xem y có phải là hàm số của x hay không được đặt ra khi x và y đã được cho sẵn trong bảng hay công thức Với Tgiaitich, hai đại lượng biến được nêu tường minh và mối liên hệ giữa chúng được biểu thị bằng một công thức đơn giản dựa trên kiến thức mà học sinh đã biết

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 2 (Nghiên cứu sự tương ứng)

1) Tgiaitich : Tìm biểu thức giải tích của hàm số

2) Ttinh : Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước

 Ttinh.1 : Dựa vào biểu thức giải tích

Với mỗi giá trị của x, thay vào biểu thức giải tích tính được giá trị y tương ứng (và ngược

lại)

 Ttinh.2: Dựa vào đồ thị hàm số

Với mỗi giá trị x trên trục Ox dựng đường thẳng song song trục Oy, cắt đồ thị tại một điểm Qua điểm đó, dựng đường thẳng song song trục Ox cắt Oy tại giá trị y

- Tìm điểm thuộc vào đồ thị và khác điểm gốc O

- Nối điểm đó với O ta được đồ thị cần vẽ

Tve.2 : Vẽ đồ thị hàm số cho bằng bảng

- Dựa vào bảng giá trị xác định các cặp số (x;y)

- Xác định các điểm có tọa độ là các cặp số trên

Bài 39/71: V ẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số:

a) y = x c) y = -2x

b) y = 3x d) y = -x

4) Tbpt: Tìm x để y dương hoặc âm

• Tbpt.1 : Dựa vào đồ thị

- y > 0 ứng với phần đồ thị phía trên trục hoành

- y < 0 ứng với phần đồ thị phía dưới trục hoành

• Tbpt.2: Dựa vào biểu thức y = ax

- y nhận giá trị dương: Nếu a>0 thì x>0, nếu a<0 thì x<0

- y nhận giá trị âm: Nếu a>0 thì x<0, nếu a<0 thì x>0

Ví d ụ minh họa: Bài 44c/73: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = -0,5x Bằng đồ thị hãy tìm: Các giá

tr ị của x khi y dương, khi y âm

B ảng 2.2 Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 7

Học sinh chỉ nghiên cứu các tính chất của hàm số trong nội bộ toán học Chẳng hạn, đối với

kiểu nhiệm vụ Ttinh cho giá trị đầu vào tính giá trị đầu ra và các biến được nêu tường minh,

học sinh chỉ việc tính toán trên công thức của một hàm số cho trước

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 3 (Vận dụng sự tương ứng): không được đề cập Tóm lại, qua phân tích các kiểu nhiệm vụ gắn với các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm, chúng tôi nhận thấy việc phát triển tư duy hàm chỉ dừng lại ở mức độ phát hiện, thiết

lập và nghiên cứu những sự tương ứng, sự phụ thuộc của hai đại lượng thông qua các bài toán toán học Hơn nữa, việc xác định các biến số không tự học sinh phát hiện mà SGK đã làm thay bằng cách cho sẵn Bên cạnh đó, hoạt động vận dụng sự tương ứng, sự phụ thuộc

và vấn đề sử dụng mô hình hóa trong việc phát triển tư duy hàm không được đề cập Sự thiếu sót này là do những ràng buộc khách quan của tổ chức toán học( như yếu tố công nghệ, lý thuyết còn thiếu) Để làm rõ hơn vấn đề này, chúng tôi sẽ đi phân tích chương trình

và nội dung trình bày ở lớp 9 Vì ở chương trình lớp 9, khái niệm hàm số được trình bày ở mức độ sâu rộng hơn

2.2.2 L ớp 9

Định nghĩa hàm số trong SGK Toán 9 như sau:

“Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi

là biến số” (SGK, Toán 9, tập một, trang 42)

Như vậy, khái niệm hàm số được đưa vào chương trình Toán 9 vẫn giữ nguyên như ở lớp 7 Tuy nhiên, SGK Toán 9 đã bổ sung thêm các thuật ngữ “biến số”, “ tập xác định”, “sự đồng biến”, “sự nghịch biến” của hàm số và đưa ra các định nghĩa tường minh cho các thuật ngữ này thông qua các hoạt động tính toán Tuy nhiên, đặc trưng biến thiên chỉ được nhắc đến nhằm cho học sinh làm quen với thuật ngữ này Đặc trưng tương ứng của hàm số vẫn là đặc trưng nổi bật được xem xét

Việc tiếp cận hai khái niệm hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃(𝒂 ≠ 𝟎) và 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐(𝒂 ≠ 𝟎) được hình thành theo con đường quy nạp, đều xuất phát từ sự tương ứng giữa quãng đường đi được và thời gian chuyển động …

Tiếp tục nghiên cứu SGK để tìm các kiểu nhiệm vụ liên quan đến các hoạt động đặc

trưng cho tư duy hàm, chúng tôi thấy có các kiểu nhiệm vụ như sau:

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 1 (Phát hiện và thiết lập sự tương ứng)

Tìm biểu thức giải tích của hàm số (Tgiaitich) xuất hiện ở bài tập số 10 trang 48 SGK toán 9

tập một: “Một hình chữ nhật có các kích thước là 20cm và 30cm Người ta bớt kích thước

c ủa hình đó đi x (cm) được hình chữ nhật mới có chu vi là y (cm) Hãy lập công thức tính y theo x” Đây là một bài toán trong toán học, SGK nêu sẵn sự tương ứng của hai đại lượng

biến là x và y học sinh chỉ cần biết công thức tính chu vi để thiết lập nên công thức

1) Ttinh: Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước thuộc tập xác định

2) Tgiaitich : Xác định biểu thức giải tích của hàm số

3) Tve: Vẽ đồ thị hàm số (Tve)

4) Tdb-nb: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Trong 4 kiểu nhiệm vụ trên, 3 kiểu nhiệm vụ đầu tiên kĩ thuật tương tự như ở lớp 7 nhưng các hàm số cho ở lớp 9 tổng quát hơn (hàm bậc nhất và bậc hai) Còn kiểu nhiệm vụ

Tdb-nbnhư sau:

 Tdb-nb.1: Dựa vào đồ thị

Nếu đồ thị hàm số đi lên (đi xuống) trong khoảng K thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên

K

 Tdb-nb.2: Dựa vào bảng giá trị

Khi x lần lượt nhận các giá trị tăng lên (giảm xuống) thuộc khoảng K mà giá trị tương ứng của hàm số y tăng (giảm) thì hàm số đã cho đồng biến (nghịch biến) trong khoảng K

 Tdb-nb.3: Dựa vào biểu thức giải tích

- x x1, 2 K x, 1 x2 ta có f x( )1 f x( )2 hayf x( )1 f x( ) 02  thì hàm số đồng biến trên K

- x x1, 2 K x, 1 x2 ta có f x( )1  f x( )2 hay f x( )1 f x( ) 02  thì hàm số nghịch biến trên

Chúng tôi thấy được hoạt động nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc phần lớn chỉ

diễn ra trong nội bộ toán học Tập trung nghiên cứu trên 1 số tính chất của hàm như: giá trị

của hàm số, sự đồng biến-nghịch biến và đồ thị… Đối với kiểu nhiệm vụ Tdb-nbchỉ đánh giá

sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi giá trị vào bằng cách cho sẵn biến x từ

đó tính được giá trị biến y thông qua công thức

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 3 (Vận dụng sự tương ứng): không thấy xuất hiện

Tóm lại

So với SGK lớp 7, việc phát triển tư duy hàm trong SGK toán 9 chỉ tập trung ở hoạt động nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc trong nội bộ toán học Việc xác định các biến luôn được cho sẵn, vấn đề mô hình hóa thì hoàn toàn vắng mặt Vấn đề này sẽ được chúng tôi làm rõ thông qua việc phân tích lời giải một trong các bài toán có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 Chúng tôi xin trích dẫn ra đây bài tập số 3 trang 30 SGK toán 9 tập 2:

“Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là F av = 2(a là hằng số) Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120N (Niu-tơn)

a) Tính hằng số a

b) Hỏi khi v=10 /m s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi này khi v=20 /m s

c) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000N Hỏi con thuyền

có thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90 /km h hay không?”

Với câu a) chỉ cần thay giá trị của F và v đã cho ban đầu vào công thức F av = 2 Suy

ra a

Và với a vừa tìm được ta có công thức F = 30 v2 Để giải quyết câu b) học sinh chỉ

việc lần lượt thế v=10 &v=20 vào công thức để tìm F

Qua câu c) học sinh chỉ cần nhận xét gió bão có vận tốc 90 /km h=25 /m ssau đó tính

ra lực F rồi so sánh với kết quả với áp lực của cánh buồm để kết luận

Phân tích trên cho thấy công việc của học sinh chỉ là làm việc với biểu thức toán học Các biến số (lực và vận tốc của gió) cũng như mối liên hệ giữa chúng (tỉ lệ thuận) đã được

nêu tường minh trong bài toán Các bài tập có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 đều được viết dưới dạng tương tự, công việc của học sinh chỉ là giải toán Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và bước 2_ bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học, điều này cho thấy vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến Cụ thể, chúng tôi không thấy một bài toán nào yêu cầu học sinh phải

tục phân tích và làm rõ vấn đề này trong chương trình đại số lớp 10- nơi mà khái niệm hàm

số được định nghĩa một cách chặt chẽ và đầy đủ

Ta g ọi x là biến số và y là hàm số của x

T ập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.” (SGK, Đại số 10 Cơ Bản)

Hay

“Cho m ột tập hợp khác rỗng 𝐷 ⊂ R

Hàm s ố f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một

s ố, kí hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x

T ập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f.”

(SGK, Đại số 10 Nâng cao, trang 35)

Như vậy ở chương trình lớp 10, SGK đã củng cố và bổ sung đầy đủ định nghĩa khái

niệm hàm số Khái niệm hàm số được định nghĩa dựa trên lý thuyết tập hợp và định nghĩa này làm nổi bật đặc trưng tương ứng của hàm số

Sau khi định nghĩa, SGK Đại số 10 còn trình bày thêm:

“Để chỉ rõ kí hiệu biến số, hàm số f còn được viết là y = f(x), hay đầy đủ hơn là

f: 𝐷 → 𝑅

x y=f (x)”

Ngoài ra, SGK Đại số 10 NC cũng đã định nghĩa biến số độc lập và biến số phụ thuộc:

“Trong kí hi ệu hàm số y = f(x), ta còn gọi x là biến số độc lập, y là biến số phụ thuộc

c ủa hàm số f Biến số độc lập và biến số phụ thuộc của một hàm số có thể

được kí hiệu bởi hai chữ cái tùy ý khác nhau…”

Như đã đề cập ở chương 1, việc xác định biến số là hết sức quan trọng trong quá trình

mô hình hóa vấn đề thực tiễn Chúng tôi tự hỏi rằng khi gặp một bài toán thực tế cần giải quyết thông qua mô hình hóa hàm số thì liệu học sinh có xác định được đâu là biến độc lập

đâu là biến phụ thuộc hay không? Học sinh có thiết lập được mối liên hệ hàm giữa chúng và khai thác mối liên hệ đó để giải quyết bài toán hay không?

Trong quyển sách Đại Số 10 Cơ bản, chúng tôi nhận thấy có các kiểu nhiệm vụ gắn

với các hoạt động tư duy hàm như sau:

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 1 (Phát hiện và thiết lập sự tương ứng ):

Chúng tôi nhận thấy không có có bài tập nào liên quan đến việc xác định các biến và thiết

lập sự tương ứng, sự phụ thuộc giữa hai đại lượng biến

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 2 (Nghiên cứu sự tương ứng):

1) Ttinh: Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước thuộc tập xác định

Về kĩ thuật tính thì vẫn giống như ở lớp 9 nhưng các hàm số ở lớp 10 đa dang hơn Ngoài các hàm bậc nhất, bậc hai còn xuất hiện thêm hàm trị tuyệt đối, hàm phân nhánh… Do đó, đòi hỏi học sinh phải biết xác định giá trị đầu vào để tính giá trị đầu ra thích hợp Tuy nhiên

2 biến này được cho sẵn trong một công thức, học sinh chỉ việc kiểm tra biến x nằm trong miền xác định nào sau đó thay vào công thức để tính giá trị y

2) Tgiaitich: Xác định biểu thức giải tích của hàm số

Kiểu nhiệm vụ Tgiaitichcũng tương tự như ở lớp 9 với yêu cầu là xác định hệ số a, b đối với hàm bậc nhất và hệ số a, b, c đối với hàm bậc hai khi cho biết trước một số yếu tố liên quan như: qua 2 điểm, qua 3 điểm, qua 1 điểm và có trục đối xứng…Trong đó hai hàm

số được cho sẵn bởi công thức học sinh không cần phải xác định các biến Trong 36 bài tập liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, không có bài toán thực tế nào, chỉ có các bài thuần toán

học

3) Tve: Vẽ đồ thị hàm số

Kĩ thuật vẽ đồ thị hàm số bậc nhất ở lớp 10 giống như lớp 9 Tuy nhiên việc vẽ đồ thị hàm số bậc hai và hàm phân nhánh thì phức tạp hơn

4) Tdb-nb: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giống như ở lớp 9 kĩ thuật sử dụng đồ thị vẫn còn được sử dụng xét sự đồng biến, nghịch biến Tuy nhiên, kĩ thuật sử dụng tỉ số biến thiên được sử dụng nhiều hơn và đối với mỗi hàm (bậc nhất, bậc hai) thì việc xét sự đồng biến, nghịch biến được cho sẵn công thức 5) Tchan-le:Xét tính chẵn - lẻ của hàm số.

 Tchan-le.1: Dựa vào đồ thị (C) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng: hàm số là hàm số

- (C) nhận trục Oy là trục đối xứng: hàm số là hàm số chẵn

- (C) không có hai tính chất trên: hàm số không chẵn không lẻ

 Tchan-le.2: Dựa vào biểu thức giải tích

Tồn tại a, b mà f a( )  f a( )và f b( )   f b( ): hàm số không chẵn không lẻ

B ảng 2.2 Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 10

Từ sự phân tích các kiểu nhiệm vụ và thống kê số lượng bài tập liên quan, chúng tôi

nhận thấy các kiểu nhiệm vụ gắn với hoạt động nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc xoay quanh: việc xác định các giá trị ra khi cho giá trị vào và sự biến thiên của hai giá trị đó trên các bài toán toán học Không có kiểu nhiệm vụ nào được sử dụng để giải quyết các bài toán

thực tế

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 3 (Vận dụng sự tương ứng): không thấy xuất

hiện