PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN về dãy số và số học TRÊN máy TÍNH bỏ túi

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI GIỚI THIỆU Hiện nay chúng ta thấy với sự bùng nổ và phát triển công nghệ thông tin cùng với sự phát triển của các

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI

GIỚI THIỆU

Hiện nay chúng ta thấy với sự bùng nổ và phát triển công nghệ thông tin cùng với

sự phát triển của các nghành khoa học trên thế giới nói chung và ở việt nam nói riêng đã đạt đến một tầm cao mới Để thích ứng với tầm cao mới này chúng ta không thể quản lý số liệu bằng các phép tính tay đơn giản mà phải dùng máy tính mới có thể dự đoán, tính toán và quản lý số liệu hiện nay được

Ngay cả ở phổ thông nhiều bài toán phải dùng đến máy tính mới dự đoán và cho ra kết quả tốt được

Đặc biệt ở các kỳ thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi các bài toán về dãy số và số học chiếm đến 40% số điểm của bài thi

Tuy nhiên nhiều học sinh chưa hiểu gì về máy tính, hiểu sai tư tưởng về các kỳ thi giải toán trên máy tính

Chuyên đề này nhằm đáp ứng nhu cầu của học sinh về tư tưởng giải toán trên máy tính

Nội dung chuyên đề gồm ba phần

Phần 1: Giới thiệu một số chức năng thường dùng của máy tính

Phần 2: Phân tích tư tưởng giải toán trên máy tính qua một số bài toán về dãy số và

số học

Phần 3: Các đề thi và tài liệu tham khảo

NỘI DUNG

Phần 1: Giới thiệu một số chức năng thường dùng của máy tính.

Hầu hết hoc sinh đã biết thao tác bấm máy cơ bản Tuy nhiên các em chưa khai thác hết các chức năng của một số phím như: STO – CALC – SOLVE – COPY 1) Chức năng STO: Dùng để nhớ một số vào ô nhớ

Ngoài ô nhớ M, máy tính còn các ô nhớ A,B, C, D, E, F, X, Y

Ví dụ: Để nhớ số 1 vào A ta bấm: 1 – shift – STO – A

Màn hình hiện 1→A Ta đã ghi số 1 vào A

2) Chức năng CALC: Dùng để tính giá trị biểu thức f(x) tại một điểm

Ví dụ: Cho f(x) = x3 – 3x2 + 1 Tính f(-2 )

Để tính f( - 2 ) ta làm như sau:

Bước 1: Nhập biểu thức x3 – 3x2 + 1

Bước 2: bấm CALC màn hình hiện x? nhập -2 bấm “ = “ Máy tính hiện kết quả - 19

3) Chức năng SOLVE: Giải phương trình ( đoán nghiệm)

Khi muốn đoán nghiệm phương trình f(x) = 0 ta làm như sau:

Bước 1: nhập biểu thức f(x)

Bước 2: bấm SHIFT – SOLVE màn hình hiện x?

Bước 3: bấm một số gần với nghiệm mà ta dự đoán rồi bấm “=” Máy tính sẽ tìm ra nghiệm

Ví dụ; Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu II.1

Giải phương trình: – + 3x2 – 14x – 8 = 0

Nếu không đoán được nghiệm bài này rất khó phân tích

Ta thấy x [ , 6]

Khi muốn đoán nghiệm phương trình f(x) = 0 ta làm như sau:

Bước 1: nhập biểu thức

Bước 2: bấm SHIFT – SOLVE màn hình hiện x?

Bước 3: bấm số 3 rồi bấm “ =” Máy tính sẽ tìm ra nghiệm là 5

Từ đây ta dể dàng phân tích ra thừa số và giải được như sau:

- 4 – ( - 1) + 3x2 – 14x – 5 = 0

⇔(x – 5)( + +3x + 1) = 0

⇔x – 5 = 0 hoặc + +3x + 1 = 0 vô nghiệm

⇔x = 5

Trong đề thi học sinh giỏi tỉnh đồng nai ngày 14/10/2010 có bài

Giải phương trình: x5 – x4 – x3 – 11x2 + 25 x – 14 = 0

Phương án tối ưu để giải phương trình trên là nhẩm nghiệm

Ta dùng máy tính 570ES đoán được nghiệm là số 2 Và ta phân tích được ra thừa số

(x – 2)(x4 + x3 + x2 – 9x + 7 ) = 0

Ta dùng khảo sát hàm số dễ dàng chứng minh được phương trình:

x4 + x3 + x2 – 9x + 7 =0 vô nghiệm

Thật vậy

Đặt y = f(x) = x4 + x3 + x2 – 9x + 7

y’ = 4x3 + 3x2 + 2x– 9 = (x – 1)(4 x2 + 7x +9 )

Bảng biến thiên

Do đó x = 2 là nghiệm phương trình

4) Chức năng copy:

Máy tính fx570MS cho ta copy lại các phép tính đã tính ở trên

Ví dụ: Ta có 3 phép tinh

6 +2 = 8

6 *2 = 12

6 : 2 = 3

Ta muốn copy 3 phép toán trên ta đưa con trỏ lên phép tính thứ nhất (6 +2 = 8) rồi bấm SHIFT_COPY

Khi đó 3 phép toán trên hiện lên một dòng: 6 +2 = 8; 6 *2 = 12; 6 : 2 = 3

Ta chỉ việc bấm “=” liên tiếp là máy tính sẽ thực hiện các phép toán trên

Chức năng này cho phép ta tính số hạng thứ n trong dãy số truy hồi rất nhanh

Ví dụ: Cho (Fn) biết F1 = 1, F2 = 1, Fn +2 = Fn +1 + Fn Tìm F30 ?

Bây giờ để dùng chức năng COPY ta lập thuật toán cho máy tính

Bước 1: Gán 1 cho A: 1 _ shift _Sto _A: 1→A

Gán 1 cho B: 1 _ shift _Sto _B

Bước 2: Bấm A + B →A B + A →B

Bước 3: COPY hai dòng trên ta được A + B →A; B + A →B

Bước 4: Ta bấm liên tiếp phím “=” và đếm tới số thứ 30 ta được F30

Nếu ta không thích đếm ta lập thêm ô nhớ C để đếm Thuật toán như sau

Bước 1: Gán 1 cho A: 1 _ shift _Sto _A: 1→A.

Gán 1 cho B: 1 _ shift _Sto _B

Gán 2 cho C: 2 _ shift _Sto _C

Bước 2: Bấm A + B →A B + A →B C + 2 →C

Bước 3: COPY ba dòng trên ta được A + B →A; B + A →B; C + 2 →C

Bước 4: Ta bấm liên tiếp phím “=” và dừng lại khi C = 30 ta được F30

Phần 2: PhânTích Tư Tưởng Giải Toán Bằng Máy Tính Bỏ Túi Qua Một Số Bài Toán Về Dãy Số Và Số Học.

Dạng 1: Việc tính toán được lặp đi lặp lại theo một chu kỳ nhất định

Ví dụ 1:

Chữ số thập phân thứ 2006 sau dấu phẩy là chữ số nào khi ta chia 1 cho 49

Phân Tích:

Tư tưởng để giải bài này rất rỏ ràng là tìm chu kỳ của số thập phân 1

49 Vấn đề đặt ra là làm sao để tìm chu kỳ nhanh nhất khi ta dùng máy tính 570MS 1:49 ≈ 0,02040816327

1010 – 49*204081632 =32

32:49 ≈ 0,6530612245

32*109 – 49*653061224=24

24:49 ≈ 0,4897959184

24*109 – 49*489795918=18

18:49 ≈ 0,3673469388

18*109 – 49*367346938=38

38:49 ≈ 0,7755102041

Như vậy 1:49 ≈ 0,02040816326530612244897959183673469387755102041

Suy ra chu kỳ là 42

Ta thấy 2006 = 42*47 + 32

Do đó chữ số thập phân thứ 2006 là chữ số 3

Lưu ý: Với kỳ thi máy tính ta viết kết quả gần đúng (≈)

Ví dụ 2: Ngày 01/01/2008 là ngày thứ ba Vậy ngày 01/01/2080 là ngày thứ mấy? Phân Tích:

Ta thấy 1 năm có 365 ngày, 1 năm nhuận có 366 ngày

Từ ngày 01/01/2008 đến Vậy ngày 01/01/2080 trải qua 72 năm, trong đó có 18 năm nhuận

Cứ 4 năm có 1 năm nhuận Năm nhuận là năm chia hết cho 4 mà không chia hết cho 100 hoặc chia hết 400

Suy ra số ngày là 72*365 + 18 = 26298 = 7*3756 + 6

Số dư là 6 tức là từ thứ 3 thêm 6 ngày nửa ta được thứ 2

Như vậy ngày 01/01/2080 là ngày thứ 2

Ví dụ 3: Cho dãy số (xn ):

1 2

1 2

1412003 20032004

1 n

n

n

x x

x x

x

+ +



 =

 =





Tính x2004

Tư tưởng đề giải bài này là liệt kê dãy số trên ra xem thử dãy số trên có hội tụ không

Bấm 1412003 →A 20032004 →B

Bấm 1 B

A

+

→A 1 A

B

+

→B

Copy hai dòng trên ta được 1 B

A

+

→A; 1 A

B

+

→B

Bấm “ =” liên tiếp ta được

2

3

4

5

1412003

20032004

20032005/1412003

282158/372174338737

18579/263579

x

x

x

x

x

=



 =

 =



 =



 =



6 7 8 9 10

1412003 20032004 20032005/1412003 282158/372174338737 18579/263579

x x x x x

=



 =

 =



 =





Suy ra dãy số trên tuần hoàn với chu kỳ là 5

Do đó x2004 = x4

Dạng 2: Dãy số hội tụ.

Ví dụ 1: Cho hai dãy số (xn) và (yn) :

1 1

2 1

3 1

1 1

n n

n

y y

y

+ +



 = =









Tính x2004.y2004

Phân tích:

Nếu ta dùng máy tính đoán đáp số cho bài toán trên thì rất dễ dàng

Ta chỉ cần tổ chức ô nhớ cho hợp lý

3→A 3→B A + 1 A+ 2 →A 1 1 2

B B

COPY ba dòng trên ta được A + 2

1 1

B B

Bấm “=” liên tục ta được A.B không đổi là 2

Lưu ý khi viết kết quả x2004.y2004 ≈ 2

Nếu ta dùng suy luận toán học thì việc đoán đáp số cho bài toán trên không dễ dàng

Ta thấy: x1 = cot300, x2 = cot30

2

o

,………… , xn + 1 = cot30

2

o n

y1 = tan600, y2 = tan60

2

o

,………… , yn + 1 = tan60

2

o n

Tính x2004.y2004 = tan 602003

2

o

cot 3020030

2 2003

2 30

1 tan

2

Ví dụ 2: Cho hai dãy số (xn) và (yn) xác định như sau :

4732; 847

2

; 2

n n





a) Tính giá trị 5

5

2002 2002

x x

− + với 10 chữ số thập phân.

b) Tìm lim ;limx x n x y n

Bấm 4732 →A 847 →B

Bấm

2

A B+

→ C 2AB

A B+ →D C→ A D →B

COPY bốn dòng trên ta được :

2

A B+

→ C; 2AB

A B+ →D; C→ A; D →B

Bấm “=” liên tục ta được:

1 2 3 4 5

4732 2785,5 2113,159039 2004,923663 2002,002132

x x x x x

=



 =

 =



 =



 =



Từ đó suy ra 5

5

2002 2002

x x

− + ≈5,323948215-07

lim n 2002;lim n 2002

Ví dụ 3: Cho dãy số (xn) với

xn =sin(2010 – sin( 2010 - ……… sin( 2010 – sin(2010))………….))

Tìm n0 để với mọi n ≥ n0 thì xn có bốn chữ số phần thập phân ngay sau dấu phẩy là không đổi

Tìm gía trị x2009

Chuyển máy về radian

Bấm sin2010

Bấm sin(2010 – Ans)

Bấm “ =” liên tiếp và đếm ta được bốn chữ số phần thập phân ngay sau dấu phẩy không đổi là 3071

Kết quả n0 = 185

Dạng 3: Tính toán theo một qui luật nhất định.

Ví dụ 1: Cho f(x) = 4x( 4x + 2) – 1 Hãy tính tổng

S = f( 1

2010) + f( 2

2010 ) +……… + f(2009

2010)

Ta có: Nếu u + v = 1thì f(u) + f(v) =1

Do đó S = 1004 + f(1005

2010) = 1004 + 1

2 Bình luận: Nếu ta không thấy được đặc điểm trên thì việc giải bài toán trên rất khó

Ví dụ 2: Cho dãy số (xn) xác định như sau :

1 1

1

( 1) 1

n n

n

x

x

nx

+

=







Tìm gía trị x2008

Bấm 1 →A 1→B

Bấm

1

A

AB+ → A ; 1 + B→B

COPY hai dòng trên ta được :

1

A

AB+ → A ; 1 + B→B

Bấm “=” liên tục ta được: 1, 1

2,

1

4 ,

1

7,

1

11,

1

16, ……

Ta có 1 +1 +2 + 3 + 4 +……….+ 2007 = 2015029

Do đó x2008 = 1

2015029

Ví dụ 3: Cho f (n) = 3 2 3 12 3 2

Tính S = f(1) + f(2) + f(3) + ……… + f(123456789)

Ta thấy f(n) = 3 1 3 1

2

Do đó S = 3123456790 3123456789 1

2

Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của số 21999 + 22000 + 22001

76*76 = 5776

220 = 1048576

21999 + 22000 + 22001 = 21980 (219 + 220 + 221)

219 + 220 + 221 = 3670016

76*16 = 1216

Do đó hai chữ số cuối cùng la 16

Ví dụ 5: Phép tính nâng lên luỹ thừa rồi lấy modul của các số nguyên, tức là tính

C = Nk mod p, là không khó khăn, ngay cả với những số cực lớn Nhưng phép tính ngược lại, tức là tìm ra N khi biết C, k, p, thường được gọi là phép “khai căn” bậc

k modul p, lại là việc vô cùng khó khăn Trong trường hợp tổng tổng quát, với các

số nguyên lớn, bài toán này là không thể giải được ngay cả với các siêu máy tính mạnh nhất hiện nay Tuy nhiên, khi p là số nguyên tố và k không có ước chung với

p – 1 thì nhờ định lý fermat (nhỏ ) người ta phát hiện ra rằng có thể thực hiện được phép “ khai căn “ này bằng cách tìm số d sao cho dk = 1 mod (p – 1) và tính ra N bằng công thức N = Cd mod p Để kiểm nghiệm điều nói trên, em hãy

a) Tính số C = 123452305 mod 54321 ;

b) Tìm số N sao cho N52209 mod 89897 = 56331

Phân Tích

B1) 12345 2305 , 2305 = 2304 + 1

12345 2 : 54321≈ 2805.526868, 12345 2 – 2805* 54321 = 28620

B2) 28620 1152

28620 2 : 54321≈15078.96394, 28620 2 – 15078*54321 = 52362

B3) 52362 576

523622: 54321≈ 50473.64820, 523622 – 54321* 50473 = 35211 B4) 35211288

352112: 54321≈ 22823.85304, 523622 – 54321* 22823 = 46338 B5) 46338144

463382: 54321≈ 39528.17960, 463382 – 54321* 39528 = 9756 B6) 975672

97562: 54321≈ 1752.168333, 97562 – 54321* 1752 = 9144 B7) 914436

91442 : 54321≈ 1539.234108, 91442 – 54321* 1539 = 12717 B8) 1271718

127172 : 54321≈ 2977.155962, 127172 – 54321* 2977 = 8472 B9) 84729, 9 = 8 + 1

84722 : 54321≈ 1321.308223, 84722 – 54321* 1321 = 16743 B10) 167434

167432 : 54321≈ 5160.583366, 167432 – 54321* 5160 = 31689 B11) 316892

316892 : 54321≈ 18486.27089, 316892 – 54321* 18486 = 14715 B12) 12345*8472*14715 : 54321≈ 28331498.878886618,

12345*8472*14715 – 54321* 28331498 = 47742

Suy ra C = 47742

B1) d.52209 = 1 +n.89896 89896 – 52209 = 37687 n = 1190, d = 2049 B2) d.52209 = 1 + n.37687 52209 – 37687 = 14522 n = 1190, d =859

B3) d 14522 = 1 + n.37687 37687 – 2*14522 = 8643 n = 331, d = 859

B4) d 14522 = 1 + n 8643 14522 – 8643 = 5879 n = 331, d = 197

B5) d 5879 = 1 + n.8643 8643 – 5879 = 2764 n = 134, d = 197

B6) d 5879 = 1 + n 2764 5879 – 2*2764 =351 n = 134, d = 63

B7) d 351 = 1 + n.2764 2764 – 7*351 = 307 n = 8, d = 63

B8) d 351 = 1 + n.307 351 – 307 = 44 n = 8, d =7

B9) d.44 = 1 + n.307 307 – 6*44 = 43 n = 1, d = 7

Từ B10 ta có n = 1 ta suy ngược lên B1 d = 2049

N = 563312049 mod 89897

B1) 56331 2049

, 2049 = 2048 + 1

56331 2 : 89897≈ 35297.9694651, 56331 2 – 35297* 89897 = 87152

B2) 87152 1024

87152 2 : 89897≈84490.81842, 87152 2 – 84490*89897 =73574

B3) 73574 512

735742: 89897≈ 60214.8400503, 735742 – 89897* 60214 =75518

B4) 75518256

755182: 89897≈ 63438.9170273, 755182 – 89897* 63438 = 82438

B5) 82438128

824382: 89897≈ 75597.8936338, 824382 – 89897* 75597 = 80335

B6) 8033564

803352: 89897≈ 71790.0733, 803352 –89897* 71790 = 6595

B7) 659532

65952 : 89897≈ 483.820650300, 65952 – 89897* 483 = 73774

B8) 7377416

737742 : 89897≈ 60542.6552165, 737742 –89897* 60542 = 58902

B9) 589028

589022 : 89897≈ 38593.5637897, 589022 – 89897* 38593 =50683

B10)506834

506832 : 89897≈ 28574.55186, 506832 – 89897* 28574 =49611

B11) 496112

496112 : 89897≈ 27378.5701525, 496112 – 89897* 27378 = 51255

B12) 51255*56331: 89897≈ 32117.260, 51255*56331– 89897* 32117 = 23456

Suy ra N = 23456

Bình luận

Để làm được bài toán trên đòi hỏi phải kiên nhẫn, thật kiên nhẫn

Dạng 4: Các bài toán không mẫu mực

Ví dụ 1: Tìm một nghiệm (x, y, z) với x, y, z là các số nguyên dương phân biệt của

phương trình sau: 4n = + −1 1 1x y z Với a) n = 109 b) n = 1001

Ta có 4n= + − ⇔1 1 1x y z 1 1 1 4

z = + − ⇔x y n 1 (x y n) 4xy

=

Cho n = x + y ta được

2

1 (x y)

−

=

Cho 1 = x – y ta được 1z = xyn1

a) Với n = 109 thì x = 55 , y = 54 và z = 55*54*109 = 323730

b) Với n = 1001 thì x = 501 , y = 500 và z = 501*500*1001 = 250750500

Ví dụ 2: Tính S = 20102006 2006

3 2 0

( 1)

9 26 24

k k k

C

=

−

∑

S = 20102006

0

( 1) 2006!

!(2006 )!( 2)( 3)( 4)

k

−

0

( 1) 2006!( 1) ( 4)!(2010 ( 4))!

k k

k

=

∑

= 2006

0

( 1) 2010!( 1) ( 4)!(2010 ( 4))!2007.2008.2009

k k

k

=

2006

4 2010 0

1

( 1) ( 1) 2007.2008.2009

k k k

=

∑

Xét T = 2006 4

2010 0

( 1)k k .( 1)

k

=

∑ = 0 4

2010 ( 1) − C .1 + 1 5

2010 ( 1) − C .2 + …………+

2006 2010

2010

( 1) − C .2007

= 0 4

2010

( 1) − C .1 + ………+ 2002 2006

2010 ( 1) − C .2003 + ………+ 2006 2010

2010 ( 1) − C .2007

= 1002( 0 4

2010 ( 1) − C .2 + 1 5

2010 ( 1) − C .2 + ….+ 1000 1004

2010 ( 1) − C .2 + 1001 1005

2010 ( 1) − .C ) + … +

2006 2010

2010

( 1) − C .2007

Ta thấy (1 – 1)2010 = 0

2010

2010

C +……… + 2010 2010

2010 ( 1) − C

= 2 0

2010

2010

C +……… + 2 1004

2010

2010

C

Do đó T = 2007.1004

Từ đó suy ra S = 1

4018 Bình luận:

Ta thấy lời giải trên hoàn toàn không sử dụng máy tính mà phải khôn khéo biến đổi vận dụng sáng tạo nhị thức niu tơn và công thức tổ hợp

Nhưng đây lại là đề thi cho máy tính bỏ túi Vậy ta hiểu gì về tư tưởng của người

ra đề cho câu hỏi này

Một cách giải khác:

Ta có: (k+2)(k1+3)(k+4) =2(k1+2)−k1+3 2(+ k1+4)

Đặt S1 = 2006 2006

0

( 1) 2( 2)

k k k

C k

=

− +

∑

Ta thấy f(x) = x(1 – x)2006 = 2006 2006

0

( 1)k k .k k

=

−

∑

1

0

( )

f x dx

∫ = 2006 2006

0

( 1) 2

k k k

C k

=

− +

Tương tự

S2 = 2006 2006

0

( 1)

3

k k

k

C k

=

−

+

∑ =

1

2 2006 0

(1 )

∫

S3 = 2006 2006

0

( 1)

2( 4)

k k

k

C k

=

−

+

∑ =

1

3 2006 0

1 (1 )

2∫x −x dx

Như vậy S = 2010( S1 – S2 + S3 )

Bấm máy cho kết quả S = 0,0002492980106

Bấm theo kết quả S = 1

4018 = 0,0002488800398 Vậy ta hiểu gì về hai đáp số trên

Chính vì điều này đã tạo ra rất nhiều lời phê bình và gây rất nhiều khó khăn cho các giáo viên dạy ôn thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi

Ví dụ 3:

Bài 1; Cho h(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx +132005 Biết h(1) ; h(2); h(3); h(4) lần lượt là 8, 11, 14, 17

Tìm 3h(10)

Bài 2: cho p(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết p(x) nhận giá trị lần lượt là 11,

14, 19, 26, 35 khi x theo thứ tự nhận các giá trị tương ứng 1, 2, 3, 4, 5 Tính p(16)

và số dư khi chia p(x) cho 10x – 3 (kết quả lấy 5 chữ số thập phân)

Phân Tích

Về mặt tư tưởng của các bài toán trên là giải hệ phương trình

Nếu nhìn bài toán trên ở khía cạnh đặc biệt :

Ta thấy h(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – p) + 3x + 5 với h(0) = 132005 ta tìm

p và h(10) rất dễ dàng

P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 +10 và ta dễ dàng tính p(16) cũng như r = p( 3

10)

Để nhìn ra được khía cạnh đặc biệt đó em xin nhường lời bình luận lại cho người

ra đề đó và mọi người quan tâm tới đề thi trên

Phần 3: Tài liệu tham khảo

1) Máy tính VINACAL Vn – 570MS

Hướng Dẫn Sử Dụng Và Giải Toán cùa TS TRẦN VĂN VUÔNG

2) Các đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio của

TẠ DUY PHƯỢNG _NGUYỄN THẾ THẠCH

3) Các website của các sở giáo dục đào tạo trên cả nước