so sánh việc dạy học khái niệm hàm số bậc hai ở trường trung học phổ thông việt nam và úc

Chúng tôi tự hỏi: Ngoài hạn chế về đối tượng công cụ của đồ thị HSBH, thì vai trò khái niệm HSBH gắn liền với các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có được trình bày trong SGK

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thành ph ố Hồ Chí Minh năm 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Chuyên ngành : Lý lu ận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã s ố : 60 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành ph ố Hồ Chí Minh năm 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những

trích d ẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực

Bùi Minh T ấn

LỜI CẢM ƠN

 Lời cảm ơn đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy TS Nguyễn Ái Quốc, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

 Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quý thầy cô: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình truyền đạt những kiến

thức về Didactic Toán mà tôi chưa được tiếp cận ở bậc đại học Nhờ đó, chúng tôi có những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu trong luận văn của

bản thân

 Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn cùng khóa 23, những người bạn

đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học

 Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học

Bùi Minh T ấn

Kết luận4 26 4

1.2 Khái niệm Hàm số bậc hai ở Việt Nam4 27 4

1.2.1 Phân tích chương trình Toán Việt Nam hiện hành4 27 4

1.2.2 SGK Toán 9 tập 24 30 4

1.2.3 Phân tích SGK Toán 10 CB4 35 4

1.2.4 Phân tích SGK Toán 10 NC4 45 4

Kết luận4 52 4

CHƯƠNG 2 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM4 55

4

2.1 Mục đích thực nghiệm4 55 4

2.2 Đối tượng và hình thức thực nghiệm4 55 4

2.3 Nội dung thực nghiệm4 56 2.3.1 Bài toán 1 56

2.3.2 Bài toán 24 60 4

2.3.3 Bài toán 34 62 4

2.4 Phân tích hậu nghiệm4 72 4

2.4.1 Phân tích hậu nghiệm bài toán 14 72 4

2.4.2 Phân tích hậu nghiệm bài toán 24 74 4

2.4.3 Phân tích hậu nghiệm bài toán 34 76 4

K ẾT LUẬN4 78 TÀI LI ỆU THAM KHẢO 87

PH Ụ LỤC 88

dạy Toán ở Việt Nam hiện nay Đối với khái niệm hàm số bậc hai được giảng dạy ở

bậc trung học cơ sở với dạng đơn giản nhất 2

y =ax và bậc trung học phổ thông với

nhất và bậc hai với mục tiêu: “Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số” Trong

SGK Toán 10 nâng cao, đồ thị hàm số bậc hai 2

y=ax +bx+ được xây dựng trên c

đồ thị hàm số bậc hai đơn giản 2

y=ax bằng phép tịnh tiến đồ thị trong bài học Sau

đó, SGK trình bày cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai 2

y=ax +bx+c dựa vào các đặc điểm sau:

− Xác định đỉnh của parabol;

− Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol;

− Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối

xứng);

− Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó lại

[SGK Toán 10 NC, tr.56] Đối với SGK Toán 10 CB cũng trình bày nội dung phép tịnh tiến đồ thị hàm

số 2

y ax = để thu được đồ thị hàm số bậc hai 2

y = ax + + bx c trong “bài đọc thêm”

HS được học cách vẽ đồ thị HSBH nối hữu hạn điểm đặc biệt của đồ thị (hay còn

gọi là lưới các điểm)

Trong hội thảo về phương pháp dạy học do viện khoa học Giáo dục tổ chức

tại Quảng Ninh, Nguyễn Huy Đoan đã trình bày những điều đáng suy nghĩ trong chương trình và SGK Toán Việt Nam về: “Biến đổi đồ thị hàm số Trong SGK Toán Việt Nam biến đổi đồ thị hàm số chỉ giới hạn ở phép tịnh tiến đồ thị song song

với trục tọa độ và cũng được đề cập hết sức đơn giản trong Đại số 10 Nâng cao

Biến đổi đồ thị, còn gọi là biến đổi hàm số, là vấn đề được SGK các nước đặc biệt quan tâm Họ dành một chương nói về biến đổi hàm số tuyến tính, trong đó có mô

tả phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ [ ] Vấn đề này được nhắc lại khi nói về hàm số bậc hai ”P

1 P

Tuy nhiên, chúng tôi ghi nhận trong chương trình Toán

Việt Nam vai trò của phép biến đổi đồ thị thể hiện ở điểm sau: “Ở lớp dưới, HS đã được học đầy đủ về hàm số y = ax và y = axP

2 P

; chỉ bằng phép tịnh tiến đồ thị,

1

www.hocthenao.vn/2013/11/13

tương ứng ta có ngay đồ thị của hàm số y = ax + b và y = axP

2 P + bx +c ” Như chúng ta đã biết, theo quan điểm của Didactic Toán thì mỗi tri thức của một thể chế

để sống được trong thể chế ấy, tri thức phải tuân theo một số ràng buộc nào đó Điều đó kéo theo tri thức phải bị biến đổi, nếu không thì nó không thể đứng vững trong thể chế Theo trường phái Didactic Toán và việc Nguyễn Huy Đoan đưa ra

hạn chế trong SGK khiến chúng tôi nảy sinh vấn đề: Lý do của việc SGK Toán 10

Việt Nam lựa chọn trình bày phép tịnh tiến chỉ ở mức độ đơn giản, nó có khác biệt

gì so với SGK của một số quốc gia trên thế giới (đặc biệt là Úc)? Qua việc trình bày trong SGK Việt Nam, học sinh hiểu như thế nào về phép tịnh tiến trong nghiên cứu

đồ thị HSBH? Và học sinh có thể vẽ đồ thị HSBH bằng phép tịnh tiến hay không?

 UGhi nh ận thứ hai

Trong chương trình và SGK Toán Cơ bản 10 giảng dạy nội dung HSBH đề

ra mục tiêu như sau: “Biết lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai” [SGV Toán 10 CB, tr.58] Từ đó, chúng tôi nhận thấy HS Việt Nam học khái niệm HSBH chỉ để vẽ đồ thị của HSBH Trong luận văn của tác giả Phạm Hải Dương:

“Một nghiên cứu Didactic về PTBH chứa tham số ở lớp 9, 10” năm 2011 đã đưa ra

giả thuyết và kiểm chứng mặt hạn chế về vai trò công cụ của đồ thị HSBH như sau:

“Vai trò công cụ của phương pháp đồ thị mờ nhạt trong việc giải PTBH chứa tham

số ở lớp 10” Chúng tôi tự hỏi: Ngoài hạn chế về đối tượng công cụ của đồ thị HSBH, thì vai trò khái niệm HSBH gắn liền với các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất có được trình bày trong SGK Việt Nam hay không?

Từ những điều trên, chúng tôi tìm hiểu nội dung dạy học trong SGK các nước có nền giáo dục tiên tiến hay các trường quốc tế tại Việt Nam thì chúng tôi

nhận thấy mục tiêu giảng dạy của họ không chỉ trình bày ở việc vẽ đồ thị, mà họ còn sử dụng đồ thị như là công cụ để giải quyết các bài toán liên quan đến HSBH

Dựa trên sự tham chiếu chương trình Toán của Úc, chúng tôi có câu hỏi đặt ra: SGK

Úc quan tâm đến vai trò công cụ của đồ thị HSBH để làm gì? Vấn đề mô hình các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến HSBH trình bày như thế trong SGK Úc? Liệu rằng HS Việt Nam có gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất này không?

Từ những ghi nhận trên, tôi quyết định chọn đề tài luận văn của mình nghiên

cứu theo hướng: “So sánh việc dạy học khái niệm hàm số bậc hai ở trường trung h ọc phổ thông Việt Nam và Úc” để có cái nhìn rõ hơn những tồn tại trong

việc dạy học khái niệm HSBH trong trường Phổ thông Việt Nam Trong khuôn khổ

của luận văn, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu về đồ thị của hàm số bậc hai và vai trò công cụ của đồ thị hàm số bậc hai

2 KHUNG LÝ THUY ẾT THAM CHIẾU

Cơ sở lý thuyết dành cho nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi Didactic Toán, cụ thể là Lý thuyết nhân chủng học Ngoài ra, chúng tôi lựa chọn

thực hiện luận văn theo quan điểm so sánh như sau:

Khi nghiên cứu một đối tượng O nào đó, nhà nghiên cứu phải thực hiện phân tích, xem xét đối tượng O đó dưới cái nhìn khoa học luận, tức là trở về tìm hiểu

lịch sử hình thành đối tượng O đó Tuy nhiên, trong khuôn khổ hạn chế về tài liệu,

việc tìm kiếm các nguồn tài liệu gốc về lịch sử tri thức Toán sẽ trở nên hết sức khó khăn

Theo Chevallard 1996, “Từ thể chế này sang thể chế khác, mối quan hệ thể

chế với đối tượng O thường hay thay đổi: nếu I≠I’, ta thường có ( , ) ( ', )

R I O ≠R I O , điều này cũng tương tự khi mà đối tượng O được xét trong I và I’ thuộc về cùng một công trình – chẳng hạn một đối tượng toán học”

Chúng tôi thực hiện nghiên cứu của mình theo quan điểm so sánh giữa hai

thể chế nhằm mục đích :

− Việc tiếp cận và hình thành cách vẽ đồ thị của HSBH trong hai thể chế

− Vai trò công cụ của đồ thị HSBH trong mỗi thể chế và những khó khăn của

học sinh Việt Nam

3 M ỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Luận văn nghiên cứu của tôi nhằm mục đích trả lời cho các câu hỏi sau:

CH1: Có sự khác biệt và tương đồng nào trong mối quan hệ thể chế Việt Nam và

Úc đối với khái niệm hàm số bậc hai? Đặc trưng của các tổ chức toán học gắn liền

với khái niệm HSBH? Vai trò công cụ khái niệm HSBH được trình bày như thế nào trong hai thể chế?

CH2: Sự ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam ảnh hưởng như thế nào đến quan

hệ cá nhân HS với phép tịnh tiến đồ thị của hàm số bậc hai 2

y=ax +bx+ ? c

CH3: Mối quan hệ thể chế Việt Nam đối với giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của HSBH ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân của HS?

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để đạt được mục đích nghiên cứu, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:

Một là, chúng tôi chọn phân tích bộ SGK Úc giảng dạy cho các học sinh các trường quốc tế, trong đó có Việt Nam Bộ SGK này có tính phổ biến rộng rãi nhiều

quốc gia trên thế giới nên chúng tôi lựa chọn nó làm cơ sở tham chiếu so sánh Bên

cạnh đó, chúng tôi lựa chọn phân tích chương trình SGK Toán 9, SGK Toán 10 hiện hành Qua việc phân tích hai bộ SGK của Úc và Việt Nam, chúng tôi nhận thấy được sự khác biệt của hai thể chế cũng như những ràng buộc của thể chế đối với khái niệm HSBH Từ đó giúp chúng tôi tìm được câu trả lời cho CH1 Vấn đề này, chúng tôi trình bày trong chương 1 Nghiên cứu quan hệ thể với khái niệm hàm số

b ậc hai

Từ sự khác biệt trong việc dạy – học khái niệm HSBH ở Việt Nam so với Úc

sẽ giúp chúng tôi đặt ra những giả thuyết nghiên cứu

Hai là, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm tình

huống Cuối cùng, tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm, đối chiếu với phân tích tiên nghiệm và hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu Vấn đề này được chúng tôi trình bày trong chương 2 Nghiên cứu thực nghiệm

CHƯƠNG 1 NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM

S Ố BẬC HAI

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi CH1 sau:

CH1: Có sự khác biệt và tương đồng nào trong mối quan hệ thể chế Việt Nam và

Úc đối với khái niệm hàm số bậc hai? Đặc trưng của các tổ chức toán học gắn liền

với khái niệm HSBH? Vai trò công cụ của khái niệm HSBH được trình bày như thế nào trong hai thể chế?

Để đạt được mục tiêu đó, chúng tôi lựa chọn các bộ SGK hiện hành của Việt Nam gồm:

“Chương trình tú tài quốc tế IBDPP

2

Pđã được cấp cho hàng ngàn HS tại 145 quốc gia trên thế giới.[…] Với chương trình IBDP, học sinh không thể phụ thuộc vào việc

học thuộc lòng mà phải hoàn toàn "động não" Các em được dạy không cần phải

học như một người máy và ghi nhớ tất cả những gì đã học, các em phải tự mình đưa

ra phương pháp học hiệu quả nhất (dưới sự tư vấn và hướng dẫn của các thầy cô) và thích nghi, rèn luyện các kỹ năng học tập mới”P

3 P Như vậy, GT được biên soạn dành cho HS – SV các trường quốc tế và mang tính giáo dục: “lấy học sinh làm trung

tâm”, được nhiều nước lựa chọn giảng dạy theo chương trình giáo dục của Úc

2 IBDP là viết tắt của International Baccalaureate Diploma Programme

3Học chủ động với chương trình tú tài quốc tế [www.vnexpress.net, phát hành năm 2014]

1.1 Khái ni ệm Hàm số bậc hai trong giáo trình Úc

1.1.1 M ục tiêu dạy học trong giáo trình Úc

GT được sử dụng cho HS các trường quốc tế theo khóa học hai năm của Mathemtics HL Đó là một trong các khóa học nằm trong chương trình tú tài quốc

tế của Diploma GT được phát triển phi lợi nhuận, được tham khảo ý kiến với nhiều giáo viên giàu kinh nghiệm của chương trình toán học International Baccalaureate (IB)

Trong phần giới thiệu của GT, chúng tôi nhận thấy mục tiêu giảng dạy hướng đến hình thành cho HS các kỹ năng sau:

Một là, nâng cao khả năng tự học, tìm hiểu khám phá các khái niệm toán học qua việc tương tác với đĩa CD kèm theo GT: “Sự kết hợp của GT và tương tác trên Student CD sẽ gợi động cơ học tập, thúc đẩy sự phát triển toán học của HS”

Hai là, giúp HS nhận thấy được vai trò của toán học trong cuộc sống hàng ngày: “Một số bài tập được thiết kế nhằm hình thành kỹ năng, cố gắng xây dựng tình huống trong bối cảnh có vấn đề, để HS có thể nhìn thấy được sự hữu ích hàng ngày và các ứng dụng thực tế của toán học mà họ đang nghiên cứu…”

Ba là, ứng dụng công nghệ thông tin trong việc học tập của HS, “Việc sử

dụng máy tính đồ họa và phần mền máy tính trong cuốn sách giúp học sinh nhận

thức được tầm quan trọng, ứng dụng và sử dụng công nghệ thích hợp.[…] Nó vai trò quan trọng như là học sinh làm việc với một cây bút và giấy với các phần mền

HS sử dụng máy tính hoặc máy tính đồ họa, hoặc sử dụng một bảng tính hoặc gói

đồ họa trên máy tính”

Với mục tiêu nêu trên, chúng tôi sẽ tiến hành một phân tích về phép biến đổi đồ thị trong chương 6 của GT với mục đích xem xét:

− Cách tiếp cận phép biến đổi đồ thị hàm số trong GT Úc

− Các tổ chức toán học với phép biến đổi đồ thị HSBH

− Vai trò của phép biến đổi đồ thị HSBH thể hiện như thế nào với nội dung khái niệm HSBH?

1.1.2 Đồ thị và phép biến đổi đồ thị trong GT

GT Úc được chia làm 30 chương, trình bày các kiến thức về Đại số và Giải tích Với mục tiêu đề ra trong nghiên cứu nên chúng tôi lựa chọn phân tích các

chương 6 Đồ thị và biến đổi hàm số, chương 7 Phương trình và Hàm số bậc hai,

chúng tôi lựa chọn phân tích những mục trình bày liên quan đến khái niệm HSBH

Ở chương 6, nội dung về đồ thị hàm số được chia làm các phần như sau:

E Hàm phân thức đơn giản

F Phép biến đổi đồ thị hàm trị tuyệt đối

Trong chương 6, GT Úc trình bày về vẽ đồ thị các hàm số sơ cấp GT Úc

nhấn mạnh việc sử dụng công nghệ thông tin để hỗ trợ vẽ đồ thị các hàm số sơ cấp Chúng tôi nhận thấy có hoạt động 3, 4 được trình bày nội dung HSBH được cho

, ( 1) 2, ( 1) 3, ( 2) 1

y= x y= −x + y= +x − y= −x − và các hàm s ố khác có d ạng 2

y= −x h + theo sự lựa chọn của bạn Nhận xét về hàm k

s ố có dạng trên

[GT, tr.108] Đối với hoạt động 3, chúng tôi cho rằng GT mong muốn HS nhận biết hình dạng

của đồ thị hàm số y=ax2 khi hệ số a thay đổi với trường hợp a > 0 và a < 0

Đối với hoạt động 4, chúng tôi thấy rằng HS sẽ nhận biết được vị trí đỉnh I(h, k) trên mặt phẳng Oxy của đồ thị hàm số có dạng 2

y x h k so với đỉnh O(0, 0) parabol của hàm số 2

.

=

y x Từ hai hoạt động trên, ta nhận thấy GT đã

bước đầu rèn luyện cho HS kỹ năng đọc thông tin đồ thị của HSBH, tức là HS có

thể nhận xét được các đặc điểm của đồ thị HSBH về bề lồi, bề lõm của parabol khi

hệ số a thay đổi, tọa độ của đỉnh I(h, k) trên mặt phẳng Oxy

Trong phần C Phép biến đổi đồ thị, GT đã trình bày mối liên hệ giữa hàm số ( )

4

Th ực nghiệm toán học được hiểu là việc sử dụng công nghệ tính toán trong nghiên cứu toán học Máy tính cung c ấp cho nhà toán học “phòng thí nghiệm”, trong đó học có thể tiến hành các thực nghi ệm: phân tích các ví dụ, kiểm tra các ý tưởng mới hoặc tìm các quy luật [Nguyễn Đăng Minh Phúc, Vai trò c ủa thực nghiệm toán học trong các phần mền hình học động , tr.101]

Dựa vào đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = f(x) + b , đưa kết luận về phép

tịnh tiến giữa hai đồ thị HSBH y = f(x) và hàm số y = f(x) + b

Cách 2: Không vẽ đồ thị, dựa vào hằng số b

− Với b > 0 thì ta kết luận đồ thị hàm số y = f(x) + b thu được bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = f(x) lên trên b

− b > 0 nó di chuyển lên trên

− b < 0 nó di chuyển xuống dưới

− Khi a > 0, ta kết luận đồ thị của y = f(x – a) thu được bằng cách dịch chuyển

đồ thị của y = f(x) về phía bên phải a đơn vị

− Khi a < 0, ta kết luận đồ thị của y = f(x – a) thu được bằng cách dịch chuyển

đồ thị của y = f(x) về phía bên trái a đơn vị

Công ngh ệ:

“Đối với hàm số y = f (x – a), sự thay đổi dấu a ảnh hưởng đến sựdịch chuyển của các đồ thị của y = f (x) theo chiều ngang với a đơn vị

− Nếu a > 0, nó di chuyển về bên phải

− Nếu a < 0, nó di chuyển bên trái”

[GT, tr 113]

Ví dụ minh họa cho KNV:

Bài 3 a Trên cùng h ệ trục tọa độ, vẽ đồ thị: 2

thị của một hàm số cơ bản cho trước thực hiện phép biến đổi đồ thị trên đến một vị trí khác trên mặt phẳng tọa độ thì ta sẽ nhận được một hàm số mới tương ứng với đồ

thị đó Do đó, phép biến đổi đồ thị còn gọi là phép biến đổi hàm số, tức là thiết lập hàm số mới từ hàm số đã biết nhờ phép biến đổi đồ thị

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ - bài tập

B ảng 1.1 Tổng hợp kiểu nhiệm vụ phép biến đổi đồ thị - bài tập

Việc trình bày đồ thị của HSBH ở chương này không nhằm mục đích xây

dựng đồ thị HSBH y = ax2+ + bx c từ đồ thị hàm số y ax = 2 bằng các phép biến

đổi đồ thị HS chỉ hình thành kỹ năng mô tả mối liên hệ giữa các đồ thị HSBH bằng các phép biến đổi thị qua các KNV TR motaUc1 R, TR motaUc2 R Vấn đề đặt ra, phép biến đổi

đồ thị có được nhắc lại trong nội nung bài học khái niệm HSBH không? Nếu có,

nhằm mục đích gì? Trong phần phân tích tiếp theo, chúng tôi sẽ tìm ra câu trả lời

K Giao điểm của đồ thị hàm số

L Mô hình hóa hàm bậc hai

Trong phần này, chúng tôi lựa chọn các mục A, B, C, F, H, J, K, L nơi mà đối tượng HSBH được cụ thể hóa, làm rõ các tổ chức toán học khái niệm HSBH làm cơ sở so sánh với chương trình Toán Việt Nam xoay quanh các vấn đề sau:

− Cách tiếp cận đồ thị HSBH

− Vai trò công cụ của khái niệm HSBH

Trong bộ GT này, dạng biểu thức giải tích của HSBH được chia làm 3 dạng:

3 “Trên cùng hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị các hàm số sau:

Qua hoạt động trên, GT nhằm giúp cho HS thấy được ý nghĩa của hệ

số a < 0: bề lõm của parabol quay xuống , a > 0: bề lõm của parabol quay lên khi vẽ trên cùng hệ trục tọa độ so với hàm số 2

=

y x

GT nhận xét HSBH là một hàm đa thức và trình bày một cách sơ lược về

lịch sử hình thành của khái niệm HSBH trong phần “chú thích lịch sử”

Mở đầu, HSBH dạng đơn giản 2

y = x chỉ trình bày trong phần giới thiệu nội

dung về: đồ thị là parabol, đỉnh của parabol, được vẽ từ bảng giá trị trong phần ghi chú sau: “Điều quan trọng là chúng ta có thể vẽ đồ thị của 2

y = x từ bảng giá trị được cho trước” [GT, tr.123] Chúng tôi nhận thấy GT không trình bày về các tính

chất hàm số của hàm số y= x2 GT Úc trình bày HSBH ở phần B với 2 dạng: ( )( )

y=a x−a x−β và y = a x h ( − )2+ k

Vậy GT đã tiếp cận khái niệm hàm số và cách vẽ đồ thị HSBH hai dạng trên như

thế nào? Chúng tôi tiến hành một phân tích về khái niệm HSBH trình bày trong GT

để tìm câu trả lời thỏa đáng

Đầu tiên, GT đưa ra định nghĩa và kí hiệu về HSBH như sau:

Trong phần A, ký hiệu hàm số 2

:

f x→ax + +bx c

GT đưa ra định nghĩa về hàm số bậc hai như sau:

“Tương tự hàm tuyến tính, với mỗi giá trị của x tương ứng chỉ một giá trị

c ủa y có thể tìm bằng cách thay vào phương trình hàm số”

Như vậy, khái niệm HSBH được định nghĩa trực tiếp dạng tổng quát 2

y ax = + bx + c dựa trên lý thuyết tập hợp, việc trình bày trong GT để nhằm mục đích rèn luyện HS kỹ năng tính giá trị của HSBH thay vào biểu thức giải tích Tuy nhiên, HSBH không đề cập đến mối liên hệ giữa các đại lượng như: tính biến thiên, tính chẳn lẻ của hàm số không được trình bày trong GT

Một số kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm HSBH sau:

Trong phần nghiên cứu 1 về đồ thị của HSBH dạng y=a x( −a)(x−β), chúng tôi gọi là dạng cắt trục hoành Bởi vì khi dựa vào biểu thức giải tích thì chúng

ta khẳng định được đồ thị hàm số sẽ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ a β M, ột

lần nữa, GT đã đưa ra các hoạt động dưới sự trợ giúp của công nghệ thông tin và được khẳng định như sau: “Để nghiên cứu này đạt hiệu quả tốt nhất là sử dụng

“graphing package” hoặc máy tính đồ thị” [GT, tr.125]

Trong phần này GT đưa ra 4 hoạt động như sau:

1 a S ử dụng công nghệ để vẽ đồ thị hàm số sau:

b Tìm giá tr ị cắt trục x của các hàm số trong câu a

c Nh ận xét ý nghĩa hình học của a trong hàm số y = a(x – 1)(x – 3)

b Tìm giá tr ị cắt trục x của các hàm số trong câu a

c Nh ận xét ý nghĩa hình học của a β trong hàm s, ố y = 2(x - a)(x -β)

3 a S ử dụng công nghệ để vẽ đồ thị hàm số sau:

2( 1) , 2( 3) , 2( 2) , 2

y= x− y= x− y= x+ y= x

b Tìm giá tr ị cắt trục x của mỗi hàm số trong câu a

c Nh ận xét về ý nghĩa hình học của a trong y = 2( x − a )2

4 Điền vào chổ trống sau:

N ếu hàm bậc hai có dạng phân tích các nhân tử y=a x( −a)(x−β)

nó………… tr ục x tại………

N ếu hàm bậc hai có dạng tích các nhân tử 2

( )

y = a x − a thì nó………… c ắt trục x tại…………

[GT, tr.125] Qua 4 hoạt động trên, chúng tôi nhận thấy hoạt động 1 ngầm ẩn cho HS biết được hình dạng đồ thị HSBH khi mà giá trị hệ số a thay đổi Hoạt động 2 và 3 nhận

biết về các giá trị a β c, ắt trục Ox của parabol y=a x( −a)(x−β) Hoạt động 4 là rút ra kết luận tổng quát về hình dạng parabol của hàm số y =a x( −a)(x−β) Như

vậy, ta thấy rằng cách trình bày trong GT tiếp cận dựa vào công nghệ và theo con đường quy nạp trường hợp cụ thể, tức là “xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ như

vật thật, mô hình, hình vẽ, thầy giáo dẫn dắt học sinh phân tích, trừu tượng hóa và khái quát hóa để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm [….] hay một sự hiểu

biết trực giác về khái niệm tùy theo yêu cầu của chương trình”

Tương tự, trường hợp hàm số có dạng 2

( )

y = a x h − + k , GT cũng trình bày các hoạt động và rút ra kết luận theo con đường quy nạp

Cuối cùng, GT đưa ra cách vẽ đồ thị HSBH có dạng y=a x( −a)(x−β) như sau:

“N ếu chúng ta có HSBH dạng y = a x ( − a )( x − β ) thì chúng ta d ễ dàng v ẽ đồ thị này dựa vào:

luận về tri thức cần tiếp thu và không bị áp đặt việc học một cách máy móc

KNV TR

VeUc1R: V ẽ đồ thị của hàm số dạng y=a x( −a)(x−β )

Kỹ thuật:

• Xác định cắt trục Ox (avà β )

• Nối các điểm đặc biệt với nhau

Minh h ọa ví dụ sau:

Việc tiếp cận và trình bày kỹ thuật vẽ đồ thị của HSBH trong GT Úc chủ yếu

dựa vào ứng dụng công nghệ thông tin Họ đã vận dụng công nghệ để HS nhận biết

đồ thị HSBH, HS quan sát và đưa ra các kết luận về các điểm đặc biệt của đồ thị HSBH Từ đó, HS vẽ đồ thị HSBH dựa vào các nối các điểm: đỉnh, trục đối xứng, điểm cắt trục hoành, trục tung Ngoài ra, phép biển đổi đồ thị không được ưu tiên trong GT để chứng minh đồ thị của HSBH là đường cong parabol

Đến thời điểm này, GT đã đưa ra kỹ thuật tìm tọa độ đỉnh của HSBH

Trong phần kết luận, ta thấy rằng GT đã mô tả phép biến đổi đồ thị tức là

phép tịnh tiến theo vectơ a

b

 

 

  là thực hiện 2 phép biến đổi đồ thị hàm số y= x2

song song trục hoành a đơn vị và dọc trục tung b đơn vị Tuy nhiên việc thực hành vẽ đồ thị của HSBH dạng tổng quát có dựa vào phép tịnh tiến không? Ta xét

ví dụ 6 để thấy được cách vẽ đồ thị của đồ thị HSBH 2

y=ax +bx+ hoàn toàn tương c

tự với kỹ thuật vẽ đồ thị HSBH 2

y=a x h− + Đồng thời, thể chế mong muốn k

HS hiểu được mối liên hệ giữa đồ thị của HSBH 2

Việc trình bày đưa HSBH 2

y=ax +bx+c về dạng 2

y=a x h− +k nhằm giải quyết hai kiểu nhiệm vụ sau:

KNV TRToadoUcR: Xác định tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số 2

• Vẽ đồ thị qua các điểm Sử dụng MTĐT kiểm tra lại hình vẽ

Kiểu nhiệm vụ Số lượng bài tập

B ảng1.2 Thống kê kiểu nhiệm vụ về khái niệm HSBH

Tóm lại, GT định nghĩa HSBH theo quan điểm tập hợp thể hiện qua kiểu nhiệm vụ TR TinhUc R Các tính chất về hàm số không được trình bày trong SGT, mà đối tượng nghiên cứu chủ yếu là đồ thị của HSBH

Như chúng ta đã biết, mỗi tri thức toán học đều có hai cơ chế: cơ chế đối tượng và cơ chế công cụ Trong phần đầu chúng tôi đã chỉ ra rằng GT nghiên cứu

đối tượng HSBH là đồ thị được cụ thể qua các kiểu nhiệm vụ TR VeUc1 R, TR VeUc2 R, TR VeUc3 R

Vấn đề đặt ra, nghiên cứu đồ thị HSBH trong GT Úc để làm gì? Tức là cơ chế công

cụ đối với khái niệm HSBH trong GT được trình bày như thế nào? Để tìm câu trả

lời, chúng tôi phân tích các tổ chức toán học trong GT gắn liền với cơ chế công cụ

của khái niệm HSBH như sau:

TRPtUcR: Gi ải phương trình bậc hai bằng MTĐT

Được trình bày như sau:

“Máy tính đồ thị hoặc phần mền đồ thị được sử dụng tìm nghiệm phương trình b ậc hai.[…] Trong trường hợp này, chúng ta sẽ tìm nghiệm bằng cách s ử dụng đồ thị bậc hai giao với trục x hoặc tìm tọa độ x của giao điểm mà hai hàm số cắt nhau.[…] Chúng tôi chọn phương pháp này,

m ặc dù nó không phải nhanh nhưng giúp cho HS hiểu được mối liên hệ

gi ữa đại số và đồ thị.”

[GT, tr.138]

K ỹ thuật:

− Vẽ đồ thị HSBH bởi MTĐT

− Chọn công cụ xác định giao điểm của HSBH và trục hoành

− Suy ra tọa độ cắt trục hoành là nghiệm của phương trình bậc hai

Hình 1.3

D ựa vào hình 1.3, Nghiệm phương trình là: x = -0.8508 hoặc x = 2.351

[GT, tr.138]

TRGđUcR: Giao điểm của đồ thị HSBH với trục hoành

K ỹ thuật: Theo phương pháp đại số, lập phương trình hoành độ giao điểm của

HSBH với y = 0: 2

0

ax + bx + = c (*) Tính ∆ của phương trình bậc hai

+ Nếu ∆ > 0, thì kết luận đồ thị hSBH cắt trục hoành tại hai điểm

+ Nếu ∆ = 0, thì ta kết luận đồ thị HSBH cắt trục hoành tại 1 điểm

+ Nếu ∆ < 0, thì không có giao điểm

Công ngh ệ: Lý thuyết phương trình bậc hai

BptUc1R: Ch ứng minh 2

0, + + > ∀ ∈

TRGtln, gtnnUcR: Tìm giá tr ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của HSBH 2

a

= −Tuy nghiên, SGT chủ yếu tập trung trình bày kiểu nhiệm vụ TR Gtln,gtnnUc R xoay quanh các bài toán gtln, gtnn trong các tình huống sau:

“t ối đa hóa lợi nhuận

gi ảm thiểu chi phí

chi ều cao đạt tối đa”

Như vậy, GT trình bày HSBH và đồ thị với knv TR Gtln,gtnnUc R giải quyết các vấn đề trong thực tế về GTLN, GTNN của HSBH Chúng tôi minh họa ví dụ 31 để có cái nhìn rõ hơn:

“Chiều cao H mét của tên lửa sau t giây khi nó được bắn lên theo chiều

dọc cho bởi công thức: 2

( ) 80 5 , 0

H t = t− t t ≥

a Sao bao lâu tên lửa đạt độ cao tối đa?

b Độ cao tối đa của tên lửa bao nhiêu?

c Sao bao lâu tên lửa rơi xuống đất?”

L ời giải trong GT như sau:

2 2.( 5)

b t a

−

Vậy độ cao lớn nhất sau khi tên lửa bay lên 8 giây

b H(8) = 80x8 – 5x8P

2 P = 640 – 320 = 320

Vậy độ cao lớn nhất là 320 m

c Tên lửa chạm đất khi H(t) = 0

2

80t−5t = ⇔0 5 (t t−16)= ⇔ = ∨ =0 t 0 t 16Tên lửa trở về trái đất sau 16 giây [GT, tr.150]

K ết luận

Qua việc phân tích thể chế Úc chúng tôi rút ra một số nhận xét sau:

Việc tiếp cận khái niệm HSBH trong GT trình bày hết sức đơn giản với dạng 2

y = x , khái niệm HSBH chỉ rèn luyện cho HS tính giá trị với KNV TR TinhUc R, các khái niệm về tính chất hàm số không đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán

Úc, nội dung chủ yếu là nghiên cứu đồ thị, xem xét đồ thị như là phương tiện để nghiên cứu HSBH Vai trò thực nghiệm Toán học bằng các phần mền toán học, MTĐT được thể chế Úc ưu tiên trong việc tiếp cận đồ thị, nghĩa là đồ thị HSBH dạy

học theo con đường qui nạp dưới sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và chứng minh

đồ thị hàm số dạng y=a x( −a)(x−β)vày=a x h( − )2+k là đường parabol bằng hình ảnh trực giác trở nên dễ hiểu đối với HS; đối với hàm số bậc hai cho ở dạng

2

y=ax +bx+ thì thể chế mong muốn HS chuyển về dạng bình phương c

2( )

y = a x − h + k để nghiên cứu Ngoài ra, HS Úc có thể vẽ đồ thị hàm số trên giấy

và máy tính điện tử

Sự vắng bóng các tính chất HSBH như: tính biến thiên, tính chẳn lẽ không ảnh hưởng đến việc vẽ đồ thị của HS, mà chủ yếu HS dựa vào hệ số a của HSBH để xác định dạng parabol, đồng thời HS sử dụng MTĐT để kiểm tra tính chính xác của

đồ thị Đây cũng là sự khác biệt của HS Úc với HS Việt Nam về sử dụng công cụ MTĐT trong việc tiếp cận và hình thành một tri thức Toán học

Vai trò công cụ của khái niệm HSBH đã thể hiện qua việc sử dụng đồ thị của HSBH để giải quyết các kiểu nhiệm vụ:

Kiểu nhiệm vụ Ví du-bài tập

TPtUc: Giải phương trình bậc hai bằng MTĐT 4

TR GđUc R: Giao điểm của đồ thị HSBH với trục hoành 3

TR Gtln, GtnnUc R: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của HSBH 9

Bảng1.3 Thống kê KNV về vai trò công cụ HSBH trong GT

1.2 Khái ni ệm Hàm số bậc hai ở Việt Nam

1.2.1 Phân tích chương trình Toán Việt Nam hiện hành

Trong chương trình Toán Việt Nam hiện nay, đối tượng HSBH được đưa chia ra thành hai giai đoạn giảng dạy như sau:

Ở cấp THCS (cụ thể là học kỳ 2 lớp 9), chương trình đưa vào giảng HS 2

y = ax là

dạng đơn giản nhất của HSBH, nội dung cụ thể xoay quanh vấn đề:

Về tính chất hàm số, SGK trình bày trong bài 1 Hàm số 2

N ắm vững tính chất đồ thị và liên hệ được tính chất của đồ thị với tính

ch ất hàm số

V ẽ được đồ thị.”

[SGV Toán 9-2, tr.13] Chúng tôi nhận thấy việc tiếp cận khái niệm HSBH ở Việt Nam với dạng 2

y = ax

trình bày khá chi tiết về các tính chất của hàm số và đồ thị Trong chương trình Toán 9, hàm số 2

y = ax trình bày tương đối chi tiết được giải thích như sau:

“ Ở lớp 10, tuy là nghiên cứu hàm số bậc hai tổng quát nhưng thực chất

của hàm số bậc hai là một đường cong parabol được lý giải như sau:

y=ax +bx+ là sự bổ sung kiến thức đầy đủ về HSBH đã học ở lớp 9 Tuy c

nhiên, vấn đề đặt ra là sự bổ sung này được cụ thể hóa trong SGK Toán 10 như thế

nào? Việc dạy học HSBH ở Việt Nam có phải theo quan điểm xây dựng họ các HSBH từ hàm số 2

y=ax không? Chúng tôi sẽ tìm câu trả lời trong phần phân tích SGK tiếp theo

K ết luận

Qua việc phân tích chương trình chúng tôi có nhận xét về đối tượng HSBH như sau:

Về tiếp cận khái niệm HSBH chia ra làm hai giai đoạn nghiên cứu:

y=ax khi biết yR 0 R (đặc trưng tương ứng của hàm số)

Ở THPT, ngoài hai kiểu nhiệm vụ nêu trên thì HSBH 2

y=ax +bx+ trình bày c

xoay quanh các kiểu nhiệm vụ:

T: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

T: Xét sự biến biên của hàm số

Tuy nhiên, 2 kiểu nhiệm vụ trên được tìm thấy trong §1 Hàm số và nội dung chính trình bày trong §3 Hàm số bậc hai nhằm giải quyết 2 kiểu nhiệm vụ sau:

T: Xét sự biến thiên của HSBH

T: Vẽ đồ thị HSBH

Chúng tôi nhận thấy rằng việc dạy học khái niệm HSBH trong chương trình Toán ở Việt Nam chủ yếu nghiên cứu về phương diện đối tượng của một hàm số,

mục tiêu không đề cao vai trò công cụ của khái niệm HSBH trong nội bộ toán học

và ngoài toán học Ngoài ra, về hình thức trình bày khái niệm HSBH cũng có sự khác biệt nhất định so với Úc về nội dung sau:

đơn giản trong GT gồm: hình dạng đồ

điểm thuộc đồ thị), và đặc trưng

biến thiên của hàm số hoàn toán

− HSBH tổng quát 2

y=ax +bx+ c

được nghiên cứu nối tiếp ở THCS

với nội dung chính vẽ đồ thị HSBH

Nhằm làm rõ nội dung khái niệm HSBH trong SGK Toán Việt Nam, cùng

với việc so sánh nội dung khái niệm HSBH trong GT Úc, chúng tôi tiến hành phân tích SGK hiện hành, cụ thể SGK Toán 9 tập 2, SGK Toán 10 CB và NC

y=ax được xem như là dạng

đơn giản nhất của HSBH và được SGK trình bày với hai nội dung:

Bài §1 Hàm số 2

y = ax (1 tiết) Bài §2 Đồ thị hàm số 2

y = ax (1 tiết) Trong bài §1, SGK đưa ra ví dụ mở đầu giới thiệu về hàm số 2

y=ax là thí nghiệm vật rơi tự do của Galile Qua đó, thể chế Việt Nam mong muốn cho HS thấy được mối liên hệ giữa hai đại lượng trong tình huống thực tế có dạng hàm 2

y=ax Thí nghiệm này cũng được thể chế Úc trình bày trong phần mở đầu, điều này cho

thấy cả 2 thể chế đều mong muốn HS thấy được tình huống thực tế với HSBH

Tiếp đến, SGK trình bày tính chất hàm số 2

y=ax như sau:

“N ếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

N ếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x< 0 và nghịch biến khi x > 0”

[SGK Toán 9-2, tr.29] Chúng tôi nhận thấy để có được tính chất trên, HS phải so sánh các giá trị của hàm

số cụ thể 2

2

y= x và y= −2x2 trong hoạt động sau:

“?1 Điền vào ô trống các giá trị tương ứng của y trong hai bảng sau:

y= x , nh ờ bảng giá trị vừa tính được, hãy cho biết:

− Khi x tăng nhưng luôn luôn âm thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm

− Khi x tăng nhưng luôn luôn dương thì giá trị tương ứng của y tăng hay

gi ảm.”

Trong luận văn của tác giả Nguyễn Thị Ngọc Sương: “Dạy học khái niệm

hàm số với phần mềm Cabri II Plus: Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng khái niệm hàm số” năm 2013, tác giả đã nhận định ở giai đoạn lớp 9, sự biến thiên hàm số chỉ trình bày mang nặng tính lí thuyết : “SGK Toán 9 chỉ xem xét sự đồng biến thiên, nghịch biến của các hàm số trên tập số thực

R Có thể nói thời điểm này, sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong khái niệm hàm số được đề cập một cách tường minh Tuy nhiên khi được phát biểu dưới dạng công thức thì sự đồng biến thiên hoàn toàn bị che mờ đi […] Khi đưa sự đồng

biến, nghịch biến vào công thức thì HS sẽ rất dễ dàng hiểu một cách máy móc” Các tổ chức toán học HSBH 2

y = ax :

TRTinh.9R: Tính giá tr ị của hàm số = 2

y ax t ại một điểm cho trước thuộc tập xác định

K ỹ thuật: Với giá trị của xR 0 R, thay vào biểu thức 2

y=ax , tính giá trị y tương ứng Ngược lại, với mỗi giá trị yR 0 R, thay vào biểu thức 2

y=ax , tính giá trị x tương ứng

Công ngh ệ: Lý thuyết về khái niệm hàm số

Đối với bài 2 Đồ thị Hàm số 2

,

y=ax chúng tôi thấy có các tổ chức toán học sau:

Minh họa cho kiểu nhiệm vụ trên:

ve R thì HS có thể dựa vào hình dạng của đồ

thị hàm số y = ax2 để rút ra các đặc trưng của đồ thị cũng như tính chất biến thiên hàm số, SGK cụ thể hóa trong hoạt động ?1 và hoạt động ?2 [SGK Toán 9-2, tr.34] Sau hai hoạt động trên, SGK rút ra nhận xét sau: