phương pháp toán tử fk tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton 2d trong từ trường đều

Phương pháp này đã được áp dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường và được áp dụng trong nhiều

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK TÌM NGHIỆM

SỐ CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D

TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU

2

Lời cảm ơn

Trong quá trình thực hiện luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân,tôi

đã nhận được sự giúp đỡ và động viên nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè:

- Trước hết tôi xin chân thành cảm ơn các giảng viên Bộ môn Vật lý lý thuyết trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ và truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong quá trình thực hiện luận văn

- Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ThS Hoàng Đỗ Ngọc Trầm – giáo viên hướng dẫn luận văn này – người đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn

- Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ tôi trong suốt thời gian học cũng như trong thời gian thực hiện luận văn

- Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Hội đồng khoa học đã xét duyệt và cho những nhận xét vô cùng quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế

và thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình xây dựng từ phía thầy cô, bạn bè

Xin chân thành cảm ơn!

Tp Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2013

1

MỤC LỤC

Chương 1:TỔNG QUAN VỀ EXCITON 10

1.1 Exciton 10

1.1.1 Lịch sử 10

1.1.2 Khái niệm 11

1.1.3 Phân loại 13

1.1.4 Tính chất 15

1.2 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường 16

1.2.1 Toán tử Hamilton của exciton trong từ trường 16

1.2.2 Toán tử Hamilton của bài toán đối với hệ quy chiếu khối tâm 18

Chương 2:PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK 21

2.1 Giới thiệu về phương pháp toán tử và các bước giải 21

2.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ nguyên tử, phân tử 30

Chương 3:PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK 35

GIẢI BÀI TOÁN EXCITON 2D 35

TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU 35

3.1 Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton 2D trong từ trường 35

3.2 Kết quả 41

3.2.1 Nghiệm chính xác bằng số 41

3.2.2 Ý nghĩa các số lượng tử k, m 45

Phụ lục 1: 49

Đưa toán tử Hamilton của exciton về dạng không thứ nguyên 49

Phụ lục 2: Toán tử sinh-hủy một chiều 51

Phụ lục 3: Xây dựng sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm bậc không 53

2

Phụ lục 4: Chứng minh các toán tử tạo thành đại số kín 55

Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử S ˆ = exp { − τ ( M ˆ + + M ˆ + N ˆ ) } 57

Phụ lục 6: Tìm bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán exciton 59

Phụ lục 7: Các thành phần ma trận của toán tử Hamilton 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

3

DANH MỤC HÌNH ẢNH, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Quang phổ của exciton trong đồng (I) oxit 11

Hình 1.2 Các mức năng lượng của exciton trong bán dẫn 11

Hình 1.3 Có 3 dạng exciton: exciton trung hòa X , exciton âm0 X− và exciton dương X+ 12

Hình 1.4 Exciton Mott-Wannier và exciton Frenkel 14

Hình 1.5 Dạng thế của bán dẫn GaAs/GaAsAl 14

Hình 1.6 Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton 16

Hình 2.1 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi

điều hòa ứng với trạng thái cơ bản n= 280 Hình 2.2 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi điều hòa ứng với trạng thái kích thích n= 294 Hình 3.1 Các mức năng lượng của exciton được vẽ ứng với các giá trị khác nhau của từ trường 44

Hình 3.2 Các mức năng lượng của exciton được vẽ trong vùng từ trường có

1 γ ≤ 45

4

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản n= của dao động tử phi 0

điều hòa 26

Bảng 2.2 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích n= của dao động tử 4

phi điều hòa 27Bảng 3.1 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái cơ bản 1s ( k =0, 0m= ) ứng với các giá trị khác nhau của từ trường 42Bảng 3.2 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 2p−(k =0, 1m= − ) 42Bảng 3.3 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 3 d−(k =0, 2m= − ) 43Bảng 3.4 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 5d−(k =2, 2m= − ) 43Bảng 3.5 Giá trị các số lượng tử ứng với các trạng thái khác nhau 46

5

MỞ ĐẦU

1 Cùng với sự phát triển của khoa học, vật lý cũng có những bước phát triển mới Các thiết bị đo đạc được chế tạo ngày càng tinh vi và chính xác hơn, nhiều phương pháp giải các bài toán lượng tử được tìm ra; kết quả lý thuyết ngày càng tiến gần hơn đến kết quả thực nghiệm Một trong những phương pháp cho phép tìm nghiệm

số chính xác đó là phương pháp toán tử Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sư Feranchuk và Komarov ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng (xem công trình [2] và các tài liệu trích dẫn) Phương pháp này thường được gọi là phương

pháp toán tử FK (viết tắt tên hai giáo sư Feranchuk và Komarov) Phương pháp toán

tử FK được xây dựng trên cơ sở kế thừa những ưu điểm của phương pháp lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân, đồng thời tận dụng những ưu thế của biểu diễn đại số trong cơ học lượng tử để tiện lợi trong quá trình tính toán Phương pháp này đã được áp dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường và được áp dụng trong nhiều công trình như [2], [3], [5], [10]

Ý tưởng chính của phương pháp toán tử FK dựa trên tư tưởng của lý thuyết nhiễu loạn là tách toán tử Hamilton thành hai phần: phần chính có nghiệm chính xác

và phần còn lại là nhiễu loạn, tuy nhiên khác với lý thuyết nhiễu loạn ở chỗ việc phân chia toán tử Hamilton không dựa vào yếu tố vật lý mà đơn thuần dựa vào hình thức của các toán tử trong toán tử Hamilton Qua các công trình đã áp dụng, phương pháp toán tử FK thể hiện ưu điểm nổi bật là đơn giản hóa quá trình tính toán Việc tính các tích phân phức tạp được thay thế bằng các phép tính đại số đơn giản thể hiện qua bài toán dao động tử điều hòa, phi điều hòa, exciton trung hòa, exciton trong từ trường…[1], [2], [7], [9]

Hiện nay khoa học kỹ thuật phát triển, các nhà vật lý ngày càng quan tâm đến các hệ thấp chiều và các vật liệu kích cỡ nano bằng các phương pháp như kỹ thuật nuôi cấy tinh thể (Molecular Beam Epitaxy, viết tắt là MBE), kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (Metal Organic Chemical Vapor Deposition, viết tắt là MOCVD) [9], [12] Trong các mô hình thấp chiều tạo ra từ thực nghiệm, loại tinh thể nhiều

6

lớp bán dẫn GaAs/AlxGs1-xAs được sử dụng nhiều nhất do nó thỏa mãn yêu cầu nghiêm ngặt khi cấy ghép và dễ dàng thay đổi tính chất và nồng độ của từng loại hạt tải điện khi thay đổi chỉ số x Trong tinh thể này, vùng GaAs đóng vai trò như hố thế và vùng AlxGs1-xAs đóng vai trò như bức tường thế Chuyển động của điện tử bị giới hạn và được xem như chuyển động trong không gian hai chiều

Sự xuất hiện những mũi nhọn trong phổ hấp thụ của chất bán dẫn đã chứng

tỏ sự tồn tại của exciton, một trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống Exciton nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà vật lý vì nhiều lí do Đầu tiên, exciton tồn tại trong bán dẫn và chất cách điện mà không tồn tại trong kim loại, người ta đã tìm thấy exciton trong các tinh thể halogen kiềm (vào những năm 30), tinh thể phân tử (vào những năm 40), tinh thể bán dẫn (vào những năm 50) và cả trong các tinh thể ion, tinh thể khí hiếm và một số liên kết đất hiếm Thứ hai, quang phổ exciton thường có cấu trúc rõ nét và cho phép nghiên cứu lý thuyết một cách chi tiết Thứ

ba, lý thuyết exciton không đơn giản có thể hiểu được bằng cách áp dụng lý thuyết nguyên tử hay sơ đồ vùng Block và exciton có sơ đồ năng lượng giả Hydro [5], [15] Nghiên cứu cho thấy nhiều hiệu ứng quang điện xảy ra đặc biệt khi có sự tồn tại của exciton trong bán dẫn khi có từ trường ngoài như hiệu ứng Stark, sự thay đổi tính dẫn điện, hiệu ứng tách vạch Zeeman trong từ trường [18], [12] Phổ năng lượng và hàm sóng của exciton trong từ trường chính vì vậy cần được tính toán với

độ chính xác ngày càng cao Exciton hai chiều (2D) trong từ trường là một đối tượng nghiên cứu quan trọng cả thực nghiệm lẫn lý thuyết [5], [15], [13], [16], [9]

Trong công trình [16], bài toán exciton trong từ trường được giải bằng phương pháp biến phân kết hợp với phân tích theo chuỗi 1/N, còn trong công trình [15] đã dùng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn có tính tới tiệm cận hàm sóng Cả hai công trình này đều cho các kết quả chính xác đến bảy chữ số thập phân với các

trạng thái cơ bản 1s cũng như các trạng thái kích thích 2p –

, 3d – Có thể thấy là việc tăng độ chính xác bằng số và áp dụng cho các trạng thái kích thích cao hơn không phải dễ dàng Vì vậy việc giải tìm nghiệm số chính xác của bài toán với độ chính xác cao hơn không những cho trạng thái cơ bản mà còn các trạng thái kích thích với

độ chính xác cao chính có ý nghĩa quan trọng Ngoài ra, bài toán này còn được giải bằng phương pháp toán tử FK trong công trình gần đây [10]

7

Trong phương pháp toán tử, khi biểu diễn toán tử Hamilton qua các toán tử

sinh hủy, đối với các bài toán mà thành phần tương tác có dạng đa thức của các biến

số động lực, ví dụ như bài toán dao động tử phi điều hòa, thì việc vận dụng tương

đối đơn giản Đối với các bài toán hệ nguyên tử có tương tác Coulomb có chứa biểu

thức tọa độ ở mẫu, để có thể áp dụng phương pháp, cần phát triển thêm Trong công

trình [10] sử dụng phép biến đổi Levi-Civita đã khắc phục được khó khăn trên và đã

tìm được nghiệm số chính xác đến 20 chữ số thập phân Phép biến đổi Levi-Civita

cho phép đưa các bài toán đang xét về dạng bài toán dao động tử phi điều hòa Bài

toán này đã được giải bằng phương pháp toán tử FK và có kết quả chính xác Tuy

nhiên, khi áp dụng phép biến đổi này, năng lượng E không còn là trị riêng của toán

tử Hamilton nữa, mà nó trở thành một thành phần của toán tử này Khi đó ta sử

dụng một trị riêng hình thức Z với giá trị không đổi, và năng lượng E được xác định

thông qua phương trình Z E( )=hằng số

Đối với các bài toán như exciton trung hòa, việc giải phương trình gián tiếp

như vậy có thể thực hiện được Tuy nhiên, đối với các bài toán phức tạp hơn như

bài toán exciton âm, việc xác định năng lượng một cách gián tiếp như vậy không

thuận lợi bằng việc giải trực tiếp, đặc biệt là khi xây dựng giải thuật để tìm nghiệm

số Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phần tọa

độ ra khỏi mẫu số, phương pháp toán tử FK vẫn áp dụng được một cách hiệu quả

mà không cần phải thông qua một biến hình thức nào khác, mặc dù khối lượng tính

toán ban đầu sẽ tăng lên đáng kể so với việc sử dụng phép biến đổi Levi-Civita

Phép biến đổi Laplace đã được áp dụng cho bài toán exciton âm [4] và bài toán

exciton trung hòa [7], nhưng chưa được áp dụng cho bài toán exciton trung hòa

trong từ trường Bài toán này đã có kết quả chính xác bằng số khi sử dụng phép biến

đổi Levi-Civita Để so sánh phép biến đổi Laplace với phép biến đổi Levi-Civita, tôi

sử dụng phép biến đổi Laplace cho bài toán exciton 2D trong từ trường và thực hiện

đề tài: “Phương pháp toán tử FK tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton

2D trong từ trường đều”

2 Mục tiêu của luận văn là áp dụng phương pháp toán tử FK kết hợp với phép

biến đổi Laplace tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton hai chiều trong từ

8

trường đều Căn cứ vào mục tiêu đã đề ra, luận văn gồm có những nội dung cơ bản sau:

- Tìm hiểu tổng quan về exciton

- Tìm hiểu phương pháp toán tử FK và các vấn đề khi áp dụng phương pháp này cho các bài toán hệ nguyên tử, phân tử

- Tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton trung hòa trong từ trường cho trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích

Phương pháp nghiên cứu:

- Tìm kiếm tài liệu, đọc, phân tích, tổng hợp

- Tính toán để xây dựng phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường

- Sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số chính

3 Cấu trúc luận văn gồm có ba chương

Chương 1: Tổng quan về exciton

Trong chương này, tôi giới thiệu sơ lược về quá trình phát hiện exciton, một trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống; phân loại và tính chất của exciton Sự tồn tại của exciton đã làm xuất hiện các mũi nhọn trong phổ hấp thụ của chất bán dẫn Khi có mặt từ trường exciton thể hiện một số tính chất như: hiệu ứng Hall, sự giao thoa của các mức lượng tử, sự tách vạch từ trường, hiện tượng ngưng tụ Bose Các thông tin về tính chất quang, điện, năng lượng liên kết của exciton dưới tác động của trường ngoài góp phần làm rõ hơn các tính chất của các chất bán dẫn, có ý nghĩa trong việc tạo ra các cấu trúc thấp chiều với tính chất định sẵn, đây chính là mục tiêu hàng đầu của công nghệ vật liệu hiện nay Do đó, việc giải phương trình Schrödinger cho exciton trong từ trường để xác định phổ năng lượng của exciton trong từ trường với độ chính xác cao là cần thiết Để bắt đầu công việc nghiên cứu thì tôi đã xây dựng lại phương trình Schrödinger cho exciton trung hòa 2D trong từ trường đều

Chương 2: Phương pháp toán tử FK

Trong chương này tôi giới thiệu lại phương pháp toán tử FK và các bước giải cơ bản thể hiện thông qua bài toán dao động tử phi điều hòa Phương pháp toán

tử có ưu điểm nổi bật là đơn giản quá trình tính toán nên được áp dụng trong nhiều

9

công trình Tuy nhiên, phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử, phân tử cũng gặp phải một số vấn đề khó khăn như: thế tương tác Coulomb chưa biến động lực ở mẫu, dạng chuẩn của toán tử, xây dựng bộ hàm sóng cơ sở, cách chọn tham số ω

Từ đó mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới về phương pháp toán tử

Chương 3: Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều

Đây là phần trọng tâm của luận văn, tôi áp dụng phương pháp toán tử kết hợp với phép biến đổi Laplace giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều Kết quả

là nghiệm số chính xác cho bài toán, xác định được năng lượng của exciton ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích trong từ trường với cường độ bất kỳ Các

kết quả tính toán được đưa ra với độ chính xác đến hai chữ số thập phân đối với trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích đến năm hoặc bảy chữ số thập phân Các

kết quả được so sánh với các công trình [10]

4 Phần kết luận sẽ trình bày các kết quả đạt được từ việc áp dụng phương pháp

toán tử cho bài toán exciton hai chiều trong từ trường đều và hướng phát triển tiếp theo của đề tài

5 Phần phụ lục là các tính toán chi tiết cho các công thức trong nội dung luận văn

10

Trong chương này tôi giới thiệu sơ lược về quá trình phát hiện ra exciton, khái niệm, phân loại và tính chất của exciton Sau đó xây dựng lại phương trình Schrödinger cho exciton trung hòa hai chiều trong từ trường

1.1 Exciton

1.1.1 L ịch sử

Năm 1907, phổ hấp thụ đầu tiên của exciton đã được Becquerel tìm thấy trong thực nghiệm ở tinh thể khí hiếm, và vào năm 1929 do Obreimov và De Haas tìm ra trong tinh thể phân tử [13]

Năm 1931, khái niệm exciton được đề xuất lần đầu tiên bởi Yakov Frenkel, khi ông mô tả sự kích thích của các nguyên tử trong một mạng tinh thể của chất cách điện Ông đề xuất rằng trạng thái kích thích này sẽ có thể di chuyển giống như hạt trong mạng tinh thể mà không có sự dịch chuyển điện tích Vào thời điểm

đó, việc mô tả các dải năng lượng trong tinh thể dựa trên sơ đồ Bloch, rút ra từ phương pháp Hartree-Fock, chưa xét đến sự tương quan của các electron [17], [14]

Năm 1937, một mô hình exciton khác được đề xuất bởi hai nhà khoa học Nevill Francis Mott và Gregory Wannier, được gọi là exciton Wannier-Mott Exciton này giống như nguyên tử Hydro và tồn tại trong chất bán dẫn

Năm 1951, lần đầu tiên Gross đã phát hiện một quang phổ giống Hydro bao gồm các vạch hấp thụ hẹp khi nghiên cứu tinh thể đồng (I) oxit (hình 1.1) Gross và các đồng nghiệp đã phát hiện ra một số tính chất khác thường của exciton trong điện trường và từ trường, vai trò của exciton trong việc hình thành khả năng phát quang

và quang dẫn [17], [14]

Năm 1958, Lampert dự đoán sự tồn tại của các cấu trúc exciton mang điện [11] Khái niệm exciton được sử dụng rộng rãi trong những quá trình vật lý (như hiện tượng quang điện, sự hình thành các khuyết tật bức xạ, sự phát quang…) trong tinh thể, polymer và cả vật liệu sinh học Thực nghiệm đã xác nhận sự tồn tại của exciton trong chất bán dẫn, tinh thể của phân tử, chất cách nhiệt và ion [17], [14]

11

Phổ năng lượng của exciton âm cũng được quan sát sau đó vào những năm

90 trong giếng lượng tử pha tạp khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử và lỗ trống

rất lớn

Hình 1.1 Quang phổ của exciton trong đồng (I) oxit, hiển thị các phần của quang phổ nhìn thấy được màu vàng cam [17]

1.1.2 Khái ni ệm

Trong bán dẫn thông thường, độ sai khác năng lượng E g giữa dải dẫn và dải

hóa trị ở vào khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả

kiến Một photon có năng lượng ω>E g có thể kích thích một điện tử trong dải

hóa trị nhảy lên dải dẫn và để lại trong dải hóa trị một lỗ trống thể hiện như một

điện tích dương Sau đó, electron trong vùng dẫn hút lỗ trống nó tạo ra bởi lực

Coulomb Lực hút này tạo ra một sự cân bằng năng lượng ổn định Khi đó, electron

và lỗ trống không biểu hiện như là những hạt mang điện tự do nữa mà “hành xử”

như chúng là một cặp hạt không thể tách rời Người ta gọi trạng thái liên kết giữa

electron và lỗ trống trong trường hợp này được xem như là một giả hạt gọi là

exciton [2], [17]

Hình 1.2 Các mức năng lượng của exciton trong bán dẫn [2]

12

Các quan sát cho thấy có nhiều dạng exciton Khi sự kết hợp xảy ra giữa một điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa X0 Khi hai điện tử kết hợp với một lỗ trống thì exciton có điện tích âm gọi là exciton âm X− Và cũng có trường hợp khi hai lỗ trống kết hợp với một điện tích tạo ra một exciton dương X+ Trong giới hạn luận văn này chỉ đề cập đến exciton trung hòa Khi ta nói exciton thì được hiểu là exciton trung hòa

Hình 1.3 Có 3 dạng exciton: exciton trung hòa X , exciton âm0 X−

và exciton dương X+

Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống nguyên tử Hydro, tuy nhiên nó có bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn Tương tự như vậy các exciton dương hay âm cho ta hình ảnh ion phân tử H2+ hay nguyên tử Heli

Các exciton tương đối bền vững và có thời gian sống vào khoảng vài trăm

ps đến ns Do hiệu ứng màn chắn của thế tương tác Coulomb trong chất bán dẫn và khối lượng hiệu dụng nhỏ của điện tử và lỗ trống Cho nên mỗi exciton có năng lượng liên kết nhỏ hơn và kích thước của nó khác nhiều so với nguyên tử Hydro Trong một số trường hợp, kích thước của các exciton có thể từ vài angstrom đến vài ngàn angstrom và thậm chí gấp hàng ngàn lần hằng số mạng (xem công trình [4] và các tài liệu trích dẫn)

0

cơ phân tử bao gồm các phân tử thơm, chẳng hạn như polycyclic hydrocarbon thơm và hydrocarbon thơm đa vòng

∗ Trong chất bán dẫn

Trong chất bán dẫn, điện tử và lỗ trống vẫn tương tác với nhau nhưng các điện tử có thể tương tác tự do khắp không gian mạng, còn các lỗ trống tương ứng cũng có thể di chuyển giữa các nút mạng Vì vậy, exciton có bán kính lớn rất nhiều lần hằng số mạng tinh thể Mô hình exciton này được đề xuất bởi hai nhà khoa học Nevill Francis Mott và Gregory Wannier, được gọi là exciton Wannier-Mott (còn gọi là exciton bán kính lớn hay exciton lớn) Năng luợng liên kết của exciton thuờng nhỏ hơn nhiều so với năng lượng của Hydro (mức trung bình là 0.1 eV) [17] Exciton loại này thuờng được tìm thấy trong tinh thể đồng hóa trị Exciton Wannier-Mott thường được tìm thấy trong các tinh thể bán dẫn có khe năng lượng nhỏ và hằng số điện môi cao, nhưng cũng đã được xác định trong chất lỏng, chẳng hạn như chất lỏng xenon

14

Hình 1.4 Exciton Mott-Wannier và exciton Frenkel

Trong những năm gần đây có nhiều nghiên cứu về chất bán dẫn có cấu trúc giới hạn vì tính ứng dụng của chúng trong các thiết bị điện tử và quang điện tử Phát triển gần đây trong công nghệ cấu trúc nano đã cho phép một để nghiên cứu “hành vi” của điện tử và các tạp chất trong bán hai chiều (giếng lượng tử) [15], [16] Bán dẫn GaAs/GaAsAl được quan tâm nghiên cứu vì cấu trúc đặc biệt của nó Đáy vùng dẫn GaAsAl cao hơn so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên phần bù vùng dẫn tạo thành một bức tường thế Đối với điện tử, hệ bán dẫn này tạo thành một thế năng có dạng các bức tường thế và hố thế nối tiếp nhau như trong hình sau:

Hình 1.5 Dạng thế của bán dẫn GaAs/GaAsAl [5]

Trong các thiết bị kích cỡ nano, các lớp bán dẫn đủ mỏng và bức tường thế

có thể xem là cao vô hạn Lúc này ta có một hệ khí điện tử chuyển động tự do trong không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs Thực nghiệm quan sát được phổ năng lượng gián đoạn của khí điện tử Điều này chỉ có thể giải thích bởi sự tồn tại một cấu trúc có trạng thái liên kết là exciton, di chuyển tự do hai chiều trong bán

15

dẫn Exciton đã được phát hiện rất lâu nhưng đến nay exciton vẫn được đặc biệt quan tâm nghiên cứu Vì việc nghiên cứu phổ năng lượng của exciton cho ta nhiều thông tin về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi các chất này được đặt trong từ trường Các thông tin về tính chất quang, điện, năng lượng liên kết của exciton dưới tác động của trường ngoài góp phần làm rõ hơn các tính chất của các chất bán dẫn, có ý nghĩa trong việc tạo ra các cấu trúc thấp chiều với tính chất định sẵn, đây chính là mục tiêu hàng đầu của công nghệ vật liệu hiện nay Các nghiên cứu này có những ứng dụng đặc biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ thấp chiều kích cỡ nano Ngoài GaAs, hiện nay nghiên cứu được mở rộng với các chất liệu bán dẫn khác (InAs/GaSb, InGaAs/InP, GaN, SiO2…) [5]

1.1.4 Tính ch ất

- Chỉ có mặt trong bán dẫn hoặc điện môi Exciton trung hòa tham gia vận chuyển năng lượng nhưng không tạo ra dòng điện

- Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử Hydro, tuy nhiên nó

có bán kính lớn hơn và năng luợng liên kết nhỏ hơn

- Việc tạo ra các mức exciton trong vùng cấm (exciton Mott-Wannier) rất giống với việc tạo ra các mức tạp trong bán dẫn Ở mức cơ bản năng lượng liên kết exciton trùng với mức năng lượng tạp chất donor nhóm V hoặc các bán dẫn nguyên

tố nhóm IV như Si, Ge (cỡ 0.005eV)

- Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton gián đoạn Phổ hấp thụ exciton là phổ gián đoạn, gồm một dải các vạch như phổ hấp thụ của Hydro

- Sự tồn tại của exciton đuợc chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát hiện một vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sóng dài với các mũi nhọn (peak) hấp thụ (ở nhiệt độ thấp) mà không làm thay đổi nồng độ hạt dẫn Phổ vạch dạng giống như nguyên tử Hydro đã được phát hiện trong các bán dẫn có vùng cấm rộng như CdS, HgI2, CdI2, CuO2, [2]

16

Hình 1.6 Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton [2]

1.2 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường

1.2.1 Toán t ử Hamilton của exciton trong từ trường

Toán tử Hamilton cho điện tử và lỗ trống trong từ trường:

trong đó: số hạng thứ nhất và ba là động năng của điện tử và lỗ trống,

số hạng thứ hai và bốn là động năng chuyển động xoáy ốc dưới tác dụng của từ trường,

số hạng thứ năm là thế năng tương tác giữa điện tử và lỗ trống,

với A

là thế vectơ của từ trường

Khi có từ trường, toán tử động lượng của hạt lúc này là pˆ q A

* 2 ˆ

e A

Ở đây, E là năng lượng liên kết giữa electron và lỗ trống, đơn vị của năng

lượng là hằng số Rydberg hiệu dụng * 4 2 2

/ 2

R =µe  ε , đơn vị độ dài là bán kính Bohr hiệu dụng * 2 2

/

a = ε e µ Cường độ từ trường không thứ nguyên γ được xác

định bằng biểu thức:γ = ωc / 2R*, trong đó ωc =eB/µc là tần số chuyển động xoáy ốc với B là cường độ từ trường; ,µ ε lần lượt là khối lượng rút gọn hiệu dụng của cặp electron-lỗ trống và hằng số điện môi; Z là số điện tích của lỗ trống, trong trường hợp exciton ta có Z = 1 Trong công trình này ta xét trong miền thay đổi rộng của γ từ miền từ trường yếu đến từ trường mạnh

21

Trong chương này tôi giới thiệu sơ lược về phương pháp toán tử Các bước giải một bài toán bằng phương pháp toán tử được thể hiện qua bài toán đơn giản là dao động tử điều hòa Khi áp dụng phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ phân tử, nguyên tử chúng ta cũng cần lưu ý một số vấn đề như: toán tử Hamilton chứa biến động lực ở mẫu, dạng chuẩn của toán tử, cách xây dựng bộ hàm sóng cơ sở và cách chọn tham số tự do để tốc độ hội tụ của bài toán là tối ưu

2.1 Giới thiệu về phương pháp toán tử và các bước giải

Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm

1979 Phương pháp toán tử FK được ứng dụng thành công cho nhiều bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn và lý truyết trường [2], [5] Qua các nghiên cứu và ứng dụng vào một số bài toán cụ thể, phương pháp toán tử FK đã thể hiện một số ưu điểm như sau:

- Chỉ sử dụng các tính toán thuần đại số Toán tử Hamilton của bài toán được đưa về các toán tử sinh hủy nên chúng ta không cần tính các tích phân phức tạp Vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica, để tự động hóa quá trình tính toán

- Cho phép xét các hệ lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì

- Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài

Các bước giải một bài toán bằng phương pháp toán tử FK được trình bày qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa Ta xét bài toán dao động phi điều hòa với toán tử Hamilton có dạng sau:

22

Bước một: Chuyển Hˆ về dạng H a aˆ ˆ ˆ( +, , , )λ ω , với toán tử aˆ+(toán tử

sinh), ˆa(toán tử huỷ) được định nghĩa như sau:

Ở đây, ω là tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán

Dễ dàng tính được hệ thức giao hoán

Hệ thức (2.3) giúp chúng ta đưa các toán tử về dạng chuẩn, nghĩa là toán tử sinh

nằm ở phái bên trái, toán tử hủy nằm ở phía bên phải Từ đây về sau ta xem đó là

dạng chuẩn của toán tử (xem mục 2.2)

+ +

Để thuận lợi cho các tính toán đại số sau này, ta được biểu thức toán tử Hamilton

(2.1) về dạng chuẩn như sau:

H a a+ λ ω chứa các toán tử trung hòa, nghĩa là các

số hạng chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau:

23

+ Phần còn lại là ˆOM (ˆ , , ,ˆ )

V a a+ λ ω Trong lý thuyết nhiễu loạn, ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần

0

H = H + V dựa vào yếu tố vật lý; trong đó thành phần ˆ0

H có nghiệm của bài toán dao động tử điều hòa và thành phần ˆV được xem là nhiễu loạn liên quan đến tương

tác trường ngoài Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn được áp dụng với điều kiện

0

V <<H ứng với những giá trị λ phù hợp Đối với phương pháp toán tử, việc tách

toán tử Hamilton chỉ dựa trên hình thức của các số hạng chứ không dựa vào ý nghĩa

vật lý của bài toán thể hiện ở chỗ λ không chỉ có trong phần nhiễu loạn ˆV mà có cả

trong phần H .ˆ0 Vì vậy, phương pháp này có thể áp dụng cho các dạng hệ vật lý

khác nhau Ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: phần chính

0

H a a+ λ ω chỉ chứa các toán tử trung hòa nên có nghiệm chính xác mà chúng

ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần ˆOM(ˆ , , ,ˆ )

V a a+ λ ω đóng vai trò

“nhiễu loạn” Hệ số trường ngoài λ có mặt trong cả phần chính và phần nhiễu loạn

Toán tử Hamilton không phụ thuộc vào tham sốω, nên ω được gọi là tham số tự

do Phần chính và phần nhiễu loạn phụ thuộc vào tham số tự do ω và ω có vai trò

điều chỉnh ˆOM (ˆ , , ,ˆ )

V a a+ λ ω để đảm bảo điều kiện lý thuyết nhiễu loạn Vˆ << Hˆ 0

Bước ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc không bằng cách giải phương trình:

( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0

+

Bước bốn: Phương pháp toán tử FK tìm nghiệm số chính xác:

Hàm sóng chính xác bậc (s) ứng với năng lượng ( )s

n n

ω

Chú ý các yếu tố ma trận khác không thu được có tính đối xứng V nk =V kn

Hệ phương trình (2.13)-(2.14) có thể được giải theo quy trình sau: Đầu tiên,

n

E đạt được độ chính xác theo yêu cầu Quá trình này sau đó lại được lặp lại cho vòng lặp (s+2) kế tiếp

Hình 2.1 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động

tử phi điều hòa ứng với trạng thái cơ bản n=0 Phương pháp toán tử ứng với trạng thái cơ bản cho kết quả hội tụ tốt hơn phương pháp lý thuyết nhiễu loạn Ứng với các giá trị khác nhau của λ phương pháp toán tử đều cho kết quả hội tụ Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn chỉ cho kết quả hội tụ với λ nhỏ, với giá trị λ=0.1 tuy vẫn còn nhỏ hơn giới hạn nhiễu loạn các bổ chính bậc ba trở lên đã cho kết quả sai Với λ≥0.3 lý thuyết nhiễu loạn không còn phù hợp nữa trong khi phương pháp toán tử vẫn cho kết quả hội tụ tốt

kết quả hội tụ

Bằng phương pháp toán tử, ta tìm được nghiệm chính xác cho giá trị λ bất

kì, không chỉ trạng thái cơ bản mà cho cả các trạng thái kích thích n Nghiệm chính

xác và hội tụ đến 10 chữ số thập phân sau dấu phẩy Mặc dù tham số tự do đuợc chọn chưa phải tối ưu, ta thấy nghiệm thu được có tốc độ hội tụ cao Như vậy, ta thấy phương pháp toán tử FK cho ta nghiệm chính xác bằng số với giá trị tham số nhiễu loạn bất kì Đối với bài toán dao động tử phi điều hòa, sơ đồ vòng lặp cho kết quả hội tụ về nghiệm chính xác nhanh hơn dùng thuyết nhiễu loạn để tính bổ chính năng luợng và tài nguyên tính toán cho mỗi bậc vòng lặp ít hơn so với mỗi bậc nhiễu loạn Từ truớc đến nay, trong các công trình áp dụng phương pháp toán tử FK thì sơ đồ vòng lặp được mặc định sử dụng mặc dù chưa có tuyên bố nào về sự so sánh giữa hai sơ đồ Trong luận văn này tôi sẽ sử dụng sơ đồ vòng lặp để giải bài toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường

30

2.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ nguyên tử, phân tử

`Khi áp dụng phương pháp toán tử FK để giải một bài toán hệ nguyên tử, phân tử cụ thể cần lưu ý một số vấn đề sau:

(a) Biến động lực ở mẫu số: bước đầu tiên để áp dụng phương pháp toán tử là

đưa toán tử Hamilton của bài toán đang xét về các toán tử sinh hủy Việc biểu diễn qua các toán tử sinh hủy được thực hiện một cách dễ dàng khi toán tử Hamilton có dạng đa thức của các biến số động lực, ví dụ như bài toán dao động tử phi điều hòa Tuy nhiên, đối với các bài toán về nguyên tử, phân tử thì các số hạng biểu diễn tương tác Coulomb đều chứa phần tọa độ ở phía mẫu số, một số trường hợp các biến động lực này còn nằm trong dấu căn, gây khó khăn trong việc đưa toán tử Hamilton về biểu diễn đại số Để vận dụng cho các bài toán hệ nguyên tử khi tương tác Coulomb có biểu thức tọa độ nằm ở mẫu số ta có thể sử dụng phép biến đổi Levi-Civita [2], [10] hay Laplace đã được áp dụng trong công trình [7]

Phép biến đổi Levi-Civita hay còn gọi là phép biến đổi tuyến tính bình phương được định nghĩa như sau:

cho phép chuyển đổi từ không gian hai chiều ( ; )x y sang không gian hai chiều

( ; )u v Trong phép biến đổi này khoảng cách trong không gian ( ; )x y được đưa về

bình phương khoảng các trong không gian ( ; )u v theo công thức:

2 2 ˆ

K = u +v K sẽ hermite trong không gian ( , )u v Chính vì vậy để cho bảo toàn tính hermite cho toán tử Hamilton qua phép biến đổi (2.19) ta cần viết phương trình Schrödinger lại như sau:

Ta thấy trong phương trình (2.23) có sự đổi chỗ của Z và E với vai trò trị riêng

Năng lượng E không còn là trị riêng nữa mà nó đóng vai trò như một tham số

Trong khi đó Z trở thành trị riêng của phương trình (2.22)

Công thức phép biến đổi Laplace được biểu diễn như sau:

2 2

( ) 0

Đây là phép biến đổi trực tiếp đưa biến động lực lên mà không cần phải thông qua

một biến hình thức nào khác, mặc dù khối lượng tính toán ban đầu sẽ tăng lên đáng

kể so với việc sử dụng phép biến đổi Levi-Civita Phép biến đổi Laplace sẽ được áp

dụng cho bài toán trong luận văn này

(b) Dạng chuẩn của toán tử sinh hủy: dạng chuẩn của toán tử được định

nghĩa là dạng đã được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu

thức, toán tử sinh luôn về phía bên trái của biểu thức và các toán tử trung hòa ở

giữa Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho việc

tính toán trong các bài toán chứa nhiều loại toán tử được dễ dàng hơn rất nhiều

Thực vậy, khi biểu biễn tất cả trạng thái qua trạng thái cơ bản 0( )ω thì lợi dụng

tính chất aˆ 0( )ω =0, chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng thái còn lại qua biểu thức

chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng

Trường hợp các toán tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa: ta chỉ cần áp dụng công

thức giao hoán tử: a aˆ+,ˆ = a aˆ ˆ+ −aaˆ ˆ+ = ⇒1 aaˆ ˆ+ = +1 a aˆ ˆ+ , thì có thể đưa toán tử về

dạng chuẩn thường được áp dụng khi các biểu thức toán tử có dạng như các đa thức

2 2

2 2

2 2

Trường hợp hàm e mũ của các toán tử sinh, hủy: khi vận dụng phép biến đổi

như trên sẽ gặp khó khăn Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuẩn sẽ có bậc lũy thừa rất cao Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đổi

khác như dưới đây

Tìm các hàm số ( ), ( ), ( )f t g t h t theo các bước sau:

Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (2.25) theo t rồi nhân cho 1( )

F− t và thu gọn các số hạng ta được: