nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn

Định nghĩa và một số nhận xét về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm .... M ột số tính chất về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn.. Nhắc tới lý thuyết nhóm hữu hạn, thì chúng ta không t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn tôi đã gặp không ít khó khăn do hạn chế về thời gian

và kiến thức Tuy nhiên tôi luôn nhận đươc sự quan tâm, giúp đỡ nhiệt tình, sự động viên kịp thời từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè Bởi vậy mà tôi xin được gửi lời

cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất của mình đến:

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Mỵ Vinh Quang người thầy đáng kính đã trực tiếp giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy trong tổ Đại số như: TS Trần Huyên,

TS Trần Tuấn Nam, PGS TS Bùi Tường Trí, PGS TS Bùi Xuân Hải, các Thầy đã

trực tiếp giảng dạy cung cấp cho tôi những bài giảng hay, những kiến thức cơ bản

và bổ ích của Đại số để tôi có nền tảng và cơ sở hoàn thành luận văn này

Xin gửi lời cảm ơn đến 16 thành viên trong lớp Đại số & lý thuyết số K21,

những người anh, người chị và những người bạn tốt đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn này

Cuối cùng tôi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình thân yêu của tôi: ông bà và

ba mẹ …đã luôn bên tôi, tạo điều kiện tốt nhất để tôi có điều kiện học tập và công tác, là chỗ dựa vững chắc tiếp thêm sức mạnh và là nguồn động lực lớn để tôi có thể hoàn thành được luận văn này

Tp HCM, ngày 20 tháng 09 năm 2012

Tác giả

Tạ Thị Huyền

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 3

M ỤC LỤC 4

M ỘT SỐ KÝ HIỆU 5

M Ở ĐẦU 6

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

1.1 M ột số định lý cơ bản về đẳng cấu 8

1.2 Định lý Sylow 10

1.3 Nhóm con á chu ẩn tắc 12

1.4 Nhóm con đặc trưng 12

1.5 Nhóm con Frattini 14

1.6 Nhóm siêu gi ải được 15

1.7 Nhóm lu ỹ linh 20

1.8 Nhóm con pronormal 21

1.9 Nhóm con Fitting 22

1.10 Nhóm con Fitting suy r ộng 23

1.11 H –nhóm con 27

1.12 L ớp bão hoà F 27

Chương 2: NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN 29

2.1 Định nghĩa và một số nhận xét về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm 29

2.2 M ột số tính chất về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn 30

2.3 Các định lý quan trọng về nhóm con chuẩn tắc yếu 33

K ẾT LUẬN 42

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 43

M ỘT SỐ KÝ HIỆU

• H ≤G : H là nhóm con của G

• H <G : H là nhóm con thực sự của G

• H G : H là nhóm con chuẩn tắc của G

• HG : H là nhóm con á chuẩn tắc của G

• Φ ( )G : Nhóm con Frattini của nhóm G

• F(G) : Nhóm con Fitting của nhóm G

H =x Hx− : Nhóm con liên hợp với nhóm H

• N G(H) : Chuẩn hoá tử của H trong G

• C G(H) : Tâm hoá tử của H trong G

• G

H : Nhóm thương của nhóm G trên H

• G : Cấp của nhóm G

• InnG : Tập hợp các tự đẳng cấu trong G

• x : Nhóm con sinh bởi phần tử x

• Sylp(G) : Tập hợp các p-nhóm con Sylow của G

M Ở ĐẦU

Lý thuyết nhóm là một nhánh cơ bản của đại số, nghiên cứu các tính chất của nhóm, nó được hình thành vào khoảng thế kỷ thứ XIX Nhiều khái niệm của đại số

đã được xây dựng lại từ khái niệm nhóm và đã có nhiều kết quả mới đóng góp cho

sự phát triển của một ngành quan trọng trong toán học

Nhắc tới lý thuyết nhóm hữu hạn, thì chúng ta không thể bỏ qua những khái

niệm cơ bản và nền tảng như: Định lý Sylow và ứng dụng, một nhóm được hình thành bởi một dãy siêu giải được, đó là nhóm siêu giải được, hay nhóm được hình thành từ một dãy tâm đó là nhóm luỹ linh và một số tính chất cơ bản của chúng…

Khi được đọc bài báo viết về “Nhóm con chuẩn tắc yếu của một nhóm hữu

hạn” đã làm cho tôi có một cách nhìn mới hơn, được hiểu rõ hơn về tính siêu giải được và tính luỹ linh của một nhóm hữu hạn G khi nghiên cứu nó thông qua nhóm con chuẩn tắc yếu Đây là một kiến thức mới đối với tôi ngoài những tính chất mà tôi đã được học và đọc về nhóm siêu giải được và nhóm luỹ linh

Và đó cũng chính là lý do khiến tôi chọn đề tài:

“Nhóm con chu ẩn tắc yếu của một nhóm hữu hạn”

Nội dung luận văn tham khảo một số kết quả các bài báo [8], [17] và một số bài

báo khác

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm như: nhóm con Fitting, nhóm con Fitting suy rộng, nhóm con á chuẩn tắc, nhóm con Frattini, nhóm siêu giải được, nhóm luỹ linh, và một số tính chất đặc trưng đã biết

của nhóm siêu giải được và nhóm luỹ linh

Chương 2: Nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn

Chương này sẽ trình bày định nghĩa, các tính chất của nhóm con chuẩn tắc

yếu và những tính chất đặc trưng khác của nhóm siêu giải được và nhóm luỹ linh thông qua việc nghiên cứu nhóm con chuẩn tắc yếu

Tuy có nhiếu cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn

học viên

Ch ương 1:

KI ẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ trình bày những kiến thức cơ bản, có vai trò quan trọng trong

việc nghiên cứu lý thuyết nhóm hữu hạn như:

Định lý được xem là nền tảng của lý thuyết nhóm hữu hạn là lớp p-nhóm và định lý Sylow

Trình bày lại một số định lý về đẳng cấu trong đại số, định nghĩa và những tính chất cơ bản nhất của nhóm siêu giải được, nhóm luỹ linh, nhóm con Frattini, nhóm con pronormal, nhóm con á chuẩn tắc…là cơ sở lôgic để trình bày những kết

ϕ = = là phần tử đơn vị của G/K×G/H, suy ra g∈Kerϕ

Ngược lại với mọi g Ker ( )g ( ,K H) (gK gH, ) g K g K H

Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố Khi đó

• Nhóm G được gọi là p-nhóm nếu mọi phần tử của G đều có cấp là luỹ

thừa của số nguyên tố p

• Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm

• p-nhóm con Sylow của G chính là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con

của G theo quan hệ bao hàm

1.2.2 Định lý Sylow

G = p m v ới (m, p) = 1 Khi đó:

i) V ới mọi 1≤ ≤k n , t ồn tại trong G một p-nhóm con có cấp k

p Nói riêng, t ồn tại trong G các p-nhóm con Sylow

đó của G

iii) T ất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau

iv) N ếu r là số các p-nhóm con Sylow của G thì r m và r≡ 1(mod )p

P liên hợp nhau trong H, do đó tồn

tại h∈Hsao cho x h

1.2.4 Định lý

m ỗi p là ước nguyên tố của G thì G là tích tr ực tiếp của các p-nhóm con Sylow

Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con đặc trưng của G, ký hiệu

là H char G nếu ϕ(H)=Hvới ∀ ∈ϕ Aut G( ) trong đó Aut(G) là tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của G

1.4.2 M ệnh đề

i) N ếu ϕ(H) ≤H, ∀ ∈ϕ Aut G( ) thì H char G

ii) N ếu H char G thì H G

iii) N ếu H char K và K char G thì H char G

iv) N ếu H char K và K G thì H G

v) N ếu H ≤K ≤G và H char G, K/H char G/H thì K char G

ii) Giả sử H char G và lấy x là một phẩn tử bất kỳ trong G Xét ánh xạ

Từ đó suy ra ϕx∈Aut G( ) nên H =ϕx( )H =H x (∀ ∈x G) suy ra HG.

iii) Giả sử ϕ là một tự đẳng cấu bất kỳ của G

Vì K char G nên ϕ( )K =K, do đó ϕK:K →K là một tự đẳng cấu của K

v) Với mọi ϕ∈Aut G( ) ta có ϕ(H) =Hvì H char G

Do đó ta có thể định nghĩa ánh xạ ϕ' trên G / H như sau

Khi đó dễ dàng chứng minh ϕ' xác định và là một đẳng cấu, nghĩa là

' Aut G H( / )

ϕ ∈

Mà theo giả thiết K / Hchar G / H, suy ra ϕ'(K H/ ) =K H/

Nghĩa là với mọi x∈K ta có ϕ'(xH) =ϕ( )x H∈K H/

Do đó ϕ( )x ∈K hay ϕ( )K ≤K ( ∀ ∈ϕ Aut G( )) nên theo i) suy ra Kchar G

1.5 Nhóm con Frattini

1.5.1 Định nghĩa

Cho G là một nhóm Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G

(nếu có) được gọi là nhóm con Frattini của G, ký hiệu là Φ( )G

Nhóm con Frattini luôn tồn tại trong một nhóm hữu hạn bất kỳ Nếu G

không có các nhóm con tối đại thì ta quy ước Φ ( )G =G

1.5.2 Mệnh đề Cho G là một nhóm Khi đó Φ ( )G char G, và Φ ( )G G

Ch ứng minh

Nếu G không có nhóm con tối đại thì Φ ( )G =G, mệnh đề hiển nhiên đúng

Giả sử trong G có (M i i I)∈ là họ tất cả các nhóm con tối đại của G Khi đó với

mọi ϕ∈Aut G( ), 1

(M i)

ϕ−

cũng là nhóm con tối đại của G với mọi i∈I,

do Φ ( )G là giao của tất cả các nhóm con tối đại của Gnên ta có

Hay ϕ( ( )) Φ G ⊆ Φ ( ),G ∀ ∈ϕ Aut G( ) Suy ra Φ ( )G G ■

1.5.3 Định lý Frattini Nếu G là một nhóm hữu hạn thì Φ ( )G là nhóm con lu ỹ linh c ủa G

1.5.4 Định lý Cho G là nhóm hữu hạn, NG Khi đó Φ ( )N ≤ Φ ( )G

Ch ứng minh

Giả sử Φ ( )N không là nhóm con của Φ ( )G

⇒ ∃ là nhóm con tối đại của G sao cho M không chứa Φ ( )N (*)

Do tính tối đại của M nên ta có MΦ ( )N =G.

Nếu N∩M =N thì Φ ( )N ≤N≤M(mâu thuẫn (*))

Nếu N∩M <N thì ∃N1 là nhóm con tối đại của N và chứa N∩M

Ch ứng minh

Giả sử xG là ph ần tử không sinh của G, và M là một nhóm con tối đại bất

kỳ của G Khi đó nếu xM thì G  M x, M (mâu thuẫn) Do đó xM,

với mọi nhóm con tối đại M Suy ra, x∈Φ ( )G

Ngược lại, lấy z∈Φ ( )G và giả sử rằng G  z Y, Nếu Y G thì tồn tại nhóm con tối đại M sao cho Y M , nhưng z cũng thuộc M, do đó

,

z Y M (mâu thuẫn) Vậy z là phần tử không sinh của G ∎

1.5.6 Mệnh đề Cho nhóm G, H là nhóm con của G, Φ ( )G h ữu hạn sinh nếu

1 =G G G  G n− G n =G được gọi là một dãy siêu giải được của

G nếu G i+1 /G i là nhóm cyclic với mọi 0≤ ≤i n

G được gọi là nhóm siêu giải được nếu Gcó một dãy siêu giải được

Ví d ụ: Mọi nhóm cyclic G là nhóm siêu giải được với dãy siêu giải được là

Mặt khác ta lại có: (H∩G i+1 ) / (H∩G i) = (H∩G i+1 ) / ((H∩G i+1 ) ∩G i)

Theo 1.1.1 (1) ta có (H∩G i+1) / ((H∩G i+1) ∩G i) (  H∩G i+1)G G i/ i

Mà (H∩G i+1)G G i/ i ≤G i+1/G i là nhóm cyclic nên (H∩G i+1)G G i/ i là nhóm cyclic

Do đó (*) là dãy siêu giải được của H

Do đó (**) là dãy siêu giải được của G / H

Vậy G / H là nhóm siêu giải được ■

1.6.4 Định lý

N ếu mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số trong G là một số nguyên tố thì

G là nhóm siêu gi ải được.

⇒ Φ  và M / Φ ( )G là nhóm con tối đại của G/ Φ ( )G

Vì G/ Φ ( )G là nhóm siêu giải được nên [G/ Φ ( ) :G M / Φ ( )]G là một số nguyên

tố

Mà [ :G M] [ = G/ Φ ( ) :G M / Φ ( )]G

[ :G M]

⇒ là một số nguyên tố với mọi M là nhóm con tối đại của G

Vậy theo Định lý 1.6.4, ta có G là nhóm siêu giải được ■

1.6.6 Mệnh đề Nếu G/Z(G) siêu giải được thì G siêu giải được

(H×K j+1) / (H×K j)(H H/ ) (× K j+1/K j)K j+1/K j (∀ =j 0,m−1)

Do H i+1/H i, K j+1/K j là nhóm cyclic, suy ra (H i+1×1) / (H i×1), (H×K j+1) / (H×K j)

là nhóm cyclic

Do đó 1 1 × =H0 × 1 H1 × 1  H n× = 1 H× = 1 H×K0 H×K1   H×K m =H×K

là một dãy siêu giải được của H×K

Mà

1

/ ( )

n i i

  là nhóm siêu giải được Do đó G H/ j (∀ =j 0, )n là

1.6.9 Định lý

c ủa G là siêu giải được Khi đó

i) G có m ột p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P với p là số nguyên tố

ii) P/ Φ ( )P là nhóm con chu ẩn tắc tối tiểu của G/ Φ ( )P

iii) N ếu p≠ 2 thì exp( )P = p

iv) N ếu P không Aben và p= 2 thì exp( )P = 4

v) N ếu P là Aben thì exp( )P = p

1.7 Nhóm lu ỹ linh

1.7.1 Định nghĩa dãy tâm trên, dãy tâm dưới

• Dãy G=γ1( )G ≥γ2( )G ≥ , trong đó γn+1 ( )G = [γn( ), ] (G G ∀ =n 0,1, 2 ) được

gọi là dãy tâm dưới của G

• Dãy 1 =Z G0( ) ≤Z G1( ) ≤Z G2( ) ≤ trong đó

1 ( ) / ( ) ( / ( )) ( 0,1, 2 )

n n n

Z + G Z G =Z G Z G ∀ =n gọi là dãy tâm trên của G

Nếu G hữu hạn, số hạng cuối cùng của dãy tâm trên được gọi là siêu tâm

(hypercenter) của G Ký hiệu là Z∞( )G

1.7.2 Định nghĩa nhóm luỹ linh

Nhóm G được gọi là nhóm luỹ linh nếu nó có một dãy tâm, nghĩa là một dãy chuẩn tắc

1 =G0  G1 G n =G trong đó G i+1 /G i ≤Z G G( / i)

Chiều dài của dãy tâm ngắn nhất của G gọi là lớp luỹ linh của G

1.7.3 Định lý

i) M ọi p-nhóm hữu hạn đều luỹ linh

ii) M ọi nhóm con của một nhóm luỹ linh là luỹ linh

iii) M ọi nhóm thương của một nhóm luỹ linh là luỹ linh

iv) N ếu H và K luỹ linh thì H×K lu ỹ linh

1.7.4 Định lý

Cho G là m ột nhóm hữu hạn Khi đó G luỹ linh nếu và chỉ nếu G là tích

tr ực tiếp của các nhóm con Sylow của G

ii) P/ Φ ( )P là nhóm con chu ẩn tắc tối tiểu của G/ Φ ( )P

iii) N ếu P không Aben và p > 2 thì số mũ của P là p, nếu P không Aben và

Ví d ụ: Mọi nhóm con chuẩn tắc đều pronormal

Mọi nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn đều pronormal

1.9 Nhóm con Fitting

1.9.1 Định nghĩa Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con chuẩn tắc luỹ linh

c ủa một nhóm G được gọi là nhóm con Fitting của G, ký hiệu là F(G)

Gọi P là một p-nhóm con Sylow của Φ ( )G Khi đó theo bổ đề Frattini 1.2.3

ta có G= Φ ( ).G N G( )P Mà Φ ( )G là tập các phần tử không sinh của G nên G=NG(P)

Suy ra P G ⇒P Φ ( )G

Suy ra Φ ( )G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó

Vậy Φ ( )G ≤F G( ).

ii) • F(G) là nhóm con chuẩn tắc luỹ linh của G

N Φ G là nhóm lũy linh ⇒ ΦP ( )G char N

Mà NG nên PΦ ( )G G (theo 1.4.2 iv)

F G G N G F G G

Vậy F G( / Φ ( ))G =F G( ) / Φ ( )G ■

1.10 Nhóm con Fitting suy r ộng

1.10.1 Định nghĩa tự đẳng cấu trong, hạng tử chính của G

• Giả sử G là một nhóm, với mỗi g∈G ta định nghĩa ánh xạ:

Dễ dàng chứng minh được g là một tự đẳng cấu của G Các tự đẳng cấu g gọi

là các tự đẳng cấu trong của G Ký hiệu là InnG

Đặc biệt nếu H ≤G thì  { } { 1 } 1

g H = g h h∈H = g hg h− ∈H =g Hg−

• Một dãy chính của một nhóm hữu hạn G là một dãy các nhóm con chuẩn tắc

Khi đó, nhóm thương G i+1 /G i được gọi là hạng tử chính của G

(định nghĩa này tương đương G i+1 /G i là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G G/ i)

1.10.2 B ổ đề

Gi ả sử có (1) G=G0 >G1 > >G n = 1 trong đó G iG và G i−1/G i ho ặc là Aben ho ặc là tích trực tiếp của những nhóm đơn không Aben (i=1, 2,…., n) Nếu

x∈G và x c ảm sinh một tự đẳng cấu trong lên G i−1 /G i v ới mỗi i=1, 2,…, n, khi

đó x cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất kỳ hạng tử chính nào của G

1.10.3 Định nghĩa

M ột nhóm G được gọi là tựa luỹ linh nếu với bất kỳ hạng tử chính τ c ủa G,

m ỗi tự đẳng cấu của τ c ảm sinh bởi một phần tử của G là tự đẳng cấu trong

1.10.4 B ổ đề

i) N ếu G là tựa luỹ linh và HG thì H và G/H là t ựa luỹ linh

ii) M ột nhóm con á chuẩn tắc của nhóm tựa luỹ linh là tựa luỹ linh

iii) N ếu G/H và G/K là tựa luỹ linh thì G/ (H∩K) là t ựa luỹ linh

1.10.5 Định nghĩa nhóm nửa đơn (semisimple)

M ột nhóm G được gọi là nhóm nửa đơn nếu G là tích trực tiếp của những nhóm đơn không Aben

1.10.6 Định lý

Nhóm G là t ựa luỹ linh khi và chỉ khi G Z/ ∞( )G là n ửa đơn

1.10.7 Định nghĩa nhóm con Fitting suy rộng

cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên G i−1 /G i với mỗi i = m+1, …., n Do đó theo

bổ đề 1.10.2 thì x sẽ cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất kỳ hạng tử chính nào

của *

( )

F G Do đó *

( )

F G là tựa luỹ linh

Giả sử H là một nhóm con á chuẩn tắc tựa luỹ linh của G Cần chứng minh

• Nếu H < G khi đó ∃ K G sao cho HK Theo giả thiết quy nạp H ≤M

Giả sử G=G0 >G1 > >G n = 1 là một dãy chính của G, trong đó G l =M và

giả sử rằng x∈M Khi đó x cảm sinh tự đẳng cấu đồng nhất lên G i−1 /G i với

1≤ ≤i l

Mà G i−1/G i là tích trực tiếp của những hạng tử chính của K (i= +l 1, , )n

( )

x∈M =F K nên x cảm sinh tự đẳng cấu trong lên mỗi hạng tử G i−1 /G i

Vì thế x cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất kỳ hạng tử chính nào của G