nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều

Ban giám hiệu, lãnh đạo khoa Sư phạm cùng tập thể quý thầy cô đồng nghiệp ở tổ Tự Nhiên khoa Sư phạm trường Đại học Tiền Giang đã tạo điều kiện để tôi có thể học tập và hoàn thành tốt nh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Nhã

NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO TRONG

KHÔNG GIAN ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Nhã

NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO TRONG

KHÔNG GIAN ĐỀU

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Lời cảm ơn

Qua hơn một năm học Cao học tại trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, tôi đã được sự giảng dạy tận tình của quý Thầy, Cô và sự giúp đỡ của phòng Sau đại học Nhờ vậy, tôi đã tiếp thu được nhiều kiến thức và kỹ năng bổ ích để thực hiện bài luận văn này

Hoàn thành luận văn, tôi xin trân trọng cảm ơn:

1 TS Trần Đình Thanh và PGS - TS Nguyễn Bích Huy, những người đã dẫn dắt tôi vào con đường nghiên cứu khoa học và giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn

2 Ban lãnh đạo và các chuyên viên phòng Sau đại học đã tạo điều kiện tốt nhất cho chúng tôi học tập và nghiên cứu; các giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Giải Tích khoá 21 đã hết lòng truyền thụ kiến thức cho chúng tôi trong suốt khoá học

3 Ban giám hiệu, lãnh đạo khoa Sư phạm cùng tập thể quý thầy cô đồng nghiệp ở tổ Tự Nhiên khoa Sư phạm trường Đại học Tiền Giang đã tạo điều kiện để tôi có thể học tập và hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình trong thời gian học Cao học

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Cao học Giải Tích khoá 21 đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong quá trình học tập

và thực hiện luận văn

Nguyễn Thanh Nhã

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Mở đầu 4

Nội dung chính 5

1 Không gian đều 6

1.1 Các khái niệm cơ bản về không gian đều 6

1.1.1 Cấu trúc đều 6

1.1.2 Tôpô sinh bởi cấu trúc đều 12

1.1.3 Tính liên tục đều 15

1.1.4 Tính đầy đủ 19

1.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều 21

1.2.1 Giả metric và cấu trúc đều sinh bởi giả metric 21

1.2.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều 22

2 Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều 27

2.1 Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều 27

2.2 Một số mở rộng 32

2.3 Định lý Caristi – Kirk trong không gian đều 40

Kết luận và kiến nghị 44

Tài liệu tham khảo 46

Mở đầu

Nguyên lí ánh xạ co Banach – Caccioppli là định lí điểm bất động được tìm ra sớm nhất, có chứng minh đơn giản nhất nhưng cho đến nay vẫn là một trong số ít các định lí cơ bản nhất trong lý thuyết điểm bất động Định lí này không chỉ cho biết sự tồn tại, duy nhất của điểm bất động mà còn chỉ ra một dãy lặp đơn giản hội tụ về điểm bất động đó Do

đó nguyên lí Banach – Caccioppli tìm được các ứng dụng đa dạng trong nghiên cứu định tính và định lượng cho nhiều lớp phương trình xuất phát

từ nhiều lĩnh vực khoa học

Do sự quan trọng của nó, nguyên lí Banach – Caccioppli đã được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu mở rộng theo các hướng khác nhau Hướng thứ nhất là mở rộng các điều kiện trên ánh xạ như giảm nhẹ điều kiện co hoặc xét các dạng co khác; hướng này đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu Hướng thứ hai là mở rộng lớp không gian, rộng hơn không gian metric như không gian đều; hướng này chưa được biết đến nhiều Do

đó việc tìm hiểu và giới thiệu hướng mở rộng nguyên lý ánh xạ co trong không gian đều là đề tài có ý nghĩa cho luận văn Thạc sĩ Toán học

Trong luận văn này, tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về không gian đều, nguyên lý ánh xạ co và các mở rộng trong không gian đều

Nội dung chính

Nội dung của luận văn bao gồm 3 phần chính: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận Cụ thể như sau:

1 Phần mở đầu: Đặt vấn đề và khái quát nội dung của luận văn

2 Phần nội dung: Bao gồm 2 chương

a Chương 1 - Không gian đều

Nội dung chương 1 bao gồm:

1.1 Các khái niệm cơ bản về không gian đều 1.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều

b Chương 2 - Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều

Nội dung chương 2 bao gồm:

2.1 Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều 2.2 Một số mở rộng

2.3 Định lý Caristi - Kirk trong không gian đều

3 Phần kết luận: Tổng kết các kết quả đã nghiên cứu và đưa ra những nhận xét cũng như các vấn đề mở cho hướng nghiên cứu sắp tới

Chương 1

1 Không gian đều

Nội dung chương 1 trình bày các khái niệm về cấu trúc đều, không gian đều, tôpô sinh bởi cấu trúc đều trên một tập hợp và ánh xạ liên tục giữa các không gian đều Qua đó sẽ nghiên cứu quan hệ giữa liên tục và liên tục đều

cũng như tính đầy đủ, Hausdorff của không gian đều Phần cuối của chương sẽ trình bày mối liên hệ của một họ các giả metric và cấu trúc đều trên cùng một tâp hợp và đưa ra cơ sở lí thuyết cho các vấn đề được trình bày ở chương 2

1.1 Các khái niệm cơ bản về không gian đều

: ( , ) , ( , )

∃ ∈ ∈ hay ∃z z V x: ∈ [ ]⊂V A y[ ], ∈W z[ ]

Do đó, y∈W V A[ [ ]] Vậy, (W V° )[ ]A ⊂W V A[ [ ]]

+ Lấy y∈W V A[ [ ]], khi đó: y∈W z z V A[ ], ∈ [ ] Ta được, ( , )z y ∈W

Vì z∈V A[ ] nên z∈V x[ ] với x A∈ hay( , )x z ∈ V

Suy ra: ( , )x y ∈ ° hay W V y∈ °W V x[ ],x∈ A

Do đó, y∈(W V° )[ ]A Vậy, [ [ ]] (W V A ⊂ W V° )[ ]A

• Ta có:

( , ) ( ): ( , ) , ( , ), : ( , ) , ( , ) , ( , ): ( , ) , ( , )

ii) Nếu V V i° ⊂i U i với mọi i thì V V° ⊂U

Định nghĩa 1.2 Một họ ≠ ∅ gồm các tập con của 2

X được gọi là một cấu trúc

đều trên X nếu:

Ví dụ 1.1 Ta có các ví dụ về cấu trúc đều như sau:

1 Nếu X là tập hợp các số thực thì cấu trúc đều thông thường trên X là họ các tập con U của X X× thoả{( , ) :x y |x− <y| r}⊂ U với r> 0

2 Họ tất cả các tập con của 2

,

X chứa ∆ là một cấu trúc đều trên X và được

gọi là cấu trúc đều rời rạc

Nhận xét 1.1 Có nhiều cấu trúc đều trên một tập hợp X Ta nói cấu trúc đều  lớn

hơn cấu trúc đều  nếu ⊂  Cấu trúc đều lớn nhất trên X là cấu trúc đều rời rạc, cấu trúc đều nhỏ nhất là họ chỉ gồm tập X X× Nhìn chung, hợp hoặc giao của

2 cấu trúc đều trên X chưa hẳn là một cấu trúc đều trên X

Định nghĩa 1.3 Cho không gian đều ( , )X 

1 Họ β gọi là cơ sở của cấu trúc đều  nếu β ⊂  và với mọi V ∈ thì tồn tại W ∈ sao cho W Vβ ⊂

2 Họ γ gọi là tiền cơ sở của cấu trúc đều  nếu γ ⊂  và họ các giao hữu hạn những phần tử của γ là một cơ sở của 

Ví dụ 1.2 Ta có các ví dụ về cơ sở của cấu trúc đều:

a) Họ β = ∆ { } là cơ sở của cấu trúc đều rời rạc

b) Họ β ={V ∈: V đối xứng }là cơ sở của  Thật vậy, vì β ⊂  và với

V∈ bất kỳ, ta chọn 1

W = ∩V V− thì W ∈ và W Vβ ⊂

Hiển nhiên β ⊂  và với mọi V ∈ thì tồn tại W ∈ sao cho W Vβ ⊂ Ta đi

chứng minh  là một cấu trúc đều trên X

Thật vậy, ta thấy  thoả các tính chất 1) và 2) của định nghĩa 1.2 Ta chứng minh  thoả các tính chất 3), 4) và 5)

LấyV V1, 2∈ , khi đó tồn tại U U1, 2∈ β thoả U1⊂V U1, 2 ⊂V2 Do đó, ta được

Với V ∈ , tồn tại , U W ∈ β thoả U V ⊂ và W W ° ⊂ Suy ra, W W U ° ⊂ U

Vì β ⊂  nên W ∈ Vậy,  thoả tính chất 5) của định nghĩa 1.2

Như vậy,  là một cấu trúc đều trên X và nhận β làm cơ sở 

Ví dụ 1.3 Cho không gian metric ( , )X d ; ta kí hiệu U r ={( , ) : ( , )x y d x y < r} với 0

r> Họ β ={U r :r>0} là cơ sở của một cấu trúc đều trên X gọi là cấu trúc đều

của không gian metric ( , )X d

Ta kiểm tra họ β thoả mãn định lý 1.1 Thật vậy, vì ( , ) 0, ( , )d x y = ∀ x y ∈ ∆ nên∆ ⊂U r, ∀U r ∈ β

Lấy U U r1, r2∈β, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử r1≤ và kr2 hi đó ta

thoả các điều kiện của định lý 1.1 Dễ dàng nhận thấy điều kiện 1) được thoả

Đặt

1

n i i

=

= thì V∈ β và theo bổ đề 1.1 ta được: V V U° ⊂

Theo định lý 1.1, β là cơ sở của một cấu trúc đều nào đó trên X nên kéo theo

γ là tiền cơ sở của cấu trúc đều đó

1.1.2 Tôpô sinh bởi cấu trúc đều

Định nghĩa 1.4 Cho không gian đều ( , ) X  vàβ là cơ sở của  Họ τ ⊂2X gồm

tập ∅ và các tập G có tính chất

là một tôpô trên X , gọi là tôpô sinh bởi cấu trúc đều 

Ta sẽ kiểm tra định nghĩa trên là hợp lý Thật vậy, hiển nhiên , X∅ thuộc τ

và hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ cũng thuộc τ

Với G G1, 2∈τ , ta kiểm tra G1∩G2∈τ Giả sử G =G1∩G2 ≠ ∅ , ta có:

Ta đi kiểm tra G là tập mở Thật vậy, xét x G′∈ , ta chọn ,W W′∈ thoả β

à[ ]

● Nếu U′ là một lân cận của x thì x G∈ ′⊂U′ với G′ mở Khi đó, tồn tại

V∈ β thoả [ ]V x ⊂G hay V x′ [ ]⊂U′

Hệ quả 1.1 Cho x∈X v V à ∈ Khi đó, [ ] V x là một lân cận của x trong tôpô sinh bởi cấu trúc đều 

Mệnh đề 1.4 Nếu trong X xét tôpô sinh bởi cấu trúc đều  thì mỗi W ∈ là một

X

Chứng minh

Với W ∈ , theo mệnh đề 1.2 tồn tại V∈, V đối xứng và V V V W° ° ⊂

Theo mệnh đề 1.1, do V đối xứng nên

Từ đó, ta suy ra: ( , )x y ∈IntW, ( , )∀ x y ∈ Vì V ∆ ⊂ nên V ∆ ⊂ IntW 

Định lý 1.3 Cho không gian đều ( , ) X  và τ là tôpô sinh bởi cấu trúc đều  Khi đó:

Chứng minh Ta có:

a) Với x A∈ , khi đó [ ]U x ∩ ≠ ∅ ∀ ∈ Với A , U y∈U x[ ]∩ , ta có: y A A ∈

và y∈U x[ ] hay ( , )y x ∈U−1 Suy ra, x∈U−1[ ]A Vậy,

∈  , gọi V là một lân cận bất kỳ của x trong tô pô sinh bởi cấu

trúc đều  Khi đó, tồn tại U∈ ⊂ β , U đối xứng và thoả x∈U x[ ]⊂ V (với β

là cơ sở của  ) Lại có, x∈U A[ ] nên x∈U y[ ], y∈ Ta được, ( , )A y x ∈ U

hayy∈U−1[ ]x =U x[ ] Do đó, y V∈ ∩ A và từ đó x A∈ Suy ra,

Định nghĩa 1.5 Cho không gian đều ( , )X  và τ là tôpô sinh bởi  Không gian ( , )X τ được gọi là Hausdorff nếu mỗi tập hợp chỉ gồm một phần tử của X là tập

đóng Khi đó, ta còn gọi không gian ( , )X  là tách được

Định lý 1.4 Không gian X cùng với tôpô sinh bởi cấu trúc đều  là Hausdorff

nếu ∆ ={ : }U U∈

Chứng minh Với x X∈ , ta có: { }x ={ [ ] U x : U∈ Lấy } a∈{ }x thì [ ],

Vậy, { } { }x = x và ta có điều phải chứng minh 

1.1.3 Tính liên tục đều

Định nghĩa 1.6 Ánh xạ f giữa các không gian đều ( , X  và ( ,X) Y  được gọi Y)

là liên tục đều nếu ∀ ∈W Y,∃ ∈V X : ( , )∀ x y ∈ ⇒V ( ( ), ( ))f x f y ∈W

Như vậy, nếu ta xét 2 2

Và từ định nghĩa của tôpô sinh bởi cấu trúc đều trên $ X $ ta có kết quả sau,

Định lý 1.5 Nếu : f X → Y liên tục đều thì f liên tục đối với tôpô sinh bởi cấu

Chứng minh

Gọi βY là cơ sở của cấu trúc đều  Y

Xét x∈X , ta chứng minh f liên tục tại x Đặt y=f(x), nếu A là lân cận bất

kỳ của y thì tồn tại W ∈βY thoả [ ]W y là lân cận của y và [ ] W y ⊂ A

f U ⊂ hay f A liên tục tại x

Vậy f là ánh xạ liên tục trên X với tôpô sinh bởi cấu trúc đều 

Chúng ta nhắc lại định nghĩa về lưới, lưới con và sự hội tụ trong một không gian

tôpô X ,

Bổ đề 1.2 Cho không gian tôpô ( , ) X τ

(b) α β β γ ,  thì α γ với mọi , ,α β γ ∈ D

và kí hiệu là { } xα α∈D

(b) yβ =xαβ

lưới con hội tụ

Định lý 1.6 Cho các không gian đều ( , X X), ( ,Y  và ánh xạ : Y) f X → Y thoả mãn:

2 f liên tục

Khi đó f liên tục đều

Chứng minh

Giả sử ngược lại f không liên tục đều, tức là tồn tại W0∈ sao cho với mọi Y X

V∈ thì F V( ) Từ đó, ta tìm được lưới W0 {(x V,y V)}V ∈ X thoả mãn (x V,y V)∈ và V ( (f x V)), (f y V))∉W0 (Ta xem  là tập định hướng với quan hệ X)

 là T - không gian nên 2 tồn tại 2 lân cận rời nhau của x và y Theo định lý

1.2 thì họ { [ ],U z U∈βX} là cơ sở lân cận của z X∈ (với βX là cơ sở của cấu trúc  ) Ta chọn được X U∈βX thoả [ ]U x ∩U y[ ]= ∅ Theo mệnh đề 1.2 ta tìm được W ∈X, W đối xứng và W W W U° ° ⊂

Do {(xβ′ ′ là lưới con của lưới {( , )},yβ)} x V y V V∈X nên với W ∈ , tồn tại X β1

sao cho với mọi β β≥ thì ( , ) ( , )1 xβ′ ′ =yβ x V y V với V W⊇ Hay (xβ′ ′ ∈ ,yβ) W

với mọi β β≥ 1

Do {(xβ′ ′,yβ)}→( , )x y và W x[ ], [ ]W y lần lượt là lân cận của x, y nên

+ Tồn tại β2 sao cho với mọi β β≥ 2 thì xβ′ ∈W x[ ] hay ( ,x xβ′ ∈ ) W

+ Tồn tại β3 sao cho với mọi β β≥ 3 thì yβ′ ∈W y[ ] hay ( ,y yβ′ ∈ ) W

Vậy f liên tục đều 

Mệnh đề 1.5 Cho f là một ánh xạ từ tập hợp X vào không gian đều ( , ) Y  Khi đó,

( )

F− V với V ∈  Ta chứng minh β là cơ

sở của một cấu trúc đều nào đó trên X

( ( ), ( ))f x f y ∈V− Suy ra, ( ( ), ( ))f y f x ∈ hay ( , )V y x ∈ U

Suy ra, ( ( ), ( ))f x f y ∈ ° ⊂V V′ ′ V Vậy, ( , )x y ∈U hay W W° ⊂ U

Như vậy, theo định lý 1.1 họ β là cơ sở của một cấu trúc đều  trên X Và theo

định nghĩa của β thì f là liên tục đều từ ( , )X  vào ( , )Y 

Gọi  là một cấu trúc đều khác trên X thoả : ( , )′ f X ′ →( , )Y  là liên tục

đều Lấy U ∈ , khi đó tồn tại W ∈ sao cho W Uβ ⊂ (do β là cơ sở của  ) Theo định nghĩa của β thì W =F−1( )V với V ∈  Do : ( , ) f X ′ →( , )Y 

là liên tục đều nên W ∈ Như vậy, tồn tại W′ ∈ và W U′ ⊂ nên theo tính chất của cấu trúc đều ′

Định nghĩa 1.7 Cho không gian đều ( , )X  và Y ⊂ X Một họ các tập con  của

Y × được gọi là cấu trúc đều liên kết  và Y (hoặc cấu trúc đều liên kết với Y ) Y

nếu  là cấu trúc đều nhỏ nhất sao cho ánh xạ đồng nhất từ ( , )Y  đến ( , )X  là liên tục đều

Khi đó, ta gọi không gian đều ( , )Y  là không gian đều con của ( , )X 

Định nghĩa 1.8 Cho các không gian đều (Xα,α),α∈A Khi đó cấu trúc đều tích trên không gian ∏Xα là cấu trúc đều nhỏ nhất sao cho phép chiếu lên mỗi không gian toạ độ là liên tục đều

Họ tất cả các tập {( , ) : ( , )x y xα yα ∈U} với α∈ và U A ∈ là tiền cơ sở của αcấu trúc đều tích

1.1.4 Tính đầy đủ

Ở phần này chúng ta chỉ giới thiệu một vài khái niệm cơ bản liên quan đến tính đầy

đủ của không gian đều như: Lưới Cauchy, lọc, lọc Cauchy

Định nghĩa 1.9 Cho không gian đều ( , )X  ,

1 Lưới { }xα gọi là lưới Cauchy nếu:

0 0

2 Cho lưới { }xα ⊂ X , ta gọi Mα ={xβ :β α≥ } là lọc liên kết với lưới { }xα

3 Lọc µ ⊂ X gọi là lọc Cauchy nếu: ∀ ∈V ,∃ ∈A µ: A× ⊂A V

Định nghĩa 1.10 Cho không gian đều ( , )X 

• Lọc µ có giới hạn là x nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại A∈ sao µ

cho A⊂U Kí hiệu là µ → x

• Không gian đều ( , )X  được gọi là đầy đủ nếu mỗi lưới Cauchy đều có giới hạn

Nhận xét 1.2 Nếu không gian đều ( , )X  là đầy đủ thì mọi lọc Cauchy trong X đều

có giới hạn

1 Mọi lưới hội tụ là lưới Cauchy

2 Nếu lưới Cauchy có lưới con hội tụ về a thì nó hội tụ về a

1 Giả sử lưới { }xα α∈A hội tụ về a Ta chứng minh { } xα là lưới CauChy

Với V ∈ bất kỳ, ta chọn W∈, W đối xứng thoả W W V° ⊂ Vì [ ]W a là 1

lân cận của a và lưới xα → a nên tồn tại α0 thoả ∀ ≥α α0 thì xα ∈W a[ ] Khi đó, với α α α, ′ ≥ 0 thì ( ,a xα),( ,a xα′)∈ Do W W đối xứng nên ( , ) x xα α′ ∈ ° hay W W

(x xα, α′)∈V Vậy, { }xα là lưới CauChy

2 Giả sử rằng { }xα α∈A là lưới Cauchy, { }yγ γ∈B là lưới con của lưới { }xα và

yγ →a Lấy U là lân cận bất kỳ của a Khi đó, ∃ ∈V β :a V a∈ [ ]⊂ và [ ]U V a là

lân cận của a Chọn W ∈, W đối xứng thoả W W V° ⊂

Vì {xα} là lưới Cauchy nên ∃α0:∀α α α, ′≥ 0 ⇒(x xα, α′)∈ W

Ta có, W a [ ] là một lân cận của a và yγ → nên a ∃γ1:∀ ≥γ γ1⇒ yγ ∈W a[ ] Lại có, { }yγ là lưới con của lưới { }xα nên với α0 tồn tại γ2 sao cho ∀ ≥ γ γ2

=

∈Suy ra: ( ,a xα)∈ W Do đó, ( , )a xα ∈ ° ⊂W W V Ta được, xα ∈V a[ ]⊂ U

Vậy, lưới { }xα hội tụ về a 

1.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều

1.2.1 Giả metric và cấu trúc đều sinh bởi giả metric

Định nghĩa 1.11 Một hàm thực không âm :d X ×X →  thoả với mọi ,x y và z

thuộc X,

a) d(x,y) = d(y,x)

b) ( , )d x y +d y z( , )≥d x y( , )

c) d(x,y) = 0 nếu x=y

được gọi là một giả metric trên X

Khi đó, không gian (X,d) gọi là không gian giả metric

Cho không gian giả metric (X,d), với mỗi số thực dương r ta đặt

Định lý 1.8 Cho không gian đều ( , ) X  và d là một giả metric trên X Khi đó, d là

là một cơ sở của cấu trúc đều tích

Do đó, nếu d liên tục đều thì với mỗi số dương r, tồn tại U ∈ sao cho:

( , ), ( , )x u y v ∈ ⇒U | ( , )d x y −d u v( , ) |< r

Đặc biệt nếu chọn (u,v) = (y,y), ta có: d(x,y) <r nếu ( , ) x y ∈ U

Vì vậy, U ⊂V d r, hay V d r, ∈

Ngược lại, nếu V d r, ∈ với r>0, với (x,u) và (y,v) thuộc V ta có d r,

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Suy ra: | ( , )d x y −d u v( , ) | 2 < r Do đó, d liên tục đều trên X X× 

Nhận xét 1.3 Theo định lý 1.7 và 1.8, cấu trúc đều sinh bởi d có thể xem là cấu trúc

đều nhỏ nhất làm cho d liên tục đều trên X X× Khi đó, tôpô giả metric đồng nhất với tôpô sinh bởi  bởi vì V d r, [ ]x là hình cầu mở chứa x và họ các hình cầu này là

cơ sở lân cận của x trong cả hai tôpô

1.2.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều

b) U n ⊂{( , ) : ( , )x y d x y <2 }−n ⊂U n−1 với mỗi số nguyên dương n

n-1 n n

Khi đó, d ≥ và thoả điều kiện a) Vì ( , )0 d x y ≤ f x y( , ) nên

{( , ) : ( , ) 2 }n

n

Nếu các U n là đối xứng thì f(x,y) = f(y,x) với mỗi cặp (x,y) và d là một giả metric

trong trường hợp này

Dùng qui nạp theo n, hiển nhiên (*) đúng với $n=0$

Giả sử (*) đúng với n>0 Ta quy ước:

∑ là độ dài của chuỗi từ r đến s+1,

● Đặt a là độ dài của chuỗi từ 0 đến n+1

Gọi k là số nguyên lớn nhất sao cho chuỗi từ 0 đến k có độ dài không quá

Vậy, {( , ) : ( , )x y d x y <2 }−n ⊂U n−1 và bổ đề được chứng minh xong 

Định nghĩa 1.12 Không gian đều ( , )X  được gọi là giả metric hoá được nếu có

một giả metric d sao cho  là cấu trúc đều sinh bởi d

trúc đều  có một cơ sở đếm được