nghiên cứu việc dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học

Từ ghi nhận về tầm quan trọng của mô hình hóa trong dạy học và vai trò công cụ của hệ phương trình tuyến tính trong việc giải quyết các bài toán thực tế, chúng tôi xác định chủ đề nghiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

- -

Phạm Anh Lý

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THỊ NGA

Thà nh phố Hồ Chí Minh - 2012

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những

trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Nga, người

đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu

Ngoài ra tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THCS Phường 1, thị

xã Gò Công – Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học

PHẠM ANH LÝ

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

MỞ ĐẦU 1

1 Những ghi nhận ban đầu 1

2 Câu hỏi nghiên cứu 3

3 Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu 3

3.1 Nghiên cứu thể chế 3

3.2 Đồ án sư phạm 4

4 Tổ chức của luận văn 5

Chương 1:TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 6

1 Mô hình hóa toán học Quá trình mô hình hóa toán học 6

1.1 Mô hình hóa toán học 6

1.2 Quá trình mô hình hóa toán học 9

1.3 Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa 11

2 Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán 12

3 Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mô hình hóa toán học 14

4 Sự quan tâm đến dạy học mô hình hóa toán học ở các nước và ở Việt Nam 15

4.1 Ở Pháp 15

4.2 Ở một số nước khác 15

4.3 Ở Việt Nam 17

Chương 2:HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MÔ

HÌNH HÓA TOÁN HỌC 21

1 Ở bậc đại học 22

1.1 Mô hình thu nhập quốc dân (Keynes) 24

1.2 Mô hình cân bằng thị trường 25

1.3 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô 27

1.4 Kết luận 28

2 Ở bậc phổ thông 29

2.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn công cụ ngầm ẩn 29

2.2 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn đối tượng và công cụ tường minh 33

2.2.1 Phân tích chương trình 33

2.2.2 Phân tích sách giáo khoa 34

2.2.3 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK10 46

2.3 Kết luận 48

Chương 3: THỰC NGHIỆM (ĐỒ ÁN DẠY HỌC) 52

1 Mục đích thực nghiệm 52

2 Nội dung thực nghiệm 53

2.1 Giới thiệu các tình huống thực nghiệm 53

2.2 Dàn dựng kịch bản 55

3 Đối tượng thực nghiệm 57

4 Phân tích tiên nghiệm 57

4.1 Biến và giá trị của chúng 57

4.2 Chiến lược và cái có thể quan sát được, ảnh hưởng của biến 59

4.2.1 Phiếu số 1 59

4.2.2 Phiếu số 2 và phiếu số 3 59

4.2.3 Phiếu số 4 64

4.2.4 Phiếu số 5 64

4.3 Phân tích kịch bản 66

5 Phân tích hậu nghiệm 68

5.1 Ghi nhận tổng quát 68

5.2 Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm 69

5.2.1 Pha 1 69

5.2.2 Pha 2 và pha 3: Tiếp cận và sử dụng hệ phương trình 70

5.2.3 Pha 4: Thể chế hóa 77

5.2.4 Pha 5 và pha 6: Vận dụng 79

6 Kết luận 83

KẾT LUẬN 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO 88

PHỤ LỤC 1: ĐỒ ÁN 90

PHỤ LỤC 2: MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH 94

PHỤ LỤC 3: Protocole 101

SGK4 : Sách giáo khoa toán lớp 4

SGK5 : Sách giáo khoa toán lớp 5

SGK8 : Sách giáo khoa toán lớp 8

SGK9 : Sách giáo khoa toán lớp 9 tập 2

SGK10 : Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản

SGK10NC : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao

SGV : Sách giáo viên

SGV9 : Sách giáo viên toán lớp 9 tập 2

SGV10 : Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản

THCS : Trung học cơ sở

THPT : Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1 Giá trị các biến được lựa chọn trong tình huống 58

Bảng 2 Thống kê số nhóm giải theo chiến lược 68

Bảng 3 Thống kê kết quả pha 1 69

Bảng 4 Thống kê chiến lược giải các nhóm trong pha 2 và pha 3 70

Bảng 5 Thống kê kết quả pha 5 79

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu

Trong chương trình toán phổ thông, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một chủ đề quan trọng xuyên suốt từ bậc tiểu học đến bậc trung học Nó không chỉ xuất hiện trong chương trình môn toán mà còn hiện diện như một công cụ trong nhiều môn học khác và trong thực tiễn cuộc sống Ngoài ra, hệ phương trình tuyến tính cũng là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán cao cấp ở bậc đại học Những ghi nhận này thúc đẩy chúng tôi đi tìm hiểu việc dạy và học tri thức hệ phương trình tuyến tính

Ngày nay, mục đích lớn nhất của việc dạy học toán là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản để bước vào cuộc sống sau này Ngoài ra, đa số học sinh phổ thông sau này không phải là người làm toán mà là người sử dụng toán cho nên việc dạy học toán cần phải chuẩn bị cho học sinh khả năng áp dụng kiến thức linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống, hình thành và nâng cao năng lực tự học của học sinh Để đạt được mục đích này, việc chú trọng vấn đề mô hình hóa trong dạy học là thật sự cần thiết

Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) là chương trình hợp tác của các quốc gia thành viên của tổ chức Hợp tác và phát triển kinh tế (OECD – Organization for Economic Cooperation and Development) đánh giá mức độ chuẩn bị của học sinh tuổi mười lăm nhằm đáp ứng những thách thức của xã hội Bắt đầu từ năm 1997, chương trình PISA đánh giá theo chu kỳ ba năm một lần với quy mô toàn cầu, hiện đã có trên 70 quốc gia và nền kinh tế tham gia Chương trình PISA đưa ra cho học sinh những

vấn đề được đặt trong các tình huống lấy từ thực tế cuộc sống và được xây dựng sao cho toán học giải quyết các vấn đề đó Mục tiêu của điều tra PISA là xác định trong chừng mực nào học sinh có khả năng khai thác các tri thức và kĩ năng toán học của

họ để giải quyết các vấn đề được đặt ra Chương trình này không chỉ đánh giá kiến

thức mà còn xem xét những khả năng, kĩ năng cần thiết của học sinh trong độ tuổi mười lăm trong việc áp dụng kinh nghiệm và kiến thức của mình vào giải quyết các vấn đề thực tế Dưới đây là một ví dụ đã được PISA đưa ra đánh giá: Bài toán “Đèn đường”

“Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn đường trong một công viên

nh ỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên

Người ta nên đặt nó ở đâu?”

[The Pisa (2003); tr.26] Chương trình PISA làm nổi bật vai trò của mô hình hóa trong toán học cũng như trong các khoa học khác

Từ ghi nhận về tầm quan trọng của mô hình hóa trong dạy học và vai trò công cụ của hệ phương trình tuyến tính trong việc giải quyết các bài toán thực tế, chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là dạy học hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học

Về vấn đề mô hình hóa trong chương trình toán trung học Việt Nam, nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thị Nga (2011) đã đưa ra kết luận như sau:

“Vấn đề dạy học mô hình hóa không hề được đề cập trong chương trình và sách giáo khoa ở Việt Nam Sách giáo khoa chỉ đưa vào các bài tập áp dụng kiến thức toán để giải quyết một số vấn đề thực tế Trong các bài tập, những mô hình toán học (…) được cung cấp trong đề bài và thực tế đã được mô hình hóa chỉ là cái cớ để làm việc toán học trong mô hình đã được xác định rõ.”

Theo tác giả này, việc dạy học mô hình hóa ở Việt Nam và Pháp thực sự đặt ra một vấn đề:

“Như vậy, thực sự tồn tại một vấn đề dạy học: hoặc người ta tránh dạy học mô hình hóa bằng cách xây dựng mối quan hệ giữa toán học và các môn khoa học khác như mối quan hệ ứng dụng (Việt Nam), hoặc người ta khuyến khích sự quan tâm đến mô hình hóa nhưng không cung cấp cho giáo viên những phương tiện để dạy học nó (Pháp)” [Nguyễn Thị Nga (2011); tr.318]

Liên quan đến hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn, chúng tôi có ghi nhận việc trình bày của sách giáo khoa lớp 9 về tri thức này như sau: Nêu bài toán thực tiễn→Trình bày định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn → Trình bày các cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn → Củng cố bằng cách giải các hệ phương

trình, các bài toán thực tiễn Bài toán thực tiễn ban đầu được đưa vào chỉ nhằm mục đích dẫn dắt vào bài học SGK9 đưa vào định nghĩa hệ phương trình trực tiếp bằng ngôn ngữ toán học, tách rời với bài toán thực tiễn ban đầu Các bài toán thực tiễn khác chỉ được giải quyết sau khi các kiến thức về hệ phương trình đã được trình bày Như vậy, ở đây, mối liên hệ giữa toán học và vấn đề thực tiễn là mối quan hệ ứng dụng Câu hỏi cần thiết đặt ra là liệu có thể đưa vào hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa hay không?

2 Câu hỏi nghiên cứu

Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến việc đặt ra một số câu hỏi ban đầu

để định hướng cho nghiên cứu như sau:

1) Hệ phương trình tuyến tính và sự mô hình hóa toán học bởi hệ phương trình tuyến tính được trình bày như thế nào ở bậc đại học? Chúng nhằm giải quyết những vấn đề gì?

2) Việc nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn được thể hiện như thế nào trong chương trình toán ở bậc phổ thông? Có sự chênh lệch nào giữa tri thức toán học và tri thức cần giảng dạy về đối tượng hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn? Việc dạy học tri thức này có mối liên hệ nào với việc mô hình hóa toán học?

3) Liệu có thể tổ chức dạy học hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa trong đó có tính đến các điều kiện và ràng buộc của thể chế?

3 Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu thể chế

Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời các câu hỏi 1 và 2

Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào lý thuyết nhân chủng học Lý thuyết này nghiên cứu và chỉ ra tầm quan trọng của mối quan hệ thể chế với đối

tượng tri thức; đưa vào khái niệm tổ chức toán học để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đã chọn

Phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hệ phương trình tuyến tính và các

tổ chức toán học liên quan giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức này và lý do của các lựa chọn của thể chế Chúng tôi nghiên cứu thể chế dạy học hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa ở bậc đại học làm tham chiếu cho thể chế dạy học ở bậc phổ thông Việc nghiên cứu đồng thời hai thể chế và so sánh chúng với nhau giúp chúng tôi hiểu rõ ràng buộc thể chế đối với đối tượng hệ phương trình tuyến tính ở bậc phổ thông

Ngoài ra khái niệm hợp đồng sư phạm giúp chúng tôi tìm hiểu ứng xử của giáo viên và học sinh: có những quy tắc ngầm ẩn nào liên quan đến việc dạy học hệ phương trình tuyến tính được hình thành giữa họ?

Chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi 1 và 2 như sau:

CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, hệ phương trình tuyến tính được trình bày như thế nào? Vai trò công cụ của hệ phương trình tuyến tính là gì? Việc mô hình hóa bằng hệ phương trình tuyến tính cho phép giải quyết những vấn đề thực tiễn nào?

CH2: Trong thể chế dạy học ở bậc phổ thông, hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn, tường minh khi nào? Có sự tiến triển nào qua các giai đoạn? Việc dạy học các bài toán thực tiễn gắn liền với hệ phương trình tuyến tính được trình bày như thế nào trong chương trình phổ thông? Việc dạy học mô hình hóa, dạy học bằng mô hình hóa hệ phương trình tuyến tính được quan tâm như thế nào và có những đặc trưng, ràng buộc gì?

3.2 Đồ án sư phạm

Dựa vào khái niệm đồ án dạy học trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý thuyết mô hình hóa chúng tôi sẽ xây dựng một tình huống dạy học hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa Tình huống này được xây dựng theo các ràng buộc thể chế

Có thể trình bày phương pháp luận nghiên cứu theo sơ đồ:

4 Tổ chức của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:

Chương 1: Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán học

Trong chương này chúng tôi trình bày hai phần:

- Các khái niệm chung về mô hình hóa toán học

- Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa

Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học

Trong chương này chúng tôi sẽ phân tích hai thể chế (thể chế dạy học ở bậc đại học

và thể chế dạy học phổ thông) để làm rõ các đặc trưng của việc dạy học hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa Cụ thể, kiểu nhiệm vụ “Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình” sẽ được xem xét trong cả hai thể chế để

so sánh các đặc trưng, ràng buộc của chúng

Chương 3: Thực nghiệm (Đồ án dạy học)

Trong chương này chúng tôi xây dựng, thực nghiệm và phân tích tình huống dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa

NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC

Thể chế dạy học bậc đại học

NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Thể chế dạy học PT ở Việt Nam

GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

ĐỒ ÁN DẠY HỌC

Chương 1:

TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

VỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

1 Mô hình hóa toán học Quá trình mô hình hóa toán học

1.1 Mô hình hóa toán học

Trong ba thập kỷ qua, các nhà nghiên cứu nhấn mạnh tầm quan trọng và thảo luận về vai trò của mô hình toán học và các ứng dụng trong toán học giảng dạy và học tập (Pollak, 1970; Blum Niss năm 1991; Lesh & Doerr, 2003) Henry Pollak (1970) ghi nhận rằng truyền thống toán học giảng dạy nên chuyển từ việc hiểu “Đây

là một bài toán, giải quyết bài toán” hoặc “Đây là một định lý, chứng minh điều đó", sang việc hiểu "Ở đây là một tình huống, suy nghĩ về nó” Ông cũng chỉ ra rằng

có một nhu cầu mạnh mẽ để cho phép sinh viên khám phá một tình huống có vấn

đề, đặt ra các giả thuyết và tìm hiểu các công cụ thích hợp hoặc định lý họ cần sử dụng để giải quyết tình hình trong thế giới thực dựa trên tình huống đó

Ngày nay, mô hình hóa được hầu hết mọi người ưa chuộng, giải quyết vấn

đề, hoạt động học tập và các hoạt động khác, liên kết toán học với các đối tượng khác, có thể đóng góp phần nào trong việc hướng tới ý nghĩa của việc học tập và giảng dạy toán học

“ Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên Sự chuyển đổi này được đặt dưới

sự kiểm tra của tư duy lôgic hay tư duy toán học Nói cách khác, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này.”

[Quách Huỳnh Hạnh (2009); tr.8]

Mô hình toán học có thể được thể hiện thông qua đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ thống các phương trình…

Mô hình hóa toán học có vai trò hết sức quan trọng, ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và cuộc sống Những tình huống được mô hình hóa có tình huống trong toán học và cả tình huống ngoài toán học

Một số ví dụ về mô hình toán học:

+ Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số Một mô hình đơn giản cho

bài toán này là mô hình phát triển Malthus, là một mô hình mô tả sự tăng trưởng của dân số theo hàm mũ dựa trên sự bất biến của tỉ lệ của hệ số phức Mô hình này được đặt theo tên của Thomas Malthus Mô hình này xác định bởi công thức:

P(t) = P0er.tVới P0: Số dân ban đầu (Initial Population); r: tỉ lệ tăng trưởng, t: thời gian

Tuy nhiên, theo Joel E Cohen thì sự đơn giản của mô hình đưa ra chỉ hữu ích cho việc dự đoán trong khoảng thời gian ngắn, và không tốt nếu áp dụng cho khoảng thời gian 10 hay 20 năm hoặc lâu hơn Để khắc phục yếu điểm này Pierre Francois Verhulst đã phát triển mô hình hàm logistic (logistic function) vào năm 1838

+ Trong kinh tế: Mô hình mô tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng Khách

hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có Trong mô

hình này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n mặt hàng được đánh nhãn 1,2, ,n, mỗi thứ có giá là p1, p2, , p n Giả thiết rằng

khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tương ứng cho

số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x1, x2, , x n Mô hình còn giả

thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích

là cực đại U(x1, x2, , x n) Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở thành bài toán tối ưu hóa, nghĩa là:

Mô hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung, đặc biệt dùng để chứng minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân bằng kinh tế Tuy nhiên, việc sử dụng

mô hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn của khách hàng vẫn là vấn đề

tranh cãi

+ Trong vật lí: Mô hình biểu diễn cho một hạt (phần tử) trong trường-điện thế

(potential-field) Trong mô hình này, một phần tử được xem là một khối điểm m với

quĩ đạo của nó được mô hình bởi hàm x: R → R3, với tọa độ của nó trong không

gian là một hàm theo thời gian Trường-điện thế được cho bởi hàm V: R3 → R và

quĩ đạo là nghiệm của phương trình sai phân:

2 2

+ Trong cơ học cổ điển: Mô hình dao động của dây, của màng; mô hình chuyển

động của tên lửa; mô hình chuyển động của tàu ngầm Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa Về mặt động học dao động điều hòa được miêu tả bởi hệ thức:

q = Asin(kt + α)

Ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và được gọi là biên độ dao động; (kt + α) là argument của sin gọi là pha dao động; α là pha ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động Tần số riêng k liên quan với chu kỳ

T f

= =

1.2 Quá trình mô hình hóa toán học

Quá trình mô hình hóa vấn đề thực tiễn được thực hiện theo sơ đồ sau: (Theo Nguyễn Thị Nga (2011))

Sơ đồ này chia quá trình mô hình hóa thành 4 bước: (Tham khảo Nguyễn Thị Nga (2011))

- Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo Mô hình trung gian giữa tình huống ngoài toán học và mô hình toán học cần xây dựng biểu thị một cấp

độ trừu tượng hóa đầu tiên của “thực tiễn” Mô hình này tiến triển từ từ qua việc mô hình hóa: một mô hình trung gian có thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với tình huống thực tế được xem xét hoặc so với mô hình toán học cần xây dựng

- Bước 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính Khi có mô hình trung gian

ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét Từ đó dẫn đến việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của tình huống Như vậy mô hình hóa toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng

- Bước 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học hình thành ở bước thứ hai Căn

cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp

- Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Trở lại tình huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu trả lời của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình hóa

Trong bước này có hai khả năng:

* Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế

* Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế Khi đó cần xem xét các nguyên nhân sau:

- Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình

- Mô hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét

- Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng

- Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế

Có thể phải thực hiện lại quy trình cho đến khi tìm mô hình toán học thích hợp cho tình huống đang xét

Ngoài ra theo Coulange (1998), bước 1 chuyển bài toán thực tiễn thành bài toán phỏng thực tiễn như là tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống, tình huống cần giải quyết để đưa vào một bài toán phỏng thực tiễn bằng cách loại

bỏ những chi tiết không quan trọng làm cho bài toán có nội dung thực tiễn trở nên

dễ hiểu và dễ nắm bắt hơn Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ thống rút ra những mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi của hệ thống

Những bước của quy trình mô hình hóa trên chỉ có ý nghĩa với tình huống thực tế thực sự, còn đối với những tình huống trong dạy – học toán ở trường phổ thông chỉ là những tình huống nhân tạo liên quan đến một số chủ đề toán học Quá

trình mơ hình hĩa chỉ chủ yếu thực hiện bước 2, bước 3 và quá trình mơ hình hĩa dừng lại khi chu kỳ chỉ cĩ một

1.3 Dạy học mơ hình hĩa và dạy học bằng mơ hình hĩa

Theo Lê Thị Hồi Châu (2011) “Để nâng cao năng lực hiểu biết tốn 1 cho học sinh, khơng thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học để giải quyết một vấn đề nào đĩ do thực tiễn đặt ra” Mơ hình hĩa tốn học khơng thể

thiếu trong việc nâng cao năng lực hiểu biết của học sinh, do đĩ việc áp dụng mơ hình hĩa vào dạy – học tốn ở trường phổ thơng là rất cần thiết Việc giảng dạy tốn

ở trường phổ thơng thường cĩ thể theo hai tiến trình sau (Tham khảo Lê Văn Tiến (2005)):

“…, dạy học mơ hình hố là dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học của

thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn

…, quy trình dạy học có thể là: Dạy học tri thức tốn học lí thuyết → Vận dụng các tri thức này vào việc giải các bài tốn thực tiễn và do đĩ vào việc xây dựng mơ hình của thực tiễn

Quy trình n ày làm mất đi vai trị động cơ của các bài tốn thực tiễn và do đĩ làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức tốn học: tri thức tốn học khơng cịn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài tốn thực tiễn

Quan niệm “Dạy học bằng mơ hình hố” cho phép khắc phục khiếm khuyết

này Theo quan niệm này, vấn đề là dạy học tốn thơng qua dạy học mơ hình hố Như vậy, tri thức tốn học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài tốn thức tiễn Quy trình dạy học tương ứng cĩ thể là:

Bài tốn thực tiễn → Xây dựng mơ hình tốn học → Câu trả lời cho bài tốn thực tiễn→ Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải các bài tốn thực tiễn.”

[Lê Văn Tiến (2005); tr.171-172] Tiến trình dạy học bằng mơ hình hố đã khắc phục được khuyết điểm của

tiến trình dạy học mơ hình hố và giúp học sinh nâng cao khả năng vận dụng tốn

1

“Hi ểu biết tốn là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định và hiểu vai trị của tốn học trong cuộc

s ống, đưa ra những phán xét cĩ cơ sở và gắn kết với tốn học theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu

c ầu cuộc sống của cá nhân đĩ với tư cách là một cơng dân cĩ tinh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh.” (xem [2])

học vào cuộc sống hằng ngày Điều này rất cần thiết trong dạy – học toán ở trường phổ thông hiện nay Việc tăng cường dạy toán thông qua dạy học bằng mô hình hóa giúp học sinh có khả năng áp dụng nhiều hơn vào các môn học khác (mô hình toán học cũng được sử dụng nhiều trong các môn vật lý, hóa học, sinh học,…) cũng như cuộc sống hằng ngày

2 Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán

Hiện nay, nhiều chương trình giáo dục mong muốn nâng cao năng lực hiểu biết toán học cho học sinh và khả năng ứng dụng toán học vào cuộc sống Từ năm

1997 chương trình đánh giá quốc tế PISA ra đời chú trọng đánh giá khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào thực tế và năng lực xử lý các tình huống mà các học sinh có thể sẽ đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường Điều này cho

thấy vai trò của mô hình hóa trong dạy – học toán ngày càng được chú trọng

Mô hình hóa cho phép làm rõ lợi ích của toán học, giúp phát triển ở học sinh khả năng phê phán đối với việc giải quyết các vấn đề trong cuộc sống thực tiễn, chuẩn bị cho họ những kiến thức và kỹ năng cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp đa dạng sau này và nối liền toán học với các môn học khác

Theo W.Blum (1993), gần đây trong dạy – học toán đã có một xu hướng thay đổi, đó là xu hướng nhấn mạnh quá trình chuyển đổi về mô hình toán học (bước 1

và bước 2: quá trình “dịch” tình huống ban đầu về mô hình toán học) Ngày nay, có nhiều lý do khác nhau để ứng dụng mô hình hóa trong giảng dạy toán W.Blum (1993) đã đề cập đến bốn lý do chính sau đây:

- Toán học được thiết kế để giúp học sinh hiểu và đối phó với tình huống và các vấn đề của thế giới thực

- Học sinh cần được học các chủ đề toán học như là một nguồn cho sự phản ánh, hoặc để tạo ra một hình ảnh toàn diện và cân bằng của toán học như một khoa học và một phần của lịch sử và văn hóa của con người

- Chúng ta hy vọng học sinh có được trình độ chung (chẳng hạn như khả năng để giải quyết vấn đề) hoặc thái độ (chẳng hạn như sự cởi mở đối với những

tình huống mới) Mô hình hóa là một trong những cách quan trọng để phát triển các vấn đề này

- Nội dung toán học có thể thúc đẩy hoặc củng cố bằng các ví dụ mô hình hóa phù hợp, và có thể góp phần hướng tới sự hiểu biết sâu sắc hơn và duy trì lâu hơn các chủ đề toán học, hoặc nó có thể cải thiện thái độ của học sinh đối với toán học

Theo quan điểm của Barbosa (2002), mô hình hóa như là một môi trường học tập thuận lợi để tìm hiểu các lĩnh vực khác của kiến thức thông qua toán học

“Mô hình hóa là một môi trường học tập mà học sinh được mời đến để tìm hiểu và / hoặc điều tra, bằng phương tiện của toán học, những tình huống phát sinh trong các lĩnh vực kiến thức khác.”

Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán thật rõ ràng và ngày càng được rất nhiều người quan tâm đến Theo Aslan Doosti & Alireza M.Ashtiani, việc ứng dụng mô hình hóa trong dạy học toán có những ưu điểm sau:

“• Các học sinh quan tâm trong một hoạt động như mô hình hóa toán học nhiều hơn so với học tập các bối cảnh, giải quyết một số vấn đề, và tìm hiểu làm thế nào để giải quyết một phương trình […]

• Các h ọc sinh tìm hiểu làm thế nào để kết nối với các tình huống khác, đặc biệt

là các tình huống vật lý, trong thực tế học sinh sẽ cảm thấy được chuẩn bị nhiều cho việc sử dụng của toán học trong các lĩnh vực khác;

• Việc học tập sẽ có một ý nghĩa thực sự, nói cách khác, nó trở nên dễ dàng kết nối với các tình huống và các vấn đề khác;

• Hầu hết các học sinh dễ nhớ một vấn đề mô hình hóa mà họ đã dành nhiều thời gian so với một phương trình toán học;

• Việc này có thể xảy ra ở bất kỳ mức độ giáo dục, tiểu học và giáo dục trung học; […]”

Tuy nhiên, trong giáo dục toán học ở các nước khác nhau có những mục tiêu khác nhau và có những lý luận khác nhau cho việc tích hợp mô hình hóa với giảng dạy toán học

3 Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mô hình hóa toán học

Mặc dù mô hình hóa rất có ích trong việc tổ chức dạy học toán học ở trường phổ thông nhưng cũng có không ít trở ngại, theo Werner Blum (1993) và Aslan Doosti & Alireza M.Ashtiani thì có các trở ngại sau:

- Những trở ngại từ quan điểm của giáo viên Lựa chọn các vấn đề để thảo luận trong lớp học không phải là đơn giản, trong thực tế đó là nghệ thuật của giáo viên Một tình huống thực tế thực sự hay một tình huống nhân tạo ở mức độ mô hình hóa như thế nào? Tình huống như thế nào là phù hợp, đủ cho việc giảng dạy? Điều này đòi hỏi giáo viên phải đầu tư rất nhiều và những cái họ có trong tay phải được cập nhật và phải được điều chỉnh phù hợp cho từng lớp học, ngoài ra cũng đòi hỏi khả

năng quản lý tình hình mở trong lớp học của giáo viên

- Những trở ngại từ quan điểm của học sinh Mô hình hoá làm cho bài học và các kỳ thi toán học được yêu cầu cao hơn và khó dự đoán hơn Các học sinh không muốn thử nghiệm một phương pháp tiếp cận mới Vì vậy, giáo viên cần thiết phải chọn được một vấn đề hoặc tình huống hay, kích thích tính tò mò của học sinh

Từ hai trở ngại trên chúng tôi thấy, việc thiết kế những tình huống dạy học

mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa để chuyển giao cho giáo viên áp dụng vào thực tế dạy học là một việc làm thực sự cần thiết Việc thiết kế này đòi hỏi phải được thực hiện theo một phương pháp luận chặt chẽ và phải được thực nghiệm kiểm chứng (nghiên cứu tri thức luận và nghiên cứu thực tiễn dạy học)

- Những trở ngại từ quan điểm dạy và đánh giá Mô hình hoá đòi hỏi mất nhiều thời gian hơn so với các phương pháp truyền thống Mô hình hoá thật khó khăn để đánh giá, và những gì không kiểm tra sẽ không được thực hiện nghiêm túc bởi các học sinh hoặc giáo viên

Trở ngại này cho thấy để tạo ra “vùng sống” cho mô hình hóa trong dạy học

ở trường phổ thông, cần thiết phải thay đổi cách kiểm tra, đánh giá Nếu kiểm tra, đánh giá chỉ dựa trên việc đánh giá kiến thức toán học của học sinh thì việc dạy học

mô hình hóa sẽ khó được thực hiện bởi ảnh hưởng của tư tưởng “học để thi” Ngược

lại, nếu các đề thi, đề kiểm tra tập trung vào việc kiểm tra khả năng mô hình hóa toán học của học sinh (khả năng áp dụng toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn, khả năng xây dựng mô hình toán học,…) thì mô hình hóa sẽ có “đất sống” trong dạy học toán ở trường phổ thông

4 Sự quan tâm đến dạy học mô hình hóa toán học ở các nước và ở Việt Nam

4 1 Ở Pháp

Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2011), tương tự như nhiều nước khác, thể chế Pháp mong muốn đưa mô hình hóa vào dạy học toán và các môn học khác

“Trong luật về định hướng và chương trình cho tương lai của trường học

(23/05/2005), liên quan đến phạm vi văn hóa khoa học và công nghệ, việc thực

hành một “phương pháp tiếp cận khoa học” được yêu cầu như một năng lực của

học sinh Phương pháp đó được mô tả như sau:

- Biết quan sát, đặt câu hỏi, trình bày một giả thuyết và hợp thức hóa nó, tranh

luận, mô hình hóa theo cách cơ bản;

- Hiểu sự liên hệ giữa các hiện tượng tự nhiên và ngôn ngữ toán học được áp

dụng ở đó và hỗ trợ mô tả các hiện tượng này.”

[Nguyễn Thị Nga (2011); tr.315] Tài liệu kèm theo chương trình lớp Terminale2 S, ES đã đưa vào tường minh những chỉ dẫn về việc giảng dạy mô hình hóa ở THPT:

“Ở cấp độ THPT, chúng ta hướng dẫn bước đầu cho học sinh việc mô hình hóa

nhờ vào một số tình huống thực tế mà chúng ta cố ý làm đơn giản hóa đến mức

tối đa và vì vậy đối với chúng, mô hình thô đã được thiết lập trở nên sáng sủa

hoặc cho phép đưa ra một dự đoán: khó khăn lúc đó là việc giữ lại nghĩa và sự

nhất quán cho vấn đề được đơn giản hóa.”

University, Germany Ở các nước, có nhiều tài liệu về dạy học bằng mô hình hóa và dạy học mô hình hóa được chính thức phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học đến trung học phổ thông và đại học

“Ở Úc

- Hai tập tài liệu của Carr và Galbraith (1987, 1991) từ các dự án PAM, với các

ví dụ chi tiết và các bài giảng dạy cho các cấp độ thấp hơn trung học, bao gồm một loạt các đối tượng trong và ngoài toán học

- Hai cuốn sách của Lovitt và Clarke (1988), một bộ sưu tập các ví dụ chi tiết cho các cấp độ thấp hơn trung học, hướng tới hoạt động của học sinh

- Hai cuốn sách của Lowe (1988, 1991), với rất nhiều ví dụ chi tiết cho lớp

7-12, bao gồm một loạt các đối tượng, chủ yếu là đề cập đến máy tính như một công cụ

- Ở Úc, cũng có nhiều nỗ lực hướng tới phương thức đánh giá mới cho chương trình giảng dạy theo định hướng mô hình hóa (xem Clatworthy và Galbraith, 1991)

Ở Hà Lan

- Các Viện Freudenthal (trước năm 1991 được gọi là OW & OC) tại Đại học Utrecht đã phát triển rất nhiều tài liệu, bao gồm cả sách giáo khoa, cho tất cả các lớp ở trường tiểu học (các dự án Wiskobas Treffers et al), trung học phổ thông (các dự án Hewet de Lange et al ), và gần đây cho cấp thấp hơn trung học Nhiều loại tài liệu cũng đã được xuất bản bằng tiếng Anh, đặc biệt là trong kết nối với các dự án Madison (xem de Lange, 1992) Tất cả các tài liệu được cấu trúc theo chủ đề toán học, và các ví dụ mô hình hóa nhằm hỗ trợ việc học toán học

Ở Anh

- Một số tập tài liệu Toán thông qua dự án giải quyết vấn đề, phát triển tại Trung tâm Shell Giáo dục toán học tại Đại học Nottingham (liên quan đến Burkhardt et al)

- Toán học với doanh nghiệp từ Trung tâm Sáng tạo trong giảng dạy Toán tại đại học Exeter (Burghes et al) […]

- Một loạt các tập tài liệu cho các cấp độ A-Tập đoàn Spode (1992), với các ví

dụ chi tiết để sử dụng trực tiếp trong lớp học

Ở Mỹ

- Hai các cuốn sách có rất nhiều ví dụ mô hình từ Hiệp hội Toán học và ứng dụng của nó (liên quan đến Garfunkel, Aragon, Malkevitch et al) Modules HIMAP (1985- 1992) cho cấp trung học và các Modules UMAP (1981- 1992) cấp độ đại học và trung học phổ thông

- Cuốn sách viết bởi Garfunkel Steen (1991), giới thiệu các ứng dụng toán học trong thực tế gần đây, đặc biệt là kết nối với máy tính, phù hợp với cấp trung học và đại học, với một số chủ đề toán học như được nêu ra bên ngoài chương trình dạy học hiện nay

- Một loạt các sách giáo khoa theo định hướng ứng dụng (1989-1992) của trường Đại học Chicago School Toán dự án (liên quan đến Usiskin, Bell et al), bao gồm số học, đại số, hình học, thống kê, vi tích phân và toán học rời rạc

- Từ NCTM giới thiệu toán học cao đẳng (1988), được phát triển bởi Trường Khoa học và Toán học Bắc Carolina (Teague et ai), và một cuốn sách bởi Swetz

và Hartzler (1991) với các ví dụ mô hình cho cấp trung học, định hướng hoạt động của sinh viên

Ở Đức

- MUED dự án (MatheInatik-Unterrichtseinheiten-Datei liên quan đến Boer, Volk et al) đã phát triển một số bài giảng dạy chi tiết toàn cầu nhằm tăng khả năng làm việc thành thạo của học sinh trong các tình huống thực tế

- Một số dự án tại các thỏa thuận cấp độ đại học với thực tế sử dụng của toán học trong ngành công nghiệp và sử dụng chúng trong việc đào tạo các nhà toán học hoặc giáo viên toán học trong tương lai Một ví dụ là nghiên cứu trong trường hợp của Knauer (1992) ”

Như vậy vấn đề dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa đã được nhiều nước quan tâm, ứng dụng vào dạy học toán Đặc biệt, các tài liệu hỗ trợ dạy học mô hình hóa với các tình huống cụ thể đã được soạn thảo để cung cấp cho giáo viên sử dụng Điều này là thực sự có ý nghĩa để tạo “vùng sống” cho dạy học mô hình hóa vì nó khắc phục được các trở ngại đã nêu ra ở phần trên

Ở Việt Nam, vấn đề dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa được quan tâm ở mức độ nào? Nó có những đặc trưng gì?

4.3 Ở Việt Nam

Trong các năm gần đây, việc áp dụng toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn và của các môn khoa học khác khá được quan tâm trong chương trình và sách giáo khoa toán của Việt Nam

Chẳng hạn, chương trình toán lớp 9 nêu rõ:

“Quan điểm tăng tính thực tiễn, tính sư phạm được thể hiện rõ nét trong chương trình 2002, tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, thực hành, rèn

luyện kỹ năng tính toán và vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác.”

[SGV9; tr.8-9] Tương tự, chương trình môn toán ở trung học phổ thông (THPT) cũng nhấn mạnh quan điểm này như sau :

“Chương trình được xây dựng và phát triển theo các quan điểm sau:

[…]

+ Lựa chọn các kiến thức toán học cơ bản, cập nhật, thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giản, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung giáo dục, thể hiện vai trò công cụ của môn toán

+ Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền với thực tiễn

[…] [Trích chương trình THPT môn Toán, 2006]

“Mục tiêu đầu tiên của chương trình cần đạt được là ý nghĩa, ứng dụng của các kiến thức toán học vào đời sống, vào việc phục vụ các môn học khác.”

[Trích chương trình Đại số và Giải tích 11, 2006] Như vậy, sự liên môn, gắn liền với vai trò công cụ của toán học, đã được đề cập tường minh trong chương trình trung học Tuy nhiên, theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2011), vấn đề dạy học mô hình hóa không được quan tâm ở Việt Nam

“Vấn đề dạy học mô hình hóa không hề được đặt ra trong khi soạn thảo chương trình và sách giáo khoa ở Việt Nam Chúng tôi chỉ tìm thấy dấu vết của sự mô hình hóa trong việc ứng dụng các kiến thức toán học vào một số vấn đề nảy sinh

từ thực tế Trong sách giáo khoa toán THPT, các bài tập loại này rất hiếm và thường được đặt trong phần bài đọc thêm hoặc ở phần đầu một số chương với vai trò dẫn dắt đến kiến thức mới.”

[Nguyễn Thị Nga (2011); tr.315] Thật vậy, ở Việt Nam, chúng tôi chưa tìm thấy tài liệu chính thức nào về mô hình hóa cũng như tài liệu hướng dẫn dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa Các tình huống dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa còn thiếu vắng thật sự

Chúng tôi chỉ tìm thấy vấn đề này trong một số nghiên cứu Các nghiên cứu

này đều rút ra kết luận dạy học bằng mô hình hóa chưa được quan tâm ở Việt Nam

Trong phần sau, chúng tôi sẽ điểm qua một số kết luận của các nghiên cứu này về

việc dạy học mô hình hóa một số chủ đề cụ thể ở Việt Nam

Chủ đề Xác suất thống kê

Nghiên cứu của Quách Huỳnh Hạnh (2009) về thống kê, một lĩnh vực mà mô

hình hóa có môi trường “sống” rất tốt đã kết luận như sau:

“Căn cứ vào đặc trưng của bốn bước trong quá trình mô hình hóa toán học,

chúng tôi nhận thấy với tất cả các kiểu nhiệm vụ xuất hiện ở cả SGK1 3

và SGK24thì kỹ thuật dùng để giải quyết đều chỉ mới dừng lại ở bước thứ ba, tức

là sử dụng kiến thức toán học để giải quyết bài toán đã có sẵn Học sinh không

hề được đặt trước yêu cầu thực hiện bước chuyển từ hệ thống hay tình huống

ngoài toán học vào trong mô hình toán học, đồng thời cũng không có yêu cầu

kiểm tra tính thỏa đáng của những kết quả có được.”

[Quách Huỳnh Hạnh (2009); tr.42]

Chủ đề Hàm số

Trong nghiên cứu của Nguyễn Thị Hồng Cúc (2010) - Dạy học mô hình hóa

hàm số thông qua bài toán tính diện tích trong môi trường tích hợp phần mềm

Cabri II Plus, tác giả có kết luận:

“… năm bước của quá trình mô hình hoá có được thể chế quan tâm Nhưng thực

tế cho thấy nó bị xem nhẹ và không là mục tiêu nhắm đến của chương, chúng

chỉ mang nặng tính hình thức Tham chiếu với năm bước của quá trình mô hình

hoá 1 bài toán thực phỏng thực tế, ta thấy:

Bước 1: Những bài toán thực tế được đưa ra chỉ là những bài toán toán học hoặc phỏng thực tế nên bước 1 không có điều kiện xuất hiện

Bước 2: Việc chuyển từ bài toán phỏng thực tế sang bài toán toán học (hàm

3Phan Đức Chính (2008), “Toán 7 – tập 2”, NXB giáo dục

4Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 nâng cao”, NXB giáo dục

Bước 4: Khâu chuyển từ kết quả của bài toán toán học sang bài toán phỏng thực tế thường chỉ mang tính hình thức: kết quả đa phần là trùng nhau Bài toán phỏng thực tế bao giờ cũng có nghiệm

Bước 5: Không có điều kiện xuất hiện.”

[Nguyễn Thị Hồng Cúc (2010); tr.20-21] Đặc biệt hơn với khái niệm hàm số tuần hoàn, một lĩnh vực mà mô hình hóa toán học có môi trường tốt để tồn tại nhưng theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2011) thì vấn đề dạy học mô hình hóa cũng không được đề cập

“…, việc dạy học mô hình hóa, đặc biệt là mô hình hóa các hiện tượng tuần hoàn thu hẹp thành dạy học sử dụng các mô hình Đặc biệt, nếu hàm số thuộc vào mô hình thì nó sẽ được trình bày trong đề bài ngay khi giới thiệu thực tế cần

Chương 2:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG MỐI LIÊN HỆ

VỚI MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC Mục tiêu của chương

Khái niệm hệ phương trình tuyến tính đã được nghiên cứu trong một số luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Didactic Toán trước đây, chẳng hạn như luận văn của tác

giả Nguyễn Thùy Trang (2006) - Algorit và tham số trong dạy- học phương trình ở trường trung học phổ thông Trường hợp: hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn hay luận văn của Trần Thị Mỹ Dung (2008) - Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10

Trong những luận văn này, các tác giả đã nghiên cứu sự xuất hiện và vai trò của hệ phương trình tuyến tính trong các giáo trình đại học cũng như các tổ chức toán học xoay quanh khái niệm này Tương tự, vết của các tổ chức toán học này trong chương trình toán ở bậc phổ thông cũng đã được làm rõ Vì vậy, trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ không lặp lại một sự phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm hệ phương trình tuyến tính mà chỉ tập trung vào nghiên cứu việc dạy học hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học Điều này thể

hiện rõ nét qua việc tập trung nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính

Vấn đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính cũng đã được

đề cập trong luận văn của Nguyễn Thị Minh Vân (2012) Tuy nhiên, tác giả nghiên cứu nó trong sự liên hệ với giải toán bằng cách lập phương trình để chỉ ra các quy tắc hợp đồng gắn liền với nó mà chưa sử dụng cách tiếp cận dạy học mô hình hóa, đặc biệt là chưa đối chiếu việc dạy học kiểu nhiệm vụ này với các bước của quá trình mô hình hóa toán học

Việc tham khảo các luận văn trên chưa cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi đặt ra ban đầu và đòi hỏi chúng tôi phải tiến hành nghiên cứu một số giáo trình đại

học và sách giáo khoa toán ở phổ thông theo cách tiếp cận mô hình hóa toán học để tìm câu trả lời cho chúng Cụ thể, chúng tôi nhắc lại các câu hỏi đó như sau:

CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, hệ phương trình tuyến tính được trình bày như thế nào? Vai trò công cụ của hệ phương trình tuyến tính là gì? Việc mô hình hóa bằng hệ phương trình tuyến tính cho phép giải quyết những vấn đề thực tiễn nào?

CH2: Trong thể chế dạy học ở bậc phổ thông, hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn, tường minh khi nào? Có sự tiến triển nào qua các giai đoạn? Việc dạy học các bài toán thực tiễn gắn liền với hệ phương trình tuyến tính được trình bày như thế nào trong chương trình phổ thông? Việc dạy học mô hình hóa, dạy học bằng mô hình hóa hệ phương trình tuyến tính được quan tâm như thế nào và có những đặc trưng, ràng buộc gì?

Câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ được làm rõ trong những phân tích dưới đây của chúng tôi Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, hệ phương trình tuyến tính được trình bày trong hai loại giáo trình chính: giáo trình về Toán lý thuyết và giáo trình về Toán ứng dụng Trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến các tài liệu về Toán ứng dụng

1 Ở bậc đại học

Tác giả Trần Thị Mỹ Dung (2008) đã chỉ ra trong các giáo trình đại học (về Toán lý thuyết) hai kiểu nhiệm vụ thường gặp trong hình học mà ở đó hệ phương trình tuyến tính đóng vai trò công cụ

Theo tác giả, đây cũng là hai kiểu nhiệm vụ được nghiên cứu trong chương trình môn toán ở trường phổ thông Vai trò công cụ của hệ phương trình tuyến tính được nhấn mạnh qua hai kiểu nhiệm vụ này:

“Khi xét hệ PTTT với tư cách một công cụ toán học, ta thấy một hệ PTTT lại có thể dùng để biểu diễn cho một phẳng hoặc giao của các phẳng (trường hợp đặc biệt là siêu phẳng) Chính điều đó đã mở rộng giá trị công cụ của hệ PTTT vào việc giải các bài toán liên quan đến sự tương giao của các phẳng (vốn khó hoặc không thể giải quyết bằng các công cụ của hình học (trực quan) trong không gian từ 3 chiều trở lên).”

[Trần Thị Mỹ Dung (2008); tr.21] Chúng ta thấy rằng các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ trên đều là các bài toán toán học thuần túy Việc xây dựng một mô hình toán học là hệ phương trình tuyến tính cho phép giải quyết tốt các vấn đề đó Câu hỏi đặt ra là liệu hệ phương trình tuyến tính cho phép giải quyết những vấn đề ngoài toán học nào?

Câu hỏi này khiến chúng tôi đặc biệt quan tâm đến kiểu nhiệm vụ Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính Xem xét các giáo trình đại

học mà các tác giả luận văn trước đây đã nghiên cứu về hệ phương trình tuyến tính thì kiểu nhiệm vụ này hoàn toàn vắng bóng Chúng tôi cũng nhận được kết quả này khi xem xét các giáo trình Toán cao cấp hoặc Đại số tuyến tính dành cho các trường

cho trước”

Đại học Sư phạm và Đại học khoa học tự nhiên Đặc biệt, kiểu nhiệm vụ này chỉ xuất hiện duy nhất trong các giáo trình Toán cao cấp dành cho sinh viên kinh tế

Vì vậy, trong phần này, chúng tôi sẽ chọn phân tích một số giáo trình Toán cao cấp dành cho sinh viên kinh tế sau đây:

- Trương Lâm Đông (2007), Toán cao cấp – Phần 1: Đại số tuyến tính (cho sinh viên các ngành kinh tế), Tài liệu lưu hành nội bộ trường đại học kinh tế (I)

- Nguyễn Huy Hoàng (2010), Toán cao cấp – Tập 1: Đại số tuyến tính (dùng cho sinh viên các ngành kinh tế và quản trị kinh doanh), NXB Giáo dục (II)

Trong các giáo trình này, sau khi trình bày các khái niệm liên quan đến hệ phương trình tuyến tính như ma trận, định thức,…, lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính (bao gồm các cách định nghĩa hệ phương trình tuyến tính và kỹ thuật giải) được đưa vào tương tự như các giáo trình Đại số tuyến tính khác Điểm đặc biệt trong các giáo trình này là sự xuất hiện của một mục chuyên biệt dành cho sinh

viên kinh tế: Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế Trong phần này,

một số mô hình kinh tế sau được đề cập đến

1.1 Mô hình thu nhập quốc dân (Keynes)

Mô hình này được trình bày trong (II) như sau:

“Mô hình này gồm hai phương trình: C = a + b.Y (2.4)

Và điều kiện cân bằng Y = C + I 0 + G 0 (2.5) Trong đó:

- Y: tổng thu nhập quốc dân; C: chi phí tiêu dùng của xã hội

- I 0 : tổng chi phí đầu tư; G 0 : chi tiêu của chính phủ

- a, b là các tham số

Điều kiện các tham số:

- Nếu tổng thu nhập quốc dân Y = 0 thì xã hội vẫn tiêu dùng nên a > 0

- Khi thu nhập quốc dân Y tăng thì chi tiêu C cũng tăng nên b > 0; mặt khác chi phí tiêu dùng của xã hội không thể vượt quá tổng thu nhập quốc dân nên b <

1 Vậy 0 < b < 1

Giải hệ gồm hai phương trình (2.4), (2.5) ta được giá trị cân bằng thu nhập quốc

Từ đó ta có: “ Khi b càng gần 1, từ phương trình (2.7) suy ra chi phí tiêu dùng cân bằng của xã hội càng lớn, đồng thời từ (2.6) suy ra tổng thu nhập quốc dân cân bằng Y cũng sẽ càng lớn Điều này có ý nghĩa là: xã hội càng tiêu dùng nhiều bao nhiêu thì càng kích thích sản xuất phát triển và tổng thu nhập quốc dân tăng lên bấy nhiêu.” [Nguyễn Huy Hoàng (2010); tr.115]

Phần trích dẫn trên cho thấy, giáo trình (II) đã đưa ra ngay từ đầu mô hình toán học của vấn đề và chỉ giải thích các biến, điều kiện của biến Vấn đề tổng quát xuất phát từ thực tiễn đã không được nêu ra Tại sao lại cần thiết lập hệ phương trình tuyến tính?

So với các bước của quá trình mô hình hóa thì bước 1 không có điều kiện xuất hiện và bước 2 đã được thực hiện sẵn Nhiệm vụ của sinh viên chỉ là thực hiện bước 3 và 4 tức là giải hệ và trả lời câu hỏi đặt ra trong bài toán Trong mô hình tuyến tính được đề cập, chúng tôi nhận thấy có hai biến C và Y, hệ phương trình đưa ra là hệ hai phương trình hai ẩn bậc nhất và đều giải quyết được (ở đây giáo trình đã đưa ra nghiệm tổng quát của hệ) Với các điều kiện của tham số thỏa mãn thì nghiệm tìm ra được chính là kết quả của bài toán Vì vậy, bước 4 của quá trình

mô hình hóa cũng chỉ được thực hiện một cách hình thức Tất cả các kết quả toán học nhận được cũng chính là kết quả của bài toán kinh tế Sinh viên không có trách nhiệm phải chuyển câu trả lời của bài toán toán học về bài toán ban đầu

1 2 Mô hình cân bằng thị trường

Mô hình này được trình bày trong (I), (II) Tương tự như mô hình thu nhập quốc dân, các giáo trình này không giới thiệu một bài toán tổng quát trong kinh tế

mà đưa ra trực tiếp mô hình toán học

Xét thị trường có n loại hàng hóa Mỗi loại hàng hóa đều có nhiều loại hàng hóa khác thay thế hoặc bổ sung

“Các yếu tố được quan tâm:

- Lượng hàng hóa yêu cầu của loại hàng thứ i (hàm cầu): Q di

- Lượng hàng hóa cung ứng của loại hàng thứ i (hàm cung): Q si

- Đơn giá của loại hàng thứ i: P i

Hàm cung và hàm cầu tuyến tính của thị trường n loại hàng hóa có dạng:

Mô hình này được đưa vào giống như các mô hình mà chúng tôi đã xét ở trên Các giáo trình đưa ra ngay các mô hình toán học của vấn đề kinh tế trong thực tiễn Mô hình này gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn P1, P2, …, Pn Giáo trình

có lưu ý “Lời giải chỉ có ý nghĩa kinh tế khi các thành phần của nghiệm phải dương

và khi thay những giá trị đó vào các hàm cung, hàm cầu, giá trị các hàm đó cũng phải dương”.[ Nguyễn Huy Hoàng (2010); tr.121]

Như vậy, vấn đề kiểm nghiệm lại kết quả toán học để đưa ra câu trả lời cho bài toán ban đầu đã được nhấn mạnh Tuy nhiên, vì các phương trình tuyến tính đều được cho sẵn nên nghiệm của chúng luôn thỏa mãn điều kiện dương và theo đó giá, lượng hàng cung, lượng hàng cầu cũng dương Vì sinh viên không có trách nhiệm

lập hệ phương trình tuyến tính nên việc xem xét lại kết quả toán học có phù hợp với thực tế hay không để điều chỉnh lại mô hình toán học hoàn toàn không được đặt ra

1.3 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

Mô hình này được trình bày trong (I), tương tự các mô hình trên, giáo trình này không giới thiệu một bài toán tổng quát trong kinh tế mà đưa ra trực tiếp mô hình toán học

“Trong kinh tế vĩ mô xét mô hình cân bằng dạng:

- c: Tiêu dùng của cư dân

- T: Thuế

- I 0 : Mức đầu tư cố định theo kế hoạch

- G 0 : Mức chi tiêu cố định của chính phủ

[Trương Lâm Đông (2007); tr.79-80]

Mô hình toán học cũng được đưa trước, sinh viên không được giới thiệu vấn

đề thực tế như thế nào và tại sao phải có những phương trình này Mô hình toán học thu được là một hệ ba phương trình ba ẩn Y, c, T Hệ phương trình này luôn giải được

Ngoài ra trong (I) và (II) còn giới thiệu mô hình IS-LM và mô hình output Mô hình IS-LM được dùng để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế trong cả hai thị trường: thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ Mô hình Input-output là mô hình cân đối liên ngành, đề cập đến việc xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế Tuy hai mô hình này có đề cập việc thiết lập mô hình tổng quát nhưng khá sơ sài, việc kiểm tra kết quả là không cần thiết (bài toán đã cho sẵn dữ kiện cũng như kết quả thỏa yêu cầu)

Input-Phần bài tập trong các giáo trình được cho giống như phần đã trình bày trong

lý thuyết: cho sẵn phương trình và các yếu tố đầu vào, sinh viên chỉ cần lập hệ như phần lý thuyết và giải hệ đó

“8 Xét thị trường có hai loại hàng hóa Biết hàm cung, hàm cầu của hai loại hàng hóa là:

Q s1 = - 1 + 3P Q d1 = 10 – 2P 1 + 2P 2

Q s2 = - 3 + 5P Q d2 = 15 + P 1 – 3P 2

Tìm điểm cân bằng của thị trường.”

[Trương Lâm Đông (2007); tr.88]

“4.9 Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là:

0, 2 0,3 0, 4 0,3 0, 2 0,1

Và yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành kinh tế trên là: 22, 98, 56

Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên.”

[Nguyễn Huy Hoàng (2010); tr.177-178] Các bài tập trong các giáo trình đưa ra giống như các mô hình mà giáo trình đưa ra trong lý thuyết, đều đưa về hệ phương trình tuyến tính và có lời giải thỏa mãn yêu cầu đề bài

Qua các mô hình đã trình bày chúng tôi có nhận xét:

Tình huống thực tế thực sự đã không được nêu ra, tất cả các mô hình kinh tế đều đưa ra sẵn mô hình toán học, không được giải thích Quá trình mô hình hóa không được thực hiện đầy đủ Sinh viên chỉ việc thực hiện bước 3 và bước 4: giải

hệ phương trình đã có và trả kết quả tìm được về yêu cầu bài toán Điều này có thể hiểu được do sinh viên năm nhất chưa được học về các kiến thức kinh tế, vì vậy tiếp cận với các mô hình này là một khó khăn với sinh viên

1.4 Kết luận

Qua phần trình bày trên chúng tôi đã tìm được câu trả lời cho câu hỏi 1 Từ những ghi nhận trên chúng tôi có các kết luận:

Hệ phương trình tuyến tính thể hiện vai trò công cụ không chỉ trong toán học

mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế

Trong các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình trong các giáo trình đại học thì các mô hình toán học hầu hết được cho sẵn, không được giải thích Các công thức được liệt kê sẵn từ đó dẫn đến việc lập hệ phương trình bậc nhất và giải Mô hình toán học được cho trực tiếp mà không thông qua một mô hình trung gian nào cả Một lý do dẫn đến các giáo trình trình bày như trên là do sinh viên năm nhất chưa được học các kiến thức về kinh tế, vì vậy, việc lập luận để xây dựng các mô hình này là một khó khăn đối với sinh viên

Qua các giáo trình tham khảo, chúng tôi nhận thấy rằng việc dạy học mô hình hóa không được quan tâm đúng mức Các giáo trình có quan tâm đến việc vận dụng hệ phương trình tuyến tính để giải quyết một số vấn đề kinh tế còn việc dạy học mô hình hóa đặc biệt là bước thiết lập mô hình toán học không được chú trọng Các mô hình hầu hết đã cho sẵn sinh viên chỉ chủ yếu thực hiện bước 3 (hoạt động toán học) Việc kiểm tra đối chiếu kết quả toán học có phù hợp với thực tế được mô hình hóa không thuộc trách nhiệm của sinh viên

2 Ở bậc phổ thông

2.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn công cụ ngầm ẩn

Trong chương trình tiểu học, phương trình chưa được chính thức đề cập đến một cách tường minh Dù vậy học sinh vẫn gặp các bài toán tìm x, một dạng phương trình bậc nhất một ẩn Học sinh tìm x theo các quy tắc về tìm một số hạng trong các biểu thức tổng, hiệu, tích, thương Trong lớp 4 học sinh gặp các biểu thức chứa hai chữ đơn giản (a + b; a – b; a.b;…) với yêu cầu:

“Nhận biết một số biểu thức chứa hai chữ đơn giản

Biết tính giá trị của một số biểu thức đơn giản chứa hai chữ.”

[SGV4; tr.81]

Việc tính giá trị các biểu thức này được cho cũng rất đơn giản, chẳng hạn như “Tính giá trị của c + d nếu c = 10 và d = 25” [SGK4; tr.42]

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn trong bài toán “Tìm hai

số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” năm lớp 4

[SGK4; tr.47] Yêu cầu của SGV4 là giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải bằng sơ đồ như trên Thuật ngữ hệ phương trình và các kí hiệu ẩn số chưa được đưa vào Tuy nhiên, nếu đặt hai ẩn số tương ứng với hai số chưa biết trong bài toán là x, y chúng

ta sẽ được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 70

Ngoài các bài toán liên quan đến số tự nhiên, SGK4 cũng bắt đầu đưa vào các bài toán dạng này có nội dung ngoài toán học

“Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi Bố hơn con 38 tuổi Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?

Hai phân xưởng làm được 1200 sản phẩm Phân xưởng thứ nhất làm được ít hơn phân xưởng thứ hai 120 sản phẩm Hỏi mỗi phân xưởng làm được bao nhiêu sản phẩm?

Bài toán: Tổng của hai số là 70 Hiệu của hai số đó là 10 Tìm hai số đó

Thu hoạch từ hai thửa ruộng được 5 tấn 2 tạ thóc Thu hoạch ở thửa ruộng thứ nhất được nhiều hơn ở thửa ruộng thứ hai 8 tạ thóc Hỏi thu hoạch ở mỗi thửa ruộng được bao nhiêu ki-lo-gam thóc?”

[SGK4; tr.47-48]

“Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 530m, chiều rộng kém chiều dài 47m Tính diện tích thửa ruộng.”

[SGK4; tr.175] Mặc dù các đại lượng của “thực tế” được đưa vào nhưng giả thiết luôn cho biết tổng (qua thuật ngữ “cộng lại”, “hai”….) và hiệu (qua thuật ngữ “ít hơn”,

“nhiều hơn”, “kém”, ) của hai đại lượng cần tìm Vì vậy, có thể thấy rằng việc đưa

về bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng là khá dễ dàng Công việc của học sinh chỉ cần xác định đưa về bài toán tìm hai số, quy lạ về quen Thật vậy, mục

tiêu của SGK4 khi đưa ra các bài toán này là “Giúp học sinh rèn kĩ năng giải bài toán “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” ” [SGV4; tr310]

Số lượng bài tập của hai dạng toán này gần tương đương nhau (9 bài tập tìm hai số và 10 bài tập có nội dung thực tế)

Đến cuối lớp 5 học sinh tiếp tục gặp lại các bài toán đưa về tổng hiệu của hai

số, cách giải cũng không có gì khác so với lớp 4 Số lượng bài khá ít chỉ có ba bài

“Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 120m Chiều dài hơn chiều rộng 10m Tính diện tích mảnh đất đó.”

Bài thứ nhất và thứ hai đòi hỏi học sinh phải xác định tổng, hiệu của hai số Trong bài toán thứ nhất học sinh chỉ cần biết cách tính chu vi của hình chữ nhật thì