nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở trung học phổ thông

Từ đó chúng tôi nhận định rằng: nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn thì đa số học sinh sẽ sử dụng “quy tắc” mà sách giáo khoa đã đưa ra

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh, người

đã truyền dạy những những kiến thức quý báu và đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Nguyễn Chí Thành, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga, TS Vũ Như Thư Hương và các thầy cố đến từ Pháp đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, giúp tôi tiếp thu tốt nhất những kiến thức chuyên ngành Didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn:

Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau Đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học

Ban giám hiệu và giáo viên hai trường THPT Phú Quốc và THPT Dương Đông (huyện Phú Quốc, tỉnh Kiên Giang) đã tạo điều kiện cho tôi thực dự giờ, quan sát nhiều tiết học và tiến hành các thực nghiệm cần thiết cho luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tha thiết đến gia đình và các bạn cùng khóa, những người luôn yêu mến, ủng hộ, chia sẻ và động viên tôi suốt quá trình học tập

Nguyễn Quốc Tuấn

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH M ỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 4

M Ở ĐẦU 5

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 5

2 M ục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu 9

3 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn 11

CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 12

1.1 Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 11 12

1.1.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 11 12

1.1.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 11 13

1.2 Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 12 18

1.2.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 12 18

1.2.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 12 19

1.3 Phân tích các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2003 đến 2013 28

1.3.1 Nhóm 1: Nhóm các câu hỏi sử dụng đạo hàm “ngay từ ban đầu” 29

1.3.2 Nhóm 2: Nhóm các câu hỏi không sử dụng đạo hàm 29

1.3.3 Nhóm 3: Nhóm các câu hỏi biến đổi biểu thức về hàm số một biến, sau đó sử dụng đạo hàm để tìm đáp án 31

CHƯƠNG 2 NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 37

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 60

3.1 Th ực nghiệm đối với giáo viên 60

3.1.1 Mục đích xây dựng thực nghiệm 60

3.1.2 Bộ câu hỏi thực nghiệm giáo viên 60

3.1.3 Phân tích các câu trả lời của giáo viên 61

3.2 Th ực nghiệm đối với học sinh 65

3.2.1 Các bài toán thực nghiệm 66

3.2.2 Phân tích tiên nghiệm 66

3.2.3 Phân tích hậu nghiệm 77

K ẾT LUẬN 81

PHỤ LỤC 85

SGK12 : Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

SBT12 : Sách bài tập giải tích 12 nâng cao

MỞ ĐẦU

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Ghi nh ận và nhóm câu hỏi thứ nhất

Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là loại bài toán có rất nhiều ứng dụng trong đời sống thực tế, chẳng hạn: làm thế nào để quản lý một công ty sao cho chi phí, tài nguyên, nguồn lực tiết kiệm nhất mà mang lại hiểu quả cao nhất hay làm thế nào để sản xuất

một loại thùng inox dạng hình trụ tròn xoay có thể tích cố định mà sao cho chiều cao và bán kính đáy của thùng là tiết kiệm vật liệu nhất,.…

Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có mặt đủ ở các cấp học, từ cấp tiểu

học, trung học cơ sở đến trung học phổ thông và cao hơn nữa Đặc biệt, trong các kì thi tốt nghiệp, các kì thi vào Đại học, Cao đẳng hàng năm gần đây, các bài toán liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thường xuyên xuất hiện trong các đề thi

Thực tế giảng dạy cho thấy, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được giải

bằng nhiều kỹ thuật khác nhau từ sơ cấp đến cao cấp và với nhiều trình độ khác nhau Trong

chương trình toán trung học phổ thông, dạng bài toán này đã xuất hiện ngay ở khối lớp 10,

khối lớp 11 và ở khối lớp 12 Mặc dù giá trí lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chưa được định nghĩa chính thức trong sách giáo khoa 10 và 11 nhưng dạng bài toán này đã xuất hiện và để

giải chúng thì công cụ chủ yếu là sử dụng kỹ thuật “bất đẳng thức” Cho đến khối lớp 12, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mới được định nghĩa và đưa vào giảng dạy một cách chính thức trong chương trình và việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chủ

yếu là dùng kỹ thuật “đạo hàm”, sử dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Đặt trọng tâm vào khối lớp 12, chúng tôi nhận thấy việc sử dụng đạo hàm như là một

kỹ thuật chủ yếu để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chúng tôi tiến hành một khảo sát nhỏ trên 71 học sinh ở 2 lớp 12 của trường THPT Phú Quốc nhằm tìm kiếm những ứng

xử của học sinh đối với dạng bài toán này như thế nào thông qua 2 bài tập như sau:

Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

𝑦 = 𝑥2− 4𝑥 + 1 trên đoạn [0 ; 5]

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

𝑦 = 3𝑥2𝑥−5𝑥+22+1 , với x∈ R

Sau khi phân tích bài làm của học sinh, chúng tôi nhận thấy đa số học sinh đều sử

dụng kỹ thuật đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Bảng dưới đây

sẽ trình bày các kỹ thuật mà học sinh sử dụng

Câu h ỏi K ỹ thuật đạo hàm K ỹ thuật bất đẳng thức Không gi ải

Trong đó :

- Cột “kỹ thuật đạo hàm” dùng cho những lời giải có sử dụng đạo hàm

- Cột “Kỹ thuật bất đẳng thức” dùng cho những lời giải sử dụng định nghĩa, sử dụng

bất đẳng thức,… không sử dụng đạo hàm

- Cột “Không giải” cho các bài không có lời giải

Đối với câu 1, 100% học sinh sử dụng kỹ thuật đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của hàm số, sau khi lấy đạo hàm chúng ta có 2 cách tiếp cận để tiếp tục tìm giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, thứ nhất: lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận, thứ hai: sử dụng quy tắc mà sách giáo khoa đã đưa ra Nhưng qua quan sát, chúng tôi nhận thấy phần lớn các em học sinh sử dụng quy tắc mà sách giáo khoa đã đưa ra (69/71 học sinh chọn, chiếm 97.2%), rất ít học sinh sử dụng bảng biến thiên (2/71

học sinh chọn, chiếm 2.8%) Từ đó chúng tôi nhận định rằng: nếu bài toán yêu cầu tìm giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn thì đa số học sinh sẽ sử dụng “quy

tắc” mà sách giáo khoa đã đưa ra để tìm đáp án

Đối với câu 2, tiếp tục cho thấy sự ưu tiên của học sinh trong việc sử dụng kỹ thuật

“đạo hàm” Nhưng qua quan sát bài làm của học sinh thì đa số học sinh không tìm được đáp án, cụ thể có một học sinh trình bày cách giải của mình như sau:

gạch bỏ phần bài làm của mình và làm bài lại với một kỹ thuật khác

Một điều cần lưu ý, đối với câu 2 việc sử dụng kỹ thuật “tập giá trị” sẽ cho ra kết quả chính xác và khá dễ dàng Từ kết quả của việc khảo sát này dẫn chúng tôi đến các câu hỏi:

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì chương trình và sách giáo khoa 12

đã lựa chọn những kỹ thuật nào để giải ? Sự lựa chọn của chương trình, sách giáo khoa đã ảnh hưởng như thế nào đến thực tế dạy và học ? Liệu giáo viên có quan tâm đến việc đa

dạng hóa các kỹ thuật để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay không?

Ghi nh ận và nhóm câu hỏi thứ hai

Từ những ghi nhận ban đầu trên, cho thấy rằng đa số học sinh lớp 12 tập trung vào kỹ thuật “đạo hàm” để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, điều đó làm cho chúng tôi tự hỏi rằng: Liệu học sinh có thật sự làm chủ được kỹ thuật đạo hàm trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay không ? Từ đó, chúng tôi đề xuất một bài toán sau đây:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 3𝑥 + 1 trên khoảng

Bài toán trên không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, tuy nhiên sự lựa chọn

của học sinh này là hoàn toàn sai, từ đó dẫn chúng tôi đến nhóm câu hỏi thứ hai: Khi sử

dụng kỹ thuật “đạo hàm” để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì học sinh

có thật sự làm chủ được kỹ thuật này hay không ? Học sinh đã mắc phải những sai lầm nào

? Các sai lầm này xuất phát từ đâu ? Có những quy tắc hợp đồng nào được hình thành từ thể

chế ?

Sau khi phân tích những ghi nhân trên và đưa ra các câu hỏi cần giải đáp, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở Trung học

ph ổ thông” làm chủ đề cho luận văn của mình Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên chúng

tôi chỉ tập trung nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ở khối lớp 12 Đồng thời để thấy được tiến trình hình thành khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở

khối lớp 12, cũng như sự xuất hiện kỹ thuật “tập giá trị” nên chúng tôi quyết định phân tích

một cách tổng quát các vấn đề liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở khối lớp

11

2 M ục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu

Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu và tìm lời giải cho phép trả lời các câu hỏi mà chúng tôi đã nêu trên Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ vận dụng các công cụ

của lý thuyết didactic toán, cụ thể là thuyết nhân học với các khái niệm quan hệ cá nhân,

quan hệ thể chế, tổ chức toán học, tổ chức didactic và khái niệm hợp đồng didactic để phục

vụ cho quá trình nghiên cứu của mình

Quan h ệ thể chế, quan hệ cá nhân

Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì,…trong thể chế I

Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O,

Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng trị thức O cho phép vạch

rõ mối quan hệ R(I,O), từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X duy trì đối với tri thức O Đồng thời, thông qua việc phân tích này, ta cũng xác định được một số quy tắc hợp đồng

cấp, những ràng buộc áp đặt, tùy theo những gì giáo viên thực hiện, có ý thức hay không,

một cách lặp đi lặp lại trong thực tiễn giảng dạy của mình Trong các thói quen này, ta quan tâm đặc biệt hơn đến những gì là đặc thù cho kiến thức giảng dạy: ta gọi hợp đồng dạy học

là tập hợp những cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh trông đợi và tập hợp

những ứng xử của học sinh mà thầy trông đợi” G.Brousseau (1980)

Hợp đồng dạy học là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của

mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán học được giảng dạy

Khái niệm hợp đồng dạy học cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ỹ nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách

rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học

Sau khi trình bày sơ lược về các cộng cụ của didactic, chúng tôi sẽ giải thích ngắn

gọn lý do tại sao chúng tội lại sử dụng các công cụ trên cho mục đích nghiên cứu của mình

Đối tượng O : là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cá nhân X : là người ở vị trí giáo viên hay học sinh

Thể chế I : là thể chế dạy học theo chương trình giải tích 12 hiện hành

Các thuật ngữ quan hệ R(I,O), quan hệ R(X,O) gắn liền với nhóm câu hỏi liên quan đến sự lựa chọn của chương trình và sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào lên hoạt động

dạy của giáo viên và học của học sinh về O Đồng thời, việc phân tích tổ chức toán học liên quan đến O sẽ cho phép làm rõ R(I,O) và đây cũng chính là một công cụ đắc lực để phân tích thực tế dạy và học

Liên quan đến việc giáo viên có quan tâm đến việc đa dạng kỹ thuật tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất hay không? Những kiểu nhiệm vụ nào mà giáo viên muốn học sinh

biết, Chúng tôi sử dụng khái niệm tổ chức Didactic để nghiên cứu thực hành giảng dạy

của giáo viên, phân tích các hoạt động của giáo viên trong lớp học Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic cho phép chúng tôi giải thích cách ứng xử của giáo viên và học sinh, cho phép

giải thích một số sự kiện trong lớp học cũng như một số sai lầm mà học sinh mắc phải

Từ việc dựa theo khung lý thuyết tham chiếu đã chọn và những phân tích ban đầu, chúng tôi đề ra những câu hỏi nghiên cứu sau đây:

CH1: Trong chương trình và sách giáo khoa toán lớp 12, đối tượng giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn? Những kỹ thuật nào được thể chế ưu tiên? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn đó?

CH2: Trong thực tế dạy học, giáo viên thiết lập các tổ chức didactic nào để tiến hành giảng

dạy các tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số? Có sự khác biệt nào giữa tổ chức toán học được dạy với tổ chức toán học cần dạy ?

CH3: Cách trình bày của sách giáo khoa về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có ảnh hưởng như thế nào đối với quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh với đối tượng này?

3 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, chúng tôi tiến hành các phương pháp sau: Trước hết chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và sách giáo khoa toán 11 và 12

để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nhằm để trả

lời cho câu hỏi CH1

Đối với câu hỏi CH2 liên quan đến thực hành dạy học của giáo viên nên chúng tôi tiến

hành quan sát lớp học, phân tích các điều kiện và ràng buộc ảnh hưởng đến hoạt động của giáo viên

Cuối cùng, thông qua nghiên cứu thực nghiệm trên đối tượng giáo viên và học sinh, chúng tôi sẽ kiểm chứng những giả thuyết được rút ra sau khi phân tích chương trình và sách giáo khoa, từ đó giúp chúng tôi tìm ra các yếu tố để trả lời cho câu hỏi CH3 còn lại

Với tiến trình như vậy, chúng tôi chia luận văn thành các phần sau:

CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Mục tiêu của chương này là nghiên cứu quan hệ thể chế với đối tượng giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi chọn phân tích chương trình và sách giáo khoa toán 11 và 12 hiện hành theo chương trình nâng cao (sử dụng bộ sách giáo khoa nâng cao) nhằm trả lời các câu hỏi:

CH1: Trong chương trình và sách giáo khoa toán lớp 12, đối tượng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn? Những kỹ thuật nào được thể chế ưu tiên? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn đó?

1.1 Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 11

1.1.1 Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 11

Chương trình Đại số và Giải tích 11 nâng cao gồm 5 chương:

Chương I Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương II Tổ hợp và xác suất

Chương III Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Chương IV Giới hạn

Trong 5 chương này, các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chủ yếu được

đề cập ở chương I với các bài học sau:

Bài 1 Các hàm số lượng giác

Bài 2 Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 3 Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Sau khi xem xét sách giáo khoa chúng tôi nhận thấy các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chủ yếu nằm ở phần bài tập của các bài học Các khái niệm về giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất chưa được định nghĩa và đưa vào giảng dạy một cách chính thức, có

lẽ đây không phải là phần trọng tâm của chương này, bởi vì mục tiêu chính mà sách giáo viên đã nhấn mạnh rằng:

“V ề kiến thức

Giúp h ọc sinh

- Hi ểu khái niệm các hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx và tính

ch ất tuần hoàn của chúng;

- N ắm được sự biến thiên và hình dáng đồ thị của các hàm số lượng giác nêu trên;

- Hi ểu cách tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp

gi ải một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

V ề kĩ năng

Giúp h ọc sinh

- Bi ết xét sự biến thiên, vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx và m ột số hàm lượng giác đơn giản khác;

- Gi ải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản;

- Bi ết cách giải một số dạng phương trình lượng giác không quá phức tạp có thể quy được về phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác.” [15,

tr.15]

1.1.2 Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 11

Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số chưa được định nghĩa nhưng các bài toán liên quan đến đối tượng này lại xuất hiện trong sách giáo khoa và để tìm

kiếm các vấn đề liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng tôi có lưu ý đến một vài nhận xét mà sách giáo khoa đã trình bày:

“ Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1 ; 1] Ta nói tập giá trị của hàm số y = sinx là đoạn [-1 ; 1].”

“Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1 ; 1] Ta nói tập giá trị của hàm số y = sinx là đoạn [-1 ; 1].”

Sách giáo khoa có đề cập đến khái niệm tập giá trị của hàm số y = sinx,

y = cosx một cách đơn giản bằng cách nêu lên nhận xét Từ đó chúng tôi nhận thấy, có

sự ngầm ẩn về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx và y = cosx thông qua khái niệm tập giá trị Chẳng hạn:

Hàm số y = sinx có giá trị lớn nhất là 1 khi 𝑥 = 𝜋2+ 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) và giá trị nhỏ

nhất là -1 khi 𝑥 = −𝜋2+ 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛)

Hàm số y = cosx có giá trị lớn nhất là 1 khi 𝑥 = 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) và giá trị nhỏ nhất

là -1 khi 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛)

Với những nhận xét trên, chúng tôi cho đây chính là công nghệ để giải thích cho kỹ thuật giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Các t ổ chức toán học gắn với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ki ểu nhiệm vụ T lg1 : “Tìm giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa sinu (ho ặc cosu), với u là hàm số theo biến x”

Ví dụ: Bài tập 3 [14, tr.14] với hướng dẫn nêu ra trong [15, tr.22]

“Tìm giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

b) Do 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥2) đạt giá trị lớn nhất là 1 (khi 𝑥2 =𝜋2+ 𝑘2𝜋, k nguyên không âm),

đạt giá trị nhỏ nhất là -1 (khi 𝑥2 = −𝜋2+ 𝑘2𝜋, k nguyên dương) nên hàm số 𝑦 =

�1 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥2) − 1 đạt giá trị lớn nhất là √2 − 1 và giá trị nhỏ nhất là -1

c) Do 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛�√𝑥� đạt giá trị lớn nhất là 1 (khi √𝑥 =𝜋2+ 𝑘2𝜋, k nguyên không âm),

đạt giá trị nhỏ nhất là -1 (khi √𝑥 = −𝜋2+ 𝑘2𝜋, k nguyên dương) nên hàm số 𝑦 = 4𝑠𝑖𝑛√𝑥 đạt giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là -4.”

K ỹ thuật τlg1:

- Hàm số y = sinu có giá trị lớn nhất là 1 khi 𝑢 =𝜋2+ 𝑘2𝜋, 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 và giá trị nhỏ

nhất là -1 khi 𝑢 = −𝜋2+ 𝑘2𝜋, 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 (hoặc hàm số y = cosu có giá trị lớn nhất là 1 khi

𝑢 = 𝑘2𝜋, 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 và giá trị nhỏ nhất là -1 khi

𝑢 = 𝜋 + 𝑘2𝜋, 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛)

- Sử dụng các phép toán đại số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Công ngh ệ θ lg1 :

Từ nhận xét:

“Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1;1] Ta nói tập giá trị của hàm số y = sinx là đoạn [-1;1].”

“Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1;1] Ta nói tập giá trị của hàm số y = sinx là đoạn [-1;1].”

Ki ểu nhiệm vụ T lg2 : “Tìm giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝒚 =

(𝑦 − 1)𝑠𝑖𝑛𝑥 − (𝑦 + 1)𝑐𝑜𝑠𝑥 = −3𝑦 − 1, để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên

l ấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện

(𝑦 − 1)2+ (𝑦 + 1)2 ≥ (3𝑦 + 1)2

T ừ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho

c)Tìm giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥+32𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥+4

Hướng dẫn:

a) Ta có 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = √𝑎2+ 𝑏2𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 𝑎) nên dễ thấy hàm số y nhận mọi giá

tr ị tùy ý thuộc đoạn �−√𝑎2+ 𝑏2; √𝑎2+ 𝑏2�

b) Do |𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥| ≤ √2 nên sinx – cosx + 3 ≠ 0 với mọi x

Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥−1𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥+3 khi và chỉ khi:

(y – 1)sinx – (y + 1)cosx = – (3y +1)

Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn �−�(𝑦 − 1)2+ (𝑦 + 1)2; �(𝑦 − 1)2+ (𝑦 + 1)2� Đẳng thức trên cho

thấy –(3y+1) phải thuộc đoạn đó, tức là:

(3𝑦 + 1)2 ≤ (𝑦 − 1)2+ (𝑦 + 1)2

Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để

(𝑦 – 1)𝑠𝑖𝑛𝑥 – (𝑦 + 1)𝑐𝑜𝑠𝑥 = – (3𝑦 + 1)

Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với

(4𝑦 − 3)2 ≤ (𝑦 + 2)2+ (1 − 2𝑦)2

B ất đẳng thức tương đương với 11𝑦2− 24𝑦 + 4 ≤ 0 tức là 112 ≤ 𝑦 ≤ 2

V ậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và 112 ”

K ỹ thuật τ lg2 : “T ập giá trị”

- Biến đổi hàm số 𝑦 = 𝑎′𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑏′𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐′𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐 thành phương trình

(𝑦𝑏′− 𝑏)𝑠𝑖𝑛𝑥 + (𝑦𝑎′ − 𝑎)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐 − 𝑦𝑐′

- Suy ra điều kiện của phương trình là:

(c − yc′)2 ≤ (yb′ − b)2+ (ya′− a)2 (*)

- Giải bất phương trình theo ẩn y, rồi kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Công ngh ệ θ lg2 :

Nhận xét “khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [-1;1]”

Thông qua bài tập này, sách giáo khoa đã hình thành nên một kỹ thuật, kỹ thuật này

dựa trên việc biến đổi một hàm số lượng giác thành phương trình lượng giác dạng bậc nhất đối với sinx và cosx, sau đó áp dụng khái niệm tập giá trị và các quy tắc về bất đẳng thức để tìm lời giải đáp Chính vì vậy, chúng tôi gọi kỹ thuật giải này là kỹ thuật tập giá trị Một điều cần lưu ý đối với bài toán này Sau khi tìm được hai giá trị m và M sao cho 𝑚 ≤ 𝑦 ≤

𝑀, chúng tôi không tìm thấy có sự giải thích nào trong việc chỉ ra sự tồn tại điểm x ∈ D sao

cho y(x) = m (ho ặc y(x) = M) Nhưng ta có thể hiểu rằng:

Để tìm điểm x ∈ D sao cho y(x) = m, ta giải phương trình

(𝑚𝑏′− 𝑏)𝑠𝑖𝑛𝑥 + (𝑚𝑎′ − 𝑎)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐 − 𝑚𝑐′ (1)

hoặc

Để tìm điểm x ∈ D sao cho y(x) = M, ta giải phương trình

(𝑀𝑏′− 𝑏)𝑠𝑖𝑛𝑥 + (𝑀𝑎′ − 𝑎)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐 − 𝑀𝑐′ (2)

Do các phương trình (1) và (2) đều có nghiệm (do thỏa mãn điều kiện (*)) nên ta có đủ

điều kiện để kết luận giá trị lớn nhất của hàm số là M và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m

Từ đó, cho phép chúng tôi phát biểu qui tắc hợp đồng: Khi sử dụng kỹ thuật tập giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, sau khi tìm được hai giá trị m và M sao

cho 𝑚 ≤ 𝑦 ≤ 𝑀, học sinh không quan tâm đến việc chỉ ra sự tồn tại của x ∈ D sao cho y(x)

= M (ho ặc y(x) = m) mà kết luận rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số tương ứng là M và m

Cụ thể, đối với bài tập 1.31c) sau khi tìm được giá trị y thỏa 112 ≤ 𝑦 ≤ 2, khi đó chúng

ta cần phải tìm giá trị x sao cho y = 2 và 𝑦 = 112 tức là giải các phương trình:

4𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 5

24𝑠𝑖𝑛𝑥 + 7𝑐𝑜𝑠𝑥 = −25

Do các phương trình đều có nghiệm, tức là tồn tại giá trị x nên ta có đủ điều kiện để

kết luận giá trị lớn nhất của hàm số cần tìm là 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 112

Theo tác giả Nguyễn Hồng Tú “…Các bài toán được giải quyết bởi kỹ thuật tập giá trị

chỉ nằm trong sách bài tập và chiếm số lượng ít ỏi so với các bài toán được giải quyết bởi các kỹ thuật bất đẳng thức (2 so với 18) Từ đó, chúng tôi cho rằng học sinh có thể không biết đến các kỹ thuật tập giá trị nếu họ chỉ học trong sách giáo khoa” Chúng tôi đồng ý với

nhận xét này, đồng thời chúng tôi cũng nhận định rằng, ngoài việc sử dụng kỹ thuật tập giá

trị để giải bài toán trên, ta còn kỹ thuật nào giải quyết không ? Chẳng hạn, sử dụng kỹ thuật

“đạo hàm” (chúng tôi sẽ phân tích ở phần sau), khi đó kỹ thuật nào sẽ “thuận lợi” hơn trong

việc tìm lời giải và học sinh sẽ ưu tiên lựa chọn kỹ thuật nào nhiều hơn? Vì sao?

Kiểu nhiệm vụ Tlg1: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa sinu (hoặc cosu) với u là hàm số theo biến x”

Kiểu nhiệm vụ Tlg2: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

12, chủ yếu sẽ sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” để giải quyết kiểu nhiệm vụ này Theo dự đoán

của chúng tôi, đối với bài tập 1.31c) hầu hết học sinh ở khối lớp 12 sẽ giải như sau:

y =cosx + 2sinx + 3

2cosx − sinx + 4

Tập xác định: D = R (vì 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4 ≠ 0 với mọi x)

y′ =(2cosx − sinx + 4)2sinx + 11cosx + 52

Giải phương trình: 2sinx + 11cosx + 5 = 0

Đến đây, học sinh sẽ gặp khó trong việc giải phương trình để tìm nghiệm, lập bảng

biến thiên và kết luận Từ đó, cho thấy rằng tùy thuộc vào mỗi loại bài toán mà chúng ta có

những kỹ thuật khác nhau, thích hợp cho từng loại đó Và để tìm hiểu thêm về kỹ thuật đạo hàm cũng như tiến trình xuất hiện bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng tôi

tiếp tục phân tích chương trình và sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

1.2 Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 12

1.2.1 Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 12

Chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao bao gồm 4 chương:

Chương I Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương III Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chương IV Số phức

Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chủ yếu nằm trong chương I

của chương trình với mục tiêu của chương là:

“Ki ến thức

Giúp h ọc sinh nắm vững

- Quan h ệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số;

- Khái ni ệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số;

- Khái ni ệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách tìm giá trị đó;

- Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị;

- Kh ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Đến thời điểm này, thì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mới được chính

thức đưa vào giảng dạy và được trình bày trong một bài học cụ thể, bài 3: “Giá trị lớn nhất

và giá tr ị nhỏ nhất của hàm số” Đồng thời, theo sự quan sát của chúng tôi, để tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì sách giáo viên có lưu ý cho học sinh việc vận

dụng bảng biến thiên để tìm đáp án bởi “Trong giảng dạy giáo viên nên hướng dẫn học sinh

l ập bảng biến thiên của hàm số, giúp các em hiểu ý nghĩa của bảng biến thiên và sử dụng

nó để xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Vi ệc lập các bảng biến thiên sẽ giúp các em nắm được vấn đề tốt hơn, giải được bài tập nhanh hơn và ít mắc nhầm lẫn trong thực hành.” [18, tr.19-20]

Do trọng tâm nghiên cứu của chúng tôi là tìm hiểu các kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, sự ảnh hưởng của kỹ thuật đạo hàm lên bài toán này nên chúng tôi tiếp tục phân tích sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao để làm rõ vấn đề

1.2.2 Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 12

Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chủ yếu được trình bày

trong bài 3: “Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” với mục tiêu là:

“Ki ến thức

Giúp h ọc sinh hiểu rõ định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

m ột tập hợp số thực và biết ứng dụng đạo hàm để tìm các giá trị đó

Trước khi đi vào định nghĩa, SGK có dẫn lời: “Nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giá trị

l ớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước Trong bài này

ta s ẽ ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

b) N ếu tồn tại một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥𝑜) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷

thì s ố m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D,

kí hi ệu là 𝑚 = 𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝐷𝑓(𝑥).” [17, tr.18]

Từ định nghĩa này, sách giáo khoa có lưu ý đến điều kiện tồn tại của giá trị lớn nhất

hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số như sau:

“ Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ

nh ất) của hàm số f trên tập hợp D cần chỉ rõ:

a) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 (hoặc 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚 với mọi 𝑥 ∈ 𝐷

b) Tồn tại ít nhất một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho f(x 0) = M (hoặc f(x0 ) = m).”

[17, tr.18]

Lưu ý này cũng được nhắn mạnh lại trong sách giáo viên:

“Điều kiện b) là quan trọng, không được bỏ qua Một số học sinh đã không chú ý đến

nó, do đó đã mắc sai lầm.”

Sau đó, sách giáo viên đưa ra một ví dụ minh họa cho việc không tuân thủ điều kiện b)

“ Tìm GTLN và GTNN của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥

Có học sinh lập luận như sau:

Vì 𝑓(𝑥) ≥ 0 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên 𝑚𝑖𝑛𝑥∈ℝ𝑓(𝑥) = 0

Vì 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ≤ 1 và 𝑐𝑜𝑠4𝑥 ≤ 1 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên

Từ nhận xét này cho thấy, có thể một số em học sinh không quan tâm đến điều kiện b)

và đây cũng chính là một nhận định mà tác giả Nguyễn Hồng Tú đã đưa ra:

“… có những học sinh lớp 12 bị mắc các sai lầm theo kiểu (chúng tôi gọi các sai lầm này là SL):

Nếu 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì có ngay 𝑚𝑎𝑥𝑥∈𝐷𝑓(𝑥) = 𝑀 mà không quan tâm đến việc tồn

tại 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜) = 𝑀

Nếu 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì có ngay 𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝐷𝑓(𝑥) = 𝑚 mà không quan tâm đến việc tồn

tại 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜) = 𝑚.”

Đồng thời, tác giả Nguyễn Hồng Tú cũng khẳng định rằng:

“ Liên quan đến các sai lầm SL, chúng tôi nhận thấy trong những lời giải chi tiết của sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài t ập cho những nhiệm vụ liên quan đến việc tìm giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, các tác giả viết sách giáo khoa đều chỉ ra sự tồn tại của “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜) = 𝑀” và của “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜) = 𝑚” Như vậy, các sai lầm

SL , nếu có ở học sinh lớp 12 học chương trình nâng cao thì không phải do cách trình bày lời giải của sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập.”

Do trọng tâm nghiên cứu của chúng tôi là kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số, các điều kiện và ràng buộc khi sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” do đó chúng tôi sẽ phân tích các tổ chức toán học để làm rõ vấn đề này

Các t ổ chức toán học gắn với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trong chương trình và sách giáo khoa toán lớp 12 chủ yếu đề cập đến các kiểu nhiệm

vụ sau:

Kiểu nhiệm vụ T:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên

mi ền D”, gồm hai kiểu nhiệm vụ con:

Kiểu nhiệm vụ Tk:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên

khoảng (a ; b)”

Kiểu nhiệm vụ Tđ:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn

[a ; b]”

Ki ểu nhiệm vụ T patu :“Tìm phương án tối ưu cho bài toán có nội dung thực tế”

Ki ểu nhiệm vụ T:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Sử dụng các phép biến đổi đại số để tìm số thực M (hoặc m) sao cho 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀

(𝑓(𝑥) ≥ 𝑚) với mọi x thuộc D;

- Tìm x 0 thuộc D sao cho 𝑓(𝑥0) = 𝑀 (𝑓(𝑥0) = 𝑚);

- Kết luận: giá trị lớn nhất của hàm số là M (giá trị nhỏ nhất của hàm số là m)

Công ngh ệ θ bđt : Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví d ụ: Hoạt động 1 [17, tr.19] với hướng dẫn trong [18, tr.41]

“Tìm giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hàm s ố không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (1; +∞).”

K ỹ thuật τ bbt: “B ảng biến thiên”

- Tìm các điểm x 1 , x 2 , , x m thuộc D tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc

không có đạo hàm;

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên D;

- Dựa vào bảng biến thiên để tìm đáp án

Công ngh ệ θ bbt : Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Như vậy, đối với kiểm nhiệm vụ T, có hai kỹ thuật được sách giáo khoa giải tích 12

nâng cao đề cập nhưng chúng tôi nhận thấy có sự ưu tiên khi sử dụng kỹ thuật τ bbt giải kiểu nhiệm vụ T thông qua nhận xét:

“Phương pháp thường được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp là lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.”

[17, tr.19]

Việc lập bảng biến thiên cũng được sách giáo viên nhấn mạnh: “Giúp học sinh: Có kĩ

năng thành thạo trong việc dùng bảng biến thiên của một hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá tr ị nhỏ nhất của hàm số đó.” [18, tr.39]

Liên quan đến bảng biến thiên, chúng ta có thể tham khảo thêm luận văn của tác giả

Nguyễn Trường Sinh (2012) với đề tài “Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở trung học

phổ thông.” Trong đề tài này, chúng tôi có quan tâm đến giả thuyết mà tác giả Nguyễn

Trường Sinh đã phát biểu và được kiểm chứng :

“Khi s ử dụng bảng biến thiên tìm cực trị hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên mi ền D, học sinh không có tránh nhiệm kiểm tra sự liên tục của hàm số tại các điểm mà nó đạt cực trị, giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.”

Ngoài ra, khi xem xét sách giáo khoa giải tích 12 (ban cơ bản), sách giáo khoa này còn

đề cập đến kỹ thuật “đồ thị” giải kiểu nhiệm vụ T thông qua ví dụ sau:

- Xác định điểm cao nhất (điểm thấp nhất) của đồ thị;

- Giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số là tung độ điểm cao nhất (điểm thấp

nhất) của đồ thị

Công ngh ệ θ đt : Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ki ểu nhiệm vụ T đ :“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)

- Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Nhận xét: “…hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị

nh ỏ nhất trên đoạn đó.” [17, tr.21]

Trước khi đưa ra quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một

đoạn, sách giáo khoa có đưa ra nhận xét “Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn

nh ất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó” Điều đó cho thấy có sự ưu tiên của sách giáo khoa về việc vận dụng kỹ thuật τ đđể giải

kiểu nhiệm vụ T đ Do đó, chúng tôi dự đoán: “Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

c ủa hàm số trên một đoạn thì học sinh sẽ sử dụng quy tắc để giải”

Lưu ý rằng, quy tắc trên chỉ cho ta điều kiện đủ để hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất, điều đó có nghĩa nếu hàm số không thỏa một trong các điều kiện sau thì không thể

vận dụng được, chẳng hạn:

- Hàm số không liên tục trên đoạn [a;b]

- Hàm số liên tục nhưng không trên cả đoạn [a;b] mà chỉ là khoảng (a;b); nữa khoảng (a;b] hay [a;b)

Liên quan đến vấn đề liên tục của hàm số trên đoạn, tác giả Phan Quang Thắng (2012)

có đưa ra những giả thuyết :

“- V ề phía giáo viên

Giáo viên có trách nhi ệm chọn các hàm số liên tục để yêu cầu học sinh tìm cực

tr ị hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đó

“M ột hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu hình 1.4 Hộp có đáy

là m ột hình vuông cạnh x (cm), chiều cao là h (cm) và có thể tích là 500 cm 3

a) Hãy bi ểu diễn h theo x

b) Tìm di ện tích S(x) của mảnh các tông theo x

c) Tìm giá tr ị của x sao cho S(x) nhỏ nhất

D ựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0; +∞), hàm số S đạt giá trị nhỏ nhất

t ại điểm x = 10 Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp là x=10 (cm).”

K ỹ thuật τ patu :

- Lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất);

- Lập bảng biến thiên của hàm số đó;

- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Công ngh ệ θ patu : Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đối với kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi nhận thấy đây là một kiểu nhiệm vụ đòi hỏi kỹ thuật giải phải trải qua quá trình mô hình hóa, đồng thời giúp học sinh thấy được ứng dụng

của đạo hàm trong việc tìm một phương án tối ưu cho bài toán có nội dung thực tế, điều này cũng được sách giáo viên nhấn mạnh:

“Trong chương này có một số bài tập mà nội dung mang tính thực tế Chúng giúp học sinh th ấy những ứng dụng của đạo hàm để giải một bài toán thực tế Khi giải một số bài tập thu ộc loại này, ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên m ột tập hợp số nguyên dương Phương pháp giải toán này dựa trên một ý tưởng đơn

gi ản : Nếu trên tập hợp số thực 𝑋 ⊂ ℝ, hàm số f đạt giá trị lớn nhất M (hoặc giá trị nhỏ

nh ất m) tại điểm 𝑥0 ∈ 𝑋, trong đó x 0 là m ột số nguyên dương thì M (hoặc m) cũng là giá trị

l ớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp các số nguyên dương thuộc X, tức

là trên t ập hợp 𝑋 ∩ ℕ∗.” [18, tr.20]

Ngoài việc phân tích các kiểu nhiệm vụ trên, trong quá trình xem xét sách giáo khoa

và sách bài tập, chúng tôi nhận thấy hầu hết các bài toàn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn tìm được đáp án, tuy nhiên sách giáo viên có đưa ra nhận xét:

“Hàm s ố có thể không đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một tập hợp số

th ực cho trước

Ch ẳng hạn, xét hàm số 𝑓(𝑥) =1𝑥 trên n ữa khoảng (0 ; 1] Vì 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(1) = 1 với mọi

𝑥 ∈ (0; 1] nên 𝑚𝑖𝑛𝑥∈(0;1]𝑓(𝑥) = 1

Vì 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑜+𝑓(𝑥) = +∞ nên hàm số lấy các giá trị lớn tùy ý trên (0 ; 1] Do đó hàm

không đạt giá trị lớn nhất trên (0 ; 1]

V ới hàm số g(x)=2x, ta có

0 < g(x) < 2 v ới mọi x ∈ (0 ; 1)

Tuy nhiên hàm s ố không đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

kho ảng (0 ; 1)” [18, tr.40]

1.3 Phân tích các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2003 đến 2013

Mục đích chính chúng tôi nghiên cứu trong phần này là tìm hiểu kỹ thuật giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các đề thi tuyển sinh đại

học, cao đẳng của Bộ Giáo dục và Đào tạo trong 11 năm qua (từ năm 2003 đến năm 2013) Trong 33 bộ đề thi của cả các khối A, A1, B, D, chúng tôi tìm thấy có tất cả 23 câu hỏi liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Chúng tôi chia 23 câu hỏi này thành 3 nhóm như sau:

1.3.1 Nhóm 1: Nhóm các câu h ỏi sử dụng đạo hàm “ngay từ ban đầu”

Ví d ụ: (Câu 4.1, khối D năm 2003)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = √𝑥𝑥+12+1trên đoạn [-1 ; 2]

Vậy max[−1;2]𝑦 = 𝑦(1) = √2 và min[−1;2]𝑦 = 𝑦(−1) = 0

Ví d ụ: (Câu VII.b, khối D năm 2011)

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦 = 2𝑥2𝑥+1+3𝑥+3trên đoạn [0 ; 2]

Đây là nhóm các câu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm

số (cụ thể là hàm số một biến), do đó học sinh có thể sử dụng đạo hàm để tìm đáp án, tuy nhiên số lượng câu hỏi ở dạng này xuất hiện rất ít (chiếm 4/23 bài) Ngoài ra, thông qua đáp

án của Bộ Giáo dục và Đào tạo về các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

một hàm số trên một đoạn thì hầu hết là sử dụng “quy tắc” để giải

1.3.2 Nhóm 2: Nhóm các câu h ỏi không sử dụng đạo hàm

Ví d ụ: (Câu IV.2, khối A năm 2007)

Cho x, y, z là các s ố thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1 Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức:

𝑃 = 𝑥2(𝑦 + 𝑧)𝑦�𝑦 + 2𝑧√𝑧+

𝑦2(𝑧 + 𝑥)𝑧√𝑧 + 2𝑥√𝑥+

𝑧2(𝑥 + 𝑦)𝑥√𝑥 + 2𝑦�𝑦

2𝑧√𝑧𝑥√𝑥 + 2𝑦�𝑦Đặt 𝑎 = 𝑥√𝑥 + 2𝑦�𝑦 , 𝑏 = 𝑦�𝑦 + 2𝑧√𝑧 , 𝑐 = 𝑧√𝑧 + 2𝑥√𝑥

ℎ𝑜ặ𝑐 𝑏𝑐+𝑎𝑐 +𝑏𝑎 ≥ 3�3 𝑏𝑐.𝑎𝑐.𝑏𝑎 = 3 𝑇ươ𝑛𝑔 𝑡ự ,𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐 ≥ 3)

Dấu “=” xảy ra ⟺ x = y = z = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2

Ví d ụ: (Câu IV.2, khối B năm 2008)

Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức 𝑥2+ 𝑦2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑃 = 1+2𝑥𝑦+2𝑦2�𝑥2+6𝑥𝑦�2

Với P = 2, phương trình (1) có nghiệm 𝑡 = 34

Với P ≠ 2, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

Hầu hết các câu hỏi thuộc dạng này đều yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ

nhất) của một biểu thức nhiều biến số, chính vì vậy học sinh không thể sử dụng đạo hàm

“ngay từ đầu”, mà kỹ thuật giải chủ yếu là sử dụng định nghĩa, tức là dùng kỹ thuật “bất đẳng thức” để giải Trong các câu hỏi thuộc dạng này, chúng tôi quan tâm đến câu IV.2 -

khối B năm 2008 (tức là ví dụ 4) bởi kỹ thuật giải bài toán này tương tự như kỹ thuật đã được đề cập trong sách giáo khoa Toán 11 mà chúng tôi gọi là kỹ thuật “tập giá trị”

1.3.3 Nhóm 3: Nhóm các câu h ỏi biến đổi biểu thức về hàm số một biến, sau đó sử

d ụng đạo hàm để tìm đáp án

Ví d ụ: (Câu 6, khối D năm 2012)

Cho các số thực x, y thỏa mãn (𝑥 − 4)2+ (𝑦 − 4)2+ 2𝑥𝑦 ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Ta có 𝑓′(𝑡) = 3𝑡2− 3𝑡 − 2, 𝑓′(𝑡) = 0 ⟺ 𝑡 =1+√52 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑡 = 1−√52 (𝑙𝑜ạ𝑖)

Ta có 𝑓(0) = 6, 𝑓 �1+√52 � = 17−5√54 , 𝑓(8) = 398 Suy ra 𝐴 ≥17−5√54

Khi 𝑥 = 𝑦 = 1+√54 thì dấu bằng xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17−5√54

Ví d ụ: (Câu 6, khối B năm 2013)

Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

√𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2+ 4−

9(𝑎 + 𝑏)�(𝑎 + 2𝑐)(𝑏 + 2𝑐)

Từ bảng biến thiên ta được 𝑃 ≤58

Khi a = b = c = 2 ta có 𝑃 =58 Vậy giá trị lớn nhất của P là 58

Nh ận xét

Đây là nhóm các câu hỏi thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học và cao đẳng Tương tự như nhóm 2, các câu hỏi này yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất)

của một biểu thức nhiều biến số nhưng kỹ thuật giải khác so với nhóm 2 Thông qua đáp án

của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chúng tôi tóm lược các bước giải như sau:

Bước 1 Sử dụng các phép biến đổi đại số để đưa biểu thức nhiều biến số về hàm số

một biến;

Bước 2 Sử dụng công cụ đạo hàm (như “quy tắc”, “bảng biến thiên”,…) để tìm đáp

án

B ảng 1.1 Thống kê các câu hỏi theo từng nhóm từ năm 2003 đến 2013

2013 vừa qua, cả ba khối A(A1), B và D đều cho ra câu hỏi thuộc dạng này, tức là các câu

hỏi tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của biểu thức nhiều biến số Xin lưu ý rằng, trong chương trình toán Trung học phổ thông khái niệm hàm nhiều biến chưa được định nghĩa cũng như chưa được đề cập, do đó để giải quyết bài toán này thì kỹ thuật chủ yếu vẫn đạo hàm của hàm số một biến, bằng cách sử dụng các phép biến đổi đại số để “khử dần” các

biến rồi đưa về trường hợp một biến

Ngoài ra chúng tôi còn nhận thấy rằng, hầu hết học sinh quen với việc tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất bằng kỹ thuật đạo hàm, nhưng trong 11 năm vừa qua chỉ 4 câu hỏi

mà các học sinh có thể sử dụng đạo hàm “ngay từ ban đầu” để giải (chiếm 17.4%), đa số các câu hỏi còn lại đòi hỏi học sinh phải “chuyển đổi phạm vi” mới giải được Từ đó, chúng tôi

tự đặt câu hỏi: Kỹ thuật đạo hàm có những điều kiện và ràng buộc nào ? Trong những điều

kiện và ràng buộc nào thì học sinh sử dụng kỹ thuật đạo hàm để giải ?

K ết luận chương 1

Qua phân tích thể chế ở khối 11 và 12 chúng tôi thu được các kết quả sau

Trong chương trình và sách giáo khoa 11, chúng tôi rút ra được 2 tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với các kiểu nhiệm vụ sau:

- Kiểu nhiệm vụ Tlg1: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa sinu (hoặc cosu), với u là hàm số theo biến x”

- Kiểu nhiệm vụ Tlg2: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 =

𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐

𝑎′𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑏′𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐′ có tập xác định là R”

Đối với các kiểu nhiệm vụ này, kỹ thuật giải chủ yếu là sử dụng “bất đẳng thức” Trong đó chúng tôi quan tâm đến kiểu nhiệm vụ Tlg2 bởi vì để giải chúng, ta phải biến đối hàm số đã cho về dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, sau đó sử dụng các phép

biến đổi đại số kết hợp khái niệm “tập giá trị” để tìm đáp án (chúng tôi gọi đây là kỹ thuật

“tập giá trị”) Đồng thời, kiểu nhiệm vụ này xuất hiện rất ít ỏi và rời rạc nên theo chúng tôi,

kiểu nhiệm vụ này rất dễ bỏ qua trong quá trình giảng dạy và hầu hết học sinh sau này sẽ ít

sử dụng kỹ thuật “tập giá trị” để giải kiểu nhiệm vụ Tlg2 này

Trong chương trình và sách giáo khoa 12, chúng tôi rút ra được các tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với các kiểu nhiệm vụ sau:

- Kiểu nhiệm vụ T:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = f(x) trên miền D”, gồm hai kiểu nhiệm vụ con:

+ Kiểu nhiệm vụ Tk:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)

thức” và kỹ thuật “bảng biến thiên” nhưng sách giáo khoa quan tâm nhiều đến kỹ thuật

“bảng biến thiên”, số lượng bài tập sử dụng kỹ thuật “đồ thị” và kỹ thuật “bất đẳng thức” chiếm rất ít Điều đó, cho thấy sự ưu tiên của thể chế trong việc sử dụng đạo hàm để hình thành kỹ thuật giải các kiểu nhiệm vụ Ngoài ra, đối với kiểu nhiệm vụ Tđ còn có thêm kỹ thuật “quy tắc” để giải chúng

Đối với kiểu nhiệm vụ Tpatu cho thấy sách giáo khoa có quan tâm đến vấn đề dạy học

mô hình hóa nhưng theo chúng tôi sự quan tâm này chưa thật sự đầy đủ và còn mang tính hình thức bởi vì thông qua các dạng bài toán này, chúng tôi nhận thấy hầu hết sách giáo khoa đều “cho trước” hàm số cần tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất), bước còn lại chỉ là

học sinh sử dụng đạo hàm để tìm đáp án

Ngoài ra, khi phân tích các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2003 đến 2013 cho thấy các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thường hạn chế học sinh sử dụng đạo hàm “ngay từ ban đầu” bằng cách yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ

nhất) của biểu thức nhiều biến số Từ đó “buộc” học sinh phải biến đổi biểu thức nhiều biến

số thành hàm số một biến (chuyển đổi phạm vi), sau đó sử dụng đạo hàm để tìm đáp án

Từ sự phân tích thể chế liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng tôi đi đến một số giả thuyết sau:

Giả thuyết H1: Kỹ thuật đạo hàm luôn được học sinh ưu tiên khi tìm giá trị lớn nhất

và giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

Gi ả thuyết H2: Giả thuyết về sự tồn tại quy tắc hợp đồng sau:

R: N ếu một hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) nhưng tồn tại giá tr ị cực đại (hoặc giá trị cực tiểu) thì học sinh cho rằng giá trị cực đại là giá trị lớn nhất (giá tr ị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất)

Như vậy, việc hoàn thành nghiên cứu chương 1 đã giúp chúng tôi trả lời được các câu

hỏi CH1 mà chúng tôi đã đặt ra ngay từ ban đầu và đưa ra một số giả thuyết nghiên cứu Từ

đó thúc đẩy chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên để trả lời các câu hỏi trong CH2

CHƯƠNG 2 NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ

Trong chương 1, chúng tôi đã phân tích các tổ chức toán học cần dạy, tiếp theo, chúng tôi muốn nghiên cứu xem, trong thực tế dạy học, giáo viên giảng dạy các tổ chức toán học này như thế nào? Giáo viên có quan tâm đến việc đa dạng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của hàm số hay không? Kỹ thuật nào được giáo viên ưu tiên? Sự ưu tiên này là

do thể chế tác động hay do sự nhận định cá nhân của mỗi giáo viên? Chính vì vậy, chúng tôi

tiến hành dự giờ, quan sát lớp học và phân tích các tổ chức dạy học mà giáo viên thực hiện,

đồng thời, việc nghiên cứu này giúp chúng tôi trả lời câu hỏi CH2 mà chúng tôi đã đặt ra

CH2: Trong thực tế dạy học, giáo viên thiết lập các tổ chức didactic nào để tiến hành

giảng dạy các tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số?

Có sự khác biệt nào giữa tổ chức toán học được dạy với tổ chức toán học cần dạy ?

Đối tượng: Học sinh lớp 12 đang học theo chương trình cơ bản (sách giáo khoa cơ

bản)

Hình th ức: Chúng tôi tiến hành dự giờ ba giáo viên (mỗi giáo viên 2 tiết) về bài học

“Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” Trong đó, chúng tôi quan tâm đến 2 tiết

dạy của thầy Lý Tấn Tài, 2 tiết dạy này diễn ra vào tiết 4 và tiết 5 ngày 19/08/2013 tại lớp 12C2 của trường THPT Phú Quốc (huyện Phú Quốc, tỉnh Kiên Giang)

S ản phẩm thu được: Biên bản quan sát tiết học, băng ghi âm và sổ ghi chép về 2 tiết

dạy của thầy Lý Tấn Tài

Mở đầu tiết học, giáo viên thông báo kết thúc bài học cũ “Cực trị của hàm số” và giới thiệu bài mới

1 GV: Ti ết rồi chúng ta học xong bài “Cực trị của hàm số” Hôm nay, chúng ta qua bài học mới, bài

“Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”

GV vi ết

Bài 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Sau đó giáo viên tổ chức hoạt động nhóm cho học sinh thông qua phiếu câu hỏi như sau:

Bài toán 1

Cho các hàm s ố y = sinx và hàm số y = −14x 4 + 2x 2 có đồ thị như hình vẽ

Đối với mỗi hình vẽ hãy thực hiện các yêu cầu sau:

1) Tìm x để 𝑓(𝑥) lớn nhất

2) Tìm x để 𝑓(𝑥) nhỏ nhất

Bài toán 2 Xét các hàm số 𝑦 = 𝑓1(𝑥), 𝑦 = 𝑓2(𝑥) và 𝑦 = 𝑓3(𝑥) trên các đoạn được chỉ ra

Đối với mỗi hình vẽ, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

1) Tìm các điểm cực trị của hàm số

2) Tìm giá tr ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3) Các hàm số trên có đặc điểm gì chung?

Hàm s ố 𝑦 = 𝑓1(𝑥) Hàm s ố 𝑦 = 𝑓2(𝑥) Hàm s ố 𝑦 = 𝑓3(𝑥)

GV phát phiếu câu hỏi cho từng học sinh và phân nhóm

2 GV: Ba em một nhóm làm chung bài tập với nhau và nhớ là làm bài toán 1, còn bài toán 2 để phần sau làm

3 GV: Bài toán 1 có hai hình thôi, thầy cho các em 5 phút để làm bài tập này

Chúng tôi nhận thấy đây là thời điểm gặp gỡ đầu tiên của tổ chức toán học [Τ, 𝜏đ𝑡, 𝜃đ𝑡, Θ] Đồng thời ở thời điểm này kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ, môi trường công nghệ lý thuyết cũng đã xuất hiện

4 GV: Các em đọc kỹ yêu cầu của bài

5 GV: Lưu ý hình vẽ của các em, đồ thị có cái mũi tên có nghĩa là còn nữa đó nha

6 GV: (Sau ch ừng 5 phút làm việc) Xong hết chưa ? Có hai yêu cầu đơn giản như trên thôi, thứ nhất là

tìm x để f(x) lớn nhất và tìm x để f(x) nhỏ nhất

(H ọc sinh vẫn đang thảo luận)