nghiên cứu didactic về các phép toán trên mệnh đề ở trung học phổ thông

Qua tìm hiểu chương trình và sách giáo khoa SGK toán phổ thông hiện hành, chúng tôi chỉ thấy giới thiệu phép phủ định, phép kéo theo và phép tương đương các mệnh đề, còn phép tuyển và ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Trang

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Trang

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán

Mã s ố: 64 14 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

Lời cảm ơn

Tôi xin dành những dòng đầu tiên để gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh Thầy là người luôn tận tình hướng dẫn, cho tôi nhiều lời góp ý quý báu, giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt nghiên cứu khoa học trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin bày t ỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể giảng viên Didactique toán

c ủa trường Đại học Sư phạm TP.HCM, đặc biệt là PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS

Lê Thái B ảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, PGS.TS Lê Văn Tiến, … và xin chân thành c ảm ơn PGS TS Annie Bessot, TS Alain Birebent Quý thầy cô là

nh ững người đã mang lại cho chúng tôi những tri thức quý báu và niềm say mê đối

với chuyên ngành Didactic toán

Tôi xin trân tr ọng cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập, nghiên c ứu và thực hiện luận văn

Tôi xin trân tr ọng cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô và các em học sinh trường THPT Hoàng Hoa Thám – Khánh Hòa, trường THPT Phan Bội Châu – Phan Thiết đã tạo điều kiện cho tôi trong nghiên cứu thực nghiệm

Xin chân thành c ảm ơn tất cả các bạn học viên lớp cao học khóa 21 chuyên ngành Lý lu ận và phương pháp dạy học môn Toán đã trải qua những ngày vui buồn trong c ả khóa học và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích thiết thực cho luận văn

Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn những người thân yêu nhất trong gia đình tôi đã động viên và tiếp sức tinh thần để tôi hoàn thành luận văn

Tác giả

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 3

DANH M ỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 4

MỤC LỤC 5

PHẦN MỞ ĐẦU 7

CHƯƠNG 1 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ 12

1.1 M ục đích của việc đưa các phép toán trên mệnh đề vào sách giáo khoa 12

1.2 Các phép toán trên m ệnh đề trong sách Đại số 10 nâng cao 14

1.2.1 Về phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương 15

1.2.2 Về phép hội, phép tuyển 28

1.3 S ự liên hệ giữa logic và tập hợp trong sách Đại số 10 nâng cao 34

1.4 Vài k ết luận 36

CHƯƠNG 2 SỰ VẬN HÀNH CỦA CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN 39

2.1 Bài toán ch ứng minh bằng phản chứng 40

2.2 Tính ch ẵn lẻ của hàm số 41

2.2.1 Một số ghi nhận 41

2.2.2 Tổ chức toán học liên quan đến chủ đề xét tính chẵn lẻ của hàm số trong SGK 42

2.2.3 Đánh giá về sự lựa chọn sư phạm của tác giả SGK và những ảnh hưởng có thể có đến đối tượng học sinh 47

2.3 Phương trình 50

2.4 K ết luận 51

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM 53

3.1 Thăm dò ý kiến giáo viên 53

3.1.1 Phân tích a priori 53

3.1.2 Phân tích a posteriori 57

3.2 Th ực nghiệm đối với học sinh 61

3.2.1 Th ực nghiệm thứ nhất 61

3.2.1.1 Phân tích a priori 61

3.2.1.2 Phân tích a posteriori 63

3.2.2 Th ực nghiệm thứ hai 65

3.2.2.1 Phân tích a priori 65

3.2.2.2 Phân tích a posteriori 69

3.3 Kết luận thực nghiệm 74

KẾT LUẬN 76

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 78

PHỤ LỤC 80

Phần mở đầu

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Logic toán là ngành toán học được hình thành vào nửa sau thế kỉ XIX Logic toán cùng với lý thuyết tập hợp đóng vai trò nền tảng trong việc xây dựng toán học

hiện đại Các phép toán logic: phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương giữ một vai trò quan trọng trong sự cấu thành của logic toán Tác

giả Hoàng Chúng đã nhận định: “Việc nắm vững các phép toán logic là rất cần thiết

để sử dụng chính xác ngôn ngữ trong toán học, để hiểu và trình bày chính xác các

định nghĩa, định lý và chứng minh toán học.” (Những yếu tố logic trong môn toán ở

trường phổ thông cấp II, trang 12)

Với tầm quan trọng ấy, “một số kí hiệu và ngôn ngữ của logic toán đã được đưa vào chương trình toán ở trường phổ thông của nhiều nước, ngay từ các lớp dưới” (Tài liệu đã dẫn, trang 3) Ở Việt Nam, một số phép toán logic được đưa vào giảng

dạy chính thức từ giai đoạn chỉnh lý hợp nhất năm 2000 đến nay

Qua tìm hiểu chương trình và sách giáo khoa (SGK) toán phổ thông hiện hành, chúng tôi chỉ thấy giới thiệu phép phủ định, phép kéo theo và phép tương đương các

mệnh đề, còn phép tuyển và phép hội không được đề cập đến (không đưa ra định nghĩa và không đưa ra ký hiệu) Tuy nhiên, cấu trúc hội, tuyển các mệnh đề lại xuất

hiện trong nhiều định lý, nhiều định nghĩa các khái niệm như: định nghĩa ba phép toán cơ bản của lý thuyết tập hợp, định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ, định nghĩa điều kiện xác định của phương trình, bất phương trình, định nghĩa hệ phương trình,

hệ bất phương trình, định nghĩa quy tắc cộng, quy tắc nhân, phép thử ngẫu nhiên,

biến cố hợp, biến cố giao…

Trong thực tế dạy học, thỉnh thoảng chúng tôi cũng thường bắt gặp một số lỗi sai liên quan đến việc vận dụng các phép toán logic khi giải toán Chẳng hạn như:

- Khi biến đổi phương trình tích vẫn có học sinh viết x(x –1) = 0 ⇔ x = 0 và x = 1.

- Khi tìm điều kiện

x2 – 3x +2 ≠ 0 ⇔ (x – 1)(x – 2) ≠ 0 ⇔ 1

2

x x

 ≠

 ≠



Khi thử hỏi học sinh về việc phủ định mệnh đề “ A = 0 hoặc B = 0” thì học sinh tỏ

ra lúng túng, cho đáp án không chính xác

- Nhiều học sinh cho rằng mệnh đề “1≤7” là sai vì 1 nhỏ hơn hẳn 7 chứ không bằng

7, điều này dẫn tới việc lúng túng khi giải một số bài toán (chẳng hạn như trong

việc kết luận tập nghiệm của phương trình, bất phương trình,…)

Những ghi nhận trên lôi cuốn chúng tôi chú ý đặc biệt đến việc dạy và học các phép toán trên mệnh đề ở THPT và làm nảy sinh những câu hỏi ban đầu sau:

1/ Các tác giả viết sách giáo khoa xác định vai trò của các phép toán trên mệnh đề trong dạy học toán phổ thông là gì?

2/ Các phép toán trên mệnh đề được đưa vào như thế nào, tiến triển ra sao ở THPT?

Có thể giải thích nguyên nhân của những sai lầm nêu trên từ sự lựa chọn sư phạm

của các tác giả viết SGK trong dạy học các phép toán trên mệnh đề hay không?

3/ Kiến thức về các phép toán trên mệnh đề trình bày trong SGK có đáp ứng được yêu cầu của việc dạy học các nội dung tiếp theo trong chương trình của giáo viên và

học sinh hay không? Việc bỏ đi phép hội, phép tuyển có gây nên khập khiễng gì trong chương trình hay không?

4/ Sự lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK và giáo viên khi dạy học các nội dung

có sự tham gia của phép hội, phép tuyển? Sự lựa chọn sư phạm này ảnh hưởng như

thế nào đến đối tượng học sinh?

Tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên sẽ rất có ý nghĩa đối với với việc dạy

học các yếu tố logic cơ bản trong môn toán ở trường phổ thông, nhất là trong bối

cảnh đổi mới chương trình và SGK như hiện nay.Hy vọng rằng việc giải đáp những câu hỏi trên sẽ giúp người giáo viên có được một cái nhìn rõ nét hơn về các yếu tố logic trong môn toán, đặc biệt là các phép toán trên mệnh đề ở trường trung học phổ thông Để từ đó có sự lựa chọn sư phạm hợp lý, nhằm đạt được hiệu quả giảng dạy

tốt nhất, cung cấp đầy đủ cho học sinh những công cụ quan trọng phục vụ cho việc

học tập, nghiên cứu toán trong tương lai

2 Giới hạn đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu

Mục đích tổng quát của luận văn này là đi tìm một số yếu tố để trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở trên Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình

trong phạm vi lý thuyết didactic toán Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng một số khái

niệm công cụ của lí thuyết nhân học sư phạm (tổ chức toán học, sự chuyển đổi didactic, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức)

và lí thuyết tình huống (khái niệm hợp đồng didactic) Đối tượng tri thức O mà chúng tôi đã chọn là các phép toán trên mệnh đề (phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo và phép tương đương) Thể chế I là thể chế dạy học toán ở THPT theo chương trình Việt Nam hiện hành

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, từ các câu hỏi đặt

ra ban đầu, chúng tôi trình bày các câu hỏi nghiên cứu cụ thể như sau:

CH1.Trong chương trình toán THPT hiện hành, các phép toán trên mệnh đề được đưa vào như thế nào, nhằm mục đích gì và tiến triển ra sao?

CH2 Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với việc dạy học các phép toán trên mệnh đề?

CH3 Các phép toán trên mệnh đề vận hành như thế nào trong một số nội dung thuộc SGK Đại số lớp 10 nâng cao? Lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK và giáo viên khi dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội, phép tuyển? Sự lựa

chọn này tác động như thế nào đến đối tượng học sinh?

3 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu gồm các bước như sau:

- Để trả lời cho các câu hỏi CH1, CH2 chúng tôi tìm hiểu sách giáo khoa, sách bài

tập, sách giáo viên đại số 10 nâng cao và một số tài liệu hướng dẫn giảng dạy liên quan Chúng tôi phân tích chương “Mệnh đề - Tập hợp” SGK Đại số lớp 10 nâng cao, bởi vì đây là nơi mà các phép toán trên mệnh đề lần đầu tiên được giới thiệu tường minh Trong quá trình phân tích, chúng tôi sẽ dự đoán những giả thuyết,

những quy tắc hợp đồng liên quan đến đối tượng O, sau đó sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng hoặc bác bỏ chúng

- Để tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi CH3, chúng tôi chọn phân tích một số nội dung thuộc SGK Đại số 10 nâng cao, đồng thời tiến hành thực nghiệm thăm dò ý

kiến giáo viên bằng cách thiết kế bộ câu hỏi điều tra để biết lựa chọn sư phạm của giáo viên trong dạy học các nội dung này Ngoài ra, chúng tôi sẽ cố gắng dự đoán

những ảnh hưởng của sự lựa chọn sư phạm của SGK và giáo viên trong dạy học các

nội dung đã phân tích đến đối tượng học sinh

- Đối tượng học sinh được lựa chọn để thực nghiệm là học sinh lớp 10 học chương trình nâng cao.

4 C ấu trúc của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương

+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

+ Chương 1: Mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề

Nội dung của chương tập trung trả lời cho câu hỏi CH1, CH2 Chúng tôi sẽ làm rõ

mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề Dựa vào những phân tích trên

dự đoán các quy tắc hợp đồng Didactic và các giả thuyết khác liên quan đến đối tượng O

+ Chương 2: Sự vận hành của các phép toán trên mệnh đề trong một số bài toán

Nội dung của chương tập trung trả lời cho nhóm câu hỏi CH3 Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích sự vận hành của các phép toán trên mệnh đề trong một số bài toán (tập trung vào phép phủ định, phép tuyển, phép hội) để thấy được vai trò công cụ

của các phép toán trên mệnh đề Sau đó chúng tôi sẽ tập trung phân tích chi tiết về

sự lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK trong dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội, phép tuyển Cuối cùng, dự đoán những ảnh hưởng của sự lựa chọn

sư phạm của các tác giả SGK đến đối tượng học sinh

+ Chương 3: Thực nghiệm

Tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đã dự đoán và tìm các yếu tố

trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở chương 1 và chương 2 Thực nghiệm sẽ được

tiến hành trên cả hai đối tượng: giáo viên và học sinh Thực nghiệm giáo viên được

tiến hành trước bằng bộ câu hỏi điều tra, thăm dò ý kiến với mục đích thấy được sự

lựa chọn sư phạm của giáo viên trong dạy học các phép toán trên mệnh đề và dạy

học một số nội dung liên quan đến các phép toán trên mệnh đề Tiếp đến là thực nghiệm trên đối tượng học sinh lớp 10 học chương trình nâng cao

+ Trong phần kết luận chúng tôi sẽ tóm tắt lại những kết quả đã đạt được ở chương

1, chương 2, chương 3, nêu lên những hạn chế của luận văn và một số hướng nghiên cứu mở ra cho luận văn

Chương 1 Mối quan hệ thể chế đối với các phép toán

Chúng tôi chọn sách Đại số 10 nâng cao và sách Bài tập Đại số 10 nâng cao

hiện hành làm tư liệu phân tích chính vì hai lý do:

- Các phép toán trên mệnh đề được giới thiệu tường minh lần đầu tiên ở phân môn đại số lớp 10

- Sách Đại số 10 nâng cao trình bày các phép toán trên mệnh đề chi tiết hơn sách Đại số 10 Do đó, quyển thứ nhất sẽ thể hiện rõ yêu cầu thể chế hơn quyển thứ hai

Ngoài ra, khi cần thiết, chúng tôi sẽ tham khảo sách giáo viên, các tài liệu bồi dưỡng giáo viên hoặc đối chiếu với sách giáo khoa các chương trình khác (chương trình chuẩn, chương trình chỉnh lý chỉnh lý hợp nhất 2000) để làm rõ đặc thù của tri

thức cần dạy trong chương trình đang xét

1.1 Mục đích của việc đưa các phép toán trên mệnh đề vào sách giáo khoa

Phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương trong các giáo trình đại học có thể được gọi chung là phép toán logic, phép liên kết logic, phép logic hay chỉ ngắn gọn là phép toán Chúng có thể được thực hiện trên các

mệnh đề và trên các hàm mệnh đề Vì sách Đại số 10 nâng cao xây dựng phép phủ

định, phép kéo theo, phép tương đương chỉ trên các mệnh đề nên chúng tôi quy ước

gọi chung các phép toán này là các phép toán trên mệnh đề1

1 Sách Đại số 10 nâng cao không sử dụng thuật ngữ các phép toán trên mệnh đề nhưng có dùng thuật ngữ logic toán trong phần mở đầu chương I

Mở đầu chương 1-Mệnh đề và tập hợp, sách Đại số 10 nâng cao có viết:

Chương này sẽ cung cấp những kiến thức mở đầu về logic toán và tập hợp Các khái niệm

và các phép toán về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp diễn đạt các nội dung toán học thêm rõ ràng,

chính xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong toán học

B ởi vậy chương này có ý nghĩa quan trọng đối với việc học tập môn Toán

Cũng như đa số các giáo trình đại học, cao đẳng, khi trình bày về logic toán, SGK xác định chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, ban đầu của logic toán mà thôi

Trong ph ần mở đầu chương 1- Cơ sở logic toán, giáo trình Đại số và số học, tập 2, tác giả Ngô Thúc Lanh có viết: “Cách trình bày ở đây là sơ lược và phổ cập Nó nhằm giới thiệu những khái ni ệm cơ bản của logic toán làm nền cho sự suy luận và những kí hiệu logic thông dụng trong các giáo trình toán h ọc hiện đại.”

Đại số mệnh đề là bộ phận cơ bản và sơ cấp nhất của logic toán Trong đại số mệnh

đề, nhờ các phép toán trên mệnh đề mà từ các mệnh đề đơn giản, ta có thể xây dựng được những mệnh đề mới ngày càng phức tạp hơn, tạo thành các công thức của đại

số mệnh đề Do đó có thể nói các mệnh đề đơn giản và các phép toán trên mệnh đề

là những nhân tố cơ bản, thiết yếu nhất cấu thành nên đại số mệnh đề Đó là lý do

mà các phép toán trên mệnh đề xuất hiện trong các chương nói về cơ sở logic toán thuộc các giáo trình đại học, và được lựa chọn đưa vào ngay bài 1, chương 1, sách

Đại số 10 nâng cao, chương trình toán phổ thông hiện hành

Phần mở đầu trên còn cho thấy các tác giả SGK đánh giá cao vai trò của các phép toán trên mệnh đề trong chương trình

Tài li ệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình sách giáo khoa lớp 10 trung h ọc phổ thông (Toán học nâng cao) ở trang 45 nhấn mạnh thêm rằng “chương

này nhằm cung cấp cho học sinh công cụ quan trọng để suy luận và trình bày các suy luận toán học”

Sách giáo viên Đại số 10 ở trang 31 cũng nêu rõ mục tiêu: “Cung cấp các kiến

thức ban đầu về logic và các khái niệm số gần đúng, sai số tạo cơ sở để học sinh

học tập tốt các chương sau Hình thành khả năng suy luận có lí, khả năng tiếp nhận,

biểu đạt các vấn đề một cách chính xác”

Như vậy, với yêu cầu chỉ trình bày những kiến thức cơ bản, ban đầu của logic toán, các phép toán trên mệnh đề được đưa vào sách giáo khoa cùng với các khái

niệm và các phép toán trên tập hợp nhằm trình bày chính xác và chặt chẽ các khái

niệm toán học, góp phần trang bị cho học sinh công cụ quan trọng để suy luận, trình bày suy luận, giúp học sinh tiếp thu, biểu đạt các vấn đề một cách rõ ràng, chính xác Tất cả nhằm tạo cơ sở cho việc dạy - học các nội dung tiếp theo trong chương trình

Để thực hiện mục đích đã xác định, sách Đại số 10 nâng cao xây dựng các

phép toán trên mệnh đề như thế nào? Những điều kiện và ràng buộc nào tác động lên việc dạy học các phép toán này?

1.2 C ác phép toán trên mệnh đề trong sách Đại số 10 nâng cao

Tri thức cơ bản về logic toán và về tập hợp được SGK xác định cùng giữ chung

một vai trò, chức năng quan trọng trong chương trình Do đó chúng được đưa vào cùng một chương, và tri thức về logic được trình bày trước tập hợp Điều này là hợp

lý vì nhìn từ góc độ tri thức bác học, logic và tập hợp có mối liên hệ với nhau Logic cùng với tập hợp làm cơ sở nền tảng cho toán học hiện đại, có sự tương ứng

một - một giữa một mệnh đề chứa biến xác định trên tập X với một tập con của tập

X Do đó trong nhiều trường hợp, ngôn ngữ logic và ngôn ngữ tập hợp có thể chuyển đổi cho nhau Chẳng hạn, liên quan đến năm phép toán trên mệnh đề: mệnh

đề kéo theo tương ứng với quan hệ bao hàm giữa hai tập hợp, mệnh đề tương đương tương ứng với quan hệ bằng nhau giữa hai tập hợp, mệnh đề hội tương ứng với kết

quả của phép giao hai tập hợp, mệnh đề tuyển tương ứng với kết quả của phép hợp hai tập hợp

SGK có thể hiện mối liên hệ này khi trình bày các phép toán trên mệnh đề và

tập hợp hay không? Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn về sự thể hiện mối liên hệ này trong SGK ở tiểu mục 3

Tuy cùng một yêu cầu chung khi trình bày về logic toán, nhưng khác với đa số

các giáo trình đại học, sách Đại số 10 nâng cao chỉ giới thiệu phép phủ định, phép

kéo theo và phép tương đương mà không đề cập đến phép hội và phép tuyển Lý do được tác giả SGK giải thích: “do hạn chế của chương trình” và “hơn nữa mục đích

cũng chỉ để học sinh làm quen với các dạng mệnh đề toán học thường gặp” (SGV

Đại số 10, trang 32) Ngoài ra, tác giả viết SGK chương trình chỉnh lý hợp nhất năm

2000 thì cho rằng mệnh đề phủ định, kéo theo, đương đương rất hay gặp trong các suy luận toán học nên nhất thiết phải trình bày, còn các mệnh đề thuộc dạng hội và tuyển do hơi phức tạp (đặc biệt là phép tuyển không loại trừ) nên không đưa vào

SGK (Tài li ệu hướng dẫn giảng dạy toán 10 chương trình chỉnh lý hợp nhất năm

2000) Việc bỏ đi hai trong năm phép toán thiết yếu cấu thành nên đại số mệnh đề

có gây nên khập khiễng gì trong chương trình toán phổ thông hay không?

1.2.1 V ề phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương

Về phép kéo theo và phép tương đương trong sách Đại số 10 nâng cao, tác giả

Đỗ Tất Thắng đã có nghiên cứu chi tiết trong luận văn Nghiên cứu Didactic về phép

kéo theo và phép tương đương trong dạy và học toán ở THPT Do đó, chúng tôi tập

trung phân tích chi tiết về sự xuất hiện của phép phủ định, những kết quả liên quan đến phép kéo theo và phép tương đương sẽ được sử dụng khi cần

Ba phép toán trên được đưa vào ngay bài đầu tiên §1 Mệnh đề và mệnh đề

ch ứa biến, của chương I – Mệnh đề và tập hợp Sau khi giới thiệu khái niệm mệnh

đề logic (gọi tắt là mệnh đề), SGK đưa vào khái niệm mệnh đề phủ định, tiếp đến là

mệnh đề kéo theo, và sau đó là mệnh đề tương đương ở các trang 5, 6 như sau:

∗ Định nghĩa mệnh đề phủ định: (SGK trang 5)

Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí

hi ệu là 𝑃 � Mệnh đề P và mệnh đề phủ định 𝑃 � là hai câu khẳng định trái ngược nhau Nếu

P đúng thì 𝑃 � sai, nếu P sai thì 𝑃 � đúng

CHÚ Ý:

Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau Chẳng hạn, xét mệnh đề

P: “ √2 là số hữu tỉ” Khi đó, mệnh đề phủ định của P có thể phát biểu là 𝑃 � : “ √2 không phải

là s ố hữu tỉ” hoặc 𝑃 � : “√2 là một số vô tỉ”

∗ Định nghĩa mệnh đề kéo theo: (SGK trang 5)

Cho hai mệnh đề P và Q Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí

hi ệu là P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại

Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề P ⇒ Q là “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”

Ta thường gặp các tình huống sau:

- Cả hai mệnh đề P và Q đều đúng Khi đó P ⇒ Q là mệnh đề đúng

- M ệnh đề P đúng và mệnh đề Q sai Khi đó P ⇒ Q là mệnh đề sai

∗ Định nghĩa mệnh đề tương đương: (SGK trang 6)

Cho hai m ệnh đề P và Q Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề

tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q

M ệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại

Đôi khi, người ta phát biểu mệnh đề P ⇔ Q là “P khi và chỉ khi Q”

M ệnh đề P ⇔ Q đúng nếu cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai Khi đó ta nói rằng hai mệnh đề P và Q tương đương với nhau.

Về định nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương, tác giả Đỗ Tất Thắng

Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại” Sau đó, sách giáo khoa tiếp tục nhấn mạnh chân trị

c ủa P ⇒ Q trong hai trường hợp đặc biệt: P, Q đều đúng, P đúng và Q sai.” (trang 27, 28)

Đối với phép phủ định, SGK cũng không nêu trực tiếp định nghĩa phép phủ định mà giới thiệu thông qua định nghĩa mệnh đề phủ định Tên gọi phép phủ định,

bảng chân trị cũng không hề xuất hiện trong SGK Ngoài ra, trước khi đưa ra các

định nghĩa trên, SGK luôn cho HS tiếp cận các ví dụ về mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương Điều này là phù hợp với quan điểm biên soạn của các tác giả “Quán triệt phương pháp trực quan, nhờ đó có thể giảm tính hàn lâm và

đơn giản hóa cách trình bày một số vấn đề phức tạp” ([13],trang 42)

Như vậy, SGK không định nghĩa khái niệm phép phủ định như là phép toán

một ngôi trên tập hợp các mệnh đề Bù lại, SGK định nghĩa khái niệm mệnh đề phủ

định bằng cách đưa trực tiếp giá trị chân lý của mệnh đề phủ định vào ngay trong

định nghĩa và tránh đề cập đến thuật ngữ bảng chân trị Sự lựa chọn này có tác

dụng đơn giản hóa trong chừng mực có thể được các nội dung cần dạy Mặt khác,

sự vắng mặt (trong khối logos) của bảng chân trị sẽ dẫn đến sự vắng mặt (trong khối

praxis) của kiểu nhiệm vụ chứng minh sự tương đương lôgic của hai mệnh đề bằng cách lập bảng chân trị

Sau khi định nghĩa, SGK giới thiệu khái niệm mệnh đề chứa biến của lôgic vị

từ (trong logic toán còn gọi là hàm mệnh đề hay vị từ) thông qua ví dụ về hai kiểu

câu:

(1) “n chia h ết cho 3”, với n là số tự nhiên

(2) “y > x + 3, với x, y là hai số thực”

Sách còn nêu cách biến một mệnh đề chứa biến thành mệnh đề là “cho các biến

những giá trị cụ thể trong tập X”, giúp học sinh hiểu rõ sự khác nhau cơ bản của

mệnh đề chứa biến và mệnh đề Sau đó, SGK tiếp tục giới thiệu hai lượng từ quan

trọng ∀ và ∃ (đọc là “với mọi” và “tồn tại”) để biến mệnh đề chứa biến thành mệnh

đề Nhưng trường hợp tổng quát: nhiều lượng từ tác động lên mệnh đề nhiều biến không được trình bày, chỉ có trường hợp đơn giản nhất: một lượng từ tác động lên

mệnh đề một biến mà thôi Cụ thể, sách chỉ trình bày mệnh đề dạng “∀x ∈ X, P (x)”

và “∃x ∈ X, P (x)” với tính đúng sai được nêu rõ ràng ở trang 7, 8:

“Với mọi x thuộc X, P (x) đúng” (hay “P (x) đúng với mọi x ∈ X ”) (1)

là một mệnh đề Mệnh đề này đúng nếu với x 0 bất kì thuộc X, P (x0) là mệnh đề đúng Mệnh đề này sai nếu có x 0 ∈ X sao cho P (x0) là mệnh đề sai

“Tồn tại x thuộc X để P (x) đúng” (2)

là một mệnh đề Mệnh đề này đúng nếu có x 0 ∈ X để P (x0) là m ệnh đề đúng Mệnh đề này sai

nếu với x 0 b ất kì thuộc X , P (x0) là m ệnh đề sai (nói cách khác là không có x 0 nào thuộc X để P (x0) là mệnh đề đúng)

Từ đó làm cở sở để giới thiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu

∀, ∃ như sau:

Cho mệnh đề chứa biến P (x) với x ∈ X Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)”

là “∃ x ∈ X, 𝑃(𝑥) ������”

Cho m ệnh đề chứa biến P (x) với x ∈ X Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)” là

“∀x ∈ X, 𝑃(𝑥) ������”.

Từ trên ta thấy rằng khi lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)” và

“∃x ∈ X, P (x)” đã có sự xuất hiện ngầm ẩn phép phủ định trên mệnh đề chứa biến

mặc dù các phép toán trên các mệnh đề chứa biến không được giới thiệu trong SGK Chúng tôi tự hỏi trong phần bài tập, kỹ thuật nào được đưa ra để lập 𝑃(𝑥)������ ?

P (x) trong trường hợp này có đặc trưng gì? Chúng tôi sẽ tìm hiểu rõ trong phần phân tích các tổ chức toán học

Như vậy, trong phần bài học, thay vì đưa vào phép phủ định, phép kéo theo,

phép tương đương, sách Đại số 10 nâng cao nêu định nghĩa mệnh đề phủ định,

mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương thông qua việc xác định tính đúng sai của chúng; còn khái niệm phép hội, phép tuyển cũng như mệnh đề hội, mệnh đề tuyển hoàn toàn không xuất hiện Bên cạnh đó, các khái niệm mệnh đề và mệnh đề chứa

biến, kí hiệu hai lượng từ ∀, ∃, mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀ và

∃ cũng được đưa vào Các nội dung được trình bày giản lược thông qua những ví dụ

cụ thể, với yêu cầu về mặt kiến thức được các tác giả xác định là:

- Nắm được khái niệm mệnh đề, nhận biết một câu có phải là mệnh đề hay không

- Nắm được khái niệm mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương

- Biết khái niệm mệnh đề chứa biến

( SGV Đại số 10 nâng cao, trang 36)

∗ Các tổ chức toán học liên quan đến phép phủ định

Trong phần này, chúng tôi chỉ xem xét các TCTH liên quan đến phép phủ định,

vì các TCTH liên quan đến phép kéo theo và tương đương đã được tác giả Đỗ Tất

Thắng khảo sát Mục đích của phần này là hiểu rõ những ràng buộc của thể chế đối

với việc dạy học các phép toán trên mệnh đề, tìm ra những quy tắc hợp đồng liên quan đến các phép toán trên mệnh đề (nếu có)

Ở trang 37, SGV Đại số 10 nâng cao có nêu yêu cầu về kỹ năng đối với học sinh khi học mệnh đề và mệnh đề chứa biến như sau:

- Biết lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, mệnh đề kéo theo, tương đương từ hai mệnh đề đã cho và xác định được tính đúng-sai của các mệnh đề này

- Biết chuyển mệnh đề chứa biến thành mệnh đề bằng cách: hoặc gán cho biến

một giá trị cụ thể trên miền xác định của chúng, hoặc gán các kí hiệu ∀ và ∃ vào phía trước nó

- Biết sử dụng các kí hiệu ∀ và ∃ trong các suy luận toán học

- Biết cách lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃

Chúng tôi sẽ xem xét những yêu cầu này được thể hiện qua những kiểu nhiệm

vụ nào liên quan đến mệnh đề phủ định, và sẽ phân tích các tổ chức toán học gắn

liền với các kiểu nhiệm vụ ấy ngay sau đây

Các ví dụ, hoạt động, bài tập luyện tập và ôn tập cuối chương liên quan đến

mệnh đề phủ định trong SGK và SBT được phân loại thành 2 kiểu nhiệm vụ lớn:

 T 1 : L ập mệnh đề phủ định của một mệnh đề

 T 2 : Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định

Đối với mỗi kiểu nhiệm vụ, chúng tôi sẽ chọn ra một số ví dụ, hoạt động, hoặc bài tập để minh họa, đồng thời trích dẫn cả phần lời giải sẵn có của chúng từ SGK, SBT, hoặc SGV để có thể xác định được các thành phần tương ứng của mỗi một tổ

chức toán học, để biết được những gì thể chế mong đợi ở học sinh

 T 1 : L ập mệnh đề phủ định của một mệnh đề

Có 3 kỹ thuật được sử dụng, tùy thuộc vào mệnh đề đã cho ban đầu:

 K ỹ thuật τ1a : (M ệnh đề cho trước được diễn đạt bằng câu thông thường, không ch ứa “với mọi” lẫn “tồn tại”)

Thêm từ “không phải” (hoặc từ “không”) vào trước vị ngữ của mệnh đề P

 K ỹ thuật τ1b : (M ệnh đề cho trước được diễn đạt bằng câu thông thường, có

ch ứa “với mọi” hoặc “tồn tại”)

Thay các từ “với mọi”, “mọi”, “tất cả” bằng một trong các từ: “tồn tại”, “có

một”, “có”, “có ít nhất một” hoặc ngược lại, thay các từ “tồn tại”, “có một”, “có”,

“có ít nhất một” bằng một trong các từ “với mọi”, “mọi”, “tất cả” Sau đó, thêm từ

“không” (hoặc từ “không phải”) trước vị ngữ của câu giống như kĩ thuật τ1a

 Kỹ thuật τ1c : (M ệnh đề cho trước có chứa ký hiệu ∀, ∃ và ch ứa biến)

Thay kí hiệu ∀ bằng kí hiệu ∃ (hoặc ngược lại, thay kí hiệu ∃ bằng kí hiệu ∀),

rồi phủ định mệnh đề chứa biến P(x) theo kỹ thuật τ1a để được mệnh đề phủ định

của “∀x ∈ X, P (x)” là “∃x ∈ X, 𝑃(𝑥) ������”, mệnh đề phủ định của “∃x ∈ X, P (x)” là

“∀x ∈ X, 𝑃(𝑥)������

Chú ý: Trong nhiều trường hợp, ta có thể thay thế một số từ bằng những từ mang nghĩa tương đương với chúng, để được cách phát biểu khác, nhưng ý nghĩa vẫn không thay đổi

 Ví dụ minh họa cho T 1 :

Bài tập 13, SGK, trang 13:

Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) Tứ giác ABCD đã cho là hình chữ nhật

b) 9801 là số chính phương

Lời giải: (trích từ SGV, trang 49)

a) Tứ giác ABCD đã cho không phải là hình chữ nhật

b) 9801 không phải là số chính phương

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Với mọi số tự nhiên n, 22𝑛 + 1 là số

nguyên tố” là “Tồn tại số tự nhiên n để 22 𝑛

+ 1 không là số nguyên tố” H7, SGK, trang 8:

Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề “Tất cả các bạn trong lớp em đều có máy tính”

Lời giải: (SGV trang 39)

Mệnh đề phủ định là: “Có một bạn trong lớp em không có máy tính”

 Công ngh ệ θ1 : Định nghĩa mệnh đề phủ định của SGK, mệnh đề phủ định của

mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ của SGK

 Lý thuyết: Logic học hình thức

 Nhận xét:

- Có tất cả 41 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T 1, nhằm giúp học sinh thành thạo kỹ năng

lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề cho trước

- Trong nh ững câu trên, mệnh đề cho trước có những đặc trưng sau:

 Các mệnh đề hầu hết là những mệnh đề dạng hình học, hoặc số học, hoặc những vấn đề thực tế trong cuộc sống, để giúp học sinh dễ hiểu, dễ nắm được khái niệm mệnh đề phủ định Ngoài ra, còn giúp học sinh thấy rằng phép phủ

định trong toán học phù hợp với phép phủ định thông thường trong cuộc sống

 Tất cả các mệnh đề đều là mệnh đề đơn, nghĩa là chỉ yêu cầu lập mệnh đề phủ định của những mệnh đề đơn giản, không yêu cầu lập mệnh đề phủ định của mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương, cũng như những mệnh đề có cấu trúc tuyển, hội Có thể giải thích lý do là vì tri thức về phép hội và phép tuyển không được giới thiệu trong phần bài học, nên mệnh đề phủ định của mệnh đề hội, tuyển cũng không được tính đến trong phần bài tập Ngoài ra, mệnh đề phủ định của mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương cũng là những mệnh đề

có cấu trúc tuyển, hội nên cũng không xuất hiện

 Trong những trường hợp xuất hiện mệnh đề chứa biến P(x), P(x) cũng chỉ là

những mệnh đề chứa biến dạng đơn, không phức hợp dạng tuyển, hội, kéo

theo, hay tương đương

 Các mệnh đề cho trước có thể là mệnh đề đúng, hoặc là mệnh đề sai

- Thống kê thấy kỹ thuật τ1c được sử dụng 20 lần trong trường hợp mệnh đề ban đầu được cho bằng kí hiệu logic, kỹ thuật τ1bđược sử dụng 7 lần trong trường hợp mệnh

đề ban đầu được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường Chúng tôi còn tìm thấy trong sách bài tập có xuất hiện bài tập như sau:

1.16 Cho mệnh đề chứa biến P(x): “x thích môn Ngữ văn”, trong đó x lấy giá trị trên tập hợp

X các học sinh của trường em

a) Dùng kí hiệu logic để diễn tả mệnh đề: “Mọi học sinh của trường em đều thích môn

Ngữ văn”

b) Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề trên bằng kí hiệu logic rồi diễn đạt mệnh đề phủ định đó bằng câu thông thường.

Như vậy là nếu đề bài không yêu cầu cụ thể, kỹ thuật τ1b được sử dụng khi

mệnh đề ban đầu được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường, và kỹ thuật τ1c được

sử dụng khi mệnh đề ban đầu cho bằng kí hiệu logic Những ghi nhận trên cho phép chúng tôi rút ra sự ràng buộc của thể chế đối với việc lựa chọn hình thức biểu đạt

mệnh đề phủ định trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ T 1, được thể hiện qua hợp đồng thể chế như sau:

R1: N ếu mệnh đề cho trước được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường thì

m ệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường, nếu mệnh đề

cho trước bằng kí hiệu logic thì mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng kí hiệu logic

Những phân tích trên còn cho thấy rằng: mặc dù phép phủ định trên mệnh đề

chứa biến P(x) không được giới thiệu tường minh trong phần bài học, nhưng nó đã

tham gia vào kỹ thuật τ1b , τ1c để giải quyết kiểu nhiệm vụ T 1 Với những đặc

trưng của P(x) như vừa nêu trên, để lập mệnh đề chứa biến 𝑃(𝑥)������ , SGK mong muốn

học sinh sử dụng kỹ thuật τ1a (thêm “không phải” hoặc “không” vào trước vị ngữ) như khi lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề Câu hỏi mà chúng tôi đã đặt ra ở

phần phân tích bài học liên quan đến mệnh đề chứa biến được giải quyết

Không những trong phần bài học, mà cả trong phần bài tập, sách Đại số 10

nâng cao chỉ cung cấp lớp bài toán lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đơn, và của

mệnh đề chứa lượng từ ∀, ∃ có dạng “∀x ∈ X, P (x)” và “∃ x ∈ X, P (x)”, không

có bài nào yêu cầu lập mệnh đề phủ định của mệnh đề hội, mệnh đề tuyển, mệnh đề kéo theo, hay mệnh đề tương đương Mệnh đề chứa biến P(x) xuất hiện trong những

câu trên cũng chỉ là những câu đơn, không phức hợp dạng tuyển, hội, kéo theo hay tương đương Với kỹ thuật là thêm “không phải” (hoặc “không”) vào trước vị ngữ

để được mệnh đề chứa biến 𝑃(𝑥)������ mang ý nghĩa trái ngược với mệnh đề chứa biến ban đầu Quy tắc lập mệnh đề phủ định của mênh đề dạng tuyển, hội theo luật De Morgan không được đề cập đến cả trong phần bài học và phần bài tập

Sự ràng buộc này của thể chế hướng chúng tôi nghĩ đến giả thuyết về sự tồn tại

ở học sinh quy tắc hành động R2 như sau: luôn và chỉ thêm “không” hoặc

“không ph ải” vào trước vị ngữ khi lập mệnh đề phủ định Phạm vi hợp thức của

quy tắc hành động này là những mệnh đề đơn Trong tình huống cần phải lập mệnh

đề phủ định của những mệnh đề có dạng mệnh đề hội, mệnh đề tuyển, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương, việc học sinh ứng xử theo quy tắc hành động này sẽ

dẫn đến những câu trả lời sai Ngoài ra, việc ứng xử theo quy tắc hành động này còn

có thể dẫn đến quan niệm sai lầm của học sinh về tính đúng sai của mệnh đề “P và

Q” r ất thường gặp trong toán học Học sinh sẽ cho rằng mệnh đề “P và Q” sai khi

và chỉ khi P sai và Q sai

Chúng tôi tự hỏi rằng trong thực tế dạy học, khi ra đề toán thuộc kiểu nhiệm vụ

lập mệnh đề phủ định của mệnh đề cho trước, giáo viên có tuân theo những ràng

buộc của thể chế hay không? Nghĩa là họ có cho những mệnh đề phức hợp dạng tuyển, hội, kéo theo, tương đương hay chỉ cho những mệnh đề đơn?

Để trả lời cho câu hỏi này chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm ở chương 3

 T 2 : Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định

 Ví d ụ minh họa:

Hoạt động H1 a,b, SGK, trang 5:

Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ

định đó đúng hay sai

a) Pa-ri là thủ đô của nước Anh

b) 2002 chia hết cho 4

Lời giải: (trích từ SGV, trang 38)

a) “Pa-ri không là thủ đô của nước Anh” Mệnh đề phủ định đó đúng

b) “2002 không chia hết cho 4” Mệnh đề phủ định đó đúng

- Xét tính đúng sai của mệnh đề ban đầu:

Trường hợp mệnh đề là câu thông thường, không chứa lượng từ “với mọi” lẫn

“tồn tại”: nếu mệnh đề là câu khẳng định đúng (sai) thì kết luận mệnh đề đúng (sai)

Trường hợp mệnh đề có chứa lượng từ “với mọi” hoặc “tồn tại”: Nếu với x0 bất

kì thuộc X, P(x0) là mệnh đề đúng thì mệnh đề “∀x ∈ X, P(x )” đúng Nếu có x0 ∈

X sao cho P(x0) là mệnh đề sai thì mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” sai N ếu có x0 ∈ X

sao cho P(x0) là mệnh đề đúng thì mệnh đề “∃x ∈ X, P(x )” đúng Nếu với x0 bất

kì thuộc X , P(x0) là mệnh đề sai (nói cách khác là không có x0 nào thuộc X để

P(x0) là mệnh đề đúng) thì mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” sai

- Dựa vào tính đúng sai của mệnh đề P để kết luận tính đúng sai của mệnh đề 𝑃� : nếu P đúng thì 𝑃� sai, nếu P sai thì 𝑃� đúng

 Kỹ thuật τ2b : “tr ực tiếp”

- Lập mệnh đề phủ định 𝑃� theo kỹ thuật τ1a, hoặc τ1b hoặc τ1c

- Xét trực tiếp tính đúng sai của mệnh đề phủ định với hai trường hợp như đã nêu trong kỹ thuật τ2a

 Công nghệ: định nghĩa mệnh đề logic, mệnh đề phủ định, mệnh đề chứa kí hiệu

∀, ∃, mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ của SGK

 Lý thuy ết: Logic học hình thức

 Nh ận xét:

- Kiểu nhiệm vụ này luôn đi kèm với kiểu nhiệm vụ lập mệnh đề phủ định của

mệnh đề cho trước

- Mệnh đề P và mệnh đề chứa biến P(x) trong những câu thuộc kiểu nhiệm vụ này

cũng có những đặc trưng như ở kiểu nhiệm vụ T1: mệnh đề đại số, hình học, những

vấn đề thực tế, mệnh đề đơn, không có mệnh đề phức hợp dạng tuyển, hội, kéo theo, hay tương đương

- Các mệnh đề cho trước có thể có chân trị đúng hoặc sai

- Trong tất cả 9 câu thuộc kiểu nhiệm vụ này, chỉ có 1 câu duy nhất xuất hiện trong sách bài tập thuộc trường hợp mệnh đề có chứa lượng từ “với mọi”, “tồn tại”, và kỹ thuật được sử dụng là τ2b (xét trực tiếp tính đúng sai của mệnh đề phủ định) Có thể

lý giải nguyên nhân như sau: vì mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃

cũng là những mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ nên việc xét tính đúng sai của những

mệnh đề phủ định này cũng dựa theo kỹ thuật xét tính đúng sai của mệnh đề có

chứa kí hiệu ∀, ∃ Kỹ năng này đã được SGK tính đến trong kiểu nhiệm vụ xét tính đúng sai của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ Có đến 16 câu yêu cầu xét tính đúng sai

của mệnh đề có chứa ∀, ∃ Ngay sau đây là trích dẫn bài tập minh họa cụ thể:

1.15 Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề đó:

d) ∀ n ∈ N*, 1+2+…+ n không chia h ết cho 11

Lời giải: (trích từ SBT trang 18)

d) Mệnh đề sai Ta chứng tỏ mệnh đề phủ định “∃ n ∈ N*, 1+2+…+ n chia hết cho 11” là đúng

Thật vậy, với n = 11 thì 1 + 2 +….+ 11 = 66 chia hết cho 11

Trong trích dẫn trên, ngoài cách xét trực tiếp chân trị của mệnh đề P, ở câu b và

d, SGK còn xét tính đúng sai của 𝑃�, sau đó suy ra chân trị của mệnh đề P Có lẽ SGK muốn nhấn mạnh mối liên hệ giữa chân trị của mệnh đề P và 𝑃� Vì có thể coi

mệnh đề ban đầu là mệnh đề phủ định của mệnh đề phủ định của nó (𝑃 � = P) nên có thể nói kỹ thuật τ2a và τ2b có thể sử dụng cho kiểu nhiệm vụ xét tính đúng sai của một mệnh đề bất kì

Định nghĩa tính đúng sai của mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃ của SGK cho thấy để

chứng minh mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” sai ta ph ải chỉ ra x0 ∈ X sao cho P(x0) là mệnh

đề sai, điều này đồng nghĩa với việc chứng minh mệnh đề phủ định “∃ x ∈ X, 𝑃(𝑥)������”

là đúng; để chứng minh mệnh đề “∀x ∈ X, P(x )” đúng, ta phải chứng tỏ với x0 bất kì thuộc X, P(x0) là mệnh đề đúng, điều này đồng nghĩa với việc chứng tỏ mệnh đề

phủ định “∃ x ∈ X, 𝑃(𝑥)������” sai Như vậy là đối với mệnh đề có chứa lượng từ ∀, ∃,

việc xét tính đúng sai của nó một cách trực tiếp (kỹ thuật τ2a) hay gián tiếp thông qua mệnh đề phủ định (kỹ thuật τ2b) là như nhau

- 8 câu còn lại thuộc trường hợp mệnh đề cho trước không chứa lượng từ “với mọi”

lẫn “tồn tại” Tất cả các lời giải của các câu này đều không thể hiện rõ kỹ thuật xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định Chúng tôi chỉ tìm thấy lời giải thích thêm sau

hoạt động H1 nêu trên ở trang 40 SGV như sau: “mục đích của hoạt động này là để cho học sinh thực hành việc lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề và xét tính

đúng sai của mệnh đề phủ định bằng cách xét tính đúng sai của mệnh đề ban đầu.” Theo lời giải thích này, có thể SGK muốn nhấn mạnh rằng tính đúng sai của mệnh

đề phủ định phụ thuộc vào tính đúng sai của mệnh đề ban đầu nên đã ưu tiên sử

dụng kỹ thuật τ2a hơn kỹ thuật τ2b

Trong 8 câu này, chúng ta có thể sử dụng được cả hai kỹ thuật τ2a và τ2b để giải quyết mà không gặp khó khăn gì

Tuy nhiên chúng tôi cho rằng trong một bài toán cụ thể (thuộc trường hợp

mệnh đề không chứa lượng từ “với mọi” lẫn “tồn tại”), độ tối ưu của hai kỹ thuật

τ2a , τ2b là không như nhau Chẳng hạn, xét mệnh đề P: “2012 là một nghiệm của phương trình x2

– 123456x + 121456 = 0” Việc kiểm chứng tính đúng, sai của P gặp

trở ngại (ngay cả với máy tính bỏ túi lẫn bảng tính Excel) vì các hệ số của phương trình bậc hai quá lớn, ngăn cản việc tính toán trực tiếp Như vậy, kỹ thuật τ2a (dùng

tính đúng, sai của P để suy ra tính đúng sai của P) bị phong tỏa Nhưng, ta có thể

Tồn tại những bài toán cụ thể mà tính hiệu quả của hai kỹ thuật này là không như nhau Vì SGK đã không tập trung xây dựng lớp những bài toán như thế nên có

thể thấy mục đích của SGK không phải là làm rõ độ tối ưu của từng kỹ thuật Điều này phù hợp với quan điểm biên soạn sách Đại số 10 nâng cao: “giảm nhẹ nhiều

yêu cầu về kiến thức, kỹ năng, hạn chế các ví dụ và bài tập phức tạp, đòi hỏi cao về

kĩ thuật nhỏ hay những mẹo mực” ([13] , trang 42) Ngay cả trong phần chuẩn kiến

thức, kĩ năng của phần Mệnh đề và mệnh đề chứa biến Chương trình giáo dục phổ

thông c ấp trung học phổ thông trang 161 cũng chỉ yêu cầu “… Biết lấy ví dụ về

mệnh đề, mệnh đề phủ định của một mệnh đề cho trước, xác định tính đúng-sai của

một mệnh đề trong những trường hợp đơn giản…” Theo chúng tôi, khi đứng trước

nhiệm vụ xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định, hay của một mệnh đề bất kỳ nói chung, học sinh sẽ nghĩ đến kỹ thuật xét trực tiếp trước tiên Điều này là hết sức tự

nhiên Do đó, SGK muốn khắc sâu thêm kỹ thuật “gián tiếp” cho HS, đồng thời một

lần nữa nhấn mạnh đến sự phụ thuộc chân trị của P và 𝑃� mà thôi

Ngoài ra còn có kiểu nhiệm vụ: cho trước mệnh đề chứa biến P(x) bằng câu thông thường, phát biểu mệnh đề “∀x ∈ X, 𝑷(𝒙) ������”, “∃x ∈ X, 𝑷(𝒙)������” bằng các câu thông thường Chỉ có 2 câu thuộc kiểu nhiệm vụ này Để giải quyết chúng,

cần phải phát biểu mệnh đề chứa biến 𝑃(𝑥)������ theo kỹ thuật τ1a (thêm từ “không” hoặc

“không phải” vào trước vị ngữ của câu) Chính vì lý do này nên chúng tôi gộp luôn

kiểu nhiệm vụ này vào T 1

1.2.2 V ề phép hội, phép tuyển

Tuy không xuất hiện trong phần bài học, nhưng phép hội và phép tuyển được

đề cập trong sách giáo viên và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy với yêu cầu: “khi cần ta sử dụng cách diễn đạt như ngôn ngữ thông thường Đến các chương sau, khi trình bày bài giải PT hay BPT, cũng có thể dùng một cách hạn chế kí hiệu “[” để thay thế và giải thích một cách không đầy đủ là thay cho từ “hoặc”” ([13], trang 45)

Như vậy, sách giáo viên ngầm xác nhận sự can thiệp không thể tránh khỏi của

mệnh đề có cấu trúc tuyển, hội trong phần tiếp theo của chương trình và đã hướng dẫn cách xử lý né tránh

- Giáo viên sẽ triển khai nội dung giảng dạy đó ra sao?

- Học sinh sẽ gặp phải những chướng ngại nào khi làm việc với những dạng mệnh

đề trên?

Chúng tôi gọi sự xuất hiện của phép hội và phép tuyển là “ngầm ẩn” bởi vì SGK không đưa chúng vào với vai trò là đối tượng nghiên cứu, khi chúng xuất hiện cũng

không đề cập đến chúng một cách trực tiếp mà né tránh, thể hiện chúng bằng những cách khác

Trong logic học, chân trị của mệnh đề hội, mệnh đề tuyển phụ thuộc vào chân trị

của các mệnh đề thành phần và chức năng của liên từ logic Mệnh đề hội chỉ đúng khi tất cả các mệnh đề thành phần đều có chân trị đúng và sai trong các trường hợp còn lại Căn cứ vào ý nghĩa của liên từ logic “hoặc”, người ta còn chia ra làm hai

loại phép tuyển: phép tuyển loại (kí hiệu ∨ ) và tuyển không loại (kí hiệu ∨) Trong

mệnh đề tuyển loại, từ “hoặc” mang nghĩa phân chia tuyệt đối về mặt giá trị chân lý

của các mệnh đề thành phần Trong mệnh đề tuyển không loại, từ “hoặc” lại mang nghĩa liên kết, nghĩa là giá trị chân lý của hai mệnh đề thành phần không bị loại trừ

bởi liên từ “hoặc” (TS Nguyễn Như Hải, Giáo trình logic học đại cương, trang 99,

100)

Cụ thể, sự khác nhau giữa phép tuyển loại (kí hiệu ∨ ) và tuyển không loại (kí hiệu

∨) thể hiện qua bảng chân trị như sau:

Trong ngôn ngữ thông thường của cuộc sống, cách nói “P hoặc Q” được dùng

để chỉ một trong hai loại phép tuyển trên, tùy tình huống cụ thể mà từ “hoặc” sẽ

được hiểu theo nghĩa phép tuyển loại hay không loại Chỉ khi cần nhấn mạnh P

hoặc Q, nhưng không có cả P lẫn Q (phép tuyển loại) người ta sẽ nói: “hoặc P hoặc

Q ” Còn trường hợp P hoặc Q, hoặc cả P lẫn Q (phép tuyển không loại) người ta sẽ nói: “P ho ặc Q”

Từ điển Tiếng Việt phổ thông giải thích nghĩa từ “hoặc” như sau: “ từ biểu thị

quan hệ giữa nhiều (thường là hai) khả năng khác nhau, không khả năng này thì khả năng kia, ít nhất một khả năng được thực hiện” ([2], trang 399)

Trong các giáo trình logic toán, phép tuyển được định nghĩa phù hợp với liên từ

“hoặc” theo nghĩa không loại trừ Nói cách khác mệnh đề tuyển ta xét trong toán

học là mệnh đề tuyển không loại

Ngay sau đây, chúng tôi sẽ chỉ rõ một số trường hợp có sự xuất hiện ngầm ẩn

của phép tuyển, phép hội trong chương trình, để thấy rõ hơn những cách mà SGK

đã dùng để thay thế chúng và để biết phép tuyển xuất hiện ngầm ẩn là phép tuyển

loại hay tuyển không loại

• Trường hợp hệ phương trình, hệ bất phương trình:

Một hệ phương trình hay hệ bất phương trình là hội của những hàm mệnh đề Kí

hiệu “{” được sử dụng để thay thế cho phép hội hai mệnh đề chứa biến

• Hàm số y x1

x

=

− xác định với điều kiện x ≥ 0 và x – 1 ≠ 0

Từ “và” ở đây thay cho phép hội, để chỉ đồng thời hai điều kiện mà biến x phải thỏa

mãn

• Trường hợp các phép toán trên tập hợp:

SGK trang 19, 20 nêu định nghĩa phép hợp, phép giao, phép hiệu của hai tập hợp như sau:

H ợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∪ B, là một tập hợp bao gồm tất cả các ph ần tử thuộc A hoặc thuộc B

Trong trường hợp này, liên từ “và”, “hoặc” của ngôn ngữ thông thường được sử

dụng để thay thế cho phép hội, phép tuyển hai mệnh đề chứa biến “x ∈ A”, “x ∈ B”

(x ∉ B) Từ “hoặc” ở đây mang ý nghĩa tuyển không loại SGK đã dùng cách vẽ

biểu đồ Ven để học sinh hiểu được đúng nghĩa của từ “hoặc”

Trên bi ểu đồ Ven (h.1.2), phần gạch chéo biểu diễn hợp của hai tập hợp A và B

Sơ đồ thể hiện rõ: tập A ∪ B bao gồm tất cả những phần tử hoặc thuộc tập A, hoặc thuộc tập B, hoặc thuộc cả tập A và tập B

• Trường hợp phương trình tích A.B = 0:

Chúng tôi thấy có các cách trình bày sau:

A.B = 0 ⇔ A = 0 ho ặc B = 0

A.B = 0 ⇔ 0

0

A B

 =

 =



Một phương trình tích tương đương với tuyển hai phương trình (tuyển hai hàm

mệnh đề) Vậy là từ “hoặc” và kí hiệu “[” được sử dụng để thay thế cho phép tuyển Tuy nhiên SGV lưu ý tránh lạm dụng kí hiệu “[” vì dễ gây thêm những rắc rối không cần thiết Từ “hoặc” ở đây được hiểu theo nghĩa phép tuyển không loại (vì

A.B = 0 ngay c ả khi A và B đều bằng 0) Tuy nhiên, trong một số phương trình tích

cụ thể, không thể xảy ra trường hợp cả hai nhân tử cùng bằng 0, ví dụ như: x(x – 1)

= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 Lúc này từ “hoặc” lại mang nghĩa của phép tuyển loại.Tuy nhiên SGK đã không sử dụng cách diễn đạt “hoặc x = 0 hoặc x = 1” để phân biệt với

phép tuyển không loại Theo chúng tôi, chính vì không xảy ra khả năng cả hai mệnh

đề “x = 0” và “x = 1” đều đúng nên có thể nói trong trường hợp này, mệnh đề tuyển

loại với mệnh đề tuyển không loại là tương đương logic (có cùng giá trị chân lý)

Do đó, nếu ta hiểu “hoặc” theo nghĩa tuyển không loại cũng không ảnh hưởng gì đến kết quả

• Trường hợp bất phương trình “A ≥ 0”:

Kí hiệu “≥” được đọc là “lớn hơn hoặc bằng”, có nghĩa là bất phương trình “A ≥ 0” tương đương với “A > 0 hoặc A = 0” (tuyển của hai hàm mệnh đề) Từ “hoặc” ở đây

mang nghĩa phép tuyển loại vì không thể xảy ra khả năng A vừa bằng 0 vừa lớn hơn

0 được Tương tự như trường hợp vừa nêu trên, SGK cũng không sử dụng cách diễn

đạt “hoặc A > 0 hoặc A = 0” để phân biệt với phép tuyển không loại Theo chúng

tôi, chính vì không xảy ra khả năng cả hai mệnh đề “A > 0” và “A = 0” đều đúng

nên có thể nói trong trường hợp này, mệnh đề tuyển loại với mệnh đề tuyển không

loại là tương đương logic (có cùng giá trị chân lý) Do đó, nếu ta hiểu theo nghĩa tuyển không loại cũng không ảnh hưởng gì đến kết quả

Ngoài những trường hợp điển hình nêu trên, phép hội, phép tuyển còn xuất hiện

ngầm ẩn rất nhiều trong toàn bộ chương trình, và thường được thể hiện bằng ngôn

ngữ tự nhiên qua hai liên từ “và”, “hoặc”, bằng hai kí hiệu “{”, “[”

Theo phân tích ở trên, từ “hoặc” xuất hiện trong SGK có khi mang nghĩa của phép tuyển loại, đôi khi lại mang nghĩa của phép tuyển không loại SGK không hề phân biệt rõ hai phép tuyển này Chúng tôi nhận thấy: trong các trường hợp nêu trên, nếu hiểu từ “hoặc” theo nghĩa tuyển không loại thì thực sự không gây nhầm

lẫn gì, không ảnh hưởng gì đến việc giải toán Do đó, việc phân biệt rõ hai phép tuyển này trong những trường hợp chúng xuất hiện trong chương trình sẽ gây rắc

rối thêm và thực sự là không cần thiết Như vậy, chúng tôi cho rằng SGK mong

muốn học sinh hiểu từ “hoặc” theo nghĩa tuyển không loại

Trong SGK, từ “và” không phải lúc nào cũng được dùng với ý nghĩa thay cho phép hội, để chỉ những quan hệ sau đó đồng thời xảy ra, mà nó còn được dùng với ý

nghĩa liệt kê Chẳng hạn trong các phát biểu như: “mệnh đề P và Q tương đương

với nhau”, “hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau”,…(ta không thể tách các

mệnh đề này thành hai mệnh đề đơn giản hơn nối với nhau bởi từ “và” ) Hay trong trường hợp liệt kê nghiệm của phương trình bậc hai rất hay gặp trong giải toán:

phương trình x.(x – 1) = 0 có hai nghiệm là x = 0 và x = 1

Xét một ví dụ minh họa khác:

Ví dụ 4: (SGK trang 150) Giải bất phương trình √𝑥2− 4𝑥 > x – 3

Giải Bất phương trình đã cho tương đương với

x x

Nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 0 và x > 92

Tập nghiệm của bất phương trình là (-∞; 0] ∪ 9;

2

 +∞

 

 

Trong minh họa này, từ “và” xuất hiện không mang nghĩa của phép hội, mà mang nghĩa liệt kê hai trường hợp nghiệm của bất phương trình; hai từ “hoặc” xuất hiện thay cho phép tuyển không loại, với chức năng liệt kê hai khả năng (hai trường hợp)

có thể xảy ra, khả năng này hoặc khả năng kia Như vậy, trong trường hợp này, ta

có thể nói, từ “hoặc” tương đương với từ “và” theo nghĩa liệt kê khả năng

Theo chúng tôi, cách sử dụng từ “và”, “hoặc” của SGK trong trường hợp này dễ gây những thắc mắc, khó hiểu cho học sinh Đây có thể là một trong những nguyên nhân làm cho học sinh sử dụng nhầm lẫn hai liên từ logic “và”, “hoặc” trong giải toán (ví dụ sai lầm của học sinh mà chúng tôi đã đưa ra ở phần lý do chọn đề tài: khi biến đổi phương trình tích vẫn có học sinh viết x(x –1) = 0 ⇔ x = 0 và x = 1)

Kí hiệu “{” cũng tương tự, không phải lúc nào cũng được dùng để thay thế cho phép hội, mà đôi khi nó còn được dùng với ý nghĩa liệt kê các trường hợp như trong định nghĩa giá trị tuyệt đối:

|𝐴|=−A A neáu neáu A A≥<00

Như vậy, SGK dùng từ “và”, kí hiệu “{” để thay thế cho phép hội, nhưng không có sự tương ứng 1-1 giữa phép hội và hai cách thể hiện này Về phép tuyển, SGK dùng từ “hoặc”, đôi khi là kí hiệu “[” để thay thế Tuy nhiên mỗi lần từ “và”,

“hoặc” (thay thế cho phép hội, phép tuyển) xuất hiện, SGK không giải thích gì

thêm, mà muốn học sinh tự hiểu theo nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên Nghĩa là dùng

từ “và” để chỉ những quan hệ sau đó đồng thời xảy ra, từ “hoặc” để chỉ hai khả năng khác nhau, khả năng này hoặc khả năng kia, ít nhất một khả năng xảy ra (tuyển không loại) Chúng tôi tự hỏi học sinh có hiểu từ “hoặc” theo nghĩa mà SGK mong đợi hay không?

SGK không đề cập đến chân trị của mệnh đề dạng “A hoặc B” Tuy nhiên,

chúng tôi nhận thấy: chân trị của mệnh đề dạng “A hoặc B” đóng vai trò là thành

phần công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải một số bài toán Chẳng hạn như trong hai bài toán sau:

Bài toán 1: giải và biện luận bất phương trình sau:

Đến đây ta so sánh với điều kiện x ≤ 7 để nhận x = 6 và loại x = 9

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi thấy sự cần thiết phải điều tra để tìm câu trả

lời cho các câu hỏi: Trong khi SGK né tránh việc đề cập đến những tri thức liên quan đến phép hội, phép tuyển như vậy, lúc gặp những bài toán trên, giáo viên có

dùng tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B” để giải thích cho kỹ thuật giải hay né

tránh, dùng một cách nào khác? Học sinh quan niệm như thế nào về tính đúng sai

của mệnh đề dạng “A hoặc B”?

1.3 Sự liên hệ giữa logic và tập hợp trong sách Đại số 10 nâng cao

Như đã nhắc đến ở phần trên, ở cấp độ tri thức bác học, giữa logic và tập hợp

có sự liên hệ với nhau thể hiện qua một số liên hệ cơ bản sau: có sự tương ứng một -

một giữa một mệnh đề chứa biến xác định trên tập X với một tập con của tập X Do

đó trong nhiều trường hợp, ngôn ngữ logic và ngôn ngữ tập hợp có thể chuyển đổi cho nhau

Định nghĩa tập con, tập bằng nhau, phép giao, phép hợp, phép hiệu, phép lấy

phần bù của hai tập hợp được SGK Đại số 10 nâng cao trình bày như sau:

Tập A được gọi là tập con của tập B, kí hiệu là A ⊂ B nếu mọi phần từ của tập A đều là phần tử của tập B

H ợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∪ B, là một tập hợp bao gồm tất cả các

ph ần tử thuộc A hoặc thuộc B

A ∪ B = { x | x ∈ A ho ặc x ∈ B }

Giao c ủa hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∩ B, là tập hợp bao gồm tất cả các phần

t ử thuộc cả A và B

A ∩ B = { x | x ∈ A và x ∈ B }

Cho A là t ập con của E Phần bù của A trong E, kí hiệu là C E A là t ập hợp tất cả các

ph ần tử của E mà không phải là phần tử của A

Hi ệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A \ B , là m ột tập hợp bao gồm tất cả các

ph ần tử thuộc A nhưng không thuộc B

A \ B = { x | x ∈ A và x ∉ B }

Như vậy, sách Đại số 10 nâng cao cũng đã phần nào thể hiện mối liên hệ giữa logic và tập hợp Cụ thể trong phần trình bày lý thuyết về một số khái niệm cơ bản của tập hợp, SGK đã dùng các phép toán trên mệnh đề để định nghĩa các khái niệm của tập hợp Mệnh đề kéo theo tương ứng với quan hệ bao hàm giữa hai tập hợp,

mệnh đề tương đương tương ứng với quan hệ bằng nhau giữa hai tập hợp, mệnh đề

hội tương ứng với kết quả của phép giao hai tập hợp, mệnh đề tuyển tương ứng với

kết quả của phép hợp hai tập hợp, và mệnh đề phủ định tương ứng với phép lấy phần bù

Chính vì có sự tương ứng 1-1 trên mà trong nhiều trường hợp, ta có thể chuyển đổi ngôn ngữ tập hợp và ngôn ngữ logic cho nhau, không những trong việc trình bày lý thuyết và trong phần bài tập cũng vậy Chẳng hạn, khi xét tính đúng sai của

mệnh đề ∀x∈ R, x ∈ (2,1; 5,4) ⇒ x ∈ (2;5), SGK đã không sử dụng tính đúng sai của mệnh đề dạng ∀x∈ X, P(x)) ⇒ Q (x) mà ưu tiên chuyển sang ngôn ngữ tập hợp

tương ứng để giải quyết: vì (2,1; 5,4) ⊂ (2;5), nên mệnh đề trên là mệnh đề đúng (bài tập 29, SGK Đại số 10 nâng cao, trang 21)

Tóm lại, bằng việc trình bày mối liên hệ cơ bản trên, SGK đã cung cấp đủ tri

thức cần dạy cần thiết, làm cơ sở cho những sự chuyển đổi giữa ngôn ngữ logic và ngôn ngữ tập hợp ở những nội dung tiếp theo trong chương trình

1.4 Vài kết luận

Các phép toán trên mệnh đề được đưa vào giảng dạy tường minh lần đầu tiên ở bài 1, chương 1, chương trình Đại số lớp 10 hiện hành Phép phủ định, kéo theo, tương đương không được giới thiệu tương ứng như là những phép toán một ngôi, hai ngôi trên tập hợp các mệnh đề mà được giới thiệu thông qua mệnh đề phủ định,

mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương Còn phép hội, phép tuyển thì được SGV yêu cầu né tránh bằng cách dùng từ “và”, “hoặc” của ngôn ngữ thông thường, hoặc dùng kí hiệu “{”, “[” thay thế khi cần Không có sự tương ứng 1-1 giữa phép hội, (phép tuyển) và hai cách thể hiện này Thế nhưng SGK không giải thích gì thêm về

nghĩa của các liên từ “và”, “hoặc” mỗi khi chúng xuất hiện

Các phép phủ định, phép hội, phép tuyển tuân theo các luật như luật giao hoán,

kết hợp, phân phối, quy tắc De Morgan… là cơ sở của nhiều phép chứng minh toán

học, nhưng cũng không được SGK giới thiệu

Liên quan đến phép phủ định: có hai tổ chức toán học được xây dựng liên quan đến hai kiểu nhiệm vụ: T1 (Lập mệnh đề phủ định) và T2 (Xét tính đúng sai của

mệnh đề phủ định)

Có thể nói kiểu nhiệm vụ T2 là rất quan trọng và rất thường gặp trong tương lai,

thế nhưng chỉ có tất cả 9 câu, và sách chỉ cung cấp những mệnh đề đơn, mệnh đề

phủ định, mệnh đề có chứa lượng từ ∀, ∃, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương Chúng tôi tự hỏi HS sẽ ứng xử thế nào khi gặp bài toán yêu cầu xác định tính đúng sai của mệnh đề dạng “∀x ∈ X, P(x) ∧ Q(x)” trong tương lai?

Đối với kiểu nhiệm vụ T1, học sinh chỉ được làm quen với mệnh đề phủ định

của mệnh đề đơn và của mệnh đề có chứa lượng từ “với mọi”, “tồn tại” mà thôi Cả SGK và SBT đều không đặt ra nhiệm vụ lập mệnh đề phủ định của mệnh đề hội,

mệnh đề tuyển, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương

Những phân tích chi tiết ở cả phần bài học lẫn phần bài tập đã cho phép chúng tôi phát biểu quy tắc hợp đồng thể chế R1: “Nếu mệnh đề cho trước được phát

bi ểu bằng ngôn ngữ thông thường thì mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng ngôn ng ữ thông thường, nếu mệnh đề cho trước bằng kí hiệu logic thì mệnh đề

ph ủ định cũng phát biểu bằng kí hiệu logic”

Ngoài ra, chúng tôi còn dự đoán giả thuyết về sự tồn tại ở học sinh quy tắc hành

động R2: “luôn và chỉ thêm “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ khi lập

m ệnh đề phủ định” Chúng tôi sẽ cố gắng kiểm chứng sự tồn tại của các quy tắc

R1, R2 nêu trên bằng thực nghiệm ở chương 3

Các phép toán trên mệnh đề không chỉ xuất hiện, tiến triển trong bài 1, chương

1, mà trong tương lai, chúng còn xuất hiện trong các định nghĩa khái niệm, trong các định lý, và trong nhiều bài toán với tư cách là phương tiện để diễn đạt các mệnh

đề toán học, và là công cụ để suy luận, chứng minh (kể cả phép tuyển và phép hội,

dù cho hai phép toán này không được xuất hiện với vai trò là đối tượng nghiên cứu trong SGK) Thật vậy, ngay ở bài 2 Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

cũng đã bước đầu thể hiện điều ấy Cụ thể:

Trong toán học, định lý là một mệnh đề đúng, nhiều định lý được phát biểu dưới dạng

“∀x ∈ X, P(x) ⇒ Q(x)”, (1)

trong đó P(x) và Q(x) là những mệnh đề chứa biến X là một tập hợp nào đó

Ch ứng minh định lý dạng (1) là dùng suy luận và kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh

đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng với mọi x thuộc X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng trên là

đúng (SGK trang 10 )

Rõ ràng các phép toán trên mệnh đề là công cụ để phát biểu định lý, và dĩ nhiên

là một công cụ để suy luận, chứng minh định lý

Với vai trò quan trọng như thế, tri thức liên quan đến các phép toán trên mệnh

đề mà các tác giả đưa vào SGK có đủ để đáp ứng cho yêu cầu của việc dạy và học trong tương lai của giáo viên và học sinh hay không? Có đáp ứng đúng mục đích đã

đề ra ban đầu : “nhằm trình bày chính xác và chặt chẽ các khái niệm toán học, góp

phần trang bị cho học sinh công cụ quan trọng để suy luận, trình bày suy luận, giúp

học sinh tiếp thu, biểu đạt các vấn đề một cách rõ ràng, chính xác” hay không? Việc

bỏ đi phép hội và phép tuyển có gây khập khiễng gì trong chương trình hay không? Chúng tôi sẽ cố gắng tìm kiếm các yếu tố để trả lời cho những câu hỏi này ngay trong chương tiếp theo sau đây của luận văn

chọn này tác động như thế nào đến đối tượng học sinh?

Cụ thể, chúng tôi sẽ lựa chọn khảo sát một số nội dung tiếp theo trong chương trình để thấy rõ hơn vai trò công cụ của các phép toán trên mệnh đề trong dạy học toán phổ thông, với sự quan tâm đặc biệt đến phép phủ định, phép hội và phép tuyển (vì những ràng buộc đặc biệt của thể chế đối với các phép toán này như đã phân tích ở chương 1) Ngoài ra, chúng tôi sẽ cố gắng phân tích sự lựa chọn sư

phạm của tác giả SGK khi dạy học các nội dung có sự tham gia của phép tuyển, phép hội, đồng thời dự đoán những ảnh hưởng của sự lựa chọn sư phạm này đến đối tượng học sinh, dự đoán những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải Qua đó, chúng tôi hy vọng sẽ đánh giá được phần nào sự ảnh hưởng của những điều kiện và ràng

buộc thể chế đối với các phép toán trên mệnh đề ở chương 1 đến việc dạy học các

nội dung khác trong chương trình

Các phép toán trên mệnh đề tham gia trong rất nhiều nội dung dạy học với vai trò công cụ Vai trò công cụ của các phép toán trên mệnh đề thể hiện trong việc diễn đạt các mệnh đề toán học (định nghĩa khái niệm, định lý,…), trong suy luận, chứng minh, tìm kiếm và trình bày lời giải cho các bài toán

Chúng tôi chọn ba nội dung thuộc SGK Đai số 10 nâng cao để phân tích và sẽ

phân tích theo thứ tự xuất hiện của chúng trong SGK Trong đó, nội dung tính chẵn

lẻ của hàm số được phân tích chi tiết hơn hai nội dung kia về sự lựa chọn sư phạm

của các tác giả SGK, và những ảnh hưởng đến đối tượng học sinh (vì những ghi

nhận đặc biệt sẽ được trình bày trong mục 2.2)

2.1 Bài toán chứng minh bằng phản chứng

Phép chứng minh phản chứng được SGK giới thiệu ở bài §2 Áp dụng mệnh đề

vào suy lu ận toán học, ngay sau khi trình bày một số lý thuyết cơ bản của mệnh đề

Để chứng minh mệnh đề dạng “∀x∈ X, P(x)⇒ Q(x)” đúng bằng phản chứng, ta giả

sử rằng mệnh đề này sai, nghĩa là tồn tại x0 thuộc X sao có P (x0) đúng và Q (x0) sai Sau đó dùng suy luận và những kiến thức toán học đã biết để đi đến mâu thuẫn (Đại số 10 nâng cao, trang 10) Trong bài toán chứng minh bằng phản chứng, đôi

khi ta gặp trường hợp mệnh đề Q(x) dạng mệnh đề hội hay mệnh đề tuyển (dạng “A

và B”, “A ho ặc B”, chẳng hạn như:

Bài tập 1.24 SBT Đại số 10 nâng cao, trang 11:

Hãy phát bi ểu và chứng minh định lý đảo của định lý sau (nếu có) rồi sử dụng thuật ngữ điều kiện

“cần và đủ” để phát biểu gộp cả hai định lý thuận và đảo:

Nếu m, n là hai số nguyên và mỗi số đều chia hết cho 3 thì tổng m 2

+ n 2 cũng chia hết cho 3

Lời giải:

Định lý đảo: “Nếu m, n là hai số nguyên dương và m 2+ n 2 chia hết cho 3 thì cả m

và n đều chia hết cho 3”

Để chứng minh định lý này bằng phản chứng, ta phải giả sử: m 2+ n 2 chia hết cho

3, nhưng m hoặc n không chia hết cho 3, nghĩa là xảy ra hai trường hợp sau:

TH1: một số không chia hết cho 3, số kia chia hết cho 3 thì rõ ràng tổng bình phương hai số đó không chia hết cho 3 (mâu thuẫn)

TH2: cả m và n đều không chia hết cho 3 Nếu m = 3k +1 hoặc m = 3k + 2 thì ta đều có m 2 = 9k2 + 6k +1 chia 3 dư 1, thành thử m 2 + n 2chia 3 dư 2 (mâu thuẫn) Định lý được chứng minh

Vậy: điều kiện cần và đủ để m 2+ n 2 chia hết cho 3 (m, n ∈ N* là cả m và n đều chia

hết cho 3

Nh ận xét: Trong tình huống này, nếu HS không hiểu đúng nghĩa từ “và”, không

biết lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “cả m và n đều chia hết cho 3” thì bài giải