nghiên cứu dạy học các phép toán ở trường trung học cơ sở, trường hợp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Vì vậy nếu không quan tâm rèn luy ện cho học sinh những kĩ năng tính toán ngay từ nhỏ thì không đáp ứng được yêu cầu của đời sống lao động” Phạm Gia Đức, 2000, P hương pháp dạy học môn

1

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê H ữu Phước

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ:

TRƯỜNG HỢP TÍNH CHẤT PHÂN PHỐI

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

2

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê H ữu Phước

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ:

TRƯỜNG HỢP TÍNH CHẤT PHÂN PHỐI

Chuyên ngành : Lý lu ận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã s ố : 60 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2013

1

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích dẫn nêu trong lu ận văn đều chính xác và trung thực

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán, Thư viện Trường THCS Bình quận 8 đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ trong quá trình học cũng như thực nghiệm Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả những người bạn của tôi, những người

An-đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình tôi, đặc biệt là cha và mẹ tôi đã lo lắng, động viên, là động lực và cung ứng mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành khóa học này

Lê Hữu Phước

3

M ỤC LỤC

L ỜI CAM ĐOAN 1

L ỜI CẢM ƠN 2

M ỤC LỤC 3

DANH M ỤC VIẾT TẮT 5

M Ở ĐẦU 6

1 Ghi nh ận ban đầu 6

2 Khung lí thuy ết tham chiếu 8

3 Câu h ỏi nghiên cứu 10

4 Phương pháp nghiên cứu 10

CHƯƠNG 1: TÍNH PHÂN PHỐI CỦA PHÉP NHÂN ĐỐI VỚI PHÉP CỘNG TRONG GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC 12

1.1 Giáo trình Đại số đại cương 12

1.2 Giáo trình S ố học 15

1.3 S ự mở rộng các cấu trúc đại số và các con đường mở rộng các tập hợp số 17

1.4 V ề khái niệm chữ 18

CHƯƠNG 2: TÍNH CHẤT PHÂN PHỐI CỦA PHÉP NHÂN ĐỐI VỚI PHÉP C ỘNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ 23

2.1 Phân tích chương trình toán THCS giai đoạn 1994- 2002 24

2.2 Phân tích ch ương trình toán THCS hiện hành 25

2.3 Phân tích Sách giáo khoa giai đoạn 1994-2002 26

2.3.1 Sách giáo khoa Toán 6 26

2.3.2 Sách giáo khoa Toán 7 28

2.4 Các t ổ chức toán học (giai đoạn 1994-2002) 31

2.4.1 Toán 6 31

2.4.2 Toán 7 32

2.5 Phân tích sách giáo khoa hi ện hành 38

2.5.1 Sách giáo khoa Tiểu học : Toán 4 38

2.5.2 Sách giáo khoa toán 6 45

2.5.3 Sách giáo khoa Toán 7 48

2.6 Các t ổ chức toán học (giai đoạn hiện hành) 49

2.6.1 Toán 6 49

2.6.2 Toán 7 54

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 63

3.1 Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm 63

3.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) 64

3.2.1 Nội dung các bài toán thực nghiệm 64

3.2.2 Xây dựng các bài toán thực nghiệm 65

4

3.2.3 Phân tích chi tiết các bài toán 66

3.3 Phân tích hậu nghiệm (posteriori) 71

K ẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

PHỤ LỤC 79

5

DANH MỤC VIẾT TẮT

THCS : Trung học cơ sở SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập

6

M Ở ĐẦU

1 Ghi nh ận ban đầu

1.1 Ghi nhận 1

Trong thực tế đời sống, trong kinh doanh, trong sản xuất,… người ta thường cần đến một số

kĩ năng tính toán như: tính nhanh, tính đúng, tính hợp lí, nhưng không phải lúc nào cũng

có sẵn giấy bút hay máy tính Trong khi có nhiều trường hợp dạy học Toán, một số người lại nghĩ rằng học toán là chỉ cần nắm vững lí thuyết, có ý tưởng tìm được hướng giải quyết bài toán là đủ Theo tác giả Phạm Gia Đức :

“Th ực tế có tình trạng không ít giáo viên coi nhẹ vấn đề này, cho rằng học sinh

ch ỉ cần học sinh nắm khái niệm, quy tắc, định lí”… “vả lại trong không ít ngành ngh ề, công việc thường xuyên là tính toán, làm đi làm lại những bài toán cụ thể,

có khi là r ất đơn giản và không phải lúc nào cũng đầy hứng thú Vì vậy nếu không quan tâm rèn luy ện cho học sinh những kĩ năng tính toán ngay từ nhỏ thì không đáp ứng được yêu cầu của đời sống lao động” (Phạm Gia Đức, 2000,

P hương pháp dạy học môn toán tập 2, tr.29)

Tác giả cũng nhấn mạnh về vai trò của tính nhanh :

“[ ] cách tính nhanh g ọn, hợp lí là tiêu chuẩn cần có của một lời giải đẹp, việc tìm ki ếm cách tính nhanh gọn, hợp lí còn góp phần rèn luyện phẩm chất linh hoạt sáng t ạo của tư duy, nó cũng góp phần rèn luyện thói quen giải quyết vấn đề thực

ti ễn với phương pháp hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm, một điều cần thiết cho cuộc

s ống lao động sau này” (Phạm Gia Đức, 2000, Phương pháp dạy học môn toán

t ập 2, tr.30)

và của tính nhẩm :

“[ ] tính nh ẩm có tác dụng phát triển về quan sát, óc sáng tạo và phát triển trí

nh ớ cho học sinh” (Phạm Gia Đức, 2000, Phương pháp dạy học môn toán tập 2, tr.32)

Để thực hiện được những yêu cầu trên thì việc sử dụng các tính chất của các phép toán là rất

cần thiết trong đó có vai trò đặc biệt của tính chất phân phối của phép nhân đối với phép

cộng Hơn nữa, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng còn có những vai trò quan trọng khác:

7

“[ ] cùng v ới quy tắc thực hiện phép toán và tính chất của mỗi phép toán, nhiều tính ch ất khác về các phép toán trên Z cũng cần giới thiệu với học sinh và cho họ luy ện tập thành thạo như: quy tắc bỏ dấu ngoặc, tính chất đổi dấu các thừa số trong tích hai s ố Các tính chất đó cùng với tính phân phối của phép nhân với phép c ộng và phép trừ, là cơ sở của nhiều phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số Đặc biệt là tính chất

a.b = 0 thì a = 0 ho ặc b = 0 là cơ sở để có thể giải các phương trình tích sau này” (Ph ạm Gia Đức, 2000, Phương pháp dạy học môn toán tập 2, tr.24)

Chúng tôi tự hỏi : Liệu trong sách giáo khoa hiện hành, tính chất phân phối của phép nhân

đối với phép cộng có thể hiện nội dung này không?

1.2 Ghi nhận 2

Thực tiễn dạy học chúng tôi nhận thấy tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng thường được sử dụng hai chiều, đặc biệt là chiều ngược lại của tính chất này

Về các phép toán cơ bản, có những tính chất chỉ đúng cho một số phép toán nhưng chưa

chắc đúng cho những phép toán ngược của phép toán đó, trong đó có tính chất phân phối

của phép nhân đối với phép cộng : tính chất này đúng cho phép nhân ở cả hai hình thức là

một tổng nhân với một số và một số nhân với một tổng nhưng chưa chắc đã đúng cho phép chia trong trường hợp một số chia cho một tổng Cũng chính từ thực tiễn dạy học, chúng tôi quan sát thấy học sinh thường mắc phải sai lầm khi gặp trường hợp này, mà chủ yếu theo chiều ngược lại, khi áp dụng cho dạng bài tập tính nhanh, tính hợp lí

Để kiểm chứng nhận định nêu trên, chúng tôi đã tiến hành một khảo sát nhỏ trên đối tượng

là học sinh lớp 7, cụ thể là lớp 7A1 Trường THCS Bình An Hình thức khảo sát là cho học sinh làm hai bài toán mà chúng tôi sẽ trình bày sau đây (bài toán được cho dựa trên bài tập

đã được đề cập trong SGK Toán 7 hiện hành)

Các số được cho trong bài toán đều là phân số, học sinh phải tính toán phức tạp hơn so với

số nguyên vì nếu tính toán bình thường học sinh sẽ phải quy đồng mẫu số Học sinh đặt thừa

số chung thì trong ngoặc sẽ xuất hiện các phân số cùng mẫu, mà việc đơn giản hai phân số cùng mẫu sẽ đơn giản hơn Hơn nữa trong cả hai bài toán, đề bài đều có xuất hiện một lượng

thừa số chung Đó cũng là một nguyên nhân dẫn học sinh đến việc nghĩ phải đặt thừa số chung quen thuộc

Hơn nữa đã xuất hiện sai lầm trong câu b, như chúng tôi đã nhận định ở trên khi học sinh sử

2 Khung lí thuy ết tham chiếu

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc vận dụng các

yếu tố lí thuyết sau đây:

2.1 Lý thuyết nhân chủng học

9

Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “Quan hệ thể chế”,

“quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”

“M ột tri thức không tồn tại “lơ lửng” trong một khoảng rỗng: mỗi tri thức đều xuất

hi ện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định, như là cắm sâu vào một

ho ặc nhiều thể chế” (Chevallard, 1989)

Theo Chevallard: “Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với đối tượng O là tập hợp

những tác động qua lại mà X có thể có đối với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó,…Quan hệ cá nhân đối với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết về O” trong đó cần xác định rõ rằng đối tượng tri thức O mà chúng tôi cần quan tâm ở đây là tính chất phân

phối của phép nhân đối với phép cộng và cá nhân X là học sinh

Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học và việc nghiên cứu đó phải đặt R(X,O) trong R(I,O) Các praxéologie

là một khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định

mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một

bộ phận gồm bốn thành phần [Τ ,τ,θ, Θ]trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ

Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến một đối tượng tri thức O cho phép chúng tôi làm rõ mối quan hệ của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân

X duy trì đối với tri thức O

2.2 Quy tắc hành động

Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến

thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định Quy

tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với

các quy trình hay câu trả lời của học sinh

Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh,

vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống Những tình huống đó xác định

phạm vi hợp thức của quy tắc hành động Thông thường thì phạm vi hợp thức này không

rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà

học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy

tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó

10

3 Câu h ỏi nghiên cứu

Câu 1 Ở cấp độ tri thức bác học, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng có

những đặc trưng gì?

Câu 2 Mối quan hệ thể chế gắn với đối tượng tính chất phân phối của phép nhân đối với

phép cộng có những đặc trưng gì? Có những tổ chức toán học nào xoay quanh đối tượng trên?

Câu 3 Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh với

đối tượng tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng? Những sai lầm, khó khăn nào học sinh thường gặp phải liên quan đến đối tượng trên? Nguyên nhân của

những sai lầm, khó khăn đó?

4 Phương pháp nghiên cứu

Từ những ghi nhận ban đầu, chúng tôi tiến hành lựa chọn khung lí thuyết tham chiếu và đưa

ra hệ thống câu hỏi nghiên cứu

Sơ đồ nghiên cứu:

Sơ đồ 1.1 phương pháp nghiên cứu

NGHIÊN C ỨU THỰC NGHIỆM

Quan hệ cá nhân của học sinh

NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC:

Giáo trình đại học

NGHIÊN CỨU TRI THỨC

C ẦN GIẢNG DẠY:

Th ể chế dạy học Toán cấp THCS giai đoạn 1994-2002

NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY:

Th ể chế dạy học Toán cấp THCS hiện hành

11

+ Chúng tôi dành chương 1 để nghiên cứu đối tượng tính chất phân phối của phép nhân đối

với phép cộng ở độ tri thức khoa học nhằm trả lời cho câu hỏi thứ nhất Cụ thể chúng tôi

tiến hành tìm hiểu và phân tích ở một số giáo trình đại học Đây cũng là một phần cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học ở chương 2

Vì điều kiện không cho phép nên chúng tôi không tìm hiểu lịch sử hình thành và quá trình phát triển của đối tượng

+ Chúng tôi dành chương 1 cho phân tích mối quan hệ thể chế nhằm mục đích trả lời cho câu hỏi thứ hai Cụ thể:

Chúng tôi tiến hành phân tích và đối chiếu đặc trưng của đối tượng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong chương trình, SGK hiện hành và chương trình, SGK giai đoạn 1994-2002 Cơ sở tham chiếu cho phần phân tích này là nghiên cứu tri thức khoa học liên quan đến đối tượng đã được trình bày ở chương 1 của luận văn

Sự lựa chọn này được giải thích sơ lược như sau:

SGK hiện hành và SGK giai đoạn 1994-2002 là hai bộ SGK ở hai giai đoạn liên tiếp nhau

Do đó chúng tôi nghĩ rằng chương trình, SGK hiện hành có mối liên hệ rất gần với chương trình, SGK giai đoạn 1994-2002

Qua việc tìm hiểu và quan sát các bộ SGK ở hai giai đoạn này thì chúng tôi nhận thấy có nhiều điểm giống và khác nhau cả về nội dung lẫn hình thức trình bày Cụ thể là khi thay đổi chương trình và SGK thì có nhiều nội dung được giữ lại, nhưng cũng có những nội dung

mới được thêm vào và lượt bỏ bớt những nội dung cũ

Sau khi phân tích chương trình và SGK, chúng tôi tiến hành tổng hợp lại để đưa ra dự kiến

những sai lầm, khó khăn mà học sinh có thể gặp phải và từ đó đưa ra giả thuyết nghiên cứu + Chúng tôi dành chương 3 cho phần thực nghiệm nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi thứ 3 vì câu hỏi này liên quan đến sự ảnh hưởng của thể chế lên quan hệ cá nhân học sinh.Vì vậy để

trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh

Hình thức thực nghiệm trên đối tượng học sinh là bài toán thực nghiệm, thông qua những bài làm và câu trả lời của học sinh, chúng tôi tin rằng sau khi phân tích sẽ chỉ rõ được sự ảnh hưởng của thể chế lên quan hệ các nhân này và tính thỏa đáng của các giả thuyết đưa

12

CỘNG TRONG GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC

Trong chương này chúng tôi quyết định chọn và phân tích hai bộ giáo trình vốn được chọn làm tài liệu giảng dạy tại trường ĐHSP TP.HCM là các giáo trình:

- Đại số đại cương của tác giả Hoàng Xuân Sính (NXBGD 2007)

- S ố học của tác giả Đậu Thế Cấp (NXBGD 2005)

1.1 Giáo trình Đại số đại cương

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng được xuất hiện trong định nghĩa vành:

Ta g ọi là vành một tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi đã cho trong X kí

hi ệu theo thứ tự bằng các dấu + và (người ta thường kí hiệu như vậy) và gọi là phép c ộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

X cùng v ới phép cộng là một nhóm aben

X cùng v ới phép nhân là một nửa nhóm

Phép nhân phân ph ối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x, y, z∈ X ta có

để định nghĩa một số khái niệm khác như miền nguyên, trường,…

Điểm đáng lưu ý là tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng được đưa ra dưới

cả hai hình thức là một phần tử nhân với một tổng và một tổng nhân với một phần tử, điều này có thể giải thích vì với phép nhân này thì tập hợp X chỉ là nửa nhóm nên có thể chưa có

yếu tố giao hoán

Hơn nữa là trong đại số mà đặc biệt vành người ta chủ yếu quan tâm tới hai phép toán là phép cộng và phép nhân, phép toán ngược của phép cộng là phép trừ cũng dần được đưa

13

vào, nhưng phép toán ngược của phép nhân là phép chia chưa được đề cập trong vành mà nó được đề cập ở một khái niệm đại số khác là trường

Một câu hỏi được đặt ra là: ngoài vai trò là điều kiện của khái niệm vành như trên thì tính

chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng còn đóng vai trò gì trong một vành X? Hệ

quả của tính chất này đối với phép trừ và phép chia (hai phép toán ngược của phép cộng và nhân)?

Định lý sau đây sẽ trả lời cho câu hỏi này:

Ngoài các tính ch ất là nhóm cộng giao hoán và một nửa nhóm nhân, một vành còn có m ột số tính chất được suy ra từ luật phân phối

Theo lu ật phân phối ta có xy=x( (y− +z) z)=x y( − +z) xz

ta suy ra x y( −z)=xy−xz đẳng thức thứ hai cũng được chứng minh tương tự Theo (i) ta có 0x=(y−y x) = yx−yx= = 0 xy−xy=x y( −y)=x0

T ừ (i) và (ii) ta được:

n ếu n lẻ (Hoàng Xuân Sính, 2007, tr.80)

Như vậy ở đây tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng đóng vai trò công cụ để xây dựng một số tính chất quan trọng khác

14

Nh ận xét:

Theo các tính chất ở trên thì tính chất (i) là tính chất phân phối của phép nhân đối với phép

trừ, tính chất này được chứng minh dựa trên cơ sở là tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Nếu đưa các kết quả trên vào các tập hợp số, mà điển hình là vành số nguyên ℤ thì tính chất

(ii) là cở sở giải thích vì sao tích một số nhân với 0 bằng 0, kết quả được quy ước ở chương trình phổ thông

Tương tự như vậy, tính chất (iii) giải thích cho các quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu, hai

số nguyên trái dấu

Trong một vành chỉ thực hiện được ba phép toán là phép cộng, trừ và phép nhân Phép chia phép toán ngược của phép nhân không thực hiện được trong vành mà thực hiện được trong

một trường Tuy nhiên theo tài liệu này sau khi định nghĩa trường thì không còn nhắc lại tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và hệ quả của nó đối với phép chia,

mọi phép chia đều đưa về phép nhân thông qua mối quan hệ phần tử nghịch đảo

Nếu xét trong trường hợp các tập hợp số thì:

ℕ là nhóm con của vành ℤ (phép cộng và phép nhân thông thường)

ℤ là vành con của trường ℚ

ℚ là trường con của trường đầy đủ ℝ

ℝ là trường con của trường đóng đại số ℂ

Trong đó ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ lần lượt là tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số

phức

Như vậy, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng còn đóng vai trò giải thích

một số kết quả toán học mà cụ thể là các kết quả thường quy ước, hay đó là quy tắc tính toán số học như chúng tôi đã phân tích ở trên

Theo những phân tích trên ta có thể thấy được tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng được xuất hiện trong vành các số nguyên ℤ và được bảo toàn trong các tập hợp

số ℚ, ℝ, ℂ

Vấn đề đặt ra là : theo những phân tích ở trên thì trong đại số tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng được xuất hiện khái niệm vành Trong các tập hợp số bắt đầu là vành số nguyên ℤ Vậy có chứng minh nào cho việc đưa tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng vào tập hợp số tự nhiên ℕ?

0 không ph ải là số kề sau của bất kì số tự nhiên nào

V ới mọi số tự nhiên n có một và chỉ một số tự nhiên n’ kề sau nó

N ếu số tự nhiên m là kề sau của số tự nhiên n và m cũng là kề sau của số tự nhiên

Phép nhân s ố tự nhiên được định nghĩa quy nạp như sau:

ta có tích m.n v ới mọi cặp số tự nhiên m,n

Nh ận xét: kí hiệu 0’=1, với mợi n∈ℕ ta có:

mà chỉ gọi là “tính chất phân phối” điều đó có nghĩa là khi nói đến tính chất phân phối nghĩa

là nhằm nói đến tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Tính chất này (iii) không được tác giả trình bày chứng minh trong tài liệu mà dựa vào những

chứng minh tương tự trong tài liệu này, chúng tôi trình bày chứng minh quy nạp theo p như

sau:

Theo định nghĩa phép nhân ta có (iii) đúng với p=0

Nếu đẳng thức đúng với p tức là p m.( +n)= p m +p n. thì theo định nghĩa phép nhân:

( ) ( ) ( )

p m+n = p m+n + m+n = p m+p n+ + =m n p m+ +m pn+ =n p m+p n

Như vậy đẳng thức được chứng minh

Có thể khẳng định được rằng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng có mặt trong tập hợp số tự nhiên là đã được chứng minh, theo cách xây dựng hệ tiên đề về số tự nhiên

Giáo trình này chỉ quan tâm một hình thức tính chất phân phối của phép nhân đối với phép

cộng (một số nhân với một tổng) mà không quan tâm đến những hệ quả của tính chất này Thông qua những kết quả trên, chúng tôi tổng hợp lại những ghi nhận như sau:

Cả hai bộ giáo trình chủ yếu quan tâm đến phép nhân, phép cộng và những lí thuyết đại số được xây dựng dựa trên hai phép toán này nói chung và trường hợp tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng nói riêng

Tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng xuất hiện dưới hai hình thức nhưng được

ưu tiên dưới hình thức một số nhân với một tổng Đã xuất hiện công thức tính phân phối của

17

phép nhân đối với phép trừ Phép toán ngược của phép nhân là phép chia, ít được đề cập và tính chất “một tổng chia cho một số” không được các giáo trình đề cập

1.3 S ự mở rộng các cấu trúc đại số và các con đường mở rộng các tập hợp số

Sự mở rộng các câu trúc đại số mà chúng tôi nghiên cứu được từ giáo trình “Đại số đại cương” của tác giả Hoàng Xuân Sính như sau:

Nửa nhóm nhómvànhmiền nguyêntrường

Trong nửa nhóm hoặc nhóm chỉ thực hiện được một phép toán, trong vành thực hiện được hai phép toán do đó xuất hiện phép trừ như là phép cộng với phần tử đối và người ta xem phép cộng và phép trừ là một Trong một trường phép chia được thực hiện như là phép nhân

với phần tử nghịch đảo, do đó phép nhân và phép chia người ta cũng xem như là một Nói cách khác là không có sự phân biệt giữa phép cộng với phép trừ, giữa phép nhân với phép chia Xét trên tập hợp số thì (N,+) chỉ là nửa nhóm mà trong nửa nhóm thì chỉ có một phép toán nên không có tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Nhưng (N,.) cũng

là nữa nhóm Vậy trong tập hợp N có hai phép toán cộng và nhân nên có thể có tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và điều này đã được chứng minh nhờ vào quan

Nếu xét về sự mở rộng các tập hợp số thì có hai con đường trình bày sự mở rộng các hệ

thống số Con đường thứ nhất là theo sự mở rộng các cấu trúc đại số, xuất phát từ hệ thống

số tự nhiên N, người ta có thể xây dựng hệ thống số nguyên Z, hệ thống số hữu tỉ Q, hệ

thống số thực R rồi tới hệ thống số phức Con đường thứ 2 là theo chiều dài phát triển của

lịch sử toán học, đi từ hệ thống số tự nhiên N qua hệ thống số biểu diễn bởi phân số Q+( tức

là hệ thống số hữu tỉ không âm) tới hệ thống số hữu tỉ Q, còn hai bước sau thì giống con đường thứ nhất” (trang 8,9) Ta có thể sơ đồ hóa hai con đường trên như sau: NZQR

và NQ+QR Cũng theo SGV6: “Chương trình mới chủ trương mở rộng hệ thống số

18

hoàn toàn theo con đường thứ nhất NZQR” (trang 9) Đây cũng là con đường thường được sử dụng trong khoa học toán để mở rộng các tập hợp số vì con đường này thể hiện quá trình mở rộng các cấu trúc đại số, đó là sự phát triển trong nội tại toán học như do nhu cầu

của việc luôn thực hiện được phép trừ , luôn thực hiện được phép chia,… trong việc thực

hiện các phép toán trên cùng một tập hợp số Như vậy ta thấy rằng những phép toán không

những giúp ta thực hiện tính toán, giải toán,… mà việc thực hiện được hay không một phép toán còn là 1 trong những nguyên nhân dẫn đến việc phải mở rộng tập hợp số, nói xa hơn thì chính là quá trình mở rộng các cấu trúc đại số

Mặc dù khi xây dựng các tập hợp số, SGK Toán THCS hiện hành đã đi theo con đường mở

rộng các cấu trúc đại số như đã nói ở trên, nhưng xây dựng số nguyên SGK không đặt vấn

đề như là một yêu cầu của việc mở rộng một vị nhóm cộng N thành nhóm cộng Z, SGK lại đặt vấn đề thông qua những ví dụ thực tiễn hay toán học như là nhiệt độ, độ cao trung bình,lãi, nợ,… để cho học sinh thấy được sự cần thiết phải mở rộng tập hợp số tự nhiên,việc

“mở rộng tập hợp số tự nhiên thành tập hợp số nguyên thông qua hình ảnh trục số(mở rộng tia số thành trục số)”(SGV 6 tập một) Tuy nhiên theo SGV 6 (tập 2) “ Việc mở rộng Z ở đây được đặt ra như một yêu cầu phát triển của nội bộ toán học: Mở rộng Z thành một tập

hợp số mới để phép chia thực hiện được với mọi số khác 0.”

Trong tập hợp R các phép toán được thừa hưởng từ các tập hợp số trước đó nên phép chia không được xây dựng thông qua nhân với phần tử nghịch đảo, đó cũng là một nguyên nhân

dẫn đến học sinh mắc sai lầm nêu trên Phần phân tích thể chế ở chương sau sẽ làm rõ hơn nguyên nhân của sai lầm

Theo nghiên cứu của Nguyễn Thiện Chí (2010):

19

“ Đặc trưng khoa học luận của khái niệm chữ

Theo nghiên c ứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt lịch sử, đại số ra đời nhằm giải quy ết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công cụ giải các bài toán thuộc các lĩnh vực khác Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong trào ký hi ệu đại số thành ba giai đoạn:

Giai đoạn “hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử dụng ngôn

ng ữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu vắng cho việc biểu

th ị các biến số Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài toán mà không dùng bất kỳ

m ột sự viết tắt hay ký hiệu nào cả

Gia i đoạn “rút âm từ” (Từ Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã đưa vào

vi ệc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết Đại số “rút âm từ” sử dụng một số viết

t ắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử dụng thường xuyên

h ơn

Giai đoạn “đại số ký hiệu” (từ thời Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử dụng để

ch ỉ các đại lượng : do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử dụng đại số như

m ột công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán” [21, tr.5]

Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu sau: s’ để chỉ ẩn số, δ v

−

ch ỉ bình phương của ẩn số, x v

−

ch ỉ lập phương của ẩn số Bên phải ẩn số hay lũy thừa của

nó Diophante ghi h ệ số, chẳng hạn 2x 5 được viết là δx v

−

β (trong đó β=2) Nh ư vậy, kí

hi ệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu gạch ngang trên đầu, chẳng hạn

α =1,β=2,…Vi ệc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ

v ật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn dần thành x

Vài th ế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và để chỉ bình ph ương, chẳng hạn 3x 2

+ 10x Theo cách vi ết của Brakhmagupta (thế kỉ thứ 7) có dạng

nh ư sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương)

Cu ối thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L Pacioli dùng kí hiệu

p (là ch ữ đầu của plus có nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu m (là ch ữ đầu

c ủa minus có nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ

M ột bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu toán học là việc F Vìète (1591), đưa vào kí hiệu chữ để chỉ các đại lượng không đổi tùy ý: đó là các phụ âm thông

20

th ường trong bảng chữ cái la tinh b, d…Điều này lần đầu tiên cho phép viết các phương trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng Để chỉ các ẩn số Vìète dùng các nguyên âm a, e…

Nhà bác h ọc Pháp R Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số có bộ mặt như hiện

nay khi kí hi ệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và các đại lượng

đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng a 2

c ủa giải tích toán học, trong đó sự biến thiên liên tục của một đại lượng thường tương ứng

v ới sự biến thiên liên tục của một đại lượng khác, là hàm của nó”

Tóm l ại, khái niệm chữ có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau:

- Đã xảy ra sự chuyển biến từ đại số bằng lời tới đại số kí hiệu bằng cách rút gọn (viết

t ắt) các từ, rồi bằng cách đưa ra các kí hiệu Điều này đã thể hiện bước chuyển quan trọng

t ừ việc thực hiện các phép toán trên tập hợp các số cụ thể sang tập hợp các số biểu thị bằng

ch ữ

- V ề mặt lịch sử khái niệm ẩn số xuất hiện trước khái niệm biến số: chữ được dùng để

bi ểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó được sử dụng để biểu thị một tập hợp giá trị

- Các kí hi ệu chữ có nhiều vai trò khác nhau : dùng chữ để ghi số, chữ chỉ hằng số, ẩn

s ố, biến số, phép toán cộng, trừ, bình phương của ẩn số, lập phương của ẩn số.v.v Điều này cho th ấy tính phức tạp về nghĩa của kí hiệu chữ

Đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ

Theo nghiên c ứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Trong số học chữ dùng để chỉ các đơn

v ị đo hay chỉ các sự vật Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g Khi chuyển sang đại số các

ch ữ dùng để chỉ các số (Booth 1984, Kieran 1991), và biểu thức 5g có thể được giải thích 5*g trong đó g chỉ một số

21

Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ, trong đó

ông phân bi ệt:

- Ch ữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số

- Ch ữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán

- Ch ữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn

- Ch ữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm

- Ch ữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị

- Ch ữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” [21, tr.6]

Theo nghiên c ứu của Phan Thị Hằng (2002) “Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa của các ký hi ệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng:

Trong s ố học, các chữ đã hiện diện, chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12 mét hoặc chỉ 12 môtô (chữ m được dùng như một nhãn hi ệu) Việc chuyển sang đại số kéo theo một sự mở rộng về nghĩa: các chữ bây giờ được dùng để chỉ các số, 12m cũng sẽ có nghĩa là 12 lần số mét, m chỉ một số và với danh nghĩa đó chúng được đưa vào để tính toán (…)

Như vậy, quy chế về nghĩa của các chữ phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể chứ không bị rút g ọn vào ý nghĩa nhãn hiệu Đối với học sinh, sự thay đổi quy chế này không hề được làm

rõ, hơn thế nữa nó được khắc sâu bởi một chuỗi các cách viết cũng như bởi các phương tiện tranh lu ận thông thường kiểu như: để làm cho học sinh hiểu rằng 2x + 3x = 5x, người ta

g ợi ý rằng hãy nghĩ đến x như nghĩ về những quả táo, điều này càng củng cố thêm cách

hi ểu các số thiên về ý nghĩa nhãn hiệu Vì vậy, bước chuyển từ quan niệm này sang quan

ni ệm khác có thể hình thành một chướng ngại quan trọng đối với học sinh.” [19, tr.11]

Phan Th ị Hằng (2002), khi nghiên cứu về “Vai trò, ý nghĩa của các ký hiệu chữ” trong

d ạy học phép chia Euclide ở lớp 6 (theo chương trình cải cách giáo dục) đã chỉ ra rằng:

“Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số

t ự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ vai trò như một chữ số của một số có nhiều chữ

s ố v.v Chính sự phức tạp này có thể gây nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải

gi ải quyết những tình huống trong đó có sự tham gia của các kí hiệu chữ.” [19, tr.61] Đặc

bi ệt, tác giả đã đưa ra kết luận sau: “ Khi đối diện với các tình huống liên quan đến tới phép chia Euclide mà ở đó có sự hiện diện của các chữ, học sinh lớp 6 thường gặp phải

nh ững khó khăn, lúng túng trong việc thực hiện các thao tác với các chữ Đặc biệt, học sinh

- Ch ữ giữ nhiều vai trò khác nhau, chẳng hạn: Chữ được gán giá trị, chữ là một nhãn,

ch ữ chỉ ẩn số, chữ chỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ biến số Điều này cho thấy tính

đa nghĩa của kí hiệu chữ.”

Đây là vấn đề đã từng xuất hiện trong lịch sử Đến đây một câu hỏi được đặt ra: Trong các tình huống có sự hiện diện của a b.( +c)=a b +a c thì a đóng vai trò là một số hay

một tổng? Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này ở các phần sau

“- Ý nghĩa của các ký hiệu chữ được sử dụng khác nhau tùy thuộc vào ngữ cảnh khác nhau Đặc biệt, khi chuyển sang đại số sẽ dẫn đến một sự mở rộng về nghĩa của “ký hiệu

ch ữ”

- Trong trường hợp phép chia Euclide việc thực hiện các thao tác trên tập hợp các số

c ụ thể đã tạo nên chướng ngại cho việc thực hiện các thao tác trên tập hợp các số biểu thị

b ằng chữ.”

V ấn đề đặt ra là:

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng được đưa vào thể chế dạy học toán trung học cơ sở như thế nào? Vai trò của tính chất này?

- Những tính chất được suy ra từ tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

có được thể chế quan tâm?

- Ảnh hưởng của thể chế dạy học lên đối tượng học sinh như thế nào?

Để tìm câu trả lời cho các câu hỏi này, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích thể chế dạy học Toán trung học cơ sở về nội dung này ngay trong chương 2 sau đây

23

VỚI PHÉP CỘNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC Ở TRUNG HỌC

CƠ SỞ

Như chúng tôi đã nói ở phần trước, mục đích của chương này là làm rõ mối quan hệ thể chế

gắn với đối tượng “tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng”

Số học được xem như kết thúc vào những năm đầu THCS sau khi mở rộng và hoàn thiện hệ

thống số tới tập hợp số thực Vì vậy trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ phân tích

“tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng” trong chương trình và SGK các khối

lớp 4, 6 và 7

Chúng tôi tiến hành phân tích chương trình, SGK toán Tiểu học, phân tích chương trình, SGK toán THCS cả hai giai đoạn: giai đoạn hiện hành và giai đoạn 1994- 2002 Chúng tôi xin nói rõ thêm rằng giữa hai chương trình này không có thêm chương trình nào xen giữa Chúng tôi tìm cách trả lời cho những câu hỏi sau:

- Mối quan hệ thể chế với đối tượng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép

cộng có những đặc trưng gì?

- Có thể dự kiến được những sai lầm nào của học sinh khi thao tác với đối tượng này?

Những tài liệu làm cơ sở cho phân tích chương này là:

- Sách giáo khoa toán 4, NXBGD, 2012

- Sách giáo khoa toán 7, NXBGD, 2002

- Sách giáo viên toán 7, NXBGD, 2002

- Sách bài tập toán 7, NXBGD, 2002

- Sách giáo khoa toán 6, NXBGD, 2002

- Sách giáo viên toán 6, NXBGD, 2002

- Sách bài tập toán 6, NXBGD, 2002

- Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng môn toán trung học cơ sở, NXBGD,

2010

- Sách giáo khoa toán 7, NXBGD, 1996

- Sách giáo khoa toán 6, NXBGD, 1996

24

- Phương pháp dạy học môn toán tập 2 (giáo trình đào tạo giáo viên trung học cơ sở,

hệ cao đẳng sư phạm), NXBGD, 2000

2.1 Phân tích chương trình toán THCS giai đoạn 1994- 2002

Về nội dung số học, chương trình được xây dựng dựa trên tinh thần toán học hiện đại hình thành ngầm ẩn các cấu trúc đại số cho học sinh Nhận định này thể hiện rõ qua việc mở rộng các tập hợp số được thể hiện trong các SGK6 và SGK7 Các tập hợp số được mở rộng như

là một yêu cầu của toán học và các yêu cầu đặt ra như việc mở rộng các cấu trúc đại số

“[ ] các c ấu trúc đại số cụ thể (vị nhóm, nhóm, vành, trường…) không được trình bày tr ực tiếp trong chương trình Tên gọi các cấu trúc đó cũng không được

nh ắc đến trong các SGK Tuy nhiên, nhiều nội dung của chương trình cũng như cách trình bày nhi ều nội dung trong các SGK là ngầm thể hiện tinh thần của cấu trúc đại số, hay ngầm thể hiện một số mô hình cụ thể về cấu trúc đại số…” (Phạm Gia Đức, 2000, Phương pháp dạy học môn toán tập 2, tr 128)

Có những tập hợp số được trình bày như những cấu trúc đại số tương ứng:

“[ ] các ki ến thức trong chương I Đại số 7 (cải cách) được viết theo tinh thần

c ủa toán học hiện đại (đặt vấn đề xây dựng tập hợp các số nguyên ℤ như là yêu

c ầu của mở rộng vị nhóm ℕ thành nhóm cộng ℤ và tập hợp các số nguyên ℤ được trình bày v ới cấu trúc của một vành) ; phương pháp suy diễn được sử dụng thường xuyên trong SGK và nhằm chú ý rèn luyện nhiều cho học sinh về khả năng

tư duy trừu tượng, khả năng suy diễn logic.” (SGV Toán 6 tập 1, tr 93)

Về cấu trúc chương trình, SGK mở rộng hệ thống số theo con đường ℕ  ℚ+ trước, sau đó

lại mở rộng từ ℕ ℤ  ℚ Vì vậy nội dung chương Số nguyên được đưa vào chương trình

lớp 7, một sự khác biệt với chương trình hiện hành

Có thể tổng hợp một số ghi nhận như sau:

Tinh thần toán học hiện đại bao phủ nhiều nội dung số học trong chương trình giai đoạn 1994-2002, đặc biệt là việc hình thành ngầm ẩn các cấu trúc đại số thông qua việc mở rộng các tập hợp số, mà tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng đóng vai trò quan

trọng trong một Vành nên đóng vai trò rất quan trọng trong chương trình toán THCS giai đoạn này

25

Chương trình toán THCS giai đoạn này còn chú trọng nhiều đến lý thuyết, có những yêu cầu cao về suy luận logic, khả năng tư duy trừu tượng nên có nhiều bài tập mang tính chứng minh, các bài tập có chứa chữ…Đặc biệt là các bài tập này liên quan trực tiếp đến việc sử

dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

2.2 Phân tích ch ương trình toán THCS hiện hành

So với chương trình giai đoạn 1994- 2002, chương trình hiện hành có những thay đổi đáng

kể cả về nội dung lẫn hình thức trình bày

Trong đó có sự thay đổi cấu trúc chương trình: Chương Số nguyên trong chương trình lớp 7 giai đoạn 1994- 2002 nay được đưa vào chương trình lớp 6 hiện hành

Về quan điểm xây dựng chương trình: Việc mở rộng các tập hợp số được đặt ra như yêu cầu

mở rộng các cấu trúc đại số trong chương trình và SGK giai đoạn 1994-2002 đã bị giảm tải, thay vì yêu cầu đặt ra như là mở rộng các cấu trúc đại số thì chương trình và SGK hiện hành

cố gắng thoát khỏi phạm vi này, mà đó là những yêu cầu xuất phát từ thực tế đời sống, cố

gắng tận dụng tối đa những hình ảnh trực quan giúp cho học sinh có thể quan sát được và dự đoán những kết quả toán học hay nói cách khác học sinh sẽ tự mình xây dựng kiến thức

mới Dẫn chứng cho điều này, chúng tôi ghi nhận từ SGV6 hiện hành:

“Ki ến thức chương II SGK Toán 6 lần này được viết theo quan điểm “giảm nhẹ lí thuy ết kinh viện, tăng thực hành, gắn với thực tiễn thông qua các ví dụ thực tiễn

ho ặc toán học để học sinh thấy được sự cần thiết phải mở rộng tập hợp ℕ; sử

d ụng triệt để hình ảnh trực quan của trục số; các phương pháp suy luận hợp lí trên cơ sở các thao tác tư duy tiền logic như mò mẫm, dự đoán, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa,… được sử dụng nhiều trong SGK (phương pháp suy diễn logic s ẽ được tăng dần ở các lớp trên)…về bài tập: không yêu cầu học sinh làm các d ạng bài tập chứng minh, các bài tập hoàn thiện lí thuyết, hạn chế tối đa các bài t ập chứa chữ” (SGV6, Tr 93)

Về nguyên tắc xây dựng chương trình:

Chương trình giai đoạn 1994-2002 thì:

“Đối chiếu với xu thế của thế giới hiện nay thì chương trình và sách giáo khoa môn toán THCS c ủa nước ta còn quá coi trọng về lí thuyết kinh viện và chưa

26

quan tâm đúng mức đến thực hành Chương trình hiện hành nhiều nước đã thực

hi ện đổi theo hướng giảm lí thuyết kinh viện và tăng yêu cầu thực hành…”

Còn chương trình hiện hành :

“[ ] không quá coi tr ọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức toán h ọc trong chương trình; hạn chế đưa vào những kết quả có ý nghĩa thuần túy và các phép ch ứng minh dài dòng, phức tạp không phù hợp với đại đa số học sinh Tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến

th ức toán học vào đời sống và các môn khoa học khác”(SGV Toán 6, tr 4)

Từ những nhận định trên, chúng tôi tổng hợp lại những thay đổi chương trình giữa hai thời

kì trong bảng sau:

B ảng 2.1 Đối chiếu chương trình 1994-2002 và chương trình hiện hành

Chương trình 1994-2002 Chương trình hiện hành

+ Ngầm thể hiện tinh thần của cấu trúc

+ Giảm nhẹ lí thuyết kinh viện

+Không quá coi trọng tính chính xác của

hệ thống kiến thức

+ Phương pháp suy luận hợp lí trên cơ

sở tư duy tiền logic như mò mẫm, dự đoán,…

+ Tăng yêu cầu thực hành, hạn chế các bài tập chứng minh, bài tập chứa chữ,…

2.3 Phân tích Sách giáo khoa giai đoạn 1994-2002

2.3.1 Sách giáo khoa Toán 6

27

- Bảng số, biểu đồ, máy tính điện tử

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng xuất hiện trong phần C, bài 12: “Phép

nhân Tính ch ất cơ bản của phép nhân”

Trong bài này SGK áp đặt công thức: (a b).c a.c b.c+ = +

Sau khi đưa ra công thức, SGK có đưa ra hai ví dụ bằng số cụ thể để kiểm chứng thấy được

sự hợp lí của công thức trên

Ví dụ: (6 7 8 + ) = 6.8 7.8 + (cùng bằng 104)

4.(1 1 1)+ + = + + =4 4 4 4.3 12=

SGK khẳng định lại:

Ta nói: phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng

Trong ví dụ này có thể thấy rõ rằng: trường hợp đầu tiên được trình bày dưới dạng một tổng nhân với một số, trường hợp này hoàn toàn phù hợp với công thức đưa ra, nhưng ở trường

hợp thứ hai là một số nhân với một tổng Mặc dù không được giải thích rõ ràng nhưng ở trường hợp này có lẽ ngầm thể hiện tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

tồn tại dưới hai hình thức là:

(a + b c) = a.c + b.c và a b( + c)= a.b + a.c

Các tính chất của phép chia được trình bày trong bài 14: “Phép chia Tính chất của phép

chia” Tương tự với phép nhân, tính chất một tổng chia cho một số cũng được áp đặt công

thức: (a + b : c) =a : c + b : c và đưa ra một ví dụ bằng số cụ thể để khẳng định công thức trên:

Ví d ụ: (4 6 : 2 + ) = 4 : 2 6 : 2 + (cùng bằng 5)

Khác với tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, chỉ có một ví dụ để kiểm

chứng lại cho công thức trên Điều đó có thể cũng ngầm ẩn rằng tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng chỉ có một hình thức là một tổng chia cho một số

Tuy nhiên SGK cũng không đưa ra một ví dụ hay bài tập nào để chỉ ra điều này, tức là công

thức một số chia cho một tổng chưa chắc đã đúng Trong khi phép nhân đúng cho cả hai hình thức một số nhân với một tổng, một tổng nhân với một số thì phép chia chỉ đúng cho

trường hợp một tổng chia cho một số mà chưa chắc đã đúng cho trường hợp ngược lại

28

2.3.2 Sách giáo khoa Toán 7

SGK Toán 7 giai đoạn này có những nội dung chính như sau:

Chương I: Số nguyên

Chương II: Số hữu tỉ

Chương 3: Hàm số

Chương IV: Biểu thức đại số

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng chính thức được trình bày trong bài 8

của chương I: “Tính chất của phép nhân” Trong bài này tính chất phân phối của phép nhân

đối với phép cộng được trình bày cả hai hình thức là một số nhân với một tổng và một tổng nhân với một số

V ới mọi a b c, , ∈ ta có:

SGK vẫn đưa ra hai ví dụ cho hai công thức trên, cả hai ví dụ đều có mặt của số nguyên âm,

một lần nữa khẳng định công thức này đúng không chỉ cho các số tự nhiên mà còn đúng cho các số nguyên

Ví d ụ 2

( ) ( )

a b c ab ac

b c a ba ca

Chú ý: Ví d ụ 2 cho thấy việc xác định ( ) ( )− 2 − = + 3 6 hay t ổng quát tích của hai

s ố nguyên âm là một số nguyên dương, để đảm bảo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Như vậy tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong SGK7 có đề cập đến vai trò giải thích một số kết quả toán học, cụ thể là tích của hai số nguyên âm là một số nguyên dương, giống như những kết luận mà khi chúng tôi phân tích giáo trình đại học đã rút ra

Làm rõ hơn vai trò quan trọng của tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong chương trình Toán THCS thì SGK giai đoạn 1994-2002 có một bài nói về vai trò đặc biệt

của tính chất này Chương II, Bài 8: “Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

và ứng dụng” Trong bài này tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng đóng ba

Sau khi chứng minh công thức, SGK đưa ra giải thích bằng lời:

“Nghĩa là: muốn chia một tổng (hoặc một hiệu) cho một số ta chia từng số hạng

c ủa một tổng (hoặc hiệu) cho số đó rồi lấy tổng (hoặc hiệu) các thương tìm được”

Trong SGK6 hai công thức này được áp đặt cho học sinh và kiểm chứng thông qua ví dụ

bằng số cụ thể Trong SGK7 công thức này được chứng minh như trên Từ đó học sinh có

thể thấy được mối liên hệ giữa tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và hai công thức trên

Vai trò 2: Khai triển một tích

30

Áp d ụng nhiều lần tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép

tr ừ ta tính được tích của các tổng hoặc hiệu

Ta nói r ằng ta đã khai triển tích (a+b c) ( −d)

Vai trò 3: Đặt thừa số chung

Tính ch ất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ thường được

s ử dụng theo chiều ngược lại: Khi có một tổng đại số của nhiều số mà các số

h ạng của nó có chung một thừa số, thì ta có thể đặt thừa số đó ra ngoài thành

th ừa số chung của tổng

Nhờ tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng mà ta có thể khai triển một tích, đặt

thừa số chung (sử dụng chiều ngược lại tính chất phân phối của phép nhân đối với phép

cộng)

Qua việc phân tích SGK6, SGK7 giai đoạn 1994-2002 chúng tôi thấy được tính chất phân

phối của phép nhân đối với phép cộng đóng vai trò rất quan trọng trong hệ thống kiến thức toán THCS giai đoạn này mà chương trình đưa ra được thể hiện rõ ràng trong các SGK Công thức một tổng chia cho một số (a + b : c) = a : c + b : c được SGK chứng minh Như vậy công thức này lại một lần nữa được nhắc đến và được chứng minh hợp lí việc chứng minh công thức này một lần nữa nói lên vai trò quan trọng của tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong việc suy ra một số tính chất khác

Như vậy có thể nói rằng: tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng đóng vai trò

rất quan trọng trong hệ thống kiến thức toán học cấp Trung học cơ sở giai đoạn 1994-2002

mà đặc biệt là vai trò của nó trong nội dung số học Các tính chất được suy ra từ tính chất này cũng cho thấy sự đa dạng về hình thức, tất cả được trình bày chứng minh một cách logic Điều đó cho thấy tính hệ thống công thức và mối liên hệ chặc chẽ giữa các công thức

31

với nhau Giúp học sinh không phải nhớ một cách máy móc sự rời rạc của các công thức mà

từ tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng có thể suy ra các công thức còn lại

2.4 Các t ổ chức toán học (giai đoạn 1994-2002)

2.4.1 Toán 6

Đối với SGK6 chúng tôi tìm thấy những tổ chức toán học sau đây:

1 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T nhanh,nhẩm1 : “tính nh ẩm, tính nhanh biểu thức

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

2 T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T haicach2 : “tính theo hai cách biểu thức dạng

33

Kĩ thuật 𝝉:

Áp dụng công thức a b( + c)= a.b + a.c để mở các ngoặc

Dùng các quy tắc tính toán để tính kết quả

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Nh ận xét: Hai kiểu nhiệm vụ trên vẫn áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với

phép cộng trên đối tượng là số cụ thể và kĩ thuật khá quen thuộc vì các kĩ thuật này đã được

học sinh làm quen ở lớp 6 Như vậy hai kiểu nhiệm vụ này vẫn chưa có gì khác biêt so với

những kiểu nhiệm vụ được SGK6 đề cập

3.T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T cmbtchữ : “ ch ứng minh biểu thức có chứa chữ”

Ví dụ: Bài 9 (SGK7, tr24)

9.Chứng minh

Áp dụng nhiều lần tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, cụ thể: lấy biểu

thức thứ nhất nhân với các số hạng của biểu thức thứ 2, sau đó áp dụng tính chất phân phối

của phép nhân đối với phép cộng tính các tích còn lại

Dùng các quy tắc tính toán để tính kết quả

Công ngh ệ 𝜽:

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

T ổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T tongtich : “vi ết tổng thành tích”

Ví dụ: Bài 8 (SGK7,tr60)

Viết tổng thành tích bằng cách đặt thừa số chung

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Nhận xét: trong SGK7 tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng được áp dụng trên cả hai đối tượng là số và chữ Trong đó kiểu nhiệm vụ có chứa chữ được đề cập nhiều

với nhiều hình thức khác nhau

B ảng 2.3 Tổng kết các kiểu nhiệm vụ và các kĩ thuật được SGK sử dụng

T timx a b( + c)= a.b + a.c

T khaitrientich Áp dụng nhiều lần tính chất phân phối của

phép nhân đối với phép cộng

T thuaso a.b + a.c = a b( + c)

T tongtich a.b + a.c = a b( + c)

Áp dụng một lần hoặc nhiều lần tính chất phân

phối của phép nhân đối với phép cộng

37

Nh ận xét:

Sau khi phân tích các tổ chức toán học gắn liền với SGK6 và SGK7 chúng tôi nhận thấy sự đột phá về các tổ chức toán học gắn liền với các kiểu nhiệm được đề cập trong SGK liên quan đến tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Trong SGK6 các kiểu nhiệm

vụ chỉ xoay quanh vai trò là công tụ tính toán trên đối tượng số thì trong SGK7 ngoài vai trò

đó, SGK7 còn đề cập đến các kiểu nhiệm vụ khác và trên đối tượng là chữ như chứng minh, tìm x mà đặc biệt là kiểu nhiệm vụ khai triển tích được SGK7 đề cập nhiều lần, ngay từ chương đầu tiên khi học về tập hợp Số nguyên kiểu nhiệm vụ này đã được đưa vào và được

nhắc lại trong chương tiếp theo khi nói về bài “tính chất chất phân phối của phép nhân đối

với phép cộng và ứng dụng” Trong kiểu nhiệm vụ khai triển tích này thì kĩ thuật áp dụng nhiều lần tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng được xem là mới đối với học sinh

Các kiểu nhiệm vụ mà SGK đưa ra hầu hết có kĩ thuật giống nhau là áp dụng một lần tính

chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, trong đó có nhiều kiểu nhiệm vụ có chứa

chữ Tuy nhiên, SGK cũng đưa ra một kiểu nhiệm vụ mà trong đó có sử dụng một kĩ thuật được mở rộng từ tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng là áp dụng nhiều lần tính chất này, được sử dụng vào kiểu nhiệm vụ khai triển tích với chiều thuận và viết tổng thành tích với chiều ngược lại

Nói về phép chia thì SGK ít đề cập đến công thức một tổng chia cho một số, không có kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến dạng một số chia cho một tổng

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng xuất hiện trong bài tập đa số dưới hình thức nguyên thể a b( +c)=ab+ac hay (b+c a) =ba+ca Các tính chất được suy ra từ tính chất này ít được xuất hiện đặc biệt là công thức một tổng chia cho một số

Tổng kết lại kết quả phân tích SGK giai đoạn 1994-2002, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng đóng những vai trò:

+ vai trò là công cụ tính toán như tính nhanh, tính hợp lí,…

+ vai trò khai triển tích, đặt thừa số chung,…

+ vai trò công cụ để suy ra những hệ quả như tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ, một tổng chia một số,

+ vai trò giải thích kết quả tích hai số nguyên cùng dấu, trái dấu,…

38

Như vậy, trong nghiên cứu tri thức khoa học chúng tôi đã chỉ ra được những vai trò của tính

chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Trong nghiên cứu SGK giai đoạn

1994-2002 chúng tôi nhận thấy rằng những vai trò của tính chất này đã chỉ ra được trong nghiên

cứu tri thức khoa học đều được trình bày trong SGK

2.5 Phân tích sách giáo khoa hi ện hành

Chúng tôi xin nhắc lại đối tượng mà chúng tôi cần quan tâm là tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng nên trong phần này chúng tôi chỉ phân tích những nội dung số học liên quan đến đối tượng trên

2.5.1 Sách giáo khoa Ti ểu học : Toán 4

Như ghi nhận từ SGV6 tập 1: “Tận dụng các kiến thức đã học ở lớp dưới, ở chương trước

để giảm nhẹ việc trình bày các kiến thức ở lớp trên, ở chương sau Ví dụ: Tận dụng các kiến

th ức về cộng, trừ, nhân, chia phân số đã có ở Tiểu học để mở rộng các quy tắc này ở lớp 6,

t ận dụng quy tắc trừ số nguyên ở chương II để dẫn đến quy tắc trừ phân số ở chương 3…”

Vì vậy, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và SGK Toán Tiểu học có liên quan đến đối tượng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Vì lí do trên và cũng nhằm

để tìm hiểu xem liệu rằng có phải sai lầm mà chúng tôi đề cập lúc đầu có phải đã được hình thành từ Tiểu học hay không? Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong chương trình Toán Tiểu học chỉ đề cập ở dạng số hay có cả dạng chữ?

Chúng tôi tiến hành phân tích SGK Toán 4 vì tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng xuất hiện trong chương trình Toán Tiểu học là chương trình Toán 4 và được thể

hiện trong SGK Toán 4 Cụ thể trong bài 2 “Phép nhân”, trong các mục: “nhân một số với

m ột tổng và nhân một số với một hiệu”

Công thức a× +(b c)= × + ×a b a cxuất hiện với tên gọi: một số nhân với một tổng

Công thứca× −(b c)= × − ×a b a cxuất hiện với tên gọi: một số nhân với một hiệu

Công thức (a+b):c=a c: +a b: xuất hiện với tên gọi: một tổng chia cho một số

Các công thức trên đều đươc xây dựng thông qua một ví dụ và độc lập với nhau

NHÂN M ỘT SỐ VỚI MỘT TỔNG

Tính và so sánh giá tr ị của hai biểu thức:

( )

4 × + 3 5 và 4 3 4 5× + ×