nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân với đối số lệch

TS Lê Hoàn Hóa, người đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo tôi phương pháp nghiên cứu khoa học, và tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn cao học.. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn châ

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-

Lê Th ị Hằng

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Lê Th ị Hằng

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS Lê Hoàn Hóa

Thành ph ố Hồ Chí Minh – Năm 2012

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đến PGS TS Lê Hoàn Hóa, người đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo tôi phương pháp nghiên cứu khoa học, và tạo

mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn cao học

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành

thời gian đọc, chỉnh sửa và cho tôi những nhận xét quý báu để cuốn luận văn được hoàn thiện

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Quý Thầy Cô trong khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền thụ kiến thức trong suốt thời gian tôi học tại trường

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học đã

hỗ trợ tôi trong suốt khóa học và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn cao học

Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý, nhận xét của Quý Thầy Cô để luận văn hoàn chỉnh hơn Xin chân thành cảm ơn!

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012

Lê Thị Hằng

M ỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Mở đầu 5

Kiến thức chuẩn bị 7

Chương 1: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch ( )( ) 1 ( )( ) ( ( ) ( 1( ) ) ) ( ( ) ) 1 , , ,

n n i i m i x t − a x t f t x t x t τ t x t τ t = =∑ + − − 9

1.1 Giới thiệu 9

1.2 Ký hiệu 9

1.3 Các bổ đề 10

1.4 Các định lý 14

Chương 2: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch ( )( ) 1 ( )( ) ( ( ) ( 1( ) ) ( ( ) ) ) ( ) 1 , , , ,

n n i i m i x t − b x t f t x t x t τ t x t τ t p t = =∑ + − − + 27

2.1 Giới thiệu 27

2.2 Ký hiệu 28

2.3 Các bổ đề 28

2.4 Các định lý 29

Chương 3: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc hai loại trung hòa với

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( 1( ) ) , , ( n( ) ) ) ( )

x t ′′ + cx t ′′ − τ + a t x t + g t x t − τ t x t − τ t = p t 44

3.1 Giới thiệu 44

3.2 Các bổ đề 44

3.3 Các định lý 47

Chương 4: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân phi tuyến bậc hai loại trung hòa với đối số lệch ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( 1( ) ), , ( n( ) ) ) ( ) x t′′ +cx t′′ − τ + p t x t′ +q t x t + f t x t− τ t x t− τ t =g t 60

4.1 Giới thiệu 60

4.2 Các bổ đề 60

4.3 Định lý 64

Kết luận và kiến nghị 73

Tài liệu tham khảo 75

M Ở ĐẦU

Bài toán về nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân với đối số lệch có ứng

dụng rất lớn trong vật lý, trong khoa học nghiên cứu về ứng dụng của người máy… Trong thời gian gần đây đã và đang có rất nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên

cứu về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc nhất hoặc bậc cao

với đối số lệch Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng của các nhà khoa học trong và ngoài nước

Ngoài phần kiến thức chuẩn bị, nội dung chính của luận văn gồm bốn chương, trong đó chương 4 là kết quả mới của chúng tôi, cụ thể như sau:

Chương 1: Sử dụng thuyết trùng bậc của Mawhin để chứng minh sự tồn tại nghiệm

tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch sau

Chương 2 : Cũng sử dụng thuyết trùng bậc của Mawhin để chứng minh sự tồn tại

nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch sau

đó các b i cũng là hằng số nhưng không đòi hỏi giả thiết τi′( )t < 1

Chương 3 : Trình bày hai kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình

vi phân bậc hai với đối số lệch sau đây

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( 1( ) ), , ( n( ) ) ) ( )

x t′′ +cx t′′ − +τ a t x t +g t x t−τ t x t−τ t = p t , t∈ 

Trong đó một kết quả sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii để chứng minh

và một kết quả sử dụng thuyết trùng bậc của Mawhin Trong cả hai kết quả đó, trước tiên chúng tôi đều tìm hàm Green của phương trình có dạng

( ) ( ) ( )

x t′′ +Mx t =ϕ t với một vài điều kiện cho trước rồi mới tiến hành đặt các ánh

xạ thích hợp để sử dụng định lý Krasnoselskii hoặc thuyết trùng bậc của Mawhin Phương trình được xét ở chương 3 không chứa đạo hàm cấp một x t′( ), do đó chúng tôi đã mở rộng kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình trên khi có chứa x t′( ) Đó là nội dung của chương 4

Chương 4: Trình bày một kết quả của chúng tôi, đó là sử dụng định lý điểm bất

động Krasnoselskii để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc hai với đối số lệch sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( 1( ) ), , ( n( ) ) ) ( )

x t′′ +cx t′′ − τ + p t x t′ +q t x t + f t x t− τ t x t− τ t =g t

Trước tiên chúng tôi cũng tìm hàm Green của phương trình trên để biến đổi phương trình về phương trình tích phân, sau đó tiếp tục biến đổi đưa về dạng tổng của một ánh xạ co và một ánh xạ compact, từ đó áp dụng định lý điểm bất động kiểu

Krasnoselskii

Để tìm hàm Green cho phương trình trên chúng tôi dựa vào kết quả tìm hàm Green

của Y Wang, H Lian và W Ge [5] cho phương trình có dạng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t′′ + p t x t′ +q t x t = ϕ t

Kết quả này chúng tôi đã gửi đến Tạp chí khoa học, Phòng Khoa học công nghệ và môi trường của trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và đã được duyệt đăng

KI ẾN THỨC CHUẨN BỊ

Giả sử X là một tập đo được Lebesgue trong n Ký hiệu L p( )X là K - không

gian vectơ tất cả các hàm đo được f từ X vào K sao cho p

T E → là ánh xạ tuyến tính, liên tục T là toán tử Fredholm nếu X T−1( )0 hữu

hạn chiều, T E ( ) đóng, và codimT E( )=dim X T E( / ( ) )< +∞ Chỉ số của T là

1 0

ind T =dimT− −codimT E

Cho X và Y là các không gian Banach L D L: ( )⊂ X → là toán tử Fredholm với Y

chỉ số là 0 :P X → , X Q Y: →Y là các ánh xạ chiếu sao cho ImP KerL= ,

KerQ =ImL, X =KerL⊕KerP, Y =ImL⊕ImQ

Dẫn đến L D L( )∩KerP:D L( )∩KerP→ImL khả đảo, ký hiệu ánh xạ ngược là K P

ii) Nx∉ImL x, ∈KerL∩ ∂Ω

iii) deg JQN( KerL,Ω ∩KerL, 0)≠0, với : /J Y ImL→KerL là phép đẳng cấu

Khi đó phương trình Lx Nx= có nghiệm trong D L( )∩ Ω

Chương 1 NGHI ỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO

Chương này trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình

vi phân bậc cao với đối số lệch có dạng

iii) L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0

iv) Tồn tại các ánh xạ chiếu :P X → X , Q Y: → sao cho: Y

ImP=Ker L; erK Q=ImL Hơn nữa, với Ω là tập con mở, bị chặn của X, Ω ∩domL≠ ∅ thì N là ánh xạ L-compacttrên Ω

v) x t là nghi( ) ệm tuần hoàn của phương trình (1.1) nếu và chỉ nếu x là nghiệm của phương trình Lx Nx= trong D L ( )

iii) L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0

Dễ kiểm tra L là ánh xạ tuyến tính

KerL= x t =c t∈ ω c∈  =  ⇒dim KerL= 1

( )0

dim Y ImL = ⇒ codim ImL= =1 dim KerL

Vậy L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0

iv) Tồn tại ánh xạ chiếu :P X → X , Q Y: → sao cho KerL ImP Y = ; ImL=KerQ

Đặt P x t( )( )=x( )0 , x∈ Ta chX ứng minh KerL ImP=

Suy ra ImL=KerQ

i n

1 2 3

0

00

00

n n n

x x x X

x x

2 1

n n

b b b B

b b

T c

i

−

=+

Với Ω ⊂ X là tập mở, bị chặn và Ω ∩domL≠ ∅, ta có QN( )Ω bị chặn và ( ) :

Vì x( )i ( ) t , i=1, ,n− là các hàm liên t1 ục tuần hoàn với chu kì ω nên theo định lý Lagrang tồn tại ξi∈[ ]0,ω sao cho ( ) 1 ( ) ( )1 ( ) ( )( )

m m m

1

n

n i i i

Để xác định được Ω cần qua 3 bước

Bước 1: Đặt Ω =1 {x∈domL KerL L x: ( )=λN x( ),λ∈( )0,1}

Chứng minh Ω1 bị chặn

Với x∈Ω Ta có 1

( )( ) 1 ( )( ) ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) )

1 1

Bước 1.1: Chứng minh ∃ > sao cho: M 0 ( ) 1

n

i i

1 0

m m m

( ) ( ( ( ) ) ) ( )

,1

1

1 0

,

i

m m

( ) ( )

1 1

1 , 0

1 0

( )

1 1 1

i

i

ω δ

m m

Với mỗi t ∈  , đặt k0 =min k{ ∈:kω ξ+ n−1≥t} và t0 =k0ω ξ+ n−1, với ξn−1 như trong Bổ đề 1.3.2

( )( ) 1 0 ( )( ) 0 ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) )

1

1 1

m n

0

m m m

1

n m

→∞ = +∞ Khi đó tồn tại dãy con của ( )c n n sao cho dãy con đó tiến về

+∞ hoặc tiến về −∞ Không mất tính tổng quát, ta giả sử c n → +∞ hoặc

Ω ⊃Ω Ta kiểm tra các điều kiện

của thuyết trùng bậc Mawhin

Theo Bổ đề 1.3.1 ta có L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0, N là toán tử

( )2

Và tồn tại các hàm liên tục ,g p và e sao cho i i

m m m

1

n

n i i i

Chương 2 NGHI ỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO

Trong chương 2 này cũng sử dụng lý thuyết trùng bậc của Mawhin để chỉ ra sự tồn

tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (2.1), nhưng không đòi hỏi giả thiết

( ) 1

i t

τ′ <

Khi đó (X, ⋅ và ) (Y,⋅ là các không gian Banach ∞)

Định nghĩa các toán tử L và N như sau:

( )

:

L D L ⊂ X → , Y ( ) ( )n

L x =x , với D L( )={x x| ∈  n( , ) (,x t+T)=x t( ) } :

Đặt P X: →KerL P x, ( )=x( )0

( )0

Khi đó L|D L( )∩KerP:D L( )∩KerP→ImL có ánh xạ ngược ký hiệu là K V P ới Ω

là tập mở, bị chặn của X, D L( )∩ Ω ≠ ∅ , N là ánh xạ L-compact trên Ω

B ổ đề 2.3.1

Cho x∈   và n( , ) x t( +T)=x t( ) Khi đó ta có

Vì x( )i ( ) t ,i =1, 2, ,n là các hàm liên tục tuần hoàn với chu kì T nên theo định lý

Lagrang tồn tại ξi∈[ ]0,T sao cho ( ) 1 ( ) ( )1 ( ) ( )( )

Giả sử n=4k+ là s1 ố nguyên dương và các điều kiện sau được thỏa mãn

(H1) Tồn tại hằng số c> sao cho 0

Chọn t1:ξ =kT +t1 Khi đó x t( )1 = ≤ 0 c

Lý luận tương tự, trường hợp x t( )0 < − ta cũng chọn được c t1∈[ ]0,T : x t( )1 ≤ c

Vậy tồn tại t1∈[ ]0,T sao cho: x t( )1 ≤ c

=

2 1 2

0

T k k

Dẫn đến từ (2.5) ta có

( )( ) ( ( ) ) ( ) ( )( )

1 2

T k

1 0

2 1

1 2

T m

n k

∫

T n

Vậy điều giả sử là sai, tức Ω là t3 ập bị chặn

Đặt Ω là tập mở, khác rỗng, bị chặn của X sao cho Ω ⊃ Ω ∪ Ω ∪ Ω ( 1 2 3)

Khi đó L là toán tử Fredholm với chỉ số 0 và N là L-compact trên Ω

Kiểm tra các điều kiện của định lý GM

i) L x( )≠λN x x( ), ∈∂Ω ∩D L( ),λ∈( )0,1

Thật vậy, với x∈∂Ω ∩D L( ) ⇒ ∉Ωx 1⇒ L x( )≠λN x( )

ii) QN x( )≠ x0 ∀ ∈∂Ω ∩KerL

Thật vậy, với x∈∂Ω ∩KerL⇒ ∈x KerLvà x∉Ω ⇒2 QN x( )≠ 0

iii) Đặt H x( ,µ):Ω×[ ]0,1 → là ánh xạ xác định như sau Y

Vậy phương trình L x( )= N x( ) có nghiệm x∈D L( )∩ Ω, tức phương trình (2.1)

có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T

i i

i i

i i

i i

i i

2 1

1 2

T m

s s

T s

∫

Theo Bổ đề 2.3.1, tồn tại M2 > sao cho 0 ( )2

2 0

2 1

1 2

T m

s k

∫

Tiếp tục lý luận tương tự như trong phần chứng minh của Định lý 2.4.1 ta cũng sẽ

chứng minh được phương trình (2.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T

Chương 3 NGHI ỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI

LO ẠI TRUNG HÒA VỚI ĐỐI SỐ LỆCH

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( 1( ) ), , ( n( ) ) ) ( )

x t′′ +cx t′′ − +τ a t x t +g t x t−τ t x t−τ t = p t

3.1 Gi ới thiệu

Chương này trình bày sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc 2

loại trung hòa với đối số lệch sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( 1( ) ), , ( n( ) ) ) ( )

x t′′ +cx t′′ − +τ a t x t +g t x t−τ t x t−τ t = p t (3.1) Trong đó

Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (3.1), chúng tôi sử

dụng Định lý điểm bất động Krasnoselskii và thuyết trùng bậc Mawhin

ααα

Khi đó nghiệm của phương trình (3.1) có dạng ( ) ( ) ( ),

Với 1( ) 1

1 1

2,

α

αα

Khi đó G là tập con lồi, đóng, bị chặn của X

Ta kiểm tra các điều kiện của định lý Krasnoselskii

i) ,x y∈G⇒Uy+Sx∈ G

Thật vậy, ở phần trên ta đã chứng minh (Uy+Sx t)( ) ≤K1 với

α

τα

T

T sin

ii) U là ánh xạ co Thật vậy, với ,x y∈ G

Trước tiên ta chứng minh S liên tục trên G

Với x G∈ bất kỳ, giả sử ( )x m m là dãy trong G và x m− → x 0

Với ε > 0 cho trước, g liên tục đều trên [0, 2T]× B(0, x + nên 1) ∃ >δ 0(δ < 1)

sao cho ∀ ∈s [0, 2T], ,u v∈B(0, x + mà 1) u−v2 < suy ra δ g s u( ), −g s v( ), ≤ ε

Từ tính liên tục đều của các hàm x t a t( ) ( ) ( ), ,p t trên [ ]0,T và các đánh giá ở trên

ta có thể chọn được δ > sao cho 0 t t1, 2∈[ ]0,T mà t1− < suy ra t2 δ

( )( ) ( )( )Sx t1 − Sx t2 ≤ , ε ( ) ( ) ( ) ( )Sx ′ t1 − Sx ′ t2 ≤ và ε ( ) ( ) ( ) ( )Sx ′′ t1 − Sx ′′ t2 ≤ ε

Suy ra S G liên t( ) ục đồng bậc trên [ ]0,T

Theo tiêu chuẩn Arzela – Ascoli, S G là t( ) ập compact tương đối trong

Ta chứng minh S G là t( ) ập compact tương đối trong X

Giả sử ( )x m m là một dãy trong S G ( ) Đặt (S G( ) )1={x [ ]0,T :x∈S G( ) } trong đó

Do đó S G ( ) compact tương đối trong X Vậy S là ánh xạ compact trên G

Các điều kiện của định lý Krasnoselskii đều được thỏa mãn, ánh xạ U S+ có điểm

bất động trong G Điểm bất động đó chính là nghiệm tuần hoàn chu kỳ T của phương trình (3.1)

Định lý 3.3.2

Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn

Chứng minh tương tự Bổ đề 1.3.1 ta có các khẳng định sau:

KerL=  ⇒dim KerL= 1

( )0

Chứng minh tương tự như chương 1 ta có ImP KerL= ; ImL = KerQ

Khi đó L|D L( )∩KerP:D L( )∩KerP→ImL là song ánh, ký hiệu ánh xạ ngược là K P

Đặt Ω ={x∈X : x <D} Khi đó Ω là tập con mở, bị chặn của X

Vì KerL =  nên với x∈∂Ω ∩KerL thì x= hoD ặc x= − D

Suy ra H x( ),η ≠ với x0 ∈∂Ω ∩KerL, η∈[ ]0,1

Theo tính chất bất biến đồng luân ta có

Vậy ta đã chứng minh được các khẳng định sau đây

i) Lx≠λNx với x∈D L( )/KerL∩ ∂Ω ∈,λ ( )0,1

ii) Nx∉ImL với x∈∂Ω ∩KerL

iii) deg QNx( ,Ω ∩KerL, 0)≠ 0

Theo định lý Mawhin, phương trình Lx Nx= có nghiệm x∈D L( )∩ Ω Hay phương trình (3.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T

Chương 4 NGHI ỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUY ẾN BẬC HAI LOẠI TRUNG HÒA VỚI ĐỐI SỐ LỆCH

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( 1( ) ), , ( n( ) ) ) ( )

x t′′ +cx t′′ − τ + p t x t′ +q t x t + f t x t− τ t x t− τ t = g t

4.1 Gi ới thiệu

Năm 2010, Guo, O’Regan và P.Agarwal [1] đã sử dụng định lý điểm bất động

của toán tử dạng Krasnoselskii để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( 1( ) ), ( 2( ) ), , ( n( ) ) ) ( )

x t′′ +cx t′′ − τ +a t x t +g t x t− τ t x t− τ t x t− τ t = p t

Trong bài báo trên, phương trình được xét không chứa đạo hàm cấp một x t ′ ( ),

do đó trong bài báo này chúng tôi thiết lập một số điều kiện để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình

và một ánh xạ compact, từ đó áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii

Để tìm hàm Green cho phương trình (4.1) chúng tôi dựa vào kết quả của Wang, Lian và Ge [5] khi các tác giả nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình

x t′′ + p t x t′ +q t x t =r t x t′ − τ t + f t x t x t− τ t

Trong suốt chương này ta luôn giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn

(H1) p và q là các hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T,

Trong đó 2 là chuẩn Euclide trong n

(H3) g là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T

(H4) τi( i = 1, 2, , n ) tuần hoàn với chu kỳ T, khả vi trên  và τi′( )t <1,t∈ 

Hơn nữa ký hiệu hàm ngược của t − τi( ) t là µi

0,

0

expax

s

t T

t T

( )

2 2

Giả sử các điều kiện của bổ đề 4.2.1 được thoả mãn và φ là hàm liên tục, tuần hoàn

với chu kỳ T Khi đó phương trình sau sẽ có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T

b v dv G

( ) ( ) ( )

( )

( )0

a v dv G

11

l l

e e

e e

β =

−

Đặt ( )

( )

( )0

exp,

x∈X x =max x t +max x t′ +max x t′′

Khi đó ( X , ) là không gian Banach

s

+ +

t T

n t

n i i

Với x ∈Ω bất kỳ, giả sử ( )x m m là dãy trong Ω sao cho x m− → x 0

Với ε > cho trước, do 0 x m− → nên x 0 ∃ sao cho m0 x m x , m m0

n

ε