nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân hàm bậc cao và phương trình vi phân hàm trung hòa phi tuyến bậc cao

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và làm luận văn , tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, của gia đình

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2013

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Chuyên ngành: Toán Gi ải tích

Mã s ố: 60460102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Lê Hoàn Hóa

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và làm luận văn , tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, của gia đình và bạn bè đồng nghiệp

Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất đến PGS TS Lê Hoàn Hóa, người đã tận tình hướng dẫn, có những ý kiến đóng góp quý báu giúp tôi hoàn thành tốt luận văn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành

thời gian quý báu và những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn của tôi

Tôi xin cảm ơn tất cả quý thầy cô Khoa Toán – Tin và quý thầy cô phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt khóa học

Tôi xin cảm ơn Quý thầy cô, các bạn bè đồng nghiệp trường THPT Trường Chinh, các bạn học viên cao học Toán Giải Tích K22 đã luôn động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

Sau cùng tôi xin gửi tất cả tình cảm yêu thương và lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, những người thân yêu của tôi đã tạo niềm tin, là chỗ dựa vững chắc giúp tôi

học tập và hoàn thành tốt luận văn của mình

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và tham khảo sách vở, các bài báo toán học của các nhà khoa học và luận văn thạc sĩ của các khóa trước, tôi có sử dụng một số kết quả đã được chứng minh để hoàn thành luận văn của mình

Nhưng tôi xin cam đoan không sao chép luận văn đã có và xin hoàn toàn chịu

mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

MỤC LỤC 3

MỞ ĐẦU 4

1 Lý do ch ọn đề tài 4

2 M ục đích của đề tài 4

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 5

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu: 5

CHƯƠNG 1: BẬC TÔPÔ 6

1.1 B ậc Brouwer 6

1.2 Bậc Leray Schauder 7

1.3 Ánh x ạ Fredholm 9

1.4 B ậc trùng lặp của ánh xạ L-Compact 10

1.5 S ự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử 13

CHƯƠNG 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO 18

2.1 M ột số bổ đề 18

2.2 M ột số kết quả chính 21

CHƯƠNG 3 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TRUNG HÒA PHI TUYẾN BẬC CAO 37

3.1 Một số Bổ đề 37

3.2 Một số kết quả chính 41

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lí thuyết phương trình vi phân đóng vai trò quan trong trong ứng dụng thực tiễn của Toán học Hầu hết các quá trình tự nhiên đều tuân theo một quy luật nào đó mà phương trình vi phân có thể mô tả được Bằng chứng là các ngành Toán học, Cơ học, Vật lí, Hóa học, sinh vật, kinh tế, Sinh thái môi trường …và xã hội học đều liên quan đến phương trình vi phân Vì thế phương trình vi phân là một môn học cần thiết cho hầu hết các ngành ở bậc Cao đẳng, Đai học Một trong những vấn đề mà các nhà toán học đã, đang và sẽ tiếp tục nghiên cứu về phương trình vi phân là sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm Hiểu được tầm quan trọng của vấn đề trên nên tôi

chọn đề tài” Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân hàm bậc cao và phương trình vi phân hàm trung hòa phi tuyến bậc cao ” để tìm hiểu và nghiêm

cứu sâu hơn về vai trò và ứng dụng của nó trong cuộc sống và trong các lĩnh vực liên quan

2 Mục đích của đề tài

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân hàm bậc cao và phương trình vi phân hàm trung hòa phi tuyến bậc cao bằng cách sử dụng lý thuyết bậc trùng lặp được phát triển bởi Mawhin

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn này tôi chỉ tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân hàm bậc cao và phương trình vi phân hàm trung hòa phi tuyến bậc cao có dạng sau:

a/ Phương trình vi phân hàm bậc cao:

r

Ax t f x t x t g t x t s dα s e t

−

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu các tài liệu và các tạp chí toán học dưới sự hướng dẫn của thầy PSG.TS LÊ HOÀN HÓA

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu:

Cùng với sự phát triển của ngành Toán Giải tích, Đại số, Hình học vi phân, Đa tạp… phương trình vi phân luôn được hiện đại hóa Bên cạnh đó công cụ máy tính điện tử

với các phần mềm chuyên dùng đã làm tăng khả năng ứng dụng thực tiễn của môn

học này Việc xác định tồn tại nghiệm tuần hoàn của phường trình vi phân hàm có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết các bài toán Từ đó, ta có thể giải quyết các bài toán khi nghiên cứu các hiện tượng Tự nhiên và Xã hội Trong những năm gần đây, ngày càng có nhiều nghiên cứu cho thấy tầm quan trọng của phương trình vi phân hàm được ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau trong các ngành khoa học và đời

sống như: Vật lý, Sinh học, Sinh thái học, Sinh lý học, Môi trường, Kinh tế, Địa chất,

Khảo cổ học…

CHƯƠNG 1: BẬC TÔPÔ

1.1 Bậc Brouwer

Cho Ω ⊂ n là tâp mở Hàm số f : Ω → n gọi là khả vi tại x0 ∈Ω nếu tồn tại ma trận

gọi là f x'( ) 0 , thỏa mãn f x( 0 +h) = f x( ) 0 + f x h'( ) 0 + 0( )h , trong đó x0 + ∈Ωh và 0( )

h

khi h

h → →

Kí hiệu C k( ) Ω là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k

Nếu f khả vi tại x0, gọi J f(x0 ) = det f '(x0 )là Jacobian của f tại x0

Nếu J f(x0 ) = 0 thì x0 gọi là điểm tới hạn của f

kí hiệu S f( ) Ω = {x ∈Ω :J (x)=0}f là tập các điểm tới hạn của f trong Ω

M ệnh đề 1.1.2 Cho Ω ⊂ n là tâp mở bị chặn, f D: → n liên tục và p∉ ∂Ωf( ) Khi

đó tồn tại r > 0 sao cho với mọi f f1 , 2 : Ω → n liên tục, 1

1 , 2 ( )

f f ∈C ∂Ω và , 1, 2

(1)(Tính chuẩn) deg( , , )I Ω p = 1 khi và chỉ khi p∈Ω, trong đó I kí hiệu cho ánh xạ đồng nhất

(2)(Tính khả nghiệm) Nếu deg( , , )f Ω p ≠ 0thì phương trình f x( ) = pcó nghiệm trong

không phụ thuộc vào t∈ [0,1]

(4)(Cộng tính) Giả sử Ω Ω 1 , 2là hai tập con rời nhau của Ω và p∉ Ω Ω ∪ Ωf( \ ( 1 2)) Khi

đó deg( , , )f Ω p = deg( ,f Ω 1 , ) deg( ,p + f Ω 2 , )p

(5) deg( , , )f Ω p là hằng số trên thành phần liên thông của n \ ( )

T Ω →E là ánh xạ compact Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại không gian hữu hạn chiều F

và ánh xạ liên tục Tε: Ω →Fthỏa mãn T x Txε − < ε với mọi x∈Ω

Bổ đề 1.2.2 Cho E là không gian Banach thực, B⊂E là tập con đóng và T B: →E là

ánh xạ compact Giả sử Tx≠x với mọi x∈B Khi đó tồn tại ε > 0 0 thỏa mãn

x≠tT xε + −t T xε với mọi t∈ [0,1] và x∈B , trong đó εi∈ (0, ε 0 ) và : , 1, 2

Tε B→F iε =như ở Bổ đề (1.2.1)

Do đó x j k → ∈y B Suy ra Ty= y, ta gặp mâu thuẫn

Định nghĩa 1.2.3 Cho E là không gian Banach thực, Ω ⊂E là tập mở bị chặn và :

Do đó ta có: deg(I−Tε1, Ω ∩Fε1}, 0) = deg(I−Tε2, Ω ∩Fε2}, 0)và bậc được định nghĩa ở (1.2.3) là xác định tốt

Tổng quát, nếu p∉ − (I T)( ∂Ω ), ta xác định deg(I− ΩT, , )p = deg(I− − ΩT p, , 0)

Định lí 1.2.4 Bậc Leray Schauder có các tính chất :

(1)(Tính chuẩn) deg( , , 0)I Ω = 1 khi và chỉ khi 0 ∈Ω

(2)(Tính khả nghiệm) Nếu deg(I− ΩT, , 0) ≠ 0thì phương trình Tx=x có nghiệm trong

Ω

(3)(Tính đồng luân) Cho T t:[0,1] ×Ω →E là ánh xạ Compact liên tục và T x t ≠x với

mọi (t, x) ∈ [0,1] × ∂Ω Khi đó deg(I−T t, , 0) Ω không phụ thuộc vào t∈ [0,1]

(4) (Cộng tính) Cho Ω Ω 1 , 2 là hai tập con mở không giao nhau của Ωvà

1 2

0 ∉ − (I T)( Ω Ω ∪ Ω \ ( )) Khi đó: deg(I− ΩT, , 0) = deg(I− ΩT, 1 , 0) deg( + I− ΩT, 2 , 0)

Định lí 1.2.5 Cho E là không gian Banach và Ω ⊂E la tập con mở bị chặn Nếu

là thành phần liên thông của E\ (I T)( − ∂Ω ) và deg(I T, , U ) − Ω i là deg(I T, , z) − Ω với mọi z∈U i

Định lí 1.2.6 Cho E là không gian Banach, E0 là tập con đóng của E và Ω ⊂E là tập con mở bị chặn Nếu T: Ω →E0 là ánh xạ compact liên tục và p∈E0 thì

0

deg(I T, , ) − Ω p = deg(I T, − Ω ∩E p, )

1.3 Ánh xạ Fredholm

Định nghĩa 1.3.1 Cho X và Y là các không gian định chuẩn thực Một ánh xạ tuyến

tính L D L: ( )⊂X →Y gọi là ánh xạ Fredholm nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

(1) Ker( )L có số chiều hữu hạn;

(2) Im( )L là đóng và Coker( )L =Y / Im( )L có số chiều hữu hạn

- Khi L là ánh xạ Fredholm, chỉ số của nó kí hiệu Ind(L) là số nguyên, được xác định

bởi : Ind L( )= dim( er(( )) dim(K L − Coker( ))L

- Giả sử L là ánh xạ Fredholm Từ định nghĩa trên và từ những kết quả cơ bản của

Giải tích hàm tuyến tính, tồn tại những phép chiếu liên tục: P X: →Xvà Q X: →X

thỏa mãn: Im( )P =Ker( )L , Ker( )Q = Im( )L

Hơn nữa X =Ker( )L ⊕Ker( )P ,Y = Im( )L ⊕ Im( )Q

Khi đó thu hẹp Lp của L trên D L( ) ∩Ker( )P là song ánh vào Im( )L và ánh xạ ngược

của nó K p: Im( )L →D L( ) ∩Ker( )P xác định

Ta kí hiệu K PQ:Y →D L( ) ∩Ker( )P là ánh xạ ngược tổng quát của L định bởi

PQ P

K =K I−Q

M ệnh đề 1.3.2 Cho X là không gian Banach và T X: → X là ánh xạ tuyến tính bị

chặn Khi đó, dim( er( ))K T < ∞và Im( )T là đóng khi và chỉ khi với mọi x n∈B(0,1) sao cho Tx n →ythì (x n)1∞ có dãy con hội tụ

M ệnh đề 1.3.3 Cho X là không gian Banach,T X: → X là ánh xạ Fredholm bị chặn

và K X: →X là ánh xạ compact tuyến tính liên tục Khi đó T +Klà ánh xạ Fredholm

0 ∉F D L( ( ) ∩ ∂Ω ) Gọi J: Im( )Q →Ker( )L là đồng phôi Đặt J

Do T là L-Compact nên bậc Leray Schauder deg(I− +P (JQ+K PQ) , , 0)T Ω xác định tốt

H ệ quả 1.4.3 Nếu T T1 , 2 là L-Compact trên Ω và T x1 =T x2 với mọi x∈D L( ) ∩ ∂Ω thì

Mệnh đề 1.4.4 Cho X, Y là các không gian định chuẩn thực, L D L: ( ) ⊂ X →Y là ánh

xạ Fredholm có chỉ số 0, Y0 là không gian con hữu hạn chiều của Y thỏa mãn

Từ (P−JT)( ) Ω ⊂Ker( )L và I =P trên Ker( )L và từ định lí (1.2.6) ta có

J

D L T+ Ω = I− +P JT Ω = I− +P JT Ω ∩K L

B ổ đề 1.4.5 Cho A: Im( )Q →D L( ) là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn PA: Im( )Q →Ker( )L là

đồng phôi Khi đó H PQ A = AQ+K PQlà đồng phôi từ Y vào D(Y) và

Kết luận có được từ giả thiết và định lí (1.2.4)

M ệnh đề 1.4.9 Nếu Ω ⊂ X là tập mở bị chặn với 0 ∈Ω, Ω là tập đối xứng qua 0 và T

là L-Compact trên Ω ∩D L( ) sao cho T( − = −x) Tx với mọi x∈∂Ω ∩D L( ) thì ( , , 0)

J

D L T+ Ω

là số lẻ

1.5 Sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử

Gọi X, Y là các không gian định chuẩn thực, L D: (L) ⊆ → X Y là ánh xạ Fredholm tuyến tính chỉ số 0 và Ω ⊂ X là tập con mở bị chặn với D(L) ∩ Ω ≠ ∅

Định lí 1.5.1 Gọi 0 ∈Ω và Ω là tập đối xứng qua 0 và T: Ω →Y là L-Compact Nếu

(t, x) ∈ [0,1] × Ω Khi đó H(t,.) là một đồng luân của các ánh xạ L-compact

Nếu Lx −H(t, x) = 0 với (t, x) ∈ [0,1) ×D L( ) ∩ ∂Ω nào đó thì 1

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Ta cũng có thể giả sử rằng Lx −Tx ≠ 0 với x ∈∂Ω Nếu không thì kết luận là đúng

Do đó ta có D (L H(t,.), , 0)J − Ω không phụ thuộc vào t∈ [0,1]

Dễ thấy H(0, x) = − H(0, x) − nên theo định lí (1.5.9), ta có D (L H(0,.), , 0)J − Ω ≠ 0

Ta có thể giả sử rằng Lx −T1 x ≠ 0 với mọi x∈∂Ω Nếu không thì kết luận là đúng

Gọi H(t, x) :[0,1] × Ω →Y định bởi H(t, x) = tT 1x+ − (1 t) T 2 x với mọi (t, x) ∈ [0,1] × Ω

Theo giả thiết, ta có Lx −H(t, x) ≠ 0với mọi (t, x) ∈ [0,1] ×D(L) ∩ ∂Ω

lí (1.5.2) suy ra Lx −T1x = 0 có nghiệm trong D(L) ∩ Ω

Định lí 1.5.4 Cho A X: →Y là ánh xạ L-compact tuyến tính liên tục với er(L A) {0}

K − = và T:Ω →Y là L-compact Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

Ta có Lx ≠H t x( , ) với mọi (t, x) ∈ (0,1) ×D L( ) ∩ ∂Ω Nếu điều này không đúng thì khi đó

tồn tại (t, x) ∈ (0,1) ×D L( ) ∩ ∂Ω sao cho Lx =H t x( , ) Khi đó ta có

Điều này mâu thuẫn vì L−A là ánh xạ 1-1

Từ giả thiết và từ mệnh đề (1.4.8) suy ra D J(L A, , 0) − Ω = 1.

Nếu Lx −Tx = 0 với x ∈D(L) ∩ ∂Ω nào đó, thì kết luận là đúng

Nếu không thì ta có D J(I − ΩT, , 0) =D J(L A, , 0) − Ω ≠ 0

Do đó Lx −Tx = 0 có nghiệm trênD( )L ∩ Ω

Định lí 1.5.5 Cho T , T : 1 2 Ω →Y là ánh xạ L-compact Gọi Z ⊂Y là không gian con

với Y = Im( )L ⊕Z và T2 ( ) Ω ⊂ Z Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) Lx − − (1 t T x tT x) 2 − 1 ≠ 0 với mọi (t, x) ∈ (0,1) D(L) × ∩ ∂Ω

(2) T x2 ≠ 0 với mọi x ∈Ker( )L ∩ ∂Ω

(3) deg(TKer ( )L , Ω ∩ K er( ))L ≠ 0 , trong đó T Ker ( )L là thu hẹp của T2 trên Ker( )L ∩ Ω

Khi đóLx =T x1 có nghiệm trên D( )L ∩ Ω

Từ định lí (1.5.2) suy ra Lx =T x1 có nghiệm trên D( )L ∩ Ω

H ệ quả 1.5.6 Cho T: Ω →Y là L-compact Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) Lx −tTx≠ 0 với mọi (t, x) ∈ (0,1) (D(L) \ K er(L)) × ∩ ∂Ω

(2) Tx∉ Im( )L với mọi x ∈Ker( )L ∩ ∂Ω

(3) deg(QTKer ( )L , Ω ∩ K er( ), 0)L ≠ 0 , trong đó Q Y: →Y là phép chiếu thỏa mãn er( ) Im( )

Từ giả thiết (2) ta có QTx ≠ 0 với mọi x ∈Ker( )L ∩ ∂Ω

Giả sử Lx − − (1 t) QT x −tTx = 0 với ( , )t x ∈ (0,1) ×D(L) ∩ ∂Ω nào đó

Nếu Tx ∈ Im( )L thì QTx = 0vàx∈ ( (L) \ K er(L))D ∩ ∂Ω suy ra Lx −tTx = 0và ( (L) \ K er(L))

x∈ D ∩ ∂Ω điều này mâu thuẫn với giả thiết (1)

Nếu Tx ∉ Im( )L thì QTx = Tx ⇒Tx =Lx ∈ Im( )L , ta gặp mâu thuẫn

Vậy Lx − − (1 t) QT x −tTx ≠ 0 với mọi ( , )t x ∈ (0,1) ×D(L) ∩ ∂Ω

Do đó điều kiện của định lí (1.5.5) được thỏa mãn

Vậy Lx =Tx có nghiệm trên D( )L ∩ Ω

CHƯƠNG 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI

p + = p

2.1 Một số bổ đề

B ổ đề 2.1.1 Cho n1 > 1, α ∈ [0,+ ) ∞ là các hằng số, s∈   C( , ) với s(t T) + =s(t), và (t) [- , ]

s ∈ α α với mọi t∈ [0,T] Khi đó với 1

s ∈ α α với mọi t∈ [0,T] Khi đó với 1

0 1 0

k T k k k

k T

Bằng phương pháp quy nạp ta có được kết quả (1.7)

Cho X, Y là các không gian Banach, L D: (L) ⊂ → X Y là ánh xạ Fredholm chỉ

ImP=K L K Qer , er = Im ,L X =K Ler ⊕K P Yer , = ImL⊕ ImQ (1.8) Khi đó

(L) K er : (L) K er Im

D P

L ∩ D ∩ P→ L là khả nghịch và kí hiệu là K P (1.9)

Cho Ω là tập con mở bị chặn của X, D(L) ∩ Ω ≠ ∅ N X: →Y được gọi là ánh xạ

L-compact trên Ω nếu QN : Ω →Y và K P(I Q) N : − Ω → X là các ánh xạ compact

B ổ đề 2.1.4 Cho L là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 và N là L-compact trênΩ Giả sử

các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Lx≠ λNx, ∀ ∈∂Ω ∩x ( (L) \ K er( )),D L λ ∈ (0,1) ;

(ii) QNx≠ 0, ∀ ∈∂Ω ∩x KerL;

(iii) deg{QN, Ω ∩KerL, 0}≠ 0

Khi đó phương trình Lx =Nx có ít nhất một nghiệm trong Ω ∩D(L)

Ch ứng minh:

Ta cần chứng minh Lx − − (1 t) Q xN −tNx ≠ 0 với mọi ( , )t x ∈ (0,1) ×D(L) ∩ ∂Ω

Giả sử Lx − − (1 t) Q xN −tNx = 0 với ( , )t x ∈ (0,1) ×D(L) ∩ ∂Ω nào đó

Nếu Nx ∈ Im( )L thì QNx = 0 suy ra x∈ ( (L) \ K er(L))D ∩ ∂Ω do giả thiết (ii)

suy ra Lx −tNx = 0và x∈ ( (L) \ K er(L))D ∩ ∂Ω điều này mâu thuẫn với giả thiết (i)

Nếu Nx ∉ Im( )L thì QNx = Nx ⇒Nx =Lx ∈ Im( )L , ta gặp mâu thuẫn

Vậy Lx − − (1 t) Q xN −tNx ≠ 0 với mọi ( , )t x ∈ (0,1) ×D(L) ∩ ∂Ω

Do đó điều kiện của định lí (1.5.5) được thỏa mãn

Vậy phương trình Lx =Nx có nghiệm trên D( )L ∩ Ω

Ta định nghĩa Y = {x ∈   C( , )|x(t+T)=x(t)} với chuẩn

Khi đó X,Y là các không gian Banach

Ta cũng định nghĩa các toán tử L và N như sau:

(n)

: (L) X , x , ( ) {x|x C ( , ), (t T)n x(t)}

1 (i) 1

: X , x [x (t)] (t, x(t (t))) p(t)

n

k i

i

N Y N − b f τ

=

Khi đó phương trình (I) có dạng Lx =Nx Hơn nữa từ định nghĩa của L, ta có

KerL= , d im(KerL) = 1,

A b T −

=

2 (s i) k 2

1

(s, k)

s i i

i i

( ) 1

1 2s

1 0

k k

T k k i T k k T

k i