nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến nonautonomous bậc hai và hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous

Nguy ễn Thị Như Quỳnh NGHI ỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... Nguy ễn Thị Như Quỳnh NGHI ỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC S

Nguy ễn Thị Như Quỳnh

NGHI ỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN

TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nguy ễn Thị Như Quỳnh

NGHI ỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN

TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS

Chuyên ngành: Toán Gi ải Tích

Mã s ố: 60 46 01

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

L ỜI CẢM ƠN

tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn này

đại học đã tạo điều tốt nhất để tôi hoàn thành khóa học

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Krông Ana,

Người viết

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN

M ỤC LỤC

L ỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC 3

2.1 Gi ới thiệu bài toán 3

2.2 K ết quả tồn tại (I) 7

2.3 K ết quả tồn tại (II) 20

Chương 3: NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NON-AUTONOMOUS 28

3.1 Nghi ệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous 28

3.2 M ột số áp dụng 44

K ẾT LUẬN 48

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 50

L ỜI MỞ ĐẦU

động lực suy biến nonautonomous bậc hai sử dụng định lí Leray- Schauder nonlinear alternative, định lí điểm bất động Schauder và sự tồn tại nghiệm tuần

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến non-autonomous bậc hai Chương 3: Nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định lí Ascoli – Arzela Cho X là không gian mêtric compact TậpA ⊂ CK( ) X

Định lí Schauder Cho C là tập lồi đóng trong không gian Banach E và

:

Định lí (Leray-Schauder nonlinear alternative)

Định nghĩa Cho X là không gian Banach và D ⊂ X ,0 ∈ D Toán tử L D : → X

Lxλ = λ xλ

Chương 2: NGHI ỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC

SUY BI ẾN NON-AUTONOMOUS BẬC HAI

2.1 Giới thiệu bài toán

Với điều kiện biên tuần hoànx ( ) ( ) ( ) 0 = x T , ' 0 x = x T ' ( ).(2.3)

( ) t s , ∈ [ ] [ ] 0, T × 0, T ,i = 1, 2, , N

(B) Hàm Green G t si( ) , liên quan đến (2.2) (2.3) không âm với mọi

( ) t s , ∈ [ ] [ ] 0, T × 0, T ,i = 1, 2, , N

k kT

k T t kt B

k kT

kt k T t C

k kT

k T t kt D

K q q

q

q T

là nghiệm tuần hoàn chu kì T của x " + a t xi( ) = e ti( )

Trong chương 2, ta sử dụng các kí hiệu sau

2.2 K ết quả tồn tại (I)

được dựa trên định lí Leray-Schauder nonlinear alternative

Trong áp dụng sau, ta xétX =  [ ] 0, T × ×  [ ] 0, T và kí hiệu

Ch ứng minh T x ( ) liên t ục theo biếnx

Định lí 2.1 : Giả sử rằng a t ( ) thỏa mãn (A) Hơn nữa ta có

phần fi của f thỏa mãn f t xi( ) , ≥ φL( ) t , ∀ ∈ t [ ] 0, T và x ∈ − [ L L ; ]

(H2) Với mỗi thành phần fi của f , tồn tại hàm không âm liên tục

(H3) Tồn tại số r > 0 sao cho

, ,

i i

jMj fj s x s s ds

x t

n

≥ > i = 1, 2, , N

x  ≤ H với hằng số H > 0, với mọi n ≥ n0

Bởi điều kiện biên tuần hoàn , x t n( )0 = 0với một vài t0∈ [ ] 0, T

Vớia a e e1, 2, ,1 2∈ C [ ] 0, T , , α β > 0 và µ ∈ là tham số cho trước

H ệ quả 2.1: Giả sử rằng a t a t1( ) ( ) , 2 thỏa mãn (A) vàα > 0, β ≥ 0.thì với mỗi

e t e t ∈ C    T với γ*≥ 0chúng ta có

(i) Nếu β < 1, thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hoàn chu kì T

với mỗiµ > 0

với mỗi 0 < < µ µ1, ở đây µ1 là hằng số dương bất kì

Nếu β < 1 thì µ1 = ∞, nếu β ≥ 1 thì µ1< ∞ Ta có kết quả (i),(ii) □

B ổ đề 2.2: Giả sử rằnga t ( ) thỏa mãn (A) tổng quát hơn ở đây tồn tại hàm liên tục

r r

α β α

β γ

2.3 K ết quả tồn tại (II )

Ch ứng minh: Nghiệm tuần hoàn chu kì T của (2.1) thì vừa là điểm bất động của toán tử T X : → X bởi Tx=(T x T x1 , 2 , ,T x N )N trong đó

H ệ quả 2.3 Giả sử rằng a t ( ) thỏa mãn (B) và f t x ( ) , thỏa mãn điều kiện (H1) và

(G1*)Tồn tại hằng số dương R>0 sao cho R > φ* và với mỗi i = 1, 2, , N,

H ệ quả 2.4 Giả sử rằng a t a t1( ) ( ) , 2 thỏa mãn (B) và 0 < < α 1, β ≥ 0thì với mỗi

ứng minh:

i R

i

R R

i R

Định lí 2.3 Giả sử rằng a t ( )thỏa mãn (B)và f t x ( ) , thỏa mãn điều kiện (H2) Hơn

Ch ứng minh: Ta sử dụng những kí hiệu như trong định lí 2.1 Cho R là hằng số dương thỏa mãn (G2) và r = γ*, thì R> >r 0 vì R>γ*

i R

α α

( )

2 3

1,2 0

* 2

α α

Từ 0< <α 1, ta chọn R>0 đủ lớn sao cho (2.17)được thỏa mãn Vì vậy ta có kết

quả (ii) □

Chương 3: NGHI ỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG

Ta s ử dụng các giả thiết sau

(H1) Tồn tại B t ( ) = diag b t   1( ) , , b tn( )   vàC t ( ) = diag c t   1( ) , , c tn( )  , ở đây

B ổ đề 3.1 Giả sử D là một tập con mở của một không gian Banach thực vô hạn

Nếu x là nghiệm củax t ′ ( ) = A t x t ( , ( ) ) x t ( ) + λ f t x ( ) , t , i = 1, 2, , n thì

exp1

,

i i

θ θ φ

B ổ đề 3.3 Toán tử φ : P2 → X là hoàn toàn liên tục

Theo định nghĩa của φ, ta có

( ) ( ) ' ( ) ( , , )

t i

Định lí 3.1 Giả sử (H1)-(H5) thỏa mãn và0 < f∞ < ∞ Tồn tại hằng số R0, , λ λ1 2

1 0

0

1 1

Điều này chỉ ra rằng

( ) ( )

1

0

1 1

1

0

1

: 1

θ θ λ

1 0

θ θ λ

0

1 1

0

exp min

0

2 1

Định lí 3.2 Giả sử (H1)-(H5) thỏa mãn và 0 < f0 < ∞ Tồn tại hằng số r0, , λ λ  1 2

với λ λ 1< 2 sao cho, với bất kì 0 < < r r0, hệ (3.1) có một nghiệm tuần hoàn chu kì

= ∑ ∫

( ) ( )

0

1 1

0

1

: 1

θ θ λ

1 0

θ θ λ

0

1 1

0

exp min

0

2 1

Tổng quát, λ r∈   λ λ  1, 2  Kết thúc chứng minh □

Định lí 3.3.Giả sử (H1)-(H5) thỏa mãn và f∞ = ∞ Tồn tại hằng số dương R0, λ

( )

0 1

1 0

0 1

( ) ( )

1

0 1

1 0

θ θ λ

( ) ( )

0 1

0

exp min

0 1

Định lí 3.4 Giả sử (H1)-(H5) thỏa mãn và f0 = ∞ Tồn tại hằng số dương r ˆ ,0 λ ˆ

=

= ∑ ∫

( ) ( )

0 1

θ θ λ

1 0

0

exp ˆ

θ θ λ

0 1

Suy ra

( ) ( )

0 1

Đầu tiên, ta xem xét phương trình vi tích phân Volterra sau

0 0

x b s ds

ωσ

=

0 1

1 0

( )

2 2 1 0

min ii

i n

x b s ds n

ωσ

≤ ≤

ij 1

Ở đây θij∈ ( 0, ∞ ) , ri∈ C (   , +) là hàm tuần hoàn chu kì ω; µij( ) t s , là hàm liên

0 0

,

ii ii

x d t s dt

ω θ θ

0 1

,

n

i n

i i

A x

x

ω

θ θ

1 1

0 1

θ θ

σ

+ + ≤ ≤

≤ ≤

≥

1

0 1

max i

i n

A

x n

Luận văn đã trình bày được sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của hệ động lực kì

dị nonautonomous bậc hai  x + a t x ( ) = f t x ( ) ( ) , + e t

Trong chương 2 mục 2 bằng cách sử dụng định lí Laray- Schauder nonlinear alternative đã trình bày và chứng tỏ kết quả tồn tại đầu tiên của (2.1) dưới giả thiết

định lí điểm bất động Schauder đã trình bày và chứng tỏ kết quả thứ hai của (2.1),

Trong chương 3 trình bày sự tồn tại nghiệm tuần hoàn dương của hệ vi phân

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

Ti ếng việt

gia TPHCM

2 Lê Hoàn Hóa (2012), Phép tính vi phân trên không gian Banach

CS.2008.19.02

Ti ếng anh

6 Na Zhang, BiXiang Dai, Yuming Chen,( 2006),Positive periodic solutions of

nonautonomous functional diferential systems, J.Differential Equations

(239),196-212

7 Jifeng Chu, Pedro J Torres, Meirong Zhang,( 2007), Periodic solutions of

second order non – autonomous singular dynamical systems,

J.Math.Anal.Appl(333),667-678

Proc.Amer.Math.soc(130),3325-3333