một số vấn đề về thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức

Lý do ch ọn đề tài Trong mặt phẳng phức, miền bất kỳ tập mở liên thông khác rỗng là miền tồn tại tự nhiên của hàm chỉnh hình: đối với miền D⊂ , tồn tại hàm chỉnh hình trong D và không

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Triệu Phú Quý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Triệu Phú Quý

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thà nh phố Hồ Chí Minh - 2012

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường Cao Đẳng Nông Nghiệp Nam Bộ đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học Cao học

Sau cùng xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp đã trao đổi, góp ý và động viên tác giả rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012

Tác giả Nguyễn Triệu Phú Quý

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian n và chuỗi lũy thừa 3

1.1.1 Không gian n 3

1.1.2 Chuỗi lũy thừa 4

1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến 5

1.3 Hàm đa điều hòa dưới 8

1.4 Một vài định lý khác 10

Chương 2 : MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ THÁC TRIỂN GIẢI TÍCH 12

2.1 Lý thuyết tổng quát về thác triển giải tích 12

2.2 Thác triển giải tích qua miền Reinhardt 14

2.3 Định lý Hartogs về sự thác triển 18

Chương 3 : MIỀN CHỈNH HÌNH 23

3.1 Khái niệm miền chỉnh hình 23

3.2 Tính lồi chỉnh hình 28

3.3 Tính giả lồi 42

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

MỞ ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài

Trong mặt phẳng phức, miền bất kỳ (tập mở liên thông khác rỗng) là miền tồn

tại tự nhiên của hàm chỉnh hình: đối với miền D⊂ , tồn tại hàm chỉnh hình trong

D và không thể thác triển giải tích ra ngoài giới hạn của miền

Trong không gian n (n>1) thì điều này không còn đúng, tồn tại các miền trong n

 mà hàm chỉnh hình bất kỳ trong nó luôn luôn thác triển được ra miền rộng hơn

Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài Luận văn là “ Một số vấn đề về thác triển

ch ỉnh hình của hàm nhiều biến phức”

2 M ục đích nghiên cứu

Trình bày một số kết quả về thác triển chỉnh hình và mô tả các miền trong n

 , (n>1) như là miền tồn tại của hàm chỉnh hình

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các miền trong không gian phức n chiều (n >1), các hàm chỉnh hình nhiều biến, hàm đa điều hòa dưới

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài

Tìm hiểu một số kết quả về thác triển chỉnh hình, trên cơ sở đó, nghiên cứu các miền trong n

 , n>1 như là miền tồn tại của hàm chỉnh hình

5 Cấu trúc của luận văn

Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận

Cụ thể như sau:

•Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Trình bày các định nghĩa và các kết quả đã được viết thành giáo khoa liên quan đến đề tài

•Chương 2: Một số kết quả về thác triển giải tích

Trình bày một số kết quả về thác triển giải tích: thác triển giải tích qua miền Reinhardt, định lý thác triển Hartogs

•Chương 3: Miền chỉnh hình

Chương này của luận văn chủ yếu được dành cho việc mô tả các miền chỉnh hình trong n (n>1), tức là các miền mà mọi hàm chỉnh hình trong nó không thể thác triển được ra miền rộng hơn

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian n và chuỗi lũy thừa

1.1.1 Không gian n

* Ta kí hiệu (x x1, 2, ,x n) là một phần tử của n

* (z z1, 2, ,z n) (≈ x1+iy1, ,x n +iy n,) (≈ x y1, 1, ,x y n, n) được kí hiệu là một phần tử của n

 Giả sử  ký hiệu trường số phức, n

 là không gian Euclide phức thành lập

từ bộ n số phức z=(z z1, 2, ,z n), ,z z1 2, ,z n∈ Trong n ta xét khoảng cách Euclide

2 1

n

j j j

•Biên ∂ = ∂B B a r( , ) của hình cầu là mặt cầu {z∈ n: z−a =r}

a∈ bán kính vector r = ( r1, ,r n ) (với r j > ∀ ∈0, j {1, ,n}) được định nghĩa là tập

*Đặc biệt khi r=( , , )r r ta gọi P a r( , ) là đa tròn tâm a đa bán kính r

•Biên ∂P được định nghĩa là

1

n v

•Khung của P được định nghĩa là Γ ={z∈ n: zν −aν =rν,ν = 1, n}

Các đa đĩa mở tạo thành một cở sở các tập mở của tôpô tích trên n Chỉ xem xét n

 như là một không gian tôpô ( hoặc như là không gian vectơ thực) n

 giống với không gian 2n

 (không gian Euclide thông thường 2n chiều) Khi đó ta có thể áp đặt một cách tự nhiên các cấu trúc của 2n

 , chẳng hạn độ đo Lebesgue lên trên 2n

c ∈ cho tương ứng duy nhất với các phần

tử i của tập đánh chỉ số I Ký hiệuℑ ( )I là họ các tập con hữu hạn của I

Với mỗi họ ( )c i i I∈ , các tổng riêng hữu hạn J i

∑ là hội tụ tuyệt đối tại điểm ξ ∈n khi (cαξα )α∈n là khả tổng

Sự hội tụ tuyệt đối dẫn đến sự hội tụ Khi có sự hội tụ tại ξ thì tổng của

được gọi là khả tổng đều trên K và sự khả tổng tuyệt đối trong E thường được gọi là

Định nghĩa 1.2.2

Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z o∈Ω nếu tồn tại một lân cận mở

Ucủa z onằm trong Ω sao cho hàm

Định nghĩa 1.2.4

Cho Ω là một tập mở trong n

 với n≥2 Một hàm f : Ω →  được gọi là

chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình với mỗi biến khi các biến còn lại cố

định Điều này có nghĩa là với mọi z1ο,z2ο, ,zοj−1,zοj+1 ,z nο hàm

Cho Ω là tập mở trong  Với mọi tập con compact K của Ω và mọi lân n

cận mở ωcủa K có các hằng số Cα ứng với mọi đa chỉ số α sao cho:

ζ ζ

+ + + +

Định lí 1.2.11 (Định lý Hartogs)

Giả sử f : Ω →  với Ω mở trong n, chỉnh hình theo từng biến phân biệt trên Ω Khi đó f chỉnh hình trên Ω

1.3 Hàm đa điều hòa dưới

Định nghĩa 1.3.1

Hàm thực u,−∞ ≤ < +∞u , xác định trong lân cận của điểm z0, được gọi là

nửa liên tục trên tại điểm z0 nếu lim ( )0 ( ) 0

z z u z u z

→ ≤ Hàm u được gọi là nửa liên tục trên trong miền D ⊂ n, nếu nó nửa liên tục trên tại mỗi điểm z0∈ D

Hàm thực u D: → −∞ +∞ [ , ) gọi là nửa liên tục trên trong miền D ⊂ n nếu và chỉ nếu ∀ ∈λ R, ta có tập hợp {x∈D u x: ( ) <λ} là tập mở

Hàm thực u D: → −∞ +∞ ( , ] gọi là nửa liên tục dưới trong miền D ⊂ n nếu

a) u nửa liên tục trên trong Ω

b) Với mọi tập compact K ⊂ Ω và mọi hàm h liên tục trên K, điều hòa trên phần trong của K và u≤h trên ∂K thì u≤h trên K

a) u nửa liên tục trên trong Ω

u∈C Ω là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu biểu diễn dạng

Levi của nó không âm, nghĩa là:

z ,…, z n và giả sử rằng ∫ϕ( )z dλ( ) 1z = mà dλ là độ đo Lebesgue Nếu u là hàm

đa điều hòa dưới trên Ω thì ( )u zε =∫u z( −εζ ϕ ζ λ ζ) ( )d ( ) là hàm đa điều hòa dưới,

đồng thời uε∈C∞ khi d z( ,∂Ω > và u) ε ε là dãy giảm hội tụ về u khi ε → ( ta giả 0

một dãy các hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp C∞ giảm đến u, khi đó ta có điều phải chứng minh

1.4 Một vài định lý khác

Định lý 1.4.1 (Stone – Weierstrass)

Giả sử X là một không gian tôpô tách và compact, C X( ) là không gian tất

cả các hàm liên tục φ: X →  và A là một đại số con của C X( ) Khi đó nếu A

tách các điểm của X và A chứa tất cả các hàm hằng thì bao đóng A của A trùng với C X( )

Định lý 1.4.2 (Sard)

Với I = 1,2…,n cho I1=[ai,bi] Đặt l(Ii)=bi - ai là chiều dài của đoạn Ii Tập hợp B=I1xI2x…In được gọi là hình hộp đóng trong n và V B( )=l I l I( ) ( ) ( )1 2 l I n là thể tích của hình hộp B

Tập n

K→  được gọi là tập độ đo không trong n

 nếu với mọi ε >0 tồn tại một dãy các hình hộp đóng (B i i)∈ sao cho:

1

i i

Chương 2 : MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ THÁC TRIỂN GIẢI TÍCH

Chương này trình bày các phương pháp cổ điển của sự thác triển giải tích, các kỹ thuật thác triển giải tích dựa trên chuỗi lũy thừa, tích phân Cauchy đối với đa đĩa

2.1 Lý thuyết tổng quát về thác triển giải tích

Xét bộ ba (a,U,f) trong đó n

a∈ ,U là một lân cận mở của a, f là một hàm trên U lấy giá trị trong một tập cố định X Hai bộ ba (a,U,f) và (a’,U’,f’) được gọi là tương đương nếu a = a’ và f = f’ trên lân cận U’’ chứa trong U∩U' Một lớp tương

đương của (a,U,f) được gọi là một mầm của f tại a Chúng ta sẽ gặp mầm các hàm

liên tục, hàm trơn với giá trị trong , và nổi bật nhất là mầm các hàm chỉnh hình

tại a Bộ ba (a,U,f) được gọi là phần tử hàm (a,U,f) tại n

a∈ Do định lý duy nhất

ta có các phần tử (a,U,f) và (a’,U’,f’) tại điểm a là tương đương nếu f và f’ có cùng

chuỗi lũy thừa tại a: f a = f a' Do vậy các mầm các hàm chỉnh hình có thể được đồng nhất với các chuỗi lũy thừa hội tụ

và (a U k, k,f k) là thác triển trực tiếp của (a k−1,U k−1, f k−1)với k = 1, ,p Với xích như trên, ta có thể bổ sung để bảo đảm rằng a k∈U k∩U k−1 với k =1,…,p Một xích như vậy có thể được tăng thêm các phần tử để nhận được một thác triển giải tích dọc theo cung γ :[0,1]→ n từ a đến b, nghĩa là γ được chọn như sau: γ(0) =a; (1)γ =b

và có một phân hoạch 0 = < < <t t t = 1 sao cho γ( )t =a và cung con tương ứng

khoảng [t k−1, ]t k thuộc U k−1 với k =1,…,p Khi đó ta có thể xác định một xích liên tục các phần tử ( ,a U t t, f t), 0≤ ≤t 1 nối (a,U,f) và (b,V,g)

Với một phần tử (a,U,f) tại a và điểm b cho trước, các xích khác nhau bắt đầu

từ (a,U,f) có thể dẫn đến các phần tử khác nhau tại b

Định nghĩa 2.1.2

Toàn bộ các lớp tương đương của các phần tử hàm (b,V,g) (hoặc các chuỗi

lũy thừa hội tụ g b) tại điểm n

b∈ , có thể nhận được từ một phần tử đã cho (a,U,f)

bởi một thác triển giải tích không bị giới hạn được gọi là hàm giải tích đầy đủ F

sinh bởi (a,U,f)

Miền Riemann đối với F:

Ta xây dựng miền đa diện Riemann R đối với hàm giải tích đầy đủ F trên n

sao cho F được chuyển thành hàm đơn trị Các điểm trên R đối với F trong định nghĩa 2.1.2 có dạng [( , , )b V g ] hoặc p=( ,b g b), ở đây [( , , )b V g ] ký hiệu là lớp tương đương của các phần tử tại b Ta nói rằng điểm p “bên trên” b và ánh xạ

 Với mỗi điểm b của n

 , miền Riemann R đối với F có nhiều lá mà được xem như là các lớp tương đương khác nhau [( , , )b V g ] tại b Nếu phần tử

(b,V,g) được nhận là thác triển giải tích của (a,U,f) dọc theo cung γ trong n

 , miền Riemann R sẽ chứa cung σ ”bên trên” nối các điểm trong tương ứng trong R

Trên miền Riemann, hàm giải tích đầy đủ F trở thành hàm đơn trị qua định nghĩa

F p =F b g =g b

Cho q=( ,z h z) thay đổi trong lân cận A ( , , )p V g trong R

Với một phần tử hàm cho trước (a,U,f) và một điểm b thuộc U có thể có hoặc không có một thác triển trực tiếp (b,V,g) tại b Trong trường hợp n =1 luôn tồn tại

hàm f ∈H U( ) mà không thể có thác triển giải tích qua mọi điểm biên của U Trong n,n≥2 thì hoàn toàn khác, có các miền liên thông D⊂n,n≥2 sao cho mọi hàm f ∈H D( ) có thác triển giải tích đến một miền liên thông lớn hơn D'⊂ n

(không phụ thuộc vào f) Trong nhiều trường hợp chúng ta có thể tìm một miền thác

z∈ sao cho chuỗi (2.2.1) hội tụ chuẩn tắc trong một lân cận của z Trong toàn bộ mục này ta ký hiệu

D là miền hội tụ của chuỗi (2.2.1)

Đặt

B= ∈z n:∃ >M 0 :c zα α ≤M ∀α

K P z β

=

⊂ , suy ra chuỗi (2.2.1) hội tụ chuẩn tắc trên mọi tập compact trong D Vậy z∈D Do định lý 2.2.1 ta có

tổng của chuỗi lũy thừa chỉnh hình trên miền hội tụ của nó

Chứng minh: Tính duy nhất là hiển nhiên, vì bằng cách đạo hàm từng số hạng ta

có

1 (0)

( , , ) 1

ε , do đó nếu z∈Ω'ε ta có (1+ε)z∈Ω Vì Ω là miền Reinhardt ta suy ra

(t z1 1, ,t z n n)∈Ω với mọi t∈∂0Tε Như vậy tích phân xác định một hàm trơn theo z Bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân suy ra g chỉnh hình trong Ω' Nếu bây giờ

với z đủ bé, (t z1 1, ,t z n n)∈Ω với mọi t∈Tε, công thức tích phân Cauchy suy ra f(z)=g(z) Do Ω'e liên thông nên f = g trong Ω'e

− − ∑ hội tụ chuẩn tắc khi

t∈∂0Tε Bởi vì (t z1 1, ,t z n n)thuộc tập compact trong Ω nếu z thuộc tập compact

trong Ω'e và t∈∂o Tε, ta có f z( ) fα( )z

α

=∑ với

1 0

1 1

1 1 1 1

( , , ) 1

α =α ∂ Từ đó ta có biểu diễn cần tìm

Chứng minh: Vì một hàm chỉnh hình trên một miền Reinhardt chứa 0 được biểu

diễn qua một chuỗi lũy thừa nên hàm có thể mở rộng chỉnh hình trên tập hợp các điểm mà chuỗi lũy thừa hội tụ Những điểm trước tiên được bổ sung vào miền Ωban đầu là những điểm z sao cho z j ≤ w j ∀j với w∈Ω nào đó, sau đó là những điểm z mà có w w1, 2∈Ω sao cho 1 2

log z j =λlog w j + − (1 λ) log w j với mọi j≤n, với mọi λ∈ [0,1]

Chứng minh: Đối với z∈D tùy ý ta chọn r > 0 sao cho đa đĩa P z r( , ) ⊂D; giả sử

hν <r và h= (0, ,hν, 0) ∈n là vector mà mọi tọa độ, trừ tọa độ thứ ν , đều bằng 0

n n

n n D

1

( , , m)

z= z z trong D đối với 'z∈ 'D,z n∉∂D n tùy ý Mặt khác, với 'z∈ 'D tùy ý, hàm f (xem như tích phân loại Cauchy) chỉnh hình đối với z n∈D n Nhưng với z

thuộc lân cận nào đó của tập { }'z o ×D n , hàm f chỉnh hình theo giả thiết và với những

z đó theo công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến z n là:

1( )2

n

n n

n n D

Cho D là miền trong n Tập hợp M⊂D được gọi là tập mỏng nếu với mọi

z∈D tồn tại lân cận U z ⊂D và một hàm chỉnh hình ϕ, ϕ≡ 0 và bằng 0 tại mọi điểm của M∩U z

Nhận xét rằng tập mỏng không thể có điểm trong, nó không đâu trù mật trong

Chứng minh: Vì D \ M liên thông nên sự thác triển là duy nhất Ta chỉ cần chứng

minh tính thác triển chỉnh hình của hàm f qua điểm bất kỳ a∈M mà không mất tính tổng quát, có thể xem a = 0 Do M là tập mỏng nên tồn tại lân cận U0 ⊂D và môt hàm chỉnh hình ϕ, ϕ≡ 0 và bằng 0 tại mọi điểm của M∩U0 Nếu cần, thực hiện một phép biến đổi tuyến tính, ta có ϕ thỏa mãn điều kiện ϕ(' , 0)z ≠ 0, trong đó

Chứng minh: Giả sử trong lân cận U của điểm 0 ∈M, mặt S biểu diễn bởi

phương trình y n =ϕ(' ,z x n), trong đó ϕ là hàm thực trơn Vì ϕ('0, 0) = 0 nên theo tính liên tục, với β > 0 nhỏ tùy ý, tìm được lân cận 'V của điểm ‘0 và số α > 0 sao cho ϕ(' ,z x n) <β với mọi 'z∈'Vvà x n <α Vì thế f chỉnh hình trong

'V× x <α, y <γ trong đó γ β> , γ đủ nhỏ Mặt khác, với 'z o∈ 'V cố định, hàm

(' o, )

n

f z z chỉnh hình theo z n trong hình chữ nhật D n ={x n <α, y n <γ}khắp nơi, trừ đường cong trơn y n =ϕ('z x o, n)và liên tục trong D n Từ đó suy ra tính chỉnh hình của f('z z o, n) trong D n Theo định lý 2.3.2 ta kết luận f chỉnh hình trong 'V×D n

là các miền chỉnh hình Nội dung chính của mục này là nêu đặc trưng của miền chỉnh hình (định lý 3.2.15) và một số tính chất của nó (các hệ quả 3.2.16, 3.2.17, định lý 3.2.19) Mục 3.3 trình bày về tính giả lồi, một cách giải thích khác khái niệm lồi chỉnh hình Mục này chỉ ra mọi miền chỉnh hình đều là miền giả lồi (định

lý 3.3.2) và nêu đặc trưng của miền giả lồi (định lý 3.3.10)

3.1 Khái niệm miền chỉnh hình

 Định nghĩa 3.1.1

Miền n

D ⊂  được gọi là miền chỉnh hình của hàm f nếu f chỉnh hình trong

D và không thác triển chỉnh hình được tới một miền lớn hơn, nói cách khác, đối với điểm tùy ý o

z ∈D , hàm f chỉnh hình trong đa đĩa lớn nhất P z r( o, )⊂D, r = (r, ,r)

và không thác triển chỉnh hình được vào bất kỳ đa đĩa nào P z r( o, '), r' >r, r’ = (r’, ,r’)

Một miền được gọi là miền chỉnh hình nếu nó là miền chỉnh hình của hàm

nào đó

Miền G, chứa thực sự miền D⊂n, n>1, được gọi là mở rộng chỉnh hình

của miền D, nếu mọi f ∈H D( ) thác triển được thành hàm chỉnh hình trong G

M ệnh đề 3.1.2

Nếu G là mở rộng chỉnh hình của miền D thì thác triển của hàm f ∈H D( )tùy ý có thể nhận trong G \ D chỉ các giá trị mà f nhận trong D

Chứng minh: Giả sử ngược lại, hàm f ∈H(D) nhận giá trị w o nào đó trong G \

D nhưng không nhận giá trị w o trong D Khi đó hàm ( ) 1

∈ = ∈ (ν = 1, , )n Vì D bị chặn nên vế phải hữu hạn, do

đó vế trái cũng hữu hạn, suy ra G bị chặn

Đặc trưng của miền chỉnh hình liên quan chặt chẽ với điểm biên của nó Ta

đưa ra khái niệm sau:

Định nghĩa 3.1.4

Ta nói tại điểm biên ζ của miền D ⊂ ntồn tại một chướng ngại (đối với

việc mở rộng chỉnh hình), nếu với mọi tập tùy ý KD, tồn tại hàm g∈H D( )sao cho K sup ( ) 1

∈ ∩ > đối với mọi lân cận U của ζ

*Nhận xét : i/ Nếu tồn tại hàm f ∈H(D) sao cho ( )

Thật vậy, đối với K compact tùy ý trong D lấy ( ) ( )

thỏa các điều kiện của định nghĩa 3.1.6

ii/ Mọi điểm biên của miền D trong  đều có chướng ngại

Cho D là miền trong n

 Nếu trên tập đếm được trù mật của ∂D tồn tại

chướng ngại Khi đó D là miền chỉnh hình

Chứng minh: Gọi B là tập các điểm đếm được trù mật của ∂D mà tại điểm đó

cho mọi điểm của nó được gặp trong dãy vô hạn lần (chẳng hạn nếu B là tập hợp

− < , tại đó f K 1

ν

ν < , f zν( ν) > 1 (Kνđã xây dựng ở bước ν − 1) Lấy Kν+1=Rν+1 sao cho zν ∈Kν+1

Để ý rằng do f zν( ν) > 1 nên ta có thể chọn dãy số tự nhiên qν (bắt đầu từ

1 ( ) n