một số tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa tôpô và các kết quả liên quan

Chương 3 đưa ra các ứng dụng của các tính chất của các kiểu đầy đủ trên: các ánh xạ tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục, trên các không gian giải tích với tính

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nguy ễn Minh Trí

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

M ỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: 5

1.1 Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô: 5

1.1.1 Không gian tôpô: 5

1.1.2 Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô: 6

1.1.3 Lân cận, cơ sở lân cận: 6

1.1.4 Không gian con tôpô: 6

1.1.5 Phần trong, bao đóng, biên: 7

1.1.6 Điểm hội tụ và điểm cô lập: 7

1.1.7 Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: 7

1.1.8 Các tiên đề tách: 8

1.1.9 Các tiên đề đếm được: 9

1.2 Không gian compact: 9

1.2.1 Không gian compact: 9

1.2.2 Không gian compact đếm được: 10

1.2.3 Không gian compact địa phương và k-không gian: 10

1.2.4 Compact hóa: 10

1.2.5 Ánh xạ đầy đủ: 11

1.2.6 Không gian Cech-đầy đủ: 11

1.2.7 Không gian giả compact: 11

1.3 Không gian mêtric, không gian mêtric hóa: 12

1.3.1 Không gian mêtric: 12

1.3.2 Không gian mêtric hóa được: 12

1.4 Không gian paracompact: 13

1.4.1 Không gian paracompact: 13

1.4.2 Không gian paracompact đếm được: 13

1.5 Nhóm tôpô và một số cấu trúc liên quan: 13

1.5.1 Nhóm tôpô: 13

1.5.2 Bổ sung Raikov của nhóm tôpô: 14

1.5.3 Nhóm tôpô Cech-đầy đủ: 15

1.5.4 M-không gian, p-không gian: 15

Chương 2: Các kiểu đầy đủ của các không gian tôpô: 17

2.1 Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô: 17

2.2 Chú ý: 21

2.3 Mệnh đề 2.3: 22

2.4 Mệnh đề 2.4: 23

2.5 Định lí 2.5: 23

2.6 Hệ quả 2.6: 26

2.7 Định lí 2.7: 26

2.8 Mệnh đề 2.8: 27

2.9 Mệnh đề 2.9: 27

2.10 Mệnh đề 2.10: 27

2.11 Mệnh đề 2.11: 28

2.12 Hệ quả 2.12: 29

2.13 Hệ quả 2.13: 29

2.14 Ví dụ: 29

Chương 3: Một số kết quả trên các nhóm tôpô 31

3.1 Các kết quả trên các ánh xạ tựa liên tục: 31

3.1.1 Mệnh đề 3.1.1: 32

3.1.2 Mệnh đề 3.1.2: 32

3.1.3 Hệ quả 3.1.3: 36

3.2 Các kết quả trên các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục: 36 3.2.1 Bổ đề 3.2.1: 36

3.2.2 Bổ đề 3.2.2: 37

3.3 Các kết quả trên các nhóm tôpô, nhóm nửa tôpô, và nhóm paratôpô: 38

3.3.1 Định lí 3.3.1: 38

3.3.2 Định lí 3.3.2: 40

3.3.3 Định lí 3.3.3: 42

3.3.4 Hệ quả 3.3.4: 42

3.3.5 Hệ quả 3.3.5: 43

3.3.6 Hệ quả 3.3.6: 43

3.3.7 Định lí 3.3.7: 44

3.3.8 Ví dụ: 44

3.3.9 Chú ý: 44

3.4 Các kết quả trên các không gian giải tích với tính chất Baire: 45

3.4.1 Định lí 3.4.1: 45

3.4.2 Hệ quả 3.4.2: 46

3.4.3 Hệ quả 3.4.3: 47

3.4.4 Hệ quả 3.4.4: 47

3.4.5 Hệ quả 3.4.5: 47

3.4.6 Hệ quả 3.4.6: 47

3.4.7 Hệ quả 3.4.7: 47

3.4.8 Hệ quả 3.4.8: 47

3.5 Các kết quả trên các lưới đếm được trong các hiệu của các nhóm nửa tôpô: 48

3.5.1 Định lí 3.5.1: 48

3.5.2 Bổ đề 3.5.2: 48

3.5.3 Định lí 3.5.3: 50

3.5.4 Ví dụ: 51

3.6 Các kết quả trên các nhóm giả compact từng điểm: 51

3.6.1 Bổ đề 3.6.1: 52

3.6.2 Định lí 3.6.2: 52

3.6.3 Định lí 3.6.3: 54

3.6.4 Hệ quả 3.6.4: 55

3.6.5 Ví dụ: 55

3.6.6 Chú ý: 56

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

M Ở ĐẦU

Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân

:

m G G× → là liên tG ục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một

tôpô thỏa phép nhân :m G G× → là liên tG ục tách Một nhóm nửa tôpô G mà

phép toán nghịch đảo :In G→ là liên tG ục thì được gọi là nhóm tựa tôpô

Việc nghiên cứu các tính chất trên các nhóm tôpô, nhóm paratôpô, và nhóm nửa tôpô đã được rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm

Sự liên quan của các nhóm nửa tôpô tách được, các nhóm nửa tôpô mêtric hóa được với các nhóm tôpô và paratôpô cũng rất được quan tâm bởi nhiều nhà toán học:

Năm 1936, D.Montgomery đã chứng minh được rằng:

- Mọi nhóm nửa tôpô tách được và mêtric hóa được bởi một mêtric đầy

Gần đây, một số phát triển theo các kết quả trên cũng đã được đưa ra bởi

A.Bouziad (1996), P Kenderov, I S Kortezov và W Moors (2001),

A V Arhangel’skii và E A Reznichenko (2005)

A Bouziad đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tôpô Cech-đầy đủ là một

nhóm tôpô

A V Arhangel’skii và E A Reznichenko cũng đã chứng minh được

rằng một nhóm paratôpô G là một nhóm tôpô nếu nó là một Gδ-không gian

con của không gian giả compact nào đó

P Kenderov, I S Kortezov và W B Moors đã giới thiệu một lớp các

không gian Baire mạnh và đã chứng minh được rằng một nhóm nửa tôpô

Baire mạnh là một nhóm tôpô

Và một số mối liên hệ đáng chú ý giữa tính liên tục tách và liên tục nối

cũng đã được xây dựng từ đó

Dựa trên các kết quả ở trên, luận văn này sẽ tiếp tục nghiên cứu một số

phương pháp về các tính chất kiểu đầy đủ mà A V Arhangel’skii đã đưa ra

và mở rộng các định lí của D Montgomery và R Eliss trên lớp rất rộng của

các không gian quạt-đầy đủ

Lớp các không gian quạt-đầy đủ cũng khá lớn, nó có mối quan hệ với các

không gian quen thuộc, chẳng hạn:

- Tất cả các không gian compact, các không gian compact đếm được, và

các không gian giả compact đều là không gian quạt-đầy đủ

- Mọi Gδ-không gian con trù mật của một không gian quạt-đầy đủ là

không gian quạt-đầy đủ

- Ảnh bất kì của một không gian quạt-đầy đủ qua các ánh xạ liên tục mở

là không gian quạt-đầy đủ

- Một không gian quạt-đầy đủ địa phương bất kì là không gian quạt-đầy

đủ

Quan tâm đến các mối quan hệ trên, luận văn của chúng tôi dành cho

việc khảo sát các không gian quạt đầy đủ và các tính chất của chúng Luận văn cũng dành cho việc nghiên cứu các không gian trên trong mối quan hệ

với: các ánh xạ tựa liên tục, phép nhân tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô cùng

với một phép nhân tựa liên tục, các không gian giải tích với tính chất Baire,…

Nội dung của luận văn gồm ba chương Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp theo sau Chương 2 giới thiệu các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô và các tính chất của chúng Chương 3 đưa ra các ứng dụng của các tính chất của các kiểu đầy đủ trên: các ánh xạ tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên

tục, trên các không gian giải tích với tính chất Baire,… Trong phần kết luận ta

sẽ trình bày một số nhận xét về các kết quả trên và hướng mở rộng cho luận văn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Trong quá trình học tập và làm luận văn, thầy luôn động viên và giúp tác giả tiếp cận với những hướng mới trong toán học hiện đại, các vấn đề lớn và các bài toán mở trong toán Sự động viên và sự hướng dẫn

tận tình của thầy không những giúp tác giả trong việc hoàn thành luận văn mà còn giúp tác giả có thêm những cách nhìn nhận mới trong các lĩnh vực khác

của cuộc sống xã hội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác

giả cũng xin chân thành cám ơn quý thầy đã trực tiếp giảng dạy trên lớp hình

học và tôpô khóa 21 cùng quý thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình

độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao

học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Chương 1

Trong chương đầu tiên này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lí thuyết nhằm

phục vụ cho các chương tiếp theo Các kiến thức chủ yếu trong chương này

nhằm mục đích giới thiệu các khái niệm cơ bản trong các không gian tôpô và các nhóm tôpô

Hầu hết các kiến thức được đưa ra đều rất ngắn gọn, dễ hiểu để tiện

việc theo dõi tiếp các phần sau Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [7], [17]

1.1 Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô:

1.1.1 Không gian tôpô:

Một không gian tôpô là một cặp (X,τ) bao gồm một tập hợp X và

một họ τcác tập con của X thỏa các điều kiện sau:

1.1.2 Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô:

Cho τ là một tôpô trên X Một họ β ⊂ τ gọi là một cơ sở của không gian tôpô (X,τ) nếu mọi tập con mở khác rỗng của X đều bằng hợp của

một họ các tập thuộc β

Một họ σ τ⊂ gọi là một tiền cơ sở của không gian tôpô (X,τ) nếu

họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ

Một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở

của nó

1.1.3 Lân cận, cơ sở lân cận:

Cho X là không gian tôpô và x∈ TX ập con V của X được gọi là

một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x G V∈ ⊂ Nếu lân

cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x

Một họ U các lân cx ận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi

lân cận V của x đều tồn tại lân cận U ∈U sao cho U V x ⊂

1.1.4 Không gian con tôpô:

Cho (X,τ)là một không gian tôpô và một tập A⊂ X Khi đó, họ

τ = ∩ ∈τ là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô τ

trên X Không gian (A,τA) gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô (X,τ)

1.1.5 Ph ần trong, bao đóng, biên:

Cho không gian tôpô (X,τ)và tập A⊂ X , phần trong o

A của A là

hợp của tất cả các tập mở bị chứa trong A, bao đóng A của A là giao của

tất cả các tập đóng chứa A, và biên của A là o

∂ = −

Một tập A⊂ X gọi là trù mật nếu A= X , hay A trù mật nếu mọi

tập con mở của X chứa một điểm của A

Tập A⊂ X gọi là không đâu trù mật nếu ( )o

A = ∅

1.1.6 Điểm hội tụ và điểm cô lập:

Một điểm x X∈ là một điểm hội tụ của A⊂ X nếu x∈A\{ }x

Tập tất cả các điểm hội tụ của A gọi là tập có hướng của A, kí hiệu d

A Điểm thuộc tập A A\ dgọi là điểm cô lập Một điểm x là điểm cô lập

của không gian X khi và chỉ khi tập { }x là tập mở, tức là

{ }x = X \ X \{ }x hay x∉X \{ }x

1.1.7 Ánh x ạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng:

Cho (X,τ) và (Y, 'τ ) là hai không gian tôpô Một ánh xạ f từ X tới

Y gọi là liên tục tai x∈X nếu mọi lân cận V của f x( ) trong Y đều tồn

tại lân cận U của x trong X sao cho f U( )⊂V, nghĩa là, 1

( )

f − V là một lân cận của x

Ánh xạ f gọi là mở nếu mọi tập mở (đóng) G trong X, f G( )là tập

mở (đóng) trong Y

Ánh xạ f gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và 1

T -không gian: Không gian tôpô X là T -không gian n0 ếu hai

điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y

hoặc một lân cận của y không chứa x

T -không gian n ếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X tồn tại lân

cận U của x và một lân cận V của y sao cho U V∩ = ∅

3

T -không gian (Không gian chính quy):

Không gian tôpô X có điều kiện chính quy nếu mọi x∈X , mọi

tập con đóng  của X không chứa x , tồn tại các tập con mở U V, sao cho x U∈ ,  ⊂V U, ∩ = ∅V

Tương đương mọi x∈X , mọi lân cận Vcủa x đều chứa một lân

cận đóng của x nghĩa là tồn tại lân cận U của x sao cho x U U V∈ ⊂ ⊂ Không gian tôpô X là T -không gian n3 ếu X là T -không gian và 1

thỏa mãn điều kiện chính quy

1 2

T -không gian (không gian hoàn toàn chính quy – không gian

Tychonoff): Không gian tôpô X là 1

2

T -không gian nếu X là T -không 1

gian và với mỗi x X∈ , mỗi tập con đóng Fcủa X không chứa x, tồn

tại một hàm liên tục f X: →[0,1] sao cho f x( )=0 và f F( ) 1=

4

T -không gian (không gian chuẩn tắc):

Không gian tôpô X là T -không gian n4 ếu X là T -không gian và 1

với hai tập con đóng A B, bất kỳ không giao nhau trong X , tồn tại các

tập mở rời nhau U và V sao cho A⊂U B, ⊂V và U ∩ = ∅ V

1.1.9 Các tiên đề đếm được:

Không gian tôpô X được gọi là thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nếu

mọi điểm x X∈ đều có một cơ sở lân cận đếm được

Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô

của nó có một cơ sở đếm được

Không gian chính qui mà mọi phủ mở trong nó đều có một phủ con đếm được thì gọi là không gian Lindeloff Như vậy, một không gian chính qui thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian Lindeloff

1.2 Không gian compact:

1.2.1 Không gian compact:

Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là

không gian Hausdorff và mọi phủ mở của X có một phủ con hữu hạn,

nghĩa là mọi phủ mở { }U s s S⊂ của không gian X tồn tại một tập hữu hạn

{s s1 , 2 , ,s k}⊂Sthỏa 1 2

k

1.2.2 Không gian compact đếm được:

Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được

nếu X là một không gian Hausdorff và mọi phủ mở đếm được của X có

một phủ con hữu hạn

1.2.3 Không gian compact địa phương và k-không gian:

Một không gian tôpô X được gọi là một không gian compact địa phương nếu với mọi x X∈ có một lân cận U của x thỏa U là một không

gian con compact của X Mọi không gian compact địa phương là không

gian Tychonoff

Một không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu X là không gian Hausdorff và X là ảnh của một không gian compact địa phương qua ánh xạ thương Nói cách khác, k-không gian là một không gian

Hausdorff mà có thể được biểu diễn như là không gian thương của các không gian compact địa phương

1.2.4 Compact hóa:

Cho X là một không gian compact Cặp (Y c, ), với Y là một không

gian compact và c X: →Y là phép nhúng đồng phôi của X lên Y thỏa

( )

c X =Y , được gọi là một compact hóa của không gian X

Gọi C X( ) là họ tất cả compact hóa của X Ta định nghĩa một quan

hệ thứ tự trên họ C X( ) như sau: c X2 ≤c X1 nếu tồn tại một ánh xạ

:

f c X →c X thỏa fc1 = c2

Phần tử lớn nhất trong họ C X( )của tất cả compact hóa của một

không gian Tychonoff X được gọi là compact hóa Cech-Stone của X, kí

Đơn ánh f X: →Y xác định trên một không gian Hausdorff X là

đầy đủ khi và chỉ khi nó là một ánh xạ đóng, tức là, f là một phép nhúng

đồng phôi và tập f X( ) đóng trong Y

1.2.6 Không gian Cech-đầy đủ:

Một không gian Tychonoff được gọi là Cech-đầy đủ nếu nó là một

Gδ-tập trong các compact hóa Hausdorff của nó

1.2.7 Không gian giả compact:

Một không gian tôpô X gọi là không gian giả compact nếu X là một

không gian Tychonoff và mọi hàm giá trị thực liên tục trên X đều bị

chặn

1.3 Không gian mêtric, không gian mêtric hóa:

1.3.1 Không gian mêtric:

Một không gian mêtric là một cặp (X,ρ) gồm một tập X và một

hàm ρ: X × X →  thỏa mãn các điều kiện sau:

(M1) ρ(x y, )= 0 khi và chỉ khi x y= ,

(M2) ρ(x y, )=ρ(y x, ) với mọi x y, ∈X ,

(M3) ρ(x y, )+ρ(y z, )≥ ρ( )x z, với mọi x y z, , ∈X

Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm,

hàm ρ gọi là mêtric trên tập X và số ρ(x y, ) được gọi là khoảng cách

giữa x và y

Nếu hàm ρ: X × X →  thỏa điều kiện (M2), (M3) và điều kiện (M1’) ( , )ρ x x = với mọi x X0 ∈

thì được gọi là một giả mêtric trên tập X

Với mọi không gian mêtric (X,ρ), họ các tập mở theo mêtric ρlà

một tôpô trên X Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric ρ Không gian

mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh mêtric

1.3.2 Không gian mêtric hóa được:

Không gian tôpô ( , )X τ gọi là không gian mêtric hóa được nếu X

đồng phôi với một không gian mêtric (nghĩa là tồn tại một mêtric ρ trên

tập X sao cho tôpô sinh bởi mêtric ρ trùng với tôpô τ của X (τ τ= ρ)

Không gian ( , )X τ mêtric hóa con được nếu tồn tại một tôpô 'τ

trên X sao cho 'τ ⊂ và τ ( , ')X τ mêtric hóa được

1.4 Không gian paracompact:

1.4.1 Không gian paracompact:

Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu X là

một không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X có một cái mịn mở hữu

hạn địa phương

Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con nếu X

là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X luôn có một cái mịn đóng σ -rời rạc

1.4.2 Không gian paracompact đếm được:

Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact đếm được

nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương

Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con đếm

được nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X

luôn có một cái mịn đóng σ -rời rạc

1.5 Nhóm tôpô và một số cấu trúc liên quan:

1.5.1 Nhóm tôpô:

Cho X, Y, Z là các không gian tôpô và f X Y: × → là một hàm, ta nói: Z

- f là liên tục nối tại (x y0, 0)∈ ×X Y nếu với mỗi lân cận W của

( 0, 0)

f x y tồn tại một tích của các tập mở U V× ⊆ ×X Y chứa (x y0, 0)

thỏa f U V( × )⊆W

- f là liên t ục tách trên X Y× nếu với mỗi x0∈X và y0∈Y , các hàm y  f x y( 0, ) và x f x y( , 0) là các hàm liên tục trên Y và X

tương ứng

Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân

là liên tục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa

1.5.2 B ổ sung Raikov của nhóm tôpô:

Nhóm Raikov đầy đủ là nhóm tôpô có thể nhúng được vào một nhóm mà tất cả các lọc trong nó đều hội tụ

G để *

G trở thành một nhóm tôpô, cuối cùng ta sẽ

kiểm tra rằng ánh xạ ( ) *

:

i G→i G ⊂G là một đẳng cấu tôpô Khi đó,

*

G được gọi là mở rộng Raikov của G

1.5.3 Nhóm tôpô Cech- đầy đủ:

Nhóm tôpô Cech-đầy đủ là nhóm tôpô mà không gian cơ bản của nó

là Cech-đầy đủ

1.5.4 M-không gian, p-không gian:

Cho X là một không gian Với mỗi A⊂ X và U là họ các tập con

của X, ta định nghĩa st A( ,U)={U∈U:U ∩ ≠ ∅A }

Với x X∈ , ta viết st x U( , ) thay cho st( { }x U , )

Cho X là một không gian, U là một phủ của X

Cho V là một phủ của X thỏa: ∀ ∈x X, ∃ ∈U U: ,st x{ }V ⊆U Khi

đó, ta nói V là một làm mịn hình sao của U

M-không gian: M ột không gian X được gọi là một M-không gian

nếu tồn tại một dãy ( )ξ các phủ mở của X thỏa: n

(i) Nếu x n∈st x( ,ξn), với mỗi n∈ω, thì {x n:n∈ω}có một điểm

hội tụ

(ii) Với mỗi n∈ω, ξn+1 là một làm mịn hình sao của ξn

p-không gian: M ột không gian hoàn toàn chính qui là một p-không

gian nếu tồn tại một dãy ( )Un của họ các tập con mở của βX thỏa:

(i) Mỗi U là phn ủ của X

(ii) Với mỗi x∈X, n st x( , Un)⊂ X

Nếu ta có thêm

(iii) n st x( ,Un)=n st x( ,U , thì X n) được gọi là một p-không gian

ngặt

Chương 2

KHÔNG GIAN TÔPÔ

Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu một số kiểu đầy đủ của các không gian tôpô và một số tính chất quan trọng của chúng

2.1 Các ki ểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô:

Cho một dãy {H n:n∈ω} các tập con của không gian X ,

lim H n:n∈ω là tập hợp tất cả các điểm hội tụ của {H n:n∈ω}

Nếu H n+1⊆H n,với mọi n∈ω, thì lim{H n:n∈ω}={cl H X n:n∈ω}

Một dãy {U n:n∈ω} của các tập con mở trong không gian X được gọi là

dãy dừng nếu nó thỏa các điều kiện sau:

(S1) ∅ ≠U n+1 ⊆U n, với mọi n∈ω;

(S2) Mọi dãy {V n :n∈ω}của các tập mở khác rỗng trong X thỏa V n ⊆U n

, với mỗi n∈ω, có một điểm hội tụ trong X, nghĩa là lim{V n:n∈ω}≠ ∅

Một tập con L của không gian X là bị chặn nếu với mọi họ hữu hạn địa

phương γ của các tập con mở trong X, tập {U ∈γ :U ∩ ≠ ∅L } là hữu hạn

Một không gian X là compact yếu nếu mọi họ hữu hạn địa phương của

các tập con mở trong X là hữu hạn, nghĩa là X bị chặn trong X Trong không

gian Tychonoff, tính compact yếu tương đương với tính giả compact Mọi

không gian compact đếm được là không gian compact yếu Một tập con L của

một không gian Tychonoff X bị chặn nếu và chỉ nếu mọi hàm liên tục trong

H α = Uα n∈ω Xét các điều kiện sau:

(SC1): {Uβ :β∈A n}là một tập con trù mật của X với mỗi n∈ω

(C2): Cho bất kì c-dãy α ={αn∈A n:n∈ω}, mỗi dãy

n

n

y ∈ ∩Y Uα n∈ω có một điểm hội tụ trong X

(C3): Cho bất kì c-dãy α ={αn∈A n:n∈ω}, dãy { ; }

n

Uα n∈ω là một cơ

sở của các lân cận mở của tập H( )α trong X

(C4): Cho bất kì c-dãy α ={αn∈A n:n∈ω}, tập H( )α là tập con

compact khác rỗng của X

(C5): Cho bất kì c-dãy α ={αn∈A n:n∈ω}, tập H( )α là tập con

compact đếm được khác rỗng của X

Dãy γ và π được gọi là ω A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3) và mỗi

Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó

một không gian con trù mật Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2) và

(C4) Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với

tính chất (C2) và (C4) khi Y=X

Một không gian X được gọi là q-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó một

không gian con Y và m ột A-sàng trù mật với tính chất (C2) Một không gian X

được gọi là q-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với tính chất (C2) và (C5) với

Y=X

Một không gian X được gọi là quạt-đầy đủ trù mật nếu tồn tại một

A-sàng trù mật trên X với tính chất (C1) Một không gian X được gọi là

quạt-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng trên X với tính chất (C1)

Theo E.Michael ([27],[23]) : Một điểm x X ∈ được gọi là một q D - điểm

nếu tồn tại một không gian con trù mật Y của X và một dãy các lân cận

{U n:n∈ω} của x trong X thỏa nếu x n∈ ∩Y n U nthì dãy {x n:n∈ω} có một

chùm điểm trong X

Nếu Y=X thì x là một q-điểm

Một không gian X được gọi là một q-không gian trù mật nếu mỗi

x∈ là mX ột q D-điểm Một không gian X được gọi là một q-không gian nếu

mỗi x∈X là một q-điểm Mọi không gian q-đầy đủ đều là một q-không gian

Cho {γn ={Uα :α∈A n},πn:A n+1→ A n n: ∈ω} là một ωA-sàng trù mật

với tính chất (C2) và X1 =  {H( ) :α αlà một c-dãy} Khi đó, mọi điểm

1

x∈X là một q D-điểm Tập X là trù m1 ật trong X

Một điểm x∈X được gọi là một điểm của kiểu đếm được nếu tồn tại

một tập con compact F với một cơ sở đếm được của các lân cận mở

{U n:n∈ω} trong X thỏa x∈F Một không gian X được gọi là một không

gian của kiểu đếm được theo từng điểm nếu mỗi x∈X là một điểm của kiểu

đếm được

b) Mọi không gian compact yếu là quạt-đầy đủ

Theo các định nghĩa ở trên ta thấy được tính di truyền của các kiểu

không gian đầy đủ lên các không gian con đóng qua các phát biểu sau:

- Mọi không gian Tychonoff là không gian con đóng của không gian giả compact nào đó, một không gian con đóng của một không gian

quạt-đầy đủ không nhất thiết phải là không gian quạt-đầy đủ

- Mọi không gian con đóng của một không gian sàng-đầy đủ là không gian sàng-đầy đủ

- Mọi không gian con đóng của một không gian q-đầy đủ là không gian q-đầy đủ

- Mọi không gian q-đầy đủ là không gian q-đầy đủ trù mật

- Mọi không gian sàng-đầy đủ là không gian q-đầy đủ, và mọi

không gian q-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ

- Mọi không gian µ-đầy đủ, quạt-đầy đủ là không gian sàng-đầy đủ

- Một không gian X là quạt-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó chứa

một không gian con quạt-đầy đủ trù mật

Đối với một không gian quạt-đầy đủ thì tính chất đầy đủ được bảo toàn

trên các Gδ-không gian con Điều đó thể hiện qua mệnh đề sau:

2.3 Mệnh đề 2.3: Mọi Gδ-không gian con của một không gian quạt-đầy đủ

là không gian quạt-đầy đủ Đặc biệt, mọi không gian Cech-đầy đủ là sàng-đầy

đủ

Ch ứng minh:

Cho u ={γn ={Uα :α∈A n},πn:A n+1→A n n: ∈ω} là một A-sàng với

tính chất (C1) trên một không gian X, và cho Y = {U n:n∈ω} với

{U n:n∈ω} là một dãy các tập con mở trong X Khi đó, tồn tại một dãy

{ξn = Vβ :β∈B n :n∈ω} của họ các tập mở trong X, dãy các ánh xạ

{q n:B n+1 →B n:n∈ω} và {h n:B n →A n:n∈ω} thỏa:

Mệnh đề sau cho ta thấy được mối quan hệ giữa không gian quạt-đầy đủ

và không gian Baire:

2.4 Mệnh đề 2.4: Nếu một không gian X có chứa một không gian con

quạt-đầy đủ trù mật thì X có tính chất Baire

Một không gian X là một M-không gian đầy đủ nếu tồn tại một ánh xạ

đóng liên tục f X: →Yvào một không gian mêtric hóa đầy đủ Y thỏa 1

( )

f − y

là compact đếm được Trong trường hợp này chúng ta nói rằng f là một ánh

xạ tựa đầy đủ Mọi M-không gian đầy đủ là q-đầy đủ

Định lí sau đây cho thấy một số tính chất của các kiểu không gian đầy đủ qua một ánh xạ liên tục mở và qua một mở rộng liên tục của ánh xạ đó

2.5 Định lí 2.5: Cho X là một không gian mêtric

Cho f X: →Y là một ánh xạ liên tục mở của một không gian X vào

một không gian Y, và X là m1 ột không gian con quạt-đầy đủ trù mật của X

Khi đó tồn tại một không gian con quạt-đầy đủ trù mật Y c1 ủa Y thỏa

1 1

( )

f X ⊆ Hơn nữa, nếu X, Y là các không gian Tychonoff và Y

β β →β là mở rộng liên tục của f, thì tồn tại một Gδ-không gian con

paracompact Z của βX thỏa:

h= f Z Z →S là một ánh xạ tựa đầy đủ, và Z là M-1 không gian đầy đủ;

Nếu X là m1 ột không gian sàng-đầy đủ, thì Z ⊆ X ;

Nếu X hoặc X là 1 µ-đầy đủ thì Z ⊆ X

Chứng minh:

Tồn tại một dãy γn ={Uα :α∈A n}:n∈ω của họ các tập con mở

của X và một dãy {πn:A n+1 →A n:n∈ω} các ánh xạ thỏa:

Giả sử rằng X và Y là các không gian Tychonoff Khi đó, có các họ

rời rạc {ξn ={Hβ :β∈B n}:n∈ω} các tập con mở của βX , các họ rời

X ∩Hβ ⊆U β và β f H( β) =Wβ với mọi β ∈B n và n∈ω;

- πn q n+1 =q n p n+1 với mọi n∈ω

Đặt H n ={Hβ :β ∈B n},Z = {H n :n∈ω} và S= {W n:n∈ω}

Các không gian con Z, S và ánh xạ g =βf Z Z: →S thỏa các điều kiện

của định lí

2.6 H ệ quả 2.6: Nếu một không gian µ-đầy đủ X có chứa một không gian

con quạt-đầy đủ thì X có chứa một không gian con paracompact Cech-đầy

Nếu X là một không gian quạt-đầy đủ paracompact, thì tồn tại một

dãy {γn ={Uα :α∈A n}:n∈ω} của các phủ hữu hạn địa phương mở và

một dãy {πn:A n+1 → A n:n∈ω} của các ánh xạ với các tính chất (C1), (C2) thỏa Uα là một Fσ-tập trong X với mọiα∈A n và n∈ω Cố định các hàm liên tục không âm {gα :α∈A n n, ∈ω} thỏa

{gβ :β∈A n}=2−n

(0) \

gα− = X Uα với mọi α∈A n và n∈ω Khi

đó, ρ( , )x y =∑ {gα :α∈A n n, ∈ω} là một giả mêtric liên tục trên X Do

đó, tồn tại một không gian mêtric (Y,d) và một ánh xạ liên tục f X: →Y

vào Y thỏa ρ( , )x y =d f x f y( ( ), ( )) với mọi x y, ∈X Cố định b∈X và

một c-dãy α ={αn:n∈ω} thoả { : }

n

b∈ Uα n∈ω Tồn tại một dãy

{ε( ) :n n∈ω} thỏa ε( )n >ε(n+ >1) 0 và

{ X: ( , ) ( )}

n n

ánh xạ đầy đủ Bây giờ ta dễ dàng kiểm tra được rằng (Y,d) là một không

gian mêtric đầy đủ

2.8 Mệnh đề 2.8: Cho X là một không gian thỏa:

Với mọi tập con khác rỗng U, tồn tại một tập con mở khác rỗng V và

một không gian con quạt-đầy đủ Z của X sao cho:

X

Z ⊆ ⊆ ⊆V U cl Z

Khi đó X chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật

2.9 M ệnh đề 2.9: Bất kì không gian quạt-đầy đủ địa phương nào cũng đều là

không gian quạt-đầy đủ

2.10 M ệnh đề 2.10:

Cho G là m ột nhóm nửa tôpô hoặc là một không gian thuần nhất, V là

một tập con mở của G, Z là một không gian con quạt-đầy đủ, với

X

Z ⊆ ⊆V cl Z Ta có:

1 G có chứa không gian con quạt-đầy đủ trù mật nào đó

2 Nếu Z =V , thì G là không gian quạt-đầy đủ

Một tập Z là chuẩn tắc trong một không gian X nếu với bất kì tập con

đóng F của không gian con Z và với mỗi tập con mở U của X chứa F tồn tại

một tập con V của X thỏa F ⊆ ⊆V cl V X ⊆ Hiển nhiên, Z là một không U

gian con đóng chuẩn tắc của X

1 F là m ột không gian con đóng chuẩn tắc của không gian X

2 Không gian con F là compact đếm được

3 {U n:n∈ω} là một cơ sở của F trong X

Ch ứng minh:

1 Hiển nhiên

2 Cho L={x n∈F n: ∈ω}là một dãy rời rạc của không gian con F

Khi đó tồn tại một họ rời rạc{V n :n∈ω}các tập con mở của X thỏa

3 Cho U và V là hai t ập con mở của X và F ⊆ ⊆V cl V X ⊆ Khi U

đó {H n =U n \cl V n X : ∈ω} là một họ rời rạc các tập con mở của X Do