một số áp dụng của biến đổi fourier vào biến đổi laplace ngược

HỒ CHÍ MINH Trịnh Văn Hạnh MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER VÀO BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012... HỒ CHÍ MINH Trịnh Văn Hạnh MỘT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trịnh Văn Hạnh

MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER

VÀO BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trịnh Văn Hạnh

MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER

VÀO BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 4

LỜI MỞ ĐẦU 5

Chương 1: GIỚI THIỆU 6

1.1 Biến đổi Fourier 6

1.2 Đưa tích phân Mellin về biến đổi Fourier 12

Chương 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC BẰNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA CHUỖI FOURIER 14

2.1 Trường hợp hàm gốc f(x) giảm nhanh 14

2.2 Trường hợp giảm nhanh của giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F(p) 15

Chương 3: CÔNG THỨC NỘI SUY ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN FOURIER 18

3.1 Một số chú ý sơ bộ 18

3.2 Phép nội suy đại số của hàm f(x) 19

3.2.1 Các công thức bổ trợ 19

3.2.2 Xây d ựng công thức tính toán 20

3.3 Phép nội suy bởi các hàm hữu tỷ 51

3.3.1 Chọn phép nội suy và sai số của nó 51

3.3.2 Công thức cầu phương nội suy tổng quát 63

3.3.3 Phép nội suy với các điểm cách đều 66

3.3.4 Quy tắc tính kết hợp với nghiệm của đa thức trực giao 66

KẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Cam, người Thầy đã hướng dẫn, động viên, khuyến khích tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy - Cô trong hội đồng chấm luận văn đã

cảm ơn các Thầy đã truyền đạt kiến thức trong các học phần

Cảm ơn quý Thầy – Cô thuộc các phòng, khoa, thư viện của trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, thực hiện và bảo vệ luận văn

Cuối cùng, tôi gởi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè gần xa, người thân đã

hổ trợ, giúp đỡ nhiều mặt

LỜI MỞ ĐẦU

Biến đổi Laplace có nhiều áp dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật Bài toán khôi phục hàm gốc từ hàm ảnh trong phép biến đổi Laplace được nhiều nhà toán học quan tâm khảo cứu và cho đến nay có rất nhiều phương pháp được đưa ra

Trong luận văn này, chúng tôi tính xấp xỉ biến đổi Laplace ngược thông qua việc áp dụng biến đổi Fourier vào biến đổi Laplace ngược Cụ thể là tính tích phân Mellin bằng biến đổi Fourier, từ đó xét các công thức nội suy để tính tích phân Fourier

Chương 1: GIỚI THIỆU

Việc tính tích phân Mêllin bằng cách quy về tích phân Fourier là hữu ích,

do hai lý do sau đây Thứ nhất, nó là một trong nhiều phương pháp có thể tính toán khi các điểm của công thức cầu phương được lấy trên đường tích phân

p= +c iτ −∞ < < ∞τ Thứ hai, phương pháp này có thể hữu ích trong thực

pháp khác

1.1 Biến đổi Fourier

Chúng ta xem xét tích phân Fourier kép

được gọi là biến phân toàn phần của hàm f trên đoạn [ , ]a b Nếu ar ( )

a x b V f

≤ ≤ có giá trị hữu hạn, thì ta nói f là một hàm có biến phân hữu hạn trên [ , ]a b

1.1.2.Định lý 1 Lấy f là một hàm khả tích tuyệt đối trên trục số

Phương trình (1.1.2)và (1.1.3) gọi là các công thức Fourier

Bằng cách thay biến ubằng −u ta có thể đưa công thức Fourier (1.1.3) về

ix 1

hàm ảnhϕ.Công thức(1.1.6)cho ta quy tắc chuyển từ hàm ảnh ϕ sang hàm gốc f

1 2 0

Tích phân bên trong của (1.1.3) sẽ có biểu diễn sau theo g và h:

( ) cos ( ) ( ( ) ( ))(cos cos sin sin )

cos ( ) cos sin ( ) sin cos ( ) cos sin ( ) sin

h t utdt h t utdt h t utdt

thức (1.1.11) là biến đổi ngược

Công thức Fourier sine (1.1.9)cho ta mối liên hệ giữa hai hàm f và ϕs:

0 0

Ta có thể thấy rằng biến đổi Fourier phức (1.1.5)có thể quy về biến đổi

(1.1.10)và (1.1.12) Trong (1.1.5), thay f t( ) bởi tổng phần chẵn và phần lẽ của nó f t( ) =g t( ) +h t( ), ( )g t và ( ) h t được chỉ ra ở trên

đổi Fourier cosine và Fourier sine

1.2 Đưa tích phân Mellin về biến đổi Fourier

Bây giờ chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa biến đổi Laplace ngược và biến đổi Fourier Xét tích phân Mellin

Với hàm F p( ) xác định và khả tích tuyệt đối trên đường thẳng p= +c iτ

( −∞ < < ∞τ ) Tích phân hội tụ đều với x nằm trên trục −∞ < < ∞x và là một

Nếu trong (1.2.1) ta đặt p= +c iτ, vậy thì ta có thể biến đổi (1.2.1) về dạng

Công thức trên cho thấy rằng việc tính tích phân Mellin f x( ) dẫn đến biến đổi Fourier phức của hàm F c i( + τ)

về biến đổi Fourier cosine và sine của phần chẵn và phần lẽ của hàm

Chương 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC BẰNG GIÁ TRỊ

TRUNG BÌNH CỦA CHUỖI FOURIER 2.1 Trường hợp hàm gốc f(x) giảm nhanh

hạn [0, ]T Khai triển g t( ) dạng chuỗi Fourier trên [0, ]T và viết khai triển ở dạng phức:

2.2 Trường hợp giảm nhanh của giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F(p)

Xét hàm G( ) τ =F c i( + τ ) là khả tích tuyệt đối trên trục −∞ < < ∞ τ và nhỏ không đáng kể bên ngoài khoảng hữu hạn [ − ≤ ≤T τ T] Khai triển G( ) τ ở dạng chuỗi Fourier:

Vì bên ngoài khoảng [ −T T, ] hàm G( ) τ xem như nhỏ không đáng kể, phương trình sau luôn đúng với độ chính xác chấp nhận được:

1

2

1 [ ( ) ( ) ] 2

T T

xT k T

Chương 3: CÔNG THỨC NỘI SUY ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN

chúng sẽ cho ta sai số khá lớn khi f t( ) được biết gần đúng

Hàm được lấy tích phân trong (3.1.1) là tích f t c( ) osut Nếu tham số u là

toán trở nên khó khăn thậm chí không có lời giải Điều tương tự đối với

3.2 Phép nội suy đại số của hàm f(x)

Phép nội suy đại số là sử dụng hàm xấp xỉ liên tục và đủ trơn trên các khoảng hữu hạn

3.2.1 Các công thức bổ trợ

Chúng ta bắt đầu bởi việc đưa ra các công thức bổ trợ đơn giản để phục vụ

cho việc tính các tích phân của các hàm chứa các thừa số lượng giác

Lấy [ , ]a b là một khoảng hữu hạn bất kì và ( )l x là một đa thức đại số có

il a l a il a l a e

il b l b il b l b e

−

−

thức Euler với các số hạng là hàm lượng giác, và so sánh phần thực và phần

ảo, ta sẽ được các công thức hữu dụng để tính các tích phân có chứa các thừa

số lượng giác:

/ / / / 3 / / / / / / / /

/ / / / 3 / / / / / / / /

/ / / / 3 / / / / / / / /

3.2.2 Xây dựng công thức tính toán

Xét biến đổi (3.1.1), ta chia nửa trục của phép lấy tích phân [0, ] ∞ thành hữu hạn các khoảng bởi các điểm 0=a0 < < <a1 a k < Lấy một trong các

nội suy với mối liên hệ các giá trị của hàm Trên [ ,a k a k+1 ] chọn n k+ 1 điểm tùy

( ) ( ) ( ) /

( ) ( ) 0

0 0

Sự miêu tả này của ( )R u có c thể sử dụng để thu được một ước lượng sai

số của biểu diễn xấp xỉ (3.2.5) cho ϕc( )u Ví dụ, từ (3.2.6) ta có ước lượng của ( )R u c với mọi u

1

0

k k

( )k

j

hạn

xét biểu diễn này trong một số trường hợp đặc biệt và đơn giản

Giả sử nữa trục [0, ∞] được chia bởi các điểm x k =kh h( > 0,k = 0,1, 2, )

của hàm f tại các điểm chia f x( k) = f kh( ) = f k

3.2.2.1 Các quy tắc tính dựa trên phép nội suy tuyến tính

Trước tiên ta xét một quy tắc tương tự quy tắc hình thang Lấy một khoảng

Nếu f có đạo hàm cấp hai liên tục, sai số của phép nội suy r x f k( , ), được miêu tả như sau

k k

x

k k x

2 / / 0

với đa thức nội suy:

sai số r x f k( , ) thay cho phép lấy tích phân biến số x, ta được một biểu diễn cho sai số ở dạng tích phân hai lớp, và sau khi lấy tổng trên các khoảng

[kh, (k+ 1) ] (k= 0,1, )h ta được biểu diễn chính xác cho ϕc( )u :

1 0

cosine liên hệ với các giá trị của hàm gốc f tại các điểm cách đều

nó Ta sẽ thu được ước lượng đơn giản nhất Nhân của tích phân hai lớp trong ngoặc vuông có giá trị:

( 1) 0

k h

kh t k h kh

Đối với biến đổi sine (3.2.2) ta cũng làm như biến đổi cosine (3.1.1) như trên:

Nhân hai vế của (3.2.8) với sin ux và lấy tích phân trên khoảng

[kh, (k +1) ]h Bằng phương pháp tích phân từng phần ta được

Thay lần lượt k =0,1, 2,3, vào vế phải

Khi k = 0: 1 f1cosuh 1 f c0 os0 12 f1[sinuh sin 0] 12 f0[sinuh sin 0]

1 cos

k k

đúng cho đạo hàm cấp hai của f x( ), khi đó

3.2.2.2 Phép nội suy bậc hai

Lấy khoảng [kh k, ( +2) ]h độ dài 2h và nội suy hàm f với liên hệ các giá trị

Để thu được sai số ( )r x k ở dạng cần thiết, ta áp dụng công thức Taylor với phần dư ở dạng tích phân, sử dụng hàm tắt E ta có:

k

k

x x

Vì đa thức P x2( ) nội suy chính xác, nên sai số nội suy của f x( ) và ψ( )x

2 2

2 0

(2 ) ] 2

miền này thành 6 phần bởi các đường thẳng ξ τ τ= , =1,ξ = Dấu và ước 1

lượng của nhân bên trong các phần được nghiên cứu sau đây Kí hiệu nhân:K( , )ξ τ

21

/ / / 2 0

0 0 2 4

2 / / /

2 0

0 0 2

4 / / /

2 0

0

2

( , ) ( ) os u(x +h ) 2

k k

k k

x k

(2 2) 2

thuận lợi hơn cho việc tính toán, ít nhất trong các trường hợp đã biết:

4 / / /

0 1 0

t k

∞

≤ ≤ =

Đối với biến đổi Fourier sine, tương tự ta có các công thức cho sự tính

3 / / / 3 / /

0 0

4 / / /

0 1 0

các quy tắc càng cao, chúng càng phức tạp, và sự phức tạp của chúng tăng nhanh khi bậc tăng Ta xét các quy tắc sau tương ứng với phép nội suy bậc ba

Lấy 4 điểm x x k, k+1,x k+2,x k+3 và biểu diễn phép nội suy của hàm f

[ ,x x k k +3 ]h , lấy tổng trên các giá trị k =0, 3, 6, ta được biểu diễn của biến đổi cosin trong các số hạng có các giá trị f0 , f1 , ,

0 0

k k

Ở trên ta cho các công thức tính đạt được với sự giúp đỡ của phép nội suy

của hàm f với liên hệ các giá trị của f tại các điểm x k Ta có thể làm tăng

độ chính xác của sự tính toán bởi việc yêu cầu phép nội suy không chỉ liên hệ

với các giá trị của hàm f mà còn với các giá trị của các đạo hàm của nó tại

các bậc đã biết Vậy thì phép nội suy sẽ là với các điểm bội Ở dạng tổng quát

nó là phức tạp và để đơn giản hóa ta sẽ kiểm tra trường hợp của các điểm kép,

khi phép nội suy được thực hiện với mối liên hệ các giá trị của f và giá trị

Biểu thức chi tiết của đa thức này được biết trong lý thuyết của phép nội

suy và ta sẽ không trình bày ở đây Biểu diễn thích hợp của hàm f là

Nếu ta nhân hai vế của (3.2.37) với cos ux, và lấy tích phân trên khoảng

[kh k, ( +n h) ], và lấy tổng các kết quả trên các giá trị k , với k là các bội của

n (k =0, , 2 , )n n , ta được một biểu diễn của biến đổi Fourier cosine trong đó các số hạng có các giá trị của f và k fk/

( )

k n

của phép nội suy [ , (jn j+ 1) ]n , (j =0,1, )

IV Phép nội suy bậc ba với hai điểm kép

trị f k, f k+1, f k/, f k/+1 với sự giúp đỡ của đa thức bậc ba:

Từ (3.3.37) cho n= 1 ta có:

/ / 2

/

/ / 2

/ 1

( )( )

x x

2

/ 1

Hay

2

/ 1

2

2

/ 1

k

x IV

x x

IV x

(x t E x t− ) ( − ) Thay hàm f

2

/ 1

2

2

/ 1

( ( ) 0) 1

( )3.( ) ( ) 0 6

ngoặc của tích phân kép Kí hiệu nhân là K( , )ξ τ :

khi ξ τ≤ ≤1, 0≤ ≤ξ 1 Ngoài ra, trong tam giác OBC, nhân đạt giá trị lớn nhất

Vì vậy K( , )ξ τ không âm trong miền 0≤ ≤ ≤ τ ξ 1

tính dương của nhân, ta áp dụng vào tích phân định lý giá trị trung bình cho

1 0 1 0 1

1 0

/ / 1 1

0

IV s

−∞

V Phép nội suy của hàm số với ba điểm kép

Lấy các điểm x x k, k+1,x k+2 và nội suy hàm f với các giá trị của

k k j k

k j k j

k j k j k

x x

ωω

Nhân hai vế (3.2.50) với cos ux, lấy tích phân trên khoảng [ ,x x k k+2 ], và lấy

của ϕc( )u :

2 0 2 2 1

0 0

0 0

7

1 2 0

Đối với biến đổi Fourier phức tương tự trên ta có:

3.3 Phép nội suy bởi các hàm hữu tỷ

3.3.1 Chọn phép nội suy và sai số của nó

Ở phần mở đầu của chương này ta chú ý rằng mặc dù phép nội suy bởi giá trị trung bình của các đa thức đại số dẫn tới các quy tắc áp dụng cho sự tính toán Nó đòi hỏi chia nữa trục hoặc cả trục của phép nội suy thành một số vô

x → ∞ Nếu tốc độ giảm của hàm f không đủ nhanh, thì nhiều khoảng con

sẽ cần tìm và điều này sẽ làm phức tạp sự tính toán

Để tránh phải chia miền lấy tích phân thành các phần hữu hạn, ta phải chuyển hệ các hàm mà phép nội suy dựa vào Việc chọn hệ tùy thuộc vào, thứ

Chúng ta sẽ chỉ xem xét biến đổi Fourier cosine và sine, và như đã nói, thừa

vì biến đổi Fourier phức có thể quy về biến đổi cosine và sine Thứ hai, việc chọn hệ phụ thuộc vào các tính chất của tập hợp các hàm được nội suy Ở trên, ta đồng ý rằng hàm f thỏa mãn (với giá trị lớn của x ) điều kiện

và có thể biểu diễn dưới dạng:

hàm tại điểm ở vô cực

(1+x)m (m=0, 1, 2, ) và nội suy hàm F với sự giúp đỡ của các

đa thức trong đối số 1

nữa trục [0, ] ∞ thành khoảng đóng [0,1] của trục z Hàm F x( ) liên tục trên

[0, ] ∞ trở thành hàm ψ( )z liên tục trên [0,1], và các hàm hữu tỷ P x n( ) trở thành các đa thức p z n( )

Trên [0, ) ∞ lấy n+1 điểm x k(0≤x0 < < <x1 x n < ∞) và chọn các hệ số

do đó tồn tại một hàm hữu tỷ duy nhất P x n( ) có dạng (3.3.2) thỏa (3.3.3) Khi giải hệ (3.3.3), các hệ số a i tìm được là các hàm tuyến tính của

( k) ( 0,1, , )

Ở đây l xk( ) là các đa thức bậc n theo biến 1 x + 1 Chúng là các hàm tác

+ +

+

1 /

( ) /

( ) /

Và trên trục z ta thu được bài toán nội suy hàm ( )ψ z bởi đa thức ( )p z n ở (3.3.8) Sai số của phép nội suy trong bài toán mới này trùng với sai số ( )r x : n

1

1 1

0 0

bậc n với hệ số bất kỳ, ta có thể lấy hệ đầy đủ các nghiệm độc lập của phương

− + +

( 1)!

n n

( 1) − n− và đặt (1 )

( 1)!

n t n

− +

n n n

Ta có thể xem hệ các phương trình thuần nhất tuyến tính, các số 1, ,a a1 2 , .,a là n

một nghiệm khác 0 của hệ Định thức của hệ phải triệt tiêu, do đó cho phép ta viết (3.3.12) theo cách khác:

n n

(1+t F)n n (1+t)n− F n− (1+t F) chia cho phần phụ đại số của

Bây giờ ta trở lại biến đổi tích phân (3.3.9) theo các biến cũ ,x t; đặt 1

1 t

τ = + , 1

1 ( 1)

0 0

n τ − , hàm số này là một nghiệm của phương trình 11 0

n n

d y dz

+ + = , tại z= τ nghiệm này thỏa các điều kiện:

n j k

x x x

− +

1 / 1

+ +

0 0

0 1

1

1 / 1

+

+

= +

+

∞

+ +

} (1 )

n

k

dt t

=

− +

∞

+ +

Nếu f là một hàm số có giá trị thực thì

0 cosux f x dx( )

∞

0 sinux f x dx( )

∞

ứng là phần thực và phần ảo của ( )ϕe u

Ta giả sử ở trên ( )f x =F x( )(1 +x)−s , (s> và ( ) 1) F x là một hàm liên tục và đủ

trơn trên nữa trục 0 x≤ ≤ ∞

Nội suy hàm F với sự giúp đỡ của đa thức ( ) P x n bậc n theo biến 1

(1 +x)− và viết ( )P x theo n dạng (3.3.7):

( ) /

/

0

( ) /

iux n l s

∞

− + − +

∫ được trình bày ở mục 3.3.e

+ +

/

( ) 1

+ +

g x được nội suy theo các giá trị của nó ( )g x k và bởi đa thức ( )P x n bậc n Nếu

1

3.3.3 Phép nội suy với các điểm cách đều

Ta lấy các điểm cách đều x k =kh k( = 0,1, 2, ;h> 0) cho các điểm nội suy Trong trường hợp này ωn+1 ( )x =x x( −h) .(x−nh) và các hệ số ( )k

l

c được xác định bởi:

( ) 1

Sự hội tụ của quy tắc tính xảy ra khi ( )R u n → 0, (n→ ∞ )

3.3.4 Quy tắc tính kết hợp với nghiệm của đa thức trực giao

Sự hội tụ của phương pháp cầu phương nội suy (3.3.23):

và

/

( ) ( )

b

n k

k n k a

Công thức (3.3.27) hội tụ trên một tập hợp các hàm rất rộng: nếu [ , ]a b là hữu

h ạn, và hàm trọng lượng ( )p z không đổi dấu trên [ , ]a b và khác 0, vậy thì sự hội tụ của

1

b n

Ta xét hàm ( )F x liên tục và đủ trơn trên nữa trục đóng [0, ] ∞ Thừa số (1 +x)−s

có một điểm kì dị đơn là x = ∞ Ta nối (1+x)−sở dưới với hàm trọng lượng iux

e = cosux+ i sinux xác định sự dao động của biểu thức dưới dấu tích phân; iux

e là một lượng phức và phần thực và phần ảo của nó là đổi dấu Tất cả điều này làm cho khó để quy iux

e về trọng lượng theo cách thông thường mà không biến đổi sơ bộ

B iến đổi (3.3.28) về một tích phân với một hàm trọng lượng cổ điển, thực hiện phép thế 1

1

t x

x

−

= + Nửa trục 0 x≤ ≤ ∞ sẽ trở thành [-1,1] và tích phân (3.3.28) có dạng

iux

(1 +t)s− có thể xem như hàm trọng lượng 2

( ) (1 )s

p t = +t − , đây là một trường hợp đặc biệt của trọng lượng Jacobi (1 ) (1 ) −t α +t β với α = 0,β = −s 2 Ta lấy phần còn

1

t iu

J − t bậc n và A k là các hệ số cầu phương tương ứng với các nghiệm này Giá trị của t và k A k có thể tra bảng