một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu toán học trong việc diễn đạt một mệnh đề toán học

Nhưng có một thực tế là, trong quá trình giảng dạy của mình nhất là khi dạy về hình học không gian, việc học sinh diễn dịch lại các mệnh đề toán học định nghĩa, định lí, phân tích yêu cầ

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

- -

Phan Sĩ Đức

MỘT NGHIÊN CỨU

VỀ NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC

TRONG VIỆC DIỄN ĐẠT MỘT MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2012

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

- -

Phan Sĩ Đức

MỘT NGHIÊN CỨU

VỀ NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC

TRONG VIỆC DIỄN ĐẠT MỘT MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Lý lu ận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã s ố : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Vũ Như Thư Hương, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan

trọng vào việc hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn

Tiến, TS.Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình

giảng dạy, truyền thụ kiến thức Didactic Toán

Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent

đã nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc cần thiết cho chúng tôi

Tôi cũng xin chân thành cám ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi học tập tại trường

- Hiệu trưởng cùng Ban Giám hiệu Trường THPT Đateh – Lâm Đồng và quý Thầy (Cô) đồng nghiệp trong tổ Toán – tin đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP HCM, cũng như khi làm thực nghiệm tại trường

Xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thành viên trong lớp Didactic toán khóa 21 đã cùng tôi chia xẻ những vui, buồn cũng như những khó khăn trong khóa

học

Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt

Phan Sĩ Đức

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG

DANH MỤC VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do ch ọn đề tài và câu hỏi xuất phát 1

2 M ục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu 3

2.1 Mục đích nghiên cứu 3

2.2 Phạm vi lí thuyết tham chiếu 3

3 Phương pháp nghiên cứu 4

4 C ấu trúc của luận văn 5

CHƯƠNG 1 VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN DẠY 6

1.1 Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc tiểu học 6

1.1.1 Lớp 1 6

1.1.2 Lớp 2 8

1.1.3 Lớp 3 10

1.1.4 Lớp 4 11

1.1.5 Lớp 5 12

1.2 Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THCS 14

1.2.1 Lớp 6 14

1.2.2 Lớp 7 19

1.2.3 Lớp 8 23

1.2.4 Lớp 9 27

1.3 Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THPT 30

1.3.1 Lớp 10 nâng cao 30

1.3.1.1 Đại số 10 nâng cao 30

1.3.1.2 Hình học 10 nc 35

1.3.2 Lớp 10 cơ bản 37

1.3.2.1 Đại số 10 cơ bản 37

1.3.2.2 Hình học 10 cơ bản 37

1.3.3 Lớp 11 nâng cao 38

1.3.3.1 Đại số và giải tích 11 nâng cao 38

1.3.3.2 Hình học 11 nâng cao 38

1.3.3.2.1 Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 38 1.3.3.2.2 Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song 39

1.3.3.2.3 Chương III: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc 43

1.3.4 Lớp 11 cơ bản 44

1.3.4.1 Đại số và giải tích 11 cơ bản 44

1.3.4.2 Hình học 11 cơ bản 45

1.3.4.2.1 Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 45 1.3.4.2.2 Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song 45

1.3.4.2.3 Chương III: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian 47

Chương 2 VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC TRONG DẠY – HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 49

2.1 Trong vở ghi chép của học sinh 49

2.1.1 Học sinh 11nc 50

2.1.2 Học sinh lớp 11cb 61

2.2 Biên bản thực hành giảng dạy của Giáo viên 64

2.2.1 Bài “Đường thẳng vuông góc với Mặt phẳng”, chương trình nâng cao (TA) 65

2.2.2 Bài “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”, chương trình cơ bản (TB) 73

Chương 3 THỰC NGHIỆM 87

3.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm 88

3.2 Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm 88

3.2.1 Bài toán thực nghiệm 88

3.2.2 Các biến dạy học 89

3.2.3 Phân tích chi tiết các bài toán 91

3.3 Phân tích hậu nghiệm các bài toán thực nghiệm 98

KẾT LUẬN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1: Bảng thống kê lời giải câu 1 của bài tập 1 99

Bảng 3.2: Bảng thống kê lời giải câu 2 của bài tập 1 100

Bảng 3.3: Bảng thống kê lời giải câu 3 của bài tập 1 100

Bảng 4.4: Bảng thống kê lời giải câu hỏi 4 của bài tập 1 101

Bảng 3.5: Bảng thống kê lời giải bốn câu hỏi của bài tập 1 101

Bảng 3.6: Bảng thống kê lời giải của bài tập 2 102

Bảng 3.7: Bảng thống kê lời giải của bài tập 3 103

SGK : sách giáo khoa SGV : sách giáo viên THCS : trung học cơ sở THPT : trung học phổ thông

TP HCM : thành phố Hồ Chí Minh

MỞ ĐẦU

1 Lí do ch ọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Việc hiểu và vận dụng linh hoạt một mệnh đề toán học vào giải quyết các bài toán được thành thục là một việc làm không dễ Nhưng, việc trình bày các mệnh đề toán học

đó như thế nào cho thật ngắn gọn, xúc tích, làm nổi bật nội dung của mệnh đề đó để thuận lợi cho việc vận dụng chúng vào suy luận toán học … còn khó hơn rất nhiều

Là giáo viên toán, chúng tôi luôn mong muốn mọi bài giảng của mình được trình bày sao cho thật ngắn gọn, sáng sủa, xúc tích nhưng hợp logic và học sinh có thể hiểu

và vận dụng được Nhưng có một thực tế là, trong quá trình giảng dạy của mình nhất là khi dạy về hình học không gian, việc học sinh diễn dịch lại các mệnh đề toán học (định nghĩa, định lí, phân tích yêu cầu của một bài toán…) từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại nhằm mục đích củng cố kiến thức thì học sinh

gặp rất nhiều lúng túng và sai lầm, chẳng hạn:

Hay

Hay

Hay

Hay

Hay

Những sai lầm này xuất phát từ đâu? Chính những điều này đã ảnh hưởng lên việc

học hình học không gian nói riêng và suy luận toán học nói chung, cũng như sự phát triển tư duy logic sau này của học sinh Xuyên suốt cả hệ thống dạy học toán phổ thông, chúng tôi nhận thấy kí hiệu toán học được đưa vào một cách ngầm ẩn dần dần trong quá trình giảng dạy sao cho phù hợp với trình độ hiểu biết của học sinh, nhằm

phục vụ việc suy luận toán học cũng như vận dụng vào các môn khoa học khác (vật lí, hóa học, sinh học v v …) Điều này cho thấy kí hiệu toán học không những quan trọng đối với bộ môn toán mà còn quan trọng đối với những môn khoa học khác

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi nhận thấy việc nghiên cứu đề tài này là cần thiết

với những câu hỏi xuất phát sau:

- Kí hiệu toán học được đưa vào giảng dạy nhằm mục đích gì? Giải quyết vấn đề gì? Những kí hiệu đó có vai trò như thế nào đối với việc dạy – học toán học?

Việc diễn dịch lại các mệnh đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học có lợi ích ra sao trong suy luận toán học?

- Những ràng buộc của hệ thống dạy học toán ở phổ thông có ảnh hưởng như thế nào đối với hiểu biết của giáo viên và học sinh về các kí hiệu toán học? Cách trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng như thế nào đến việc tiếp thu tri thức

hiện hành Tuy nhiên, do hạn chế về nguồn tài liệu tham khảo lịch sử các kí hiệu toán

học cũng như thời gian không cho phép chúng tôi thực hiện một nghiên cứu với quy

mô lớn nên trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi giới hạn lại một số kí hiệu toán học “đặc biệt” như: ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⇒ ⇔ ⊥; ; ; ; ; ; ; ; { }; ;[ trong việc dạy – học hình học không gian lớp 11

2.2 Ph ạm vi lí thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của didactic toán Cụ thể, chúng tôi vận dụng một số khái niệm của lí thuyết nhân chủng học như: mối quan hệ thể chế,

mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức, tổ chức toán học, chuyển đổi didactic và

của lí thuyết tình huống như: khái niệm hợp đồng didactic

Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên

cứu như sau:

Q1: Ở cấp độ tri thức cần dạy, kí hiệu toán học được đưa vào giảng dạy như thế nào, dưới hình thức nào? Vai trò của nó? Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân của giáo viên và của học sinh đối với đối tượng là kí hiệu toán học?

Q2: Trong thực hành giảng dạy, Giáo viên sử dụng ngôn kí hiệu toán học như thế nào? Cách thức sử dụng? Cách thức đó tạo ra những thuận lợi, và gây ra khó khăn gì cho học sinh trong việc tiếp thu tri thức toán? Kĩ năng sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán

học được giáo viên quan tâm ra sao? Có những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành khi sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học để diễn đạt các định lí, định nghĩa và trong suy luận giải toán

3 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi tiến hành phân tích các sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập toán của ba bậc học trong chương trình toán phổ thông hiện hành, để tìm hiểu kí hiệu toán

học được đưa vào giảng dạy như thế nào Vai trò của nó trong dạy học toán nói chung, trong hình học không gian 11 nói riêng Nhằm trả lời cho câu hỏi Q1 Nghiên cứu này

cho phép chúng tôi dự đoán những gì có thể tồn tại trong lớp học, những điều kiện, ràng buộc trên hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học của học sinh và đưa ra các

giả thuyết nghiên cứu Kết quả sẽ được trình bày trong chương 1

Ngoài ra, chúng tôi còn phân tích vở ghi chép của học sinh, một số tiết dạy của giáo viên nhằm tìm hiểu xem có những sai lầm nào thường xảy ra đối với học sinh trong quá trình học hình học không gian, cũng như những quan tâm của giáo viên đối với việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học khi diễn đạt một mệnh đề toán học Nghiên cứu này cũng cho phép chúng tôi dự đoán những sai lầm của học sinh trong việc sử dụng ngôn

ngữ kí hiệu toán học để diễn đạt một mệnh đề toán học Kết quả được trình bày trong

chương 2

Với những giả thuyết cần kiểm chứng Chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh qua các phiếu học tập Các kết quả nhận được cho phép chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q2 và được trình bày trong chương 3

Sơ đồ th ực hi ện:

4 C ấu trúc của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, kết luận và ba chương

Phần mở đầu trình bày lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát, mục đích nghiên cứu,

lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Chương 1: Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở cấp độ tri thức cần dạy

Chương 2: Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở cấp độ tri thức được dạy

dạy (phân tích sách giáo khoa,

sách bài t ập, sách giáo viên…)

Nghiên cứu ngôn ngữ kí hiệu toán học ở

cấp độ tri thức được dạy (nghiên cứu thực hành c ủa giáo viên, phân tích vở ghi của

h ọc sinh, phỏng vấn giáo viên …)

K ết luận

CHƯƠNG 1 VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN DẠY Mục đích

Mục đích chúng tôi muốn tìm hiểu kí hiệu toán học, được đưa vào chương trình toán phổ thông như thế nào? Mang những giá trị nào? Được thể chế dạy học toán phổ thông sử dụng chúng ra sao trong việc diễn đạt một mệnh đề toán học (định nghĩa, định

lí, chứng minh định lí, giải toán…)? Có những ràng buộc nào trong việc sử dụng chúng khi diễn đạt một mệnh đề toán học? Có những quy tắc ngầm ẩn nào được hình thành từ việc sử dụng chúng trong diễn đạt một mệnh đề toán học Đồng thời, nhằm trả lời cho

câu hỏi Q1

Đối với bậc tiểu học, Chương trình toán không có sự phân biệt giữa số học và hình học Do đó, chúng tôi không phân tích riêng từng phân môn

Để giúp việc trình bày được thuận lợi, chúng tôi sử dụng hình thức viết tắt sau:

Mi, Gi, Ei (Với i = 1, 2, …,9), tương ứng là sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập ở các lớp: 1, 2,…, 9

1.1 Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc tiểu học

1 < 2 (M 1 , tr 17) Hay

Kí hiệu: A, B, C,…chỉ một “điểm” cho trước

Ngoài ra, còn xuất hiện hình thức đọc những con số (kí hiệu toán học) thành lời (ngôn ngữ thông thường) và ngược lại, chẳng hạn:

1 Viết (theo mẫu): a)

Đọc số Viết số Sáu mươi 60 Tám mươi

Năm mươi

Ba mươi (M 1 , tr.127)

Đây được xem là “tiền đề” cho hoạt động diễn dịch một mệnh đề toán học, từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại sau này

Đối với các bài toán có lời văn, lời giải được trình bày có sự kết hợp giữa ngôn ngữ

kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường, chẳng hạn:

Bài toán: Nhà An có 9 con gà, mẹ đem bán 3 con gà Hỏi nhà An còn lại mấy con gà?

Có: 9 con gà Số gà còn lại là:

Bán: 3 con gà 9 – 3 = 6 (con) Còn lại:… con gà? Đáp số: 6 con gà (M 1 , tr.148)

Kí hiệu “}” thay cho từ “và” trong hoạt động tóm tắt nội dung bài toán, chẳng hạn:

3 Hà có 35 que tính, Lan có 43 qua tính Hỏi hai bạn có tất cả bao nhiêu que tính? Tóm tắt

Hà có: 35 que tính Lan có: 43 que tính� ? que tính (M1 , tr.162)

Kí hiệu này chỉ xuất hiện một lần trong M1 Vậy, liệu HS có hiểu nghĩa của kí hiệu toán học đó? Xuất hiện với mục đích gì?

Chúng tôi không tìm thấy một sự giải thích nào trong thể chế dạy học toán 1 cho việc

sử dụng kí hiệu toán học này

Từ những ghi nhận trên cho thấy, thể chế dạy học toán 1 quan tâm việc

hình thành và rèn luyện các kĩ năng thực hành: đọc, viết, đếm, so sánh […], bước đầu biết diễn đạt bằng lời, bằng kí hiệu một số nội dung đơn giản của bài học và thực hành (G 1 , tr 3)

Hay

Trong quá trình dạy học toán, phải quan tâm đúng mức đến rèn luyện cho học sinh cách diễn đạt ngắn, gọn, rõ ràng, vừa đủ nội dung của một thông tin bằng lời hoặc bằng kí hiệu, sơ đồ (G 1 , tr.12)

Như vậy, ngay từ lớp 1 đã có những ràng buộc nhất định trong việc diễn đạt nội dung bài học, bài thực hành bằng ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ kí hiệu toán học

Tính ( theo mẫu):

a) 1dm +1dm = 2dm 3dm + 2dm = 8dm + 2dm = 9dm + 10dm = […] ( M 2 , tr.7)

Kí hiệu “−” thay cho cụm từ “ít hơn” hay “kém” trong bài toán có lời văn, chẳng hạn:

Bài toán: hàng trên có 7 quả cam, hàng dưới có ít hơn hàng trên 2 quả cam Hỏi hàng

dưới có mấy quả cam? (M 2 , tr 30)

Kí hiệu “kg” thay cho cụm từ “kí –lô –gam” Kí hiệu “l” thay cho từ ‘lít” trong đơn vị

đo, khi tính toán chẳng hạn:

Số bị trừ:10 10 – 𝓍 = 6

Số trừ: 𝓍 𝓍 = 10 – 6 Hiệu: 6 𝓍 = 4 (M 2 , tr.72)

Kí hiệu “×” thay cho cụm từ “phép nhân” hay “tích” khi tính toán về số, chẳng hạn:

Hình tam giác ABC có ba cạnh là: AB, BC và CA (M 2, tr 130)

Ngoài ra, hình thức “đọc số”, “viết số” tiếp tục được thể chế dạy học toán 2 chú trọng rèn luyện, chẳng hạn:

(M 2 , tr.149) Bên cạnh đó còn có ràng buộc là thông qua

Giải một số dạng bài toán đơn về cộng, trừ, nhân, chia, bước đầu biết diễn đạt bằng lời, bằng kí hiệu một số nội dung đơn giản của bài học và bài thực hành (G 2 , tr 4)

Kí hiệu “Đoạn thẳng” còn xuất hiện ngầm thông qua độ dài của nó, chẳng hạn:

Độ dài đoạn thẳng AM bằng độ dài đoạn thẳng MB viết là AM = MB (M 3 , tr 98) Hay

Độ dài đoạn AB bằng 4 viết là AB = 4 (M 3 , tr 99) Tức là, khi cho AM = MB hay AB = 4, thì các kí hiệu AM, MB hay AB tương ứng được hiểu là các đoạn thẳng

Đối với hoạt động diễn dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại tiếp tục được thể chế dạy học toán 3 rèn luyện Cụ thể, cần:

Giúp học sinh phát triển trình độ tư duy và khả năng diễn đạt bằng lời, bằng hình ảnh, bằng kí hiệu, …(G 3 , tr 19)

Viết số Trăm Chục Đơn vị Đọc số

Với những kết quả phân tích được từ các lớp 1, 2, 3 cho thấy ngôn ngữ kí hiệu toán học có một vai trò to lớn trong việc tiếp thu tri thức toán và hình thức diễn đạt nội dung bài học và bài thực hành của HS

a+b = b+a Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi (M 4 , tr 42) Với hoạt động này của M4, giúp HS dễ dàng học thuộc các quy tắc trên nhờ hình thức phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường Thật vậy, theo G4, trang 5 thì:

Nhờ khái quát hóa bằng các công thức (hoặc khái quát hóa bằng lời) trong số học mà học sinh có điều kiện tự lập một số công thức tính chu vi, tính diện tích của một số hình đã và đang học […] (G 4 , tr 5)

Đây là điểm khác biệt của toán 4 so với các lớp dưới về việc diễn dịch các quy tắc (bằng ngôn ngữ thông thường) sang công thức (bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học)

Bên cạnh đó, còn xuất hiện thêm những kí hiệu về đơn vị đo như: “dag” thay cho cụm

từ “đề – ca – gam”; “hg” thay cho cụm từ “héc – tô – gam”; “dm2

” thay cho cụm từ “đề – xi – mét – vuông”; “m2” thay cho “mét – vuông”,… khi đo đạc hoặc tính toán, chẳng hạn:

Tiếp tục giới thiệu các kí hiệu về đơn vị đo như: “dam2” thay thế cho cụm từ “đề –

ca – mét – vuông”; “hm2” thay thế cho “héc – tô – mét – vuông”; “ha” thay thế cho

“héc – ta”, …để đo đạc hay tính toán, chẳng hạn:

2 2 2 23 2 23 2

dam m = dam + dam = dam (M 5 , tr 27)

Kí hiệu “%” xuất hiện trong lời giải của một bài toán, chẳng hạn:

Ta viết: 25 25%

100 = ; Đọc là: hai mươi lăm phần trăm (M 5 , tr 73) Ngoài ra, còn xuất hiện nhiều kí hiệu khác như: “S” thay cho cụm từ “diện tích”; “h” thay cho cụm từ “chiều cao”; “C” thay cho cụm từ “chu vi”; “V” thay cho cụm từ “thể tích”; “r” thay cho “bán kính đường tròn” khi giải toán, chẳng hạn:

C = r × 2 × 3,14 (M 5 , tr.98)

Kí hiệu “r” còn được thay thế cho cụm từ “số dư” trong phép chia có dư, chẳng hạn:

Phép chia có dư: a : b = c (dư r), ta có a = b × c + r (0 < r < b) (M 5 , tr 163)

Vậy, liệu có sự nhập nhằng nào cho HS khi sử dụng kí hiệu “r” trong giải toán?

Bên cạnh đó, các công thức tính “diện tích”, “chu vi”, “thể tích”,… được diễn đạt bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường Hình thức diễn đạt này không

những giúp HS dễ thuộc các công thức đó mà còn dễ dàng vận dụng chúng vào tính toán Theo G5, trang 5 thì HS cần phải:

Biết diễn đạt một số nhận xét, quy tắc, tính chất,…bằng ngôn ngữ (nói, viết dưới dạng công thức,…) ở dạng khái quát (G 5 , tr 5)

Đối với hình thức trình bày lời giải bài toán, thể chế dạy học toán 5 có ràng buộc sau:

SGK chưa yêu cầu giải thích cách làm nên không yêu cầu học sinh trình bày phần giải thích cách làm vào bài làm (G 5 , tr.18)

- Thể chế dạy học toán ở tiểu học coi trọng việc diễn đạt nội dung bài học, bài thực hành (tính chất, quy tắc, công thức, lời giải bài toán,…) bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học và hoạt động diễn dịch từ hình thức diễn đạt này sang hình thức diễn đạt kia và ngược lại

- Việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học vào diễn đạt nội dung bài học, bài thực hành cũng có sự tiến triển theo từng giai đoạn (từ chưa sử dụng kí hiệu bằng chữ sang có sử dụng kí hiệu bằng chữ, từ chưa có khái quát thông tin thành công thức sang có khái quát thành công thức)

- Có sự nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu toán học trong diễn đạt nội dung bài học, bài thực hành

1.2 Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THCS

Chương trình toán ở bậc THCS đã có sự phân biệt rõ giữa các phân môn: số học, hình học, đại số Vì vậy, chúng tôi sẽ phân tích theo từng phân môn riêng trong các bộ sách toán hiện hành

1.2.1 Lớp 6

Chúng tôi chọn bộ sách toán 6 hiện hành của Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) –

2006 – NXBGD để phân tích

A Phần số học

Lí thuyết “tập hợp” được đưa vào giảng dạy một cách tường minh, phép toán

“logic” cũng được ngầm ẩn đưa vào Vì vậy, sẽ xuất hiện các kí hiệu toán học liên quan như: kí hiệu “∈” thay cho từ “Thuộc”; kí hiệu “∉” thay cho cụm từ “Không

thuộc” để “diễn tả quan hệ giữa một phần tử với một tập hợp” (G6, tập 1, tr 35) Chẳng hạn:

1 ∈ A, đọc là 1 thuộc A hoặc 1 là phần tử của A;

5 ∉ A, đọc là 5 không thuộc A hoặc 5 không là phần tử của A (M 6 , tập 1, tr 5)

Kí hiệu “⊂” thay cho từ “Con” hay cụm từ “Chứa trong”; kí hiệu “⊃” thay cho từ

“Chứa” khi “diễn tả một quan hệ giữa hai tập hợp” (G6, tập 1, tr 35) chẳng hạn:

Ta kí hiệu: A ⊂ B hay B ⊃ A và đọc là: A là tập hợp con của tập hợp B, hoặc A được chứa trong B, hoặc B chứa A (M 6 , tập 1, tr 13)

Kí hiệu “∅” thay cho Tập rỗng: tập không có phần tử nào

Kí hiệu “∩” thay cho từ “Giao” khi diễn đạt phép toán giao của hai tập hợp, chẳng hạn:

Ư(4) ∩ Ư(6) = ƯC(4, 6); B(4) ∩ B(6) = BC(4, 6) (M 6 , tập 1, tr 53) Tuy nhiên, có ràng buộc là:

Giáo viên không nên khai thác sâu các nội dung về tập hợp (G 6 , tập 1, tr 21)

Kí hiệu “≤” thay cho cụm từ “Bé hơn hoặc bằng”; kí hiệu “≥” thay cho cụm từ “Lớn hơn hoặc bằng” khi diễn đạt biểu thức chứa chữ, chẳng hạn:

Viết a ≤ b để chỉ a < b hoặc a = b, viết b ≥ a để chỉ b > a hoặc b = a.(M 6 , tập1, tr 7)

Kí hiệu “.” đầu tiên xuất hiện ngầm ẩn với vai trò công cụ, thay cho cụm từ “Phép nhân” trong một ví dụ, chẳng hạn:

Ví dụ: 222 = 200+20+2

ab=a.10+b với a ≠0 abc=a.100+b.10+c với a ≠0 (M 6 , tập 1, tr.9)

Sau đó nó xuất hiện với vai trò đối tượng trong §5 Phép cộng và phép nhân của M6, chẳng hạn:

[…] dùng dấu “×” hoặc “∙” để chỉ phép nhân (M 6 , tập 1, tr 15) Như vậy, đến thời điểm này đã có hai kí hiệu thay cho cụm từ “phép nhân”, để diễn đạt một mệnh đề toán học

Kí hiệu “≠” cũng xuất hiện với vai trò công cụ trong M6, thay cho cụm từ “Khác nhau” khi diễn đạt một số khác không, chẳng hạn:

[…], abc=a.100+b.10+c, với a ≠ 0 (M 6 , tập 1, tr 9)

Kí hiệu “⋮” thay cho cụm từ “Chia hết cho”; kí hiệu “⋮” thay cho cụm từ “Không chia

hết”, khi diễn đạt quan hệ chia hết của hai số hay biểu thức chứa chữ, chẳng hạn:

a ⋮ m và b ⋮ m ⇒ (a + b) ⋮ m (M 6 , tập 1, tr 35)

Sự xuất hiện của một số kí hiệu: “=”, “≠”, “∈”, “∉”, “⋮”, “ ⋮ ” Liệu có hình thành nơi

HS quy tắc: “dùng dấu “/” đè chồng lên những kí hiệu toán học mang giá trị khẳng định để tạo nên những kí hiệu mang giá trị phủ định?”

Kí hiệu “⇒” thay cho cụm từ “Suy ra” hoặc “Kéo theo” Kí hiệu “⇔” thay cho cụm từ

“tương đương” và đều xuất hiện với vai trò công cụ khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:

Nếu a ⋮ m và b ⋮ m ⇒ (a + b) ⋮ m (M 6 , tập 1, tr 34) Hay

A ⊂ B ⇔ với mọi x ∈ A thì x ∈ B (G 6 , tập 1, tr 36)

Liệu có khó khăn nào khi sử dụng kí hiệu “−” trong tính toán các số nguyên âm?

Để trả lời cho câu hỏi này, theo G6, tập 1, trang 96 thì:

Sử dụng kí hiệu dấu “−” với ba nghĩa khác nhau Dấu “−” trong phép trừ […], dấu

“ −” của số nguyên âm […], dấu “−” của số đối (G 6 , tập 1, tr 96) Với giải thích:

Để thuận tiện, người ta thường dùng dấu “−” (trùng với dấu của phép trừ) để kí hiệu cho cả số âm và số đối (G 6 , tập 1, tr.96)

Và

Giáo viên không nên khai thác sâu điểm này mà chỉ giới thiệu như trong SGK là đủ (G 6 , tập 1, tr.96)

Kí hiệu “ ” thay cho cụm từ “giá trị tuyệt đối” khi diễn đạt giá trị tuyệt đối của một

“số” hoặc “chữ” hoặc “biểu thức”, chẳng hạn:

Với việc đồng nhất này của thể chế dạy học toán 6, liệu có gây ra khó khăn gì cho

HS khi sử dụng hai kí hiệu này, để diễn đạt một mệnh đề toán học?

Trong Phần số học này, hầu hết các tính chất trong bài học đều được khái quát hóa

thành những công thức hoặc quy tắc và được diễn đạt bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học hoặc kết hợp giữa ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường (thường là các liên từ liên kết của phép logic như: và, nếu… thì, hoặc,…), chẳng hạn:

x ∈ ƯC(a, b) nếu a ⋮ x và b ⋮ x (M 6 , tập 1, tr 52) Hay

Tính chất kết hợp của phép cộng các số nguyên:

(a + b) + c = a + (b + c) (M 6 , tập 1, tr 78) Điều đó cho thấy, thể chế dạy học toán 6 quan tâm rèn luyện cách diễn đạt một mệnh

đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học Tuy nhiên, hoạt động diễn dịch một mệnh

đề toán học từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại không còn mang tính bắt buộc bằng một kiểu nhiệm vụ như ở các lớp bậc tiểu học

Phần hình học

Mở đầu phần hình học, thể chế dạy học toán 6 đã đề cập

Mỗi hình phẳng là một tập hợp điểm của mặt phẳng […] (M 6 , tập 1, tr 102) Hay

Cần rèn luyện cho học sinh sử dụng thành thạo các cách diễn đạt trực quan “nằm trên”,

“nằm ngoài”, “đi qua”, “không đi qua”, “chứa”, “không chứa” (G 6, tập 1, tr 136) Nhưng, chúng tôi không thấy thể chế dạy học toán 6 sử dụng kí hiệu toán học để thay

thế những thuật ngữ trên Phải chăng thể chế dạy học toán 6 ngầm ủy thác cho GV làm công việc này khi giảng dạy?

Theo M6, tập 1, trang 103 thì “Người ta thường dùng các chữ cái thường a, b,…, m,

p, …để đặt tên cho các đường thẳng” Đối với đường thẳng đi qua hai điểm, chẳng hạn

A, B thì không kí hiệu là AB mà luôn có cụm từ “Đường thẳng” đứng trước nó, chẳng hạn:

Ta gọi đường thẳng đi qua hai điểm A và B là đường thẳng AB hoặc đường thẳng BA (M 6 , tập 1, tr 108)

Cũng tương tự như vậy đối với kí hiệu của một “Tia”, chẳng hạn:

Tia Ax (M 6 , tập 1, tr 111)

Kí hiệu của “Đoạn thẳng” vẫn còn ngầm ẩn thông qua độ dài của nó, như đã phân tích

ở các lớp tiểu học, chẳng hạn:

Ta nói độ dài đoạn thẳng AB bằng 17 mm và kí hiệu AB = 17mm (M 6 , tập 1, tr 117)

Kí hiệu “∠” hoặc “∧”, thay cho từ “Góc” khi diễn đạt góc tạo bởi hai tia hay góc trong tam giác, chẳng hạn:

Góc xOy, hoặc yOx, hoặc góc O Các kí hiệu tương ứng là:   xOy yOx O, , Cũng còn

kí hiệu là ∠xOy, ∠yOx, ∠O (M 6 , tập 2, tr 74) Tuy nhiên, kí hiệu “∠” thể chế dạy học toán 6 không ưu tiên sử dụng

Kí hiệu số đo của góc trùng với kí hiệu của góc tương ứng, chẳng hạn:

Ta cũng kí hiệu số đo của góc xOy là xOy (M6, tập 2, tr 77)

Kí hiệu “R” thay cho cụm từ “Bán kính” của đường tròn Như chúng tôi đã phân tích, ở lớp 5, kí hiệu “r” cũng thay cho cụm từ “Bán kính” của đường tròn Như vậy, đã có sự nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu bán kính của đường tròn

Kí hiệu “∆” thay cho cụm từ “tam giác” khi diễn đạt tên gọi một tam giác, chẳng hạn:

Tam giác ABC được kí hiệu là ∆ABC (M 6 , tập 2, tr.94) Tuy nhiên, nó không đứng độc lập khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn ta không thể ghi: Vẽ ∆ biết độ dài ba cạnh […]?

Đối với hai kí hiệu: “{” và “}” Chúng tôi thống kê như sau:

Nhận xét: Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì   xOy+yOz=xOz Ngược lại, nếu xOy  +yOz=xOz thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz (M6, tập 2, tr 81)

Từ những ghi nhận trên cho thấy, thể chế dạy học toán 6 coi trọng việc diễn đạt nội dung bài học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học Theo G6, tập 1, trang 3 thì cần:

Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí & hợp logic […], rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác […], diễn đạt chính xác và sáng sủa ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của người khác (G 6 , tập 1, tr 3)

Tuy nhiên, vẫn còn nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu “bán kính” đường tròn 1.2.2 Lớp 7

Chúng tôi chọn bộ sách toán 7 hiện hành của Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) –

2006 – NXBGD để phân tích

A Phần Đại Số

Trong phần này, học sinh được làm quen với “Số hữu tỉ, số thực”, “Hàm số và đồ thị”, “Thống kê” và “Biểu thức đại số”

Vậy có những kí hiệu nào được cung cấp, hình thức diễn đạt nội dung bài học có tính đến vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học?

Kí hiệu “≈” thay cho cụm từ “gần bằng” hoặc “xấp xỉ” khi làm tròn các số thập phân, chẳng hạn:

Xuất hiện kí hiệu “⊥” thay cho cụm từ “Vuông góc” khi diễn đạt quan hệ vuông góc của hai đường thẳng, chẳng hạn:

Hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được

gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là xx’ ⊥ yy’ (M7 , tập 1, tr 84) Hai đường thẳng vuông góc thì chúng phải cắt nhau Theo G7, tập 1, trang 87 thì:

yêu cầu “cắt nhau” là thừa nhưng cần phát biểu như vậy để bảo đảm tính trực quan (G 7 , tập 1, tr 87)

Ngoài ra, nó còn được dùng để diễn đạt quan hệ vuông góc giữa “đường thẳng với đoạn thẳng”, “đoạn thẳng với đoạn thẳng”, “hai tia với nhau”, “tia với đoạn thẳng”, “tia với đường thẳng”, chẳng hạn:

OA ⊥ AB (M 7 , tập 1, tr 109) Theo G7, tập 1, trang 88, 89 giải thích:

Trong SGK không có định nghĩa tường minh khái niệm “đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng” […] Đường thẳng xy vuông góc với đường thẳng AB tại I (đường thẳng xy vuông góc với đoạn thẳng AB tại I) Cũng thế, các khái niệm “hai tia vuông góc với nhau” (hai cạnh góc vuông), “hai đoạn thẳng vuông góc với nhau”(trong tam giác vuông),…không được định nghĩa trong SGK ( để tránh phức tạp) nhưng vẫn được sử dụng khi cần thiết.(G 7 , tập 1, tr 88, 89)

Kí hiệu “//” thay cho cụm từ “song song” khi diễn đạt quan hệ song song của hai

đường thẳng, chẳng hạn:

Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là a // b (M7 , tập 1, tr 90)

Và nó cũng được dùng để diễn đạt quan hệ song song của “hai tia”, “đường thẳng với đoạn thẳng”, “hai đoạn thẳng”, “tia với đoạn thẳng”, “tia với đường thẳng”, chẳng hạn:

O’x’ // Ox (M 7 , tập 1, tr 92) Cũng tương tự, theo G7, tập 1, trang 94 thì mặc dù:

Trong SGK không có các khái niệm “hai đoạn thẳng song song” (trong hình bình hành), “hai tia song song” ( hai góc có cạnh tương ứng song song),…nhưng các khái niệm đó vẫn được sử dụng khi cần thiết (G 7 , tập 1, tr 94)

Trong đoạn trích trên còn cho thấy không còn xuất hiện từ “tia” khi diễn đạt một tia cho trước Như vậy, thể chế dạy học toán 7 đã ngầm bỏ đi từ “tia” trước kí hiệu của nó Đặc biệt, ở đây có sự đồng nhất giữa khái niệm “Đoạn thẳng” với “Đường thẳng”, chẳng hạn:

Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc […] (M 7 , tập 2, tr 57)

Đây là một khác biệt so với các lớp dưới Liệu có gây ra sự nhập nhằng nào cho HS khi giải toán?

Để trả lời cho câu hỏi này, theo G7, tập 2, trang 64 thì

[…] lưu ý rằng ta đã coi các đoạn thẳng là đường và đôi khi cũng xét cả các đường thẳng chứa các đoạn thẳng này Tùy từng tình huống cụ thể mà GV yêu cầu HS xét đường thẳng hay đoạn thẳng Hay, Tùy từng tình huống mà GV nhắc nhở HS khỏi lầm lẫn (G 7 , tập 2, tr 72)

Kí hiệu “⇔” còn xuất hiện thay cho cụm từ “khi và chỉ khi” khi diễn đạt nội dung định

lí, chẳng hạn:

Với mọi ∆ABC: AB = AC ⇔ B =C (M7, tập 1, tr 128)

Kí hiệu “≡” thay cho cụm từ “Trùng nhau” hay từ “Trùng”, khi diễn đạt vị trí tương đối của hai điểm cho trước, chẳng hạn:

M ≡ O (M 7 , tập 2, tr 70)

Kí hiệu “≠” và kí hiệu “≢” cùng thay thế cụm từ “không trùng nhau” hoặc “khác nhau”, khi diễn đạt hai điểm khác nhau, chẳng hạn:

C’ ≠ C (E 7 , tập 2, tr 41) Hay

O ≢ O’ (G 7 , tập 2, tr 78) Ngoài ra, kí hiệu “≢” còn thay cho cụm từ “phân biệt” khi diễn đạt hai đường thẳng phân biệt, chẳng hạn:

Gọi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r […] (G 7 , tập 2, tr 99)

Lại có sự chồng chéo liên quan đến kí hiệu ‘r” Vậy liệu có gây ra khó khăn gì cho

HS, khi sử dụng chúng trong giải toán?

Tất cả những định nghĩa, định lí, tính chất trong bài học được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường Có khi có mặt kí hiệu toán học, chẳng hạn:

Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước (M 7 , tập 1, tr 85)

Riêng chương II: Tam giác, hầu hết các định lí có diễn đạt lại bằng ngôn ngữ kí hiệu

toán học, theo các cấu trúc logic như: “A ⇒ B”, “Nếu…thì…”, “A ⇔ B” Chẳng hạn:

Xuất hiện kiểu nhiệm vụ “phát biểu tính chất từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ

kí hiệu toán học”, chẳng hạn:

37 Hãy phát biểu các tính chất có liên quan đến tính chất vuông góc và tính chất song song của hai đường thẳng […] và ghi các tính chất đó bằng kí hiệu (E 7 , tập 1, tr 80) Ngoài ra, thể chế dạy học toán 7 có ràng buộc là khi giảng dạy GV phải:

Hướng dẫn HS trả lời qua nhiều chặng […] và sử dụng nhiều hình thức ngôn ngữ khác nhau để diễn đạt nội dung (G 7 , tập 1, tr 84)

Mặc dù kí hiệu này không xuất hiện trong SGK hay SBT của toán 8 Nhưng, liệu GV

có giới thiệu cũng như sử dụng kí hiệu này khi giảng dạy?

Hình thức diễn đạt những định nghĩa, định lí, tính chất trong bài học không có sự khác biệt so với toán 7 Vì vậy, chúng tôi không phân tích thêm để tránh sự trùng lặp

B Phần Hình học

Phần này gồm có bốn chương Chương I, chương II, chương III, tiếp tục giới thiệu kiến thức về hình học phẳng Chương IV giới thiệu sơ lược về hình học không gian Trong ba chương đầu, những định nghĩa, định lí hoàn toàn được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường Tuy nhiên, có một số ít trong đó được mã hóa lại theo cấu trúc

logic: “A ⇔ B”, “A ⇒ B” bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học hoặc kết hợp với ngôn ngữ thông thường, chẳng hạn:

Trong chương IV, theo G8, tập 2, trang 108 thì:

Trong chương trình THCS thì chương IV là một chương hoàn toàn mới đối với HS lớp

8 Ở chương này, […] Trên cơ sở quan sát hình hộp chữ nhật, HS nhận biết được một

số khái niệm cơ bản của hình học không gian:

- Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

- Hai đường thẳng song song với nhau

- Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song […]

(G 8 , tập 2, tr 108) Hơn nữa, theo G8, tập 1, trang 9 thì:

không dạy hình học không gian mà chỉ giúp HS nhận biết một số vật thể trong không gian, qua đó dần hình thành một số khái niệm cơ bản của hình học không gian

(G 8 , tập 1, tr 9)

Vì vậy không có định nghĩa, tính chất nào được đưa vào giảng dạy Các kí hiệu của

“Điểm”, “Đường thẳng”, “Mặt phẳng” trong không gian được ngầm giới thiệu, thông qua việc “quan sát hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ” (M8, tập 2, tr 96) Chẳng hạn:

Kí hiệu “//” thay cho cụm từ “song song” khi diễn đạt quan hệ song song giữa các đối tượng “Đường thẳng” và “Mặt phẳng” trong không gian, chẳng hạn:

AA’ // DD’ (M 8 , tập 2, tr 98) Hay

AB // mp(A’B’C’D’) (M 8 , tập 2, tr 99) Hay

mp(ABCD) // mp(A’B’C’D’) (M 8 , tập 2, tr 99)

Tương tự, kí hiệu “⊥” thay cho cụm từ “vuông góc” khi diễn đạt quan hệ “vuông góc” giữa các đối tượng “Đường thẳng”, “Mặt phẳng” trong không gian, chẳng hạn:

A’A ⊥ mp(ABCD) ( M 8 , tập 2, tr 101) Hay

AA’ CC’ BB’ A’C’ B’C’ A’B’ AC CB AB

A’C’B’

ABB’A’

(M 8 , tập 2, tr.109) Ngoài ra, ở đây có sự nhập nhằng trong việc sử dụng “thuật ngữ” toán học, khi diễn đạt quan hệ bao hàm giữa “Đường thẳng” và “Mặt phẳng” trong không gian, chẳng hạn:

AC không thuộc mp(A 1 C 1 B 1 ) (E 8 , tập 2, tr 161)

Kí hiệu “⊄” xuất hiện, thay cho cụm từ “Không nằm trong”, “Không chứa trong” khi diễn đạt một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng, chẳng hạn:

a ⊄ (P) (G 8 , tập 2, tr 115) Xuất hiện hình thức tóm tắt định lí bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, chẳng hạn:

Có thể cho hs ghi tóm tắt:

(G 8 , tập 2, tr.115) Tuy nhiên, nó không được giới thiệu trong SGK cũng như SBT toán 8 hiện hành

Từ những ghi nhận trên cho thấy, những kí hiệu toán học được giới thiệu và sử dụng trong chương IV này được xem như những “Viên gạch” đầu tiên, làm nền móng

vững chắt giúp HS học tốt hình học không gian sau này

3x là căn thức bậc hai của 3x. (M9 , tập 1, tr 8)

Kí hiệu “3 ” thay cho cụm từ “Căn bậc ba” của một số, chẳng hạn:

Hầu hết các định nghĩa, tính chất trong phần này đều được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường kết hợp với ngôn ngữ kí hiệu toán học, chẳng hạn:

Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có a < b ⇔ a < b (M 9 , tập 1, tr 5)

B Phần Hình Học

Hình học 9 cũng có bốn chương Chương I, II, III, tiếp tục giới thiệu kiến thức hình

học phẳng Chương IV tiếp tục giới thiệu sơ lược về các hình trong không gian

Trong chương I, II, III: hầu hết các định lí được mã hóa lại bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học và không trình bày chứng minh, chẳng hạn:

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền

Cụ thể, trong tam giác ABC vuông tại A, ta có b 2

= ab’, c2 = ac’ (M 9 , tập 1, tr 65)

Có những định lí được mã hóa theo cấu trúc logic: A1∧ A2∧…∧An ⇒ B, dưới dạng

“hội” của các mệnh đề toán học, chẳng hạn:

�AB là đường kínhAB cắt CD tại I

I ≢ O, CI = ID ⇒ AB ⊥ CD (G

9 , tập 1, tr 128) Tuy nhiên, phép “hội” các mệnh đề toán học không được giảng dạy trong chương trình toán THCS Vậy, phải chăng hình thức diễn đạt này của thể chế dạy học toán 9 chỉ mang tính hình thức hay phép hội được ngầm sử dụng?

Xuất hiện kí hiệu các “tỉ số lượng giác” của một góc α, chẳng hạn:

sinα, cosα, tgα (hay tanα), cotgα (hay cotα) (M 9 , tập 1, tr 72)

Kí hiệu “ᴖ” thay cho từ “Cung” khi diễn đạt cung của một đường tròn, chẳng hạn:

Cung AB được kí hiệu là AB (M9, tập 2, tr 67)

Kí hiệu số đo của một cung được sử dụng từ viết tắt “sđ” đứng trước kí hiệu của cung cần tính số đo, chẳng hạn:

[…]sđ AB sđ AC sđCB = +  (M9, tập 2, tr 68)

Liệu HS có nhầm lẫn giữa kí hiệu cung và số đo cung của một đường tròn?

Để trả lời cho câu hỏi này, theo G9, tập 2, trang 80 thì

cần phân biệt hai kí hiệu AB và sđAB (G9, tập 2, tr 80)

Tuy nhiên, chúng tôi không thấy trình bày cách thức phân biệt giữa hai kí hiệu này như thế nào

Kí hiệu “R”, còn được thay cho cụm từ “Bán kính đường tròn ngoại tiếp” khi diễn đạt

bán kính đường tròn ngoại tiếp một đa giác Kí hiệu “r” thay cho cụm từ “Bán kính

đường tròn nội tiếp” khi diễn đạt bán kính đường tròn nội tiếp một đa giác, chẳng hạn:

[…] đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC Tính R (M 9 , tập 2, tr 91) Hay

[…] đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC Tính r (M 9 , tập 2, tr 91) Như vậy, ở đây đã có sự nhập nhằng giữa kí hiệu của bán kính đường tròn, bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp Ngoài ra, thể chế dạy học toán 9 cũng quan tâm rèn luyện kĩ năng diễn đạt các mệnh đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, chẳng hạn:

Hãy diễn đạt hệ thức sau đây bằng kí hiệu: số đo của cung AB = số đo của cung AC +

số đo của cung CB (G 9 , tập 2, tr 81) Trong chương IV, kí hiệu “r” tiếp tục xuất hiện với vai trò mới, thay cho cụm từ

“Bán kính đáy” của hình trụ khi tính diện tích, thể tích của hình trụ, chẳng hạn:

V = S h = π r 2

h (M 9 , tập 2, tr 109) Tóm lại: qua phân tích vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THCS, cho thấy: + Có sự tiến triển về mặt “nghĩa” của các kí hiệu toán học qua từng lớp học, ở những giai đoạn khác nhau

+ Nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu toán học khi diễn đạt một mệnh đề toán học + Tồn tại một quy tắc ngầm ẩn liên quan việc sử dụng kí hiệu của bán kính đường tròn:

“tùy điều kiện bài toán mà sử dụng kí hiệu “r” hay “R” cho phù hợp?”

+ Hoạt động mã hóa các định nghĩa, định lí, tính chất bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học được quan tâm rèn luyện dưới những hình thức khác nhau như: nêu giả thiết, kết luận của bài toán; theo cấu trúc logic A ⇒ B; A ⇔ B; A1∧ A2∧…∧An ⇒ B,…

+ Phép “hội”, “tuyển” của các mệnh đề toán học được ngầm sử dụng trong hình thức

mã hóa các định lí trong bài học

1.3 Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THPT

Trong khuông khổ luận văn này, chúng tôi chỉ phân tích vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở các lớp 10 và 11 mà không phân tích lớp 12, vì trọng tâm của luận văn nghiên cứu về hình học không gian 11

Để giúp cho việc trình bày được thuận lợi, chúng tôi sử dụng hình thức viết tắt sau:

MĐsnc10, GĐsnc10, EĐsnc10, MĐscb10, GĐscb10, EĐscb10, tương ứng là sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập: Đại số10 nâng cao, Đại số 10 cơ bản

MHHnc10, GHHnc10, EHHnc10, MHHcb10, GHHcb10, EHHcb10, tương ứng là sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập: hình học 10 nâng cao, hình học 10 cơ bản

MĐsGtnc11, GĐsGtnc11, EĐsGtnc11, MĐsGtcb11, GĐsGtcb11, EĐsGtcb11, tương ứng là sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập: Đại số và giải tích 11 nâng cao, Đại số và giải tích

1.3.1.1 Đại số 10 nâng cao

Lí thuyết “Tập hợp” và “Mệnh đề” được đưa vào giảng dạy tường minh ở chương đầu tiên của Đại số 10 nâng cao Theo GĐsnc10, tập 1, trang 3, 4 thì:

Chủ đề thứ nhất gồm hai phần Mệnh đề và Tập hợp, trong đó phần mệnh đề chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những hiểu biết sơ lược về mệnh đề, qua đó giới thiệu các kí hiệu logic […] Yêu cầu chủ yếu của phần này là học sinh phải biết cách sử dụng đúng lúc, đúng chỗ, đúng cách các kí hiệu logic cũng như phải hiểu đúng các ý được diễn đạt theo cách đã học trong các tình huống cụ thể (G Đsnc10 , tập 1, tr 3, 4)

Đối với kí hiệu logic có:

Kí hiệu “P” thay cho cụm từ “không phải P” khi diễn đạt phủ định của một mệnh đề P

: 2

P là số vô tỉ (M Đsnc10 , tr 5)

Kí hiệu “⇒” thay cho cụm từ “Suy ra”, “Kéo theo”, “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ”,

“Nếu…thì…” hoặc “Vì…nên…” khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:

[…] Mệnh đề “ Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q (MĐsnc10, tr 5)

Kí hiệu “⇔” thay cho cụm từ “Khi và chỉ khi”, “Nếu và chỉ nếu”, “Điều kiện cần và đủ” hoặc “Tương đương” khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:

[…] Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q (M Đsnc , tr 6)

Hai kí hiệu này xuất hiện với vai trò là đối tượng dạy học

Kí hiệu “∀” thay cho cụm từ “Với mọi” Mặc dù đã xuất hiện trước đây, tuy nhiên trong lần xuất hiện này nó là một đối tượng dạy học, chẳng hạn:

∀x ∈ X, P(x) (M Đsnc , tr 7)

Kí hiệu “∃” thay cho cụm từ “Tồn tại”, “có một” hay “có ít nhất một” khi diễn đạt một mệnh đề toán học Nó cũng xuất hiện với vai trò là đối tượng dạy học, chẳng hạn:

∃x ∈ X, P(x) (M Đsnc , tr 8) Mặt khác, theo GĐsnc10, trang 41, thì:

Ngoài các phép toán phủ định, kéo theo và tương đương, ta còn dùng hai phép toán logic khác là phép hội và phép tuyển để tạo ra mệnh đề mới từ các mệnh đề hiện có (GĐsnc10, tr 41)

Theo đó, xuất hiện kí hiệu “∧” thay thế cho từ “Hội” hay “Và”; kí hiệu “∨” thay thế cho từ “Tuyển” hay “Hoặc” khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:

[…] P ∧ Q là mệnh đề “20 chia hết cho 4” và chia hết cho 5 (G Đsnc10 , tr 41) Tuy nhiên trên thực tế, hai phép toán này không được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán 10 nâng cao hiện hành Vậy, liệu có khó khăn gì cho HS trong việc hiểu một mệnh đề toán học được cho dưới dạng “hội” hay “tuyển” các mệnh đề? (chẳng hạn: khi học về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hay các mệnh đề toán học trong hình học…)

Để trả lời cho câu hỏi này, theo GĐsnc10, tr 106 thì

Vì lí do sư phạm, SGK đã không đưa vào khái niệm tuyển phương trình, cũng không

sử dụng kí hiệu “[” Khi gặp trường hợp cần đến khái niệm tuyển phương trình, SGK dùng từ “hoặc” để thay thế Chẳng hạn, ta viết (x – 1)(x – mx +2) = 0 ⇔ x – 1 = 0 hoặc x – mx +2 = 0 để thay cho (x – 1)(x – mx +2) = 0 ⇔ 1 0

[…] (1) ⇔

1 2

( )( )

Hay, cách giải của phương trình dạng ax b cx d+ = + Theo GĐsnc10, trang 116 thì

Cách đơn giản nhất theo chúng tôi là cách đưa về tuyển:

 Do đó, cách này đã được trình bày đầy đủ

trong sách (GĐsnc10, tr 116) Nhưng, cũng theo GĐsnc10, trang 136 thì khi

Giải hệ phương trình, trong đó có một phương trình tích […] không nên sử dụng kí hiệu tuyển phương trình (G Đsnc10 , tr 136)

Như vậy, ở đây có sự nhập nhằng trong việc dùng kí hiệu “[” để diễn đạt lời giải của

phương trình và hệ phương trình Phải chăng việc sử dụng hay không sử dụng kí hiệu này, thể chế dạy học toán 10 nc đã ủy thác cho GV, căn cứ hoàn cảnh thực tế

để sử dụng cho phù hợp?

Đối với kí hiệu “Tập hợp”:

Ngoài những kí hiệu: “∈”, ∉”, “⊂”, “∩”, “∪” đã được giới thiệu tường minh ở lớp 6 Còn xuất hiện kí hiệu “∖” thay cho từ “Hiệu”; kí hiệu “ A

E

C ” thay cho cụm từ “Phần bù”; kí hiệu “(;)” thay cho từ “Khoảng”; kí hiệu “[;]” thay cho từ “Đoạn”; kí hiệu “(; ] hay [; ) thay cho cụm từ nửa khoảng khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:

A ∩ B = [1; 2] (M Đsnc10 , tr 19) Theo GĐsnc10, trang 34 thì phải:

Biết dùng ngôn ngữ và kí hiệu của lý thuyết tập hợp để diễn đạt các bài toán, trình bày các suy luận toán học một cách sáng sủa, mạch lạc (G Đsnc10 , tr 34)

Đối với hoạt động “diễn dịch” một mệnh đề toán học từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại, được thể chế dạy học Đại số 10 quan tâm rèn luyện, chẳng hạn:

Dùng kí hiệu logic để diễn tả mệnh đề […] (E Đsnc10 , tr 9) Theo GĐsnc10, trang 44 thì:

Thông thường, mỗi định lí là một mệnh đề đúng có cấu trúc như sau: “∀x ∈ X, P(x) ⇒ Q(x)”[…] Trong nhiều trường hợp, phát biểu định lí không có lượng từ “với mọi” nhưng ta ngầm hiểu là có lượng từ “với mọi” trong đó Chẳng hạn, “Nếu n chia hết cho

3 thì n2chia hết cho 9 (G Đsnc10 , tr 44) Ngoài ra, còn có những kí hiệu toán học khác như:

Kí hiệu “±” mang tính hình thức khi diễn đạt sai số tuyệt đối của một số gần đúng, chẳng hạn:

a= ±a d (MĐsnc10, tr 25) Tuy nhiên, kí hiệu này còn xuất hiện trong hình thức trình bày nghiệm của phương trình bậc hai, chẳng hạn: