môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số frobenius

Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M ta đã xác định được một tác động trái từ R... Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái phải nếu một trong cá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2014

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN 2

1.1 Định nghĩa môđun, môđun con 2

1.2 Đồng cấu môđun 3

1.3 Điều kiện dây chuyền tăng và điều kiện dây chuyền giảm 4

1.4 Môđun Noether và môđun Artin 5

1.5 Vành Noether và vành Artin 5

1.6 Dãy khớp 6

1.7 Môđun xạ ảnh 7

1.8 Môđun đơn, môđun nửa đơn 7

1.9 Vành đơn, vành nửa đơn 8

1.10 Vành nguyên 8

1.11 Vành chia 9

1.12 Vành nguyên thủy 9

1.13 Tập nil , tập lũy linh 9

1.14 Radical Jacobson của một vành 9

1.15 Vành nửa nguyên sơ 11

1.16 Định nghĩa phần tử lũy đẳng 11

1.17 Vành địa phương 11

1.18 Môđun không phân tích được 12

1.19 Vành nửa địa phương 13

1.20 Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng 13

1.21 Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ 14

1.22 Socle của môđun, vành socular 15

1.23 Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện 15

Chương 2 MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS 17

2.1 MÔĐUN NỘI XẠ 17

2.1.1 Định nghĩa 1 về môđun nội xạ 17

2.1.2 Định nghĩa 2 về môđun nội xạ 17

2.1.3 Định lí (Tiêu chuẩn Baer) 18

2.1.4 Tích trực tiếp họ môđun nội xạ 20

2.1.5 Bổ đề về đơn cấu chẻ ra 21

2.1.6 Mệnh đề về môđun nội xạ 22

2.1.7 Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ 22

2.1.8 Môđun chia được 23

2.1.9 Môđun chia được trên vành chính 23

2.1.10 Môđun nội xạ trên miền nguyên 23

2.1.11 − môđun chia được 24

2.1.12 Hom(R, D) – môđun nội xạ 25

2.1.13 Nhúng một môđun vào môđun nội xạ 26

2.1.14 Các điều kiện tương đương của môđun nội xạ 26

2.1.15 Tổng trực tiếp họ môđun nội xạ 27

2.2 VÀNH TỰ NỘI XẠ 28

2.2.1 Định nghĩa vành tự nội xạ 28

2.2.2 Iđêan trong vành tự nội xạ 30

2.2.3 Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ 31

2.2.4 Vành FDI và tự nội xạ 32

2.2.5 Vành Noether và tự nội xạ 32

2.2.6 Iđêan hữu hạn sinh trong vành tự nội xạ 33

2.2.7 Liên hệ giữa vành Noether và vành tự nội xạ 34

2.2.8 Vành Artin và vành tự nội xạ 34

2.2.9 Liên hệ giữa vành Artin và vành tự nội xạ 35

2.2.10 Môđun không phân tích được vào vành tự nội xạ 35

2.2.11 Các điều kiện tương đương của vành tự nội xạ 36

2.2.12 Liên hệ giữa vành Noether và vành Artin 37

2.3 ĐẠI SỐ FROBENIUS 38

2.3.1 Dạng song tuyến tính không suy biến 38

2.3.2 Dạng song tuyến tính đối xứng 39

2.3.3 Đại số Frobenius 40

2.3.4 Đại số đối xứng 40

2.3.5 Bổ đề về các đẳng cấu từ A→A * 41

2.3.6 Các điều kiện tương đương của đại số Frobenius 42

2.3.7 Tích trực tiếp họ đại số Frobenius 42

2.3.8 Mn( )A – đại số Frobenius 43

2.3.9 Tính chất của đại số Frobenius 44

2.3.10 Đại số tựa Frobenius 46

2.3.11 Liên hệ giữa đại số Frobenius và tựa Frobenius 46

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

ACC Điều kiện dây chuyến tăng

DCC Điều kiện dây chuyến giảm

M ; M Thứ tự là các môđun phải, trái

radR Radical Jacobson của vành R

( ) ( )

l M , r M Thứ tự là linh hóa tử trái, phải của môđun M E(M) Bao nội xạ của môđun M

MỞ ĐẦU

Trong sự phát triển chung của toán học, lý thuyết môđun đã có sự phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu các lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là trong việc nghiên cứu lý thuyết vành Ta biết rằng

một vành R là R – môđun trên chính nó nên hiển nhiên một số kết quả trên môđun có thể chuyển sang vành

Môđun xạ ảnh và môđun nội xạ được xem là hai trụ cột của lý thuyết môđun Việc nghiên cứu môđun nội xạ và các mở rộng của nó là một trong những hướng được nhiều người quan tâm hiện nay Luận văn của tôi tập trung nghiên cứu môđun nội xạ, các vành tự nội xạ với các ví dụ cho ta những hình ảnh cụ thể của chúng và về đại số Frobenius như là lớp con của lớp các vành tự nội xạ

Luận văn gồm hai chương :

+ Chương 1 : Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành và lý thuyết

môđun

+ Chương 2 : Môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số Frobenius

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS TS Bùi Tường Trí,

người đã trực tiếp tận tình giúp đỡ và hướng dẫn luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp

Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học

Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi nhiều thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014

Nguyễn Quốc Thắng

C hương 1 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4

Ký hiệu: MR, ta gọi M là R – môđun phải, R là vành hệ tử

Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M ta

đã xác định được một tác động trái từ R

1.1.2 Định nghĩa môđun con

Cho A, B là các tập con của môđun M và K⊂R (với A, B, K ≠ ∅ ), ta định nghĩa:

Nhận xét

Mỗi môđun bất kỳ luôn có hai môđun con tầm thường là (0) và chính nó Mỗi vành R đều là R – môđun trái (phải) với các môđun con chính là các iđêan trái (phải) của R

1.1.3 Ann(M)

Cho M là R – môđun, ta định nghĩa ann(M) là tập tất cả các phần tử của vành hệ tử R, linh hóa M Cụ thể:

+ Nếu M là R – môđun phải thì ann M( )= ∈{r R | Mr=( )0 }

+ Nếu M là R – môđun trái thì ann M( )= ∈{r R | rM=( )0 }

Đồng cấu f được gọi là toàn cấu nếu f đồng thời là toàn ánh

Nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu thì f được gọi là đẳng cấu

1.2.2 Tính chất

Cho f : M→M′ là đồng cấu Khi đó nếu N là môđun con của M thì f N ( )

là môđun con của M’, còn nếu N’ là môđun con của M’ thì 1( )

f− N′ là môđun con của M

Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu Tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)

Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = (0)

Nếu f : M→M′ là một đẳng cấu thì 1

f− : M′ →M cũng là một đẳng cấu Nếu f : M→M′ là một toàn cấu thì M Kerf ≅M′

1.2.3 Mệnh đề Cho vành R và Y, X (ii ∈ là các R – I) môđun Khi đó ta có đẳng cấu R( i ) R( i )

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

(i) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆Ci2 ⊆ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại

n∈ sao cho

C =C + =C + =

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại

1.3.2 Điều kiện dây chuyền giảm (DCC)

Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền

vô hạn, giảm nghiêm ngặt:

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

(i) Mọi dây chuyền giảm Ci1 ⊇Ci2 ⊇ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại

n∈ sao cho

C =C + =C + =

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu

1.4 Môđun Noether và môđun Artin

+ Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại

1.5.2 Vành Artin

Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như

R – môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

+ Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu

1.5.3 Định lí Nếu R là vành Artin phải thì R cũng là vành Noether phải

được gọi là khớp tại môđun B nếu Imf Kerg=

Dãy đồng cấu (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian

Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian

Dãy khớp ngắn (2) là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B

1.6.4 Định lí Đối với mỗi dãy khớp ngắn f g

0→ A → B → → , ba phát C 0biểu sau là tương đương:

(i) Dãy khớp là chẻ ra

(ii) Đồng cấu f có nghịch đảo trái

(iii) Đồng cấu g có nghịch đảo phải

1.6.5 Hệ quả Nếu dãy khớp f g

(ii) Mỗi dãy khớp 0→ → → →A B P 0 là chẻ ra

(iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do nào đó

1.7.5 Định lí

Khi R là vành chính, R – môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P tự do

1.8 Môđun đơn, môđun nửa đơn

1.8.1 Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui)

R – môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ

có hai môđun con tầm thường là (0) và M

1.8.2 Định nghĩa môđun nửa đơn

Pf ϕ

B→σ C

R – môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui) nếu M phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun đơn

1.8.3 Định lí Đối với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương

(i) M là nửa đơn

(ii) Mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M

(iii) M là tổng của một họ môđun con đơn

1.8.4 Bổ đề

Cho M là R – môđun phải (tương ứng, môđun trái) và là môđun đơn Khi

đó R có iđêan phải (iđêan trái) đẳng cấu với M khi và chỉ khi

1.9.2 Định lí Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là R – môđun phải nửa đơn

(ii) R là R – môđun trái nửa đơn

(iii) Mọi R – môđun phải M là môđun nửa đơn

(iv) Mọi R – môđun trái M là môđun nửa đơn

1.10 Vành nguyên

Vành R được gọi là vành nguyên nếu R≠0 và ab= ⇒ =0 a 0 hoặc b=0 Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên

R – môđun M được gọi là môđun trung thành nếu ann M( )= 0

Vành R được gọi là vành nguyên thủy trái (phải) nếu có R – môđun trái (phải) bất khả qui trung thành

1.13 Tập nil , tập lũy linh

Tính chất Iđêan lũy linh là nil iđêan

1.13.2 Định lí (J.Levitzki) Nếu R là vành Noether phải thì các nil – iđêan một

phía của nó đều lũy linh

1.14 Radical Jacobson của một vành

1.14.1 Định nghĩa radical Jacobson của một vành

Cho vành R, ta định nghĩa radical Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan phải tối đại của R (đồng thời cũng là giao của tất cả các iđêan trái tối đại của R) Ký hiệu: radR

Nếu R =( )0 ta định nghĩa radR=( )0

radRlà iđêan của R

1.14.2 Định nghĩa vành nửa nguyên thủy

Vành R≠0 được gọi là nửa nguyên thủy nếu radR=( )0

1.14.3 Bổ đề Với mỗi y R∈ , các phát biểu sau là tương đương:

(i) y∈radR

(ii) 1 xy− khả nghịch phải với mọi x∈R

1.14.4 Định lí Cho R là vành Artin phải Khi đó, radR là iđêan lũy linh lớn

nhất chứa tất cả các iđêan lũy linh một phía của R

1.14.5 Hệ quả Trong vành Artin, mọi nil iđêan đều lũy linh

1.14.6 Định lí Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là nửa đơn

(ii) R là Artin phải và nửa nguyên thủy

1.14.7 Định lí Hopkins – Levitzki Cho R là vành mà radR lũy linh và

R =R radR là nửa đơn Khi đó, với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương:

(iii) Với mọi R – môđun trái N⊆M mà M N hữu hạn sinh,

N+JM=M⇒ =N M

1.14.9 Hệ quả Cho R là vành Noether phải Nếu R radR là vành nửa đơn và

radR là nil – iđêan thì R là vành Artin phải

1.15 Vành nửa nguyên sơ

Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R radR là vành nửa đơn và radR lũy linh

1.17.2 Mệnh đề Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là vành địa phương

(ii) Nếu a ∈ R thì a hoặc 1 – a khả nghịch

(iii) R có duy nhất một iđêan trái tối đại

(iv) radR là iđêan phải tối đại duy nhất trong R

(v) Tất cả các phần tử không khả nghịch của R lập thành một iđêan

(vi) radR là tập tất cả các phần tử không khả nghịch của R

(vii) R radR là vành chia

(ii) End M( R) không có phần tử lũy đẳng không tầm thường

1.18.4 Định lí Krull – Schmidt – Azumaya

Cho vành R, giả sử MR có hai sự phân tích theo các môđun con:

M=M ⊕ ⊕ M =N ⊕ ⊕ N

trong đó các Ni là các môđun không phân tích được, còn các Mi là các môđun thật sự không phân tích được

Khi đó r s= , và sau khi sắp xếp lại ta được Mi ≅N , i 1, ri =

1.19 Vành nửa địa phương

Vành R được gọi là nửa địa phương nếu là R radR vành Artin trái hoặc

R radR là vành nửa đơn

trong đó f = −1 e là phần tử lũy đẳng bù với e

(i) và (ii) là sự phân tích theo các iđêan trái, phải

1.20.1 Định lí

Cho e và f là các phần tử lũy đẳng của vành R Khi đó Hom eR,fR( )≅fRe Nếu f = e thì End eR( )≅eRe, đặc biệt khi e = 1 thì ta có End R( )≅ R

1.20.2 Định nghĩa phần tử lũy đẳng nguyên thủy Phần tử lũy đẳng e≠0

được gọi là phần tử lũy đẳng nguyên thủy nếu e không có sự phân tích thành tổng của các phần tử lũy đẳng trực giao khác 0

1.20.3 Bổ đề Cho R – môđun phải M≠( )0 , các phát biểu sau là tương đương: (i) M không phân tích được

(ii) 1 là phần tử lũy đẳng nguyên thủy trong End M( R)

1.20.4 Mệnh đề Với mỗi phần tử lũy đẳng e 0≠ trong R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) eR là R – môđun phải không phân tích được

(ii) Re là R – môđun trái không phân tích được

(iii) Vành eRe không có phần tử lũy đẳng không tầm thường

(iv) e là phần tử lũy đẳng nguyên thủy của R

1.20.5 Định nghĩa phần tử lũy đẳng địa phương

Phần tử lũy đẳng e 0≠ được gọi là phần tử lũy đẳng địa phương nếu eRe là vành địa phương Nếu e là phần tử lũy đẳng địa phương thì e cũng là phần tử lũy đẳng nguyên thủy

1.20.6 Định nghĩa phần tử lũy đẳng nâng lên

Cho I là iđêan của vành R, ta nói phần tử lũy đẳng x∈R I có thể được nâng lên từ R nếu tồn tại phần tử lũy đẳng e∈R là tạo ảnh của x trong phép chiếu R →R I (hay e =x)

1.21 Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ

1.21.1 Định nghĩa

Cho N là môđun con của M, khi đó ta nói M là một mở rộng của N Môđun con N của M được gọi là cốt yếu trong M nếu N có giao khác 0 với mọi môđun con khác 0 của M, khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N

Môđun Q được gọi là bao nội xạ của môđun M nếu nó vừa là mở rộng cốt yếu của M và vừa là môđun nội xạ Kí hiệu Q=E M( )

1.21.2 Mệnh đề

(i) E M( 1⊕M2)E M( )1 ⊕E M( )2 với bất kì R – môđun M , M1 2

(ii) Nếu : Mϕ → Q là đơn cấu và Q là môđun nội xạ thì Q=Q1⊕Q2 trong

đó Q1E Im( ϕ)

1.22 Socle của môđun, vành socular

1.22.1 Định nghĩa socle của môđun

Cho M là R – môđun phải Khi đó socle của M, kí hiệu soc M( ) là tổng của tất cả các môđun con đơn của M Nếu M không có môđun con đơn thì

( )

soc M = 0

1.22.2 Định nghĩa vành socular

Vành R được gọi là socular phải (trái) nếu mỗi R – môđun phải (trái) đều

có socle khác 0 Một vành vừa socular phải và socular trái được gọi là vành socular

1.22.3 Mệnh đề Nếu M là R – môđun thì E M( )=E soc M( ( ) )

1.22.4 Mệnh đề Cho R là vành nửa hoàn thiện Khi đó soc A( )A trùng với linh hóa tử trái l radR( ) và soc( )AA trùng với linh hóa tử phải r radR ( ) Đặc biệt hơn, soc A( )A và soc( )AA là các iđêan hai phía

1.23 Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện

1.23.1 Định nghĩa vành nửa hoàn thiện

Vành R được gọi là nửa hoàn thiện nếu R là vành nửa địa phương và mọi phần tử lũy đẳng của R radRcó thể được nâng lên từ R

1.23.2 Định lí

Vành R là vành nửa hoàn thiện khi và chỉ khi 1 e= +1 e2 ++en, với

{ }ei i 1,n= là tập các phần tử lũy đẳng địa phương trực giao

1.23.3 Bổ đề

Cho R là vành nửa hoàn thiện, lấy P eA= là A – môđun xạ ảnh không phân tích được và U=P P.r adR( ) là môđun đơn Khi đó môđun đối ngẫu U* đẳng cấu với l rad R e( ) , và do đó U*≅soc A( )A e

1.23.4 Định nghĩa tập con T – lũy linh

Tập con A của vành R được gọi là T – lũy linh trái (phải) nếu với mọi dãy phần tử {a ,a ,a ,1 2 3 }⊆A, luôn tồn tại n∈ sao cho + a a1 2an =0

(ana a2 1=0)

Nhận xét: Tập lũy linh là tập T – lũy linh trái (phải), tập T – lũy linh trái (phải) là tập nil

1.23.5 Định nghĩa vành hoàn thiện

Vành R được gọi là vành hoàn thiện phải (trái) nếu R radR là vành nửa đơn và radR là T – lũy linh phải (trái)

Nếu R là vành hoàn thiện hai phía, ta nói R là hoàn thiện

1.23.6 Định lí (H.Bass) Cho R là vành Khi đó các điều kiện sau là tương

đương:

(i) R là vành hoàn thiện phải

(ii) Mọi R – môđun dẹt phải đều là môđun xạ ảnh

(iii) R thỏa điều kiện dây chuyền giảm của các iđêan trái chính quy

1.23.7 Định lí Các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) R là vành hoàn thiện phải

(ii) R là vành nửa địa phương và socular trái

1.23.8 Hệ quả

Nếu R là vành Noether phải và hoàn thiện phải thì R là vành Artin phải

C hương 2 MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ

Vì χ là đơn cấu nên ta có thể xem như A⊂B, và do vậy f có thể xem như

là sự mở rộng của f trên B Vì lý do đó có khi người ta xem môđun nội xạ J là môđun cho phép sự mở rộng của bất kỳ đồng cấu f : A→J thành đồng cấu

f : B →J, trên mỗi môđun A⊂B

2.1.2 Định nghĩa 2

Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu hàm tử Hom( )−, J là hàm tử khớp Như vậy, J là môđun nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom( )−, J chuyển mỗi dãy khớp ngắn:

0→ A χ→ → B σ C → 0

thành dãy khớp các nhóm aben :

0→Hom C, J →σ Hom B, J →χ Hom A, J → 0

Vì hàm tử Hom( )−, J là khớp trái nên tính khớp của dãy sau cùng tương đương với đòi hỏi đồng cấu :

là toàn cấu nếu χ là đơn cấu Điều này có nghĩa với mọi đồng cấu

( )

f∈Hom A, J , tồn tại đồng cấu f∈Hom B, J( ) sao cho χ* f( ) = χ =f f

Nếu chỉ dựa vào định nghĩa 1 và định nghĩa 2 mà để xây dựng môđun nội

xạ thì rất khó khăn do đó ta cần tìm tiêu chí khác để giảm thiểu các điều kiện trong định nghĩa môđun nội xạ bằng tiêu chuẩn Baer sau đây

2.1.3 Định lí (Tiêu chuẩn Baer)

R – môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì iđêan phải U của R và mỗi đồng cấu f : U→J đều tồn tại đồng cấu h : R →J sao cho h.i=f , trong đó i là phép nhúng U vào R

Chứng minh:

Hiển nhiên các điều kiện đã nêu là điều kiện cần cho tính nội xạ của môđun Bây giờ ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ

Bước 1 : Xét biểu đồ sau

trong đó α là đơn cấu Giả thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C của B sao cho Imα ⊂ C và tồn tại đồng cấu :Cγ → sao cho J ϕ = γ α Ta sẽ chứng minh rằng khi đó tồn tại môđun C1 của B, thực sự chứa C và tồn tại đồng cấu

γ → sao cho ϕ = γ α1 (và do đó γ1 C = γ)

Thật vậy, lấy b B, b C∈ ∉ và đặt C1 = +C bR

Nếu C∩bR=0 thì γ có thể mở rộng trên C1 một cách tầm thường

Nếu C∩bR≠0 thì ta gọi U={u∈R | bu∈C} Rõ ràng U là iđêan phải trong R

0→ →A α B

là một R – đồng cấu Đặt ξ = γζ: U→J Theo giả thiết tìm được đồng cấu

p : R → sao cho J ξ =p.i nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

Bây giờ ta định nghĩa γ1: C1→ bởi quy tắc: J

Bây giờ giả sử Q là một dây chuyền trong W và D=  với C ( )C,γ ∈ Q

Rõ ràng C0 ⊂ ⊂D B Hơn nữa, giả sử : Dδ → Q đặt tương ứng d→ γ( )d với

d∈ C trong đó ( )C,γ ∈ Do (2) δ Q là đồng cấu mở rộng của γ0 Điều này chứng tỏ (D,δ ) là cận trên của Q trong W Bởi vậy theo bổ đề Zorn, trong W tồn tại phần tử tối đại, và do bước một phần tử tối đại này phải bằng (B,ψ )

trong đó ϕ = ψα

* Tiêu chuẩn Baer còn được phát biểu dưới dạng

R – môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì iđêan phải U của R và mỗi đồng cấu f : U→J, luôn luôn tồn tại phần tử q J∈ sao cho với mọi λ ∈ ta có U

J đều là nội xạ, theo tiêu chuẩn Baer

Giả sử f : I→Jk là đồng cấu từ iđêan phải IR vào Jk Nối kết f với phép nhúng k k k

Bởi J là môđun nội xạ nên tồn tại phần tử x J∈ mà với mọi

Vậy J k thỏa mãn tiêu chuẩn Baer, tức J k là môđun nội xạ

Bây giờ nếu mọi thành phần J k là nội xạ và k

2.1.5 Bổ đề

Nếu mỗi đơn cấu : Jϕ → là chẻ ra với mọi môđun A thì J là nội xạ A

Chứng minh:

Xét biểu đồ các đồng cấu môđun sau đây, trong đó

g là đơn cấu Gọi K là môđun con của J⊕B gồm tất cả

fJ

g

0→ A →B