khái niệm tập hợp ở trung học phổ thông, sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ

Bên cạnh đó, tập hợp được sử dụng để định nghĩa nhiều khái niệm trong chương trình như: Đồ thị hàm số; Phương trình tương đương; Tổ hợp, Chỉnh hợp, Hoán vị; Quỹ tích… Các phép toán tập h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Văn Ngọc Thảo Quyên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Văn Ngọc Thảo Quyên

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2014

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập dưới sự hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực

TP Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 9 năm 2014

TÁC GIẢ Văn Ngọc Thảo Quyên

LỜI CẢM ƠN

Người đầu tiên Tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đó là Thầy Khanh Tôi xin phép được gọi Thầy là Thầy Khanh thay vì TS Trần Lương Công Khanh nhằm bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy là người đã hướng dẫn tận tình và giúp đỡ tôi rất nhiều, luôn theo sát để Tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Nguyễn Thị Nga, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu cùng các em học sinh trường THCS – THPT Lương Thế Vinh, quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi thực hiện thực nghiệm trong luận văn

Cuối cùng, Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học

TP Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 9 năm 2014

TÁC GIẢ Văn Ngọc Thảo Quyên

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục bảng

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP 4

1.1 Sự hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp của Cantor 4

1.1.1 Lực lượng của tập vô hạn 5

1.1.2 Giả thuyết continuum 7

1.1.3 Các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor 8

1.2 Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell 12

1.2.1 Hệ tiên đề và lý thuyết Zermelo-Fraenkel 12

1.2.2 Hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel và lý thuyết lớp 13

1.2.3 Lý thuyết kiểu 14

1.3 Lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại 15

1.3.1 Lý thuyết tập hợp trong chuyên luận của Bourbaki 15

1.3.2 Vai trò của lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại 16

Kết luận chương 1 17

Chương 2 VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 18

2.1 Phân tích sách Đại số 10 cơ bản 18

2.1.1 Mục đích đưa khái niệm Tập hợp vào sách giáo khoa 18

2.1.2 Tập hợp - đối tượng dạy học trong chương trình Toán THPT 19

2.2.2 Phương trình và bất phương trình_hệ phương trình và hệ bất phương

trình 33

2.2.3 Đại số tổ hợp 34

2.2.4 Xác suất và thống kê 36

2.2.5 Hình học 39

Kết luận chương 2 41

Chương 3 ĐỐI CHIẾU VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG 43

3.1 Độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp 43

3.1.1 Kết quả chương 1 43

3.1.2 Kết quả chương 2 44

3.1.3 Chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp 44

3.2 Nghiên cứu thực nghiệm 46

3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 46

3.2.2 Hình thức thực nghiệm 46

3.2.3 Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các bài toán thực nghiệm 46

Kết luận chương 3 66

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 PHỤ LỤC

HS : Học sinh

GV : Giáo viên SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông KNV : Kiểu nhiệm vụ

Tr : Trang Nxb : Nhà xuất bản

PT : Phương trình HPT : Hệ phương trình BPT : Bất phương trình HBPT : Hệ bất phương trình

Bảng 2.1 Nhiệm vụ minh họa kiểu nhiệm vụ T1 27

Bảng 2.2 Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2 28

Bảng 2.3 Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T8 và T9 36

Bảng 2.4 Ngôn ngữ biến cố 37

Bảng 3.1 Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 1 51

Bảng 3.2 Kết quả về số lượng học sinh chọn chiến lược giải 52

Bảng 3.3 Bảng lựa chọn các giá trị của các biến dạy học trong bài 2 54

Bảng 3.4 Số lượng học sinh chọn theo 2 bạn và các giải thích thường gặp 56

Bảng 3.5 Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 3 60

Bảng 3.6 Thống kê số lượng học sinh chọn các chiến lược giải 62

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận và câu hỏi ban đầu

Tập hợp được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông ngay từ lớp 10 Hơn thế nữa, tập hợp lại được giới thiệu ngay ở chương I của sách giáo khoa Đại số 10 Bên cạnh đó, tập hợp được sử dụng để định nghĩa nhiều khái niệm trong chương trình như: Đồ thị hàm số; Phương trình tương đương; Tổ hợp, Chỉnh hợp, Hoán vị; Quỹ tích… Các phép toán tập hợp lại được vận dụng triệt để trong việc

giải bất phương trình, hệ bất phương trình “ Để giải một hệ bất phương trình ta giải

từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm” [5, tr.10]

Từ những ghi nhận trên đã dẫn chúng tôi đến câu hỏi sau:

Sự nối khớp giữa vai trò đối tượng và vai trò công cụ của tập hợp được thể hiện như thế nào trong sách giáo khoa và thực tế giảng dạy ở trung học phổ thông?

2 Khung lý thuyết tham chiếu

Nghiên cứu của chúng tôi đặt trong phạm vi của Didactic toán, mà cụ thể là thuyết nhân học và hợp đồng Didactic Trong đó, thuyết nhân học giúp chúng tôi hình thành các mối quan hệ của thể chế đối với tri thức tập hợp, các bước chuyển

hóa sư phạm trong việc dạy học tập hợp và các tổ chức toán học (praxéologie) được

trình bày trong chương trình toán trung học phổ thông Qua phân tích thể chế, chúng tôi có thể tìm ra những ràng buộc cũng như qui tắc hợp đồng tồn tại trong chương trình

3 Mục đích nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu luận văn này nhằm mục đích là: chỉ ra sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa và thực tế giảng dạy ở bậc trung học phổ thông Dựa vào khung lý thuyết tham chiếu chúng tôi đặt ra hai câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau như thế nào?

Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa?

4 Cấu trúc luận văn

5 Phương pháp nghiên cứu

Toàn bộ nghiên cứu của chúng tôi thực hiện theo sơ đồ sau:

Giải thích sơ đồ:

Chúng tôi thực hiện khảo sát khoa học luận đối chiếu song song với phân tích thể chế chương trình toán trung học phổ thông Từ việc phân tích đối chiếu này giúp chúng tôi trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra và phát biểu giả thuyết nghiên cứu Cuối cùng thực nghiệm giúp chúng tôi bổ sung trả lời các câu hỏi, cũng như việc khẳng định hay bác bỏ giả thuyết nghiên cứu ban đầu

6 Phương hướng thực hiện

Dựa vào phương pháp nghiên cứu, chúng tôi định hướng nội dung của từng chương như sau:

Chương 1: Khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp

- Lịch sử hình thành lý thuyết tập hợp của Cantor và sự xuất hiện và ảnh hưởng

Khảo sát khoa học luận

Thực nghiệm

Phân tích thể chế

Trả lời câu hỏi Phát biểu giả thuyết

của các nghịch lý đến lý thuyết này

- Việc giải quyết các nghịch lý để hoàn thiện lý thuyết tập hợp

- Những lĩnh vực toán học có sự hiện diện của lý thuyết tập hợp

Chương 2: Vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa toán THPT

- Mục đích đưa vào khái niệm tập hợp

- Việc xây dựng khái niệm tập hợp trong sách giáo khoa, những qui ước để tránh các nghịch lý

- Những khái niệm được xây dựng nhờ ngôn ngữ tập hợp

- Những kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ khái niệm tập hợp

Chương 3: Đối chiếu và thực nghiệm kiểm chứng

- Trả lời các câu hỏi:

Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau như thế nào?

Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa?

- Thực nghiệm

PHỤ LỤC

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Chương 1 KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP

Chương này trình bày kết quả khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp dựa trên các tài liệu lịch sử toán học và các chuyên luận toán học Kết quả thu được trong chương này và chương 2 sẽ được đối chiếu trong chương 3 để xác định độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và

sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp

Nghiên cứu trong chương này được định hướng bằng hai nhóm câu hỏi dưới đây:

Lý thuyết tập hợp ra đời nhằm giải quyết vấn đề gì? Quá trình hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp đã gặp những chướng ngại khoa học luận nào? Các nhà toán học đã giải quyết những chướng ngại đó bằng cách nào?

Ngày nay, lý thuyết tập hợp được sử dụng trong những lĩnh vực toán học nào ? Vai trò của lý thuyết tập hợp trong mỗi lĩnh vực toán học đó?

Các tài liệu tham chiếu chính của chương này là:

- Bourbaki N (1970), Éléments de mathématiques, Livre I, Théorie des

ensembles, Éditions Hermann, nouvelle édition, Paris

- Dahan-Dalmendico A., Peiffer J (1986), Une histoire des mathématiques,

routes et dédales, Éditions du Seuil

- Phan Đình Diệu (2006), Logich toán & cơ sở toán học, Nxb Đại học quốc

gia Hà Nội

- Trần Lương Công Khanh (2013), Lịch sử lý thuyết tập hợp, bài giảng dành cho học viên cao học Trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, tài liệu lưu hành nội bộ

1.1 Sự hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp của Cantor

Theo mục từ Set and set theory của trang web Earliest Known Uses of Some of

the Words of Mathematics1, tên gọi naive set theory ra đời từ những năm 1940 và

được dùng phổ biến trong các nước nĩi tiếng Anh Tên gọi tương đương trong tiếng

Pháp (théorie nạve des ensembles) xuất hiện sớm nhất ở lời nĩi đầu quyển Théorie

axiomatique des ensembles của Jean-Louis Krivine, xuất bản năm 1972

Một số nhà nghiên cứu xem lý thuyết tập hợp ngây thơ là lý thuyết tập hợp

được xây dựng và phát triển bởi Cantor, khơng sử dụng các tiên đề tường minh

Một số khác, chẳng hạn Paul Hamos (1916-2006) trong Naive Set Theory xuất bản

năm 1960, xem lý thuyết tập hợp cĩ trang bị hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel là ngây thơ

Trong luận văn này, chúng tơi tránh dùng thuật ngữ lý thuyết tập hợp ngây thơ

vì nội hàm của nĩ chưa được các nhà tốn học thống nhất

1.1.1 L ực lượng của tập vơ hạn: động lực ra đời lý thuyết tập hợp

Trước Cantor, tập hợp là một quan niệm cơ bản, được sử dụng ngầm ẩn từ

thời Aristote (384-322 trước Thiên Chúa2

) Trong Cơ bản, quyển 9, mệnh đề 20,

Euclide từng phát biểu và chứng minh mệnh đề về sự tồn tại vơ hạn các số nguyên

tố Tuy nhiên, nếu các tập hữu hạn được các nhà khoa học cổ đại chấp nhận dễ dàng thì các tập vơ hạn lại là đề tài của nhiều tranh luận triết học

Mặc dù là thành quả của nhiều thế hệ nhà nghiên cứu, lịch sử tốn học xem Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor3 (1845-1918) là người đặt nền mĩng cho lý thuyết tập hợp từ năm 1874

Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác vào thập niên 1870 đưa Cantor

đến khái niệm tập dẫn xuất của một tập số

Cho X là tập các số thực nào đĩ Tập dẫn xuất X’ của X là tập cĩ được từ X sau

khi đã loại đi các điểm cơ lập Chẳng hạn, nếu X = {1/n, n ∈ N*} ∪ {0} thì các

điểm 1/n là cơ lập trong X nên X’ = {0} Ta cũng cĩ thể xét tập dẫn xuất của X’ - ký hiệu X” - và thu được X” = ∅

1 Địa chỉ http://jeff560.tripod.com/s.html, truy cập ngày 31/3/2014

2

Chúng tơi dùng trước Thiên Chúa, sau Thiên Chúa mà khơng dùng trước Cơng nguyên, sau Cơng nguyên

vì chúng ta đang sống trong Cơng nguyên

3 Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor sinh ngày 3-3-1845 tại Saint-Péterbourg (Nga), mất ngày 6-1-1918 tại Halle (Đức), quốc tịch Đức

Lặp lại tiến trình này, ta có thể xây dựng một tập X các số thực có thể lấy dẫn xuất vô hạn lần Nếu ký hiệu X (n) là tập dẫn xuất cấp n của X thì các X(n) tạo thành

một dãy các tập giảm (theo quan hệ bao hàm) Tập dẫn xuất cấp vô hạn của X - ký hiệu X(∞) - là giao của tất cả các X(n)

[…] các bản số vô hạn được ký hiệu bằng chữ cái Hébreu ℵ (alep) có chỉ số

Bản số vô hạn nhỏ nhất - bản số của tập N các số tự nhiên - được ký hiệu là ℵ 0

(alep không) Bản số nhỏ nhất lớn hơn ℵ0 được ký hiệu là ℵ1 Một cách tổng quát, một bản số bất kỳ có thể viết dưới dạng ℵα với α là một số thứ tự

Năm 1874, Cantor chứng minh được card N = ℵ0 < 2ℵ0 = card R [10, tr.2]

Việc Cantor chứng minh tập các số thực có “nhiều” phần tử hơn tập các số tự nhiên cho thấy “số phần tử” (tức bản số) của các tập vô hạn không hoàn toàn giống nhau Điều này đưa Cantor đến việc xây dựng khái niệm tương ứng một-một để định nghĩa tập hữu hạn, tập vô hạn4 Riêng tập vô hạn lại được ông chia thành tập đếm được và tập không đếm được5 Ông còn chứng minh tập các bản số vô hạn là một tập vô hạn, nghĩa là có vô hạn tập vô hạn

Kết quả trên giúp chúng tôi rút ra những nhận xét sau:

- Quan niệm về tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn đã xuất hiện ngầm ẩn từ thời

cổ đại Khi ấy, tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn là những đối tượng cận toán học

(objets paramathématiques) vì có tên gọi nhưng chưa có định nghĩa

- Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác đưa Cantor đến bài toán khảo sát, so sánh và phân loại lực lượng các tập vô hạn mà lời giải trở thành một phần quan trọng trong lý thuyết tập hợp của Cantor

4 Theo Cantor, tập E gọi là hữu hạn nếu tồn tại một số tự nhiên n và một song ánh từ E đến tập các số tự

nhiên nhỏ hơn n Đặc biệt, khi n = 0, E là tập rỗng Số n gọi là bản số của E, ký hiệu n = E (ký hiệu của

chính Cantor) hoặc n = |E| hoặc n = card E Tập không hữu hạn gọi là tập vô hạn

5 Cantor định nghĩa tập đếm được là tập có cùng lực lượng với N, tập không đếm được là tập vô hạn không

cùng lực lượng với N

- Năm 1821, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) xuất bản Cours d'Analyse trong đó ông định nghĩa khái niệm giới hạn và dãy Cauchy - hai khái niệm chính

cho phép định nghĩa số thực như giới hạn của dãy các số hữu tỷ Năm 1872, Richard Dedekind (1831-1916) công bố bài báo Vorlesungen über Zahlentheorie

(Tính liên tục và các số vô tỷ) liên quan đến việc định nghĩa số vô tỷ bằng nhát cắt Năm 1874, Cantor bắt đầu nghiên cứu lực lượng của các tập vô hạn dựa trên các tính chất của số thực và giới hạn Như vậy, quá trình xây dựng lý thuyết tập hợp của Cantor gắn bó mật thiết với những kiến thức về lý thuyết số và giải tích

1.1.2 Giả thuyết continuum

Cantor đã thu được kết quả card N = ℵ 0 < card R Vì ℵ 1 là bản số nhỏ nhất lớn hơn ℵ0 nên ông có ngay hệ thức ℵ0 < ℵ1 ≤ card R Hệ thức này dần dần đưa ông đến những suy xét và câu hỏi dưới đây:

- Lực lượng đếm được nhỏ hơn lực lượng continuum

- Giữa ℵ0 và ℵ1 không có bản số nào khác vì ℵ1 là bản số nhỏ nhất lớn hơn

ℵ0

- Giữa ℵ0 và card R có ℵ 1 nhưng vấn đề là ℵ1 < card R hay ℵ1 = card R?

Nếu ℵ1 < card R, ta có ℵ0 < ℵ1 < card R, nghĩa là tồn tại lực lượng ở giữa lực lượng đếm được và lực lượng continuum Nếu ℵ1 = card R, ta có ℵ0 < ℵ1 =

card R, nghĩa là không có lực lượng nào ở giữa lực lượng đếm được và lực lượng continuum

Để trả lời câu hỏi đã đặt, Cantor đưa ra giả thuyết continuum nhưng không

chứng minh hay bác bỏ được

Giả thuyết continuum khẳng định rằng ℵ1 = 2ℵ0, nghĩa là không có tập hợp

nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của tập N và nhỏ hơn lực lượng của tập R Nói

cách khác, có thể chuyển từ tập rời rạc (tập đếm được) sang tập liên tục chỉ bằng

một bước nhảy Đây cũng là nguồn gốc của tên gọi continuum

[ ] Trong đại hội toán học quốc tế lần thứ 2 tổ chức tại Paris năm 1900, Hilbert liệt kê 23 bài toán lớn mà thế kỷ 19 để lại cho thế kỷ 20, trong đó giả thuyết

continuum đứng đầu danh sách

Mãi đến năm 1938, Kurt Gödel6

(1906-1978) mới chứng minh được rằng giả thuyết continuum là độc lập đối với hệ tiên đề ZFC7 nên không thể bác bỏ giả

thuyết continuum trong lý thuyết ZFC Năm 1963, Paul Joseph Cohen8

(1934-2007)

sử dụng phương pháp forcing để chứng minh rằng không thể chứng minh giả thuyết

continuum từ hệ tiên đề ZFC [10, tr.3]

Công trình của Gödel và Cohen không chứng minh hay bác bỏ giả thuyết

continuum nên giả thuyết này vẫn là một trong những bài toán lớn cần giải quyết của thế kỷ 21 Các nhà toán học thế giới đang tiếp tục đi tìm một tiên đề bổ sung vào hệ tiên đề ZFC hoặc xây dựng một hệ tiên đề mới cho phép khẳng định hoặc

bác bỏ giả thuyết continuum

1.1.3 Các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor

Theo Từ điển toán học thông dụng do GS Ngô Thúc Lanh chủ biên (2000),

thuật ngữ nghịch lý được dùng để chỉ một kết quả đúng nhưng trái với trực giác

thông thường (nghịch lý loại 1) hoặc một lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng dẫn đến mâu thuẫn (nghịch lý loại 2) Phần này đề cập đến một số nghịch lý loại 2 tiêu biểu (gọi tắt là nghịch lý) trong lý thuyết tập hợp của Cantor

Toán học hiện đại chia các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor thành hai nhóm lớn: các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa và các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập

1.1.3.1 Các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa

Trong số các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa,

6 Kurt Gödel là nhà toán học và lôgic học sinh ngày 28-4-1906 tại Áo-Hung, nhập quốc tịch Tiệp Khắc năm

1918, quốc tịch Áo năm 1929, quốc tịch Đức năm 1938 và quốc tịch Mỹ năm 1948, mất ngày 14-1-1978 Ông thường được xem là người Áo Ngoài việc xây dựng lý thuyết hàm đệ quy và chứng minh tính đầy đủ

của phép toán vị từ bậc nhất, Gödel còn chứng minh tính chặt chẽ tương đối của giả thuyết continuum, theo

đó ta không thểbác bỏ giả thuyết continuum bằng các tiên đề đã được chấp nhận của lý thuyết tập hợp (giả

định rằng các tiên đề này là chặt chẽ) Công trình nổi tiếng nhất của ông là định lý về tính không đầy đủ, theo

đó bất kì một hệ tiên đề nào đủ mạnh để mô tả số học cũng chứa những mệnh đề về các số nguyên mà chúng

ta không thể phủ định cũng không thể khẳng định nó từ những tiên đề của hệ

7 Hệ tiên đề ZFC (tức hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel có bổ sung tiên đề chọn) là hệ tiên đề được Ernst Zermelo (1871-1953) và Abraham Fraenkel (1891-1965) xây dựng vào đầu thế kỷ 20 nhằm tiên đề hóa lý thuyết tập hợp của Cantor , tránh các nghịch lý đã phát hiện trước đó

8 Paul Joseph Cohen sinh ngày 2-4-1934 tại Long Branch (Mỹ), mất ngày 23-3-2007 tại Palo Alto (Mỹ), là nhà toán học Mỹ Ông nổi tiếng vì đã chứng minh tính độc lập của giả thuyết continuum với hệ tiên đề ZFC bằng phương pháp forcing Công trình này đem lại cho ông giải thưởng Field năm 1966

chúng tôi chọn ra ba nghịch lý tiêu biểu để phân tích: nghịch lý Cantor, nghịch lý Richard và nghịch lý Berry

1.1.3.1.1 Nghịch lý Cantor

Nghịch lý Cantor được chính ông phát hiện năm 1899 Xét S là tập tất cả các tập hợp và P(S) là tập các tập con của S Theo định lý Cantor9

, ta có card S < card P(S) Mặt khác, ánh xạ f : P(S) → S, Ef(E) = E là đơn ánh nên card P(S) ≤ card S Ta thu được hai bất đẳng thức mâu thuẫn với nhau

Để giải quyết mâu thuẫn, Cantor phân biệt “số nhiều phù hợp” với “số nhiều không phù hợp” “Số nhiều phù hợp” có thể tham gia tạo thành tập hợp trong khi

“số nhiều không phù hợp” (chẳng hạn tập hợp tất cả các tập hợp) là “vô hạn tuyệt đối” thuộc về thượng đế mà con người không thể hiểu được

Chúng tôi sẽ đề cập đến việc giải quyết nghịch lý Cantor khi trình bày về lý thuyết lớp trong mục 2.2 của chương này

1.1.3.1.2 Nghịch lý Richard

Nghịch lý này được Richard công bố năm 1905 Ông xét các chỉnh hợp lặp chập 2 của 26 chữ cái tiếng Pháp và sắp thứ tự các chỉnh hợp lặp này theo thứ tự từ điển Một cách tương tự, ông tiếp tục xét và sắp thứ tự các chỉnh hợp lặp chập 3, 4, 5… của 26 chữ cái tiếng Pháp

Với k ≥ 2 cho trước, số chỉnh hợp lặp chập k của 26 là 26 k

Tập hợp E các chỉnh hợp lặp chập k (k = 2, 3, 4…) của 26 chữ cái tiếng Pháp là tập đếm được Bất

kỳ một diễn đạt nào gồm hữu hạn từ tiếng Pháp đều tương ứng với duy nhất một

phần tử của E Ví dụ: Je vais à l'école (Tôi đến trường) tương ứng với phần tử

jevaisalecole ∈ E Đặc biệt, việc xác định một số thực bằng hữu hạn từ tương ứng

với việc thiết lập một chỉnh hợp lặp chập k nào đó của 26 chữ cái tiếng Pháp

Gọi G là tập những phần tử của E tương ứng với việc xác định một số thực bằng hữu hạn từ, ta có G đếm được và được sắp thứ tự (với thứ tự của E thu hẹp trên G) Gọi u i là số thực được xác định từ phần tử thứ i của E Tập G' = {u i | i

9 Được chứng minh năm 1891, định lý Cantor phát biểu rằng bản số của một tập bất kỳ luôn nhỏ hơn bản số của tập các tập con của nó

∈ N*} là tập đếm được gồm các số thực được xác định bằng hữu hạn từ

Ta xây dựng số thực N có cách viết trong hệ thập phân như sau:

Ta giải quyết nghịch lý này bằng cách phân biệt hai mức độ ngôn ngữ: ngôn ngữ bình thường (đôi khi được gọi là ngôn ngữ đối tượng) và ngôn ngữ được sử dụng để mô tả lý thuyết đang xét (siêu ngôn ngữ và thường chưa được hình thức hóa) Khi định nghĩa một tập đếm được các số thực có thể định nghĩa bằng một số hữu hạn từ, ta hiểu rằng các từ này thuộc về một ngôn ngữ cụ thể của một dân tộc

nào đó Việc mô tả số thực N được thực hiện bằng một số hữu hạn từ trong siêu ngôn ngữ Quá trình xây dựng N cho thấy rằng nó không thể mô tả bằng một số hữu

hạn từ trong ngôn ngữ đối tượng Khi mã hóa siêu ngôn ngữ thành ngôn ngữ đối tượng, nghịch lý Richard không còn là nghịch lý [10, tr.4]

1.1.3.1.3 Nghịch lý Berry

Nghịch lý Berry là một dạng khác của nghịch lý Richard, được Russel phát

hiện năm 1906 và đặt tên theo tên của Berry (1867-1928) - thủ thư thư viện Bodley

thuộc đại học Oxford

Xét “Số tự nhiên nhỏ nhất không thể mô tả bằng không quá mười sáu từ”10 Số này có thuộc tập các số tự nhiên được mô tả bằng một phát biểu không quá mười sáu từ hay không?

Gọi E là tập các số tự nhiên được mô tả bằng một phát biểu không quá mười sáu từ và n là “số tự nhiên nhỏ nhất không thể mô tả bằng không quá mười sáu từ”

10 Trong nguyên văn tiếng Pháp, số này được mô tả bằng đúng mười lăm từ là: “Le plus petit entier naturel non descriptible par une expression de quinze mots ou moins” Về nguyên tắc, có thể thay số 16 bằng một số

bất kỳ lớn hơn số từ mà ta sử dụng để mô tả số tự nhiên đang xét

Ta có n ∈ E (vì định nghĩa của n có đúng 15 từ) và n ∉ E (vì n không thể mô tả

bằng không quá 16 từ) Ta gặp lại một mâu thuẫn tương tự nghịch lý Richard

1.1.3.2 Các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập

Liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập, chúng tôi chọn nghịch lý Russell để phân tích

Quay lại nghịch lý Cantor, nếu ký hiệu S là tập tất cả các tập hợp, ta có S (với

tư cách là một tập) là một phần tử của S (với tư cách là tập tất cả các tập hợp) Nói cách khác, S ∈ S hay S là một phần tử của chính nó

Nếu tránh nói đến tập tất cả các tập hợp, ta vẫn có thể nêu một ví dụ khác về

sự tồn tại của những tập là phần tử của chính nó Gọi E là tập các tập hợp có hơn

một phần tử, ta có N ∈ E và Z ∈ E nên E ∈ E (vì E có hơn một phần tử)

Điều này khiến Russell xét G là tập các tập hợp không phải là phần tử của chính nó và đặt câu hỏi G ∈ G hay G ∉ G? Nếu G ∈ G thì G là phần tử của chính

nó nên G ∉ G (theo định nghĩa) Nếu G ∉ G thì G không phải là phần tử của chính

nó nên G ∈ G (theo định nghĩa) Mỗi trường hợp G ∈ G hay G ∉ G đều dẫn đến

mâu thuẫn

Nghịch lý Russell còn được phát biểu dưới dạng nghịch lý người thợ cạo:

Ở làng Seville có một ông thợ cạo Tại làng này, tất cả đàn ông đều tự cạo râu hoặc nhờ thợ cạo Ông thợ này cho biết: “Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông làng Seville không tự cạo râu được” Hỏi ông thợ cạo có cạo râu cho chính mình không? Việc khảo sát hai khả năng có hoặc không đều dẫn đến mâu thuẫn

Nếu thuộc nhóm tự cạo râu (nhóm 1) thì ông thợ cạo không cạo râu cho những người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông Nhưng nếu như vậy thì ông phải thuộc nhóm không tự cạo râu (nhóm 2) Nếu ở nhóm không tự cạo râu (nhóm 2) thì ông thợ cạo sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2 Lúc

đó hoá ra ông lại tự cạo râu cho mình, nghĩa là ông thuộc nhóm 1

Vậy ông thợ cạo thuộc nhóm nào? Điều này sẽ dễ dàng giải quyết nếu người thợ cạo không sống ở làng Seville hoặc là phụ nữ Tuy nhiên, câu chuyện đã xác định rõ người thợ cạo sống ở làng Seville và là đàn ông [10, tr.5]

Nghịch lý Russell chỉ ra những mâu thuẫn lô-gic có thể phát sinh khi xác định một tập hợp bằng cách nêu đặc trưng Việc giải quyết những mâu thuẫn này đòi hỏi phải xây dựng những điều kiện về tính hợp thức của tính chất đặc trưng của một tập

mà Cantor chưa thực hiện Chúng tôi sẽ quay lại nghịch lý Russell khi trình bày về

lý thuyết Zermelo-Fraenkel trong mục 2.1 dưới đây

1.2 Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell

Cantor chưa giải quyết triệt để các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của mình: ông không đề xuất giải pháp đối với một số nghịch lý (chẳng hạn nghịch lý Russell) hoặc giải pháp của ông còn mang tính hình thức (chẳng hạn “số nhiều phù hợp” hay

“vô hạn tuyệt đối”)

Sự tồn tại các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor và những tranh cãi xung quanh giả thuyết continuum đòi hỏi phải có một định nghĩa chính xác về tập hợp Nhiều nhà toán học đã nghĩ đến phương pháp tiên đề mà Hilbert từng sử dụng vào năm 1899 khi xây dựng cơ sở của hình học Euclide

Trong số nhiều cố gắng tiên đề hóa lý thuyết tập hợp của Cantor, được sử dụng nhiều nhất là hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel và hệ tiên đề Russell Lý thuyết tập hợp xây dựng trên các hệ tiên đề này tương ứng gọi là lý thuyết ZF, lý thuyết lớp và lý thuyết kiểu

1.2.1 Hệ tiên đề và lý thuyết Zermelo-Fraenkel

Hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel (hoặc hệ tiên đề ZF) được xây dựng từ các tiên

đề do Ernst Zermelo (1871-1953) phát biểu năm 1908, cộng thêm tiên đề về thay thế do Abraham Adolf Halevi Fraenkel (1891-1965) bổ sung Thoralf Albert Skolem (1887-1963) là người diễn đạt lại hệ tiên đề ZF dưới dạng thường thấy ngày nay (xem phụ lục 1)

Mục tiêu chính của hệ tiên đề ZF là loại bỏ những sai lệch liên quan đến các khái niệm trực giác về tập hợp và liên thuộc trong lý thuyết tập hợp của Cantor Đặc biệt, tiên đề 7 của hệ tiên đề ZF quy định điều kiện đối với tính chất đặc trưng của một tập và cho phép giải quyết nghịch lý người thợ cạo của Russell

Tiên đề 7 (tiên đề về cách hiểu) Với bất kỳ tập hợp E, với bất kỳ tính chất11

P được diễn đạt bằng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, tồn tại một tập F chứa các phần tử của E thỏa mãn tính chất P Có thể phát biểu một cách hình thức tiên đề này

như sau:

∀E ∀P ∃F ∀x [x ∈ F ⇔ (x ∈ E ∧ P(x) = 1)]

Trở lại nghịch lý người thợ cạo, gọi E là tập gồm đúng một phần tử là ông thợ cạo làng Seville, P là tính chất “không tự cạo râu cho chính mình” Ta không tìm được tập F = {x ∈ E | P(x)} Vậy tính chất P là không hợp thức trong lý thuyết tập

hợp [10, tr.5]

Hệ tiên đề ZF cũng cho phép chứng minh không tồn tại tập tất cả các tập hợp

và không tồn tại tập hợp là phần tử của chính nó (xem phụ lục 1)

Trở lại nghịch lý Russell (dạng tập hợp) đã trình bày trong mục 1.3.2, ta thấy mọi tập hợp thỏa hệ tiên đề ZF đều không là phần tử của chính nó Do đó, “tập” các tập hợp không là phần tử của chính nó là một cách diễn đạt khác của “tập” tất cả các tập hợp và cả hai “tập” này đều không tồn tại trong lý thuyết ZF

1.2.2 Hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel và lý thuyết lớp

Năm 1925, John von Neumann (1903-1957) xây dựng lý thuyết lớp từ khái

niệm hàm số Năm 1930, Paul Bernays (1888-1977) xây dựng lại và đơn giản hóa lý thuyết lớp của von Neumann dựa vào khái niệm tập hợp và quan hệ liên thuộc

Năm 1940, Kurt Gödel (1906-1978) dựa vào công trình của Bernays để trình bày một phiên bản mới của lý thuyết lớp nhằm phục vụ cho việc chứng minh tính chặt chẽ tương đối của tiên đề chọn và giả thuyết continuum Phiên bản sau cùng này còn gọi là hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel (hoặc hệ tiên đề NBG)

Năm 1955, John Leroy Kelley (1916-1999) xuất bản chuyên luận General

topology (Tôpô đại cương) trong đó ông giới thiệu lý thuyết Morse-Kelley - một lý thuyết lớp khác mạnh hơn lý thuyết NBG

Như chúng tôi đã xác định ở trên, phần này chỉ đề cập đến lý thuyết lớp NBG

Lý thuyết lớp phân biệt hai khái niệm lớp và tập hợp Tập hợp được xem là

11 Tính chất ở đây được hiểu là một công thức của phép tính vị từ một biến (Chú thích của tài liệu đã dẫn)

một lớp đặc biệt và tồn tại lớp chứa tất cả các tập hợp Một lớp A là một tập hợp nếu tồn tại một lớp B sao cho A ∈ B Một lớp không phải là tập hợp được gọi là lớp thật

sự Một cách hình thức, ta có A là lớp thật sự nếu và chỉ nếu A ∉ B với mọi lớp B

Chẳng hạn, lớp tất cả các tập hợp lớp hoặc lớp các tập hợp không phải là phần tử

của chính nó là các lớp thật sự

Lý thuyết lớp gồm 7 tiên đề về lớp đặc biệt và 10 tiên đề về lớp thật sự (xem phụ lục 2) Có thể xem lý thuyết lớp là một mở rộng của lý thuyết ZF Do đó, mọi mệnh đề đúng trong lý thuyết ZF cũng đúng trong lý thuyết lớp Ngược lại, mọi mệnh đề đúng chỉ nói về lớp đặc biệt trong lý thuyết lớp cũng đúng trong lý thuyết

ZF

Trở lại nghịch lý Cantor đã trình bày trong mục 1.3.1.1, ta có lớp tất cả các tập

hợp (ký hiệu S) là một lớp thật sự Ta suy ra lớp các lớp con của S (ký hiệu P(S))

cũng là một lớp thật sự Vì ta chỉ định nghĩa ánh xạ giữa hai tập hợp nên tương ứng

f : P(S) → S, Ef(E) = E không là ánh xạ Do đó, không thể suy ra card P(S) ≤ card S

1.2.3 Lý thuyết kiểu

Phiên bản đầu tiên của lý thuyết kiểu (còn gọi là lý thuyết phân nhánh) được

Bertrand Russell (1872-1970) trình bày trong The Principles of Mathematics (Các

nguyên lý toán học) xuất bản năm 1903 nhằm giải quyết các nghịch lý lôgic, trong

đó có các nghịch lý của lý thuyết tập hợp12 Phiên bản này được Frank Ramsey (1903-1930) đơn giản hóa, được thay thế bằng lý thuyết Zermelo-Frankel năm 1922

và được xem xét lại sau các phát hiện về phép tính lamda và lôgic tổ hợp

Lý thuyết kiểu là một nhánh của lôgic toán theo đó một đối tượng bất kỳ (thuật ngữ, tập hợp, hàm số ) là một kiểu và các thực thể chỉ có thể kết hợp với

nhau theo những quy tắc về định kiểu (xem phụ lục 3)

Áp dụng các quy tắc định kiểu vào lý thuyết tập hợp của Cantor, ta tránh được

các nghịch lý đã nêu

12 Cần phân biệt tác phẩm này với 3 quyển Principia Mathematica (viết bằng tiếng Anh nhưng có tựa là tiếng Latin) do Russell viết chung với Alfred North Whitehead (1861-1947) và xuất bản từ 1910 đến 1913

1.3 Lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại

Nhu cầu tiên đề hóa lý thuyết tập hợp của Cantor làm nảy sinh nhiều lý thuyết khác nhau về tập hợp Cho đến nay, các nhà toán học chưa phát hiện sự mâu thuẫn giữa các lý thuyết này và công nhận lý thuyết ZF là sự tiên đề hóa phù hợp nhất với

lý thuyết tập hợp của Cantor

1.3.1 Lý thuyết tập hợp trong chuyên luận của Bourbaki

Năm 1935, một số nhà toán học hàng đầu thế giới họp mặt tại Anastaise (Pháp) để bàn việc viết chung một chuyên luận về giải tích Sau cùng, với

Besse-et-Saint-bút danh Nicolas Bourbaki, họ cho ra đời bộ Éléments de mathématique13 (Các cơ

sở của toán học) gồm 10 quyển mà Théorie des ensembles (Lý thuyết tập hợp) là quyển đầu tiên

Théorie des ensembles nói riêng, Éléments de mathématique nói chung, là tác

phẩm kinh điển của toán học vì những lý do sau đây:

- Mặc dù những người sáng lập tuyên bố Nicolas Bourbaki đã mất,

Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki (Hiệp hội các cộng tác viên của Nicolas Bourbaki) thành lập năm 1952 vẫn không ngừng kết nạp thành viên mới Các thành viên của nhóm Nicolas Bourbaki đều là những nhà toán học hàng đầu thế giới và đã nhận 5 giải thưởng Fields: Laurent Schwartz (1950), Jean-Pierre Serre (1954), Alexandre Grothendieck (1966), Alain Connes (1982) và Jean-Christophe Yoccoz (1994)

- Éléments de mathématique được xây dựng trên cơ sở khái niệm cấu trúc và

được viết bằng một ngôn ngữ hình thức hóa chặt chẽ cho phép nhìn rõ mối liên hệ giữa các ngành toán học khác nhau

- Éléments de mathématique có ảnh hưởng lớn đến việc dạy và học toán, đặc biệt là cuộc cải cách giáo dục do tiểu ban Lichnerowicz đề xướng năm 1969 tại Pháp

Phần này giới thiệu tóm tắt nội dung của lý thuyết tập hợp được trình này

trong chuyên luận Théorie des ensembles của Nicolas Bourbaki

13 Khác với các quy tắc văn phạm hiện hành, từ mathématique (toán học) trong tựa tác phẩm được viết ở dạng số ít với mong muốn trình bày tất cả các kiến thức toán học thành một khối duy nhất

Chuyên luận này được tác giả viết trong 4 chương:

Chương I: Description de la mathématique formelle (mô tả toán học hình

thức) Nội dung của chương trình bày một cách có hệ thống các thuật ngữ và lý thuyết về logic, định lượng và tương đương trong toán học

Chương II: Théorie des ensembles (lý thuyết tập hợp) Chương này gồm 6 bài

Chủ đề được trình bày trong chương là: Quan hệ tập hợp hóa, cặp thứ tự, tương ứng, phép hợp và giao của họ tập hợp, tích một họ tập hợp và quan hệ tương tương Trong các chủ đề có lồng ghép các tiên đề và các tiên đề chỉ xuất hiện trong chương này:

Quan hệ tập hợp hóa gồm tiên đề về đẳng thức, tiên đề về bộ đôi, tiên đề về tập rỗng và sơ đồ chọn Quan hệ bao hàm và quan hệ tập hợp hóa cũng được trình bày trong chủ đề này

Cặp thứ tự trình bày về cặp thứ tự và tích của hai tập hợp

Tương ứng trình bày các khái niệm về tương ứng và hàm Phép co và phép cắt cũng được nhắc đến trong chủ đề này

Phép hợp và giao của họ tập hợp trình bày định nghĩa và tính chất của hai phép này, khái niệm phủ, phân hoạch và tổng của một họ các tập

Tích một họ tập hợp gồm tiên đề về tập các tập con Chủ đề này trình bày định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích họ các tập hợp

Quan hệ tương tương trình bày về định nghĩa quan hệ tương đương, mở rộng thêm lớp tương đương và lớp thương

Chương III: Ensembles ordonnés, cardinaux, nombres entiers (tập thứ tự, lực

lượng, số nguyên) Chương này trình bày các nội dung về tập thứ tự, lực lượng và

số nguyên như tên của chương đã giới thiệu

Chương IV: Structures (cấu trúc) Chương này trình bày về cấu trúc, cấu xạ,

các ứng dụng và ví dụ của nó

1.3.2 Vai trò của lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại

Ra đời từ cuối thế kỉ XIX, lý thuyết tập hợp đã nhanh chóng trở thành một ngành toán học với nội dung phong phú Trong toán học hiện đại lý thuyết tập hợp

có hai vai trò chính sau:

- Cùng với lô-gic toán, lý thuyết tập hợp là một trong hai nền tảng của toán học hiện đại Tác giả Hoàng Tụy nhận định: “Có thể nói rằng không có lĩnh vực nào trong toán học không chịu ảnh hưởng trực tiếp hay gián tiếp của nó”.[15, tr.80]

- Lý thuyết tập hợp là một hệ thống biểu đạt giúp thể hiện các đối tượng cơ bản (số, hàm số…) và các mệnh đề toán học thuộc nhiều ngành toán học khác nhau thành một khối nhất quán theo quan điểm cấu trúc

- Vì khái niệm tập hợp không được định nghĩa, quá trình hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp làm nảy sinh hai nhóm nghịch lý: các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa và các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập

- Việc giải quyết các nghịch lý khiến các nhà toán học phải tiên đề hóa khái niệm tập hợp Trong số các hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel và hệ tiên đề Russell, hệ tiên đề ZF được công nhận là sự tiên đề hóa phù hợp nhất với lý thuyết tập hợp của Cantor

- Ngày nay, lý thuyết tập hợp vừa là nền tảng, vừa là ngôn ngữ biểu đạt của các ngành toán học

Ch ương 2 VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP

Chương này trình bày các kết quả phân tích về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa toán trung học phổ thông hiện hành Kết quả trong chương này cùng với chương 1 sẽ được đối chiếu trong chương 3 để xác định độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp

Vì tập hợp được giảng dạy ở THPT từ đầu lớp 10 và ngôn ngữ tập hợp cũng được sử dụng rộng rãi trong các nội dung khác và sách giáo khoa Toán nâng cao chỉ được sử dụng trong một số lớp khá, giỏi ở các trường THPT, chúng tôi chọn sách

Đại số 10 cơ bản để phân tích Tuy nhiên, để không mất đi tính tổng thể, việc phân

tích sẽ được đặt trong mối liên hệ với bộ sách giáo khoa Toán cơ bản và chương trình Toán THPT hiện hành

“Các chương tiếp theo của SGK sẽ được trình bày thống nhất theo ngôn ngữ mệnh đề và tập hợp Như vậy, nội dung của chương I là rất cơ bản và cần thiết để học sinh học tập tiếp các chương sau nói riêng, để học tập và ứng dụng Toán nói chung” [6, tr.32]

Phân tích trong chương này được định hướng bằng hai nhóm câu hỏi sau: Mục đích đưa khái niệm tập hợp vào SGK? Việc xây dựng khái niệm tập hợp trong SGK có những qui ước nào để tránh các nghịch lý?

Những khái niệm nào được xây dựng nhờ ngôn ngữ tập hợp? Những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết nhờ khái niệm này?

2.1 Phân tích sách Đại số 10 cơ bản

2.1.1 Mục đích đưa khái niệm Tập hợp vào sách giáo khoa

Lý thuyết tập hợp ra đời từ thế kỉ 19, trải qua nhiều đổi mới trong quá trình phát triển của nó Có thể nói rằng việc phát hiện các nghịch lý đã dẫn đến việc hình thành các lý thuyết mới (lý thuyết Zermelo- Fraenkel, lý thuyết lớp, lý thuyết kiểu), trong đó lý thuyết Zermelo- Fraenkel- được xem là lý thuyết tiên đề hóa hợp lý nhất

của lý thuyết tập hợp, tránh các nghịch lý nội tại

Lôgic toán và lý thuyết tập hợp được xem là cơ sở của mọi ngành Toán học và bắt đầu từ chương trình THPT học sinh được tiếp cận với các khái niệm này Khái niệm Tập hợp được giới thiệu trong chương trình Toán lớp 10, được phân phối ở bài

2 chương I sách Đại số 10 cơ bản Tuy nhiên, tập hợp đã được đưa vào giảng dạy từ lớp 6 và học sinh đã được làm quen với khái niêm này Vậy tại sao SGK lại đưa khái niệm tập hợp vào chương trình Toán 10 và mục đích của việc đưa vào này là gì?

“[…] tập hợp là một khái niệm nguyên thủy Tuy nhiên, khái niệm tập hợp khá trực quan với học sinh Hơn nữa, học sinh đã được biết khái niệm tập hợp, phần tử, tập hợp con ngay từ lớp 6 Vì vậy, trong SGK các khái niệm này được trình bày khá gọn, chủ yếu là để ôn tập và hệ thống lại

Ở đây, điểm mới là sử dụng ngôn ngữ mệnh đề để trình bày các khái niệm, chẳng hạn

”

” [6, tr.35]

Như vậy, theo các tác giả SGK tập hợp là một khái niệm nguyên thủy và trực

quan và mục tiêu của việc giới thiệu này ở chương trình THPT chủ yếu là để ôn tập

và hệ thống lại các kiến thức về tập hợp đã biết trước đây Một điểm mới so với chương trình Toán lớp 6 là trình bày các khái niệm này dưới dạng ngôn ngữ mệnh

đề

Chúng ta có thể thấy rằng mục đích đưa khái niệm tập hợp vào chương trình THPT một lần nữa14 không phải chỉ rõ những khiếm khuyết của lý thuyết tập hợp cũng như những bổ sung cần thiết đề hoàn thiện lý thuyết này

2.1.2 Tập hợp- đối tượng dạy học trong chương trình Toán THPT

Phần bài học

Lý thuyết tập hợp được nhắc đến ngay lời mở đầu chương I của sách Đại Số

14 Tập hợp đã được giới thiệu ở chương trình Toán lớp 6

10 cơ bản “Chương này củng cố, mở rộng hiểu biết của học sinh về Lí thuyết tập

hợp đã được học ở các lớp dưới” và tập hợp chính thức giới thiệu từ bài Tập hợp

Một điều rất rõ lí thuyết tập hợp đã được học sinh biết đến và ở đây SGK có nhiệm

vụ nhắc lại như SGV viết:” Các khái niệm tập hợp, phần tử, tập hợp rỗng và cách

xác định một tập hợp học sinh đã được biết từ lớp 6 Vì vậy ở đây ta chỉ tổ chức các hoạt động để học sinh nhớ lại các kiến thức đó.” [6, tr.41]

Việc minh họa tập hợp bằng biểu đồ Ven cũng được nhắc lại

“Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng

được bao quanh bởi một đường khép kín, gọi là biểu đồ Ven như

hình 1.” [5, tr.11]

“Cũng như mệnh đề, tập hợp là một khái niệm nguyên thủy

Tuy nhiên, khái niệm tập hợp khá trực quan với học sinh Hơn nữa, học sinh đã được biết khái niệm tập hợp, phần tử, tập hợp con ngay từ lớp 6 Vì vậy, trong SGK các khái niệm này được trình bày khá gọn, chủ yếu là để ôn tập và hệ thống lại.” [6, tr.35]

Theo sách giáo viên, mặc dù không được định nghĩa, khái niệm tập hợp khá trực quan đối với học sinh và đã được dạy ở lớp 6 Sách lớp 10 chỉ nhắc lại một cách ngắn gọn và hệ thống

“Điểm mới” được SGV nhắc đến khi trình bày lại khái niệm tập hợp đã được

giới thiệu trong nội dung của tập hợp rỗng

Nếu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử

Theo kết quả khảo sát khoa học luận cho thấy tất cả các tiên đề trong hệ tiên

đề ZF đều được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ mệnh đề Do đó, việc đưa ngôn ngữ mệnh đề vào tập hợp ở giai đoạn này phải chăng SGK mong muốn thực hiện bước chuyển đổi từ trực quan15

Hơn thế nữa, SGK đã xây dựng 6 khái niệm có sử dụng ngôn ngữ mệnh đề, trong đó có sự hiện diện của 8 biểu đồ Ven Đó là các khái niệm:

1) Tập hợp rỗng

Nếu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử

2) Tập hợp con

chéo trong hình 6) Vậy

Các tập hợp số được SGK chú trọng nhiều hơn thể hiện bằng một lưu ý trong SGV “Nên dành nhiều thời gian để làm các bài tập luyện tập” và mục đích của việc trình bày các tập hợp số này được SGV thể hiện rõ:

“Nắm vững các khái niệm khoảng, đoạn, biết thực hiện các phép toán tập hợp trên chúng, biết dùng trục số để biểu diễn chúng là những yêu cầu bắt buộc với mỗi học sinh Điều đó tạo nên cơ sở để học sinh có kĩ năng giải bất phương trình, hệ (tuyển) bất phương trình, xét dấu một biểu thức, xét dấu tam thức bậc hai…” [6, tr.36]

Mục tiêu này cho chúng ta thấy rằng các tập hợp số nói riêng và lý thuyết tập hợp nói chung có tác động đến nhiều lĩnh vực được đề cập sau này như: Bất phương trình, hệ (tuyển) bất phương trình, xét dấu một biểu thức hay tam thức…

Cách trình bày song song giữa các tập hợp con của và minh họa của nó trên trục số cho thấy mối liên hệ giữa tập hợp con của và biểu diễn của nó trên trục

số Như vậy, các tác giả SGK đã chọn trình bày tập hợp theo lối “trực quan” bằng cách minh họa các tập hợp này bằng biểu đồ Ven hay biểu diễn trên trục số

Nhằm tránh các nghịch lý có thể phát sinh như đã phân tích ở chương 1, chúng tôi đề xuất bổ sung những qui ước sau khi giảng dạy khái niệm tập hợp:

- Không có tập hợp của tất cả các tập hợp

- Không có tập hợp nào là phần tử của chính nó

- Một tập hợp E hoàn toàn xác định nếu với mỗi phần tử x bất kỳ, ta có thể kiểm tra một cách khách quan x ∈ E hoặc x ∉ E

Khi định nghĩa khái niệm phần bù của một tập, các tập được xét trong SGK

đều được quy ước là tập con của một tập E nào đó Điều này không vi phạm quy ước “Không có tập hợp của tất cả các tập hợp” Thật vậy, với mọi tập A1, A2, …,

A n, luôn tồn tại E = n

i i

A

1

=

chứa tất cả các tập A i

Phần bài tập

Trong phần này, chúng tôi khảo sát các kiểu nhiệm vụ có mặt trong sách Đại

số 10 cơ bản liên quan đến khái niệm tập hợp Đó là hai kiểu nhiệm vụ dưới đây:

T1 Dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến bao hàm thức

T2 Thực hiện các phép toán tập hợp trên các tập hợp số

Với mỗi kiểu nhiệm vụ, chúng tôi cố gắng chọn lựa một (hoặc nhiều) nhiệm

vụ tiêu biểu để minh họa Lời giải của mỗi nhiệm vụ này đều được rút ra từ sách

Đại số 10 cơ bản và sách Bài tập Đại số 10 cơ bản Từ những lời giải mong đợi

này, chúng tôi phát biểu kỹ thuật giải của mỗi kiểu nhiệm vụ đang xét

Trước hết, chúng tôi xét một nhiệm vụ điển hình thuộc kiểu nhiệm vụ T1 là bài 2 trang 12 SBT như sau:

Cho A, B, C là ba tập hợp Dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của các mệnh đề sau

Lời giải trong SBT như sau:

Lời giải của sách bài tập giúp chúng tôi đưa ra kỹ thuật giải của T1 như sau:

Bước 1: Biểu diễn các tập hợp đã cho trong giả thiết của mệnh đề bằng biểu

đồ Ven Việc biểu diễn này phải tuân theo một số quy ước không được phát biểu tường minh nhưng được thể hiện ngầm qua các ví dụ, lời giải của sách giáo khoa, sách bài tập, giáo viên Hai quy ước thường được huy động là:

- Quy ước về biểu diễn quan hệ bao hàm: A ⊂ B khi và chỉ khi miền biểu diễn

của A nằm trong miền biểu diễn của B

- Quy ước về sự tương giao: Hai tập A, B bất kỳ cho trước thường được biểu

diễn bằng hai đường cong khép kín có miền chung sao cho miền chung này thật sự

nhỏ hơn miền biểu diễn A và miền biểu diễn B17 Tương tự cho trường hợp n tập bất

kỳ (n ≥ 3)

Bước 2: Gạch chéo phần biểu diễn các tập hợp cần so sánh (theo quan hệ bao

hàm) trong kết luận của mệnh đề Dựa vào quy ước về biểu diễn quan hệ bao hàm

để nhận xét về tính đúng sai của mệnh đề

Hình 1 trích trong sách bài tập thể hiện rõ hai quy ước trên Miền biểu diễn

của A nằm trong miền biểu diễn của B để thể hiện giả thiết A ⊂ B A và C được biểu

diễn sao cho miền biểu diễn của chúng có phần chung nhưng phần chung này nhỏ

hơn hai miền ban đầu Tương tự cho miền biểu diễn B và C

Tác động của quy ước về sự tương giao khiến sách bài tập không minh họa bằng những trường hợp khác (có thể vi phạm quy ước), chẳng hạn minh họa sau:

Minh họa này cho ta quan hệ A⊂ A ∩ B đúng khi A⊂B Tuy nhiên theo qui

ước về sự tương giao ta sẽ có minh họa:

17 Một cách hình thức, phải biểu diễn A, B bằng biểu đồ Ven sao cho A ∩ B ≠ ∅, A ∩ B là tập con thật sự của

Đáp án được tìm thấy trong SGV là quan hệ này sai Điều này cho thấy SGV

đã ngầm sử dụng qui tắc về sự tương giao này Từ những phân tích trên, cho phép chúng tôi đưa ra qui tắc sau:

Đối với bài toán dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến bao hàm thức, học sinh không có nhiệm vụ minh họa tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối với các tập hợp đã cho trong mệnh đề

Thêm đó, trong chứng minh quan hệ - tính chất c/ trang 41 SGV trình bày như sau:

“Tính chất thứ ba chứng minh như sau:

Mệnh đề luôn đúng, vì là mệnh đề sai với mọi x Tất nhiên, không thể trình bày phép chứng minh này cho học sinh.”

Lưu ý rằng trong SGK thời kỳ 1975-1990, tính chất này được chấp nhận thông qua quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập bất kỳ Việc SGV hiện hành chứng minh tính chất này (thay vì quy ước) cho thấy các tác giả muốn sử dụng chân trị của

mệnh đề P ⇒ Q khi P sai Tuy nhiên, sách giáo viên không giải thích vì sao “không

thể trình bày phép chứng minh này cho học sinh” Do đó, khi xét tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến bao hàm thức thì việc dùng biểu đồ Ven để minh họa đã được SGV ngầm chấp nhận trong trường hợp này SGV cũng không yêu cầu HS đưa ra giải thích, mà chỉ dừng ở mức đưa ra đáp án Điều này cho phép chúng tôi khẳng định kiểu nhiệm vụ T1 đã tác động đến một kiểu nhiệm vụ khác mà chúng tôi

gọi kiểu nhiệm vụ T1’: Xét tính đúng, sai của mệnh đề liên quan bao hàm thức

Nhiệm vụ điển hình cho kiểu nhiệm vụ này là bài 41 trang 18 SBT như sau:

Cho A, B là hai tập hợp khác rỗng phân biệt Xét xem trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

a)

A

B

Đối với bài toán xét tính đúng, sai của mệnh đề liên quan bao hàm thức, không yêu cầu dùng biểu đồ Ven thì việc minh họa bằng biểu đồ này cũng được HS huy động để tìm ra đáp án

Bảng 2.1 Nhiệm vụ minh họa kiểu nhiệm vụ T1

Bài 15 trang 25 SGK

Những quan hệ nào trong các

quan hệ sau là đúng?

a) b) c) d) e)

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai e) Đúng

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng

Câu 3, Đề kiểm tra số 2 cuối

chương I trang 50 SGV

Cho A, B, C là những tập hợp

tùy ý Xác định tính đúng sai của

các mệnh đề sau( không cần giải

thích) ( 4 điểm)

a) b) c) d)

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai

Dưới đây, chúng tôi tiếp tục xét một nhiệm vụ điển hình của kiểu nhiệm vụ T2

(Thực hiện các phép toán tập hợp trên các tập hợp số) trong sách Đại số 10 cơ bản

Công nghệ biện minh cho kỹ thuật này là:

- Các tập hợp con của tập hợp số thực và các phép toán tập hợp

Bảng 2.2 Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2

Kiểu nhệm

vụ Kỹ thuật ưu tiên

Số lượng bài tập Trong

SGK

Trong SBT

số để biểu diễn chúng là những yêu cầu bắt buộc với mỗi học sinh.” [6, tr.36]

Kết luận về SGK Đại số 10 cơ bản

- Tập hợp được giảng dạy trong chương trình THPT với mục đích ôn tập và hệ

thống lại các kiến thức đã biết về tập hợp trước đó nhằm chuẩn bị cho việc học tập các chương sau cũng như chương trình Toán THPT Song song đó, các tác giả giới thiệu cách trình bày các khái niệm liên quan tập hợp thông qua ngôn ngữ mệnh đề Việc sử dụng ngôn ngữ mệnh ở đây nhằm phát biểu chính xác các định nghĩa liên quan tập hợp, nhưng tập hợp ở bậc THPT vẫn không thoát khỏi mô tả hình ảnh trực quan của mình

- Tập hợp trong chương trình THPT ảnh hưởng bởi các minh họa trực quan

Do đó, các qui ước trong cách trình bày tập hợp ở THPT để tránh các nghịch lý là: + Một tập hợp được gọi là xác định nếu với một phần tử thì ta phải khách quan kiểm tra được phần tử đó có thuộc tập hợp đó hay không?

+ Không có tập hợp của tất cả các tập hợp

+ Không có tập hợp nào chứa phần tử là chính nó

- Phần bài tập SGK đưa ra hai kiểu nhiệm vụ:

T1 Dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến bao hàm thức

T2 Thực hiện các phép toán tập hợp trên các tập hợp số

Bên cạnh đó, còn tồn tại kiểu nhiệm vụ T1’ Xét tính Đúng/ Sai của các bao hàm thức tập hợp

Qui tắc hợp đồng liên quan đến kiểu nhiệm vụ này là:

Đối với bài toán xét tính đúng/ sai của bao hàm thức tập hợp, học sinh không có nhiệm vụ kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối với các tập hợp đã cho khi mà các bao hàm thức này đúng

Đối với kiểu nhiệm vụ T2 thì số lượng bài tập (58/75) chiếm ưu thế hơn T1 và

kỹ thuật minh họa trục số được dùng để giải quyết kiểu nhiệm vụ này Giải quyết kiểu nhiệm vụ này tạo cơ sở cho việc giải bất phương trình, hệ (tuyển) bất phương trình, xét dấu một biểu thức, xét dấu tam thức bậc hai…sau này

2.2 Khảo sát chương trình Toán THPT ban cơ bản hiện hành

Trong chương trình Toán THPT, ngôn ngữ tập hợp được dùng để diễn đạt các kiến thức Toán trong năm chủ đề sau:

- Hàm số và đồ thị

2.2.1 Hàm số và đồ thị

Hàm số đã được giảng dạy từ lớp 7 và ôn tập lại ở lớp 10 trong chương II sách Đại số 10 cơ bản Hàm số được xem là một phản ánh của khái niệm ánh xạ và được định nghĩa nhờ ngôn ngữ tập hợp Toán học các thời kì trước định nghĩa hàm số thông qua đại lượng biến thiên như:

Năm 1718, J Becnuli đã đưa định nghĩa: Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đó và các đại lượng không đổi

Năm 1755, Ơ le đã định nghĩa: Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho

sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất được gọi là hàm số của các đại lượng thứ hai

Năm 1873, Đirichle đưa ra định nghĩa: y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y, còn sự tương ứng đó thiết lập như thế nào thì không quan trọng [13, tr.87]

Trải qua giai đoạn phát triển của nó, hàm số trong chương trình Toán THPT được định nghĩa thông qua tập hợp nhưng vẫn không tránh khỏi yếu tố trực giác như sau:

Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của

y thuộc tập số thực thì ta có một hàm số

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số

[5, tr.32]

Yếu tố trực giác được nhắc đến ở đây chính là qui tắc ương ứng mỗi giá trị của

x ta được một và chỉ một giá trị của y đòi hỏi học sinh phải hình dung Khái niệm

tập hợp được sử dụng trong định nghĩa này là tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số SGK đưa ra qui ước khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì: Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức có nghĩa

Liên quan đến khái niệm này, ta có kiểu nhiệm vụ sau:

T3: Tìm tập xác định của hàm số cho bằng công thức

Nhiệm vụ ở bài 2, SBT Đại số 10 cơ bản là minh họa cụ thể cho kiểu nhiệm vụ này:

Bài 2

Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) b)

Giải

Hai hàm số trên đều được cho bằng công thức Theo qui ước ta có

a) là một phân thức nên mẫu thức , tức là

hay và Vậy tập xác định của hàm số đã cho

Bước 1: Tìm tất cả điều kiện của x để xác định

Bước 2: Tìm x từ các điều kiện ở bước 1

Bước 3: Sử dụng các phép toán tập hợp để tìm tập hợp các giá trị x ở bước 2 Bước 4: Kết luận tập xác định của hàm số là tập hợp tìm được ở bước 3

Công nghệ biện minh cho kĩ thuật trên là:

- Điều kiện xác định của các biểu thức đại số

- Các phép biến đổi tương đương của phương trình và bất phương trình

- Các phép toán tập hợp và các tập hợp con của

Như vậy, tập hợp và các phép toán của nó là một công cụ dùng để giải quyết kiểu nhiệm vụ này

Đồ thị của hàm số được SGK định nghĩa như sau: “ Đồ thị của hàm số xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ với mọi

Trong chương trình toán THPT học sinh được làm quen với các loại đồ thị của những hàm số sau:

- Hàm hằng: Đồ thị hàm số là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0;b) Đường thẳng này gọi là đường thẳng y=b

- Hàm bậc nhất: Đồ thi hàm số là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng (nếu và đi qua hai điểm

- Hàm giá trị tuyệt đối: Trong nữa khoảng đồ thị hàm số

trùng với đồ thị của hàm số Trong nữa khoảng đồ thị của hàm số trùng với đồ thị của hàm số

parabol có đỉnh là điểm có trục đối xứng là đường thẳng Parabol này quay bề lõm lên trên nếu xuống dưới nếu