hàm số lượng giác trong dạy học toán và vật lý ở trường phổ thông

Các TCTH liên quan đến hàm số lượng giác trong mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà .... Thống kê số lượng bài toán liên quan đến hàm số lượng giác trong mối liên hệ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Duy Quang

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Duy Quang

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu khoa học Tất cả những trích dẫn trong luận văn này đều là chính xác và trung thực

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Nga, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn tất cả các Thầy Cô bộ môn đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban Giám hiệu và các Thầy Cô, đồng nghiệp trong Trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng các Thầy Cô trong tổ Toán Trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa, Trường THPT Lương Thế Vinh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN PHỔ THÔNG 6

1.1 Đường tròn lượng giác trong SGK Toán 10 6

1.1.1 Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác 6

1.1.2 Mối liên hệ với chuyển động tròn đều 8

1.1.3 Các TCTH liên quan đến đường tròn lượng giác trong mối liên hệ với chuyển động tròn đều 11

1.2 Hàm số lượng giác trong SGK Toán 11 15

1.2.1 Định nghĩa các hàm số lượng giác 15

1.2.2 Mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà 19

1.2.3 Các TCTH liên quan đến hàm số lượng giác trong mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà 21

Chương 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA VẬT LÝ PHỔ THÔNG 31

2.1 Chuyển động tròn đều trong SGK Vật lý 10 31

2.1.1 Sự xuất hiện và đặc trưng của chuyển động tròn đều 31

2.1.2 Mối liên hệ với đường tròn lượng giác 32

2.1.3 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến chuyển động tròn đều trong mối liên hệ với đường tròn lượng giác 33

2.2 Dao động điều hoà trong SGK Vật lý 12 38

2.2.1 Sự xuất hiện và đặc trưng của dao động điều hoà 38

2.2.3 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến dao động điều hoà trong mối liên

hệ với hàm số lượng giác 45

Chương 3 THỰC NGHIỆM 54

3.1 Mục đích thực nghiệm 54

3.2 Hình thức thực nghiệm 54

3.3 Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 55

3.3.1 Hệ thống câu hỏi thực nghiệm (xem phụ lục số 1) 55

3.3.2 Phân tích các câu hỏi 57

3.4 Phân tích hậu nghiệm 60

3.5 Kết luận thực nghiệm của giáo viên 66

3.6 Mục đích thực nghiệm 67

3.7 Hình thức thực nghiệm 67

3.8 Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 67

3.8.1 Hệ thống câu hỏi thực nghiệm (xem phụ lục số 2) 67

3.8.2 Phân tích a priori bộ câu hỏi thực nghiệm học sinh 69

3.9 Phân tích hậu nghiệm 76

3.10 Kết luận thực nghiệm của học sinh 84

KẾT LUẬN 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 PHỤ LỤC

bt : Bài tập

EM10 : Sách bài tập đại số 10 nâng cao

EM11 : Sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao

EP10 : Sách bài tập vật lí 10 nâng cao

EP12 : Sách bài tập vật lí 12 nâng cao

GM10 : Sách giáo viên đại số 10 nâng cao

GM11 : Sách giáo viên đại số và giải tích 11 nâng cao

GP10 : Sách giáo viên vật lí 10 nâng cao

GP12 : Sách giáo viên vật lí 12 nâng cao

M10 : Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao

M11 : Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao

P10 : Sách giáo khoa vật lí 10 nâng cao

P12 : Sách giáo khoa vật lí 12 nâng cao

Bảng 1.1 Thống kê số lượng bài toán liên quan thực tế ứng với các kiểu nhiệm

vụ ở M10 14Bảng 1.2 Thống kê số lượng bài toán liên quan đến hàm số lượng giác trong

mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà 27 Bảng 1.3 Thống kê số lượng bài toán thực tế liên quan đến Vật lý trong đó mô

hình Toán học biểu diễn hàm điều hòa đã được cho trước trong chương I của M11 29Bảng 2.1 Thống kê sự xuất hiện của các khái niệm bán kính, chu kì, tần số, tốc

độ góc, tốc độ dài có trong các đáp án 33 Bảng 2.2 Thống kê số lượng bài toán tự luận ứng với các kiểu nhiệm vụ ở P10

và EP10 38Bảng 2.3 Thống kê sự xuất hiện của các đặc trưng li độ, vận tốc, gia tốc, pha,

lực tác dụng, chiều dao động 45 Bảng 2.4 Thống kê số lượng bài toán tự luận ứng với các kiểu nhiệm vụ ở P12

và EP12 51Bảng 3.1 So sánh các đặc trưng của đề 1 và đề 2 59 Bảng 3.2 Chiến lược và lời giải có thể quan sát được trong câu 3 của thực

nghiệm học sinh 73 Bảng 3.3 Thống kê câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1 phần thực nghiệm

học sinh 76 Bảng 3.4 Thống kê chiến lược của học sinh sinh trong câu hỏi 1 phần thực

nghiệm học sinh 76 Bảng 3.5 Thống kê câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 2 phần thực nghiệm

học sinh 77 Bảng 3.6 Thống kê chiến lược của học sinh trong câu hỏi 2 phần thực nghiệm

học sinh 77 Bảng 3.7 Thống kê chiến lược của học sinh trong câu hỏi 3 phần thực nghiệm

học sinh 78

Hình 3.1 Guồng nước đang quay 68

1 Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Lượng giác là một trong các chủ đề toán học quan trọng và có nhiều ứngdụng trong ngành vật lý Ở Việt Nam, lượng giác cũng được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán phổ thông hiện hành theo thứ tự cụ thể: lượng giác “trong tam giác” được đưa vào giảng dạy ở lớp 9, lượng giác “trong đường tròn” được giảng dạy ở lớp 10 và lượng giác “trong hàm số” được dạy ở lớp 11 Tuy nhiên, cách tiếp cận của sách giáo khoa Việt Nam trong các giai đoạn giảng dạy trên còn thiên nhiều

về toán học, chưa có các bài toán thực tế để học sinh thấy được ứng dụng của lượng giác Trong khi đó, hàm số lượng giác lại có mối liên hệ chặt chẽ với chuyển động tròn đều và dao động điều hòa trong Vật lý như sau : Sự chuyển động của con lắc lò

xo quanh vị trí cân bằng là một dao động điều hòa của một điểm trên một đoạn thẳng Từ đó có thể xem điểm đó là hình chiếu của một điểm tương ứng chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó Từ đây khi ta biểu diễn độ lệch của vật ra khỏi vị trí cân bằng theo thời gian thì ta sẽ có được đường biểu diễn hình sin

Nhận xét trên có thể được mô tả bằng việc xét hệ thống hai hệ trục toạ độ như hình sau:

Ở đây hai hệ trục toạ độ là vuông góc, tia It nằm trên đường thẳng OB M là điểm chuyển động tròn đều với vận tốc góc w và chiều chuyển động là chiều ngược chiều kim đồng hồ Quỹ đạo của nó là đường tròn tâm O, bán kính A với điểm B là điểm gốc trên đường tròn ấy

Tại một thời điểm t bất kì, góc giữa OM và OB

là wt+m, trong đó m là giá trị vào lúc t = 0 của wt m+ Khi đó nếu gọi H là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng OP thì OH =Asin(wt+m) Đồng thời nếu trong hệ toạ độ Ity, trục It là trục

biểu diễn thời gian và trục Iy là trục biểu diễn giá trị OH thì khi đó đồ thị chúng ta

nhận được trong hệ Ity là một đường hình sin

Việc làm này cũng phù hợp với phát biểu về mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều được nêu trong sách giáo khoa Vật lý lớp 12 trang 59 như sau:

“Điểm P dao động điều hoà trên trục Ox với biên độ A và tần số góc ω có thể coi như hình chiếu lên Ox của một điểm M chuyển động tròn đều tốc độ góc ω trên quỹ đạo tròn bán kính A, Ox trùng với một đường kính của quỹ đạo.”

Như vậy chúng ta có thể thấy là với khái niệm hàm số lượng giác thì tồn tại một mối liên hệ nhất định giữa Toán và Lý Chính điều này làm cho chúng tôi đặt ra

các câu hỏi ban đầu sau đây:

Mối quan hệ liên môn giữa Toán và Lý trong chủ đề hàm số lượng giác thể

hiện trong SGK THPT như thế nào? Rất rõ ràng hay mờ nhạt?

Cách trình bày của sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến ứng xử của giáo viên và học sinh khi dạy - học các tri thức lượng giác?

Những câu hỏi này đã lôi cuốn và dẫn chúng tôi đến việc cần phải nghiên cứu sâu sắc cách tiếp cận tri thức lượng giác không những trong sách giáo khoa (SGK)

mà còn trong việc giảng dạy

Trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, để đảm bảo tính khả thi, chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu của mình tập trung vào việc tìm kiếm những mối liên quan giữa Toán và Lý trong chủ đề hàm số lượng giác ở bậc trung học phổ thông Việc lựa chọn này xuất phát từ lý do:

- Tri thức lượng giác “trong hàm số” luôn được ưu tiên đề cập trong cả hai bộ sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (ban nâng cao và cơ bản) ở Việt Nam

- Chủ đề hàm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chương trình môn Toán ở trường phổ thông tại Việt Nam,

- Giáo viên và học sinh thường gặp khó khăn khi dạy - học những tri thức liên quan đến lượng giác “trong hàm số”

- Các hiện tượng vật lý liên quan đến hàm số lượng giác xuất hiện rất nhiều trong sách giáo khoa Vật lý lớp 12 Việt Nam

2 Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm kiếm những mối quan hệ liên

môn Toán - Lý trong lượng giác xuất hiện ở chương trình trung học phổ thông và nghiên cứu sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đó lên mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh

Để thực hiện mục đích nghiên cứu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán Cụ thể, chúng tôi vận dụng các khái niệm mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học để thực hiện nghiên cứu của mình Trong phạm vi didactic với các khái niệm công cụ đã chọn, các câu hỏi cấu thành nên mục đích nghiên cứu của chúng tôi được trình bày lại như sau:

Câu 1: Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông như thế nào? Có sự liên hệ nào giữa hai khái niệm này với khái niệm chuyển động tròn đều và dao động điều hòa trong chương trình Vật lý bậc trung học phổ thông?

Câu 2: Sự xuất hiện và đặc trưng của chuyển động tròn đều và dao động điều hòa trong chương trình Vật lý bậc trung học phổ thông như thế nào? Có sự liên hệ nào giữa hai khái niệm này với khái niệm đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông?

Câu 3: Sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh khi dạy và học đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác như thế nào?

3 Phương pháp và tổ chức nghiên cứu

Chúng tôi sẽ lần lượt triển khai các nhiệm vụ sau:

Ξ Thứ nhất: Thông qua nghiên cứu chương trình trung học phổ thông, chúng

tôi sẽ làm rõ cách thức tiếp cận tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số qua các cấp học

Ξ Thứ hai: Bằng sự nghiên cứu sâu các sách giáo khoa, sách bài tập, sách

giáo viên Toán và Vật lý, chúng tôi sẽ chỉ ra các kiểu nhiệm vụ liên quan giữa hai phân môn này Từ đó chỉ ra được đặc trưng của mối quan hệ liên môn Toán - Lý trong lượng giác ở trung học phổ thông

Ξ Thứ ba: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan

hệ cá nhân của giáo viên và học khi dạy và học đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác thông qua hai thực nghiệm được tiến hành trên cả hai đối tượng giáo

viên và học sinh

4 Cấu trúc của luận văn

Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, cấu trúc luận văn của chúng tôi gồm 5 phần: Phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận

Ψ Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu của đề tài, phương pháp, tổ chức nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Ψ Trong chương 1, chúng tôi phân tích SGK Toán 10 phần đường tròn lượng giác để so sánh liên hệ với chuyển động tròn đều trong sách giáo khoa Vật lý 10 và SGK Toán 11 phần hàm số lượng giác để so sánh liên hệ với dao động điều hoà trong sách giáo khoa Vật lý 12

Ψ Trong chương 2, chúng tôi phân tích SGK Vật lý 10 và SGK Vật lý 12 trong mối quan hệ như trên

Việc tiến hành tổng hợp kết quả ở chương 1 và chương 2 sẽ cho phép chúng tôi đề xuất các câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu liên quan đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh đối với kiến thức lượng giác trong chương trình trung học phổ thông

Ψ Trong chương 3, chúng tôi trình bày các thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thoả đáng của những giả thuyết nghiên cứu, tìm câu trả lời cho những câu hỏi mới

Ψ Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được ở ba chương trên, đồng thời nêu ra hướng mở rộng nghiên cứu cho luận văn

Cấu trúc luận văn được sơ đồ hóa như sau :

Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA

TOÁN PHỔ THÔNG

Mục tiêu của chương

Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của khái niệm đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác Cụ thể hơn, qua việc phân tích SGK Toán, Vật lí ở bậc trung học phổ thông, chúng tôi cố gắng làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào các khái niệm đường tròn lượng giác, hàm số lượng giác, cũng như đặc trưng của chúng Song song đó chúng tôi cũng tìm kiếm sự nối khớp giữa các khái niệm và đặc trưng toán học này với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà

Ở đây để có một sự phân tích chuyên sâu, chúng tôi chỉ tập trung phân tích SGK lớp

10, 11 ban nâng cao thay vì phân tích SGK của cả 2 ban (cơ bản và nâng cao)

1.1 Đường tròn lượng giác trong SGK Toán 10

Trong M10, chương 6 – Góc lượng giác và công thức lượng giác bao gồm: Bài 1: Góc và cung lượng giác

Bài 2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

Bài 3: Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

Bài 4: Một số công thức lượng giác

Mục tiêu của chương về kĩ năng liên quan đến đường tròn lượng giác là:

“Giúp học sinh biết cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn số thực α, từ đó xác định sin ,cos ,tan ,cotα α α α (dấu, ý nghĩa hình học, giá trị bằng số) và mối liên quan giữa chúng.”

[11, tr.241]

1.1.1 Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác

Khái niệm đường tròn lượng giác hoàn chỉnh được xây dựng dựa vào ba bước chính là chọn chiều quay, đường tròn định hướng và đường tròn lượng giác được trải dài trong phần 2 của bài 1 cho đến phần 1 của bài 2 Như vậy chúng ta có thể thấy M10 đưa ra việc xây dựng khái niệm đường tròn lượng giác rất sớm vì tất cả các phần liên quan phía sau như giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang đều cần khái niệm này

Việc chọn chiều quay được M10lồng ghép vào phần khảo sát việc quay của tia

Om quanh O:

“Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm O, ta cần chọn một chiều quay gọi

là chiều dương Thông thường, ta chọn đó là chiều ngược chiều quay của kim đồng

hồ (và chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm)”

[10, tr.186] Như vậy M10 đã gần như mặc định chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ để phù hợp với tất cả các khái niệm dẫn xuất phía sau

Tiếp theo M10xây dựng khái niệm đường tròn định hướng như sau:

“Vẽ một đường tròn tâm O bán kính R Nếu tia Om cắt đường tròn tại M thì việc cho tia Om quay quanh O cũng có nghĩa là cho điểm M chạy trên đường tròn

đó Chiều quay của tia Om cho ta chiều di động của điểm M trên đường tròn: chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ như ở hình 6.6 Đường tròn với chiều di động đã được chọn như thế gọi là đường tròn định hướng

Cuối cùng, M10đưa ra định nghĩa đường tròn lượng giác như sau:

“Đường tròn lượng giác là một đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), định hướng, trên đó có một điểm A gọi là điểm gốc

Nhắc lại rằng người ta luôn quy ước trên đường tròn lượng giác, chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm.”

[10, tr.192]

Do đó một trong những đặc trưng quan trọng nhất của đường tròn lượng giác được nhắc đi nhắc lại nhiều lần xuyên suốt trong cả quá trình xây dựng khái niệm này là tính định hướng

1.1.2 Mối liên hệ với chuyển động tròn đều

Sự liên quan giữa hai khái niệm đường tròn lượng giác và chuyển động tròn đều được tác giả SGK thể hiện ngầm ẩn lần đầu trong việc giới thiệu đơn vị đo góc

và cung tròn, độ dài của cung tròn khi đề cập đến chuyển động của chất điểm:

“Chính số đo, độ dài cung tròn là cơ sở trực giác để xây dựng khái niệm số đo cung lượng giác (“độ dài của quỹ đạo chuyển động của điểm vạch nên cung đó”).”

[11, tr.244] Sau khi giới thiệu các đơn vị đo góc và cung tròn như độ và rađian, M10 giới thiệu:

“Khái niệm góc và cung lượng giác gắn chặt với việc quay quanh một điểm trong mặt phẳng.”

[10, tr.186]

Từ đó cho thấy phần nào sự liên quan giữa khái niệm góc và cung lượng giác với chuyển động quay Điều này được thể hiện rõ hơn trong cách miêu tả khái niệm góc lượng giác trong M10:

“Cho hai tia Ou,Ov Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov.”

[10, tr.187] Thêm vào đó, GM10có lưu ý:

“Khái niệm góc, cung lượng giác khó có thể định nghĩa chính xác ở cấp THPT Chúng ta đã dùng “chuyển động quay luôn theo một chiều” để mô tả, giới thiệu khái niệm này một cách trực giác Nó gắn với thực tiễn chuyển động quay mà học sinh thường quan sát.”

[11, tr.244]

Ở đây GM10có nhấn mạnh chuyển động quay đang xét là luôn theo một chiều

và gắn với thực tiễn mà học sinh thường thấy

Như vậy bước thứ nhất trong việc xây dựng đường tròn lượng giác gắn với đặc trưng định hướng của chuyển động quay trong Vật lý Việc chuyển từ bước thứ nhất sang bước thứ hai trong việc xây dựng khái niệm đường tròn lượng giác cũng tương ứng với việc thu hẹp chuyển động quay thành chuyển động tròn Điều này cũng chỉ được SGK ngầm ẩn thể hiện:

“…Nếu tia Om cắt đường tròn tại M thì việc cho tia Om quay quanh O cũng

có nghĩa là cho điểm M chạy trên đường tròn đó…”

[10, tr.188] Cuối cùng để có thể thấy rõ hơn mối liên hệ này, chúng tôi xét hoạt động H1:

“Để thấy rõ hơn tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác, hãy xét trục số At (gốc A) là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác tại A, hình dung

At là một sợi dây và quấn dây đó quanh đường tròn lượng giác như ở hình 6.10: Điểm M 1 trên trục At có toạ độ α đến trùng với điểm M trên đường tròn lượng giác thoả mãn số đo cung lượng giác AM bằng α, tức M xác định bởi α Hỏi:

a) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng giác?

b) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A’ trên đường tròn lượng giác (A’ là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn)? Hai điểm tuỳ ý trong

số các điểm đó cách nhau bao nhiêu?

Ngoài ra, một trong những đặc trưng chung của đường tròn lượng giác và chuyển động tròn đều là tính tuần hoàn cũng được nêu ra ở đây:

“Ứng với mỗi số thực α có một điểm trên đường tròn lượng giác (điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn

lượng giác ứng với vô số số thực Các số thực có dạng α +k2π”

[10, tr.193] Như vậy chúng ta có thể thấy được rõ ràng hơn tính chất tuần hoàn của chất điểm chuyển động trên đường tròn lượng giác sau mỗi chu kỳ 2π Ở đây nếu gọi

s

∆ là độ dài cung tròn mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian t ∆ thì s∆ = ∆ t

theo cách chọn của chúng ta , với bán kính của đường tròn lượng giác r=1, ta sẽ có chu kỳ T =2π (do chu kỳ T trong chuyển động tròn đều được tính bằng công thức

1.1.3 Các TCTH liên quan đến đường tròn lượng giác trong mối liên hệ với chuyển động tròn đều

Để tập trung làm rõ hơn mối quan hệ liên môn Toán – Lý xuất hiện trong các kiểu nhiệm vụ nên chúng tôi chỉ tập trung phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến các bài toán thực tế

Kiểu nhiệm vụ T1: Tính độ dài cung tròn khi biết số đo của cung

Ví dụ bt 2 trang 190, M10:

“Kim phút và ki m giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện theo thứ tự dài 1,75m và 1,26m Hỏi trong 15 phút, mũi kim vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ

mà mũi kim phút của đồng hồ vạch nên

- Với số lượng hoạt động, ví dụ và bài tập nhiều nhất trong các kiểu nhiệm vụ liên quan đến thực tế thì kiểu nhiệm T1 được SGK đánh giá là quan trọng do GM10

đã đưa ra mục tiêu về kiến thức: “Hiểu rõ… độ dài của cung tròn (hình học)” và mục tiêu về kỹ năng: “…Biết tính độ dài cung tròn (hình học).” Tuy nhiên sự liên

hệ với Vật lý ở đây chưa sâu sắc do các bài toán tuy nhiều nhưng chỉ xuất phát từ một mô hình toán học đơn thuần

Kiểu nhiệm vụ T2: Tìm số đo góc lượng giác

Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng

Kiểu nhiệm vụ T3: Chứng minh vị trí của hai tia Ou và Ov

Ví dụ bt 12 trang 192, M10:

“Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí tia Ox chỉ số 12 (tức

lúc 0 giờ) Sau khoảng thời gian t giờ (t lấy giá trị thực không âm tuỳ ý), kim giờ đến vị trí tia Ou, kim phút đến vị trí tia Ov

b) Hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi (Ou,Ov) 2m (m= π ∈ Vậy )11

k ∈  (Chú ý Cách giải này cũng thể hiện tinh thần “lời giải số học” bài toán

đuổi bắt trên đường tròn)

c) Hai tia Ou, Ov đối nhau khi và chỉ khi (Ou,Ov) (2m 1) (m= − π ∈ Vậy )11

+ Tìm sđ(Ou,Ov) theo vị trí của hai tia Ou và Ov

+ So sánh với sđ(Ou,Ov) tìm theo hệ thức Sa-lơ

xuất hiện của T2 còn đóng vai trò như một thành phần trong kỹ thuật τ3

Bảng 1.1 Thống kê số lượng bài toán liên quan thực tế ứng với các kiểu nhiệm vụ ở M 10

Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật Bài toán Tổng số

M 10 EM 10 T1

Tính độ dài cung tròn khi biết số đo của cung τ1 2 3 5 (50%)

- Ngoài ra, một điểm đáng lưu ý ở đây là việc SGK cho ra các dạng bài tập thực tế nhưng lại lồng ghép các ký hiệu toán học vào như tia Ou, tia Ov, góc lượng giác (Ou,Ov) Chính điều này đã làm xuất hiện ngay mô hình toán học trong đề bài toán, khi đó nhiệm vụ của học sinh sẽ chủ yếu là nhiệm vụ toán học (sử dụng công thức, tính chất của góc, cung lượng giác) để giải quyết bài toán mà không cần quan tâm đến vấn đề thực tế (chuyển động quay và chuyển động tròn đều)

1.2 Hàm số lượng giác trong SGK Toán 11

1.2.1 Định nghĩa các hàm số lượng giác

Do sự quan tâm của chúng tôi trong luận văn này là hàm số sin và cos với đồ thị có dạng hình sin nên trong bốn hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, tan

y= x, y=co xt , chúng tôi chỉ tập trung phân tích hai hàm là hàm sin và hàm cos

Mở đầu việc xây dựng khái niệm hàm số lượng giác y=sinx và y=cosx,

M11đưa ra hoạt động H1 như sau:

“Trên hình 1.1, hãy chỉ ra các đoạn thẳng có độ dài đại số bằng sinx, bằng

cosx Tính sin , cos , cos 2

”

[8, tr.4]

Ngoài việc giúp học sinh nhớ lại cách xác định sin x và cos x thì một ý nghĩa

khác của hoạt động này được thể chế đưa vào như sau:

“SGK lớp 10 đã xây dựng khái niệm các giá trị lượng giác sin ,cos α α của góc (cung) lượng giác α Chuyển sang hàm số lượng giác, do học sinh quen dùng chữ x để chỉ biến số của hàm số nên trong SGK lớp 11, các hàm số lượng giác được viết dưới dạng y=sinx , y=cosx … trong đó x là số thực và là số đo rađian (chứ không phải số đo độ) của góc (cung) lượng giác.”

phát từ việc thay đổi kí hiệu α thành kí hiệu x, dẫn đến việc trùng kí hiệu vì x bây giờ để chỉ số đo của góc lượng giác chứ không phải để chỉ giá trị lượng giác của một góc lượng giác như trong M10 Cụ thể ở M10học sinh đã quen với việc sử dụng

hệ toạ độ vuông góc Oxy gắn liền với đường tròn lượng giác và các giá trị lượng giác sin, côsin đều được định nghĩa dựa trên hệ trục toạ độ Oxy này Vì thế nếu học sinh vẫn quen dùng theo ký hiệu cũ theo nghĩa cosα =x,sinα = y thì sẽ gặp rất nhiều khó khăn ở đây

Sau khi đưa ra bước dẫn, M11đưa ra định nghĩa về hàm số sin và hàm số côsin như sau:

“Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y=sinx

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y=cosx ”

[8, tr.4] Như vậy chúng tôi nhận thấy rằng ở đây thể chế đã xây dựng khái niệm hàm

số sin (tương tự hàm số côsin) như tích của hai ánh xạ:

“…khi nói đến các hàm số lượng giác y=sin ,x y =cos ,x y=tan ,x y=cotx

ta hiểu x là số thực và là số đo rađian…”

[9, tr.16]

“Hiểu rằng trong định nghĩa các hàm số lượng giác

y= x y= x y= x y= x , x là số thực và là số đo rađian (không phải

số đo độ)…”

[9, tr.17]

“… các hàm số lượng giác được viết dưới dạng y=sinx , y=cosx … trong

đó x là số thực và là số đo rađian (chứ không phải số đo độ) ”

[9, tr.18] Thực ra, một trong những lý do hàng đầu cho việc sử dụng đơn vị đo rađian là

vì nó “…được sử dụng nhiều trong toán học, khoa học và kĩ thuật… Nó tỏ ra thuận lợi khi tính độ dài cung tròn…” như trong M10 đã có nêu Tuy nhiên, ở cấp độ mới bắt đầu làm quen với hàm số lượng giác thì học sinh chưa thể thấy rõ được sự tiện dụng của việc định nghĩa theo đơn vị đo rađian Điều này làm cho chúng tôi đặt ra một vấn đề là tại sao không đưa vào một hoạt động mang tính chất liên môn (chẳng hạn Toán – Vật lý) có mô hình toán học là hoạt động H1, trong đó đơn vị đo rađian được sử dụng và chiếm ưu thế hơn đơn vị đo độ (chẳng hạn như có thể lập một bài toán chuyển động tròn đều của chất điểm trong đó có sử dụng góc quét ∆ ϕ được tính theo rađian) để làm cho học sinh thấy được sự thuận tiện thay vì chỉ sử dụng một mô hình toán học thuần tuý để đưa ra định nghĩa và không có giải thích gì thêm?

Sau khi đưa ra định nghĩa, M11đưa ra hai đặc trưng là:

“Tập xác định của hàm số y=sinx , y=cosx là  …

Hàm số y=sinx là một hàm số lẻ vì sin( )− = −x sinx với mọi x thuộc  H2 Tại sao có thể khẳng định hàm số y=cosx là một hàm số chẵn? ”

[8, tr.4] Một trong những sự kế thừa thú vị mà chúng tôi cũng đưa ra xem xét ở đây là

bố cục đưa vào các khái niệm hàm số lượng giác và các đặc trưng liên quan của chúng trong M11 Như chúng ta đã biết thì giá trị lượng giác sin và côsin được M10đưa vào định nghĩa cùng một lúc vì chúng có những tính chất tương đồng với nhau

như có chu kì là 2π và với mọi α thì 1 sin , cos− ≤ α α ≤1 Ở đây, M11 cũng chọn cách thức định nghĩa hàm sin và cos cùng một lúc, sau đó các đặc trưng của hai hàm

số này như tập xác định, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, sự biến thiên, đồ thị lần lượt được giới thiệu song song với nhau hoặc trước sau nhưng đều có quan hệ tương hỗ

1.2.2 Mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà

Trong phần này chúng tôi sẽ xem xét các đặc trưng của hàm số y=sinx và cos

y= x để tìm ra mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà Đầu tiên có thể kể đến là tính chất tuần hoàn của hai hàm số y=sinx và hàm

số y=cosx Tính chất này được M11đưa ra ngay sau định nghĩa và được kết luận:

“Ta nói hai hàm số đó là những hàm số tuần hoàn với chu kì 2π .”

[8, tr.5]

Do hai hàm số y=sinx và y=cosx đều là những trường hợp đặc biệt của hàm số tuần hoàn, còn dao động điều hoà là trường hợp đặc biệt của dao động tuần hoàn nên khi tiến hành xem xét ở mức độ tổng quát thì chúng tôi thấy có một số điểm tương đồng với nhau

Thứ nhất, từ “tuần hoàn” trong trong hàm số tuần hoàn có nghĩa là mỗi khi biến số được cộng thêm chu kì T thì giá trị của hàm số lại trở về như cũ, còn trong dao động tuần hoàn thì nó có nghĩa là sau một chu trình với chu kì T thì chuyển động của vật được lặp lại Như vậy về bản chất của việc tuần hoàn trong cả hai khái niệm này đều là trở về với hiện trạng ban đầu sau một chu kì T

Thứ hai, việc sử dụng ngôn từ “tuần hoàn” trong hai khái niệm và kí hiệu T để chỉ chu kì làm cho hai khái niệm này về mặt hình thức có một sự liên hệ với nhau Thứ ba, M11 trong bài đọc thêm nói về dao động điều hoà trang 15 có nói:

“Nhiều hiện tượng tự nhiên thay đổi có tính chất tuần hoàn (lặp đi lặp lại sau khoảng thời gian xác định)…

Hiện tượng tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều hoà được mô tả bởi hàm số

đến mối liên hệ này

Tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích hai đặc trưng cuối cùng là sự biến thiên và đồ thị để đi đến được kết luận

M11trang 8 có đưa ra hoạt động H4 như sau:

“Hãy kiểm nghiệm lại bảng biến thiên trên bằng cách quan sát chuyển động của điểm H trên trục côsin, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên trục côsin, khi điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương một vòng xuất phát

từ điểm A’ (h.18)

”

Mục đích thể chế đưa ra hoạt động này là để “khảo sát sự biến thiên của hàm

số y=cosx trên [−π π; ] bằng cách quan sát chuyển động của hình chiếu H của điểm M trên trục côsin (bổ sung cho cách quan sát đồ thị).” như trong GM11 trang

21 có đề cập Ở đây nếu chúng ta xem điểm M như một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn lượng giác với tốc độ góc ω, khi đó điểm H là hình chiếu của điểm M sẽ dao động điều hoà trên trục côsin với biên độ là 1, pha ban đầu là π và tần số góc là ω Khi đó li độ dao động của điểm H trong trường hợp này sẽ được tính bởi công thức cos(ω πt+ ) Tuy nhiên, những phân tích này không hề được SGK đề cập dẫn đến việc gắn kết với ý nghĩa Vật lí hoàn toàn vắng bóng

1.2.3 Các TCTH liên quan đến hàm số lượng giác trong mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà

Kiểu nhiệm vụ T’1: Chứng minh một hàm số là hàm số tuần hoàn

a) Giả sử sin( ( A ω x T+ )+α)=Asin(ωx+α)với mọi x ∈  Đặt xω + = , α u

ta được sin(u+ωT)=sinu, với mọi số thực u Vậy suy ra ωT =k2π, tức là

(tức là y= Asin(ωx+α) là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2ωπ )

τ

- Cả hai kĩ thuật τ'1a và τ'1b đều không được thể hiện một cách tường minh trong lí thuyết, cả hai đều buộc học sinh phải dựa vào những công cụ có sẵn để hình thành nên

Kiểu nhiệm vụ T’2: Chứng minh giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=Asin(ωx+α)+ là A B B +

và − A + B

b) Khi A>0, hàm số y=Asin(ωx+α)+ B đạt giá trị lớn nhất tại x mà

22

+ Dựa vào tính chất tập giá trị của hàm số y=sin ,x y =cosx là [ 1;1]−

+ Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

+ Dựa và giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất để tìm x

- Cũng giống như trong kiểu nhiệm vụ T’1, các hàm số trong kiểu nhiệm vụ

T’2 được cho có hình thức khá giống với phương trình của dao động điều hòa được học sinh học trong Vật lý nhưng ở đây chỉ đóng vai trò là các kí hiệu Toán học bình thường, do đó kĩ thuật τ'2a sẽ có điều kiện thuận lợi để xuất hiện với cùng những lý

do giống như trên

Kiểu nhiệm vụ T’3: Xác định các thành phần của một hàm số tuần hoàn

Ví dụ bt 1.12 trang 7, EM11:

“Cho đồ thị (h.1.3) sau là đồ thị hàm số y= Asin(x+α)+ ( , , B A B α là những hằng số) Hãy xác định , , A B α

+ Dựa vào giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và đồ thị để tìm A, B

+ Pha ban đầu α được giải bằng cách cho x= 0

giá trị nào của x thì hàm số sẽ đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

- Một trong những vấn đề khác ở đây là việc cho A>0, điều kiện này trong bài toán liên quan đến kiểu nhiệm vụ T’2 nêu một cách rõ ràng trong đề bài Tuy nhiên, trong bài toán của kiểu nhiệm vụ T’3 thì lại được nêu một cách ngầm ẩn thông qua quá trình giải Thực ra ở đây việc cho A> hay 0 A< 0 không có ý nghĩa

gì nhiều trong việc giải bài toán này vì chỉ cần xét thêm một trường hợp nữa với kĩ thuật làm tương tự mà thôi Tuy vậy điều chúng tôi quan tâm ở đây là trong các bài toán liên quan đến hai kiểu nhiệm vụ này thể chế đều nghiêng về việc cho A> , 0điều này trùng khớp với việc trong phương trình dao động điều hoà thì A được dùng

để kí hiệu biên độ và giá trị của A luôn luôn dương

- Kĩ thuật τ'3a là một kĩ thuật mang một hướng giải rõ ràng và thuần tuý toán học với việc lập và giải hệ phương trình từ các dữ liệu có được khi quan sát đồ thị Ngược lại, kĩ thuật τ'3b theo đánh giá của chúng tôi là không dễ để có thể sử dụng, đặc biệt trong việc tìm pha ban đầu khi giá trị tại x= 0 của hàm số không được cho

trên đồ thị

Bảng 1.2 Thống kê số lượng bài toán liên quan đến hàm số lượng giác trong mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà

Chứng minh một hàm số là hàm số tuần hoàn

1'a

τ

1 1 2

(40%)

1'b

τ

T’2

Chứng minh giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

2' a

τ

1 1 (20%)

2'b

τ

2 2 (40%)

3'b

Cụ thể, kiểu nhiệm vụ T’1 làm nổi bật lên quan hệ về chu kì, còn kiểu nhiệm vụ T’2

và T’3 làm nổi bật lên quan hệ về tính chất biến thiên và đồ thị Tuy nhiên, mối liên

hệ liên môn hiện diện trong các bài toán trên rất mờ nhạt vì chỉ thể hiện qua việc xuất hiện biểu thức của dao động điều hòa, đồng thời cũng không có ngữ cảnh Vật

lý đi kèm và kĩ thuật Vật lý không được ưu tiên sử dụng

- Mặc dù công thức của dao động điều hòa có xuất hiện nhưng kĩ thuật hoàn toàn dựa vào công thức Toán học và không tỏ rõ ưu thế so với kĩ thuật thuần túy Toán học, dẫn đến sự liên hệ với dao động điều hòa hoàn toàn không được nhắc đến trong các kiểu nhiệm vụ trên

- Tất cả những bài toán được thể chế đưa ra thì mô hình toán học đã được xây dựng sẵn, sự liên quan đến Vật lý bằng những hình ảnh cụ thể chỉ xuất hiện duy nhất trong một ví dụ ở trang 15-16 trong M11:

“Một guồng nước có bán kính 2,5m, có trục quay ở cách mặt nước 2m, quay đều mỗi phút một vòng (h 1.16) Gọi y (mét) là “khoảng cách” từ mặt nước đến một chiếc gầu của guồng nước ở thời điểm x (phút) (quy ước rằng y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước) Biết rằng sau khi khởi động 1

Mặt khác, theo đánh giá của chúng tôi thì bài toán này có nhiệm vụ là đưa ra được một mô hình thực tế để minh chứng cho công thức y= Asin(ωx+α)+ mà B

M11 đã đưa ra như một phương trình để miêu tả dao động điều hoà Nếu so sánh phương trình này với phương trình của dao động điều hoà y= Acos(ω ϕt+ ) được trình bày trong SGK Vật lý 12 nâng cao trang 30 thì điều gây thắc mắc lớn nhất ở học sinh là xuất hiện thêm hạng tử B trong công thức ở M11 Chính ví dụ này đã làm

cho học sinh hiểu hơn về ý nghĩa của hạng tử B

Một điều đáng lưu ý là kiểu bài toán thực tế liên quan đến Vật lý, trong đó mô hình Toán học biểu diễn hàm điều hòa đã được cho trước này được chúng tôi bắt gặp trong các bài còn lại trong chương (7 bài toán) được phân bố như sau:

Bảng 1.3 Thống kê số lượng bài toán thực tế liên quan đến Vật lý trong

đó mô hình Toán học biểu diễn hàm điều hòa đã được cho trước trong chương

I của M 11

Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản 1 (14,3%)

Có thể lấy một bài toán số 17 ở trang 29, M11 làm điển hình:

“Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 0

40 bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?”

Như vậy rõ ràng với các dữ liệu thực tế mà đề bài cung cấp thì học sinh không thể tự mình thiết lập được hàm số dao động điều hòa, hàm số này được đề bài cung cấp trực tiếp cho học sinh vì nhiệm vụ trọng tâm là giải quyết các câu hỏi liên quan đến phương trình lượng giác hoặc bất phương trình lượng giác Qua đó có thể nói là thể chế có quan tâm đến sự liên môn trong chủ đề lượng giác Tuy nhiên, sự liên môn này mới thể hiện ở việc đưa vào ngữ cảnh bài toán mà thôi Do hàm số dao động điều hòa luôn được cho sẵn nên công việc của học sinh thực chất chỉ là sử

dụng kiến thức Toán học (giải phương trình lượng giác) để giải mà không cần quan tâm đến việc sử dụng kiến thức hay dữ kiện về Vật lý có mặt trong bài toán Chính những điều này đã làm cho kĩ thuật liên môn không được sử dụng

Những kết quả đạt được ở chương 1 sẽ được chúng tôi kết hợp cùng với kết quả nghiên cứu của chương 2 để tạo cở sở cho việc đặt ra các câu hỏi cũng giả thuyết nghiên cứu

Chương 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA VẬT

LÝ PHỔ THÔNG

Mục tiêu của chương

Chương này được xây dựng như một sự nối tiếp của chương 1 trong vấn đề làm rõ mối quan hệ liên môn Toán – Lý trong lượng giác Tuy nhiên, thay vì chương 1 tập trung phân tích các khái niệm lượng giác trong Toán học và tìm kiếm

sự gắn kết với Vật lý thì chương 2 này có nhiệm vụ ngược lại Cụ thể, mục tiêu của chương là làm rõ đặc trưng của khái niệm chuyển động tròn đều và dao động điều hoà qua việc phân tích SGK Vật lí ở bậc trung học phổ thông Từ đó, chúng tôi cố gắng làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào các khái niệm chuyển động tròn đều, dao động điều hoà, cũng như đặc trưng của chúng Điều này đồng thời giúp chúng tôi phát hiện mối liên hệ giữa các khái niệm và đặc trưng Vật lý này với đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác đã được phân tích ở chương 1

Ở đây cũng như trong chương 1, chúng tôi tập trung phân tích SGK lớp 10,12 ban nâng cao

2.1 Chuyển động tròn đều trong SGK Vật lý 10

Chuyển động tròn đều được P10 đưa vào chương 1 – Động học chất điểm thông qua hai bài 8 (Chuyển động tròn đều Tốc độ dài và tốc độ góc) và 9 (Gia tốc trong chuyển động tròn đều) trong tổng số 12 bài của chương

2.1.1 Sự xuất hiện và đặc trưng của chuyển động tròn đều

Do chuyển động tròn đều là một trường hợp đặc biệt của chuyển động tròn, còn chuyển động tròn lại là một trường hợp đặc biệt của chuyển động cong Từ đó

P10 đưa ra cách xây dựng khái niệm chuyển động tròn đều cũng dựa trên tuần tự xuất hiện trên Tức là xuất phát từ việc giới thiệu thế nào là một quỹ đạo cong thông qua hình ảnh trực quan:

“Khi ôtô chạy trên đường vòng, người lái xe dùng vô lăng điều khiển cho xe chuyển hướng đều đặn, vạch thành một quỹ đạo cong.”

[7, tr.37] Sau đó P10 tiếp tục đưa ra định nghĩa chuyển động tròn và chuyển động tròn