dạy học các phương trình và bất phương trình vô tỉ lớp 10

đến O cho phép ta xác định RI,O vì RI,O hình thành và biến đổi bởi một tập hợp được một số yếu tố của quan hệ cá nhân với cùng đối tượng O này đã nảy sinh trong Qui t ắc hành động được s

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Lê Th ị Hoài Châu

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

Lời cảm ơn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, cô đã hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn dù rất bận rộn với công tác chuyên môn

Tôi cũng xin cảm ơn :

- Các thầy cô đã truyền thụ cho chúng tôi những lí thuyết bổ ích về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện luận văn

- Ban giám hiệu trường THPT Trương Định đã tạo điều kiện cho tôi tiến hành thực nghiệm

- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Các bạn, anh, chị cùng lớp, vì chúng tôi đã luôn động viên nhau cùng vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập cũng như nghiên cứu luận văn

Cuối cùng, tôi xin dành lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình vì đã tạo điều kiện cho tôi được học cao học và luôn ưu tiên cho việc học của tôi

Dương Thị Ngọc Hân

Bảng 1: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK toán 9 21

Bảng 2: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong nhóm cơ bản 40

Bảng 3: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong nhóm nâng cao 49

Bảng 4: Các phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới căn thức 53

Bảng 5: Kết quả thực nghiệm 1 61

Bảng 6: Kết quả thực nghiệm 2 – câu 1 74

Bảng 7: Kết quả thực nghiệm 2 – câu 2a 75

Bảng 8: Kết quả thực nghiệm 2 – câu 2b 77

Ở ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ B ẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 7

1.1 SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 7

1.2 SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 12

CHƯƠNG 2 MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 15

2.1 LƯỚT QUA CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK TOÁN LỚP 9 15

2.1.1 Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán 9 16

2.1.2 Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong SGK toán lớp 9 16

2.2 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ở LỚP 10 22

2.2.1 Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình Đại số 10 22

2.2.2 Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong SGK Đại số 10 24

CHƯƠNG 3 MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG GI ẢI CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 57

3.1 THỰC NGHIỆM 1 57

3.1.1 Phân tích tiên nghiệm bài tập 4 58

3.1.2 Phân tích hậu nghiệm bài tập 4 61

3.2 THỰC NGHIỆM 2 63

3.2.1 Phân tích tiên nghiệm 64

3.2.2 Phân tích hậu nghiệm 74

K ẾT LUẬN 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Phương trình và bất phương trình luôn là một nội dung trọng tâm của toán

đến phương trình, bất phương trình, thực tế cho thấy đây luôn là một nội dung khó

1

x x

1

x x

Khi đó, trong bất phương trình học sinh cũng nhân mẫu lên mà không quan tâm giá

phép biến đổi tương đương các phương trình cho bất phương trình Nhìn lại chương trình và sách giáo khoa, điều khiến chúng tôi quan tâm là sự gắn kết của hai đối tượng phương trình, bất phương trình, thể hiện qua những ghi nhận sau đây:

được đặt trước bất phương trình Điều đó khiến chúng tôi tự hỏi : dạy học bất phương trình thừa hưởng những kiến thức, nội dung gì từ dạy học phương trình

ứng Chẳng hạn, nếu ta có bài toán giải phương trình dạng ax+b = c, thì tương ứng ta cũng có bài toán giải bất phương trình dạng ax+b > c Cũng

loga x > b Hay phương trình f x( )=g x( ), và các bất phương trình

f x >g x , f x( ) <g x( )tương ứng với nhau Giữa lời giải phương trình

chăng đây là một trong những nguồn gốc sai lầm của học sinh ?

phương trình và bất phương trình vô tỉ ở lớp 10”

II CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Liên quan đến sai lầm của học sinh, didactic toán thừa nhận quan điểm :

đoán trước Sai lầm kiểu này sinh ra từ kiến thức, những kiến thức đã từng có ích, nhưng không còn đúng, hoặc không còn phù hợp nữa trong tình huống mới, tổng quát hơn Hiện tượng này sinh ra do cách học bằng thích nghi : ở đây, kiến thức được xây dựng qua tình huống nên nó thường mang tính chất địa phương Việc xây

giải thích những sai lầm liên quan đến một tri thức cụ thể, sai lầm có tính hệ thống

đối tượng tri thức O thường được hình thành từ quan hệ của thể chế dạy học đối với

quan đến một đối tượng tri thức O) của học sinh ta có thể phải nghiên cứu trường

Quan h ệ thể chế là một khái niệm cơ bản của Thuyết nhân học trong didactic

th ức O là tập hợp các tác động qua lại mà I có với O Nó cho biết O xuất hiện ở

đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, trong I

M ối quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X,O), là tập hợp

các tác động qua lại mà X có với O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào, thao tác O ra sao

thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O) Từ ràng buộc của thể chế, cá nhân X chỉ

tứ [ / /T τ θ / Θ ], trong đó T là kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ kĩ thuật τ , θ là

đến O cho phép ta xác định R(I,O) vì R(I,O) hình thành và biến đổi bởi một tập hợp

được một số yếu tố của quan hệ cá nhân với cùng đối tượng O này đã nảy sinh trong

Qui t ắc hành động được sử dụng để giải thích sai lầm của học sinh Một cách

Điều quan trọng là cần phải làm rõ sự cần thiết phải vận dụng những yếu tố

2 đối tượng tri thức là O1 - phương trình vô tỉ và O2 - bất phương trình vô tỉ, I là thể

hưởng nhiều của quan hệ mà thể chế duy trì với đối tượng này, nên việc nghiên cứu

III CÂU H ỎI NGHIÊN CỨU

được cụ thể hóa bởi các câu hỏi sau đây:

CH1 Giữa hai đối tượng phương trình và bất phương trình vô tỉ có mối liên

CH2 Mối liên hệ trên có tác động gì vào dạy học các đối tượng này? Việc

CH3 Về phía học sinh, ở bước chuyển từ phương trình vào bất phương trình

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Để trả lời cho câu hỏi CH1, chúng tôi tiến hành phân tích các giáo trình Đại

được xây dựng có tính chất kế thừa

Câu hỏi CH3 sẽ được làm sáng tỏ từ những kết quả phân tích ở chương 2

Ph ần kết luận, chúng tôi trình bày những gì đã đạt được trong luận văn

CHƯƠNG 1 MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ PHƯƠNG

TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

M ở đầu

thế nào?

phương trình vô tỉ còn có những đặc trưng gì thể hiện sự gắn kết giữa chúng?

nhau?

sau:

giải toán

khá đầy đủ và đây là sách viết cho dự án đào tạo giáo viên THCS

1.1 SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

 V ề khái niệm phương trình, bất phương trình

“ Cho hai hàm s ố của n biến phức x 1 , x 2 , x n là f(x 1 , x 2 , x n ) và g(x 1 , x 2 , x n ) Ta g ọi tập hợp n số phức x = (x 1 , x 2 , x n ) ∈C nlà một điểm trong không gian phức n chiều Khi

đó các hàm số của f(x 1 , x 2 , x n ) và g(x 1 , x 2 , x n ) được xem là các hàm một biến f(x) và

là kí hi ệu của hàm mệnh đề “giá trị của hai hàm số f(x) và g(x) là bằng nhau”

Thay cho trường C, ta có thể lấy một trường số K bất kì (có thể là Q, R) làm trường cơ

s ở ”

Đối với bất phương trình, (Hoàng Kỳ, 2009, tr 325) đưa vào định nghĩa

“Cho hai hàm s ố f(x) và g(x), với x∈R n, ( )f x ∈ , ( )R g x ∈ R trong đó f(x) có miền xác định là P⊆R n và g(x) có mi ền xác định là n

Q⊆R và c ả hai hàm số được xét trong miền

Như vậy, các khái niệm phương trình và bất phương trình đều định nghĩa dựa vào

nghĩa chỉ khác nhau ở dấu bằng và dấu bất đẳng thức

Đối với các khái niệm có liên quan đến phương trình, tác giả trình bày các khái

“Ta g ọi x là ẩn của phương trình (1); nếu coi f và g là hàm của n biến x 1 , x 2 , x n trong không gian C thì (1) là phương trình của n ẩn x 1 , x 2 , x n Tập các giá trị thừa nhận được

c ủa các đối số được gọi là miền xác định (tập xác định) của phương trình (1), đó là tập

1 2

S=D ∩D

Nếu x lấy giá trị a S ∈ mà f(a) và g(a) là một đẳng thức đúng thì a được gọi là một nghiệm của phương trình (1),

Có th ể xảy ra một trong ba trường hợp sau đây:

1) Phương trình vô nghiệm: không có giá trị a nào của S sao cho f(a) và g(a) bằng

nhau

2) Phương trình hằng đẳng trên S: bất kì giá trị a nào của S cũng thỏa mãn phương

trình 3) Có ít nhất 1 giá trị a S ∈ thỏa mãn phương trình

Trong 2 trường hợp 2) và 3) ta nói phương trình có nghiệm ”

Trong khi đó, tác giả chỉ đưa ra khái niệm nghiệm sau khi định nghĩa bất phương

phương trình, miền xác định của hàm số f(x), g(x) có thể là một tập con của C, nhưng chỉ là tập con của R đối với các bất phương trình Chúng ta biết rằng nguyên

 V ề các phép biến đổi phương trình, bất phương trình:

• Các định nghĩa

định nghĩa sau trong cuốn sách (Hoàng Kỳ, 2009, tr 248-249)

“ Để cho gọn, ta viết P 1 (x), P 2 (x) để chỉ hai phương trình

Định nghĩa 1 P2(x) được gọi là hệ quả của P1 (x) trên S n ếu tập nghiệm M 1 c ủa P 1 (x) là tập con của tập nghiệm M 2 của P 2 (x),

1 2

M ⊆M

Ta kí hi ệu P x1 ( ) ⇒P x2 ( ) (trên S)

Định nghĩa 2 P1 (x) và P 2(x) được gọi là tương đương nếu M1 = M 2 Nói khác đi, P 1 (x) và

P 2 (x) là tương đương trên S khi và chỉ khi P 1 (x) và P 2 (x) là hệ quả của nhau

Ta kí hiệu bởi: P x1( ) ⇔P x2( ) ”

Ta thấy ngay sự tương đương của các phương trình vừa định nghĩa có các

trình

“ Khái niệm tương đương đã phát biểu cho các phương trình cũng được mở rộng ra cho các

bất phương trình: “Các bất phương trình được gọi là tương đương nếu các tập nghiệm của

chúng bằng nhau”

Khái niệm hệ quả cũng mở rộng cho các bất phương trình Hai bất phương trình là tương

đương khi và chỉ khi bất phương trình này là hệ quả của bất phương trình kia và ngược lại.”

• Các định lí về phép biến đổi phương trình, bất phương trình :

Để xác định sự tương đương của các phương trình thì (Hoàng Kỳ, 2009, tr

“ Quá trình giải một phương trình là quá trình biến đổi phương trình đó để đi đến một

phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải Nếu các phép biến đổi không làm thay

đổi tập nghiệm của phương trình thì phương trình đã cho đã được biến đổi tương đương,

còn nếu thay đổi miền xác định của phương trình thì có thể tập hợp nghiệm cũng đã bị thay đổi Muốn biết rõ hơn, ta dựa vào các định lí sau:

Định lí 1 Cho phương trình f(x) = g(x) Nếu h(x) có nghĩa trong miền xác định của phương

trình đã cho thì: ( )f x =g x( ) ⇔ f x( ) +h x( ) =g x( ) +h x( )

Định lí 2 Cho phương trình f(x) = g(x) Nếu biểu thức h(x) có nghĩa và khác không trong

mi ền xác định của phương trình đã cho thì: ( )f x =g x( ) ⇔ f x h x( ) ( ) =g x h x( ) ( )

Định lí 3: Nếu nâng hai vế của một phương trình lên lũy thừa bậc lẻ thì ta được một

phương trình tương đương với phương trình đã cho (trên trường số thực)

Nếu ta nâng 2 vế của phương trình trên R lên một lũy thừa bậc chẵn thì nói chung ta chỉ

được phương trình hệ quả của phương trình đã cho mà không được phương trình tương đương ”

Để thuận tiện chúng tôi gọi phép biến đổi nêu trong định lí 1 là phép biến đổi

thực hiện phép biến đổi nhân thì còn phải lưu ý thêm điều kiện ( ) 0h x ≠

Điều đáng chú ý là ở định lý 3 người ta chỉ nói đến phép biến đổi tương đương trên trường số thực R (trong khi tập xác định của các phương trình có thể

trình tương đương Nhưng điều đó không đúng nữa trong tập số phức C (lúc này ta cũng chỉ được phương trình hệ quả như trường hợp nâng lên lũy thừa bậc chẵn)

phương trình hệ quả

Khi trình bày các định lí về biến đổi tương đương trong bất phương trình,

đương, ta có các định lí sau, tương tự như các định lí về phương trình tương đương, với sự thay đổi ít nhiều khi cần thiết” Từ đó quyển này trình bày các định

lí,

“ Ta kí hiệu các bất phương trình là f < g, f > g, mà không ghi tên các ẩn để cho gọn, và

có th ể hiểu là một ẩn hoặc nhiều ẩn

Định lí 2 f g> ⇔ + > + f h g h

( h có nghĩa trong miền xác định của bất phương trình đã cho)



 <



như trong phương trình Để thực hiện phép biến đổi cộng điều cần lưu ý là h(x) phải

có nghĩa trong miền xác định của bất phương trình, chiều của bất phương trình không đổi Do vậy phép biến đổi cộng trong phương trình và trong bất phương trình

kiện ( ) 0h x ≠ như phép biến đổi nhân trong phương trình Nếu h(x) > 0 thì khi nhân

K ết luận:

Các khái ni ệm và định lí về bất phương trình có nhiều điểm tương tự với phương trình Trong nhiều trường hợp chỉ cần thay từ “phương trình” bởi từ “bất phương trình”, dấu “=” bởi dấu “<” hoặc “>” là thu được kết quả Sự khác biệt sinh ra t ừ chỗ tập xác định của phương trình có thể rộng hơn R, trong khi điều đó không th ể được đối với bất phương trình Việc không tính đến sự khác nhau giữa C

và R v ề quan hệ thứ tự và phép khai căn có thể là nguồn gốc của một số sai lầm gặp

ở học sinh khi chuyển các kĩ thuật giải phương trình vào bất phương trình

1.2 SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ

TỈ

 V ề định nghĩa

(f(x) < 0) Sử dụng hệ quả này trong định nghĩa phương trình và bất phương trình

Định nghĩa Ta gọi là phương trình vô tỉ, mọi phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức

Hay nói khác đi, đó là một phương trình có dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số vô tỉ

(có chứa căn thức của biến số); (Hoàng Kỳ, 2009, tr 276)

Định nghĩa Bất phương trình vô tỉ là bất phương trình có dạng f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0)

trong đó f(x) là một hàm số vô tỉ của x (Hoàng Kỳ, 2009, tr 340)

Hai định nghĩa trên về hình thức là đồng nhất, giống nhau:

+ Dạng phương trình là f(x) = 0, dạng bất phương trình là f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0)

 V ề các định lí biến đổi phương trình và bất phương trình vô tỉ

Các định lí này chính là hệ quả của ba định lý tổng quát nêu trên, và được

có ngay phương trình tương đương; nhưng nâng lũy thừa bậc chẵn ta chỉ được phương trình hệ quả, phải thêm vào điều kiện ( ) 0g x ≥ ta mới có phương trình tương đương

Để giải bất phương trình vô tỉ, trên trường số thực, quyển này cũng đưa ra

các định lí về biến đổi tương đương để làm mất dấu căn thức:

Định lí 1 2k+1 f x( ) ≥g x( ) ⇔ f x( ) ≥g2k+1 ( )x

Định lí 2 2

2

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )

trình vô tỉ là n f x( )≤g x( ) và n f x( ) ≥g x( ) Và cũng tương tự như phép biến đổi trong phương trình, để giải hai bất phương trình trên cần thực hiện phép nâng lũy

phương trình ta có ngay bất phương trình tương đương Phép nâng lũy thừa bậc

chẵn trong các định lí 2 và 4 đòi hỏi phải có thêm một số điều kiện để có bất

dấu của căn số

Tóm l ại, khi thực hiện các phép biến đổi trong phương trình và bất phương trình vô t ỉ trên trường số thực cần lưu ý:

+ Đặt các điều kiện để đảm bảo biểu thức trong căn bậc chẵn (nếu có) phải không

âm, và d ấu 2k để chỉ căn số số học nên cũng phải không âm

+ Đối với căn bậc lẻ thì không cần điều kiện gì cho căn thức.

CHƯƠNG 2 MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ PHƯƠNG

TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

M ở đầu

Trên cơ sở tham chiếu những kết quả nghiên cứu ở chương 1, trong chương này

ra sao ?

thiết Cụ thể trong quá trình tiến hành phân tích chương trình và SGK toán phổ

trên cơ sở phép khai căn được trình bày ở lớp 9 nên trước hết chúng tôi sẽ nhìn lại chương trình và sách giáo khoa ở lớp này

2.1 LƯỚT QUA CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK TOÁN LỚP 9

2.1.1 Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán 9

Ở lớp 9 học sinh được tìm hiểu về căn thức (bậc 2 và bậc 3) ngay trong chương 1 với thời lượng giảng dạy là 17 tiết Các vấn đề liên quan đến căn bậc 3 chỉ được giảng dạy trong 1 tiết Nội dung trọng tâm là giảng dạy căn bậc hai Điều cần lưu ý khi dạy học chương này là:

“Các phép bi ến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai luôn gắn với điều kiện có nghĩa (điều

ki ện xác định) của biểu thức Đây là một vấn đề khó và phức tạp đối với học sinh, bởi vì việc tìm điều kiện xác định thường gắn với giải hệ bất phương trình và phương trình mà đến cấp THPT mới được học Do vậy yêu cầu xem xét điều kiện của biểu thức chỉ dừng ở mức độ cho học sinh hiểu Phần lớn các bài tập trong sách có liên quan đến biểu thức chữ đều cho trước điều kiện của chữ Các điều kiện này đôi khi hẹp hơn điều kiện xác định của

bi ểu thức .” , theo [GV9, tr 14]

- Biết được liên hệ của phép khai phương với phép bình phương Biết dùng liên hệ này

để tính toán đơn giản và tìm một số nếu biết bình phương hoặc căn bậc hai của nó

- Nắm được liên hệ giữa quan hệ thứ tự với phép khai phương và biết dùng liên hệ này

để so sánh các số.[GV9, tr 13]

Theo đó, không có bài nào hay đề mục nào giới thiệu rõ ràng về phương trình và bất phương trình vô tỉ GK9 đã lồng ghép giảng dạy hai đối tượng này vào trong bài

khác đi, các phương trình và bất phương trình vô tỉ chưa phải là một đối tượng được

V ới số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

Ví dụ 1 Căn bậc hai số học của 16 là 16( 4)=

Căn bậc hai số học của 5 là 5

 Chú ý V ới a≥ 0, ta có:

N ếu x= a thì x≥ 0 và x2 =a

N ếu x≥ 0 và x2 =a thì x= a [GK9, tr 4]

τ : Nâng lũy thừa (lt)

Nếu a < 0 thì kết luận không có x thỏa yêu cầu bài toán

lt

trên

bình phương lên là tìm được nghiệm Khảo sát những câu hỏi được cho ứng kiểu

được cho trước, hoặc không cần kiểm tra vì nghiệm x tìm được luôn làm cho f(x)

không âm, điều này thể hiện đúng theo những lưu ý khi dạy học chương 1 mà chúng tôi đã nêu ở phần trên Đối với hằng số a trong phương trình, hầu hết được cho không âm; trường hợp a < 0 là rất ít, chỉ chiếm 3/23 câu Do vậy, đối với kiểu

và tính chất của trị tuyệt đối

A

( )

đã lựa chọn kĩ thuật “hằng đẳng thức” là duy nhất để giải phương trình vô tỉ dạng này

• V ề bất phương trình vô tỉ

Sau khi trình bày định nghĩa, tính chất về mối liên hệ của phép khai phương

ĐỊNH LÍ

Với hai số a và b không âm, ta có a< ⇔b a< b [GK9, tr 5]

Theo [GV9, tr 15] thì tính chất này không những là cơ sở cho giải toán so

Như vậy, ta xác định được ở đây kiểu nhiệm vụ tương ứng với kĩ thuật giải như sau:

Bảng 1 : Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK toán lớp 9

và Tbpt thì 2 kĩ thuật giải có thể quy về

K ết luận:

phương trình f x( )=a, bất phương trình f x( )<a, f x( )>a được giảng dạy

phương lên để bỏ dấu căn bậc hai Hay nói khác đi, học sinh đã thực hiện một phép

điều kiện 2 vế của phương trình hoặc bất phương trình không âm được thể chế đảm

2.2 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ở LỚP 10

liệu sau:

2.2.1 Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình Đại số 10

Chương trình Đại số 10 được phân thành 6 chương :

Như vậy, các nội dung về phương trình, bất phương trình được đề cập ở

chương 3 và chương 4 Ở đây, việc dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình

Phương trình và bất phương trình vô tỉ được chính thức đưa vào giảng dạy Theo hướng giảm nhẹ yêu cầu về kiến thức và kĩ năng, chương trình không yêu cầu

phương trình) Tuy nhiên, phương trình, bất phương trình vô tỉ lại được nói đến

chủ yếu được giới thiệu chủ yếu trong chương IV Ở đây ta thấy được sự gắn kết

gi ữa phương trình và bất phương trình: việc giải một phương trình lại dẫn đến việc

gi ải một bất phương trình, hai đối tượng được dạy lồng ghép vào nhau Ngoài ra,

hai

(hai ẩn) Còn chương 4 có tiêu đề Bất đẳng thức và bất phương trình, nhưng trọng

tâm đặt vào bất phương trình bậc nhất, bậc 2 Nội dung của chương 3 và chương 4

được phân thành những mục sau :

Chương 3 : §1 Đại cương về phương trình

Liếc qua GK10, chúng tôi thấy chỉ có các nội dung trình bày trong §1, §3của chương 3 và §2, §8 của chương 4 có liên quan đến phương trình, bất phương trình

này

2.2 2 Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong SGK Đại số 10

Phương trình, bất phương trình được nói đến sau khi đã nghiên cứu chương 1

bi ến Các khái niệm này được sử dụng để định nghĩa phương trình, bất phương trình

 V ề khái niệm phương trình và các phép biến đổi tương đương

Liên quan đến phương trình nói chung chỉ có §1 với tên gọi Đại cương về

phương trình Ở đây ta thấy những nội dung sau :

đã nêu trong chương 1

Ngoài ra, GK10 còn đưa vào định lý sau :

 V ề khái niệm bất phương trình và các phép biến đổi tương đương

chương 4 Cùng một cách thức với phương trình, ở đây GK10 trình bày :

trình như sau:

“Do h ọc sinh đã được học các vấn đề tương tự về phương trình nên bài này có thể giảng nhanh, tập trung vào các phép biến đổi bất phương trình Giáo viên cần nhấn mạnh sự khác nhau gi ữa phương trình và bất phương trình khi thực hiện nhân 2 vế với cùng một biểu thức: Đối với bất phương trình, khi thực hiện nhân cả 2 vế với h(x) phải luôn để ý đến dấu của h(x).” [GV10, tr159]

Như vậy bất phương trình được giảng dạy với “sự thừa hưởng” khá nhiều từ phương trình, hầu như chỉ cần thay dấu = bởi dấu bất đẳng thức Điều cần phải lưu

ý, như GV10 trình bày, là phải phân biệt sự khác nhau giữa phép biến đổi nhân trong phương trình và bất phương trình

Ngoài ra GK10 cũng có trình bày một hệ quả mà nó chính là yếu tố công nghệ

giải thích cho kĩ thuật giải bất phương trình vô tỉ,

2) Quy t ắc nâng lên lũy thừa bậc hai

Nếu f(x) và g(x) không âm với mọi x thuộc D thì [ ] [2 ]2

f x <g x ⇔ f x < g x

Như đã chỉ ra trong khi xem xét chương trình, hai đối tượng nghiên cứu được

2 Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

Khi giải phương trình hoặc bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai, ta thực hiện

m ột số biến đổi tương đương để đưa nó về một phương trình hoặc bất phương trình không còn chứa ẩn trong dấu căn bậc hai Trong quá trình biến đổi cần lưu ý:

- Nêu các điều kiện xác định của phương trình hoặc bất phương trình và nêu điều kiện của nghiệm (nếu có);

- Ch ỉ bình phương hai vế của phương trình hoặc bất phương trình khi cả hai vế đều không âm

Gộp các điều kiện đó với phương trình hoặc bất phương trình mới nhận được, ta có một

hệ phương trình hoặc bất phương trình tương đương với phương trình hoặc bất phương trình đã cho (tức là phương trình hoặc bất phương trình đã cho và hệ thu được có cùng tập nghiệm) [GK10, tr 148]

GK10 đã không có định nghĩa rõ ràng mà dùng chính định nghĩa phương trình

trong chương trình toán 10 học sinh chủ yếu tìm hiểu phương trình và bất phương

điểm của nó Ví dụ: phương trình chứa tham số, phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối,

Để giải các phương trình và bất phương trình vô tỉ GK10 đưa ra một qui tắc

tôi vừa trình bày

 V ề các tổ chức toán học liên quan đến phương trình và bất phương trình

vô t ỉ

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm

do đó có thể thế từng phần tử trong tập xác định vào phương trình đã cho để kết

này

f(x), g(x), h(x) là các đa thức (bậc 1, bậc 2) hoặc các phân thức

 T ptcb (ptcb: phương trình cơ bản) : Giải phương trình vô tỉ dạng

f(x) = g(x)

0 10 7

Th ử lại x = 2 không thỏa mãn phương trình đã cho

V ậy phương trình có nghiệm x = 5

Như đã nói, phương trình vô tỉ chủ yếu được giới thiệu trong chương 4 nên tại

hq

hq

τ sử

Đặt t= 4x2−12x+11≥0 Khi đó phương trình trở thành:

0 4 5

t ⇔ t= 1 ho ặc t = 4

+ Giải phương trình f(x) =t tìm nghiệm x

pt

làm tăng đáng kể bậc của phương trình (bậc 4) và học sinh khó có thể giải được Kĩ

trình vô tỉ

V ới các điều kiện (1) và (2), phương trình đã cho tương đương với phương trình

3x + 24x+ 22 = (2x+ 1) (3)

Hi ển nhiên (3) kéo theo (1) Do đó nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương trình (3) thỏa mãn bất phương trình (2) Nói một cách khác, phương trình đã cho tương đương với hệ gồm bất phương trình (2) và phương trình (3)

Sau đây là bài giải ví dụ 2

Gi ải Phương trình đã cho tương đương với hệ

Nghi ệm của phương trình đã cho là x = 21

0 ) ( )

( ) (

x g x f

x g x

g x f

pt

lt

phương trình) [GK10, tr 70]

trình khi hai v ế không âm Điều kiện của nghiệm là vấn đề mà học sinh cần lưu ý

trong kĩ thuật pt

lt

là sự tiến triển của kiểu nhiệm vụ Tpt ở

hằng số a cũng được thay bằng một biểu thức chứa biến mà giá trị âm, dương là chưa xác định

như một nhiệm vụ con

+ Giải phương trình h(x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2,

+ Với x≠x x1, 2, nhân 2 vế của phương trình ban đầu cho 1

( )

+ Thực hiện kiểu nhiệm vụ Tptcb

ân

pt

nh

ntc

pt nh

sau đó là đặt nhân tử chung đưa về dạng phương trình tích mà học sinh đã biết cách

giải ở lớp 8 là h x( )( f x( )−g x( ))= ⇔0 h x( )=0 hoÆc f x( )−g x( )=0

Một tổ chức toán học khác được BT10 đưa vào qua bài tập mà chúng tôi xem xét ngay sau đây

 τpt

+ Biện luận các giá trị của x để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

+ Thực hiện kiểu nhiệm vụ Tptcb

θpt

trong căn thức lại có căn thức Việc khai căn dẫn đến giải phương trình có hai dấu

phương trình chứa trị tuyệt đối

tích

T : Gi ải phương trình vô tỉ dạng h(x) f(x) = 0

Chúng tôi xác định kiểu nhiệm vụ này trong ví dụ dưới đây:

V ậy phương trình có nghiệm là x = 3

 τtíchpt : + Điều kiện : ( ) 0f x ≥

pt

D ễ thấy nghiệm của phương trình đã cho phải thỏa mãn điều kiện x− > 2 0 (2)

V ới hai điều kiện (1) và (2), bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình

Sau đây là bài giải ví dụ 3

Giải Bất phương trình đã cho tương đương với hệ

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [5 ;14)

 τbpt: Nâng lũy thừa