định lí brauer và ứng dụng của nó để mô tả các biểu diễn bất khả qui của một số nhóm hữu hạn

Một biểu diễn của nhóm ? trên trường ? là một đồng cấu nhóm ϕ: G→GL V , với ??? lả nhóm các tự đồng cấu khả nghịch của module ? trên ? thỏaϕ 1 =I V ?? là phép biến đổi đồng nhất.. Trong

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

- -

ĐỊNH LÍ BRAUER VÀ ỨNG DỤNG CỦA

NÓ ĐỂ MÔ TẢ CÁC BIỂU DIỄN BẤT KHẢ

Thành ph ố Hồ Chí Minh – Năm 2012

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

ĐỊNH LÍ BRAUER VÀ ỨNG DỤNG CỦA

NÓ ĐỂ MÔ TẢ CÁC BIỂU DIỄN BẤT KHẢ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ

L ỜI CÁM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn để tôi

có thể hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong khoa Toán – Tin học của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tận tình dạy bảo cho tôi trong quá trình học tập tại khoa

Tôi cũng xin cám ơn các cán bộ của Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư

Phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cùng các học viên khác có

thể học tập và nghiên cứu hiệu quả

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Tp Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012

L ỜI MỞ ĐẦU

Cho một nhóm hữu hạn 𝐺 và một trường 𝑘 Một biểu diễn của nhóm 𝐺 trên

trường 𝑘 là một đồng cấu nhóm ϕ: G→GL V( ), với 𝐺𝐿(𝑉) lả nhóm các tự đồng cấu khả nghịch của module 𝑉 trên 𝑘 thỏaϕ( )1 =I V (𝐼𝑉 là phép biến đổi đồng nhất) Ta nhận thấy rằng 𝑉 có cấu trúc của một 𝑘(𝐺) – module Trong trường hợp 𝑉 là một 𝑘(𝐺) – module bất khả qui thì ta gọi 𝜑 là một biểu diễn

bất khả qui của nhóm 𝐺 trên trường 𝑘

Nhờ vào những kết quả trong lí thuyết về module trên vành, hay cụ thể hơn là module trên đại số nhóm, mà ta chỉ ra được rằng: mọi biểu diễn của nhóm 𝐺

hữu hạn trên trường 𝑘 đều có thể phân tích thành tích của các biểu diễn bất

khả qui Từ đó, việc nghiên cứu biểu diễn của một nhóm tập trung vào việc nghiên cứu các biểu diễn bất khả qui của nó Và định lí Brauer là một công cụ quan trọng giúp cho việc phân tích các biểu diễn bất khả qui của một nhóm

Đó là lí do tôi chọn đề tài này để tìm hiểu

Luận văn này sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về module trên đại số hữu

hạn chiều, về lí thuyết biểu diễn nhóm Từ đó luận văn sẽ tập trung vào định lí Brauer và cuối cùng là sử dụng định lí để mô tả các biểu diễn bất khả qui của

một số nhóm phép thế

Luận văn gồm 3 chương:

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này trình bày các lí thuyết cơ bản về nhóm, vành, module, đặc biệt là

về module trên đại số hữu hạn chiều

CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN NHÓM VÀ ĐỊNH LÍ BRAUER

Chương này trình bày về lí thuyết biểu diễn, đưa ra chứng minh của định lí Brauer và cả lí thuyết đặc trưng, một lí thuyết quan trọng trong việc xây dựng các biểu diễn của một nhóm

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM PHÉP THẾ

Đây là chương ứng dụng của những lí thuyết được trình bày ở chương 2

Chương này sẽ giới thiệu các biểu diễn bất khả qui của các nhóm phép thế:

𝑆3; 𝑆4; 𝑆5; 𝐴4; 𝐴5

𝐶𝐺(𝑔) tâm hóa tử của phần tử 𝑔 trong nhóm 𝐺

𝐺𝐿(𝑉) nhóm các tự đồng cấu khả nghịch của module 𝑉

𝐺𝐿𝑛(𝑅) nhóm tuyến tính tổng quát bậc 𝑛 trên 𝑅

M𝑛(𝑅) vành các ma trận vuông cấp 𝑛 trên 𝑅

𝛿𝑖𝑗 Kroonecker delta

M ỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 1

LỜI MỞ ĐẦU 2

BẢNG KÍ HIỆU 4

MỤC LỤC 5

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 7

1.1 Một số tính chất về vết của ma trận vuông: 7

1.2 Nhóm các phép thế S : 8 n 1.3 Tác động liên hợp: 10

1.4 Vành và Module: 17

1.5 Vành nửa đơn: 26

1.6 Đại số nhóm: 29

1.7 Module trên đại số hữu hạn chiều: 32

CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN NHÓM VÀ ĐỊNH LÝ BRAUER 40

2.1 Khái niệm về biểu diễn nhóm: 40

2.2 Quan hệ giữa biểu diễn nhóm và module trên đại số nhóm: 44

2.3 Biểu diễn bất khả qui: 45

2.4 Trường phân rã của một nhóm: 50

2.5 Số các biểu diễn bất khả qui – Định lý Brauer: 51

2.6 Lý thuyết đặc trưng: 60

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG 73

3.1 Biểu diễn của nhóm S3: 73 3.2 Biểu diễn của nhóm S : 754

3.3 Biểu diễn của nhóm A : 794

3.4 Biểu diễn của nhóm A : 815

KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Một số tính chất cơ bản của vết mà ta cần lưu ý:

a) Tính tuyến tính: với 𝐴, 𝐵 là các ma trận vuông cùng cấp và hằng số 𝑐

𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵) 𝑡𝑟(𝑐 𝐴) = 𝑐 𝑡𝑟(𝐴)

b) Tính giao hoán: với 𝐴 và 𝐵 là các ma trận vuông cấp 𝑛 × 𝑛

𝑡𝑟(𝐴𝐵) = 𝑡𝑟(𝐵𝐴) c) Liên hệ với các giá trị riêng: vết của ma trận 𝐴 bằng tổng các giá trị riêng của nó

d) Vết của ma trận liên hợp: cho 𝐴 là ma trận cấp 𝑛 × 𝑛 và 𝑃 là ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghịch Liên hợp của 𝐴 theo 𝑃 là 𝑃𝐴𝑃−1 Khi đó ta có

𝑡𝑟(𝐴) = 𝑡𝑟(𝑃𝐴𝑃−1) e) Vết của ma trận chuyển vị: cho 𝐴 là ma trận vuông cấp 𝑛, 𝐴𝑇 là ma trận chuyển vị của 𝐴

𝑡𝑟(𝐴𝑇) = 𝑡𝑟(𝐴)

1.2 Nhóm các phép th ế S : n

1.2.1 Định nghĩa:

Cho tập hợp 𝑋 ≠ ∅ gồm 𝑛 phần tử (có thể xem tập 𝑋 chính là tập {1,2, … , 𝑛}) Khi đó tất cả các song ánh từ 𝑋 vào 𝑋 cùng với phép hợp thành ánh xạ lập thành một nhóm, kí hiệu 𝑆𝑛, được gọi là nhóm đối xứng bậc 𝑛

Khi đó ta viết 𝜎 = (𝑖1𝑖2… 𝑖𝑟)

• Nếu hai chu trình 𝜎 = (𝑖1𝑖2… 𝑖𝑟) và 𝜎′ = (𝑗1𝑗2… 𝑗𝑠) thỏa

{𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑟} ∩ {𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑠} = ∅ thì chúng được gọi là hai chu trình rời nhau, hay hai chu trình độc lập

• Một 2 – chu trình được gọi là một chuyển vị Mỗi chuyển vị có dạng

𝜎 = (𝑖𝑗), 1 ≤ 𝑖 ≠ 𝑗 ≤ 𝑛

1.2.2 Một số tính chất của phép thế:

• Hai chu trình rời nhau thì chúng giao hoán

• Mọi phép hoán vị bậc 𝑛 khác ánh xạ đồng nhất đều được phân tích thành tích các chu trình rời nhau có chiều dài lớn hơn và bằng 2 Cách phân tích là duy nhất, sai khác một sự đổi chỗ các chu trình

• Mọi phép hoán vị bậc 𝑛 đều phân tích được thành tích các chuyển vị

1.2.3 Hàm dấu (sign):

Một loại hàm rất quan trọng khi nhắc đến phép thế là hàm dấu

Cho 𝜎 ∈ 𝑆𝑛, ta nói rằng một cặp {𝑖, 𝑗} là một nghịch thế đối với 𝜎 nếu

(𝑖 − 𝑗)[𝜎(𝑖) − 𝜎(𝑗)] < 0

Nếu gọi số các nghịch thế đối với 𝜎 là 𝑘 thì hàm dấu của 𝜎, kí hiệu 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎), được định nghĩa bởi: 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎) = (−1)𝑘

• Nếu 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎) = 1 thì 𝜎 được gọi là phép thế chẵn

• Nếu 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎) = −1 thì 𝜎 được gọi là phép thế lẻ

Hàm dấu có một số tính chất cơ bản sau:

Cho một tác động của nhóm 𝐺 lên tập hợp 𝑋 và 𝑥 ∈ 𝑋 Khi đó tập 𝐺𝑋 ={𝑔 ∈ 𝐺: 𝑔 ∗ 𝑥 = 𝑥} là một nhóm con của 𝐺, được gọi là nhóm con ổn định

của 𝑥 trong 𝐺

Cho một tác động của nhóm 𝐺 lên tập hợp 𝑋 và 𝑥 ∈ 𝑋 Ta gọi quĩ đạo của

phần tử 𝑥 là tập hợp 𝐺 ∗ 𝑥 = {𝑔 ∗ 𝑥|𝑔 ∈ 𝐺} Hai quĩ đạo bất kì hoặc trùng nhau hoặc có giao bằng rỗng

Số phần tử của quĩ đạo 𝐺 ∗ 𝑥 bằng chỉ số của nhóm con ổn định 𝐺𝑋 trong 𝐺

|𝐺 ∗ 𝑥| = (𝐺: 𝐺𝑋), ∀𝑥 ∈ 𝑋

Nếu 𝑋 là hữu hạn thì công thức khai triển thành quĩ đạo của 𝑋 được viết như sau: |𝑋| = ∑ |𝐺 ∗ 𝑥𝑖| = ∑ (𝐺: 𝐺𝑛 𝑥)

Với mọi 𝑥 ∈ 𝐺, nhóm con ổn định 𝐺𝑋 chính là tâm hóa tử 𝐶(𝑥) của 𝑥

𝐺𝑋 = {𝑔 ∈ 𝐺: 𝑔𝑥𝑔−1 = 𝑥} = 𝐶(𝑥)

Ta có ∀𝑥 ∈ 𝐺: 𝐺 ∗ 𝑥 = {𝑔𝑥𝑔−1|𝑔 ∈ 𝐺} là quĩ đạo của x qua tác động liên

hợp Khi đó, hai phần tử 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐺 gọi là liên hợp với nhau nếu 𝐺 ∗ 𝑥1 = 𝐺 ∗

𝑥2

Đặt 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐺) = {𝑥 ∈ 𝐺|𝑔𝑥 = 𝑥𝑔; ∀𝑔 ∈ 𝐺} là tâm của 𝐺

Nhận xét thấy:

∀𝑥 ∈ 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐺) ⇔ ∀𝑔 ∈ 𝐺: 𝑔𝑥𝑔−1 = 𝑥 ⇔ 𝐺𝑋 = 𝐺 ⇔ |𝐺 ∗ 𝑥| = (𝐺: 𝐺𝑋) = 1 Nên ∀𝑥 ∈ 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐺): 𝐺 ∗ 𝑥 = {𝑥} Do đó, nếu 𝐺 là nhóm hữu hạn thì theo công thức khai triển thành quĩ đạo của 𝐺, ta được công thức:

|𝐺| = |𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐺)| + ��𝐺: 𝐶(𝑥𝑖)�

𝑚 𝑖=1trong đó {𝑥𝑖}𝑖=1,𝑚����� là tập tất cả các phần tử của 𝐺 đôi một không liên hợp với nhau và không nằm trong tâm

1.3.3 Các l ớp liên hợp của nhóm S n :

Trước khi tìm các lớp liên hợp của nhóm 𝑆𝑛, ta sẽ đề cập đến một vài cách phân kiểu cho phép hoán vị

Kiểu của một hoán vị 𝜎 là một biểu thức có dạng (1𝑚1, 2𝑚2, … , 𝑛𝑚𝑛); ở đó

𝑚𝑖 là số chuyển vị có độ dài 𝑖 Ví dụ 𝜎 = (1,2,3)(4)(5) có kiểu là

(12, 20, 31, 40, 50)

Một cách khác để chia kiểu một hoán vị là như một phân hoạch Một phân

hoạch của 𝑛 là một dãy 𝜆 = (𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑙), trong đó các 𝜆𝑖 là giảm yếu và

Cho một hoán vị bất kì 𝜎 = (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑙) … (𝑖𝑚, 𝑖𝑚+1, … , 𝑖𝑛) Khi đó với mọi

𝑔: 𝑎1 ↦ 𝑎1′, … , 𝑎𝑘1 ↦ 𝑎𝑘′1, … , 𝑐1 ↦ 𝑐1′, … , 𝑐𝑘𝑠 ↦ 𝑐𝑘′𝑠

Rõ ràng 𝜋 = �𝑔(𝑎1), … , 𝑔�𝑎𝑘1�� … �𝑔(𝑐1), … , 𝑔�𝑐𝑘𝑠�� = 𝑔𝜎𝑔−1

Ta vừa chứng minh xong định lý sau:

Định lý 1.3.3.2:

Hai hoán vị của 𝑆𝑛 liên hợp với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng kiểu

Chúng ta có thể tính độ lớn của mỗi lớp liên hợp bằng công thức ở phần 1.3.1,

tức là dựa vào tâm hóa tử Gọi 𝐶𝑆𝑛(𝜎) là tâm hóa tử ứng với phép hoán vị 𝜎 Khi đó độ lớn của lớp liên hợp của 𝜎 sẽ tính bằng 𝑘𝜎 =𝐶 𝑛!

𝑆𝑛 (𝜎)

M ệnh đề 1.3.3.3:

Nếu một phép hoán vị 𝜎 có kiểu là (1𝑚1, 2𝑚2, … , 𝑛𝑚𝑛) thì số phần tử của

�𝐶𝑆𝑛(𝜎)� được tính bằng công thức: �𝐶𝑆𝑛(𝜎)� = 1𝑚1 𝑚! 2𝑚2 𝑚2! … 𝑛𝑚𝑛 𝑚𝑛!

Chứng minh:

Mọi phần tử 𝜎 ∈ 𝐶𝑆𝑛(𝜎) đều có thể hoặc là giao hoán các chuyển vị có độ dài

𝑖 với nhau, hoặc là quay vòng trên từng chuyển vị (hoặc cả hai) Vì có tất cả

𝑚𝑖! cách làm với quá trình trước và 𝑖𝑚𝑖 cách làm với quá trình sau, ta có ngay đpcm.■

1.3.4 Các l ớp liên hợp của nhóm A n :

Lấy một phép thế chẵn 𝜎 ∈ 𝐴𝑛 Khi đó lớp liên hợp của 𝜎 trong 𝐴𝑛 sẽ là tập con của lớp liên hợp trong 𝑆𝑛 Tuy nhiên, hai lớp liên hợp này có thể không trùng khớp nhau hoàn toàn Định lý sau sẽ cho biết khi nào thì chúng sẽ trùng nhau, khi nào thì không

Định lý:

Cho 𝜎 ∈ 𝐴𝑛, 𝑛 > 1 Khi đó:

1 Nếu 𝜎 giao hoán với một phép thế lẻ nào đó thì lớp liên hợp của 𝜎 trong 𝑆𝑛 cũng chính là lớp liên hợp trong 𝐴𝑛

2 Nếu 𝜎 không giao hoán với bất kì một phép thế lẻ nào thì lớp liên hợp

của 𝜎 trong 𝑆𝑛 sẽ phân ra thành hai lớp liên hợp rời nhau trong 𝐴𝑛 với

lực lượng của hai lớp bằng nhau Hơn nữa, đại diện của hai lớp đó lần lượt sẽ là 𝜎 và (12)𝜎(12)−1

Chứng minh:

Giả sử 𝜎 giao hoán với một phép thế lẻ là 𝜋 Lấy 𝑔 là một liên hợp của 𝜎 trong 𝑆𝑛 Khi đó tồn tại ℎ ∈ 𝑆𝑛 để 𝑔 = ℎ𝜎ℎ−1

Nếu ℎ là phép thế chẵn thì 𝑔 ∈ 𝐴𝑛

Nếu ℎ là phép thế lẻ thì ℎ𝜎 ∈ 𝐴𝑛, và

𝑔 = ℎ𝜎ℎ−1 = ℎ𝜋𝜎𝜋−1ℎ−1 = ℎ𝜋𝜎(ℎ𝜋)−1 ∈ 𝐴𝑛Như vậy, mọi liên hợp của 𝜎 trong 𝑆𝑛 đều là phép thế chẵn Ta vừa chứng minh xong (1)

Đối với (2), giả sử 𝜎 không giao hoán với bất kì một phép thế lẻ nào Khi đó:

𝑍𝑆𝑛(𝜎) = 𝑍𝐴𝑛(𝜎)

Với 𝑍𝑆𝑛(𝜎) là tâm hóa tử của 𝜎 trong 𝑆𝑛 và 𝑍𝐴𝑛(𝜎) là tâm hóa tử của 𝜎 trong

𝐴𝑛 Như vậy số các phần tử liên hợp với 𝜎 trong 𝐴𝑛 được tính là

1.3.5 Nhóm h ữu hạn và định lý Sylow:

Định nghĩa 1.3.4.1:

Cho 𝐺 là một nhóm và 𝑝 là một số nguyên tố

• 𝐺 được gọi là một 𝑝 – nhóm nếu 𝐺 có cấp là một lũy thừa của 𝑝

• 𝐻 được gọi là 𝑝 – nhóm con của 𝐺 nếu 𝐻 là một 𝑝 – nhóm và 𝐻 là nhóm con của 𝐺

• 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 chính là phần tử tối đại trong tập các 𝑝 – nhóm con của 𝐺 theo quan hệ bao hàm

• Một phần tử 𝑔 ∈ 𝐺 được gọi là 𝑝 – chính qui nếu 𝑝 không phải là ước

của |𝑔| Một lớp liên hợp của 𝐺 được gọi là 𝑝 – chính qui nếu bất kì

một phần tử nào của lớp liên hợp là 𝑝 – chính qui (Định nghĩa 𝑝 – chính qui cũng có thể mở rộng cho 𝑝 = 0 Khi đó mọi phần tử và mọi

lớp liên hợp đều là 0 – chính qui.)

b) Mọi 𝑝 – nhóm con 𝐻 của 𝐺 đều nằm trong một 𝑝 – nhóm con Sylow nào đó của 𝐺

c) Tất cả các 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 đều liên hợp với nhau

d) Nếu 𝑟 là số các 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 thì 𝑟|𝑚 và 𝑟 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝)

𝑀 được gọi là 𝑅 – module đơn (hay bất khả qui) nếu 𝑀 ≠ (0) và 𝑀 không có

𝑅 – module con nào khác (0) và 𝑀

Ta cũng nhắc lại một số kiến thức cơ bản về điều kiện ACC và DCC Xét một

(2’) Mọi họ con khác rỗng bất kì của họ đã cho đều có phần tử nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm)

Một 𝑅 – module 𝑀 được gọi noether (hay artin) nếu họ tất cả các 𝑅 – module con của 𝑀 thỏa điều kiện ACC (hay DCC) Một vành 𝑅 được gọi là noether (hay artin) nếu 𝑅 là module noether (hay artin) trên 𝑅

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của các module noether và artin:

a) 𝑀 là module noether khi và chỉ khi mọi module con của 𝑀 là hữu hạn sinh

b) Cho 𝑁 là 𝑅 – module con của 𝑀 Khi đó, 𝑀 là module noether (hay artin) khi và chỉ khi 𝑁 và 𝑀 𝑁� đều là module noether (hay artin) Đặc

biệt, tổng trực tiếp của hai module noether (hay artin) là một module noether (hay artin)

c) Nếu 𝑀 là module hữu hạn sinh trên một vành 𝑅 noether (hay artin) thì

𝑀 là module noether (hay artin)

1.4.1 Chuỗi hợp thành của module:

Cho 𝑀 là một module trên một vành 𝑅

Một chuỗi của 𝑀 là một dãy tăng ngặt các module con của 𝑀, bắt đầu với {0}

và kết thúc bởi 𝑀

{0} = 𝑀0 ⊂ 𝑀1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑀𝑛 = 𝑀

𝑛 được gọi là độ dài của chuỗi

Một chuỗi hợp thành là một chuỗi mà ta không thể bổ sung thêm bất kì

module con nào của 𝑀 vào nữa Điều này có nghĩa là, mỗi 𝑀𝑖 là module tối

đại của 𝑀𝑖+1, hay mỗi module thương 𝑀𝑖+1

Giả sử module 𝑀 có một chuỗi hợp thành với độ dài là 𝑛 Khi đó, mọi chuỗi

hợp thành của 𝑀 cũng có độ dài 𝑛

Đồng thời, các thương hợp thành của các chuỗi hợp thành của cùng một

module (nếu tồn tại hữu hạn) đều lần lượt đẳng cấu với nhau (sau một phép hoán vị nếu cần)

Hơn nữa mọi chuỗi bất kì đều có thể bổ sung thêm các module con vào để có được một chuỗi hợp thành

H ệ quả: Một module 𝑀 có một chuỗi hợp thành khi và chỉ khi 𝑀 thỏa điều

kiện ACC và DCC

1.4.2 Đại số:

Một đại số 𝐴 trên một trường 𝑘 là một không gian vector trên 𝑘 sao cho trên

𝐴 có một phép nhân và cùng với phép nhân này, 𝐴 là một vành Hơn nữa, cấu trúc không gian vector có thể khớp với cấu trúc vành theo luật:

𝑥(𝑎𝑏) = (𝑥𝑎)𝑏 = 𝑎(𝑥𝑏); ∀𝑥 ∈ 𝑘; ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴

Nếu phép nhân trên 𝐴 có đơn vị 1 thì từ tính kết hợp giữa hai cấu trúc vành và không gian vector ta có các phần tử có dạng 𝑥 1(𝑥 ∈ 𝑘) sẽ nằm trong tâm của

𝐴

Đối với một đại số 𝐴, 𝜌 được gọi là một ideal của 𝐴 nếu 𝜌 là ideal của vành 𝐴

và 𝜌 cũng là không gian vector con của không gian vector 𝐴 trên 𝑘 Tương tự

ta cũng định nghĩa một đồng cấu giữa hai 𝑘 – đại số 𝐴, 𝐵 phải vừa là đồng cấu vành vừa là ánh xạ 𝑘 - tuyến tính

1.4.3 C ăn Jacobson:

Căn Jacobson của một vành 𝑅, kí hiệu là 𝑟𝑎𝑑 𝑅, là giao của tất cả các ideal (trái) tối đại của 𝑅

Một số tính chất của căn Jacobson:

• 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là ideal lớn nhất trong 𝑅 thỏa 1 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ⊂ 𝑈(𝑅).(𝑈(𝑅) là tập các phần tử khả nghịch của 𝑅)

• Với 𝐼 ⊲ 𝑅 sao cho 𝐼 ⊂ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 thì 𝑟𝑎𝑑 �𝑅 𝐼�� = (𝑟𝑎𝑑 𝑅)� 𝐼

• 𝑟𝑎𝑑 �𝑅 𝑟𝑎𝑑 𝑅� � = (0)

• 𝑅 và 𝑅 𝑟𝑎𝑑 𝑅� có chung các module trái đơn Một phần tử 𝑥 ∈ 𝑅 là khả nghịch trái (khả nghịch) trong 𝑅 khi và chỉ khi 𝑥̅ ∈ 𝑅� là khả nghịch trái (khả nghịch) trong 𝑅� = 𝑅 𝑟𝑎𝑑 𝑅�

1.4.3.3 B ổ đề Nakayama:

Cho một ideal trái 𝐽 của vành 𝑅 Các phát biểu sau tương đương:

(1) 𝐽 ⊂ 𝑟𝑎𝑑 𝑅

(2) Với mọi 𝑅 - module trái hữu hạn sinh 𝑀, 𝐽 𝑀 = 𝑀 ⇒ 𝑀 = 0

(3) Với mọi 𝑅 – module trái 𝑁 là con của 𝑀 sao cho 𝑀 𝑁� là hữu hạn sinh,

𝑁 + 𝐽 𝑀 = 𝑀 ⇒ 𝑁 = 𝑀

Cuối cùng, ta sẽ nhắc đến một số khái niệm về lũy linh Một phần tử 𝑎 ∈ 𝑅 được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương 𝑛 sao cho 𝑎𝑛 = 0 Một ideal (phải, trái, hai phía) được gọi là nil ideal nếu mọi phần tử của nó đều là lũy linh Một ideal (phải, trái, hai phía) 𝐼 được gọi là lũy linh nếu tồn tại số

nguyên dương 𝑛 sao cho 𝑎1𝑎2… 𝑎𝑛 = 0, ∀𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐼 Điều này có nghĩa là 𝐼𝑛 = (0) Ta thấy rằng một ideal lũy linh thì luôn là nil ideal, điều ngược lại không luôn đúng Đồng thời ta cũng thấy rằng mọi phần tử lũy linh

của vành 𝑅 đều thuộc vào 𝑟𝑎𝑑𝑅, nên 𝑟𝑎𝑑𝑅 chứa mọi nil ideal Đặc biệt, mọi nil ideal trong vành Artin đều là ideal lũy linh, hơn nữa khi đó căn Jacobson

của nó chính là ideal lũy linh lớn nhất theo quan hệ bao hàm

1.4.4 M ở rộng vô hướng:

1.4.4.1 Định nghĩa:

Cho 𝐾 là một mở rộng trường của 𝑘 Ta xây dựng một 𝐾 - đại số

𝑅𝐾 ≔ 𝑅 ⊗𝑘 𝐾 Đây là một mở rộng vô hướng của 𝑘 - module 𝑅

Ta cũng xây dựng một mở rộng vô hướng của 𝑅 - module trái 𝑀 là

𝑀𝐾 ≔ 𝑀 ⊗𝑘 𝐾

𝑀𝐾 là một 𝑅𝐾 - module trái

B ổ đề 1.4.4.2:

Cho 𝑅 là 𝑘 – đại số và 𝑀, 𝑁 là các 𝑅 - module với dim𝑘𝑀 < ∞ Khi đó ánh

xạ tự nhiên 𝜃: �𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑀, 𝑁)�𝐾 → 𝐻𝑜𝑚𝑅𝐾(𝑀𝐾, 𝑁𝐾) là một đẳng cấu của các

𝐾 – không gian vector

Kết quả sau đây sẽ cho ta thấy mối quan hệ của 𝑟𝑎𝑑 𝑅 và 𝑟𝑎𝑑 𝑅𝐾

Mệnh đề 1.4.4.3:

Cho 𝑅, 𝑆 là hai vành, 𝑅 ⊂ 𝑆 Nếu một trong hai điều kiện sau xảy ra thì

𝑅 ∩ 𝑟𝑎𝑑 𝑆 ⊂ 𝑟𝑎𝑑 𝑅

1) 𝑅 là hạng tử trực tiếp của 𝑆, với vai trò như các 𝑅 - module trái

2) Tồn tại một nhóm các tự đồng cấu của vành 𝑆, sao cho 𝑅 là vành con

của vành các điểm bất động 𝑆𝐺 ≔ {𝑠 ∈ 𝑆: 𝑔(𝑠) = 𝑠, ∀𝑔 ∈ 𝐺}

Chứng minh:

Xét điều kiện (1) Ta có: 𝑆 = 𝑅 ⊕ 𝑇, 𝑇 là một 𝑅 - module trái con của 𝑆 Lấy

𝑟0 ∈ 𝑅 ∩ 𝑟𝑎𝑑 𝑆 Khi đó, 1 − 𝑟0 sẽ khả nghịch phải trong 𝑆, nên tồn tại

𝑟 ∈ 𝑅, 𝑡 ∈ 𝑇:

1 = (1 − 𝑟0)(𝑟 + 𝑡) = (1 − 𝑟0)𝑟 + (1 − 𝑟0)𝑡

Do 1 ∈ 𝑅 nên (1 − 𝑟0)𝑟 = 1 Như vậy 1 − 𝑟0 khả nghịch phải trong 𝑅 Ta có đpcm

Xét điều kiện (2) Ta có thể giả sử 𝑅 chính là 𝑆𝐺 Lấy 𝑟0 ∈ 𝑅 ∩ 𝑟𝑎𝑑 𝑆, khi đó

tồn tại 𝑠 ∈ 𝑆 sao cho (1 − 𝑟0)𝑠 = 1

⇒ 𝑔(1 − 𝑟0)𝑔(𝑠) = 𝑔(1) ⇒ (1 − 𝑟0)𝑔(𝑠) = 1 ⇒ 𝑔(𝑠) = 𝑠 ⇒ 𝑠 ∈ 𝑅

Ta có đpcm ■

M ệnh đề 1.4.4.4:

Cho 𝑖: 𝑅 → 𝑆 là một đồng cấu vành, với 𝑅 ⊂ 𝑆 Khi đó trên 𝑆 có cấu trúc của

cả 𝑅 - module trái và 𝑅 - module phải Giả sử rằng

𝑆 = 𝑅 𝑥1+ ⋯ + 𝑅 𝑥𝑛trong đó mỗi 𝑥𝑗 giao hoán với các phần tử của 𝑖(𝑅) Khi đó

Nếu dim𝑘𝑅 < ∞ thì 𝑅 là một vành artin, do đó 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là một ideal lũy linh

⟹ (𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝐾 ⊂ 𝑅𝐾 cũng là ideal lũy linh

⟹ (𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝐾 ⊂ 𝑟𝑎𝑑 𝑅𝐾 (vì 𝑅𝐾 cũng là vành artin)

⟹ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ⊂ 𝑅 ∩ 𝑟𝑎𝑑 𝑅𝐾

Kết hợp với (*) ta có điều ta cần trong trường hợp 𝑑𝑖𝑚𝑘𝑅 < ∞

Ta xét trường hợp [𝐾: 𝑘] = 𝑛 < ∞ Trong trường hợp này thì phân tích thành

tổng trực tiếp của 𝑅𝐾 là hữu hạn và mỗi 𝑒𝑖 đều tâm hóa 𝑅 Áp dụng mệnh đề 1.4.4.4 ta có 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ⊂ 𝑅 ∩ 𝑟𝑎𝑑 𝑅𝐾 như mong muốn

Cuối cùng, lấy 𝑉 là một 𝑅 – module phải đơn Khi đó 𝑉𝐾 = 𝑉 ⨂ 𝐾𝑘 là một

𝑅𝐾 - module phải đơn Xem 𝑉𝐾 như một 𝑅 – module, ta có:

𝑉𝐾 ≅ �(𝑉⨂𝑒𝑖)

𝑛 𝑖=1

Từ đó nếu xem như là một 𝑅𝐾 – module thì 𝑉𝐾sẽ có độ dài của sự phân tích

nhỏ hơn hoặc bằng 𝑛 Cho nên ∀𝑧 ∈ (𝑟𝑎𝑑 𝑅𝐾)𝑛, 𝑉𝐾 𝑧 = 0

Ta viết lại 𝑧 = ∑ 𝑟𝑖 ⊗ 𝑒𝑖, 𝑟𝑖 ∈ 𝑅 Với mọi 𝑣 ∈ 𝑉:

Cho vành 𝑅 và 𝑀 là 𝑅 – module (trái)

𝑀 được gọi là 𝑅 – module nửa đơn (hay khả qui hoàn toàn) nếu mọi 𝑅 – module con của 𝑀 đều là hạng tử trực tiếp của 𝑀

Dựa vào định nghĩa trên, ta thấy rằng module (0) là nửa đơn, nhưng không đơn Đồng thời, mọi 𝑅 – module đơn đều là 𝑅 – module nửa đơn Hơn nữa,

mọi module con hay module thương của một 𝑅 – module nửa đơn cũng nửa đơn

Định lý 1.5.1.2:

Cho một 𝑅 - module trái 𝑀 Các mệnh đề sau tương đương:

(1) 𝑀 là nửa đơn

(2) 𝑀 là tổng trực tiếp của một họ các module con đơn

(3) 𝑀 là tổng của một họ các module con đơn

(2) Mọi 𝑅 - module trái là nửa đơn

(3) Mọi 𝑅 - module trái hữu hạn sinh là nửa đơn

(4) Mọi 𝑅 - module trái cyclic là nửa đơn

(5) 𝑅 là 𝑅 - module trái nửa đơn

1.5.1.4 M ột số tính chất:

a) Một vành nửa đơn trái thì Noether trái và Artin trái

b) Một vành nửa đơn trái thì cũng nửa đơn phải, và ngược lại

1.5.2 C ấu trúc vành nửa đơn:

1.5.2.1 B ổ đề Schur:

Cho 𝑅 là một vành bất kì và 𝑉 là một 𝑅 - module trái đơn Khi đó 𝐸𝑛𝑑(𝑉) là

một vành chia

Định lý 1.5.2.2:

Cho 𝐷 là một vành chia và 𝑅 = M𝑛(𝐷) Khi đó:

(1) 𝑅 là vành đơn, vành nửa đơn, vành artin trái và là vành noether trái

(2) 𝑅 có đúng một module trái đơn 𝑉 (sai khác một đẳng cấu) và 𝑉 là 𝑅 module trung thành Hơn nữa 𝑅 ≅ 𝑛 𝑉

-(3) 𝐸𝑛𝑑(𝑉) ≅ 𝐷

1.5.2.3 Định lý Wedderburn – Artin:

Cho 𝑅 là một vành nửa đơn Khi đó 𝑅 ≅ M𝑛1(𝐷) × … × M𝑛𝑟(𝐷) với các vành chia 𝐷1, … , 𝐷𝑟 và các số nguyên dương 𝑛1, … , 𝑛𝑟 phù hợp Số 𝑟 là xác định duy nhất, cũng như các cặp (𝑛1; 𝐷1), … , (𝑛𝑟, 𝐷𝑟) (sai khác một phép hoán vị) Khi đó 𝑅 có đúng 𝑟 module trái đơn không đẳng cấu với nhau

(2) 𝑅 là vành 𝐽 – nửa đơn và artin trái

(3) 𝑅 là vành 𝐽 – nửa đơn và thỏa mãn DCC trên các ideal trái chính Bây giờ ta sẽ nhắc một chút đến khái niệm lũy đẳng Một phần tử 𝑒 ∈ 𝑅 được

gọi là lũy đẳng nếu 𝑒2 = 𝑒

Định lý 1.5.3.3:

Với một vành 𝑅 bất kì, ta có các mệnh đề sau tương đương:

(1) ∀𝑎 ∈ 𝑅, ∃𝑥 ∈ 𝑅: 𝑎 = 𝑎𝑥𝑎

(2) Mọi ideal trái chính đều được sinh bởi một phần tử lũy đẳng

(3) Mọi ideal trái chính đều là hạng tử trực tiếp của 𝑅 (như là 𝑅 - module trái)

(4) Mọi ideal trái hữu hạn sinh đều được sinh bởi một phần tử lũy đẳng (5) Mọi ideal trái hữu hạn sinh đều là hạng tử trực tiếp của 𝑅 (như là 𝑅 – module trái.)

Ta có thể dễ dàng kiểm tra được rằng 𝑘𝐺 là 𝑘 - đại số, trong đó 𝐺 là một cơ

sở của 𝑘𝐺 với vai trò một 𝑘 - không gian vector

Ta có thể mở rộng định nghĩa này ra thành định nghĩa của một vành nhóm

bằng cách cho phép 𝑘 là một vành bất kì và 𝐺 là một nhóm bất kì Lúc này 𝑘𝐺

chỉ mới có cấu trúc của một vành Đối với một vành nhóm 𝑘𝐺 thì các phần tử

của 𝑘 cũng sẽ giao hoán được với các phần tử của 𝐺 Từ đó phép nhân trên

𝑘𝐺 giao hoán khi và chỉ khi phép nhân của 𝑘 và 𝐺 cùng giao hoán

1.6.2 Định lý Maschke:

Cho 𝑘 là một vành bất kì và 𝐺 là một nhóm hữu hạn Khi đó 𝑅 = 𝑘𝐺 là vành

nửa đơn khi và chỉ khi 𝑘 nửa đơn và |𝐺| 1 là khả nghịch trong 𝑘

Chứng minh:

(⟸) Giả sử ta có 𝑘 nửa đơn và |𝐺| 1 là khả nghịch trong 𝑘 Để chứng minh

𝑅 là vành nửa đơn, ta sẽ chứng minh mọi 𝑅 - module trái 𝑉 đều là nửa đơn

Lấy 𝑊 là một 𝑅 - module trái con của 𝑉 Chọn một 𝑘 – đồng cấu 𝑓: 𝑉 → 𝑊 sao cho 𝑓|𝑊 = 𝐼𝑊 (𝑓 tồn tại vì 𝑊 là một hạngtử trực tiếp của 𝑉 như là 𝑘 - module)

Ta định nghĩa 𝐹: 𝑉 ⟶ 𝑉, 𝐹(𝑣) ≔ |𝐺|1 ∑𝑥∈𝐺𝑥−1𝑓(𝑥𝑣), 𝑣 ∈ 𝑉 Bởi vì 𝑔(𝑣) ∈1

|𝐺|∑𝑥∈𝐺𝑥−1𝑊 ⊂ 𝑊, nên ta có thể xem 𝐹 là một 𝑘 – đồng cấu từ 𝑉 vào 𝑊

Với 𝑣 ∈ 𝑊: 𝑔(𝑣) = |𝐺|1 ∑𝑥∈𝐺𝑥−1(𝑥𝑣)= 𝑣, nên 𝑔|𝑊 = 1𝑊

Đồng thời, ta cũng kiểm tra được 𝑔 là 𝑅 – đồng cấu Thật vậy, ∀𝑦 ∈ 𝐺:

𝑔(𝑦𝑣) = |𝐺|1 ∑𝑥∈𝐺𝑥−1𝑓(𝑥𝑦 𝑣) = |𝐺|1 ∑𝑥′∈𝐺𝑦𝑥′−1𝑓(𝑥′𝑣) = 𝑦𝑔(𝑣) (ở đây,

𝑥′ = 𝑥𝑦)

Từ đây ta có thể phân tích 𝑉 = 𝑊 ⊕ 𝐾𝑒𝑟(𝑔), nên ta có đpcm

(⟹) Ta có 𝑅 là nửa đơn Xét đồng cấu vành 𝜀: 𝑘𝐺 → 𝑘 thỏa 𝜀|𝑘 = 𝐼𝑘 và 𝜀(𝐺) = 1 Từ đó, như là một ảnh đồng cấu của 𝑘𝐺, 𝑘 cũng nửa đơn

Để chứng minh phần còn lại, ta sẽ chứng minh rằng mọi ước nguyên tố 𝑝 của

Ta vừa chứng minh bổ đề đúng bằng qui nạp theo 𝑛

Trở lại với định lý, như vậy ta sẽ có:

1 − (1 − 𝑥)𝑎 = 𝑏(1 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑝−1), 𝑏 ∈ 𝑅 Tác động đồng cấu 𝜀, ta được 1 = 𝜀(𝑏)𝑝 Vậy 𝑝 = 𝑝 1 khả nghịch trong 𝑘

Ta đã hoàn thành chứng minh.■

H ệ quả 1.6.3:

Cho 𝐺 là một nhóm hữu hạn có cấp 𝑜(𝐺) và 𝑘 là một trường có đặc số thỏa 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 ∤ 𝑜(𝐺) (xét cả 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 0) Khi đó 𝑘𝐺 là đại số nửa đơn

Định lý 1.6.4:

Cho 𝑘 ≠ 0 là một vành bất kì, 𝐺 là một nhóm vô hạn Khi đó vành nhóm

𝑅 = 𝑘𝐺 không thể nửa đơn

Chứng minh:

Xét đồng cấu vành 𝜀: 𝑘𝐺 → 𝑘 thỏa 𝜀|𝑘 = 𝐼𝑘 và 𝜀(𝐺) = 1 Đặt 𝐼 = 𝐾𝑒𝑟(𝜀)

Giả sử 𝑅 = 𝑘𝐺 là nửa đơn, ta có 𝑅 = 𝐼 ⊕ 𝐽, với 𝐽 là một ideal phù hợp của 𝑅

Ta có thể viết 𝐼 = 𝑅 𝑒 và 𝐽 = 𝑅 𝑓, với 𝑒, 𝑓 là các lũy đẳng thỏa 𝑒 𝑓 = 0 Rõ ràng 𝑒, 𝑓 đều khác 0

𝐼 𝑓 = 𝑅𝑒 𝑓 = 0 ⇒ (𝑥 − 1)𝑓 = 0 ⇒ 𝑓 = 𝑥𝑓, ∀𝑥 ∈ 𝐺

Lấy 𝑦 là phần tử của nhóm 𝐺 mà xuất hiện trong biểu thức của 𝑓 với hệ số khác 0 Khi đó 𝑥𝑦 sẽ xuất hiện trong 𝑓 với cùng hệ số, ∀𝑥 ∈ 𝐺 Điều này có nghĩa là biểu thức của 𝑓 chứa tất cả các phần tử của nhóm 𝐺 với hệ số khác 0

Do 𝐺 là nhóm vô hạn, nên điều này trái với định nghĩa của nhóm vành Như

vậy 𝑘𝐺 không thể nửa đơn ■

1.7 Module trên đại số hữu hạn chiều:

Cho 𝑘 là một trường và 𝑅 là 𝑘 - đại số hữu hạn chiều

1.7.1 C ấu trúc của R R

rad R

Do 𝑅 là 𝑘 - đại số hữu hạn chiều nên 𝑅� cũng là 𝑘 - đại số hữu hạn chiều

⟹ 𝑅� là 𝑘 - đại số Artin trái và phải (1)

mặt khác 𝑅� luôn là 𝐽 – nửa đơn (2)

Từ (1) và (2) suy ra 𝑅� là vành nửa đơn

Đặt 𝑅� ≅ 𝐵1 × … × 𝐵𝑟 là sự phân tích thành các thành phần đơn của 𝑅�

Đặt 𝑀𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟) là 𝐵𝑖 - module trái đơn duy nhất

⇒ 𝑀𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟) là 𝑅� - module trái đơn, và {𝑀𝑖}1≤𝑖≤𝑟 là tập hợp đầy đủ các đại diện cho các 𝑅� - module trái đơn

(vì 𝑅 và 𝑅� có chung các module trái đơn)

Đặt 𝐷𝑖 = 𝐸𝑛𝑑(𝐵𝑖𝑀𝑖) = 𝐸𝑛𝑑(𝑅𝑀𝑖) và 𝑛𝑖 = 𝑑𝑖𝑚𝐷𝑖𝑀𝑖

Ta có 𝐵𝑖 ≅ 𝐸𝑛𝑑 �𝑀𝑖𝐷𝑖� ≅ M𝑛𝑖(𝐷𝑖)

⇒ 𝑅� ≅ M𝑛1(𝐷1) × … × M𝑛𝑟(𝐷𝑟) (với 𝑅� ở vai trò là vành)

hay 𝑅� ≅ 𝑛1𝑀1× … × 𝑛𝑟𝑀𝑟 (với 𝑅� ở vai trò là 𝑅� - module trái)

Có một nhận xét quan trọng ở đây là: mọi đối tượng ta đề cập đến trong khi phân tích ở trên đều có cấu trúc của một không gian vector hữu hạn chiều trên trường 𝑘 Đặc biệt, các 𝐵𝑖 và 𝐷𝑖 là các 𝑘 – đại số hữu hạn chiều Từ sự phân tích trên ta cũng có được một số kết quả như sau:

Định nghĩa 1.7.2.2:

Cho 𝑅 là 𝑘- đại số và 𝑀 là 𝑅 - module trái đơn với 𝑑𝑖𝑚𝑘𝑀 < ∞ Nếu một trong các điều kiện sau thỏa thì 𝑀 được gọi 𝑅 - module đơn thực sự

(1) 𝐸𝑛𝑑(𝑅𝑀) = 𝑘

(2) Ánh xạ tự nhiên 𝑅 → 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑘) là toàn cấu

(3) Với mọi mở rộng trường 𝐾của 𝑘, 𝑀𝐾 là 𝑅𝐾 - module đơn

(4) Tồn tại mở rộng đóng đại số 𝐸 của 𝑘 sao cho 𝑀𝐸 là 𝑅𝐸 - module đơn

Ta có 𝐸𝑛𝑑(𝑅𝑀) = 𝑘 nên theo bổ đề Burnside thì 𝑅 = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑘) Vậy ánh xạ

𝑅 → 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑘) là toàn ánh

(2) ⟹ (3):

Lúc này ta có 𝑅 = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑘) và ta có thể giả sử 𝑀𝑘 = 𝑘𝑛 với 𝑛 = dim𝑘𝑀 Khi đó 𝑅 ≅ M𝑛(𝑘) và 𝑀𝐾 = 𝑘𝑛 ⊗𝑘 𝐾 = 𝐾𝑛 Rõ ràng là 𝑀𝐾 là 𝑅𝐾 - module trái đơn.■

Định nghĩa 1.7.2.4:

Cho 𝑅 là 𝑘 - đại số hữu hạn chiều Ta nói trường 𝐾 mở rộng của 𝑘 là trường phân rã của 𝑅 nếu mọi 𝑅𝐾 - module trái đơn đều đơn thực sự

Định lý 1.7.2.5:

𝐾 là trường phân rã của 𝑅 khi và chỉ khi 𝑅𝐾�𝑟𝑎𝑑 (𝑅𝐾) là tích trực tiếp hữu

hạn của các đại số ma trận trên 𝐾

Chứng minh:

Để giảm bớt những kí hiệu không cần thiết, ta có thể giả sử 𝑘 là trường phân

rã của 𝑅 Theo sự phân tích cấu trúc của 𝑅 𝑟𝑎𝑑 𝑅� :

𝑅𝑟𝑎𝑑 𝑅

Một 𝑘 - đại số 𝑅 phân rã trên 𝑘 khi và chỉ khi dim𝑘𝑅 = dim𝑘(𝑟𝑎𝑑 𝑅) +

∑(dim𝑘𝑀𝑖)2, với {𝑀𝑖} là tập đầy đủ các 𝑅 - module đơn không đẳng cấu

𝑅�𝐾𝑟𝑎𝑑 𝑅�𝐾

𝑅𝐾(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝐾

�𝑟𝑎𝑑 𝑅𝐾

(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝐾

𝐾𝑟𝑎𝑑 𝑅𝐾

�

Suy ra 𝑅�𝐾 có chung các module trái đơn với 𝑟𝑎𝑑 𝑅𝐾�(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝐾, nên cũng có chung các module trái với 𝑅𝐾

Như vậy: 𝐾 là trường phân rã của 𝑅

⇔ mọi 𝑅𝐾 - module trái đơn đều đơn thực sự

⇔ mọi 𝑅�𝐾 - module trái đơn đều đơn thực sự

⇔ 𝐾 là trường phân rã của 𝑅� ■

M ệnh đề 1.7.2.8:

Một mở rộng 𝐾 của trường 𝑘 là trường phân rã của đại số 𝑅 = 𝑘[𝑡] (𝑓)� khi

và chỉ khi 𝐾 là trường phân rã của đa thức 𝑓 (theo định nghĩa của lý thuyết trường)

� , ∀𝑖 = 1, 𝑟���� Ta có các 𝐾𝑖 là trường mở rộng của trường

𝐾 với [𝐾𝑖: 𝐾] = deg 𝑓𝑖 Như vậy:

𝐾 là trường phân rã của 𝑅 ⇔ 𝐾𝑖 = 𝐾, ∀𝑖 ⇔ deg 𝑓𝑖 = 1 ⇔ 𝑓 phân rã trên 𝐾.■

M ệnh đề 1.7.2.9:

Cho 𝑅 là một 𝑘 – đại số và 𝐾 là mở rộng trường của 𝑘 Khi đó:

Mọi 𝑅𝐾 – module trái đơn 𝑉 đều là một thương hợp thành của 𝑀𝐾, với 𝑀 là

𝑅 – module trái đơn nào đó

Nếu 𝑀1, 𝑀2 là các 𝑅 – module trái đơn không đẳng cấu thì 𝑀1𝐾 và 𝑀2𝐾 không

thể có một thương hợp thành chung nào

Chứng minh:

Giả sử 𝑅 𝑟𝑎𝑑 𝑅� = 𝐵1× … × 𝐵𝑟 là sự phân tích thành các thành phần đơn của 𝑅

của 𝑀1𝐾, và tác động 0 lên mọi thương hợp thành của 𝑀2𝐾 Ta cũng có kết quả

tương tự cho 𝑎2 ⊗ 1 Như vậy ta có 𝑉1 ≇ 𝑉2như các 𝑅𝐾 – module

Lấy 0 = 𝐼0 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐼𝑟 = 𝑅 là một chuỗi hợp thành (dãy tăng ngặt) của module trái 𝑅 trên chính nó Khi đó 0 = 𝐼0𝐾 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐼𝑟𝐾 = 𝑅𝐾 là một cái lọc của

Mệnh đề 1.7.2.10:

Cho 𝐾 là trường phân rã của 𝑘 – đại số 𝑅 và {𝑉1, … , 𝑉𝑚} là tập hợp đầy đủ các

𝑅𝐾 – module trái đơn Khi đó với mọi mở rộng trường 𝐿 của 𝐾, {𝑉1𝐿, … , 𝑉𝑚𝐿}

là tập hợp đầy đủ các 𝑅𝐿 – module trái đơn Hơn nữa, 𝐿 cũng là một trường phân rã của 𝑅

Chứng minh:

Theo định nghĩa của trường phân rã, ta có 𝑉1𝐿, … , 𝑉𝑚𝐿 là các module đơn trên

𝑅𝐿 và đôi một không đẳng cấu với nhau Mặt khác, mỗi 𝑅𝐿 – module đều đẳng cấu với một module nào đó trong bộ 𝑉1𝐿, … , 𝑉𝑚𝐿 Cho nên ta có điều phải