điểm bất động của ánh xạ đa trị và những kết quả xấp xỉ bất biến

13 CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN ..... LỜI MỞ ĐẦU Năm 1963 Meinadus đã kết hợp điểm bất động và phép xấp xỉ tối ưu trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-o0o -

Nguyễn Phong Phú

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Xin trân thành cảm ơn các bạn lớp cao học Giải tích khóa 21 đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

Vì kiến thức của học viên còn nhiều hạn chế nên luận văn có thể có nhiều thiếu sót Kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp đóng góp

ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 2

MỤC LỤC 3

LỜI MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG I:KIẾN THỨC CƠ SỞ 5

1.1 Không gian mêtric 5

1.2 Không gian định chuẩn với chuẩn p 5

1.3 Ánh xạ đa trị 6

1.4 Ánh xạ co đa trị 6

1.5 Không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric 6

1.6 Không gian đối ngẫu 7

1.7 Tập lồi, tập hình sao 7

1.8 Tập có tính chất N 8

1.9 Ánh xạ có tính chất C 8

1.10 Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán 10

1.11 Một số định nghĩa 13

CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 14

2.1 Định lí 2.1 14

2.2 Định lí 2.2 14

2.3 Định lí 2.3 18

2.4 Định lí 2.4 22

2.5 Định lí 2.5 22

2.6 Định lí 2.6 23

CHƯƠNG III: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ ĐA TRỊ 25

3.1 Định lí 3.1 25

3.2 Định lí 3.2 31

3.3 Định nghĩa 40

3.4 Định lí 3.3 41

PHẦN KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

LỜI MỞ ĐẦU

Năm 1963 Meinadus đã kết hợp điểm bất động và phép xấp xỉ tối ưu trong không gian hàm đã phát hiện một số tính chất của hàm không thay đổi trong một vài giả thiết Sau đó nhiều tác giả đã nghiên cứu về điều này với những giả thiết thay đổi như Brosowski, Subrahmanyam, Singh, Hick, Humphries…Với giả sử

(X, p)là không gian định chuẩn, T I X, : → X là ánh xạ R-giao hoán yếu (R - giao hoán dưới yếu) Điều kiện nào để T và I có chung điểm bất động

Năm 1969 Nadler là người đã đưa ra khái niệm ánh xạ đa trị (ánh xạ nhận giá trị là các tập hợp con của một tập hợp nào đó) và chứng minh mỗi ánh xạ co đa trị trên một tập con đóng bị chặn của không gian mêtric Haudorff đều có điểm bất động Điểm bất động của ánh xạ co đa trị (ánh xạ không là tự xạ) trên không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric được Assad và Kirk đưa ra Tiếp tục nghiên cứu về ánh xạ đa trị trên không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric (X d, p), tập K con

X , K đóng, khác rỗng; cho cặp ánh xạ đa trị F G K , : → CB X ( ) Điều kiện nào

để có điểm z trong K mà z ∈ Fz ∩ Gz

Các vấn đề trong luận văn này trình bày được trình bày theo hai nội dung nói trên dựa trên các kiến thức, kết quả đã học và tìm hiểu trong quá trình làm luận văn Nội dung chính của luận văn gồm ba chương:

Chương I: Một số khái niệm và kết quả liên quan đến không gian định

chuẩn ( , )

p

X , ánh xạ đa trị, ánh xạ co đa trị, không gian đầy đủ và lồi theo metric, cặp ánh xạ Lipschits, R giao hoán yếu (dưới yếu), tập có tính chất (N), tập lồi, tập hình sao, ánh xạ có tính chất (C), định nghĩa ánh xạ (demiclosed, cô đặc, hemicompact, demicompact, liên tục hoàn toàn)…

Chương II: Định lí điểm bất động của cặp ánh xạ không giãn trên không

gian định chuẩn (X, p)

Chương III: Định lý điểm bất động của cặp ánh xạ đa trị trên không gian

mêtric đầy đủ và lồi theo metric (định nghĩa trong chương I)

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian mêtric

Không gian mêtric là m ột cặp (X,ρ) , trong đó X là m ột tập hợp,

: X X

ρ × →  là m ột hàm số xác định trên X×X th ỏa mãn các điều kiện sau:

( ) ( )

1.2 Không gian định chuẩn với chuẩn p

ChoX là một không gian tuyến tính, một p – chuẩn trên X là một hàm thực trên

X với 0 < ≤p 1 thỏa mãn điều kiện

X gọi là không gian định chuẩn với chuẩn p

Nó là một không gian mêtric tuyến tính với metric bất biến đối với phép dời d p

Không gian l L p, p,0 < ≤p 1 là không gian định chuẩn với chuẩn p

Cho (X d, )là không gian mêtric đầy đủ

1.5 Không gian mê tric đầy đủ và lồi theo mêtric

Không gian mêtric đầy đủ(X d, ) được gọi là lồi theo mêtric nếu với mỗi

, ∈ , ≠

x y X x y thì tồn tại z∈X z, ≠x z, ≠ y thỏa d x z( ) ( ), +d z y, =d x y( ),

Nếu Klà tập con đóng khác rỗng của X, với mỗi x∈K và y∉K thì tồn tại z∈∂K

(biên của K) thỏa d x z( ) ( ), +d z y, =d x y( ),

1.6 Không gian đối ngẫu

Cho X là một không gian định chuẩn

Không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của X,

Kí hiệu X* là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Cho M là tập con khác rỗng của không gian mêtric (X d, )

Tập M được gọi là q−starshaped (q - hình sao) với q∈M nếu

I −k q+k Tx = −k Iq+k ITx với mỗi x∈M và n>1

Mỗi ánh xạ affine trên tập M q-hình sao thỏa điều kiện (C)

1 1

1 i n

n n

n

k n

Như vậy ∀ ∈x M TIx−ITx ≤R k Tx n −Ix ,R≥1,q=( )0, 0 ∈F I( )

Vậy I T, là R-giao hoán dưới yếu nhưng không giao hoán trên M

Một không gian định chuẩn (X p, ) thỏa mãn điều kiện Opial nếu mỗi dãy { }x n hội

tụ yếu đến x∈X , bất đẳng thức lim inf p( n, ) lim inf p( n, ) ,

n d x x n d x y x y

1.10 C ặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán

Cho X là một không gian mêtric tuyến tính và M là một tập con khác rỗng của X

Cho ánh xạ I M: →X

Ánh xạ T M: →X gọi là I-Lipschitz nếu ∀x y, ∈X thì tồn tại k>0 thỏa

( , ) ( , )

d Tx Ty ≤kd Ix Iy

Nếu k <1 (k =1) thì T gọi là I-co (I-nonexpansive, I – không giãn)

Hai tự ánh xạ T và I trên M gọi là giao hoán nếu TIx=ITx với mỗi x∈M

Hai tự ánh xạ T và I trên M gọi là R-giao hoán yếu nếu và chỉ nếu

( , )≤ ( , ) , ∈ , >0

Nếu R= 1 thì gọi là ánh xạ giao hoán yếu

Cho M là một q-hình sao với q∈F I( ) và cả Tvà I bất biến

(F I( ) tập các điểm bất động của ánh xạ I ) Sau đó, Shahzad gọi T và I là R-giao hoán yếu trên M nếu tồn tại số thực R>0

mà d ITx TIx( , )≤R d kTx ( + −(1 k q Ix) , ),x∈M k, ∈[ ]0,1

Nếu R= 1thì gọi là 1-giao hoán dưới yếu (1-subweakly commuting)

Lớp ánh xạ R-giao hoán dưới yếu có những tính chất của lớp ánh xạ giao hoán

Mở rộng khái niệm ánh xạ R-giao hoán dưới yếu trên miền không phải hình sao như sau

Cho I T, là hai tự xạ trên M , có một họ hàm F ={ }f x x M∈ là họ hàm

Giả sử M là q-hình sao với q∈F I( ) ( ),f x k =kx+ −(1 k q) ,k∈[ ]0,1 ,x∈M và

M là I-bất biến và T-bất biến thì (1.1) có thể qui về khái niệm R-giao hoán dưới yếu của Tvà I

Giả sử M là I-bất biến và T-bất biến, M có tính chất (N) với q∈F I( )

Thì I T, là ánh xạ R-giao hoán dưới yếu nếu tồn tại số thực R> 0 mà

2 2 2

(iii) T hemicompact (nửa compact) nếu mỗi dãy { }x n ⊂Mcó một dãy con

hội tụ khi d p(x Tx n, n)→0khi n→ ∞

(iv) T demi compact (compact một phần) nếu T liên tục và mỗi dãy bị

chặn { }x n ⊂M mà {Tx n−x n} hội tụ trong X, có một dãy con hội tụ

(v) T liên tục hoàn toàn nếu mỗi dãy { }x n ⊂M hội tụ yếu về x thì { }Tx n

hội tụ về { }Tx

Cho ánh xạ I M: →M và u∈X , Al-Thagafi định nghĩa các tập

( )i C M I ( )u ={x∈M: Ix∈P M( )u } ( ) I ( ) ( ) I ( )

I f α = f α x∈M α∈ Giả sử T là I-không giãn và M =IM , T

và I là R- giao hoán dưới yếu Nếu T liên tục thì T và I có điểm bất động chung nếu thỏa một trong các điều kiện sau:

(i) M đầy đủ, cl(T(M)) compact

(ii) M compact

(iii) M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact

(iv) M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demi compact

(v) X*tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn (vi) *

X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I và T liên tục yếu và

h ọ F={ }f x x M∈ liên t ục yếu thay cho liên tục

λ =

+ và định nghĩa T x n = f T x( )( )λn ,x∈M

T I là R giao hoán dưới yếu ⇒d p(ITx TIx; )≤Rd p(f Tx( )λn ;Ix) với mỗi x∈M Với T Ix n = f TI x( )( )λn IT x n =I f( T x( )( )λn )= f IT x( )( )λn

Và vì tính chất của họ F cho ta d p(f TI x( )( )λn ; f IT x( )( )λn )≤(φ λ( )n )p d p(TIx ITx, )Nên

Sử dụng kết quả trên và định lí 2.1 ta chứng minh định lí 2.2

(i) (X d, p) là không gian mêtric đầy đủ

Nên theo định lí 2.1 với mỗi n≥1 có một x n∈M mà x n =T x n n =Ix n

Vì cl(T(M)) compact, { }Tx n có dãy con { }Tx m hội tụ về z khi m→ ∞ Tính liên tục của F cho ta = = ( )( )→ ( )1 = → ∞

Vậy z∈F T( )∩F I( )

(ii) Vì M compact nên M đầy đủ, T liên tục

Suy ra clT M( ) compact

Nên theo (i) ta có z∈F T( )∩F I( )

(iii) Theo định lí 2.1, với mỗi n≥1 có x n∈M mà x n =T x n n =Ix n

Vì T compact và { }x n bị chặn trong F I( ), nên { }Tx n có dãy con { }Tx m

Khi đó Tx m→Tz khi m→ ∞ do đó có giới hạn Tz= ⇒ ∈z z F T( )

Từ TM ⊂IM thì z=Tz=Iy ,y∈M (kết quả như (i))

(iv) Như trong (i), với mỗi n≥1 có x n∈M mà x n =T x n n =Ix n

Do { }x n bị chặn và {x n−Ix n}hội tụ về 0, vì I demi compact (compact một

phần), { }x n có dãy con{ }x m hội tụ đến z khi m→ ∞

Vì T liên tục, { }Tx m hội tụ về Tz khi m→ ∞

m

m n m T x m Tz

Do tính duy nhất của giới hạn, ta có Tz= ⇒ ∈z z F T( )

Từ TM ⊂IM thì z=Tz=Iy ,y∈M (kết quả như (i))

(v) Theo định lí 2.1, với mỗi n≥1 có x n∈M mà x n =T x n n =Ix n

Do M compact yếu nên { }x n có dãy con { }x m hội tụ yếu về

z z

T y Ty T với z =Tz∈F T( )

Như trong (i), ta sẽ có z∈ F I( )

(vi) Theo định lí 2.1, với mỗi n≥1 có x n∈M mà x n =T x n n =Ix n

TậpM compact yếu nên { }x n có dãy con { }x m hội tụ yếu về

y∈M khi m→ ∞

I liên tục yếu nên Iy= y

Từ T liên tục yếu nên Tx m hội tụ yếu về Ty khi m→ ∞và họ ánh xạ Fliên

Sử dụng tính chất Hausdorff của tôpô yếu ta được y =Ty

Theo (i) ta có kết quả cần chứng minh

T và I có điểm bất động chung nếu thỏa một trong các điều kiện sau:

(i) M đầy đủ, cl(T(M)) compact

(ii) M compact

(iii) M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact

(iv) M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demicompact

X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I liên tục yếu,

I-T demiclosed t ại 0

(x) M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ cô đặc

Chứng minh Lập T n:M →M

( )2.1 T x n( )=k Tx n + −(1 k n)q

Trong đó x∈M , { }k n là dãy số thực hội tụ về 1 và 0<k n <1

Vì tập M có tính chất (N) nên k Tx n + −(1 k n)q∈M và T liên tục

Nên T n là tự xạ xác định tốt và liên tục trên M

M có tính chất (N) với q∈F I( )⊂M nên có một dãy số thực cố định

(i) Theo định lí 2.1, với n≥1 có dãy x n∈M mà x n =T x n n =Ix n

Do cl(T(M)) compact, { }Tx n có dãy con { }Tx m hội tụ đến

(ii) - (iv) Giống như định lí 2.2

(v) Như trong định lí 2.2 (v) chúng ta có thể tìm một dãy con{ }x m của dãy

{ }x n hội tụ yếu đến y∈M khi m→ ∞

Vì T là liên tục hoàn toàn, nên dãy { }Tx m hội tụ về Ty khi m→ ∞

Như trong (i) ta có được w∈F I( )

(vi) Như trong (v), có dãy x n∈M thỏa x n =T x n n =Ix n

Dãy { }x n có một dãy con { }x m hội tụ yếu đến y∈M khi m→ ∞ Khi k m → 1 x m =T x m m =k Tx m m + −(1 k m)q hội tụ yếu đến Ty khi m→ ∞ Nên Ty= y

Như trong (i) ta có được y∈F I( )

(vii) Như trong (v), có dãy x n∈M thỏa x n =T x n n =Ix n

Dãy { }x n có một dãy con { }x m hội tụ yếu đến y∈M khi m→ ∞

Nên Iy= y

Vì T liên tục yếu nên Tx m hội tụ yếu đến Ty khi m→ ∞

Nhưng M bị chặn

Vì ( ) (2.3 I−T x) m =x m −Tx m = −(1 k m)(x m−q)→0 khi m→ ∞

Vì (I−T)democlosed tại 0 nên (I−T y) =0và Ty=Iy=y

Như trong (i) ta có được y∈F I( )

(viii) Như trong (v), có dãy x n∈M thỏa x n =T x n n =Ix n

Dãy { }x n có một dãy con { }x m hội tụ yếu đến y∈M khi m→ ∞

(ix) Dãy { }x m bị chặn và vì (2.3) nên d p(x Tx m, m)→0 khi m→ ∞

Vì T là hemicompact nên { }x m hội tụ đến y∈M khi m→ ∞

Do Tx m hội tụ đến Ty khi m→ ∞ và vì (2.1) nên { }x m hội tụ đến Ty khi m→ ∞

Do đóy=Ty Như trong (i) ta sẽ có y=Ty=Iy

(x) Mỗi ánh xạ cô đặc trên tập con bị chặn hoàn toàn của không gian metric

là hemicompact do hệ quả của K.K.Tan và X.Z.Yaun

Tương tự đi đến (ix)

Ta biết rằng mỗi tập M là q-hình sao có một họ hàm liên tục và co; một họ hàm liên

tục yếu F ={ }f x x M∈ xác định bởi f x( )k =kx+ −(1 k q) với x∈M k, ∈( )0;1 Nếu I

affine và Iq=q thì có I f( x( )k )= f I x( )( )k với x∈M k, ∈( )0;1 Nếu thêm mỗi T-bất

biến hình sao thỏa tính chất (N) và nếu I affine và Iq=q, thì I thỏa điều kiện (C)

Giả sử rằng T I, là những ánh xạ giao hoán R-dưới yếu

Nếu T liên tục thì T và I có một điểm bất động nếu thỏa một trong mười điều kiện của định lí 2.3

I f α = f α x∈D α∈ và T và I là R- giao hoán yếu trên D

Thì P M ( )u ∩F I( )∩F T( )≠ ∅ nếu thỏa một trong các điều kiện sau:

(i) D đầy đủ, cl(T(D)) compact

(ii) D compact

(iii) D đầy đủ, F(D) bị chặn và T là ánh xạ compact

(iv) D đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demicompact

X tách điểm của X, X đầy đủ, D compact yếu, T liên tục hoàn toàn

(vi) *

X tách điểm của X, X đầy đủ, D compact yếu, I và T liên tục yếu và

h ọ F={ }f x liên t ục yếu thay cho liên tục điểm

Chứng minh Lấy y∈D

Nên P M( )u ∩F I( )∩F T( )≠ ∅ cho mỗi điều kiện (i)-(vi)

Nên tất cả các điều kiện của định lí 2.3 thỏa mãn

Vậy P M( )u ∩F I( )∩F T( )≠ ∅ nếu thỏa một trong các điều kiện (i)-(x) Chú ý

Hệ quả của Nadler [10]

Cho A B, ∈CB X( ),x∈A Khi đó, với mỗi số dương α, tồn tại y∈B sao cho

( ), ( , )

d x y ≤H A B +αĐặt α =h(1+h)

Xây dựng dãy { }x n trong K như sau

2

x ∈K , đặt '

2 2

x =x

Vậy x n∈Q, với mỗi n, thì x n−1∈P

n n n

n n

n n

α

αα

, ,

n n n

Trường hợp 3: x n∈Q x, n+1∈P (chia ra 2 trường hợp nhỏ)

n n n

α

( ) ( ) ( )

' 1 '

n n n

αα

Từ x n−1∈P x, n∈Q, kết hợp với trường hợp 2 ta được

1

'

1 1 1

' 1

n n n

αα

Và { }x n là dãy Cauchy nên hội tụ về p

{ }x n k là dãy con của { }x n mà mỗi phần tử đều thuộc P Khi đó

Khi y1∈Fz0 ta có thể chọn điểm y3 ∈Gz2 ⊆K mà

(3.11) d y y( 1, 3)≤cH Fz Gz( 0, 2)Giống như trên ta xây dựng hai dãy: { }y n ⊆FK∪GKvà { }z n ⊆K mà

1 1

n n

z − = y − ∈K

Hay z n−1∈∂K thì z n = y n∈K

Bây giờ ta đánh giá d z z( n, n+1)

Nếu d z z( n, n+1)=0 từ n trở đi thì dễ dàng chỉ ra rằng z n k+ =z n với k ≥ 1

Nếu d z z( n, n+1)>0 ,∀n Từ nhận xét ta kết luận có 3 khả năng có thể xảy ra

Trường hợp 1: Cho z n = y n∈K và z n+1 = y n+1∈K (y n∈K từ n trở đi)

Không mất tính tổng quát, giả sử z n = y n∈Fz n−1

Khi z n+1 =y n+1∈Gz n ( không nhất thiết z n−1= y n−1 ) và

Không mất tính tổng quát ta giả sử y n∈Fz n−1

Khi đó z n−1 =y n−1∈Gz n−2 ,z n ≠ y n và xây dựng dãy { }y n (xem iii’)

Theo Ciric và với 3 1

2t< , chứng tỏ là dãy { }z n là dãy Cauchy và từ đây nó hội tụ về điểm z∈K

Theo cách trên với { }z n đã chọn tồn tại dãy con nhỏ nhất của hai dãy { }z n mà nó vô hạn và chứa trong FK hoặc trong GK

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử z n j( ),z n j( )+1∈Fz n j( ) là vô hạn

Để thuận tiện ta xem z n j( ),z n j( )+1như z z j, j+1

Bây giờ ta có định lí điểm bất động của ánh xạ đa trị liên tục,

điều kiện yếu (3.8), không nhất thiết h là hằng số mà 2

Giả sử trái lại max{D x Fx( , )=D x Gx( , ) }>0 với mỗi x∈K

Khi R x y( ), >0 với mỗi ( )x y, ∈ ×K K

h <

Như vậy ta có được ( )

, ,

Bây giờ từ định lí 3.2 nếu có điểm z∈K mà z∈Fz∩Gz

Ta có thể giả sử rằng max{D x Fx D x Gx( , ) (, , ) }>0 với mỗi x∈K là sai

Thì có điểm bất động z∈K mà z∈Fz∩Gz

Trong định lí 3.2, nếu ta có G=Fthì ta có được kết quả định lí 3.1

PHẦN KẾT LUẬN

Qua luận văn này, tôi thực sự bắt đầu làm quen với công việc đọc tài liệu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống Tôi cũng học tập được phương pháp học

thuật do thầy hướng dẫn tổ chức và một số kiến thức về điểm bất động của ánh xạ

đa trị, điểm bất động của ánh xạ không giãn Tuy nhiên với sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong học hỏi từ sự đóng góp và chỉ bảo của quí Thầy Cô, các bạn và Hội đồng